Íà ï°àâൠ°óê®ïè±è




Êóêóøêèíà …âãåíèÿ ‚èêò®°®âíà




ÀÍÀËÈ’È—…‘ÊÈ… ÏÐ…„‘’À‚Ë…ÍÈß È
“‘’ÎɗȂΑ’Ü Ð…˜…ÍÈÉ ËÈÍ…ÉÍÛ•
‘È‘’…Ì ”“ÍÊ–ÈÎÍÀËÜÍÎ-ÐÀÇÍΑ’ÍÛ•
“ÐÀ‚Í…ÍÈÉ



01.01.02 - ¤èôôå°åíöèà«üí»å ó°àâíåíèÿ




À‚’ÎÐ…”…ÐÀ’
¤è±±å°òàöèè íà ±®è±êàíèå ó·åí®© ±òåïåíè
êàí¤è¤àòà ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê




…êàòå°èíáó°ã  2004
Ðàá®òà â»ï®«íåíà íà êàô夰å òå®°åòè·å±ê®© ¬åµàíèêè “°à«ü±ê®ã®
ã®±ó¤à°±òâåíí®ã® óíèâå°±èòåòà è¬. À.Ì. î°üê®ã®


Íàó·í»© °óê®â®¤èòå«ü:

¤®êò®° ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê,
ï°®ôå±±®° „®«ãè© Þ.”.

Îôèöèà«üí»å ®ïï®íåíò»:

¤®êò®° ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê,
ï°®ôå±±®° Êèïíè± Ì.Ì.

¤®êò®° ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê,
ï°®ôå±±®° Ìàê±è¬®â ‚.È.

‚å¤óùàÿ ®°ãàíè§àöèÿ:

“¤¬ó°ò±êè© ã®±ó¤à°±òâåíí»© óíèâå°±èòåò

Çàùèòà ±®±ò®èò±ÿ "_22_"__¤åêàá°ÿ__ 2004 㮤à â _15_·._00_¬èí.
íà §à±å¤àíèè ¤è±±å°òàöè®íí®ã® ±®âåòà Ê 212.286.01 ï® ï°è±ó¦¤åíèþ
ó·åí®© ±òåïåíè êàí¤è¤àòà ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê ï°è “°à«ü±ê®¬
ã®±ó¤à°±òâåíí®¬ óíèâå°±èòåòå è¬. À.Ì. î°üê®ã® ï® à¤°å±ó:
620083, ã.…êàòå°èíáó°ã, ï°.Ëåíèíà, 51, ꮬí.248.

‘ ¤è±±å°òàöèå© ¬®¦í® ®§íàꮬèòü±ÿ â íàó·í®© áèá«è®òåêå “°à«ü±ê®ã®
ã®±ó¤à°±òâåíí®ã® óíèâå°±èòåòà è¬. À.Ì. î°üê®ã®.



Àâò®°åôå°àò °à§®±«àí "_20_"__í®ÿá°ÿ___ 2004 ã.



