Íà ï°àâൠ°óê®ïè±è


—è¦ …êàòå°èíà À«åê±àí¤°®âíà


“„Ê 517.95


Ð…ÇÎÍÀÍ‘ÍÛ… ÊÐÀ…‚Û… ÇÀ„À—È
È ‚ÀÐÈÀ–ÈÎÍÍÛ… Í…ÐÀ‚…Í‘’‚À
ÝËËÈÏ’È—…‘ÊÎÃÎ ’ÈÏÀ
‘ ÐÀÇÐÛ‚ÍÛÌÈ Í…ËÈÍ…ÉÍΑ’ßÌÈ
Á…Ç “‘Ë΂Èß ËÀÍ„…‘ÌÀÍÀËÀÇ…ÐÀ


01.01.02  ¤èôôå°åíöèà«üí»å ó°àâíåíèÿ



À‚’ÎÐ…”…ÐÀ’
¤è±±å°òàöèè íà ±®è±êàíèå ó·åí®© ±òåïåíè
êàí¤è¤àòà ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê




…ÊÀ’…ÐÈÍÁ“ÐÃ  2005
Ðàá®òà â»ï®«íåíà â —å«ÿáèí±ê®¬ ã®±ó¤à°±òâåíí®¬ óíèâå°±èòåòå íà êàô夰å ⻷豫èòå«ü-
í®© ¬àòå¬àòèêè



Íàó·í»© °óê®â®¤èòå«ü ¤®êò®° ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê,
ï°®ôå±±®° ‚.Í. Ïàâ«åíê®
Îôèöèà«üí»å ®ïï®íåíò» ¤®êò®° ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê,
¤®öåíò À.Ð. „àíè«èí
¤®êò®° ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê,
ï°®ôå±±®° Ì.Ì. Êèïíè±
‚å¤óùàÿ ®°ãàíè§àöèÿ Þ¦í®-“°à«ü±êè© ã®±ó¤à°±òâåíí»©
óíèâå°±èòåò



Çàùèòà ±®±ò®èò±ÿ "...."............... 2005 㮤à â ... ·. ... ¬èí. íà §à±å¤àíèè ¤è±±å°òàöè®íí®ã®
±®âåòà Ê 212.286.01 ï® ï°è±ó¦¤åíèþ ó·åí®© ±òåïåíè êàí¤è¤àòà ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê
ï°è “°à«ü±ê®¬ ã®±ó¤à°±òâåíí®¬ óíèâå°±èòåòå è¬. À.Ì. î°üê®ã® ï® à¤°å±ó:
620083, …êàòå°èíáó°ã, ï°®±ï. Ëåíèíà, 51, ꮬí. 248.




‘ ¤è±±å°òàöèå© ¬®¦í® ®§íàꮬèòü±ÿ â íàó·í®© áèá«è®òåêå “°à«ü±ê®ã® ã®±ó¤à°±òâåíí®ã®
óíèâå°±èòåòà è¬. À.Ì. î°üê®ã®.




Àâò®°åôå°àò °à§®±«àí "....".................. 2005ã.




“·åí»© ±åê°åòà°ü ¤è±±å°òàöè®íí®ã® ±®âåòà,
¤®êò®° ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ
íàóê, ï°®ôå±±®° ‚.Ã. Ïè¬åí®â
ÎÁ™Àß •ÀÐÀÊ’…ÐÈ‘’ÈÊÀ ÐÀÁÎ’Û
Îáúåêò è±±«å¤®âàíèÿ. „è±±å°òàöèÿ ï®±âÿùåíà è§ó·åíèþ °å§®íàí±í»µ ó°àâíåíè© è âà°è-
àöè®íí»µ íå°àâåí±òâ ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è.
Ïó±òü „¦  ®ã°àíè·åííàÿ ®á«à±òü â Rm ± ã°àíèöå© ‚„¦ ê«à±±à C2,µ , 0 < µ ¤ 1,
m
‚ ‚u
(0.1)
Au(x) ≡ ’ aij (x) + a0 (x)u(x)
‚xi ‚xj
i,j=1


 °àâí®¬å°í® ý««èïòè·å±êè© ¤èôôå°åíöèà«üí»© ®ïå°àò®° íà „¦, ± ê®ýôôèöèåíòà¬è aij ∈ C1,µ („¦),
aij (x) = aji (x) íà „¦ (1 ¤ i, j ¤ m), a0 ∈ C0,µ („¦), a0 (x) ≥ 0 íà „¦. ‚±þ¤ó ⠤豱å°òàöèè »1 
íàè¬åíüøåå ±®á±òâåíí®å §íà·åíèå ®ïå°àò®°à A ± ã°àíè·í»¬ 󱫮âèå¬ u|‚„¦ = 0.
αí®âí»å °å§ó«üòàò» ¤è±±å°òàöèè ®òí®±ÿò±ÿ ê ï°®á«å¬å ±óùå±òâ®âàíèÿ ±è«üí»µ è ﮫóï°à-
âè«üí»µ °åøåíè© ±«å¤óþùèµ °å§®íàí±í»µ §à¤à·:
1. Çà¤à·à „è°èµ«å
(0.2)
Au(x) ’ f (x, u) = h(x), x ∈ „¦
(0.3)
u|‚„¦ = 0,
ã¤å h ∈ Lq („¦), q > m, íå«èíå©í®±òü f è¬ååò âè¤:
f (x, ξ) = »1 ξ ’ g(x, ξ) ∀ x ∈ „¦, ∀ ξ ∈ R. ”óíêöèÿ g ó¤®â«åòâ®°ÿåò ±«å¤óþùè¬ ®ã°àíè·åíèÿ¬:

(g1) g : „¦ — R ’ R á®°å«åâà (mod 0)1 , ò.å. ±óùå±òâóåò á®°å«åâà ôóíêöèÿ g : „¦ — R ’ R,
ê®ò®°àÿ ®ò«è·àåò±ÿ ®ò g «èøü íà ﮤ¬í®¦å±òâå l ‚ „¦ — R, ï°®åêöèÿ ê®ò®°®ã® íà „¦ è¬ååò
¬å°ó íó«ü;

(g2) ¤«ÿ ï®·òè â±åµ x ∈ „¦ ôóíêöèÿ g(x, ·) ¬®¦åò è¬åòü íà R °à§°»â» ò®«üê® ïå°â®ã® °®¤à,
g(x, ξ) ∈ [g’ (x, ξ), g+ (x, ξ)] ∀ξ ∈ R, ã¤å

g’ (x, ξ) = lim inf g(x, ·), g+ (x, ξ) = lim sup g(x, ·);
·’ξ ·’ξ


(g3) ±óùå±òâóþò ê®í±òàíòà C1 > 0 è ôóíêöèÿ C2 ∈ Lq („¦) (q > m) òàêèå, ·ò® |g(x, ξ)| ¤ C1 |ξ| +
C2 (x) ∀ ξ ∈ R è ï. â. x ∈ „¦.

‘è«üí»¬ °åøåíèå¬ §à¤à·è (0.2)(0.3) í৻âàåò±ÿ ôóíêöèÿ
—¦
Wq („¦), ó¤®â«åòâ®°ÿþùàÿ ¤«ÿ ï®·òè â±åµ x ∈ „¦ ó°àâíåíèþ (0.2). ‘è«üí®å °åøå-
2 1
u∈ Wq („¦)©
íèå u §à¤à·è (0.2)(0.3) í৻âàþò ﮫóï°àâè«üí»¬, å±«è ¤«ÿ ï®·òè â±åµ x ∈ „¦ §íà·åíèÿ u(x)
ÿâ«ÿåò±ÿ ò®·ê®© íåï°å°»âí®±òè ±å·åíèÿ f (x, ·).



2. Çà¤à·à ® âà°èàöè®íí®¬ íå°àâåí±òâå. Ïó±òü ¬í®¦å±òâ® K §à¤àåò±ÿ ±«å¤óþùè¬ ®á°à§®¬:
—¦
K = {v ∈W2 („¦) | v(x) ≥ ψ(x) ï®·òè â±þ¤ó íà „¦},
1


ã¤å ψ ∈ C2 („¦), ψ|‚„¦ ¤ 0. ’°åáóåò±ÿ íà©òè ôóíêöèþ u ∈ K òàêóþ, ·ò® ï°è «þᮬ v ∈ K
m
aij (x)uxi (v ’ u)xj dx + (a0 (x) ’ »1 )u(x)(v ’ u)(x)dx+
i,j=1 „¦ „¦


(0.4)
p(x, u)(v ’ u)(x)dx ≥ 0,
+
„¦
1 Ê°à±í®±å«ü±êè© Ì.À., Ϯ갮â±êè© À.‚. ‘è±ò嬻 ± ãè±òå°å§è±®¬  Ì.: Íàóêà, 1983. 272±.



