Íà ï°àâൠ°óê®ïè±è


Ëåï·èí±êè© Ìèµàè« Ãå°¬àí®âè·


“„Ê 517.95


‘“™…‘’‚΂ÀÍÈ… È “‘’ÎɗȂΑ’Ü
Ð…˜…ÍÈÉ ÊÐÀ…‚Û• ÇÀ„À—
ÝËËÈÏ’È—…‘ÊÎÃÎ ’ÈÏÀ
‘ ÐÀÇÐÛ‚ÍÛÌÈ Í…ËÈÍ…ÉÍΑ’ßÌÈ


01.01.02  ¤èôôå°åíöèà«üí»å ó°àâíåíèÿ



À‚’ÎÐ…”…ÐÀ’
¤è±±å°òàöèè íà ±®è±êàíèå ó·åí®© ±òåïåíè
êàí¤è¤àòà ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê




…ÊÀ’…ÐÈÍÁ“ÐÃ  2005
Ðàá®òà â»ï®«íåíà â —å«ÿáèí±ê®¬ ã®±ó¤à°±òâåíí®¬ óíèâå°±èòåòå
íà êàô夰å ⻷豫èòå«üí®© ¬àòå¬àòèêè



Íàó·í»© °óê®â®¤èòå«ü ¤®êò®° ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê,
ï°®ôå±±®° ‚.Í. Ïàâ«åíê®
Îôèöèà«üí»å ®ïï®íåíò» ¤®êò®° ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê,
ï°®ôå±±®° À.È. Ê®°®òêè©
¤®êò®° ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê,
¤®öåíò À.Ð. „àíè«èí
‚å¤óùàÿ ®°ãàíè§àöèÿ Þ¦í®-“°à«ü±êè© ã®±ó¤à°±òâåíí»©
óíèâå°±èòåò



Çàùèòà ±®±ò®èò±ÿ "...."............... 2005 㮤à â ... ·. ... ¬èí. íà §à±å-
¤àíèè ¤è±±å°òàöè®íí®ã® ±®âåòà Ê 212.286.01 ï® ï°è±ó¦¤åíèþ ó·åí®©
±òåïåíè êàí¤è¤àòà ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê ï°è “°à«ü±ê®¬ ã®-
±ó¤à°±òâåíí®¬ óíèâå°±èòåòå è¬. À.Ì. î°üê®ã® ï® à¤°å±ó:
620083, …êàòå°èíáó°ã, ï°®±ï. Ëåíèíà, 51, ꮬí. 248.




‘ ¤è±±å°òàöèå© ¬®¦í® ®§íàꮬèòü±ÿ â íàó·í®© áèá«è®òåêå “°à«ü-
±ê®ã® ã®±ó¤à°±òâåíí®ã® óíèâå°±èòåòà è¬. À.Ì. î°üê®ã®.




Àâò®°åôå°àò °à§®±«àí "....".................. 2005ã.




“·åí»© ±åê°åòà°ü ¤è±±å°òàöè®íí®ã® ±®âåòà,
¤®êò®° ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ
íàóê, ï°®ôå±±®° ‚.Ã. Ïè¬åí®â
ÎÁ™Àß •ÀÐÀÊ’…ÐÈ‘’ÈÊÀ ÐÀÁÎ’Û


„è±±å°òàöèÿ ï®±âÿùåíà è§ó·åíèþ ê°à-
Îáúåêò è±±«å¤®âàíèÿ.

å⻵ ý««èïòè·å±êèµ §à¤à·, ±®¤å°¦àùèµ íå«èíå©í»© ·«åí, °à§°»âí®
§àâè±ÿùè© ®ò ô৮⮩ ïå°å¬åíí®©.
Ïó±òü „¦  ®ã°àíè·åííàÿ ®á«à±òü â Rn (n ≥ 2) ± ã°àíèöå© ‚„¦ ê«à±±à
C 2,± , ± ∈ (0, 1),
n
Lu(x) ≡ ’ (aij uxi )xj + c(x)u(x)
i,j=1

 °àâí®¬å°í® ý««èïòè·å±êè© ¤èôôå°åíöèà«üí»© ®ïå°àò®° ± ê®ýôôè-
öèåíòà¬è aij ∈ C 1,± („¦), aij (x) = aji (x) íà „¦, c ∈ C 0,± („¦).
αí®âí»å °å§ó«üòàò» ¤è±±å°òàöèè ®òí®±ÿò±ÿ ê ï°®á«å¬å ±óùå±òâ®-
âàíèÿ ®á®áùåíí»µ, ±è«üí»µ, ﮫóï°àâè«üí»µ, ê®°°åêòí»µ è ï°àâè«ü-
í»µ °åøåíè©, à òàê¦å ê ï°®á«å¬å ó±ò®©·èâ®±òè ¬í®¦å±òâ °åøåíè©
±«å¤óþùå© íå«èíå©í®© ê°àå⮩ §à¤à·è:
(1)
Lu(x) + g0 (x, u(x)) = 0, x ∈ „¦
(2)
Bu|‚„¦ = f,
ã¤å (2)  ®¤í® è§ ±«å¤óþùèµ ®±í®âí»µ ê°àå⻵ 󱫮âè©:
• „è°èµ«å, 屫è Bu = u;
n
‚u
• Í婬àíà, 屫è Bu = aij (x)uxi cos(n, xj ), ã¤å cos(n, xj )

‚nL i,j=1
 íàï°àâ«ÿþùèå ê®±èíó±» âíåøíå© í®°¬à«è n ê ã°àíèöå ‚„¦;
‚u
• ò°åòüå ê°àåâ®å 󱫮âèå, 屫è Bu = + σ(x)u(x), ã¤å ôóíê-
‚nL
öèÿ σ ∈ C 1,± (“) íå®ò°èöàòå«üíà íà ‚„¦ è íå °àâíà ò®¦¤å±òâåíí®
íó«þ.
Áó¤åò ï°å¤ï®«àãàòü, ·ò® íå«èíå©í®±òü g0 (x, u) ó¤®â«åòâ®°ÿåò 󱫮-
âèþ (—):
(—1) ôóíêöèÿ g0 : „¦ — R ’ R á®°å«åâà (mod 0) 1 , ·ò® ®§íà·àåò ±óùå-
±òâ®âàíèÿ ¬í®¦å±òâà l ‚ „¦ — R, ï°®åêöèÿ ê®ò®°®ã® íà „¦ è¬ååò
1 Ê°à±í®±å«ü±êè© Ì.À., Ϯ갮â±êè© À.‚. ‘è±ò嬻 ± ãè±òå°å§è±®¬  Ì.: Íàóêà,
1983. 272±.


3
¬å°ó íó«ü, è á®°å«å⮩ íà „¦—R ôóíêöèè, ±®âïà¤àþùå© ± g0 (x, u)
íà („¦ — R) \ l ;
(—2) ¤«ÿ ï®·òè â±åµ x ∈ „¦ ±å·åíèå g0 (x, ·) è¬ååò íà R °à§°»â» ò®«üê®
ïå°â®ã® °®¤à è ¤«ÿ ï°®è§â®«üí®ã® u ∈ R âå°í® âê«þ·åíèå
g0 (x, u) ∈ [g’ (x, u), g+ (x, u)],
ã¤å g’ (x, u) = lim inf g0 (x, s), g+ (x, u) = lim sup g0 (x, s);
s’u s’u

(—3) ±óùå±òâóåò ï®±ò®ÿííàÿ b ≥ 0 è ôóíêöèÿ a ∈ Lq („¦), q ≥ 2, òàêèå,
·ò® ¤«ÿ ï®·òè â±åµ x ∈ „¦ âå°í® íå°àâåí±òâ®
(3)
|g0 (x, u)| ¤ b · |u|r + a(x) ∀u ∈ R, 0 ¤ r.

