nA PRAWAH RUKOPISI


lARION^IKOW rOMAN sERGEEWI^


nekotorye analogi formuly
plan{erelq{rotaha
dlq klassi˜eskih ortogonalxnyh
mnogo˜lenow

sPECIALXNOSTX 01.01.01 | mATEMATI^ESKIJ ANALIZ


awtoreferat
DISSERTACII NA SOISKANIE U^ENOJ STEPENI
KANDIDATA FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK



moskwa - 2004
dISSERTACIQ WYPOLNENA NA KAFEDRE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA
mOSKOWSKOGO TEHNI^ESKOGO UNIWERSITETA SWQZI I INFORMATIKI.
nAU^NYJ RUKOWODITELX | DOKTOR FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK,
PROFESSOR sUETIN p.k.
oFICIALXNYE OPPONENTY:
| DOKTOR FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK,
PROFESSOR oSILENKER b.p.
| KANDIDAT FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK,
DOCENT sOROKIN w.n.



wEDU]AQ ORGANIZACIQ
| iNSTITUT PRIKLADNOJ MATEMATIKI IM. m.w.kELDY A ran
zA]ITA DISSERTACII SOSTOITSQ " 13 " APRELQ 2004 G. W ^. NA ZASE-
DANII DISSERTACIONNOGO SOWETA k 212.133.01 PRI mOSKOWSKOM GOSUDAR-
STWENNOM INSTITUTE \LEKTRONIKI I MATEMATIKI (TEHNI^ESKIJ UNIWER-
SITET) PO ADRESU: G. mOSKWA, b.tREHSWQTITELXSKIJ PER., D.3/12, STR.8,
mgi|m, FAKULXTET PRIKLADNOJ MATEMATIKI, AUD.
s DISSERTACIEJ MOVNO OZNAKOMITXSQ W BIBLIOTEKE mOSKOWSKOGO GO-
SUDARSTWENNOGO INSTITUTA \LEKTRONIKI I MATEMATIKI.
aWTOREFERAT RAZOSLAN " 9 " MARTA 2004 G.

u^ENYJ SEKRETARX DISSERTACIONNOGO SOWETA k 212.133.01
KANDIDAT FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK
DOCENT
e.r.hAKIMULLIN
oB]AQ HARAKTERISTIKA RABOTY.
aKTUALXNOSTX TEMY.
kLASSI^ESKIE ORTOGONALXNYE MNOGO^LENY (kom), T.E. MNOGO^LENY
˜EBY EWA, lEVANDRA, ˜EBY EWA{|RMITA, ˜EBY EWA{lAGERRA I OB]IE
MNOGO^LENY qKOBI, IROKO PRIMENQ@TSQ W WY^ISLITELXNOJ MATEMATI-
KE, W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE, W TEORETI^ESKOJ FIZIKE, W KWANTOWOJ ME-
HANIKE, A TAKVE WO MNOGIH TEHNI^ESKIH NAUKAH (W TEORII AWTOMATI^ES-
KOGO REGULIROWANIQ I UPRAWLENIQ, W TEORII ANTENN). pRI \TOM WO MNO-
GIH SLU^AQH WOZNIKAET WOPROS OB USLOWIQH RAZLOVENIQ FUNKCIJ W RQDY
fURXE PO kom. aSIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ kom QWLQ@TSQ \FFEK-
TIWNYM INSTRUMENTOM PRI RE ENII TAKOGO RODA ZADA^ 7, 8, 10, 16].
aSIMPTOTI^ESKIE SWOJSTWA ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW AKTIWNO ISSLE-
DU@TSQ WO MNOGIH RABOTAH PO TEORII SPECIALXNYH FUNKCIJ I PO TEORII
ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW 1, 7, 8, 12, 11, 14, 15, 17, 19, 20].
tAKIM OBRAZOM, TEMA DISSERTACII PREDSTAWLQETSQ AKTUALXNOJ I AK-
TIWNO RAZRABATYWAEMOJ SOWREMENNYMI MATEMATIKAMI.
cELX RABOTY.
pRI ISSLEDOWANII ASIMPTOTI^ESKIH SWOJSTW kom PRIMENQ@TSQ ME-
TODY lIUWILLQ{sTEKLOWA, dARBU, sEGE, METOD PEREWALA I DRUGIE ME-
TODY 7, 8]. cELX@ DISSERTACII QWLQETSQ PRIMENENIE IZWESTNOJ LEMMY
m.w. fEDOR@KA 2] DLQ ISSLEDOWANIQ ASIMPTOTI^ESKIH SWOJSTW kom I
POLU^ENIE S POMO]X@ \TOJ LEMMY NOWYH ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL.
oB]AQ METODIKA WYPOLNENIQ ISSLEDOWANIQ.
w RABOTE ISPOLXZUETSQ METOD POSLEDOWATELXNYH PRIBLIVENIJ (mpp)
4], SOWREMENNYE REZULXTATY TEORII OBYKNOWENNYH LINEJNYH DIFFE-
RENCIALXNYH URAWNENIJ 2, 9]. nAIBOLEE INTENSIWNO ISPOLXZU@TSQ OB_-
EKTY MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, W ^ASTNOSTI, RQDY tEJLORA \LEMENTAR-
NYH FUNKCIJ 3, 5].
nAU^NAQ NOWIZNA.
oSNOWNYMI REZULXTATAMI RABOTY QWLQ@TSQ:
1. fORMULIROWKA I DOKAZATELXSTWO ANALOGOW LEMMY m.w. fEDOR@KA.
pRI \TOM DA@TSQ OCENKI DLQ ^ASTNYH RE ENIJ DIFFERENCIALXNOGO
rABOTA WYPOLNENA PRI PODDERVKE rffi, GRANTY I
01-01-00051 04-01-00192.