“·åí»© ±åê°åòà°ü
¤è±±å°òàöè®íí®ã® ±®âåòà
¤®êò®° ôè§.-¬àò. íàóê,
ï°®ôå±±®° ____________ Ïè¬åí®â ‚.Ã.
ÎÁ™Àß •ÀÐÀÊ’…ÐÈ‘’ÈÊÀ ÐÀÁÎ’Û
Àêòóà«üí®±òü ò嬻. Èíòå°å± ê °à§í®±òí»¬ ó°àâíåíèÿ¬ ± ¤è±ê°åòí»¬
à°ãó¬åíò®¬ ±òè¬ó«è°óåò±ÿ â®ï°®±à¬è ¬àòå¬àòè·å±ê®ã® ¬®¤å«è°®âàíèÿ
⠰৫è·í»µ ®á«à±òÿµ å±òå±ò⮧íàíèÿ è ï°®á«å¬à¬è òå®°åòè·å±ê®ã®
®á®±í®âàíèÿ ⻷豫èòå«üí»µ à«ã®°èò¬®â. ”óí¤à¬åíòà«üí»å ®±í®â» òå®°èè
ýòèµ ó°àâíåíè© è§«®¦åí» â ¬®í®ã°àôèÿµ À.Î. Ãå«üô®í¤à, À. •à«àíàÿ
è „. ‚å걫å°à, „.È. Ìà°ò»íþêà, È.‚. Ãà©øóíà, À.Ì. ‘à¬à°±ê®ã®.
ȱ±«å¤®âàíèÿ °à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© ± ¤è±ê°åòí»¬ à°ãó¬åíò®¬
ï°®¤®«¦àþò±ÿ è â íàøè ¤íè. Ðà§âèòèå òå®°èè °à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©
± íåï°å°»âí»¬ à°ãó¬åíò®¬ ±òè¬ó«è°óåò±ÿ ï®ò°åáí®±òÿ¬è ¬àòå¬àòè·å±ê®ã®
¬®¤å«è°®âàíèÿ è ï°®á«å¬à¬è, ±âÿ§àíí»¬è ± í൮¦¤åíèå¬ °åøåíè©
ôóíêöè®íà«üí»µ ó°àâíåíè©, ê®ò®°»å ⮧íèêàþò â µ®¤å è§ó·åíèÿ °à§«è·í»µ
¬àòå¬àòè·å±êèµ ®áúåêò®â. ȱ±«å¤®âàíèÿ °à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© ó±òàí®âè«è
èµ òå±íóþ ±âÿ§ü ± ¤èôôå°åíöèà«üí®-°à§í®±òí»¬è ó°àâíåíèÿ¬è. αí®âí»å
ﮫ®¦åíèÿ òå®°èè ýòèµ ó°àâíåíè© è§«®¦åí» â ¬®í®ã°àôèÿµ Í.‚. À§áå«åâà,
‚.Ï. Ìàê±è¬®âà è Ë.”. Ð൬àòó««èí®©, Ð. Áå««¬àíà è Ê.Ë. Êóêà,
‚.Á. Ê®«¬àí®â±ê®ã® è ‚.Ð. Í®±®âà, Í.Í. Ê°à±®â±ê®ã®, À.„. Ì»øêè±à,
„¦. •å©«à, Ë.Ý. Ý«ü±ã®«üöà è ‘.Á. Í®°êèíà, ‘.Í. ˜è¬àí®âà.
Ï®ýò®¬ó òå°¬èí®«®ãèÿ è ¬åò®¤®«®ãèÿ è±±«å¤®âàíèÿ ï®±«å¤íèµ ó°àâ-
íåíè© á»«à è±ï®«ü§®âàíà ¤«ÿ °à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©. Íàè᮫åå
è§ó·åíí»¬ ®áúåêò®¬ ÿâ«ÿþò±ÿ °à§í®±òí»å ó°àâíåíèÿ ± ï®±ò®ÿíí»¬è
®òê«®íåíèÿ¬è à°ãó¬åíò®â. Ȭ ï®±âÿùåí» °àá®ò» À.Á. Àíò®íåâè·à,
Ì.Ã. Á«è§®°óê®âà, Ì.Ì. Êèïíè±à, ‚.Ã. Êó°áàò®âà, À.À. Ìè°®«þá®âà,
Ã.Ï. Ïå«þµà, ….Þ. Ю¬àíåíê®, Ì.À. ‘®«¤àò®âà, À.Í. ˜à°ê®â±ê®ã®,
J.M. Ferreira è ¤°óãèµ àâò®°®â. „«ÿ ¤àíí®ã® ê«à±±à ±è±òå¬ ï®«ó·åí»
󱫮âèÿ ±óùå±òâ®âàíèÿ °åøåíè© °à§í®© ±òåïåíè ã«à¤ê®±òè, í੤åí»
ï°å¤±òàâ«åíèÿ ®áùåã® °åøåíèÿ «èíå©í®© íå®¤í®°®¤í®© ±è±ò嬻 è
°à§°àá®òàí» ¬åò®¤» è±±«å¤®âàíèÿ ó±ò®©·èâ®±òè. Ðà§í®±òí»å ó°àâíåíèÿ ±
ïå°å¬åíí»¬è ®òê«®íåíèÿ¬è à°ãó¬åíò®â í৻âàþò òàê¦å ôóíêöè®íà«üí»¬è
ó°àâíåíèÿ¬è. Ï°®á«å¬à ±óùå±òâ®âàíèÿ è ï°å¤±òàâ«åíèÿ °åøåíè© ¤«ÿ íèµ
ÿâ«ÿåò±ÿ ¤®±òàò®·í® ±«®¦í®©. Îíà è§ó·à«à±ü â °àá®òൠË.Ï. Êó·ê®,
‚.‚. Ìèòþøåâà, Ã.Ï. Ïå«þµà, M. Kuczma è ¤°óãèµ. Ðà§í®±òí»å ó°àâíåíèÿ
± °à±ï°å¤å«åíí»¬è ®òê«®íåíèÿ¬è à°ãó¬åíò®â è§ó·åí» ï«®µ®. ‚ íà±ò®ÿùå©
°àá®òå ¬» í৻âàå¬ èµ ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»¬è ï® àíà«®ãèè ±
ôóíêöè®íà«üí®-¤èôôå°åíöèà«üí»¬è ó°àâíåíèÿ¬è. ’àêèå ®áúåêò»
ï°èâ«åêà«è âíè¬àíèå è±±«å¤®âàòå«å© â µ®¤å è§ó·åíèÿ ¬àòå¬àòè·å±êèµ
¬®¤å«å©, ®ïè±»âà嬻µ èíòåã°à«üí»¬è ó°àâíåíèÿ¬è ‚®«üòå°°» è
ôóíêöè®íà«üí®-¤èôôå°åíöèà«üí»¬è ó°àâíåíèÿ¬è íå©ò°à«üí®ã® òèïà.
‚ °àá®òൠJ. Hale è D. Henry ó±òàí®â«åíà ±âÿ§ü «èíå©í»µ ±òàöè®íà°í»µ
ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© ± òå®°èå© ±è«üí® íåï°å°»âí»µ
ﮫóã°óïï è ¤®êà§àí® óòâå°¦¤åíèå, ﮧ⮫ÿþùåå ¤å«àòü §àê«þ·åíèå ®á
ó±ò®©·èâ®±òè íó«åâ®ã® °åøåíèÿ íà ®±í®âå àíà«è§à °à±ï®«®¦åíèÿ ê®°íå©
µà°àêòå°è±òè·å±ê®ã® ó°àâíåíèÿ.
Îáúåêò®¬ è±±«å¤®âàíèÿ íà±ò®ÿùå© °àá®ò» ÿâ«ÿåò±ÿ «èíå©íàÿ ±è±òå¬à
ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©.
–å«ü °àá®ò». ϰ夫®¦èòü ¬åò®¤» ï®±ò°®åíèÿ ®áùåã® °åøåíèÿ
«èíå©í®© ±è±ò嬻 ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© â ±òàöè®íà°í®¬
è íå±òàöè®íà°í®¬ ±«ó·àÿµ. Ï®«ó·åíí»å °å§ó«üòàò» è±ï®«ü§®âàòü ï°è
è±±«å¤®âàíèè ó±ò®©·èâ®±òè °à±±¬àò°èâà嬻µ ±è±òå¬.
Ìåò®¤» è±±«å¤®âàíèÿ. Ìåò®¤» è±±«å¤®âàíèÿ ¤àíí®© °àá®ò» ®±í®âàí»
íà °å§ó«üòàòൠòàêèµ íàï°àâ«åíè© íàóêè, êàê òå®°èÿ °à§í®±òí»µ è
ôóíêöè®íà«üí®-¤èôôå°åíöèà«üí»µ ó°àâíåíè©, ôóíêöè®íà«üí»© àíà«è§
è òå®°èÿ ó±ò®©·èâ®±òè ¤âè¦åíèÿ. Ï°è í൮¦¤åíèè àíà«èòè·å±ê®ã®
ï°å¤±òàâ«åíèÿ ®áùåã® °åøåíèÿ ±è±ò嬻 ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ
ó°àâíåíè© ®±í®âí»¬ ÿâ«ÿåò±ÿ °å§ó«üòàò ® âè¤å «èíå©í®ã® íåï°å°»âí®ã®
®ïå°àò®°à â ï°®±ò°àí±òâå íåï°å°»âí»µ ôóíêöè©. Ï°è è±±«å¤®âàíèè
ó±ò®©·èâ®±òè °åøåíè© ®±í®âí»¬è ÿâ«ÿþò±ÿ ï®íÿòèÿ ý⮫þöè®íí®ã®
®ïå°àò®°à è ®ïå°àò®°à ¬®í®¤°®¬èè.
Íàó·íàÿ í®âè§íà. Ðå§ó«üòàò», ï°å¤±òàâ«åíí»å ⠤豱å°òàöèè,
ÿâ«ÿþò±ÿ í®â»¬è è ﮧ⮫ÿþò í൮¤èòü °åøåíèÿ íà·à«üí®© §à¤à·è Ê®øè
¤«ÿ ±è±òå¬ ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©, à òàê¦å ó±òàíàâ«èâàòü
󱫮âèÿ ó±ò®©·èâ®±òè °åøåíè© ýòèµ ó°àâíåíè©. Íà §àùèòó â»í®±ÿò±ÿ
±«å¤óþùèå °å§ó«üòàò»:
1) ó±òàí®â«åí» ó±«®âèÿ ±óùå±òâ®âàíèÿ è å¤èí±òâåíí®±òè íåï°å°»âí»µ
°åøåíè© íà·à«üí®© §à¤à·è Ê®øè ¤«ÿ ±òàöè®íà°í»µ è íå±òàöè®íà°í»µ
±è±òå¬ ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©;
2) ﮫó·åí» àíà«èòè·å±êèå ï°å¤±òàâ«åíèÿ ®áùèµ °åøåíè© ±òàöè®íà°í»µ
è íå±òàöè®íà°í»µ ±è±òå¬ ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©;
3) °à§°àá®òàí» ¬åò®¤» í൮¦¤åíèÿ ôóíêöè®íà«üí»µ §àâè±è¬®±òå©, ®ï-
°å¤å«ÿþùèµ àíà«èòè·å±êèå ï°å¤±òàâ«åíèÿ ®áùèµ °åøåíè©;
4) â ôóíêöè®íà«üí®¬ ï°®±ò°àí±òâå ±®±ò®ÿíè© ââå¤åí» ï®íÿòèÿ
ý⮫þöè®íí®ã® ®ïå°àò®°à, ®ïå°àò®°à ¬®í®¤°®¬èè è ¤®êà§àí» ®áùèå
óòâå°¦¤åíèÿ ®á ó±ò®©·èâ®±òè °åøåíè© ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ±è±òå¬;
5) í੤åí» ó±«®âèÿ ó±ò®©·èâ®±òè °åøåíè© ¤«ÿ íåê®ò®°»µ ê«à±±®â
ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ±è±òå¬.
’å®°åòè·å±êàÿ è ï°àêòè·å±êàÿ §íà·è¬®±òü. Ðàá®òà í®±èò
òå®°åòè·å±êè© µà°àêòå°. Ï®«ó·åíí»å °å§ó«üòàò» ¬®ãóò á»òü è±ï®«ü§®âàí»
¤«ÿ è±±«å¤®âàíèÿ ê®íê°åòí»µ ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©, â ò®¬
·è±«å íà ó±ò®©·èâ®±òü, è ¤à«üíå©øåã® °à§âèòèÿ òå®°èè ôóíêöè®íà«üí®-
°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©, à òàê¦å â êà·å±òâå «åêöè© ±ïåöèà«üí®ã® êó°±à.
Àï°®áàöèÿ °àá®ò». αí®âí»å °å§ó«üòàò» °àá®ò» ®á±ó¦¤à«è±ü è
¤®ê«à¤»âà«è±ü íà 4-© ¬å¦¤óíà°®¤í®© ê®íôå°åíöèè ¬®«®¤»µ ó·åí»µ è
±òó¤åíò®â "Àêòóà«üí»å ï°®á«å¬» ±®â°å¬åíí®© íàóêè"(‘à¬à°à, 2003);
‚®°®í妱ꮩ âå±åííå© ¬àòå¬àòè·å±ê®© øꮫå "Ï®íò°ÿãèí±êèå ·òåíèÿ
XIII"(2002), "Ï®íò°ÿãèí±êèå ·òåíèÿ  XIV"(2003), "Ï®íò°ÿãèí±êèå ·òå-
íèÿ  XV"(2004); XXVI ê®íôå°åíöèè ¬®«®¤»µ ó·åí»µ ¬àòå¬àòèê®
¬åµàíè·å±ê®ã® ôàêó«üòåòà ÌÓ è¬. Ì.‚. Ë®¬®í®±®âà (Ì®±êâà, 2004);
‚±å°®±±è©±ê®© ê®íôå°åíöèè "À«ã®°èò¬è·å±êè© àíà«è§ íåó±ò®©·è⻵
§à¤à·"(…êàòå°èíáó°ã, 2004); ±å¬èíà°å êàô夰» òå®°åòè·å±ê®© ¬åµàíèêè
¬àòå¬àòèê®-¬åµàíè·å±ê®ã® ôàêó«üòåòà “°Ã“ è¬. À.Ì. î°üê®ã®
(…êàòå°èíáó°ã, 1998-2004).
Ïóá«èêàöèè. αí®âí»å °å§ó«üòàò» ¤è±±å°òàöèè ï°å¤±òàâ«åí» â
°àá®òൠ[1][9].
‘ò°óêòó°à è ®áúå¬ °àá®ò». „è±±å°òàöèÿ ±®±ò®èò è§ ââå¤åíèÿ, ò°åµ
ã«àâ, §àê«þ·åíèÿ è ±ïè±êà «èòå°àòó°», ±®¤å°¦àùåã® 92 íàè¬åí®âàíèÿ,
®áùè© ®áúå¬  112 ±ò°àíèö ïå·àòí®ã® òåê±òà.