Ï°å¤ï®«àãàåò±ÿ, ·ò® ôóíêöèÿ f (s), ®ï°å¤å«åííàÿ íà ã°àíèöå ‚„¦,
«å¦èò â ï°®±ò°àí±òâå Y , ê®ò®°®å ÿâ«ÿåò±ÿ ï°®±ò°àí±ò⮬ Áå±®âà
2’1/q
(‚„¦), å±«è ¬» °à±±¬àò°èâàå¬ ê°àåâóþ §à¤à·ó „è°èµ«å;
• Bq
1’1/q
(‚„¦), å±«è ¬» °à±±¬àò°èâàå¬ ê°àåâóþ §à¤à·ó Í婬àíà
• Bq
è«è ò°åòüþ ê°àåâóþ §à¤à·ó.
Îá®áùåíí»¬ °åøåíèå¬ §à¤à·è (1)-(2) áó¤å¬ í৻âàòü ôóíêöèþ
ó¤®â«åòâ®°ÿþùóþ ã°àíè·í®¬ó 󱫮âèþ (2) è ¤«ÿ ï®·òè
2
u∈ Wq („¦),
â±åµ x ∈ „¦ âê«þ·åíèþ
’Lu(x) ∈ [g’ (x, u(x)), g+ (x, u(x))].
‘è«üí»¬ °åøåíèå¬ §à¤à·è (1)-(2) í৻âàåò±ÿ ®á®áùåíí®å °åøå-
íèå, ó¤®â«åòâ®°ÿþùàÿ ¤«ÿ ï®·òè â±åµ x ∈ „¦ ó°àâíåíèþ (1). ‘è«üí®å
ﮫóï°àâè«üí»¬,
°åøåíèå u §à¤à·è (1)-(2) í৻âàþò å±«è ¤«ÿ ï®·òè
â±åµ x ∈ „¦ §íà·åíèå u(x) ÿâ«ÿåò±ÿ ò®·ê®© íåï°å°»âí®±òè g0 (x, ·).
Ïó±òü §à¤àíà íåê®ò®°àÿ ¬å°à ®òê«®íåíèÿ íå«èíå©í®±òå© R(g, g0 ).
Îá®áùåíí®å °åøåíèå u0 ∈ Wq („¦) §à¤à·è (1)-(2) ± íó«å⻬ ã°à-
2

ê®°°åêòí»¬,
íè·í»¬ 󱫮âèå¬ áó¤å¬ í৻âàòü 屫è í੤åò±ÿ òàê®å
δ > 0, ·ò® ¤«ÿ «þᮩ ï®±«å¤®âàòå«üí®±òè {δk }k=1 , δ > δk > 0, ó¤®â«å-

k’∞
òâ®°ÿþùå© ó±«®âèþ δk ’’ 0, ï°èá«è¦åííàÿ ê°àåâàÿ §à¤à·à
(4)
Lk u(x) + gk (x, u(x)) = 0, x ∈ „¦
(5)
Bu|‚„¦ = fk


4
è¬ååò ï® ê°à©íå© ¬å°å ®¤í® ®á®áùåíí®å °åøåíèå, ï°è·å¬ ⮧¬®¦í®
ï®±ò°®èòü ï®±«å¤®âàòå«üí®±òü {uk }, ±®±ò®ÿùóþ è§ ®á®áùåíí»µ °åøå-
íè© ±®®òâåò±òâóþùèµ ê°àå⻵ §à¤à·, ±«àá® ±µ®¤ÿùóþ±ÿ ê u0 â ï°®-
±ò°àí±òâå Wq („¦), ã¤å
2


• ã°àíè·í®å 󱫮âèå ó¤®â«åòâ®°ÿåò íå°àâåí±òâó ||fk ||Y ¤ δk ;
• ê®ýôôèöèåíò» ak (x) è ck (x) ¤èôôå°åíöèà«üí®ã® ®ïå°àò®°à Lk
ij
ﮤ·èíÿþò±ÿ òå¬ ¦å ®ã°àíè·åíèÿ¬ íà ã«à¤ê®±òü, ·ò® è ±®®òâåò-
±òâóþùèå ê®ýôôèöèåíò» ®ïå°àò®°à L è ®ò«è·àþò±ÿ ®ò ï®±«å¤-
íèµ íå ᮫åå ·å¬ íà δk â ¬åò°èêå C(„¦);
• ôóíêöèè gk (x, u) ó¤®â«åòâ®°ÿþò 󱫮âèþ (—) ± òàꮩ ¦å êàê è
¤«ÿ g0 (x, u) ôóíêöèå© a ∈ Lq („¦) è ê®í±òàíòà¬è b, r > 0 â ®öåíêå
(3), à òàê¦å íå°àâåí±òâó R(g0 , gk ) < δk .
ï°àâè«üí»¬.
Ï®«óï°àâè«üí®å è ê®°°åêòí®å °åøåíèå í৻âàåò±ÿ
ê®°°åêòí®ã® ¬í®¦å±òâà
Ï® àíà«®ãè·í®© ±µå¬å â⮤èò±ÿ ï®íÿòèå
°åøåíè©.
Ìí®¦å±òâ® M ∈ Wq („¦) ®á®áùåíí»µ °åøåíè© §à¤à·è (1)-(2) ± íó-
2

ê®°°åêòí»¬,
«å⻬ ã°àíè·í»¬ 󱫮âèå¬ (f ≡ 0) áó¤å¬ í৻âàòü å±-
«è ¤«ÿ «þá®ã® ¤®±òàò®·í® ¬à«®ã® µ > 0 í੤åò±ÿ òàê®å δ > 0, ·ò®
¤«ÿ «þᮩ ï®±«å¤®âàòå«üí®±òè {δk }∞ , δ > δk > 0, ó¤®â«åòâ®°ÿþùå©
k=1
k’∞
󱫮âèþ δk ’’ 0, ï°èá«è¦åííàÿ ê°àåâàÿ §à¤à·à
(6)
Lk u(x) + gk (x, u(x)) = 0, x ∈ „¦
(7)
Bu|‚„¦ = fk
è¬ååò ï® ê°à©íå© ¬å°å ®¤í® ®á®áùåíí®å °åøåíèå â µ-®ê°å±òí®±òè ¬í®-
¦å±òâà M ï°®±ò°àí±òâà H 1 („¦), ï°è·å¬ è§ «þᮩ ï®±«å¤®âàòå«üí®±òè
°åøåíè© {uk }, ±®±ò®ÿùóþ è§ ®á®áùåíí»µ °åøåíè© ±®®òâåò±òâóþùèµ
ê°àå⻵ §à¤à·, ¬®¦í® ⻤å«èòü ﮤﮱ«å¤®âàòå«üí®±òü ±«àá® ±µ®¤ÿ-
ùóþ±ÿ ê ò®·êå u0 ∈ M â ï°®±ò°àí±òâå Wq („¦), ã¤å
2


• ã°àíè·í®å 󱫮âèå ó¤®â«åòâ®°ÿåò íå°àâåí±òâó ||fk ||Y ¤ δk ;
• ê®ýôôèöèåíò» ak (x) è ck (x) ¤èôôå°åíöèà«üí®ã® ®ïå°àò®°à Lk
ij
ﮤ·èíÿþò±ÿ òå¬ ¦å ®ã°àíè·åíèÿ¬ íà ã«à¤ê®±òü, ·ò® è ±®®òâåò-
±òâóþùèå ê®ýôôèöèåíò» ®ïå°àò®°à L è ®ò«è·àþò±ÿ ®ò ï®±«å¤-
íèµ íå ᮫åå ·å¬ íà δk â ¬åò°èêå C(„¦);


5
• ôóíêöèè gk (x, u) ó¤®â«åòâ®°ÿþò 󱫮âèþ (—) ± òàꮩ ¦å êàê è
¤«ÿ g0 (x, u) ôóíêöèå© a ∈ Lq („¦) è ê®í±òàíòà¬è b, r > 0 â 󱫮âèè
(—3), à òàê¦å íå°àâåí±òâó R(g0 , gk ) < δk .