1
URAWNENIQ
yxx ; Q(x )y = 0 (1)
00




GDE { PARAMETR, Q(x ) 6= 0, x 2 a b] ILI x 2 1 +1).
2. pRIMENENIE ANALOGOW LEMMY m.w. fEDOR@KA W SLU^AE, KOGDA URAW-
NENI@ (1) UDOWLETWORQ@T kom. wYWODQTSQ ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY
DLQ
c
A) MNOGO^LENOW ˜EBY pEWA{|RMITA (m˜|) Hn(x) I IH PROIZWODNYH
p2n + 1 +1)
W SLU^AQH, KOGDA x 2 0 2n + 1) I x 2 (
B) MNOGO^LENOW qKOBI (mq) Pn(x ) > ;1 > ;1 I IH PROIZ-
WODNYH PRI x 2 ;1 + 1 ; ] > 0
W) MNOGO^LENOW lEVANDRA (ml) Pn(x) I IH PROIZWODNYH PRI x 2
;1 + 1 ; ] > 0
b
G) MNOGO^LENOW ˜EBY EWA{lAGERRA (m˜l) Ln(x ) > ;1 I IH
PROIZWODNYH PRI x > 4n + 2 + 2.
3. pOLU^ENIE ^ISLENNYH OCENOK DLQ OSTATO^NYH ^LENOW ASIMPTOTI-
^ESKIH FORMUL DLQ m˜|, ml, m˜l I PROIZWODNYH m˜|, ml I m˜l.
4. pOLU^ENIE WESOWYH OCENOK DLQ m˜| I m˜l. dOKAZYWAEMYE WESO-
WYE OCENKI ISPOLXZU@TSQ W TEORII RQDOW fURXE PO kom.
tEORETI^ESKAQ I PRAKTI^ESKAQ CENNOSTX.
tEORETI^ESKAQ ZNA^IMOSTX RABOTY ZAKL@^AETSQ W RAZWITII ASIMPTO-
TI^ESKIH METODOW, PRIMENQEMYH DLQ ISSLEDOWANIQ SPECIALXNYH FUNK-
CIJ. lEMMA m.w. fEDOR@KA WPERWYE PRIMENENA DLQ kom. rEZULXTATY
RABOTY MOGUT SLUVITX DLQ ISSLEDOWANIQ RQDOW fURXE PO kom.
pRAKTI^ESKAQ ZNA^IMOSTX RABOTY SOSTOIT W POLU^ENII KONKRETNYH
ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL DLQ kom I ^ISLENNYH OCENOK IH OSTATO^NYH
^LENOW.
aPROBACIQ REZULXTATOW.
rEZULXTATY DISSERTACII DOKLADYWALISX NA NAU^NOM SEMINARE "iZ-
BRANNYE WOPROSY TEORII FUNKCIJ", PROWODIMOM NA MEHANIKO{MATE-
MATI^ESKOM FAKULXTETE mgu, (RUKOWODITELX SEMINARA { PROFESSOR
a.i. aPTEKAREW) (2003 G.), NA XXIII kONFERENCII MOLODYH U^ENYH ME-
2
HANIKO{MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA mgu (2001 G.), NA 8{J WSEROS-
SIJSKOJ MEVWUZOWSKOJ NAU^NO{TEHNI^ESKOJ KONFERENCII STUDENTOW I
ASPIRANTOW "mIKRO\LEKTRONIKA I INFORMATIKA { 2001" (mi|t, 2001 G.),
NA nAU^NYH KONFERENCIQH PROFESSORSKO{PREPODAWATELXSKOGO, NAU^NO-
GO I INVENERNO{TEHNI^ESKOGO SOSTAWA mtusi (2001 G., 2003 G.).
pUBLIKACII.
oSNOWNYE REZULXTATY OPUBLIKOWANY W 5 RABOTAH I 2 RABOTY NAHO-
DQTSQ W PE^ATI.
sTRUKTURA I OB_EM RABOTY.
dISSERTACIQ SOSTOIT IZ WWEDENIQ, PQTI GLAW, ZAKL@^ENIQ I SPISKA
LITERATURY. pOLNYJ OB_EM DISSERTACII { 108 STRANIC, BIBLIOGRAFIQ
WKL@^AET 27 NAIMENOWANIJ.
sODERVANIE RABOTY.
wO WWEDENII OBOSNOWYWAETSQ TEORETI^ESKAQ ZNA^IMOSTX ISSLEDUE-
MYH OB_EKTOW, PROWODITSQ KRATKIJ OBZOR SU]ESTWU@]IH METODOW I RE-
ZULXTATOW, DAETSQ OPISANIE ISTORII FORMULY pLAN ERELQ{rOTAHA DLQ
m˜|.
w PERWOJ GLAWE RASSMATRIWAETSQ LINEJNOE DIFFERENCIALXNOE URAW-
NENIE WTOROGO PORQDKA (1) pRI NEKOTORYH USLOWIQH NA Q(x ) MOVNO
GOWORITX O SU]ESTWOWANII RE ENIQ URAWNENIQ (1) (SM. 2, 6]). dLQ SLU-
^AEW x 2 a b] I x 2 1 +1) DOKAZYWA@TSQ DWE LEMMY, QWLQ@]IESQ
OBOB]ENIQMI LEMMY m.w. fEDOR@KA.
wTORAQ GLAWA POSWQ]ENA ISSLEDOWANI@ ASIMPTOTI^ESKIH SWOJSTW
ORTONORMIROWANNYH m˜|.
c
fUNKCII e =2Hn(s) UDOWLETWORQ@T DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@
2
;s