‘΄…ÐÆÀÍÈ… ÐÀÁÎ’Û
‚® ââå¤åíèè ±¤å«àí ê°àòêè© ®á§®° «èòå°àòó°» ï® òå¬å ¤è±±å°òàöèè,
®á®±í®âàíà àêòóà«üí®±òü è±±«å¤ó嬮© ï°®á«å¬» è 觫®¦åí» ®±í®âí»å
°å§ó«üòàò» ¤àíí®© °àá®ò».
ëàâà 1 ï®±âÿùåíà è§ó·åíèþ «èíå©í»µ ±è±òå¬ ±òàöè®íà°í»µ
ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©
0
(1)
x (t) = d‘ · (‘) x (t + ‘) + h (t) ,
’r

ã¤å x : R ’ Rn , h ∈ C (R, Rn ), ¬àò°è·íàÿ ôóíêöèÿ · è¬ååò ®ã°àíè·åííóþ
âà°èàöèþ íà [’r, 0], · (0) = · (’0) = 0.
‚ íà±ò®ÿùå© ã«àâå ®ïè±àí» ®±í®âí»å è¤åè è ¬åò®¤», è±ï®«ü§ó嬻å
ï°è ï®±ò°®åíèè ®áùåã® °åøåíèÿ «èíå©í®© íå®¤í®°®¤í®© ±è±ò嬻
ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© â ±òàöè®íà°í®¬ âà°èàíòå. Ï°è
°åà«è§àöèè èµ â íå±òàöè®íà°í®¬ âà°èàíòå â ã«àâå 2 òåµíè·å±êèå ï®±ò°®åíèÿ
󱫮¦íÿþò±ÿ è ±óòü ýòèµ è¤å© è ¬åò®¤®â ±òàí®âèò±ÿ ¬åíåå ï°®§°à·í®©.
‘òàöè®íà°í®±òü ﮧ⮫ÿåò òàê¦å ®ïè±àòü ¤®ï®«íèòå«üí»å ±â®©±òâà
°åøåíè© ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©.
‚ ïà°àã°àôå 1.1 ¤®êà§àíà òå®°å¬à ® ±óùå±òâ®âàíèè è å¤èí±òâåíí®±òè
°åøåíèÿ íà·à«üí®© §à¤à·è Ê®øè ¤«ÿ ±è±ò嬻 (1). Ìåò®¤ ¤®êà§àòå«ü±òâà
ò°à¤èöè®íåí ¤«ÿ ý⮫þöè®íí»µ ±è±òå¬. Îí è±ï®«ü§óåò ï°èíöèï ±¦àò»µ
®ò®á°à¦åíè© è ⮫üòå°°®â®±òü ï® À.Í. ’èµ®í®âó ®ïå°àò®°à, ®ï°å¤å«ÿþùåã®
ï°àâóþ ·à±òü ±è±ò嬻 (1). Íà«è·èå 󱫮âèÿ ±®ã«à±®âàíèÿ ò°åáóåò
±ïåöèà«üí®ã® ï°å®á°à§®âàíèÿ è±µ®¤í®© ±è±ò嬻.
‚ ±òàöè®íà°í®¬ ±«ó·àå ¬®¦í® ﮫó·èòü ᮫üøóþ ã«à¤ê®±òü °åøåíè©
ï°è h ∈ Cm ([0, +∞) , Rn ), • ∈ Cm ([’r, 0] , Rn ), 屫è íà«®¦èòü ±«å¤óþùèå
󱫮âèÿ ±®ã«à±®âàíèÿ
0
(k)
d‘ · (‘) •(k) (‘) + h(k) (0) , (2)
• (0) = 0 ¤ k ¤ m.
’r

ϰ夫®¦åíèå 1.1. Ïó±òü h è •  m-°à§ íåï°å°»âí® ¤èôôå°åíöè°ó嬻å
ôóíêöèè, â»ï®«íåí» ó±«®âèÿ ±®ã«à±®âàíèÿ (2), ¬àò°è·íàÿ ôóíêöèÿ ·
è¬ååò ®ã°àíè·åííóþ âà°èàöèþ íà [’r, 0] è · (0) = · (’0) = 0. ’®ã¤à
±óùå±òâóåò å¤èí±òâåíí®å m-°à§ íåï°å°»âí® ¤èôôå°åíöè°óå¬®å °åøåíèå
±è±ò嬻 (1).
‚ ïà°àã°àôå 1.2 ﮫó·åí® ï°å¤±òàâ«åíèå °åøåíè© ±òàöè®íà°í»µ
ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©. Ï°è í൮¦¤åíèè ýò®ã® ï°å¤±òàâ-
«åíèÿ è±ï®«ü§óåò±ÿ âè¤ «èíå©í®ã® íåï°å°»âí®ã® ®ïå°àò®°à â ï°®±ò°àí±òâå
íåï°å°»âí»µ ôóíêöè©.
‚ ïà°àã°àôå 1.3 ﮫó·åí» ó°àâíåíèÿ ¤«ÿ í൮¦¤åíèÿ ôóíêöè© S è
T , ®ï°å¤å«ÿþùèµ ï°å¤±òàâ«åíèå ®áùåã® °åøåíèÿ «èíå©í»µ ±òàöè®íà°í»µ
ó°àâíåíè©. Ï°è í൮¦¤åíèè ôóíêöè© S è T , ïóòå¬ ï®¤±òàí®âêè
ï°å¤±òàâ«åíèÿ °åøåíèÿ â ó°àâíåíèå (1), â µ®¤å ⻷豫åíèÿ ï®ÿâ«ÿþò±ÿ
èíòåã°à«» Ëåáåãà-‘òè«òüå±à, ·ò® §íà·èòå«üí® ®±«®¦íÿåò òåµíè·å±êóþ
±ò®°®íó ï°®á«å¬». ‚ °àá®òå ï°å¤«àãàåò±ÿ ï°è í൮¦¤åíèè S è T
è±ï®«ü§®âàòü ±è±ò嬻 ± ã«à¤êè¬è h è °åøåíèÿ ± ã«à¤êè¬è •. Ýò® ﮧ⮫ÿåò
ﰮ⮤èòü ⻷豫åíèÿ, è±ï®«ü§óÿ èíòåã°à«» Ðè¬àíà-‘òè«òüå±à.
‚ ã«àâå 2 è±±«å¤óþò±ÿ «èíå©í»å ±è±ò嬻 íå±òàöè®íà°í»µ ôóíê-
öè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©
0
(3)
x (t) = d‘ · (t, ‘) x (t + ‘) + h (t) ,
’r

ã¤å x : R ’ Rn ; h ∈ C (R, Rn ); ¬àò°è·íàÿ ôóíêöèÿ · (t, ·) ï°è êত®¬
ôèê±è°®âàíí®¬ t ∈ R è¬ååò ®ã°àíè·åííóþ âà°èàöèþ íà ®ò°å§êå [’r, 0],
· (t, 0) = 0.
„«ÿ óêà§àíí®© ±è±ò嬻 è§ó·àåò±ÿ íà·à«üíàÿ §à¤à·à Ê®øè â ï°®±ò°àí±òâå
íåï°å°»âí»µ ôóíêöè©. Ïó±òü íà·à«üí»© ¬®¬åíò t0 ∈ R è íà·à«üíàÿ
ôóíêöèÿ • ∈ C ([t0 ’ r, t0 ] , Rn ). ”óíêöèÿ x ∈ C ([t0 ’ r, +∞) , Rn ) ÿâ«ÿåò±ÿ
°åøåíèå¬ íà·à«üí®© §à¤à·è Ê®øè, å±«è ¤«ÿ íåå °àâåí±òâ® (3) â»ï®«íÿåò±ÿ
ò®¦¤å±òâåíí® íà ﮫó®±è (t0 , +∞) è x (t) = • (t) ï°è t ∈ [t0 ’ r, t0 ].
„«ÿ ±óùå±òâ®âàíèÿ íåï°å°»âí®ã® °åøåíèÿ íà·à«üí®© §à¤à·è Ê®øè
íå®áµ®¤è¬®, ·ò®á» â»ï®«íÿ«®±ü 󱫮âèå ±®ã«à±®âàíèÿ
0
(4)
• (t0 ) = d‘ · (t0 , ‘) • (t0 + ‘) + h (t0 ) .
’r