’àê¦å â °à¬êൠ¤è±±å°òàöèè è§ó·àþò±ÿ ¤âå ï®±òàí®âêè ê°àå⻵
íå«èíå©í»µ §à¤à· ± ïà°à¬åò°à¬è.

Çà¤à·à ±® ±ïåêò°à«üí»¬ ïà°à¬åò°®¬. Ðà±±¬àò°èâàåò±ÿ íå«èíå©-
íàÿ ê°àåâàÿ §à¤à·à

(8)
Lu(x) = »g0 (x, u(x)), x ∈ „¦
(9)
Bu|‚„¦ = 0,

ã¤å ®ïå°àò®° L, ôóíêöèÿ g0 è ®ïå°àò®° ã°àíè·í®ã® 󱫮âèÿ B ®ïè±àí»
â»øå, » > 0  ±ïåêò°à«üí»© ïà°à¬åò°. „«ÿ ê°àå⮩ §à¤à·è (8)-(9)
è±±«å¤óþò±ÿ ±«å¤óþùèå â®ï°®±»:

1. ±óùå±òâ®âàíèÿ íåò°èâèà«üí»µ °åøåíè© ï°è 󱫮âèè

g0 (x, 0) ≡ 0;

2. ê®°°åêòí®±òü °åøåíè© è ó±ò®©·èâ®±òü ¬í®¦å±òâ °åøåíè© ï® ®ò-
í®øåíèþ ê ⮧¬óùåíèÿ¬ íå«èíå©í®±òè, ±ïåêò°à«üí®ã® ïà°à¬åò-
°à è ¤èôôå°åíöèà«üí®ã® ®ïå°àò®°à.


Çà¤à·à ± °à±ï°å¤å«åíí»¬ ïà°à¬åò°®¬. Ðà±±¬àò°èâàåò±ÿ íå«èíå©-
íàÿ ê°àåâàÿ §à¤à·à

(10)
Lu(x) + g0 (x, u(x), w(x)) = 0, x ∈ „¦
(11)
Bu|‚„¦ = f,

ã¤å ®ïå°àò®° L, ôóíêöèÿ f è ®ïå°àò®° ã°àíè·í®ã® 󱫮âèÿ B ®ïè±à-
í» â»øå, w(x) ∈ Lp („¦), 1 ¤ p ¤ +∞,  °à±ï°å¤å«åíí»© ïà°à¬åò°,
íå«èíå©í®±òü g0 ó¤®â«åòâ®°ÿåò ±«å¤óþùå¬ó 󱫮âèþ (——):

(— — 1) ôóíêöèÿ g0 : „¦ — R — R ’ R òàê®âà, ·ò®

6
(— — 1.1) ï°è êত®¬ ôèê±è°®âàíí®¬ u ôóíêöèÿ g0 (x, u, ·) íåï°å°»â-
íà ¤«ÿ ï®·òè â±åµ x ∈ „¦;
(— — 1.2) ôóíêöèÿ g0 (x, ·, w) ¤«ÿ ï®·òè â±åµ (x, w) ∈ „¦ — R è¬ååò
°à§°»â» ò®«üê® ïå°â®ã® °®¤à è íåï°å°»âíà ±«åâà (±ï°àâà);
(— — 1.3) ôóíêöèÿ g0 (·, u, w) 觬å°è¬à ¤«ÿ â±åµ (u, w) ∈ R — R;

(— — 2) ±óùå±òâóåò ï®±ò®ÿííàÿ b ≥ 0 è ôóíêöèÿ a ∈ Lq („¦), q ≥ 2, òàêèå,
·ò® ¤«ÿ ï®·òè â±åµ x ∈ „¦ âå°í® «èá® íå°àâåí±òâ®
n+2
, (12)
|g0 (x, u, w)| ¤ b · (|u|r + |w|p/q ) + a(x) ∀u ∈ R, 0 ¤ r <
n’2
屫è p  ê®íå·í®å ·è±«®, «èá® íå°àâåí±òâ®
n+2
(13)
|g0 (x, u, w)| ¤ b · |u|r + a(x) ∀u ∈ R, 0 ¤ r < ,
n’2
屫è p = +∞.
„«ÿ §à¤à·è (10)-(11) °à±±¬àò°èâàåò±ÿ â®ï°®± ê®°°åêòí®±òè ¬í®-
¦å±òâ °åøåíè©.
Àêòóà«üí®±òü ò嬻. Ðåøåíèå «þᮩ ôè§è·å±ê®© §à¤à·è íà·è-

íàåò±ÿ ± ï®±ò°®åíèÿ ¬àòå¬àòè·å±ê®© ¬®¤å«è ï°å¤¬åòí®© ®á«à±òè. —è±-
«®â»å µà°àêòå°è±òèêè, ®ï°å¤å«ÿþùèå ¬®¤å«ü, í൮¤ÿò±ÿ ï®±°å¤±ò⮬
àíà«è§à °å§ó«üòàò®â §à¬å°®â è«è ýê±ïå°è¬åíò®â. ‘à¬à ï°®öå¤ó°à ±®-
±òàâ«åíèÿ è ï°®âå¤åíèÿ ýòèµ è§¬å°åíè© ®ï®±°å¤®âàíà òå®°èÿ¬è è
ï°èá®°à¬è, ê®ò®°»å ®ïè±»âàþò ôè§è·å±êóþ °åà«üí®±òü «èøü ± íåê®-
ò®°®© ¤®«å© ï°à⤮ﮤ®áèÿ. ’àêè¬ ®á°à§®¬, è¬ååò±ÿ öå«®å ¬í®¦å±òâ®
¬®¬åíò®â, íàê«à¤»âàþùèµ ®òïå·àò®ê íåò®·í®±òè â ﮫó·à嬮© ¬®¤å-
«è. Ýò® ò®«üê® ®¤íà ±ò®°®íà.
„°óãàÿ ±ò®°®íà §àê«þ·àåò±ÿ â ò®¬, ·ò® ý«å¬åíò íåò®·í®±òè ±®§íà-
òå«üí® §àê«à¤»âàåò±ÿ â ¬®¤å«ü, ·àùå â±åã® ± öå«üþ åå óï°®ùåíèÿ.
Ìí®ãèå §à¤à·è òå®°èè óï°àâ«åíèÿ, ¬åµàíèêè è ¬àòå¬àòè·å±ê®©
ôè§èêè â ±â®èµ ¬àòå¬àòè·å±êèµ ¬®¤å«ÿµ ±®¤å°¦àò °à§°»âí»å íå«è-
íå©í®±òè. Íàï°è¬å°, òàêèå íå«èíå©í®±òè ¬®ãóò ⮧íèêàòü êàê è¤åà-
«è§àöèÿ íåï°å°»âí»µ ï°®öå±±®â, â ê®ò®°»µ íàá«þ¤àþò±ÿ ê®°®òêèå
ï°®¬å¦óòêè ± °å§êè¬ è§¬åíåíèå¬ òåµ è«è èí»µ ïà°à¬åò°®â. ’àê êàê
±ò°óêòó°ó òàê®ã® 觬åíåíèÿ ®ò±«å¤èòü ¤®â®«üí® ±«®¦í®, ò® â ó°àâíå-
íèÿµ ï°®±ò® ±·èòàþò, ·ò® íåê®ò®°àÿ ôóíêöèÿ è¬ååò °à§°»â è °åøàþò