2
ã¤å aij (x) (1 ¤ i, j ¤ m) è a0 (x)  ê®ýôôèöèåíò» °àâí®¬å°í® ý««èïòè·å±ê®ã® ¤èôôå°åíöèà«ü-
í®ã® ®ïå°àò®°à A, §à¤àâà嬮㮠°àâåí±ò⮬ (0.1); íå«èíå©í®±òü p(x, ξ) ó¤®â«åòâ®°ÿåò ±«å¤óþùè¬
󱫮âèÿ¬:
(p1) p : D ’ R  á®°å«åâà (mod 0), ã¤å D = {(x, ξ) ∈ „¦ — R | ξ ≥ ψ(x)};
(p2) ¤«ÿ ï®·òè â±åµ x ∈ „¦ ôóíêöèÿ p(x, ξ) ¬®¦åò è¬åòü íà [ψ(x), +∞) °à§°»â» ò®«üê® ïå°â®ã®
°®¤à, íåï°å°»âíà ï°è ξ = ψ(x) è

p(x, ξ) ∈ [p’ (x, ξ), p+ (x, ξ)] ∀ξ ∈ [ψ(x), +∞),

ã¤å p’ (x, ξ) = lim inf p(x, ·), p+ (x, ξ) = lim sup p(x, ·);
·’ξ ·’ξ

(p3) ∃ C ∈ Lq („¦) (q > m) òàêàÿ, ·ò® |p(x, ξ)| ¤ C(x) ¤«ÿ ï. â. x ∈ „¦ è ∀ ξ ∈ [ψ(x), +∞).
”óíêöèÿ u ∈ K, ó¤®â«åòâ®°ÿþùàÿ (0.4) ï°è «þᮬ v ∈ K í৻âàåò±ÿ ±è«üí»¬ °åøåíèå¬
(0.4).
Àêòóà«üí®±òü ò嬻. ‚ ï®±«å¤íèå 㮤» íàá«þ¤àåò±ÿ ᮫üø®© èíòå°å± ê è±±«å¤®âàíèþ ê°à-
å⻵ §à¤à· ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è. Ýò® ï°®¤èêò®âàí® ï®ò°åáí®±òÿ¬è ã褰®¤èíà¬èêè,
òåï«®ôè§èêè è ¤°óãèµ íàóê, ã¤å ï®ÿâ諱ÿ °ÿ¤ ï°èê«à¤í»µ §à¤à·, ¬àòå¬àòè·å±êèå ¬®¤å«è ê®ò®-
°»µ ±®¤å°¦àò °à§°»âí»å íå«èíå©í®±òè, ± ®¤í®© ±ò®°®í», è âíóò°åííè¬è ï®ò°åáí®±òÿ¬è °à§âè-
òèÿ òå®°èè íå«èíå©í»µ ó°àâíåíè© â ·à±òí»µ ï°®è§â®¤í»µ ± ¤°ó㮩. Íå®áµ®¤è¬®±òü °à§°àá®òêè
òå®°èè ê°àå⻵ §à¤à· ± °à§°»âí»¬è ï® ô৮⮩ ïå°å¬åíí®© íå«èíå©í®±òÿ¬è á»«à ®ò¬å·åíà
åùå â 1967 ã. â ±®â¬å±òí®© ¬®í®ã°àôèè2 Î.À. Ëऻ¦åí±ê®©, ‚.À. ‘®«®ííèê®âà è Í.Í. “°à«ü-
öå⮩. Èíòåí±èâí®å è§ó·åíèå òàêèµ §à¤à· íà·à«®±ü â 70-»å 㮤» ï°®ø«®ã® ±ò®«åòèÿ. ‚à¦í»å
°å§ó«üòàò» ® °à§°åø謮±òè ê°àå⻵ §à¤à· ¤«ÿ ó°àâíåíè© ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí»-
¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è ừè ﮫó·åí» â °àá®òൠÌ.À. Ê°à±í®±å«ü±ê®ã® è À.‚. Ϯ갮â±ê®ã®, K.-C.
Chang, C.A. Stuart è J.F. Toland, ‚.Í. Ïàâ«åíê® è ¤°óãèµ àâò®°®â, ï°è ýò®¬ è±±«å¤®â૱ÿ òàê
í৻âà嬻© íå°å§®íàí±í»© ±«ó·à©, ê®ã¤à °à±±¬àò°èâàå¬àÿ §à¤à·à (0.2)(0.3) è¬ååò °åøåíèå
ï°è «þᮩ ï°à⮩ ·à±òè h ∈ Lq („¦). ‚ 70-»å ¦å 㮤» ï®ÿâè«è±ü ïå°â»å °àá®ò», ï®±âÿùåíí»å
è§ó·åíèþ §à¤à·è (0.2)(0.3) ± íåï°å°»âí®© ï® ξ íå«èíå©í®±òüþ ⠰姮íàí±í®¬ ±«ó·àå. Ï°è ýò®¬
ﮤ °å§®íàí±®¬ ï®íè¬à«à±ü ±èòóàöèÿ, ê®ã¤à ±óùå±òâóåò ï°å¤å« lim f (x, ξ)/ξ, ê®ò®°»© ï®·òè
|ξ|’∞
â±þ¤ó íà „¦ ±®âïà¤àåò ± ®¤íè¬ è§ ±®á±òâåíí»µ §íà·åíè© »k ®ïå°àò®°à A ± ã°àíè·í»¬ 󱫮âèå¬
(0.3).
‘è±òå¬àòè·å±ê®å è±±«å¤®âàíèå °å§®íàí±í»µ ê°àå⻵ §à¤à· ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà íà·à«®±ü ±
®±í®â®ï®«àãàþùå© °àá®ò»3 …. Ëàí¤å±¬àíà è À. Ëà§å°à â 1970 ã. ‚ ýò®© °àá®òå ¤«ÿ °à§°åø謮±òè
§à¤à·è (0.2)(0.3) íà ôóíêöèè f è h âïå°â»å ừ® íà«®¦åí® ®ã°àíè·åíèå, ê®ò®°®å âï®±«å¤±òâèè
±òà«è í৻âàòü 󱫮âèå¬ Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à. ‚ ¤à«üíå©øå¬ ï®ÿâè«®±ü ᮫üø®å ·è±«® ±òàòå©
® ±óùå±òâ®âàíèè °åøåíè© °å§®íàí±í»µ ý««èïòè·å±êèµ ê°àå⻵ §à¤à·, â ê®ò®°»µ àâò®°» íà-
ê«à¤»âà«è íà íå«èíå©í®±òü è ï°àâóþ ·à±òü ó°àâíåíèÿ íå°àâåí±òâà òèïà Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à
è«è 󱫮âèÿ èµ ®á®áùàþùèå. “êà¦å¬, íàï°è¬å°, íà °àá®ò» P. Rabinowitz, A. Ambrosetti, G.
Mancini, H. Berestycki è D.G. de Figueiredo ¤«ÿ ó°àâíåíè© ± íåï°å°»âí»¬è è«è ã«à¤êè¬è íå«è-
íå©í®±òÿ¬è, è íà °àá®ò» P.J. McKenna, N. Basile, M. Mininni, I. Massabo, K.C. Chang, ‚.Í.
Ïàâ«åíê® è ‚.‚. ‚èí®êó°à ¤«ÿ ó°àâíåíè© ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è. ‘ô®°¬ó«è°óå¬ ó±«®-
âèÿ òèïà Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à, â ï°å¤ï®«®¦åíèè, ·ò® íå«èíå©í®±òü f â ó°àâíåíèè (0.2) §à¤àåò±ÿ
°àâåí±ò⮬: f (x, ξ) = »1 ξ ’ g(x, ξ), ã¤å ôóíêöèÿ g ó¤®â«åòâ®°ÿåò 󱫮âèÿ¬ (g1)(g3) è ±óùå-
±òâóþò
g + (x) = lim g(x, ξ), g ’ (x) = lim g(x, ξ).
ξ’+∞ ξ’’∞
2 Ëऻ¦åí±êàÿ Î.À., ‘®«®ííèê®â ‚.À., “°à«üöåâà Í.Í. Ëèíå©í»å è êâà§è«èíå©í»å ó°àâíåíèÿ ïà°à᮫è·å-
±ê®ã® òèïà  Ì.: Íàóêà, 1967.  736±.
3 Landesman E., Lazer A. Nonlinear perturbations of linear elliptic boundary value problems at resonance // J.Math.
and Mech.  1970.  V.19, N3.  P.609-623.