“±«®âèå (4) ï°è §à¤àíí®© ôóíêöèè h íàê«à¤»âàåò ®ã°àíè·åíèÿ íà â»á®°
íà·à«üí®© ôóíêöèè •.
‚ ïà°àã°àôå 2.1 ¤®êà§àíà òå®°å¬à ®á 󱫮âèÿµ ±óùå±òâ®âàíèÿ è
å¤èí±òâåíí®±òè °åøåíèÿ íà·à«üí®© §à¤à·è Ê®øè ¤«ÿ ±è±ò嬻 (3).
’å®°å¬à 2.1. Ïó±òü h ∈ C ([t0 , +∞) , Rn ), • ∈ C ([t0 ’ r, t0 ] , Rn ) ,
â»ï®«íåí® ó±«®âèå ±®ã«à±®âàíèÿ (4) è
1) ôóíêöèÿ var · (t, z) ®ã°àíè·åíà íà «þᮬ ®ò°å§êå ·è±«®â®© ®±è,
z∈[’r,0]
2) ®ò®á°à¦åíèå t ’ · (t, ’r) íåï°å°»âí® íà ·è±«®â®© ®±è,

3) ¤«ÿ «þá®ã® „ ∈ R ®ò®á°à¦åíèå t ’ t’r · (t, s ’ t) ds íåï°å°»âí® íà
«þᮬ ®ò°å§êå ·è±«®â®© ®±è,
4) var · (t, z) ’ 0 ï°è ∆ ’ 0 °àâí®¬å°í® ï® t íà «þᮬ ê®íå·í®¬
z∈[’∆,0]
®ò°å§êå ·è±«®â®© ®±è.
’®ã¤à íà·à«üíàÿ §à¤à·à Ê®øè ¤«ÿ ±è±ò嬻 (3) è¬ååò å¤èí±òâåíí®å
íåï°å°»âí®å °åøåíèå.
Ï°èâå¤åí» ï°è¬å°», â ê®ò®°»µ ï®êà§àíà ±óùå±òâåíí®±òü ò°åá®âàíè©
ò宰嬻 2.1 ®òí®±èòå«üí® §àâè±è¬®±òè · ®ò t.
‚ ïà°àã°àôå 2.2 ﮫó·åí® ï°å¤±òàâ«åíèå °åøåíèÿ íà·à«üí®©
§à¤à·è Ê®øè ¤«ÿ ±è±ò嬻 íå±òàöè®íà°í»µ ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ
ó°àâíåíè© (3).
’å®°å¬à 2.2. Ïó±òü â»ï®«íåí» ó±«®âèÿ ò宰嬻 2.1. ’®ã¤à
íåï°å°»âí®å °åøåíèå íà·à«üí®© §à¤à·è Ê®øè ±è±ò嬻 (3) ¤®ïó±êàåò
ï°å¤±òàâ«åíèå
t0 t
dS (t, s) h (s) + (V (t, t0 ) + In ) • (t0 ) , (5)
x (t) = dT (t, s, t0 ) • (s) +
t0 ’r t0

ã¤å t ≥ t0 , • (s) = • (s) ’ • (t0 ), s ∈ [t0 ’ r, t0 ]; h (t) = h (t) ’ h (t0 ),
t ≥ t0 ; T (t, t0 ’ r, t0 ) = 0 ï°è t ≥ t0 ; T (t0 , s, t0 ) = 0 ï°è s ∈
[t0 ’ r, t0 ]; S (t, s) = 0 ï°è t ¤ s; ï°è «þᮬ „ > t0 â»ï®«íÿþò±ÿ
íå°àâåí±òâà sup var T (t, s, t0 ) < ∞, sup var S (t, s) < ∞, ï°è «þᮬ
t∈[t0 ,„ )t0 ’r¤s¤t0 t∈[t0 ,„ ]t0 ¤s¤t
„ t ’r
„ > t0 è «þᮬ 0 ¤ r < r ôóíêöèè t0 S (t, s) ds è t00’r T (t, s, t0 ) ds
íåï°å°»âí» ï® t íà ﮫóèíòå°âà«å [t0 , ∞); V (t0 , t0 ) = 0 è ôóíêöèÿ V (t, t0 )
íåï°å°»âíà ï® t íà ﮫó®±è [t0 , ∞).
‚ ïà°àã°àôå 2.3 ﮫó·åí» ó°àâíåíèÿ ¤«ÿ í൮¦¤åíèÿ ôóíêöè© S, T è
V . Ï°è â»ï®«íåíèè 󱫮âè© ò宰嬻 2.1 ôóíêöèÿ S ÿâ«ÿåò±ÿ °åøåíèå¬
ó°àâíåíèÿ
0 „

S (t, „ ) = d‘ · (t, ‘) S (t + ‘, s) ds ’ In , t > „,
‚„ ’r t

± íà·à«üí»¬ 󱫮âèå¬ S (t, „ ) = 0 ï°è t ¤ „ .
“±òàí®â«åíà ±âÿ§ü ¬å¦¤ó ôóíêöèÿ¬è S è V :
t
V (t, t0 ) = ’S (t, t0 ) · (t0 , ’r) ’ dS (t, s) · (s, ’r) , t > t0 ,
t0

è ¬å¦¤ó ôóíêöèÿ¬è S è T :
s+r s’ξ

T (t, s, t0 ) = dS (t, ξ) [· (ξ, ‘) ’ · (ξ, ’r)] d‘+
‚s t0 ’r

+S (t, t0 ) (· (t0 , s ’ t0 ) ’ · (t0 , ’r)) , t > t0 , s ∈ [t0 ’ r, t0 ] .
Ï®«ó·åí» ó°àâíåíèÿ ¤«ÿ ôóíêöèè T è§ ï°å¤±òàâ«åíèÿ (5):
0 „
d
T (t, „, t0 ) = d‘ · (t, ‘) T (t + ‘, s, t0 ) ds+
d„ ’r t0 ’r
+ [· (t0 , ’r) ’ · (t0 , „ ’ t0 )] , „ ∈ [’r, 0] , t ≥ t0 + r,
0 „
d
T (t, „, t0 ) = d‘ · (t, ‘) T (t + ‘, s, t0 ) ds + · (t, ’r) ’ · (t, „ ) ,
d„ ’r ’r
„ ∈ (’r, t ’ r) , t ∈ (t0 , t0 + r) ,
0 „
d
T (t, „, t0 ) = d‘ · (t, ‘) T (t + ‘, s, t0 ) ds + · (t, „ ’ r) ’ · (t, „ ) ,
d„ ’r ’r
„ ∈ (t ’ r, 0) , t ∈ (t0 , t0 + r) .