7, 8]
yss + (2n + 1 ; s2)y = 0 s 2 R: (2)
00




|TO SWOJSTWO POZWOLQET PRIMENITX LEMMU GLAWY 1 K URAWNENI@ (2)
NApOGRANI^ENNOM OTREZKE, SODERVA]EM NULX I NE SODERVA]EM TO^EK
2n + 1. s POMO]X@ LEMMY STROQTSQ DWA ^ASTNYH RE ENIQ y1 n =
y1 n(s) I y2 n = y2 n(s) URAWNENIQ (2) NA \TOM OTREZKE I DOKAZYWAETSQ IH
3
LINEJNAQ NEZAWISIMOSTX. sOGLASNO IZWESTNOJ TEOREME IZ TEORII OBYK-
NOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ 6] MOVNO PODOBRATX TAKIE KO-
c
\FFICIENTY C1(n) C2(n), ^TO e =2Hn(s) = C1(n)y1 n(s) + C2(n)y2 n(s)
2
;s



NA RASSMATRIWAEMOM OTREZKE. s POMO]X@ \TOGO FAKTA DOKAZYWAETSQ
SLEDU@]AQ TEOREMA.
pUSTX
s
10s 1
A(s n) = 4(2n + 1 ; s2)3=2 ; 5s B(s n) = 2 (2n + 1 ; s2)3=2 :
tEOREMA 2.1. pRI USLOWIQH n 2 s 0,
5 s!2=3 < 2n + 1
s2 + 4 (3)

j(B(s n) + 1)(A(s n) + 1)2 ; 1j < 1 (4)
SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY:
v
u2
cn(s) = u Kn p 1
t
1) e H
2 =2
;s


2n + 1 ; s2
4

Zs q n + q (s n) 1 + "1(n) (5)
2n + 1 ; d ; 2
cos 2
1 + p(s n)
1
0

GDE
8 q 2n+1
> 4 2n PRI n = 2m
<r
Kn = > 4 2n PRI n = 2m + 1:
: 2n+1
v
u2 p
cn(s) = u Kn 4 2n + 1 ; s2
t
eH
0
2 =2
;s
2)