3
‚ ýò®¬ ±«ó·àå 󱫮âèÿ òèïà Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à è¬åþò âè¤: ôóíêöèè g è h ó¤®â«åòâ®°ÿþò «èá®
íå°àâåí±òâó
(0.5)
g ’ (x)•(x)dx,
g + (x)•(x)dx < h(x)•(x)dx <
„¦ „¦ „¦
«èá® íå°àâåí±òâó
(0.6)
g ’ (x)•(x)dx < g + (x)•(x)dx
h(x)•(x)dx <
„¦ „¦ „¦
ã¤å •  ï°®è§â®«üíàÿ ﮫ®¦èòå«üíàÿ ±®á±òâåííàÿ ôóíêöèÿ, ±®®òâåò±òâóþùàÿ »1 .
ȧó·åíèþ íåê®ý°öèòèâí»µ âà°èàöè®íí»µ íå°àâåí±òâ ± íåï°å°»âí»¬è è ¬í®ã®§íà·í»¬è
íå«èíå©í®±òÿ¬è òàê¦å ï®±âÿùåí® §íà·èòå«üí®å ·è±«® °àá®ò. “êà¦å¬ íà ±òàòüþ S. Adly, D.
Goeleven è M. Thera4 , ã¤å ï°è⮤èò±ÿ ¤®±òàò®·í® ﮫíàÿ áèá«è®ã°àôèÿ ï® ýò®© òå¬àòèêå. ‚ ýò®©
¦å °àá®òå ﮫó·åí» ò宰嬻 ±óùå±òâ®âàíèÿ ¤«ÿ íåê®ý°öèòèâí»µ âà°èàöè®íí»µ íå°àâåí±òâ â
®ïå°àò®°í®¬ âè¤å, ê®ò®°»å §àòå¬ ï°è¬åíÿþò±ÿ ¤«ÿ è±±«å¤®âàíèÿ °à§°åø謮±òè ý««èïòè·å±êèµ
ó°àâíåíè© è âà°èàöè®íí»µ íå°àâåí±òâ ± íåï°å°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è ⠰姮íàí±í®¬ ±«ó·àå
(ó±òàíàâ«èâàþò±ÿ °å§ó«üòàò» òèïà Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à).
Çíà·èòå«üí»© èíòå°å± ï°å¤±òàâ«ÿþò °å§®íàí±í»å ê°àåâ»å §à¤à·è è âà°èàöè®íí»å íå°àâåí-
±òâà ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà, ¤«ÿ ê®ò®°»µ íå â»ï®«íÿþò±ÿ íè 󱫮âèÿ Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à, íè
èµ è§âå±òí»å ®á®áùåíèÿ. ȱ±«å¤®âàíèþ §à¤à·è (0.2)(0.3) â ýò®¬ ±«ó·àå ï®±âÿùåí», íàï°è¬å°,
°àá®ò» D. G. de Figueiredo è W. M. Ni5 , R. Iannacci, M.N. Nkashama è J.R. Ward6 , J.-P. Gossez
è P. Omari7 è ¤°óãèµ àâò®°®â. ‚ ïå°å·è±«åíí»µ °àá®òൠ®òí®±èòå«üí® íå«èíå©í®±òè f (x, ξ) â
§à¤à·å (0.2)(0.3) ï°å¤ï®«àãàåò±ÿ, ·ò® f (x, ξ) = »1 ξ ’ g(x, ξ), ã¤å g  êà°àò室®°èåâà ôóíêöèÿ
(ò.å. g(x, ξ) 觬å°è¬à íà „¦ ï°è «þᮬ ôèê±è°®âàíí®¬ ξ ∈ R è íåï°å°»âíà ï® ξ ï°è ï®·òè â±åµ
x ∈ „¦), ó¤®â«åòâ®°ÿþùàÿ 󱫮âèþ (g3). “±«®âèÿ Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à §à¬åíÿþò±ÿ â íèµ ±«å¤ó-
þùè¬è ®ã°àíè·åíèÿ¬è:
1. «èá®
g(x, ξ) · ξ ¤ 0 ∀ ξ ∈ R è ï.â. x ∈ „¦, (0.7)
«èá®
g(x, ξ) · ξ ≥ 0 ∀ ξ ∈ R è ï.â. x ∈ „¦; (0.8)
2. ôóíêöèÿ h ó¤®â«åòâ®°ÿåò "󱫮âèþ ®°ò®ã®íà«üí®±òè":

(0.9)
h•dx = 0,
„¦

¤«ÿ ï°®è§â®«üí®© ±®á±òâåíí®© ôóíêöèè •(x) ¤èôôå°åíöèà«üí®ã® ®ïå°àò®°à A ± ã°àíè·í»¬
󱫮âèå¬ (0.3), ±®®òâåò±òâóþùå© »1 . Ï°®á«å¬à ¦å ±óùå±òâ®âàíèÿ ±è«üí»µ è ﮫóï°àâè«üí»µ
°åøåíè© °å§®íàí±í®© §à¤à·è (0.2)(0.3) è âà°èàöè®íí®ã® íå°àâåí±òâà (0.4) â ±èòóàöèè, ê®ã¤à
󱫮âèÿ òèïà Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à è èµ ®á®áùåíèÿ íå â»ï®«íÿþò±ÿ, à íå«èíå©í®±òü °à§°»âíà
ï® ô৮⮩ ïå°å¬åíí®© ¬à«® è§ó·åíà. ‚ ±âÿ§è ± ýòè¬ ï®«ó·åíèå í®â»µ 󱫮âè© °à§°åø謮±òè
òàêèµ §à¤à· ÿâ«ÿåò±ÿ àêòóà«üí»¬.
–å«ü °àá®ò». Ï®«ó·åíèå í®â»µ òå®°å¬ ±óùå±òâ®âàíèÿ ¤«ÿ °å§®íàí±í»µ ê°àå⻵ §à¤à·
è âà°èàöè®íí»µ íå°àâåí±òâ ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è â ±èòóàöèè,
ê®ã¤à íå â»ï®«íÿþò±ÿ íè 󱫮âèÿ Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à, íè èµ è§âå±òí»å ®á®áùåíèÿ.
4 Adly S., Goeleven D. and Thera M. Recession mappings and noncoercive variational inequalities // Nonlinear
Anal.1996.V. 26, N9.P.15731603.
5 D.G. de Figueiredo, W.N. Ni. Perturbations of second order linear elliptic problems by nonlinearities without
Landesman-Lazer condition // Nonlinear Anal. TMA 1979V.3.P. 629-634.
6 Iannacci R., Nkashama M.N., Ward J.R. Nonlinear second order elliptic partial dierential equations at resonance
// Trans. Am. Math. Soc.1989v.311,N2P.711726.
7 Gossez J.-P., Omari P. Non-ordered lower and upper solutions in semilinear elliptic problems // Comm. P.D.E. -
1994.  v.19, N 7-8.  P. 1163-1184.