ȧ¬åíåíèå ï®°ÿ¤êà ¤èôôå°åíöè°®âàíèÿ è èíòåã°è°®âàíèÿ â ô®°¬ó«àµ
¤«ÿ í൮¦¤åíèÿ S è T ®á®±í®âàí® â ±«å¤óþùèµ ±«ó·àÿµ:
1) ·  àá±®«þòí® íåï°å°»âíàÿ ôóíêöèÿ à°ãó¬åíòà ‘;
2) ·  ±òóïåí·àòàÿ ôóíêöèÿ à°ãó¬åíòà ‘ ± ê®íå·í»¬ ·è±«®¬ ò®·åê
°à§°»âà;
3) · ï°å¤±òàâè¬à â âè¤å ±ó¬¬» àá±®«þòí® íåï°å°»âí®© è ±òóïåí·àò®©
ôóíêöè©.
“±«®âèÿ ê®°°åêòí®© ï°®¤®«¦è¬®±òè °åøåíèÿ ±è±ò嬻 ®¤í®°®¤í»µ ôóíê-
öè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© íà â±þ ·è±«®âóþ ®±ü è§ó·àþò±ÿ â
ïà°àã°àôå 2.4.
‚ ïà°àã°àôå 2.5 ó±òàíàâ«èâàåò±ÿ ±âÿ§ü ±è±ò嬻 ôóíêöè®íà«üí®-
°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© ± ±è±ò嬮© ôóíêöè®íà«üí®-¤èôôå°åíöèà«üí»µ
ó°àâíåíè© §àï৤»âàþùåã® è íå©ò°à«üí®ã® òèï®â.
“òâå°¦¤åíèå 2.10. Ïó±òü ï®·òè ï°è â±åµ s, t ∈ R ±óùå±òâóåò
d· (t, s ’ t) d· (t, s ’ t) ‚· (t, z) ‚· (t, z)
ï°®è§â®¤íàÿ ( |z=s’t ),
= |z=s’t ’
dt dt ‚t ‚z
觬å°è¬àÿ è «®êà«üí® ®ã°àíè·åííàÿ ï® ±®â®êóïí®±òè à°ãó¬åíò®â â
®á«à±òè R — R, à òàê¦å ±óùå±òâóåò ¬àò°èöà (In + · (t, ’r))’1 . ’®ã¤à
°åøåíèå íà·à«üí®© §à¤à·è Ê®øè x (t, t0 , •), t ≥ t0 ’ r, ±è±ò嬻 (3) ï°è
h = 0 ± àá±®«þòí® íåï°å°»âí®© íà·à«üí®© ôóíêöèå© •, ¤«ÿ ê®ò®°®©
â»ï®«íÿåò±ÿ 󱫮âèå ±®ã«à±®âàíèÿ (4), ÿâ«ÿåò±ÿ «®êà«üí® àá±®«þòí®
íåï°å°»âí®© ôóíêöèå© íà [t0 ’ r, +∞) è ó¤®â«åòâ®°ÿåò ï°è t > t0 ±è±òå¬å
¤èôôå°åíöèà«üí»µ ó°àâíåíè© íå©ò°à«üí®ã® òèïà
t
‚· (t, ’r) ’1
x (t) =
™ (In + · (t, ’r)) (In + · (t, s ’ t)) x (s) ds’

‚t t’r
t t
d· (t, s ’ t)
’ x (s) ds +
™ d· (t, s ’ t) x (s) .

dt
t’r t’r

ëàâà 3 ï®±âÿùåíà è±±«å¤®âàíèþ ó±ò®©·èâ®±òè ±è±òå¬ ôóíêöè®íà«üí®-
°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©. ‚ ïà°àã°àôå 3.1 °à±±¬àò°èâàåò±ÿ ±òàöè®íà°íàÿ
±è±òå¬à ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© (1) ï°è h = 0. Îíà
ï®°®¦¤àåò ±è«üí® íåï°å°»âíóþ ﮫóã°óïïó ®ïå°àò®°®â {T (t) , t ≥ 0}.
Îï°å¤å«åí èíôèíèòå§è¬à«üí»© ®ïå°àò®° ¤àíí®© ﮫóã°óïï» ®ïå°àò®°®â è
åã® ±ïåêò°.
’å®°å¬à1 . …±«è ôóíêöèÿ · íå è¬ååò ±èíãó«ÿ°í®© ·à±òè, ò® ¤«ÿ
ýê±ï®íåíöèà«üí®© ó±ò®©·èâ®±òè ±è±ò嬻 (1) ï°è h = 0 ï® ®ò-
í®øåíèþ ê ⮧¬óùåíèÿ¬ è§ C íå®áµ®¤è¬® è ¤®±òàò®·í®, ·ò®á»
±óùå±òâ®âà«® δ > 0, ¤«ÿ ê®ò®°®ã® ê®°íè µà°àêòå°è±òè·å±ê®ã® ó°àâíåíèÿ
0
det ’r d· (‘) e»‘ ’ In = 0 «å¦à«è â ®á«à±òè {» : Re » ¤ ’δ, » ∈ C}.
0
”óíêöèÿ · íå è¬ååò ±èíãó«ÿ°í®© ·à±òè, 屫è d· (‘) • (‘) =
’r
∞ ∞
0
A (‘) • (‘) d‘, ã¤å 0 < rk ¤ r, Ak < ∞ è A 
’ Ak • (’rk ) + ’r
k=1 k=1
èíòåã°è°óå¬àÿ ï® Ëåáåãó ôóíêöèÿ íà [’r, 0].
1 Henry D. Linear autonomous neutral functional dierential equations // J. Di. Eq. 1974. V.15. N 1.
P.106128.
‚ ýò®© òå®°å¬å íàê«à¤»âàþò±ÿ ®ã°àíè·åíèÿ íà ôóíêöèþ ·. …±«è
®òêà§àòü±ÿ ®ò ýòèµ ®ã°àíè·åíè©, ò® ¬®¦í® ¤®êà§àòü àíà«®ãè·íóþ òå®°å¬ó
¤«ÿ ⮧¬óùåíè© íà·à«üí»µ ôóíêöè© è§ ¬í®¦å±òâà D A2 .
„«ÿ ±è±òå¬ ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©, ï°èâå¤åíí»µ â ê®íöå
ïà°àã°àôà, í੤åí» ®á«à±òè ó±ò®©·èâ®±òè. Ï°è ï®±ò°®åíèè ®á«à±òå©
ó±ò®©·èâ®±òè è±ï®«ü§®â૱ÿ ¬åò®¤ „-°à§áèåíèÿ, à ï°è ꮬïüþòå°í®©
°åà«è§àöèè ýò®ã® ¬åò®¤à  ïàêåò Maple.
Ïà°àã°àô 3.2 ï®±âÿùåí è±±«å¤®âàíèþ ó±ò®©·èâ®±òè íå±òàöè®íà°í»µ
±è±òå¬ ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© (3) ï°è h = 0.
‚ êà·å±òâå ý«å¬åíòà °åøåíèÿ áó¤å¬ °à±±¬àò°èâàòü åã® ®ò°å§®ê
xt (‘, t0 , •t0 ) = x (t + ‘, t0 , •t0 ), ‘ ∈ [’r, 0], t ≥ t0 . Ýò®ò ý«å¬åíò xt ∈
0
Ct ([’r, 0] , Rn ) = xt : xt ∈ C ([’r, 0] , Rn ) , xt (0) = ’r d‘ · (t, ‘) xt (‘) .
…ã® ¬®¦í® °à±±¬àò°èâàòü êàê ®á°à§ ý«å¬åíòà •t0 ï°è íåê®ò®°®¬
®ò®á°à¦åíèè:

xt (‘, t0 , •t0 ) = (T (t, t0 ) •t0 ) (‘) , ‘ ∈ [’r, 0] , t ≥ t0 ,

ã¤å T (t, t0 ) : Ct0 ([’r, 0] , Rn ) ’ Ct ([’r, 0] , Rn ).
’å®°å¬à 3.5. Ïó±òü â»ï®«íåí» ó±«®âèÿ ò宰嬻 2.1. „«ÿ ó±-
ò®©·èâ®±òè ±è±ò嬻 (3) ï°è h = 0 íå®áµ®¤è¬® è ¤®±òàò®·í®, ·ò®á»
sup T (t, t0 ) < ∞.
t>t0
„«ÿ à±è¬ïò®òè·å±ê®© ó±ò®©·èâ®±òè ±è±ò嬻 (3) ï°è h = 0 íå®á-
µ®¤è¬® è ¤®±òàò®·í®, ·ò®á» lim T (t, t0 ) = 0.
t’∞
„«ÿ ýê±ï®íåíöèà«üí®© ó±ò®©·èâ®±òè ±è±ò嬻 (3) ï°è h = 0 íå®áµ®¤è¬®
è ¤®±òàò®·í®, ·ò®á» ±óùå±òâ®âà«è ﮫ®¦èòå«üí»å ·è±«à K è ±, òàêèå
·ò® T (t, t0 ) ¤ Ke’±(t’t0 ) , t ≥ t0 .
’å®°å¬à 3.6. Ïó±òü â»ï®«íåí» ó±«®âèÿ ò宰嬻 2.1 è ±óùå±òâóåò
òàê®å t1 > t0 , ·ò® sup var · (t, ‘) < 1. ’®ã¤à ±è±òå¬à (3) ï°è h = 0
t≥t1 ‘∈[’r,0]
ýê±ï®íåíöèà«üí® ó±ò®©·èâà.
‚ ïà°àã°àôå 3.3 è±±«å¤óåò±ÿ ó±ò®©·èâ®±òü ïå°è®¤è·å±êèµ
íå±òàöè®íà°í»µ ±è±òå¬ ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©, ê®ã¤à ·
 ω-ïå°è®¤è·å±êàÿ ôóíêöèÿ ï® ïå°â®¬ó à°ãó¬åíòó ± ïå°è®¤®¬ ω ≥ r.
Ý⮫þöè®íí»å ®ïå°àò®°» òàêèµ ±è±òå¬ ®á«à¤àþò ±â®©±ò⮬:

T (t + nω, t0 ) = T (t, t0 ) Tn (t0 + ω, t0 ) , t ≥ t0 ,

ã¤å n  öå«®å ﮫ®¦èòå«üí®å ·è±«®. Îïå°àò®° ¬®í®¤°®¬èè U (t0 ) =
T (t0 + ω, t0 ) : Ct0 ([’r, 0] , Rn ) ’ Ct0 ([’r, 0] , Rn ) ÿâ«ÿåò±ÿ ®ã°àíè·åíí»¬.
ϰ失òàâ«åíèå ®ïå°àò®°à U (t0 ) §à¤àåò±ÿ ô®°¬ó«®©
0
(U (t0 ) •t0 ) (‘) = dT (t0 + ω + ‘, t0 + ξ, t0 ) •t0 (ξ) +
’r
+ (V (t0 + ω + ‘, t0 ) ’ T (t0 + ω + ‘, t0 , t0 ) + In ) •t0 (0) , ’r ¤ ‘ ¤ 0.
’å®°å¬à 3.8. Ïó±òü â»ï®«íåí» ó±«®âèÿ ò宰嬻 2.1. Ïå°è®¤è·å±êàÿ
±è±òå¬à (3) ï°è h = 0 ýê±ï®íåíöèà«üí® ó±ò®©·èâà, å±«è °à¤èó± ±ïåêò°à
®ïå°àò®°à ¬®í®¤°®¬èè ¬åíüøå å¤èíèö».
ȱ±«å¤®âàí» íåê®ò®°»å ê«à±±» ïå°è®¤è·å±êèµ ±è±òå¬ ôóíêöè®íà«üí®-
°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè©.
„«ÿ ±è±ò嬻
x (t) = B (t) x (t ’ „ ) ,
ã¤å x ∈ Rn , B  ω-ïå°è®¤è·å±êàÿ ¬àò°èöà, ý«å¬åíò» ê®ò®°®© ÿâ«ÿþò±ÿ
ω
íåï°å°»âí»¬è ôóíêöèÿ¬è, det B (t) = 0, t ∈ R, „ = m , ã¤å
m  íàòó°à«üí®å ·è±«®, í੤åí» ±ïåêò°à«üí®å è °åãó«ÿ°í®å ¬í®¦å±òâà
®ïå°àò®°à ¬®í®¤°®¬èè. “êà§àí» íå®áµ®¤è¬»å è ¤®±òàò®·í»å 󱫮âèÿ
ýê±ï®íåíöèà«üí®© ó±ò®©·èâ®±òè íó«åâ®ã® °åøåíèÿ.
„«ÿ ±êà«ÿ°í®ã® ó°àâíåíèÿ
x (t) = b (t) x (h (t)) ,
ã¤å b  ωïå°è®¤è·å±êàÿ ôóíêöèÿ ± íåï°å°»âí®© ï°®è§â®¤í®©, b (t) = 0,
h (t) = t ’ „ (t), t ∈ R, „  íåï°å°»âíàÿ ωïå°è®¤è·å±êàÿ ôóíêöèÿ,
0 < „ (t) < ω è è¬ååò íåï°å°»âíóþ ï°®è§â®¤íóþ „ (t) < 1 ï°è 0 < t < ω,

„ (0) = ω, „ (+0) < 0, „ (’0) > 0, ï®±ò°®åí ®ïå°àò®° ¬®í®¤°®¬èè, à ¤«ÿ
™ ™
íåã®  ±ïåêò°à«üí®å è °å§®«üâåíòí®å ¬í®¦å±òâà. „«ÿ ýê±ï®íåíöèà«üí®©
ó±ò®©·èâ®±òè ýò®ã® ó°àâíåíèÿ íå®áµ®¤è¬® è ¤®±òàò®·í®, ·ò®á» |b (0)| < 1.
Ðà±±¬®ò°åíà ±è±òå¬à
(6)
x (t) = B (t) x (h (t)) ,
x ∈ Rn , B  íåï°å°»âíàÿ ω-ïå°è®¤è·å±êàÿ ¬àò°è·íàÿ ôóíêöèÿ, det B (t) = 0
ï°è t ∈ [0, ω], h (t) = t ’ „ (t), „  àá±®«þòí® íåï°å°»âíàÿ ω-ïå°è®¤è·å±êàÿ
ôóíêöèÿ ± ï®·òè â±þ¤ó ®ã°àíè·åíí®© ï°®è§â®¤í®©, 0 < „ (t) ¤ ω, „ (t) < 1.

„«ÿ ï°®è§â®«üí®ã® íà·à«üí®ã® ¬®¬åíòà t0 óêà§àí® ï°å¤±òàâ«åíèå
®ïå°àò®°à ¬®í®¤°®¬èè
(U •) (‘) = D (‘) • (u (‘)) , ‘ ∈ [h (t0 ) , t0 ] ,
ã¤å
B (‘) . . . B h(m’2) (‘) , ‘ ∈ [h (t0 ) , ‘0 ) ,
D (‘) =
B (‘) . . . B h(m’1) (‘) , ‘ ∈ [‘0 , t0 ] ,
h(m’1) (ω + ‘) , ‘ ∈ [h (t0 ) , ‘0 ) ,
u (‘) =
h(m) (ω + ‘) , ‘ ∈ [‘0 , t0 ] ,
è ‘0 = h(’m+1) (t0 ) ’ ω, m  íåê®ò®°®å íàòó°à«üí®å ·è±«®, h(k) (k  öå«®å
·è±«®)  k-ÿ èòå°àöèÿ ôóíêöèè h. Ïó±òü ±óùå±òâóåò òàê®å ¤å©±òâèòå«üí®å
·è±«® t0 , ·ò® u(2) (‘0 ) = ‘0 . Ï°å¤ï®«àãàåò±ÿ, ·ò® ±®á±òâåíí»å ·è±«à ¬àò°èö»
Q (‘0 ) = D (‘0 ) D (u (‘0 )) è¬åþò °à§«è·í»å ¬®¤ó«è. Çàíó¬å°óå¬ èµ â
ï®°ÿ¤êå ⮧°à±òàíèÿ ¬®¤ó«å©, ò® å±òü |ρ1 | < ... < |ρn |. ‘ ﮬ®ùüþ ¬åò®¤èêè
°àá®ò»2 ¤®êà§àí® óòâå°¦¤åíèå.
“òâå°¦¤åíèå 3.3. Ïó±òü B  íåï°å°»âíàÿ ω-ïå°è®¤è·å±êàÿ ¬àò-
°è·íàÿ ôóíêöèÿ, det B (t) = 0 ï°è t ∈ [0, ω], h (t) = t ’ „ (t), „  àá±®«þò-
í® íåï°å°»âíàÿ ω-ïå°è®¤è·å±êàÿ ôóíêöèÿ ± ï®·òè â±þ¤ó ®ã°àíè·åíí®©
ï°®è§â®¤í®©, 0 < „ (t) ¤ ω, „ (t) < 1, u(2) (‘0 ) = ‘0 , ‘0 = h(’m+1) (t0 ) ’ ω.

’®ã¤à §íà·åíèÿ ρ ∈ C: |ρk | < |ρ| < |ρk+1 |, 1 ¤ k < n, |ρ| < |ρ1 |, |ρ| > |ρn |
ÿâ«ÿþò±ÿ °åãó«ÿ°í»¬è ò®·êà¬è ®ïå°àò®°à U . Çíà·åíèÿ ρ ∈ C: |ρ| = |ρk |,
ρ = ρk , 1 ¤ k ¤ n, ÿâ«ÿþò±ÿ ò®·êà¬è ®±òàò®·í®ã® ±ïåêò°à ®ïå°àò®°à U .
„«ÿ ýê±ï®íåíöèà«üí®© ó±ò®©·èâ®±òè ±è±ò嬻 (6) íå®áµ®¤è¬® è
¤®±òàò®·í®, ·ò®á» |ρn | < 1.
‚ ïà°àã°àôå 3.4 è±±«å¤óåò±ÿ ó±ò®©·èâ®±òü ¤èíà¬è·å±êèµ ï°®öå±±®â â
¬àòå¬àòè·å±ê®© ¬®¤å«è ï°®è§â®¤±òâà ò®âà°®â, ï°å¤«®¦åíí®© â °àá®òå3 .
Ì®¤å«ü ®ïè±»âàåò±ÿ ±è±ò嬮© ó°àâíåíè©
t
m (t) = a(t) ± („, t) y („ ) m („ ) d„,
(7)
t
p (t) = a(t) m („ ) d„, t > t0 .