7
§à¤à·ó â òàꮬ ï°å¤ï®«®¦åíèè. ’å¬ íå ¬åíåå ï°è òàꮬ ﮤµ®¤å ®±òà-
åò±ÿ ®òê°»ò»¬ â®ï°®± ® ò®¬, íà±ê®«üê® °åøåíèå ﮫó·èâø婱ÿ §à¤à-
·è à¤åêâàòí® ®ò°à¦àåò ôè§è·å±êóþ ¤å©±òâèòå«üí®±òü. ‚®ï°®± ® á«è-
§®±òè ¬í®¦å±òâ °åøåíè© ó°àâíåíèÿ ± ¤®ï°å¤å«üí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è
è ¬í®¦å±òâà ®á®áùåíí»µ °åøåíè© ± è¤åà«è§è°®âàíí»¬è °à§°»âí»-
¬è µà°àêòå°è±òèêà¬è ừ ï®±òàâ«åí â °àá®òå Ê°à±í®±å«üê®ã® Ì.À.
è Ϯ갮â±ê®ã® ‚.À. â 1979 㮤ó 2 . …ùå °àíåå íà íå®áµ®¤è¬®±òü °à§-
°àá®òêè òå®°èè ê°àå⻵ §à¤à· ± °à§°»âí»¬è ï® ô৮⮩ ïå°å¬åíí®©
íå«èíå©í®±òÿ¬è á»«à ®ò¬å·åíà â 1967 ã. â ±®â¬å±òí®© ¬®í®ã°àôèè3
Î.À. Ëऻ¦åí±ê®©, ‚.À. ‘®«®ííèê®âà è Í.Í. “°à«üöå⮩.
‚à¦í»å °å§ó«üòàò» ® °à§°åø謮±òè ê°àå⻵ §à¤à· ¤«ÿ ó°àâíåíè©
ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è ừè ﮫó·åí» â
°àá®òൠÌ.À. Ê°à±í®±å«ü±ê®ã® è À.‚. Ϯ갮â±ê®ã®, K.-C. Chang, C.A.
Stuart è J.F. Toland, ‚.Í. Ïàâ«åíê® è ¤°óãèµ àâò®°®â. ‚à¦í»¬ ¬®-
¬åíò®¬ ï°è è§ó·åíèè ýòèµ §à¤à· ±òà«® °à§«è·åíèå òàê í৻âà嬮ã®
°å§®íàí±í®ã® è«è íå°å§®íàí±í®ã® ±«ó·àÿ. Ð姮íàí±í»© ±«ó·à© µà°àê-
òå°è§óåò±ÿ òå¬, ·ò® ï°å¤å« ’ lim g0 (x, s)/s ï°è ï®·òè â±åµ x ∈ „¦
s’∞
±®âïà¤àåò ± ®¤íè¬ è ±®á±òâåíí»µ §íà·åíè© ®ïå°àò®°à L ± ã°àíè·í»¬
󱫮âèå¬ (2). ‚ òàꮩ ±èòóàöèè ï°èµ®¤èò±ÿ íà«àãàòü ¤®ï®«íèòå«ü-
í»å ±ïåöèà«üí»å 󱫮âèÿ, ê®ò®°»å á» ãà°àíòè°®âà«è °à§°åø謮±òü
ê°àå⮩ §à¤à·è. Ïè®í就ꮩ °àá®ò®© â ýò®¬ íàï°àâ«åíèè ±òà«à ±òà-
òüÿ4 Ëàí¤å±¬àíà …. è Ëà§å°à À., ã¤å âïå°â»å ï®ÿâè«®±ü ò®, ·ò® â
ï®±«å¤±òâèè íà§âà«è 󱫮âèÿ Ëàí¤å±¬àíà-Ëà§å°à. ‚ ¤à«üíå©øå¬ ï®-
ÿâè«®±ü ¬í®ã® °àá®ò, â ê®ò®°»µ íà íå«èíå©í®±òü íà«àãà«è±ü 󱫮âèÿ
òèïà Ëàí¤å±¬àíà-Ëà§å°à. ȱ±«å¤®âàíèÿ â ýò®¬ íàï°àâ«åíèè èíòåí-
±èâí® âå¤óò±ÿ è ï® ±å© ¤åíü.
Êàê ừ® ±êà§àí® â»øå, â¬å±òå ± ï®ÿâ«åíèå¬ §à¤à·, âê«þ·àþùè-
¬è °à§°»âí»å íå«èíå©í®±òè, â±òà« ±«®¦í»© â®ï°®± ®á ó±ò®©·èâ®±òè
°åøåíè© òàêèµ §à¤à·, ·ò® ÿâ«ÿåò±ÿ âà¦íå©øè¬ ¬®¬åíò®¬ ¤«ÿ ï°è-
ê«à¤í»µ §à¤à·. Ïå°â»å øàãè ⠰ৰåøåíèè ¤àíí®© ï°®á«å¬» ừè
2 Ê°à±í®±å«ü±êè© Ì.À., Ϯ갮â±êè© À.‚. “°àâíåíèÿµ ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©-
í®±òÿ¬è // „®ê«. ÀÍ ‘‘‘Ð.  1979.  ’.248.  5.  ‘.1056-1059
3 Ëऻ¦åí±êàÿ Î.À., ‘®«®ííèê®â ‚.À., “°à«üöåâà Í.Í. Ëèíå©í»å è êâà§è«è-
íå©í»å ó°àâíåíèÿ ïà°à᮫è·å±ê®ã® òèïà  Ì.: Íàóêà, 1967.  736±.
4 Landesman E., Lazer A. Nonlinear perturbations of linear elliptic boundary value
problems at resonance // J.Math. and Mech.  1970.  V.19, N3.  P.609-623


8
±¤å«àí» â ±®â¬å±òí®© °àá®òå5 Ê°à±í®±å«ü±ê®ã® Ì.À. è Ϯ갮â±ê®ã®
À.‚. â 1976ã., ã¤å °à±±¬àò°èâà«è±ü ®ã°àíè·åíí»å ¬®í®ò®íí»å íå«è-
ê®°°åêòí®å °åøåíèå
íå©í®±òè è âïå°â»å ừ ââå¤åí òå°¬èí ¤«ÿ °à±-
±¬àò°èâà嬮㮠ê«à±±à §à¤à·.
Ï°è è±±«å¤®âàíèè ê®°°åêòí®±òè °åøåíè© ®ï°å¤å«ÿþùè¬ ¬®¬åí-
ò®¬ ÿâ«ÿåò±ÿ ï°èíöèï â»á®°à àïï°®ê±è¬è°óþùèµ íå«èíå©í®±òå©, à
òàê¦å â»á®° ¬å°» ®òê«®íåíèÿ è±µ®¤í®© è ï°èá«è¦åíí®© íå«èíå©í®-
±òè. ‚ óﮬÿíóò®© °àá®òå §à ¬å°ó ®òê«®íåíèÿ ï°èíè¬à«à±ü µà󱤮°-
ô®â® °à±±ò®ÿíèå ¬å¦¤ó ã°àôèêà¬è íå«èíå©í®±òå© â Rn+2 . Ýòà ¦å
¬å°à ừà è±ï®«ü§®âàíà â °àá®òå6 1978ã. òåµ ¦å àâò®°®â.
Ê°®¬å è±±«å¤®âàíèÿ íà ó±ò®©·èâ®±òü ê®íê°åòí®ã® °åøåíèÿ ê°à-
å⮩ §à¤à·è â ±èòóàöèè, ê®ã¤à àï°è®°è íå⮧¬®¦í® ãà°àíòè°®âàòü
å¤èí±òâåíí®±òü °åøåíèÿ (è§âå±òí®, ·ò® ±óùå±òâóþò ê°àåâ»å §à¤à-
·è °à±±¬àò°èâà嬮㮠âè¤à, è¬åþùèå ±·åòí®å ·è±«® °åøåíè© è ¤à¦å
ó±ò®©·èâ®±òè
ê®íòèíóó¬» °åøåíè©7 ), ±òàâèòü±ÿ â®ï°®± ®á è§ó·åíèè
¬í®¦å±òâ °åøåíè©.
Ýò®© ï°®á«å¬å ï®±âÿùåí °ÿ¤ °àá®ò. „«ÿ íå°å§®íàí±í»µ §à¤à· óêà-
¦å¬ íà ±òàòüþ Ïàâ«åíê® ‚.Í. è ȱêàê®âà Ð.‘., ¤«ÿ °å§®íàí±í»µ §à¤à·
±® ±ïåêò°à«üí»¬ ïà°à¬åò°®¬ ò宰嬻 ®á ó±ò®©·èâ®±òè á»«è ¤®êà§à-
í» â °àá®òå Ïàâ«åíê® ‚.Í. è Ï®òàï®âà „.Ê., íàê®íåö, ¤«ÿ §à¤à· ±
°à±ï°å¤å«åíí»¬ â®ï°®± è§ó·à«±ÿ â ±òàòüÿµ8,9 Bors D. è Walczak S.
–å«ü °àá®ò». Ï®«ó·åíèå í®â»µ òå®°å¬ ±óùå±òâ®âàíèÿ ¤«ÿ °å§®-