4
Ìåò®¤» è±±«å¤®âàíèÿ. ‚ ¤è±±å°òàöèè ê °à±±¬àò°èâà嬮¬ó ê«à±±ó §à¤à· ï°è¬åíÿåò±ÿ òå®-
°èÿ ò®ï®«®ãè·å±ê®© ±òåïåíè ¤«ÿ ¬í®ã®§íà·í»µ ꮬïàêòí»µ âåêò®°í»µ ï®«å© è âà°èàöè®íí»©
¬åò®¤; è±ï®«ü§óþò±ÿ ¬åò®¤» è °å§ó«üòàò» òå®°èè ó°àâíåíè© ± ·à±òí»¬è ï°®è§â®¤í»¬è, òå®°èè
ôóíêöè© è íå«èíå©í®ã® ôóíêöè®íà«üí®ã® àíà«è§à.
Íàó·íàÿ í®âè§íà. ‚ °àá®òå ﮫó·åí» í®â»å ò宰嬻 ±óùå±òâ®âàíèÿ ±è«üí»µ è ﮫóï°à-
âè«üí»µ °åøåíè© §à¤à·è (0.2)(0.3) è ±è«üí»µ °åøåíè© âà°èàöè®íí®ã® íå°àâåí±òâà (0.4) ±
°à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è ⠰姮íàí±í®¬ ±«ó·àå.
Ï® ±°àâíåíèþ ± á«è§êè¬è °àá®òà¬è ‚.Í. Ïàâ«åíê® è ‚.‚. ‚èí®êó°à8,9 ¤«ÿ °å§®íàí±í®© §à-
¤à·è (0.2)(0.3) ± °à§°»âí®© íå«èíå©í®±òüþ ⠤豱å°òàöèè íå ï°å¤ï®«àãàåò±ÿ â»ï®«íåíèå íå°à-
âåí±òâ Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à è 󱫮âè©, ®á®áùàþùèµ èµ. Ê°®¬å ò®ã®, ﮫó·åíí»å ⠤豱å°òàöèè
ò宰嬻 ó±è«èâàþò óêà§àíí»å °å§ó«üòàò» D. G. de Figueiredo è W. M. Ni, R. Iannacci, M.N.
Nkashama è J.R. Ward, J.-P. Gossez è P. Omari â ±«ó·àå, ê®ã¤à íå°àâåí±òâà Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à
è èµ ®á®áùåíèÿ íå â»ï®«íÿþò±ÿ, ï® ò°å¬ íàï°àâ«åíèÿ¬ :
1. íåï°å°»âí®±òü íå«èíå©í®±òè g ï® ô৮⮩ ïå°å¬åíí®© íå ï°å¤ï®«àãàåò±ÿ;
2. íå ò°åáóåò±ÿ â»ï®«íåíèÿ "󱫮âèÿ ®°ò®ã®íà«üí®±òè"(0.9);
3. íå«èíå©í®±òü g(x, ξ) íå ®áÿ§àíà ¬åíÿòü §íàê ï°è ïå°åµ®¤å ·å°å§ ò®·êó ξ = 0 ï°è ï.â. x ∈ „¦,
êàê ýò® ò°åáóåò±ÿ â 󱫮âèÿµ (0.7) è (0.8).
’àêè¬ ®á°à§®¬, ¤à¦å ¤«ÿ ±«ó·àÿ íåï°å°»âí®© ï® ξ íå«èíå©í®±òè ¤®êà§àíí»å ⠤豱å°òàöèè
ò宰嬻 ÿâ«ÿþò±ÿ í®â»¬è.
„«ÿ âà°èàöè®íí®ã® íå°àâåí±òâà (0.4) ⠰姮íàí±í®¬ ±«ó·àå ï® ±°àâíåíèþ ± °àá®òà¬è ¤°ó-
ãèµ àâò®°®â íå ï°å¤ï®«àãàåò±ÿ íåï°å°»âí®±òü íå«èíå©í®±òè ï® ô৮⮩ ïå°å¬åíí®©, à òàê¦å
â»ï®«íåíèÿ íå°àâåí±òâ òèïà Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à.
Ï°àêòè·å±êàÿ §íà·è¬®±òü. αí®âí»å °å§ó«üòàò» ¤è±±å°òàöè®íí®© °àá®ò» è¬åþò òå®°å-
òè·å±ê®å §íà·åíèå. Ï®«ó·åíí»å °å§ó«üòàò» ¬®ãóò á»òü ï°è¬åíåí» ¤«ÿ è±±«å¤®âàíèÿ è§âå±òí»µ
è í®â»µ ê«à±±®â ý««èïòè·å±êèµ °å§®íàí±í»µ ê°àå⻵ §à¤à· ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è.
Àï°®áàöèÿ °àá®ò».
αí®âí»å °å§ó«üòàò» ¤®ê«à¤»âà«è±ü è ®á±ó¦¤à«è±ü íà XXII Ê®íôå°åíöèè ¬®«®¤»µ ó·åí»µ
¬åµàíèê®-¬àòå¬àòè·å±ê®ã® ôàêó«üòåòà
ÌÓ è¬. Ì.‚. Ë®¬®í®±®âà â Ì®±êâå (2000 ã.), íà «åòíèµ íàó·í»µ øꮫൠè¬. ‘.Á. ‘òå·êèíà
â Ìèà±±å (2000, 2001, 2003 è 2004 ãã.), íà VII ê®íôå°åíöèè, ï®±âÿùåíí®© ïà¬ÿòè àêà¤å¬èêà
À.Í. ’èµ®í®âà â ±âÿ§è ± 95-«åòèå¬ ±® ¤íÿ °®¦¤åíèÿ â Ì®±êâå (2001 ã.), íà XXIV Ê®íôå°åíöèè
¬®«®¤»µ ó·åí»µ ¬åµàíèê®-¬àòå¬àòè·å±ê®ã® ôàêó«üòåòà ÌÓ è¬. Ì.‚. Ë®¬®í®±®âà â Ì®±ê-
âå (2001 ã.), íà ‚±å°®±±è©±êèµ íàó·í»µ ê®íôå°åíöèÿµ â …êàòå°èíáó°ãå(2001 ã. è 2004 ã.), íà
Ì妤óíà°®¤í®© ê®íôå°åíöèè "Nonlinear partial dierential equations"â À«óøòå (2003 ã.), íà XII
‘à°àò®â±ê®© §è¬íå© øꮫå (2004 ã.), íà íàó·í»µ ±å¬èíà°àµ êàô夰» ⻷豫èòå«üí®© ¬àòå¬à-
òèêè ¬àòå¬àòè·å±ê®ã® ôàêó«üòåòà —å«ÿáèí±ê®ã® ã®±ó¤à°±òâåíí®ã® óíèâå°±èòåòà.
Ïóá«èêàöèè. αí®âí»å °å§ó«üòàò» ¤è±±å°òàöèè ®ïóá«èê®âàí» â °àá®òൠ[1][14], ±ïè±®ê
ê®ò®°»µ ï°è⮤èò±ÿ â ê®íöå àâò®°åôå°àòà. ‚ ±®â¬å±òí»µ °àá®òൠíàó·í®¬ó °óê®â®¤èòå«þ ‚.Í.
Ïàâ«åíê® ï°èíफå¦àò ï®±òàí®âêè §à¤à·, ¤è±±å°òàíòó  ¤®êà§àòå«ü±òâà ®±í®âí»µ °å§ó«üòàò®â.
‘ò°óêòó°à è ®áúå¬ °àá®ò». „è±±å°òàöèÿ ±®±ò®èò è§ ââå¤åíèÿ, ò°åµ ã«àâ è ±ïè±êà «èòå-
°àòó°». Ðàá®òà ±®¤å°¦èò 118 ±ò°àíèö, âê«þ·àÿ áèá«è®ã°àôè·å±êè© ±ïè±®ê è§ 88 íàè¬åí®âàíè©.

‘΄…ÐÆÀÍÈ… ÐÀÁÎ’Û
‚® ââå¤åíèè ï°è⮤èò±ÿ ï®±òàí®âêà §à¤à·è, ®á®±í®âàíèå åå àêòóà«üí®±òè, ±¤å«àí ê°àòêè©
®á§®° °å§ó«üòàò®â, ﮫó·åíí»µ ¤°óãè¬è àâò®°à¬è â ¤àíí®© ®á«à±òè. ȧ«àãàþò±ÿ ®±í®âí»å °å-
§ó«üòàò» ¤è±±å°òàöèè è ï°è⮤èò±ÿ ±°àâíèòå«üí»© àíà«è§ èµ í®âè§í».
8 Ïàâ«åíê® ‚.Í., ‚èí®êó° ‚.‚. Ð姮íàí±í»å ê°àåâ»å §à¤à·è ¤«ÿ ó°àâíåíè© ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí»-
¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è // ȧâå±òèÿ âó§®â. Ìàòå¬àòèêà.  2001.  N 5.  ‘. 43-58.
9 Ïàâ«åíê® ‚.Í., ‚èí®êó° ‚.‚. ’宰嬻 ±óùå±òâ®âàíèÿ ¤«ÿ ó°àâíåíè© ± íåê®ý°öèòèâí»¬è °à§°»âí»¬è ®ïå-
°àò®°à¬è // “ê°. ¬àòå¬. ¦ó°í.  2002.  ò. 54.  N 3.  ‘. 349-363.