Zs q
2n + 1 ; 2d ; 2n + q2(s n) 11+ p(s(n) (6)
+ "1
; sin n)
0




4
p
v
u2
Hn(s) = t Kn;1 p 2n 2
u
c
3) se
2 =2
;s


2n ; 1 ; s
4

Zs q
2n ; 1 ; 2d ; 2 + q1(s n ; 1) 11+ p(s(n ; 1) ;
n + "1
; sin n ; 1)
v
0
u2 p
u
; t K 2n + 1 ; s2 4
n

Zs q n + q (s n) 1 + "1(n) : (7)
; sin 2n + 1 ; d ; 2
2
1 + p(s n)
2
0

oBLASTX OPREDELENIQ FORMULY (7) OGRANI^ENA USLOWIQMI (3) I (4)
S ZAMENOJ W NIH n NA n ; 1 (n 3).
dLQ FUNKCIJ "1(n), p(s n), q1 (s n), q2 (s n) DANY KONKRETNYE ^ISLEN-
NYE OCENKI.
s POMO]X@ FORMULY 8]
c c
Hn(;s) = (;1)nHn(s) (8)
s < 0.
FORMULY MOGUT BYTX WIDOIZMENENY DLQ
(5), (6), (7)
p
w SLU^AE s > 2n + 1 S POMO]X@ LEMMY PERWOJ GLAWY STROIT-
SQ RE ENIE yn(s), OPREDELENNOE I OGRANI^ENNOE PO s NA POLUOTREZKE
p
a(n) +1), GDE a(n) > 2n + 1. pO IZWESTNOJ TEOREME IZ TEORII OBYK-
NOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ ( 2, 6]) SU]ESTWUET KO\FFICI-
c
ENT C(n) TAKOJ, ^TO e =2Hn(s) = C(n)yn(s)8s 2 a(n) +1).
2
;s




tEOREMA 2.2. pRI n 1 SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE ASIMPTOTI^ESKIE
FORMULY:
p
1
p
s+ p ;(2n+1)
cn(s) = s 2
ss
H e 2 ;(2n+1)+ 2n+1
q
2 ln
;s =2 ;
2 2 2n+1
1=2 s2 ; (2n + 1)
1)e
(2 ) 4


1 + (s 2n + 1)
(1 + (+1 2n + 1))(1 + "2(n)) (9)


5
!
r
s2 2n + 1 + (2(2n + 1))1=3 +1
GDE ,

q
s ; (2n + 1) e ps
4 p
s+ p2 ;(2n+1)
2
c s
e =2Hn(s) s = ; (2 )1=2
s 2 ;(2n+1)+ 2n+1
2 0
ln
;
;s 2 2 2n+1
2)


1 + (s 2n + 1) (10)
(1 + (+1 2n + 1))(1 + "2(n))
!
r
s2 (2n + 1) + (2(2n + 1))1=3 +1 .
GDE
FUNKCIJ "2(n), (s 2n + 1), (+1 2n + 1), (s 2n + 1)
dLQ DANY

c (s) = p2nHn;1(s), 8s 2 R,
KONKRETNYE ^ISLENNYE OCENKI.
c
pRIMENENIE IZWESTNOJ FORMULY 7, 8] Hn 0



K (9) I (10) DAET NOWU@ ASIMPTOTI^ESKU@ FORMULU. oNA I FORMU-
LY (9) I (10) S POMO]X@ FORMULY (8) MOGUT BYTX WIDOIZMENENY DLQ
SLU^AQ OTRICATELXNYH s.
tRETXQ GLAWA POSWQ]AETSQ WOPROSAM ISSLEDOWANIQ STANDARTIZO-
WANNYH mq. dLQ FUNKCIJ u = sin 2 +1=2 cos 2 +1=2 Pn(cos ) SPRA-
WEDLIWO 8]
21 !23
4 4 ; 2 + 4 ; + n + + + 1 5 u = 0 2 (0 ):
1
2 2
u+00

2
4 sin 4 cos22 2
nA OTREZKE " ; "] " > 0 K \TOMU URAWNENI@ MOVNO PRIMENITX LEM-
MU PERWOJ GLAWY. rASSUVDENIQ, ANALOGI^NYE PROWEDENNYM PRI DOKAZA-
TELXSTWE TEOREMY 2.1, W \TOM SLU^AE DA@T SLEDU@]IJ REZULXTAT.
pUSTX > ;1 > ;1. oBOZNA^IM
; 2 B = 1 ; 2 N =n+ + +1
1
A= 4 4
4 4 2
2 3
4 A + B + N 25
Q(cos N) = ; 2
sin cos
2
2 2