íàí±í»µ ê°àå⻵ §à¤à·, ó±òàí®â«åíèå ¤®±òàò®·í»µ 󱫮âè© ê®°°åêò-
í®±òè è ï°àâè«üí®±òè °åøåíè©, à òàê¦å ¤®êà§àòå«ü±òâ® °å§ó«üòàò®â
®á ó±ò®©·èâ®±òè ¬í®¦å±òâ °åøåíè©.
5 Ê°à±í®±å«ü±êè© Ì.À., Ϯ갮â±êè© À.‚. Ï°àâè«üí»å °åøåíèÿ ó°àâíåíè© ±
°à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è // „ÀÍ ‘‘‘Ð.  1976.  ’.226.  3.  ±.506-509
6 Ê°à±í®±å«ü±êè© Ì.À., Ϯ갮â±êè© À.‚. Ï°àâè«üí»å °åøåíèÿ ý««èïòè·å±êèµ
ó°àâíåíè© ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è. ’°ó¤» ‚±å±®þ§í®© ê®íôå°åíöèè ï®
ó°àâíåíèÿ¬ ± ·à±òí»¬è ï°®è§â®¤í»¬è, ï®±âÿùåíí®© 75-«åòèþ ±® ¤íÿ °®¦¤åíèÿ
àêà¤å¬èêà È.Ã. Ïåò°®â±ê®ã® // Ì.:ȧ¤-â® ÌÓ, 1978, ±.346-347
7 Ê°à±í®±å«ü±êè© Ì.À., Ϯ갮â±êè© À.‚. Îá ý««èïòè·å±êèµ ó°àâíåíèÿµ ± °à§-
°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è // „®ê«à¤» ÐÀÍ, 1995.  ò.342.  6.  ±.731-734
8 Bors D., Walczak S. Nonlinear elliptic systems with variable boundary data. //
Nonlinear Analysis, 52 (2003), p.1347-1364
9 Bors D., Walczak S. Stability of nonlinear elliptic systems with distributed
parametrs and variable boundary data. // J. of Computational and Applied Math.,
164-165 (2004), p.117-130


9
‚ ¤è±±å°òàöèè ê °à±±¬àò°èâà嬮¬ó ê«à±-
Ìåò®¤» è±±«å¤®âàíèÿ.

±ó §à¤à· ï°è¬åíÿåò±ÿ âà°èàöè®íí»© ¬åò®¤; è±ï®«ü§óþò±ÿ ¬åò®¤» è
°å§ó«üòàò» òå®°èè ó°àâíåíè© ± ·à±òí»¬è ï°®è§â®¤í»¬è, òå®°èè ôóíê-
öè© è íå«èíå©í®ã® ôóíêöè®íà«üí®ã® àíà«è§à.
‚ °àá®òå ﮫó·åí» í®â»å ò宰嬻 ±óùå±òâ®-
Íàó·íàÿ í®âè§íà.

âàíèÿ ±è«üí»µ è ﮫóï°àâè«üí»µ °åøåíè© §à¤à·è (1)-(2) ⠰姮íàí±-
í®¬ ±«ó·àå, ê®ã¤à íå«èíå©í®±òü è¬ååò ﮤ«èíå©í»© °®±ò, à òàê¦å
ó±òàí®â«åí» í®â»å ¤®±òàò®·í»å 󱫮âèÿ ±óùå±òâ®âàíèÿ °åøåíè© â
±«ó·àå ±âå°µ«èíå©í®ã® ¤®ê°èòè·å±ê®ã® °®±òà íå«èíå©í®±òè. „®êà§à-
í» óòâå°¦¤åíèÿ ® ï°àâè«üí»µ °åøåíèÿµ è ê®°°åêòí»µ ¬í®¦å±òâàµ
°åøåíè©. Ðà±±¬®ò°åí» ê°àåâ»å §à¤à·è ± ïà°à¬åò°à¬è, ¤«ÿ ê®ò®°»µ
òàê¦å ﮫó·åí» ò宰嬻 ® ±óùå±òâ®âàíèè è ó±ò®©·èâ®±òè °åøåíè©.
Ï® ±°àâíåíèþ ± °àá®ò®© ‚.Í. Ïàâ«åíê® è ‚.‚. ‚èí®êó°à10 ¤«ÿ
°å§®íàí±í®© §à¤à·è (1)-(2) ± °à§°»âí®© íå«èíå©í®±òüþ ⠤豱å°òà-
öèè íå ï°å¤ï®«àãàåò±ÿ ®ã°àíè·åíí®±òü íå«èíå©í®ã® ·«åíà è â⮤èò±ÿ
í®â®å 󱫮âèå, ®á®áùàþùåå 󱫮âèå è§ óﮬÿíóò®© °àá®ò», à òàê-
¦å âê«þ·àþùåå êàê ·à±òí»© ±«ó·à© è 󱫮âèå Ëàí¤å±¬àíà-Ëà§å°à è
íåê®ò®°»å åã® ®á®áùåíèÿ11 . ’àê¦å ⠤豱å°òàöèè ï°è⮤ÿò±ÿ í®â»å
󱫮âèÿ, ãà°àíòè°óþùèå °à§°åø謮±òü §à¤à·è (1)-(2) â ±«ó·àå, ê®ã¤à
íå«èíå©í®±òü è¬ååò ¤®ê°èòè·å±êè© °®±ò. Ýòè 󱫮âèÿ ÿâ«ÿþò±ÿ á®-
«åå ±«àỬè, ·å¬ òå, ·ò® íà«àãàþò±ÿ íà íå«èíå©í®±òü ®á»·í® â òàêèµ
±«ó·àÿµ12 .
“±òàí®â«åí» ò宰嬻 ® ê®°°åêòí®±òè °åøåíè©, ê®ò®°»å ±°àâíèâà-
þò±ÿ ± °å§ó«üòàòà¬è Ê°à±í®±å«ü±ê®ã® Ì.À. è Ϯ갮â±ê®ã® À.‚., ï°è
ýò®¬ â⮤èò±ÿ èíòåã°à«üíàÿ ¬å°à á«è§®±òè íå«èíå©í®±òå©, ᮫åå ±«à-
áàÿ, ·å¬ µà󱤮°ô®â® °à±±ò®ÿíèå ¬å¦¤ó ã°àôèêà¬è, è±ï®«ü§®âàíí®å
ýòè¬è àâò®°à¬è â °ÿ¤å èµ °àá®ò. „®êà§àí» óòâå°¦¤åíèÿ ®á ó±ò®©-
·èâ®±òè ¬í®¦å±òâ °åøåíè© §à¤à·è (8)-(9) ± ¤®ê°èòè·å±êè¬ °®±ò®¬