Çíà·åíèå m (t) ®ï°å¤å«ÿåò â ¬®¬åíò â°å¬åíè t ±ê®°®±òü 觬åíåíèÿ
ꮫè·å±òâà í®â»µ ï°®¤óêò®â; a (t)  íåêè© â°å¬åíí®© ï®°®ã: â±å ï°®¤óêò»,
±®§¤àíí»å °àíåå ýò®ã® ï®°®ãà, â ¬®¬åíò t íå è±ï®«ü§óþò±ÿ, à ±®§¤àíí»å ï®±«å
ýò®ã® ±°®êà, è±ï®«ü§óþò±ÿ íà 100%; y (t)  °à±ï°å¤å«èòå«üíàÿ ôóíêöèÿ;
p (t)  ꮫè·å±òâ® ôóíêöè®íè°óþùèµ ï°®¤óêò®â â ¬®¬åíò â°å¬åíè t.
Ê®ýôôèöèåíò ± („, t) µà°àêòå°è§óåò ±ê®°®±òü ±®§¤àíèÿ í®â»µ ï°®¤óêò®â â
¬®¬åíò t â °à±·åòå íà å¤èíèöó ýòèµ ï°®¤óêò®â ¤«ÿ ¬®¬åíòà „ . ‚ ±è±òå¬å (7)
y, p, ±  §à¤àíí»å íåï°å°»âí»å íå®ò°èöàòå«üí»å ôóíêöèè â ®á«à±òÿµ R è
R — R ±®®òâåò±òâåíí®.
Ï®¤ °åøåíèå¬ ±è±ò嬻 (7) ï®íè¬àåò±ÿ ±®â®êóïí®±òü íåï°å°»âí»µ
ôóíêöè© m è a, ®ï°å¤å«åíí»µ íà ﮫóèíòå°âà«å [t0 ’ r, +∞), r > 0, è
ó¤®â«åòâ®°ÿþùèµ ±è±òå¬å (7) ï°è t > t0 . Íà íà·à«üí®¬ ¬í®¦å±òâå [t0 ’ r, t0 ]
2 „®«ãè© Þ.”. ‘⮩±òâà ®ïå°àò®°à ¬®í®¤°®¬èè ïå°è®¤è·å±ê®© ±è±ò嬻 ¤èôôå°åíöèà«üí»µ ó°àâ-
íåíè© ± ®òê«®íÿþù謱ÿ à°ãó¬åíò®¬ íå©ò°à«üí®ã® òèïà // ȧâ. âó§®â. Ìàòå¬àòèêà. 1988. N 9. ‘.2330.
3 ëóøê®â ‚.Ì., Èâàí®â ‚.‚., ßíåíê® ‚.Ì. Ì®¤å«è°®âàíèå °à§âèâàþùèµ±ÿ ±è±òå¬. Ì.: Íàóêà, 1983.
ôóíêöèè m è a §à¤àþò±ÿ ±ïåöèà«üí»¬ ®á°à§®¬. Ï°å¤ï®«àãàåò±ÿ òàê¦å, ·ò®
¤«ÿ «þá®ã® °åøåíèÿ ó¤®â«åòâ®°ÿþò±ÿ 󱫮âèÿ m (t) > 0, r ≥ t ’ a (t) > 0
ï°è t ∈ [t0 ’ r, +∞).
Ïó±òü §à¤àí® íåê®ò®°®å íåï°å°»âí®å °åøåíèå m0 (t) , a0 (t), t ∈
[t0 ’ r, +∞) ±è±ò嬻 (7). Ï°å¤ï®«àãàå¬, ·ò® inf m0 (t) > 0, a0 (t) = t ’
t≥t0 ’r
„0 (t), ã¤å inf „0 (t) > 0, sup „0 (t) ¤ r. Ï°è è§ó·åíèè ó±ò®©·èâ®±òè ýò®ã®
t≥t0 ’r t≥t0 ’r
°åøåíèÿ è±ï®«ü§óåò±ÿ ±è±òå¬à «èíå©í®ã® ï°èá«è¦åíèÿ ¤«ÿ ⮧¬óùåíí®ã®
¤âè¦åíèÿ
t
(8)
m (t) = [± („, t) y („ ) ’ ± (a0 (t) , t) y (a0 (t))] m („ ) d„,
a0 (t)
t
1
(9)
a (t) = m („ ) d„.
m0 (a0 (t)) a0 (t)