5
‚ ïå°â®© ã«àâå ï°è⮤ÿò±ÿ íå®áµ®¤è¬»å ±âå¤åíèÿ è§ òå®°èè ò®ï®«®ãè·å±ê®© ±òåïåíè ¤«ÿ
¬í®ã®§íà·í»µ ꮬïàêòí»µ âåêò®°í»µ ﮫå©, ® âà°èàöè®íí®¬ ¬åò®¤å ¤«ÿ ó°àâíåíè© ± °à§°»â-
í»¬è ®ïå°àò®°à¬è, íàﮬèíàþò±ÿ ï®íÿòèå ±åêâåíöèà«üí®ã® §à¬»êàíèÿ ¤«ÿ «®êà«üí® ®ã°àíè-
·åíí®ã® ®ïå°àò®°à è ®ï°å¤å«åíèÿ ôóíêöè®íà«üí»µ ï°®±ò°àí±òâ, â±ò°å·àþùèµ±ÿ â °àá®òå.
‚ò®°àÿ ã«àâà ±®¤å°¦èò øå±òü ïà°àã°àô®â.
‚ ïå°â®¬ ïà°àã°àôå ï°è⮤ÿò±ÿ â±ï®¬®ãàòå«üí»å «å¬¬», â ò®¬ ·è±«å, ® ±â®©±òâൠ°åøåíè©
§à¤à·è
Au(x) ’ »1 u(x) + p+ (x)u+ (x) ’ p’ (x)u’ (x) = 0, x ∈ „¦
u|‚„¦ = 0,
ã¤å p±  ôóíêöèè è§ Lq („¦), ó¤®â«åòâ®°ÿþùèå ®ï°å¤å«åíí»¬ ®ã°àíè·åíèÿ¬ íà °®±ò, à u+ (x) =
max{u(x), 0}, u’ (x) = max{’u(x), 0}. „àíí»å «å¬¬» è±ï®«ü§óþò±ÿ §àòå¬ â ïÿò®¬ ïà°àã°àôå
ýò®© ã«àâ» ï°è ¤®êà§àòå«ü±òâå ®±í®âí»µ °å§ó«üòàò®â.
‚® âò®°®¬ ïà°àã°àôå ï°è⮤èò±ÿ ï®±òàí®âêà ý««èïòè·å±ê®© ê°àå⮩ §à¤à·è (0.2)(0.3) ± °à§-
°»âí®© íå«èíå©í®±òüþ, â⮤ÿò±ÿ ®±í®âí»å ®ï°å¤å«åíèÿ è ®á®§íà·åíèÿ.
Îï°å¤å«åíèå. î⮰ÿò, ·ò® íå«èíå©í®±òü g : „¦ — R ’ R â ó°àâíåíèè (0.2) ó¤®â«åòâ®°ÿåò
±è«üí®¬ó (A)󱫮âèþ (±è«üí®¬ó (A1)󱫮âèþ), å±«è ±óùå±òâóåò íå ᮫åå ·å¬ ±·åòí®å ±å¬å©-
±òâ® ï®âå°µí®±òå© {Si , i ∈ I}, Si = {(x, ξ) ∈ „¦ — R | ξ = ψi (x)}, ψi ∈ W1,loc („¦) òàêèµ, ·ò® ¤«ÿ
2

ï®·òè â±åµ x ∈ „¦ íå°àâåí±òâ® g+ (x, ξ) = g’ (x, ξ) â«å·åò ±óùå±òâ®âàíèå i ∈ I, ¤«ÿ ê®ò®°®ã® ò®·êà
(x, ξ) ∈ Si è
Lψi (x) + g’ (x, ψi (x)) ’ h(x) Lψi (x) + g+ (x, ψi (x)) ’ h(x) > 0

«èá® Lψi (x) + g’ (x, ψi (x)) ’ h(x) Lψi (x) + g+ (x, ψi (x)) ’ h(x) > 0,
«èá® Lψi (x) + g(x, ψi (x)) = h(x) ±®®òâåò±òâåíí® .

Ǥå±ü Lu = Au ’ »1 u, g’ (x, ξ) = lim inf g(x, ·), g+ (x, ξ) = lim sup g(x, ·).
·’ξ ·’ξ




Îᮧíà·è¬ „¦1 = „¦1 (r1 ) = {x ∈ „¦ | d(x, ‚„¦) < r1 }, à „¦2 = („¦ \ „¦1 ), ã¤å r1  íåê®ò®°®å
ﮫ®¦èòå«üí®å ·è±«®, à d(x, ‚„¦) °à±±ò®ÿíèå ®ò ò®·êè x ¤® ã°àíèö» ‚„¦ â Rm .
Îï°å¤å«åíèå. Áó¤å¬ ã®â®°èòü, ·ò® ¤«ÿ íå«èíå©í®±òè g è ôóíêöèè h â ó°àâíåíèè (0.2)
â»ï®«íåí® ó±«®âèå (gh1) ( 󱫮âèå (gh2) ), å±«è ±óùå±òâóþò ·è±«à r1 > 0 è r2 ≥ 0 òàêèå, ·ò®
âå°í® íå°àâåí±òâ®

sup g(x, ξ)•(x)dx ¤ h(x)•(x)dx ¤
sup g(x, ξ)•(x)dx +
ξ<0 ξ<’r2 „¦
„¦1 „¦2


¤ inf g(x, ξ)•(x)dx + inf g(x, ξ)•(x)dx
ξ>0 ξ>r2
„¦1 „¦2


sup g(x, ξ)•(x)dx ¤ h(x)•(x)dx ¤
sup g(x, ξ)•(x)dx +
ξ>0 ξ>r2 „¦
„¦1 „¦2


¤ inf g(x, ξ)•(x)dx + inf g(x, ξ)•(x)dx ,
ξ<0 ξ<’r2
„¦1 „¦2

ã¤å •(x)  ï°®è§â®«üíàÿ ﮫ®¦èòå«üíàÿ ±®á±òâåííàÿ ôóíêöèÿ ¤èôôå°åíöèà«üí®ã® ®ïå°àò®°à
A ± ã°àíè·í»¬ 󱫮âèå¬ u|‚„¦ = 0, ±®®òâåò±òâóþùàÿ »1 .




6
Îï°å¤å«åíèå. Îá®áùåíí»¬ °åøåíèå¬ §à¤à·è (0.2)(0.3) áó¤å¬ í৻âàòü ôóíêöèþ u ∈
—¦
Wq („¦)© Wq („¦), ó¤®â«åòâ®°ÿþùóþ ¤«ÿ ï®·òè â±åµ x ∈ „¦ âê«þ·åíèþ
2 1


’Au(x) + »1 u(x) + h(x) ∈ [g’ (x, u(x)), g+ (x, u(x))].

‚ ò°åòüå¬ ïà°àã°àôå ô®°¬ó«è°óþò±ÿ ò宰嬻 ±óùå±òâ®âàíèÿ ¤«ÿ °å§®íàí±í®© §à¤à·è (0.2)
(0.3) ± °à§°»âí®© íå«èíå©í®±òüþ. Ïå°âàÿ òå®°å¬à ®µâàò»âàåò ±«ó·à© °å§®íàí±à ±«åâà ®ò »1 :
’å®°å¬à 2.3.1. Ï°å¤ï®«®¦è¬, ·ò®
1. ôóíêöèÿ g(x, ξ) ó¤®â«åòâ®°ÿåò 󱫮âèÿ¬ (g1) (g3);

2. lim inf
g(x,ξ)
≥ 0 ï. â. íà „¦;
ξ
ξ’±∞

3. ¤«ÿ ôóíêöè© g è h ∈ Lq („¦) (q > m) â»ï®«íåí® ó±«®âèå (gh1).

’®ã¤à §à¤à·à (0.2)(0.3) è¬ååò ®á®áùåíí®å °åøåíèå. Ýò® °åøåíèå ÿâ«ÿåò±ÿ ±è«üí»¬ (ﮫóï°à-
âè«üí»¬), å±«è ¤®ï®«íèòå«üí® ¤«ÿ ó°àâíåíèÿ (0.2) â»ï®«íåí® ±è«üí®å (A1)󱫮âèå ( ±è«üí®å
(A)󱫮âèå).
αòà«üí»å ¤âå ò宰嬻 è ±«å¤±òâèå ®òí®±ÿò±ÿ ê ±«ó·àþ °å§®íàí±à ±ï°àâà ®ò »1 . Ï°èâå¤å¬
ô®°¬ó«è°®âêó ®¤í®ã® è§ ýòèµ °å§ó«üòàò®â.
’å®°å¬à 2.3.2. Ï°å¤ï®«®¦è¬, ·ò®
1. ôóíêöèÿ g(x, ξ) ó¤®â«åòâ®°ÿåò 󱫮âèÿ¬ (g1) (g3) è
lim sup g(x,ξ) ¤ 0 ï. â. íà „¦;
ξ
ξ’±∞

2. (íå°å§®íàí±í®å 󱫮âèå ¤«ÿ »2 ) ±óùå±òâóþò ôóíêöèè “± ∈ Lq („¦) (q > m) òàêèå, ·ò® ¤«ÿ
ï. â. x ∈ „¦ è¬åþò ¬å±ò® íå°àâåí±òâà 0 ¤ “± (x) ¤ ± = »2 ’ »1 , lim inf g(x,ξ) ≥ ’“± (x) è
ξ ξ’±∞


(± ’ “+ (x))w2 (x)dx + (± ’ “’ (x))w2 (x)dx > 0,
w>0 w<0

ã¤å w(x)  ï°®è§â®«üíàÿ ±®á±òâåííàÿ ôóíêöèÿ ®ïå°àò®°à A ± ã°àíè·í»¬ 󱫮âèå¬ (0.3),
±®®òâåò±òâóþùàÿ âò®°®¬ó ±®á±òâåíí®¬ó §íà·åíèþ »2 .