10 Ïàâ«åíê® ‚.Í., ‚èí®êó° ‚.‚. Ð姮íàí±í»å ê°àåâ»å §à¤à·è ¤«ÿ ó°àâíåíè© ý«-
«èïòè·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è // ȧâå±òèÿ âó§®â. Ìàòå¬àòèêà.
 2001.  N 5.  ‘. 43-58.
11 ‘ê°»ïíèê È.‚. Íå«èíå©í»å ý««èïòè·å±êèå ó°àâíåíèÿ â»±øåã® ï®°ÿ¤êà. //
Èò®ãè íàóêè è òåµíèêè. ‘®â°å¬åíí»å ï°®á«å¬» ¬àòå¬àòèêè.  ò.37.  Ì., 1990
12 Ïàâ«åíê® ‚.Í. “°àâíåíèÿ è âà°èàöè®íí»å íå°àâåí±òâà ± °à§°»âí»¬è íå«è-
íå©í®±òÿ¬è // -1995. - Àâò®°åôå°àò ¤è±±å°òàöèè íà ±®è±êàíèå ó·. ±òåïåíè ¤®êò®°à
ôè§.-¬àò. íàóê. - ã.…êàòå°èíáó°ã


10
íå«èíå©í®±òè (·ò® ï®ã«®ùàåò °å§ó«üòàò»13 Ïàâ«åíê® ‚.Í. è ȱêàê®-
âà Ð.‘., ê®ò®°»å °à±±¬àò°èâà«è íå°å§®íàí±í»å ê®ý°öèòèâí»å §à¤à·è
è íàê«à¤»âà«è ±óùå±òâåíí»å ®ã°àíè·åíèÿ íà è±µ®¤í»å è àïï°®ê±è-
¬è°óþùèå íå«èíå©í®±òè). ‚ ®ò«è·èå ®ò óﮬÿíóò»µ °àá®ò ¬» ⮧¬ó-
ùàå¬ òàê¦å ã°àíè·í®å 󱫮âèå è ¤èôôå°åíöèà«üí»© ®ïå°àò®°.
„®êà§àí» ò宰嬻 ® ±óùå±òâ®âàíèè «ó·à ﮫ®¦èòå«üí»µ ±®á±òâåí-
í»µ §íà·åíè© è ò宰嬻 ®á ó±ò®©·èâ®±òè ¬í®¦å±òâ °åøåíè© §à¤à·è
(8)-(9) ¤«ÿ íå«èíå©í®±òå© ± ﮤ«èíå©í»¬ °®±ò®¬, ·ò® ï®ã«àùàåò °å-
§ó«üòàò»14,15 Ïàâ«åíê® ‚.Í. è Ï®òàï®âà „.Ê. è °ÿ¤ ¤°óãèµ, åùå ᮫åå
ó§êèµ °å§ó«üòàò®â.
’àê¦å ¤®êà§àí» ±®®òâåò±òâóþùèå óòâå°¦¤åíèÿ ¤«ÿ §à¤à·è ± °à±-
ï°å¤å«åíí»¬ ïà°à¬åò°®¬ (10)-(11), ã¤å ï® ±°àâíåíèþ ± °àá®òà¬è Bors
D. è Walczak S. ¤®ïó±êàþò±ÿ ⮧¬óùåíèÿ ¤èôôå°åíöèà«üí®ã® ®ïå°à-
ò®°à è °à§°»â» íå«èíå©í®±òè ï® ô৮⮩ ïå°å¬åíí®© (¤«ÿ ·åã® ââ®-
¤èò±ÿ ê«à±± ﮫóêà°àò室®°èå⻵ ôóíêöè© è è±±«å¤óþò±ÿ ±â®©±òâà
òàêèµ ôóíêöè©) è ¤®ê৻âàåò±ÿ ±µ®¤è¬®±òü â ᮫åå ±è«üí®© ò®ï®«®-
ãèè.
Ï°àêòè·å±êàÿ §íà·è¬®±òü. αí®âí»å °å§ó«üòàò» ¤è±±å°òàöè-

®íí®© °àá®ò» è¬åþò òå®°åòè·å±ê®å §íà·åíèå. Ï®«ó·åíí»å °å§ó«üòàò»
¬®ãóò á»òü ï°è¬åíåí» ¤«ÿ è±±«å¤®âàíèÿ è§âå±òí»µ è í®â»µ ê«à±±®â
ý««èïòè·å±êèµ ê°àå⻵ §à¤à· ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è.
Àï°®áàöèÿ °àá®ò». αí®âí»å °å§ó«üòàò» ¤®ê«à¤»âà«è±ü ê®í-

ôå°åíöèè ÈÍÏÐÈÌ-2000 â ͮ⮱èáè°±êå (2000ã.), íà ‚®°®í覱êèµ
¬àòå¬àòè·å±êèµ øꮫൠ(2003ã., 2005ã.), íà XXVI Ê®íôå°åíöèÿ ¬®«®-
¤»µ ó·åí»µ ¬åµ¬àòà ÌÓ (2004ã.), íà Ì妤óíà°®¤í®© ê®íôå°åíöèè
"Nonlinear partial dierential equations" â À«óøòå (2003ã.), íà íàó·-
í»µ ±å¬èíà°àµ êàô夰» ⻷豫èòå«üí®© ¬àòå¬àòèêè ¬àòå¬àòè·å±ê®-
ã® ôàêó«üòåòà —å«ÿáèí±ê®ã® ã®±ó¤à°±òâåíí®ã® óíèâå°±èòåòà.
13 Ïàâ«åíê® ‚.Í., ȱêàê®â Ð.‘. Íåï°å°»âí»å àïï°®ê±è¬àöèè °à§°»âí»µ íå«è-
íå©í®±òå© ï®«ó«èíå©í»µ ó°àâíåíè© ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà // “ê°. ¬àòå¬. ¦ó°í. 
1999.  ’.51.  2.  ±.224-233
14 Ïàâ«åíê® ‚.Í., Ï®òàï®â „.Ê. Î ±óùå±òâ®âàíèè «ó·à ±®á±òâåíí»µ §íà·åíè©
¤«ÿ ó°àâíåíè© ± °à§°»âí»¬è ®ïå°àò®°à¬è // ‘èá. ¬àò. ¦ó°í.  2001.  ò.42.  4.
 ±.911-919
15 Ïàâ«åíê® ‚.Í., Ï®òàï®â „.Ê. Àïï°®ê±è¬àöèÿ ê°àå⻵ §à¤à· ý««èïòè·å±ê®-
ã® òèïà ±® ±ïåêò°à«üí»¬ ïà°à¬åò°®¬ è °à§°»âí®© íå«èíå©í®±òüþ. // ȧâå±òèÿ
‚“Ç®â. Ìàòå¬àòèêà.  2005.  4.  ±.49-55


11
αí®âí»å °å§ó«üòàò» ¤è±±å°òàöèè ®ïóá«èê®âàí» â
Ïóá«èêàöèè.

[1][9], ±ïè±®ê ê®ò®°»µ ï°è⮤èò±ÿ â ê®íöå àâò®°åôå°àòà. ‚ ±®â¬å±ò-
í»µ °àá®òൠíàó·í®¬ó °óê®â®¤èòå«þ ‚.Í. Ïàâ«åíê® ï°èíफå¦èò ï®-
±òàí®âêà §à¤à·, ¤è±±å°òàíòó  ﮫó·åíèå ê®íê°åòí»µ °å§ó«üòàò®â.
‘ò°óêòó°à è ®áúå¬ °àá®ò». „è±±å°òàöèÿ ±®±ò®èò è§ ââå¤åíèÿ,

ò°åµ ã«àâ è ±ïè±êà «èòå°àòó°». Ðàá®òà ±®¤å°¦èò 96 ±ò°àíèö, âê«þ·àÿ
áèá«è®ã°àôè·å±êè© ±ïè±®ê è§ 55 íàè¬åí®âàíè©.