‘è±òå¬à (8), (9) ¬®¦åò á»òü ®ïè±àíà â ô®°¬å (3) ï°è h = 0, 屫è ﮫ®¦èòü
„ +t
x = (m, a) , ·11 (t, „ ) = t [± (s, t) y (s) ’ ± (a0 (t) , t) y (a0 (t))] ds, ’„0 (t) ¤
„ ¤ 0, ·11 (t, „ ) = ·11 (t, ’„0 (t)), ’r ¤ „ < ’„0 (t), ·12 (t, „ ) = 0, ’r ¤ „ ¤ 0,
1
·22 (t, „ ) = m0 (a0 (t)) „ , ’„0 (t) ¤ „ ¤ 0, ·22 (t, „ ) = ·22 (t, ’„0 (t)), ’r ¤ „ <
’„0 (t), ·21 (t, „ ) = 0, ’r ¤ „ ¤ 0.
Ǥå±ü â»ï®«íåí» ó±«®âèÿ ò宰嬻 ® ±óùå±òâ®âàíèè è å¤èí±òâåíí®±òè
°åøåíèÿ íà·à«üí®© §à¤à·è Ê®øè. “°àâíåíèå (8) ¬®¦í® °à±±¬àò°èâàòü
íå§àâè±è¬® ®ò ó°àâíåíèÿ (9). „«ÿ °åøåíèÿ ±è±ò嬻 (8), (9) è¬ååò ¬å±ò®
íå°àâåí±òâ®
r
|a (t)| ¤ sup |m (t)| , t > t0 .
inf m0 (t) t≥t0 ’r
t≥t0 ’r
’®ã¤à è§ ó±ò®©·èâ®±òè, à±è¬ïò®òè·å±ê®© è«è ýê±ï®íåíöèà«üí®© ó±ò®©-
·èâ®±òè ó°àâíåíèÿ (8) ï® ®òí®øåíèþ ê ⮧¬óùåíèÿ¬ è§ ï°®±ò°àí±òâà
C ([’r, 0] , R) ±«å¤óåò ±®®òâåò±òâóþùàÿ ó±ò®©·èâ®±òü ±è±ò嬻 (8), (9) ï®
®òí®øåíèþ ê ⮧¬óùåíèÿ¬ è§ ï°®±ò°àí±òâà C [’r, 0] , R2 . Ï®ýò®¬ó â
¤à«üíå©øå¬ °à±±¬àò°èâàåò±ÿ §à¤à·à ó±ò®©·èâ®±òè ¤«ÿ ó°àâíåíèÿ (8).
“òâå°¦¤åíèå 3.4. Ïó±òü §à¤àí® íåê®ò®°®å íåï°å°»âí®å °åøåíèå
m0 (t) , a0 (t) , t ∈ [t0 ’ r, +∞) , inf m0 (t) > 0, inf „0 (t) > 0,
t≥t0 ’r t≥t0 ’r
sup „0 (t) ¤ r.
t≥t0 ’r
’®ã¤à ó°àâíåíèå (8) ýê±ï®íåíöèà«üí® ó±ò®©·èâ® ï® ®òí®øåíèþ ê
⮧¬óùåíèÿ¬ íà·à«üí»µ ôóíêöè© è§ ï°®±ò°àí±òâà C ([’r, 0] , R), 屫è
±óùå±òâóåò T > t0 , ¤«ÿ ê®ò®°®ã®
t
sup [± (s, t) y (s) ’ ± (t ’ „0 (t) , t) y (t ’ „0 (t))] ds < 1.
t≥T t’„0 (t)
„à«åå °à±±¬àò°èâàåò±ÿ ±òàöè®íà°íàÿ ¬®¤å«ü, ê®ã¤à y (t) = y0 = const,
p (t) = p0 = const, ± („, t) = ± („ ’ t), ’∞ < „ ¤ t < +∞, ±(s) = ±0 ’ ±1 s,
s ¤ 0, ±0 , ±1 > 0. •à°àêòå°è±òè·å±ê®å ó°àâíåíèå ±òàöè®íà°í®© ¬®¤å«è
è¬ååò âè¤
µ ’»r µr
e ’1 + + 1 = 0, » = 0, µ = ±1 y0 .
»2 »
Í੤åí» ®á«à±òè ó±ò®©·èâ®±òè, ï°è ï®±ò°®åíèè ê®ò®°»µ è±ï®«ü§®â૱ÿ
¬åò®¤ „-°à§áèåíèÿ, à ï°è ꮬïüþòå°í®© °åà«è§àöèè ýò®ã® ¬åò®¤à  ïàêåò
Maple.
Ðà±±¬®ò°åíà ïå°è®¤è·å±êàÿ ¬®¤å«ü, ê®ã¤à ± („, t) = µ = const > 0,
p (t) = p0 = const > 0, t ∈ R, y  íåï°å°»âíàÿ ﮫ®¦èòå«üíàÿ
r’ïå°è®¤è·å±êàÿ ôóíêöèÿ, ò®¦¤å±òâåíí® íå °àâíàÿ ï®±ò®ÿíí®©. ‘è±òå¬à
p0
ó°àâíåíè© (7) è¬ååò °åøåíèå m0 (t) = , a0 (t) = t ’ r, t ∈ R.
r
Ï®«ó·åí ±«å¤óþùè© °å§ó«üòàò: íåíó«åâ®å ·è±«® ρ ∈ C ÿâ«ÿåò±ÿ
±®á±òâåíí»¬ ·è±«®¬ ®ïå°àò®°à ¬®í®¤°®¬èè ó°àâíåíèÿ (8) ò®ã¤à è ò®«üê®
ò®ã¤à, ê®ã¤à ·è±«® z = ρ’1 = 1 ÿâ«ÿåò±ÿ ±®á±òâåíí»¬ ·è±«®¬ ê°àå⮩ §à¤à·è
dx
(10)
J = (H1 (‘, µ) + zH2 ) x, x (’r) = zx (0) ,
d‘
ã¤å x = (x1 , x2 ) ,
0 ’1 ’1 0 10
J= , H1 (‘, µ) = , H2 = .
10 0 ’µdy (‘) /d‘ 00
Ïó±òü ¦ (‘, z, µ), ‘ ∈ [’r, 0],  ôóí¤à¬åíòà«üíàÿ ¬àò°èöà ±è±ò嬻 (10),
¦ (’r, z, µ) = I2 , z ∈ C, µ > 0, I2  å¤èíè·íàÿ ¬àò°èöà. •à°àêòå°è±òè·å±ê®å
ó°àâíåíèå ê°àå⮩ §à¤à·è (10) è¬ååò âè¤
D (z, µ) = z 2 ’ 2zA (z, µ) + 1 = 0, (11)
2
ã¤å A (z, µ) = (•11 (0, z, µ) + •22 (0, z, µ)) /2, ¦ (‘, z, µ) = •ij (‘, z, µ) 1 ,
‘ ∈ [’r, 0], z ∈ C, µ > 0. Çíà·åíèÿ ïà°à¬åò°à µ, ï°è ê®ò®°»µ ê®°íè
µà°àêòå°è±òè·å±ê®ã® ó°àâíåíèÿ (11) ïå°å±åêàþò å¤èíè·íóþ ®ê°ó¦í®±òü,
®ï°å¤å«ÿþò±ÿ è§ ó°àâíåíèÿ
(12)
A (’1, µ) = ’1, µ > 0.
’å®°å¬à 3.13. Ïó±òü íàè¬åíüøè© ï®«®¦èòå«üí»© ê®°åíü µ = µ—
ó°àâíåíèÿ (12) ï°®±ò®©. ’®ã¤à ï°è 0 < µ < µ— ó°àâíåíèå (8) ýê±ï®-
íåíöèà«üí® ó±ò®©·èâ® ï® ®òí®øåíèþ ê ⮧¬óùåíèÿ¬ è§ ï°®±ò°àí±òâà
C [’r, 0], à ï°è µ > µ— íåó±ò®©·èâ®.
Ï“ÁËÈÊÀ–ÈÈ ÏÎ ’…Ì… „È‘‘…Ð’À–ÈÈ
1. Êóêóøêèíà ….‚. ‘óùå±òâ®âàíèå °åøåíèÿ «èíå©í®© ±è±ò嬻 ôóíê-
öè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© // ‘®â°å¬åíí»å ¬åò®¤» òå®°èè ê°àå⻵
§à¤à·. Ìàòå°èà«» ‚‚̘ "Ï®íò°ÿãèí±êèå ·òåíèÿ  XIII". ‚®°®íå¦. 2002.
‘.90.
2. „®«ãè© Þ.”., Êóêóøêèíà ….‚. ϰ失òàâ«åíèÿ °åøåíè© ±òàöè®íà°í»µ
ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© // ȧâ. “°à«ü±ê. óí-òà. 2002. N 22.
‚»ï.4. ‘.6280.
3. „®«ãè© Þ.”., Êóêóøêèíà ….‚. Îáùè© âè¤ °åøåíèÿ íå±òàöè®íà°í®©
±è±ò嬻 ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© // ȧâ. âó§®â. Ìàòå¬àòèêà.
2003. N 7. ‘.2734.
4. Êóêóøêèíà ….‚. ‘óùå±òâ®âàíèå è å¤èí±òâåíí®±òü °åøåíèÿ «èíå©í®©
±è±ò嬻 ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© // ‘®â°å¬åíí»å ¬åò®¤»
òå®°èè ê°àå⻵ §à¤à·. Ìàòå°èà«» ‚‚̘ "Ï®íò°ÿãèí±êèå ·òåíèÿ  XIV".
‚®°®íå¦. 2003. ‘.7172.
5. Êóêóøêèíà ….‚., „®«ãè© Þ.”. ϰ失òàâ«åíèÿ °åøåíè© íå±òàöè®-
íà°í»µ ôóíêöè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© // Àêòóà«üí»å ï°®á«å¬»
±®â°å¬. íàóêè. …±òå±òâ. íàóêè. Ìàòå¬àòèêà. ’°ó¤» 4-© ¬å¦¤óíà°®¤í®©
ê®íô. ¬®«®¤»µ ó·åí»µ è ±òó¤åíò®â. ‘à¬à°à. 2003. ‘.4648.
6. Êóêóøêèíà ….‚. Îáùè© âè¤ °åøåíèÿ íå±òàöè®íà°í®© ±è±ò嬻 ôóíê-
öè®íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© // „èôôå°åíö. ó°àâíåíèÿ è ï°®öå±±»
óï°àâ«åíèÿ. 2004. N 2. ‘.134.
7. Êóêóøêèíà ….‚. Î ï°®¤®«¦è¬®±òè °åøåíè© ±è±ò嬻 ôóíêöè®íà«ü-
í®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© // XXVI Ê®íôå°åíöèÿ ¬®«®¤»µ ó·åí»µ ¬àò.-¬åµ.
ô-òà ÌÓ è¬. Ì.‚. Ë®¬®í®±®âà. ’å§. ¤®ê«. Ì®±êâà. 2004. ‘.68.
8. Êóêóøêèíà ….‚. “±ò®©·èâ®±òü ±òàöè®íà°í»µ ±è±òå¬ ôóíêöè®íà«üí®-
°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© // À«ã®°èò¬è·å±êè© àíà«è§ íåó±ò®©·è⻵ §à¤à·.
’å§. ¤®ê«. ‚±å°®±±è©±ê®© ê®íôå°åíöèè. …êàòå°èíáó°ã. 2004. ‘.182183.
9. Êóêóøêèíà ….‚. Îá ó±ò®©·èâ®±òè ïå°è®¤è·å±êèµ ±è±òå¬ ôóíêöè®-
íà«üí®-°à§í®±òí»µ ó°àâíåíè© // ‘®â°å¬åíí»å ¬åò®¤» òå®°èè ê°àå⻵
§à¤à·. Ìàòå°èà«» ‚‚̘ "Ï®íò°ÿãèí±êèå ·òåíèÿ  XV". ‚®°®íå¦. 2004.
‘.126.
Ï®¤ïè±àí® â ïå·àòü 16.11.04. ”®°¬àò 60—80 1/16.
Áó¬àãà òèï®ã°àô±êàÿ. “±«. ïå·. «. 1.
’è°à¦ 100 ýê§. ÇàêৠN _19_. Ïå·àòü ®ô±åòíàÿ.
…êàòå°èíáó°ã, ó«. Ìà¬èíà-‘èáè°ÿêà, 137,
ê®ïèöåíò° "Ê®ïè°ó±"