3. ¤«ÿ ôóíêöè© g è h ∈ Lq („¦) (q > m) â»ï®«íåí® ó±«®âèå (gh2).

’®ã¤à §à¤à·à (0.2)(0.3) è¬ååò ®á®áùåíí®å °åøåíèå. Ýò® °åøåíèå ÿâ«ÿåò±ÿ ±è«üí»¬ (ﮫóï°à-
âè«üí»¬), å±«è ¤®ï®«íèòå«üí® ¤«ÿ ó°àâíåíèÿ (0.2) â»ï®«íåí® ±è«üí®å (A1)󱫮âèå ( ±è«üí®å
(A)󱫮âèå).
‚ ·åòâå°ò®¬ ïà°àã°àôå âò®°®© ã«àâ» ï°è⮤èò±ÿ ®ïå°àò®°íàÿ ï®±òàí®âêà §à¤à·è (0.2)(0.3).
„«ÿ ýò®ã® °à±±¬àò°èâàåò±ÿ E  áàí൮⮠ﰮ±ò°àí±òâ® ôóíêöè© è§ C1 („¦), °àâí»µ íó«þ íà ‚„¦,
ôèê±è°óåò±ÿ ν  ï°®è§â®«üí®å ¤å©±òâèòå«üí®å ·è±«® òàê®å, ·ò® »1 + ν íå ï°èíफå¦èò ±ïåêò°ó
®ïå°àò®°à A ± ã°àíè·í»¬ 󱫮âèå¬ (0.3) è ±ò°®èò±ÿ â±ï®¬®ãàòå«üí®å ¬í®ã®§íà·í®å ®ò®á°à¦åíèå
φν , íåﮤâè¦í»å ò®·êè ê®ò®°®ã® ÿâ«ÿþò±ÿ ®á®áùåíí»¬è °åøåíèÿ¬è §à¤à·è (0.2)(0.3). „à«åå,
è±ï®«ü§óÿ ±â®©±òâà ò®ï®«®ãè·å±ê®© ±òåïåíè ¬í®ã®§íà·í»µ âåêò®°í»µ ï®«å© ï®ê৻âàåò±ÿ, ·ò®
¤«ÿ ¤®êà§àòå«ü±òâà ±óùå±òâ®âàíèÿ ®á®áùåíí®ã® °åøåíèÿ §à¤à·è (0.2)(0.3) ¤®±òàò®·í® ó±òàí®-
âèòü °àâí®¬å°íóþ ï® t ∈ [0, 1] ®ã°àíè·åíí®±òü â E °åøåíè© âê«þ·åíè©

(0.10)
’Au(x) + »1 u(x) + (1 ’ t)νu(x) + th(x) ∈ t[g’ (x, u(x)), g+ (x, u(x))]

¤«ÿ ï®·òè â±åµ x ∈ „¦. Ê°®¬å ò®ã®, â ·åòâå°ò®¬ ïà°àã°àôå ï®ê৻âàåò±ÿ, ·ò® ï°è â»ï®«íå-
íèè ±è«üí®ã® (A1)󱫮âèÿ «þá®å ®á®áùåíí®å °åøåíèå §à¤à·è (0.2)(0.3) ÿâ«ÿåò±ÿ ±è«üí»¬
°åøåíèå¬, à ï°è â»ï®«íåíèè ±è«üí®ã® (A)󱫮âèÿ  ﮫóï°àâè«üí»¬.


7
Ïÿò»© ïà°àã°àô ï®±âÿùåí ¤®êà§àòå«ü±òâó òå®°å¬ 2.3.1  2.3.3. „®êà§àòå«ü±òâà ﰮ⮤ÿò-
±ÿ ¬åò®¤®¬ ®ò ï°®òèâí®ã®: ï°å¤ï®«àãàÿ íà«è·èå íå®ã°àíè·åíí®© ï®±«å¤®âàòå«üí®±òè °åøåíè©
±å¬å©±òâà âê«þ·åíè© (0.10), ¬» ï°èµ®¤è¬ ê ï°®òèâ®°å·èþ ± 󱫮âèÿ¬è òå®°å¬.
‚ øå±ò®¬ ïà°àã°àôå ï°è⮤ÿò±ÿ ï°è¬å°» °å§®íàí±í»µ ý««èïòè·å±êèµ ê°àå⻵ §à¤à· ± °à§-
°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è, è««þ±ò°è°óþùèå ®ò«è·èÿ °å§ó«üòàò®â, ﮫó·åíí»µ â® âò®°®© ã«àâå
¤è±±å°òàöèè, ®ò °å§ó«üòàò®â òèïà Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à è ®ò óﮬÿíóò»µ °àá®ò D. G. de Figueiredo
è W. M. Ni, R. Iannacci, M.N. Nkashama è J.R. Ward, J.-P. Gossez è P. Omari.
’°åòüÿ ã«àâà ¤è±±å°òàöèè ï®±âÿùåíà °å§®íàí±í»¬ ý««èïòè·å±êè¬ âà°èàöè®íí»¬ íå°à-
âåí±òâଠ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è. ‚ ¤è±±å°òàöèè è±ï®«ü§óåò±ÿ ±«å¤óþùè© ï®¤µ®¤ ê ¤®-
êà§àòå«ü±òâó ±óùå±òâ®âàíèÿ ±è«üí®ã® °åøåíèÿ (0.4): è±µ®¤í®å âà°èàöè®íí®å íå°àâåí±òâ® (0.4)
§à¬åíÿåò±ÿ °å§®íàí±í®© ý««èïòè·å±ê®© ê°àå⮩ §à¤à·å© ± °à§°»âí®© íå«èíå©í®±òüþ, êত®å
±è«üí®å °åøåíèå ê®ò®°®© ÿâ«ÿåò±ÿ °åøåíèå¬ (0.4). ’àêàÿ ±µå¬à ±âå¤åíèÿ âà°èàöè®íí®ã® íå°à-
âåí±òâà ê ê°àå⮩ §à¤à·å âïå°â»å ừà ï°è¬åíåíà K.-C. Chang10 ¤«ÿ ê«à±±è·å±ê®© §à¤à·è ±
ï°åïÿò±òâèå¬. Îò¬åòè¬, ·ò® ¤«ÿ ﮫó·åíí®© ï°è òàꮬ ïå°åµ®¤å ý««èïòè·å±ê®© ê°àå⮩ §à-
¤à·è è¬ååò ¬å±ò® °å§®íàí± ±«åâà ®ò »1 è, ±«å¤®âàòå«üí®, åå °à§°åø謮±òü ¬®¦í® ó±òàí®âèòü
± ﮬ®ùüþ ò宰嬻 2.3.1. Ȭåíí® òàêè¬ ±ï®±®á®¬ ¤®ê৻âàþò±ÿ ïå°â»å ¤âå ò宰嬻 ¤àíí®©
ã«àâ» (ò宰嬻 3.1.1 è 3.1.2) ® ±óùå±òâ®âàíèè ±è«üí®ã® °åøåíèÿ âà°èàöè®íí®ã® íå°àâåí±òâà
(0.4). Τíàê®, íåï®±°å¤±òâåíí®å ï°è¬åíåíèå ê ﮫó·åíí®© ý««èïòè·å±ê®© ê°àå⮩ §à¤à·å ¬åò®-
¤à °åãó«ÿ°è§àöèè â ±®·åòàíèè ± âà°èàöè®íí»¬ ﮤµ®¤®¬ ﮧ⮫ÿåò ó±òàí®âèòü ±óùå±òâ®âàíèå
±è«üí®ã® °åøåíèÿ ¤àíí®© §à¤à·è ï°è ᮫åå ±«àỵ ®ã°àíè·åíèÿµ. ’àꮩ ±ï®±®á ï°è¬åíÿåò±ÿ
ï°è ¤®êà§àòå«ü±òâå ò宰嬻 3.1.3.
‚ ïå°â®¬ ïà°àã°àôå ï°è⮤èò±ÿ ï®±òàí®âêà §à¤à·è (0.4) è ô®°¬ó«è°óþò±ÿ 3 ò宰嬻 ® ±ó-
ùå±òâ®âàíèè åå °åøåíèÿ, â⮤ÿò±ÿ ®±í®âí»å ®ï°å¤å«åíèÿ è ®á®§íà·åíèÿ.
Îï°å¤å«åíèå. î⮰ÿò, ·ò® íå«èíå©í®±òü p : D ’ R ï® ®òí®øåíèþ ê ®ïå°àò®°ó Lu =
Au’»1 u ó¤®â«åòâ®°ÿåò ±è«üí®¬ó (A1)󱫮âèþ, å±«è ±óùå±òâóåò íå ᮫åå ·å¬ ±·åòí®å ±å¬å©±òâ®
ï®âå°µí®±òå© {Si , i ∈ I}, Si = {(x, ξ) ∈ D | ξ = ψi (x)}, ψi ∈ W1,loc („¦) òàêèµ, ·ò® ¤«ÿ ï®·òè â±åµ
2