‘΄…ÐÆÀÍÈ… ÐÀÁÎ’Û


ï°è⮤èò±ÿ ï®±òàí®âêà §à¤à·è, ®á®±í®âàíèå åå àêòó-
‚® ââå¤åíèè

à«üí®±òè, ±¤å«àí ê°àòêè© ®á§®° °å§ó«üòàò®â, ﮫó·åíí»µ ¤°óãè¬è àâ-
ò®°à¬è â ¤àíí®© ®á«à±òè. Ï°®â®¤èò±ÿ ±°àâíåíèå ýòèµ °å§ó«üòàò®â ±
òå¬è, ·ò® ﮫó·åí» â ¤è±±å°òàöèè.
‚ ïå°â®© ã«àâå ï°è⮤ÿò±ÿ íå®áµ®¤è¬»å ±âå¤åíèÿ ® ôóíêöè®-

íà«üí»µ ï°®±ò°àí±òâൠ‘®á®«åâà è Áå±®âà, ô®°¬ó«è°óþò±ÿ ò宰嬻
â«®¦åíèÿ ¤«ÿ ±®á®«åâ±êèµ ï°®±ò°àí±òâ, ï°è⮤ÿò±ÿ ò宰嬻 ® °à§°å-
ø謮±òè ®±í®âí»µ òèï®â ê°àå⻵ ý««èïòè·å±êèµ §à¤à·, ¤àåò±ÿ °à§-
âå°íóòàÿ ï®±òàí®âêà íå«èíå©í®© ê°àå⮩ ý««èïòè·å±ê®© §à¤à·è, ïå-
°å·è±«ÿþò±ÿ °à§«è·í»å ®ï°å¤å«åíèÿ °åøåíè© òàêèµ §à¤à·, à òàê¦å
â⮤èò±ÿ ï®íÿòèå À-󱫮âèÿ.
Îï°å¤å«åíèå. î⮰ÿò, ·ò® ¤«ÿ ó°àâíåíèÿ (1) â»ï®«íåí® À-󱫮âèå,

屫è í੤åò±ÿ íå ᮫åå ·å¬ ±·åòí®å ±å¬å©±òâ® ï®âå°µí®±òå©

{Si , i ∈ I}, Si = {(x, u) ∈ Rn+1 | u = •i (x), x ∈ „¦}, •i ∈ W1,loc („¦)
2


òàêèµ, ·ò® ¤«ÿ ï®·òè â±åµ x ∈ „¦ íå°àâåí±òâ® g0 (x, u’) < g0 (x, u+)
â«å·åò ±óùå±òâ®âàíèå i ∈ I, ¤«ÿ ê®ò®°®ã® u = •i (x) è

0 ∈ [L•i (x) + g0 (x, •i (x)’), L•i (x) + g0 (x, •i (x)+)].

±®¤å°¦èò ò°è ·à±òè.
‚ò®°àÿ ã«àâà

‚ ïå°â®© ·à±òè °à±ê°»âàåò±ÿ àïïà°àò âà°èàöè®íí®ã® ¬åò®¤à è ï°è-
⮤èò±ÿ åã® °åà«è§àöèÿ ï°è¬åíèòå«üí® ê °à±±¬àò°èâà嬮¬ó ê«à±±ó
§à¤à·. ‚ ·à±òí®±òè, â⮤èò±ÿ âà°èàöè®íí»© ôóíêöè®íà«
u(x)
1
(14)
Jg0 (u) = (Lu, u) + dx g0 (x, s)ds,
2 „¦ 0


12
®ï°å¤å«åíí»© íà ï°®±ò°àí±òâå X, ±®âïà¤àþùå¬ «èá® ± H 1 („¦), «èá®
± H0 („¦) â §àâè±è¬®±òè ®ò âè¤à ã°àíè·í®ã® 󱫮âèÿ, ã¤å
1

n
(Lu, v) = aij (x)uxi vxj dx+ c(x)u(x)v(x)dx+ σ(s)u(s)v(s)ds.
„¦ „¦ “
i,j=1
(15)
‚® âò®°®© ·à±òè ô®°¬ó«è°óþò±ÿ °å§ó«üòàò» ® °à§°åø謮±òè §à-
¤à·è (1)-(2) ⠰姮íàí±í®¬ ±«ó·àå, ê®ã¤à íå«èíå©í®±òü g0 è¬ååò ﮤ-
«èíå©í»© °®±ò, ò.å. ïà°à¬åò° r â 󱫮âèè (—3) ±ò°®ã® ¬åíüøå 1.
Ï°èâå¤å¬ ô®°¬ó«è°®âêó ®¤í®ã® è§ °å§ó«üòàò®â.
Ïó±òü â»ï®«íÿþò±ÿ ±«å¤óþùèå 󱫮âèÿ:
’å®°å¬à 2.2.2.


1) ®ïå°àò®° L íå®ò°èöàòå«üí® ®ï°å¤å«åíí»©, ò.å. (Lu, u) ≥ 0 ¤«ÿ
«þá®ã® íåíó«åâ®ã® u ∈ X;
2) íå«èíå©í®±òü g0 ó¤®â«åòâ®°ÿåò 󱫮âèþ (—) ± ïà°à¬åò°®¬ 0 ¤
r < 1;

3) â»ï®«íÿåò±ÿ ±«å¤óþùåå ±®®òí®øåíèå
ψ(x)
1
(16)
lim dx g0 (x, s)ds = +∞,
||ψ||’∞,ψ(x)∈N (L) ||ψ||2r „¦ 0

ã¤å N (L)  ÿ¤°® ®ïå°àò®°à L ± ±®®òâåò±òâóþùè¬ ã°àíè·í»¬
󱫮âèå¬.
’®ã¤à, 屫è f ≡ 0, ò® ±óùå±òâóåò u0 ∈ X òàê®å, ·ò®
Jg0 (u0 ) = inf Jg0 (u),
u∈X

ï°è·å¬ «þá®å òàê®å u ï°èíफå¦èò ï°®±ò°àí±òâó Wq2(„¦), ó¤®â«å-
òâ®°ÿåò âê«þ·åíèþ
0 ∈ [Lu(x) + g’ (x, u(x)), Lu + g+ (x, u(x))]

è ã°àíè·í®¬ó 󱫮âèþ (2) ± f ≡ 0 (ò.å. ÿâ«ÿåò±ÿ ®á®áùåíí»¬ °åøå-
íèå¬).
Ê°®¬å ò®ã®, 屫è â»ï®«íåí® À-󱫮âèå (À1-󱫮âèå), ò® òàê®å u0
ÿâ«ÿåò±ÿ ﮫóï°àâè«üí»¬ (±è«üí»¬) °åøåíèå¬ §à¤à·è (1)-(2).
13
Àíà«®ãè·íàÿ òå®°å¬à ±ô®°¬ó«è°®âàíà è ¤«ÿ íåíó«åâ®ã® ã°àíè·-
í®ã® 󱫮âèÿ.
Ê«þ·å⻬ 󱫮âèå¬ ýòèµ ¤âóµ òå®°å¬ ÿâ«ÿåò±ÿ 󱫮âèå (16), ï®-
ýò®¬ó âò®°àÿ ·à±òü °à§¤å«à ï®±âÿùåíà óòâå°¦¤åíèÿ¬, ﮧ⮫ÿþùè¬
ï°®âå°èòü ýò® 󱫮âèå. ‚⮤èò±ÿ ôóíêöèÿ
t
1
G± (x) = lim inf g0 (x, s)ds,
|t|r+1
t’±∞ 0

·å°å§ ê®ò®°óþ ô®°¬ó«è°óåò±ÿ ±«å¤óþùåå ï°å¤«®¦åíèå.
Ïó±òü ¤«ÿ êত®© íåíó«å⮩ ôóíêöèè • ∈
ϰ夫®¦åíèå 2.2.1