Zq
jQ(cos N)jd':
I( ) = I( n )= (11)
=2
6
tEOREMA 3.1. pUSTX 0 < " < =2. tOGDA 9n1 = n1(" ) 8n n1 NA
" ; "] SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE FORMULY:
OTREZKE
! !
+1=2 +1=2
Pn(cos
sin 2 cos 2 )=
2 ( 1 !) +
1 6 (n) cos I( ) + O
=q 4C1
jQ(cos N)j n
3
4


!)3
(
+ C2(n) sin I( ) + O 13 7 (12)
5
n
2 3
! !
+1=2 +1=2 0

4 sin )5 =
Pn(cos
cos 2
2
2 ( 1 !) +
q
N)j6 1(n) ; sin I( ) + O 3
= jQ(cos 4C
4

n
!)3
(
+ C2(n) cos I( ) + O 13 7 (13)
5
n
GDE
2
1 !! ;
q
C1(n) = 2 2 6 n(0 ) jQ(0 N)j 1 + O n3
+ +1
4P 4
;




!3
(; )
q1 1 7 (14)
; 2 Pn(0 ) ; Pn(0 ) O n3 50


jQ(0 N)j 4



2( )
; P (0
+ +1 6
) ; Pn(0
C2(n) = 2 2 4 )
; 0

2n
!3
1 !! q
1 N)jO 13 7 (15)
) jQ(0
1 + O n3 + Pn(0
q 5:
4

jQ(0 N)j n
4




7
2
oCENKI W FORMULAH (12) I (13) QWLQ@TSQ RAWNOMERNYMI PO
" ; "]. oCENKI W FORMULAH (12) { (15) NE QWLQ@TSQ RAWNOMERNYMI
PO ".
dALEE W \TOJ GLAWE DLQ INTEGRALA (11) WYWODITSQ TO^NOE WYRAVENIE
W \LEMENTARNYH FUNKCIQH.
oBOZNA^IM t1 I t2 { KORNI MNOGO^LENA
;N 2t2 + 2(A ; B)t + 2(A + B) + N 2
PRI^EM t1 < t2. pUSTX
v
u t2 ; t
u
x(t) = t t ; t ( ) = arctg x(cos ) ; arctg x(0)
1

r r
2 3
q
;(1 + t1)(1 + t2) 6 x(cos ) ; r 1+t21 x(0) ; 1+t2
7
'1 ( ) = ; ; ln r
4ln 5
;1;t1
;1;t


4 x(cos ) + x(0) + 1+t
1+t 2 2
;1;t1 ;1;t1



r r
2 3
q
(1 ; t1)(t2 ; 1) 6 x(cos ) ; r t1;t1 x(0) ; t2 ;1
2 ;1

7
; ln
'2( ) = 1;t1
r
4ln 5
4 x(cos ) + x(0) + t1;t
t 2 ;1 2 ;1
1;t1 1


2
q v
u1 + t
(1 + t1)(1 + t2) 6 u
4arctgft
( )=; x(cos )g ;
1
1 + t2
2
1

3
v
u1 + t
u
; arctgft 1 x(0)g7
5
1 + t2
2
q v
u1 ; t
(1 ; t1)(1 ; t2) 6 u
( )=; 4arctgft x(cos )g ;
1
1 ; t2
2
2

3
v
u1 ; t
; arctgfu 1 x(0)g7
t 5:
1 ; t2
8
tEOREMA 3.2. 8" > 0, " 2 (0 =2), 9n2 = n2(" ) 8n n2 SPRAWED-
LIWY SLEDU@]IE FORMULY
8
> 2N ( ) + '1( ) + '2( )] PRI < 1=2
+
2 2
>
>
> 2N > 1=2
( ) + 1( ) + 2( )] PRI +
2 2
>
<
; 2 PRI 2 = 2 = 1=4
I( ) = > N
> 2N = 1=2 j j > j j
( ) + '1( ) + 2( )] PRI +
> 2 2
>
> 2N = 1=2 j j < j j
: ( ) + 1( ) + '2( )] PRI +
2 2


2 " ; "].
GDE
oTME^AETSQ, ^TO W SLU^AQH MNOGO^LENOW ˜EBY EWA I RODA ( = =
;1=2) I MNOGO^LENOW ˜EBY EWA II RODA ( = = 1=2) FORMULA (12)
PRIWODIT K IZWESTNOMU OPREDELENI@ \TIH MNOGO^LENOW NA INTERWALE
(;1 1).
oTDELXNO W \TOJ GLAWE RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ ml ( = = 0).
zDESX MOVNO WYWESTI BOLEE TO^NYE FORMULY.
pUSTX
0 !21
j ; 2 j @1 + 6 n + 1 A
( )= 2
n
64 n + 1 5 sin6
2