x ∈ „¦ íå°àâåí±òâ® p+ (x, ξ) = p’ (x, ξ) â«å·åò ±óùå±òâ®âàíèå i ∈ I, ¤«ÿ ê®ò®°®ã® ò®·êà (x, ξ) ∈ Si
è «èá®
Lψi (x) + p’ (x, ψi (x)) Lψi (x) + p+ (x, ψi (x)) > 0,
«èá® Lψi (x) + p(x, ψi (x)) = 0.
Îᮧíà·è¬, êàê è °àíüøå, „¦1 = „¦1 (r1 ) = {x ∈ „¦ | d(x, ‚„¦) < r1 }, à „¦2 = („¦ \ „¦1 ), ã¤å r1 
íåê®ò®°®å ﮫ®¦èòå«üí®å ·è±«®, à d(x, ‚„¦) °à±±ò®ÿíèå ®ò ò®·êè x ¤® ã°àíèö» ‚„¦ â Rm .
Ïó±òü M1 = sup |ψ(x)|, ã¤å ψ  ôóíêöèÿ, ôèãó°è°óþùàÿ â ®ï°å¤å«åíèè ¬í®¦å±òâà K (±¬. ±ò°.
„¦
2). Çà¬åòè¬, ·ò® òàêàÿ ê®í±òàíòà M1 ±óùå±òâóåò, òàê êàê ψ ∈ C2 („¦). Ï°èâå¤å¬ ô®°¬ó«è°®âêó
íàè᮫åå èíòå°å±í®ã® è§ ï®«ó·åíí»µ â ò°åòüå© ã«àâå °å§ó«üòàò®â.
’å®°å¬à 3.1.3. Ï°å¤ï®«®¦è¬, ·ò®
1. â»ï®«íåí» ó±«®âèÿ (p1)(p3);

2. íå«èíå©í®±òü p(x, ξ) ï® ®òí®øåíèþ ê ®ïå°àò®°ó
Lu = Au ’ »1 u ó¤®â«åòâ®°ÿåò ±è«üí®¬ó (A1) 󱫮âèþ;

3. ±óùå±òâóþò ·è±«à r1 > 0 è r2 ≥ M1 òàêèå, ·ò®

(a) ψ(x) ¤ 0 ¤«ÿ «þá®ã® x ∈ „¦1 ;
10 Chang K.-C. Free boundary problems and the set-valued mappings // J. Dierent. Equat.  1983.  V.49.  P.
1-28.




8
(b) â»ï®«íÿåò±ÿ íå°àâåí±òâ®

(0.11)
inf p(x, ξ)•(x)dx ≥ 0,
inf p(x, ξ)•(x)dx +
ξ>0 ξ>r2
„¦1 „¦2

ã¤å •(x) ï°®è§â®«üíàÿ ﮫ®¦èòå«üíàÿ â „¦ ±®á±òâåííàÿ ôóíêöèÿ ®ïå°àò®°à A ±
ã°àíè·í»¬ 󱫮âèå¬ (0.3), ±®®òâåò±òâóþùàÿ »1 .

’®ã¤à ±óùå±òâóåò ±è«üí®å °åøåíèå u âà°èàöè®íí®ã® íå°àâåí±òâà (0.4), ï°è·å¬ u ∈ Wq („¦).
2

‚® âò®°®¬ ïà°àã°àôå âà°èàöè®íí®¬ó íå°àâåí±òâó (0.4) ±òàâèò±ÿ â ±®®òâåò±òâèå §à¤à·à

(0.12)
Au + G(x, u) = 0, x ∈ „¦

(0.13)
u|‚„¦ = 0,
ã¤å
ï°è ξ ¤ ψ(x),
min{’Aψ(x), p(x, ψ(x)) ’ »1 ψ(x)},
G(x, ξ) =
ï°è ξ > ψ(x)
p(x, ξ) ’ »1 ξ,
è ¤®ê৻âàþò±ÿ â±ï®¬®ãàòå«üí»å «å¬¬», â ò®¬ ·è±«å ® ò®¬, ·ò® ±è«üí®å °åøåíèå §à¤à·è (0.12)
(0.13) ÿâ«ÿåò±ÿ °åøåíèå¬ è±µ®¤í®ã® íå°àâåí±òâà.
‚ ò°åòüå¬ ïà°àã°àôå ï°èâå¤åí» ¤®êà§àòå«ü±òâà òå®°å¬ 3.1.1 è 3.1.2, ê®ò®°»å §àê«þ·àþò±ÿ
â ï°®âå°êå â»ï®«íåíèÿ 󱫮âè© ò宰嬻 2.3.1 ¤«ÿ °å§®íàí±í®© ê°àå⮩ §à¤à·è (0.12)(0.13).
—åòâå°ò»© ïà°àã°àô ï®±âÿùåí ¤®êà§àòå«ü±òâó ò宰嬻 3.1.3. Ǥå±ü ± ﮬ®ùüþ íåï®±°å¤-
±òâåíí®ã® ï°è¬åíåíèÿ ¬åò®¤à °åãó«ÿ°è§àöèè è âà°èàöè®íí®ã® ﮤµ®¤à ó±òàíàâ«èâàåò±ÿ, ·ò®
§à¤à·à (0.12)(0.13) ï°è íà«®¦åíí»µ â òå®°å¬å 3.1.3 ®ã°àíè·åíèÿµ è¬ååò ±è«üí®å °åøåíèå.
‚ ïÿò®¬ ïà°àã°àôå ï°è⮤èò±ÿ ï°è¬å° °å§®íàí±í®ã® âà°èàöè®íí®ã® íå°àâåí±òâà ý««èïòè-
·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí®© íå«èíå©í®±òüþ, ¤«ÿ ê®ò®°®ã® íå â»ï®«íÿåò±ÿ 󱫮âèå Ëàí¤å±¬àíà
Ëà§å°à, í® âå°í» â±å 󱫮âèÿ ò宰嬻 3.1.3.
‚ §àê«þ·åíèå, àâò®° â»°à¦àåò ã«óá®êóþ á«à㮤à°í®±òü ±â®å¬ó íàó·í®¬ó °óê®â®¤èòå«þ,
ï°®ôå±±®°ó ‚.Í. Ïàâ«åíê®, §à ï®±òàí®âêó §à¤à· è ﮬ®ùü â °àá®òå.




9
Ïóá«èêàöèè ï® òå¬å ¤è±±å°òàöèè
[1] Ïàâ«åíê® ‚.Í., —è¦ ….À. Çà¤à·à „è°èµ«å ¤«ÿ ó°àâíåíèÿ ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí®©
íå«èíå©í®±òüþ áå§ ó±«®âèÿ Ëàí¤å±¬àíà -Ëà§å°à // Ìàòå¬àòè·å±ê®å ¬®¤å«è°®âàíèå â å±òå-
±òâåíí»µ è ãó¬àíèòà°í»µ íàóêàµ: ’å§. ¤®ê«. ‚®°®í妱ê®ã® §è¬íåã® ±è¬ï®§èó¬à, ï®±âÿù.
ïà¬ÿòè Ì. À. Ê°à±í®±å«ü±ê®ã®. ‚®°®íå¦: ‚Ó, 2000.  ‘. 170.