4 n( )
n( ) =
1 ; 2 n( )
1 n + 1 ! (1 + ( ));3


n( ) = n( ) +
2
8 sin3 n


tEOREMA 3.3. pRI USLOWIQH n( ) < 1=2 n 2 I
j n( )j + j n( )j + j n( ) n( )j < 1
GDE 2 (0 ), SPRAWEDLIWY FORMULY
v
u2 1
u
Pn(cos ) = t r
1) (sin )
1=2

+ n+ 2 2
4 1 1
4 sin2
9
! 1 q1 + (2n + 1)2 sin2 ; j cos j
0
@cos sign ; ln q +
2 sin2 + j cos j
2 4 1 + (2n + 1)
q 1
; ; n + n +Rn( )A 1 + "(n)
+ 2n + 1 arctg 1 + (2n + 1)
2 sin2

(2n + 1)j cos j
2 4 2 2 1+ ()
n

vv
i u2u 1 1 !2
h uu
Pn(cos ) = t t 4 sin2 + n + 2
2) (sin )
4
1=2 0




! 1 q1 + (2n + 1)2 sin2 ; j cos j
0
@; sin sign ;
4 1 + (2n + 1)2 sin2 + j cos j +
ln q
2
q 1
; ; n + n +Sn( )A 1 + "(n) :
+ 2n + 1 arctg 1 + (2n + 1)
2 sin2

(2n + 1)j cos j
2 42 2 1 + n( )
"(n), n( ), Rn( ), Sn( ) DANY KONKRETNYE ^ISLENNYE
dLQ FUNKCIJ
OCENKI.
w ^ETWERTOJ GLAWE RASSMATRIWA@TSQ ORTONORMIROWANNYE m˜l.
b
iZWESTNO, ^TO FUNKCII w = e =2s +1=2Ln(s2 ) UDOWLETWORQ@T DIF-
2
;s



FERENCIALXNOMU URAWNENI@ 7]
0 1
wss + @4n + 2 + 2 ; s2 + 4 ;2 A w = 0:
1 2
(16)
00

s
aNALOGI^NO DOKAZATELXSTWU TEOREMY 2.2 RASSMATRIWAETSQ PRIMENENIE
LEMMY PERWOJ GLAWY K URAWNENI@ (16) NA BESKONE^NOM POLUOTREZKE.
oBOZNA^IM 8
> + 41 2 ; 1 17 + (s s )
> 3 3
s
> 3
>
2; 3=2 2; 3=2
4
4 (s )
PRI j j > 23
> 1
<
E(s ) = > 1 2 3 2
4 5 3 64 3 4 5 1
488 + +4 8+
2
> 3 3
2584s s 4;
> (s ) (s )
3
>
3=2 3=2
12675 65
2 ; 65 2 ; 65
> 64 64
PRI j j < 2
: 1

p p
D 7(s ) ; ln 7(s ) + 1 ; ; D K( (s2))
2 2
I1(s) = 2( 2(s2) ; 1) 4 (s2) ; 1 2 7
7
7


10
v
u
1! ut ; p

u D
)=u
;4 ;4
;

D = D( )= (t) = 7(t
2 2
t 2
t;
7 p
+D
2

q ;pD
8r
> 1 + D y; +pD
> ; 1=4 > 0
p

ln y+q ;pD
<2 2
p p

K(y) = > r D
> D+ arctg yr D+
;
+D

; 1=4 < 0:
p p

: 2
p p
D; D;

tEOREMA 4.1. eSLI n 1 > ;1 2 6= 4 ; 1 1 s2 > =
1 65
2
4 64
4n + 2 + 2 E(s ) < 1=2, TO SPRAWEDLIWY FORMULY
b n(s2 ) = D 1 1
=8
e s L q r
2 =2 +1=2
;s

2 e n!;( + n + 1) s2 ; +
1)
=2 =4 2 ;1=4
4

0p
2
s
1
exp @ D2; K(1)A exp (;I1(s)) 1 1 + (+1 ) )
(s
+
r
D qs2 ; + s
2 ;1=4
4
=8
=2 +1=2 b
s Ln(s ) s = ; 2 =2e =4
2) e
2
2 0
2
;s


n!;( + n + 1)
0p 1
exp @ D2; K(1)A exp (;I1(s)) 1 1 + (+1 ) ) :
(s
+
dLQ FUNKCIJ (s ), (s ) (+1 ) DANY KONKRETNYE ^ISLENNYE OCEN-
KI.
w KONCE GLAWY ISSLEDUETSQ POWEDENIE KO\FFICIENTA K(1) PRI n !
+1.
uTWERVDENIE 4.1. eSLI > ;1 0 < ;4 1 = 4n+2 +2 n
1
2