[2] Ïàâ«åíê® ‚.Í., —è¦ ….À. ‘«àá® íå«èíå©í»å ®ïå°àò®°í»å ó°àâíåíèÿ ± °à§°»âí»¬è íå«è-
íå©í®±òÿ¬è // „èôôå°åíöèà«üí»å è èíòåã°à«üí»å ó°àâíåíèÿ: ’å§. ¤®ê«. Ì妤óíà°. ê®íô.
 Τ山à: À±ò°®ï°èíò, 2000.  ‘. 213.

[3] Ïàâ«åíê® ‚.Í., —è¦ ….À. Ðåãó«ÿ°è§àöèÿ ¤«ÿ ó°àâíåíè© ± °à§°»âí»¬è ®ïå°àò®°à¬è //
Îá°àòí»å è íåê®°°åêòí® ï®±òàâ«åíí»å §à¤à·è: ’å§. ¤®ê«. ê®íô., ï®±âÿù. 95-«åòèþ ±® ¤íÿ
°®¦¤åíèÿ À. Í. ’èµ®í®âà.  Ì®±êâà: ÌÀÊ‘ Ï°å±±, 2001. - ‘. 66.

[4] Ïàâ«åíê® ‚.Í., —è¦ ….À. Ðåãó«ÿ°è§àöèÿ ¤«ÿ ó°àâíåíè© ± °à§°»âí»¬è ®ïå°àò®°à¬è // À«-
ã®°èò¬è·å±êè© àíà«è§ íåó±ò®©·è⻵ §à¤à·: ’å§. ¤®ê«. ‚±å°®±. íàó·. ê®íô.  …êàòå°èíáó°ã:
ȧ¤-â® “°à«. óí-òà, 2001.  ‘. 50-51.

[5] Ïàâ«åíê® ‚.Í., —è¦ ….À. Çà¤à·à „è°èµ«å ¤«ÿ ó°àâíåíèÿ Ëàï«à±à ± °à§°»âí®© íå«èíå©í®-
±òüþ áå§ ó±«®âèÿ Ëàí¤å±¬àíà -Ëà§å°à // ‚å±òíèê —å«ÿá. ã®±. óí-òà.  ‘å°. 3. Ìàòå¬àòèêà.
Ìåµàíèêà. Èíô®°¬àòèêà.  2002. - 1(6).  ‘. 120-126.

[6] Ïàâ«åíê® ‚.Í., —è¦ ….À. Ðåãó«ÿ°è§àöèÿ ¤«ÿ ó°àâíåíè© ± °à§°»âí»¬è íåê®ý°öèòèâí»¬è
®ïå°àò®°à¬è // ‚å±òí. —å«ÿá. ã®±. óí-òà.  ‘å°. 3. Ìàòå¬àòèêà. Ìåµàíèêà. Èíô®°¬àòèêà.
 2003.  3(9). - ‘. 111-123.

[7] Pavlenko V., Chizh E. Elliptic boundary value problems at strong resonance with discontinuous
nonlinearities // Nonlinear partial dierential equations: Abstracts of International Conference
 Alushta, 2003.  P. 155 -156.

[8] Ïàâ«åíê® ‚.Í., —è¦ ….À. ‘è«üí® °å§®íàí±í»å ý««èïòè·å±êèå âà°èàöè®íí»å íå°àâåí±òâà ±
°à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è // ‘®â°å¬åíí»å ï°®á«å¬» òå®°èè ôóíêöè© è èµ ï°è«®¦åíèÿ:
’å§. ¤®ê«. 12-© ‘à°àò®â±ê®© §è¬íå© øꮫ»  ‘à°àò®â: ͖ "Ê®««å¤¦", 2004.  ‘. 196-
197.

[9] Ïàâ«åíê® ‚.Í., —è¦ ….À. Î °à§°åø謮±òè íåê®ý°öèòèâí»µ ý««èïòè·å±êèµ âà°èàöè®íí»µ
íå°àâåí±òâ ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è // À«ã®°èò¬è·å±êè© àíà«è§ íåó±ò®©·è⻵ §à-
¤à·: ’å§. ¤®ê«. ‚±å°®±. íàó·. ê®íô. …êàòå°èíáó°ã, 2004.  ‘. 205-206.

[10] Ïàâ«åíê® ‚.Í., —è¦ ….À. ’å®°å¬à ±óùå±òâ®âàíèÿ ¤«ÿ ®¤í®ã® ê«à±±à ±è«üí® °å§®íàí±í»µ
ê°àå⻵ §à¤à· ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è // “ê°. ¬àò. ¦ó°í. 
2005.  ’. 57,  1.  ‘. 102-110.

[11] —è¦ ….À. Çà¤à·à „è°èµ«å ¤«ÿ ó°àâíåíèÿ Ëàï«à±à ± °à§°»âí®© íå«èíå©í®±òüþ áå§ ó±«®-
âèÿ Ëàí¤å±¬àíàËà§å°à.  ‚ êí.: ’°ó¤» XXII Ê®íôå°åíöèè ¬®«®¤»µ ó·åí»µ ¬åµàíèê®-
¬àòå¬àòè·å±ê®ã® ôàêó«üòåòà ÌÓ è¬åíè Ì.‚. Ë®¬®í®±®âà.  Ì®±êâà: ȧ¤-â® –ÏÈ ï°è
¬åµàíèê®-¬àòå¬àòè·å±ê®¬ ôàêó«üòåòå ÌÓ, 2001.  ‘. 186-189.


10
[12] —è¦ ….À. Î °à§°åø謮±òè ó°àâíåíèÿ ± °à§°»âí»¬ íåê®ý°öèòèâí»¬ ®ïå°àò®°®¬.  ‚ êí.:
’°ó¤» XXIV Ê®íôå°åíöèè ¬®«®¤»µ ó·åí»µ ¬åµàíèê®-¬àòå¬àòè·å±ê®ã® ôàêó«üòåòà ÌÓ
è¬åíè Ì.‚. Ë®¬®í®±®âà.  Ì®±êâà: ȧ¤-â® –ÏÈ ï°è ¬åµàíèê®-¬àòå¬àòè·å±ê®¬ ôàêó«üòåòå
ÌÓ, 2002.  ‘. 187-189.

[13] —è¦ ….À. Ðåãó«ÿ°è§àöèÿ ¤«ÿ ó°àâíåíè© ± °à§°»âí»¬è íåê®ý°öèòèâí»¬è ®ïå°àò®°à¬è //
Ê®íêó°± ã°àíò®â ±òó¤åíò®â, à±ïè°àíò®â è ¬®«®¤»µ ó·åí»µ ‚“Ç΂ —å«ÿáèí±ê®© ®á«à-
±òè: ±á®°íèê °åôå°àò®â íàó·í®-è±±«å¤®âàòå«ü±êèµ °àá®ò à±ïè°àíò®â  —å«ÿáèí±ê: Þ“°Ã“,
2003.  ‘. 16.

[14] —è¦ ….À. ‘è«üí® °å§®íàí±í»å ê°àåâ»å §à¤à·è ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí»¬è íå«è-
íå©í®±òÿ¬è // ‘®â°å¬åíí»å ¬åò®¤» òå®°èè ôóíêöè© è ±¬å¦í»å ï°®á«å¬»: ’å§. ¤®ê«. ‚®-
°®í妱ꮩ §è¬íå© ¬àòå¬àòè·å±ê®© øꮫ»  ‚®°®íå¦, 2005.  C. 246-247.




Ï®¤ïè±àí® â ïå·àòü . ”®°¬àò 60 — 84 1/16.
Áó¬àãà ®ô±åòíàÿ. Ïå·àòü ®ô±åòíàÿ. “±«. ïå·. «. 1,0.
“·.-觤. «. 1,0. ’è°à¦ 100 ýê§. Çàêৠ. Áå±ï«àòí®.

ÃΓ‚ÏÎ "—å«ÿáèí±êè© ã®±ó¤à°±òâåíí»© óíèâå°±èòåò"
454021 —å«ÿáèí±ê, ó«. Á°àòüåâ Êàøè°èí»µ, 129

Ï®«èã°àôè·å±êè© ó·à±ò®ê ȧ¤àòå«ü±ê®ã® öåíò°à
—å«ÿáèí±ê®ã® ã®±ó¤à°±òâåíí®ã® óíèâå°±èòåòà
454021 —å«ÿáèí±ê, ó«. Ì®«®¤®ãâà°¤å©öåâ, 57á




11