1, TO
;4 >0
1
2
PRI
1)


;2
2
K(1) = (;1) (1 + 1( )) 0 < 1( ) < 3( 4 ; 6 2 + 2)
GDE

11
;4 <0
1
2
PRI
2)


2 4 ; 2 1=2
1
(1 + 2( )) GDE j 2( )j < ( 2 ; 1) :
K(1) =
2 1; 1=2
2
4
w PQTOJ GLAWE DAETSQ RE ENIE NEKOTORYH ZADA^, SFORMULIROWAN-
NYH W STATXE 20]
zADA^A 1. nAJTI POSLEDOWATELXNOSTX fAngn2N MAKSIMALXNOGO ROSTA
TAKU@, ^TO WYPOLNENO NERAWENSTWO
C1
c
Hn(x) e =2 n1=4 x 2 ;An An]: (17)
2
;x




zADA^A 2. nAJTI NAIMENX EE !, DLQ KOTOROGO SPRAWEDLIWO NERAWEN-
STWO
c
Hn(x) =2 C2(!)
x 2 R:
e 2

1 + jxj
;x

n
! 1=4

zADA^A 3. nAJTI POSLEDOWATELXNOSTX fBngn2N MAKSIMALXNOGO ROSTA
TAKU@, ^TO WYPOLNENO NERAWENSTWO
C3( ) > ;1=2 x 2 0 B ]:
xb
x e Ln(x ) n1=4 (18)
1
+ ;
2 4 2
n

w ZADA^AH IMEETSQ W WIDU, ^TO C1 C2(!) C3( ) { NEKOTORYE KONSTANTY,
NE ZAWISQ]IE OT n.
dOKAZANO SLEDU@]EE.
tEOREMA 5.1. nERAWENSTWO WYPOLNENO TOGDA I TOLXKO TOGDA,
(18)

KOGDA WYPOLNENO USLOWIE

lim Bn < 4:
n!+1 n

sLEDSTWIE 5.1. nERAWENSTWO WYPOLNENO TOGDA I TOLXKO TOGDA,
(17)

KOGDA WYPOLNENO USLOWIE
An < p2:
lim p
n!+1 n


12
w KONCE GLAWY DLQ ZADA^I 2 DOKAZYWAETSQ, ^TO ! = 1=3.
aWTOR WYRAVAET GLUBOKU@ PRIZNATELXNOSTX SWOEMU NAU^NOMU RUKO-
WODITEL@ DOKTORU FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK PROFESSORU sUETINU
pAWLU kONDRATXEWI^U ZA POSTANOWKU ZADA^ I CENNYE ZAME^ANIQ W PRO-
CESSE RABOTY.




13
rABOTY AWTORA PO TEME DISSERTACII:
1] lARION^IKOW r.s. oB ODNOJ NOWOJ ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULE DLQ
MNOGO^LENOW qKOBI// tRUDY XXIII kONFERENCII MOLODYH U^ENYH ME-
HANIKO{MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA mgu (9{14 APRELQ 2001 G.) { m.:
mEH.{MAT. mgu, 2001. { s 229{232.
2] lARION^IKOW r.s. wESOWAQ OCENKA MNOGO^LENOW ˜EBY EWA{lAGERRA
NA RAS IRQ@]IHSQ SEGMENTAH// mIKRO\LEKTRONIKA I INFORMATIKA {
2001. wOSXMAQ WSEROSSIJSKAQ MEVWUZOWSKAQ NAUNO{TEHNI^ESKAQ KONFE-
RENCIQ STUDENTOW I ASPIRANTOW. { m.: mi|t, 2001. { s. 145.
3] lARION^IKOW r.s. aNALOG FORMULY pLAN ERELQ-rOTAHA DLQ PRO-
IZWODNYH FUNKCIJ ˜EBY EWA-|RMITA// X MEVDUNARODNAQ KONFEREN-
CIQ "mATEMATIKA.|KONOMIKA.oBRAZOWANIE". II MEVDUNARODNYJ SIMPO-
ZIUM "rQDY fURXE I IH PRILOVENIQ". tEZISY DOKLADOW. { rOSTOW{NA{
dONU: siw, 2002. { s. 33.
4] lARION^IKOW r.s. fORMULA pLAN ERELQ-rOTAHA DLQ FUNKCIJ ˜E-
BY EWA-|RMITA NA SUVA@]IHSQ K BESKONE^NOSTI POLUINTERWALAH//
mATEMATI^ESKIE ZAMETKI. { 2002. { tOM 72. { wYP. 1. { s 74-83.
5] lARION^IKOW r.s. aSIMPTOTI^ESKAQ FORMULA DLQ MNOGO^LENOW
lEVANDRA// mATERIALY X mEVDUNARODNOJ NAU^NOJ KOFERENCII STU-
DENTOW, ASPIRANTOW I MOLODYH U^ENYH "lOMONOSOW", 15-18 APRELQ 2003
G. { m.: iZD-WO mgu, 2003. { s. 305.
sPISOK OSNOWNOJ LITERATURY PO TEME DISSERTACII
1] bOGOL@BOW a.n., kRAWCOW w.w. zADA^I PO MATEMATI^ESKOJ FIZIKE.
{ m.: iZD-WO mgu, 1998. { 350 S.
2] wAZOW w. aSIMPTOTI^ESKIE RAZLOVENIQ RE ENIJ OBYKNOWENNYH
DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. { m.: mIR, 1968. { 464 S.
3] kAMYNIN l.i. kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. tOM 2. { m.: iZD-WO
mgu, 1995. { 624 S.

14
4] kOLMOGOROW a.n., fOMIN s.w. |LEMENTY TEORII FUNKCIJ I FUNK-
CIONALXNOGO ANALIZA. { 3-E IZD. { m.: nAUKA, 1972. { 496 S.
5] nIKOLXSKIJ C.m. kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. tOM 1. { m.: nA-
UKA, 1973. { 432 S.
6] pETROWSKIJ i.g. lEKCII PO TEORII OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALX-
NYH URAWNENIJ. { m.: iZD-WO mgu, 1984.
7] sEGE g. oRTOGONALXNYE MNOGO^LENY. { m.: fIZMATGIZ, 1962. { 500 S.
8] sUETIN p.k. kLASSI^ESKIE ORTOGONALXNYE MNOGO^LENY. { 2-E IZD.
{ m.: nAUKA, 1979.
9] fEDOR@K m.w. aSIMPTOTI^ESKIE METODY DLQ LINEJNYH OBYKNOWEN-
NYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. { m.: nAUKA, 1983. { 352 S.
10] Askey R., Wainger S. Mean convergence of expansions in Laguerre and
Hermite series// Amer. J. Math. { 1965. { Vol. 87. { Pp. 695{708.
11] Erdelyi A. Asymptotic forms for Laguerre polynomials// J. Indian
Math. Soc. { 1960. { Vol. 24. { Pp. 235{250.
12] Erdelyi A. Asymptotic solutions of di erential equations with
transition points or singularities// Journal of Math. Phys. { 1960.
{ Vol. 1. { N 1. { Pp. 16{26.
13] Je reys H., Je reys B. Methods of mathematical physics. { 3d ed. {
Cambridge, Univ.press, 1972. { 718 p.
14] Igashov S.Yu. Asymptotic approximation and weight estimate for the
Laguerre polynomials// Integral Transforms and Special Functions. {
1999. { Vol. 8. { N 3-4. { Pp. 209-216.
15] Moecklin E. Asymptotische Entwicklungen der Laguerreschen
Polynome// Commentarii Math. Helvetici. { 1934. { Vol. 7. { Pp. 24-
46.
16] Muckenhoupt B. Mean convergence of Hermite and Laguerre series.
I// Trans. Amer. Math. Soc. { feb. 1970. { Vol. 147. { Pp. 419-431.
15
17] Plancherel M., Rotach W. Sur. les valeurs asymptotiques des
polynomes d'Hermite Hn(x) = (;1)nex =2 dxnn e =2// Commentarii
2 2
d
;x



Math. Helvetici. { 1929. { Vol. 1. { Pp. 227-254.
18] Reinhard M. On Stirling's formula. { Amer. Math. Mon. { 2002. {
Vol. 109. { N 4. { Pp. 388{390.
19] Scovgaard H. Asymptotic forms of Hermite polynomials// Technical
Report 18, Contract Nonr-220(11). { Department of Mathematics,
California Institute of Technology. { 1959.
20] Suetin P.K. The weight estimates for classical orthogonal
polynomials// Integral Transforms and Special Functions. { 1994. {
Vol. 2. { N. 3. { Pp. 239-242.




16