N (L) â»ï®«íÿåò±ÿ íå°àâåí±òâ®

(17)
|•(x)|r+1 G’ (x)dx + |•(x)|r+1 G+ (x)dx > 0.
•(x)<0 •(x)>0


’®ã¤à 󱫮âèå 3) ò宰嬻 2.2.2 â»ï®«íÿåò±ÿ.
Îá±ó¦¤àåò±ÿ ±âÿ§ü ï°å¤«®¦åíèÿ 2.2.1 ± ¤°óãè¬è 󱫮âèÿ¬è òèïà
Ëàí¤å±¬àíà-Ëà§å°à.
’°åòüÿ ·à±òü ±®±ò®èò ·åò»°åµ ïà°àã°àô®â, ï®±âÿùåíí»µ ¤®êà§à-
òå«ü±òâó ê®íê°åòí»µ òå®°å¬, ±ô®°¬ó«è°®âàíí»µ â® âò®°®© ·à±òè. ‚
ê®ý°öè-
·à±òí®±òè, â ¤®êà§àòå«ü±òâå ò宰嬻 2.2.2 ó±òàíàâ«èâàåò±ÿ
òèâí®±òü âà°èàöè®íí®ã® ôóíêöè®íà«à ï°è â»ï®«íåíèè 󱫮âèÿ 3)
ýò®© ò宰嬻, ·ò® â«å·åò ®ã°àíè·åíí®±òü ¬í®¦å±òâà ò®·åê àá±®«þò-
í®ã® ¬èíè¬ó¬à Jg0 íà ï°®±ò°àí±òâå X.
’°åòüÿ ã«àâà ¤è±±å°òàöèè ï®±âÿùåíà ï°àâè«üí»¬ °åøåíèÿ¬ è

ê®°°åêòí»¬ ¬í®¦å±òâଠ°åøåíè© è ±®±ò®èò è§ ¤âóµ ·à±òå©.
Ïå°âàÿ ·à±òü ±®±ò®èò è§ øå±òè ïà°àã°àô®â.
‚ ïå°â®¬ ïà°àã°àôå ï°è⮤èò±ÿ ï®±òàí®âêà §à¤à·è è ¤àåò±ÿ ®ï°å-
¤å«åíèå ê®°°åêòí®ã® °åøåíèÿ è ï°àâè«üí®ã® °åøåíèÿ, à òàê¦å ââ®-
¤èò±ÿ ±å¬å©±òâ® èíòåã°à«üí»µ ¬åò°èê á«è§®±òè íå«èíå©í®±òå©:

(18)
R· (g0 , g) ≡ inf ||g ’ g0 ||L1 („¦—(’T,T )) + T ’· ,
T >1

ã¤å ïà°à¬åò° · > 0 è

R∞ (g, g0 ) = ||g ’ g0 ||L1 („¦—R) .

14
‚® âò®°®¬ ïà°àã°àôå ô®°¬ó«è°óþò±ÿ â±å ®±í®âí»å °å§ó«üòàò»
ïå°â®© ·à±òè ã«àâ». ”®°¬ó«è°óþò±ÿ óòâå°¦¤åíèÿ ® ±â®©±òâൠââå-
¤åíí»µ èíòåã°à«üí»µ ¬åò°èê, â»ÿ±íÿåò±ÿ èµ ±âÿ§ü ± ¬å°à¬è ®òê«®íå-
íèÿ íå«èíå©í®±òå©, è±ï®«ü§®âàíí»¬è Ê°à±í®±å«ü±êè¬ è Ϯ갮â±êè¬.
„à«åå ±«å¤óþò ò宰嬻, íåï®±°å¤±òâåíí® êà±àþùèå±ÿ ¤®±òàò®·í»µ
󱫮âè© ï°àâè«üí®±òè °åøåíè©.
Ï°èâå¤å¬ ®¤íó è§ òàêèµ òå®°å¬.
Ï°å¤ï®«®¦è¬, ·ò® íå«èíå©í®±òü ó¤®â«åòâ®-
g0
’å®°å¬à 3.1.2.

°ÿåò 󱫮âèþ  ò®·êà ±ò°®ã®ã® «®êà«üí®ã® ¬èíè¬ó¬à ôóíê-
(—), u0
öè®íà«à , ®ïå°àò®° ﮫ®¦èòå«üí® ®ï°å¤å«¼í.
L
J g0
’®ã¤à  ï°àâè«üí®å °åøåíèå §à¤à·è (1)-(2), ã¤å â êà·å±òâå ¬å-
u0
°» ®òê«®íåíèÿ íå«èíå©í®±òå© â»á°àíà ±
R· (g0 , g) · = ·(r, q).
”®°¬ó«è°óþò±ÿ ±«å¤±òâèå è§ ò宰嬻 ® ê®°°åêòí®±òè ¤«ÿ ±«ó·à-
n
åâ q > è q > n, ê®ã¤à ¬®¦í® óòâå°¦¤àòü ® ±µ®¤è¬®±òè °åøåíè©
2
àïï°®ê±è¬è°óþùèµ §à¤à· ï® ¬åò°èêå C(„¦) è C 1 („¦) ±®®òâåò±òâåíí®.
‚ò®°®å ±«å¤±òâèå ÿâ«ÿåò±ÿ àí૮㮬 ò宰嬻 Ê°à±í®±å«ü±ê®ã® è
Ϯ갮â±ê®ã® ® ±óùå±òâ®âàíèè ï°àâè«üí®ã® °åøåíèÿ â ±èòóàöèè, ê®ã¤à
§à¤à·à è¬ååò íå ᮫åå ±·åòí®ã® ·è±«à ê«à±±è·å±êèµ °åøåíè©.
Ïó±òü ó¤®â«åòâ®°ÿåò 󱫮âèþ ¤«ÿ ó°àâ-
g0 (—),
‘«å¤±òâèå 3.1.2.

íåíèÿ (1) â»ï®«íåí® À-󱫮âèå è ·è±«® ò®·åê ã«®áà«üí®ã® ¬èíè¬ó¬à
ôóíêöè®íà«à Jg íà X íåïó±ò® è íå ᮫åå ·å¬ ±·åòí®. ’®ã¤à §à¤à·à
(1)-(2) è¬ååò ï°àâè«üí®å °åøåíèå.
0



αòàâøèå±ÿ ïà°àã°àô» ïå°â®© ·à±òè ï®±âÿùåí» ¤®êà§àòå«ü±òâó
±ô®°¬ó«è°®âàíí»µ óòâå°¦¤åíè©.
‚ò®°àÿ ·à±òü ò°åòüå© ã«àâ» ï®±âÿùåíà ê®°°åêòí»¬ ¬í®¦å±òâà¬
°åøåíè© §à¤à·è (1)-(2).
‚ ïå°â®¬ ïà°àã°àôå ¤àí® ®ï°å¤å«åíèå ê®°°åêòí®ã® ¬í®¦å±òâà °å-
øåíè© è ï°èâå¤åíà ®±í®âíàÿ òå®°å¬à ® ê®°°åêòí®±òè ¬í®¦å±òâൠ°å-
øåíè© MR 0 ,0 , ã¤å ·å°å§ MR 0 ,f ®á®§íà·åí® ¬í®¦å±òâ® ò®·åê àá±®-
L,g L,g
«þòí®ã® ¬èíè¬ó¬à ôóíêöè®íà«à Jg0 íà ò®·êൠøà°à BR (0) ï°®±ò°àí-
±òâà H 1 („¦), ó¤®â«åòâ®°ÿþùèµ ã°àíè·í®¬ó 󱫮âèþ (2).
Ï°å¤ï®«®¦è¬, ·ò® ®ïå°àò®° ﮫ®¦èòå«üí®
L
’å®°å¬à 3.2.1.

®ï°å¤å«¼í. Ïó±òü ·è±«® òàê®â®, ·ò® íå ïó±ò® è ¤«ÿ â±åµ
R
R ML,g0 ,0
ò®·åê ±ôå°» ï°®±ò°àí±òâà â»ï®«íÿåò±ÿ íå°àâåí±òâ®
u SR (0) X

Jg0 (u) > µR ,

15
ã¤å µR = inf ||u||¤R Jg (u).
’®ã¤à ¬í®¦å±òâ® °åøåíè© MR ,0 ÿâ«ÿåò±ÿ ê®°°åêòí»¬, ã¤å â êà-
0



·å±òâå ¬å°» ®òê«®íåíèÿ íå«èíå©í®±òå© R(g, g0) â»á°àíà R· (g, g0) ±
L,g 0



ïà°à¬åò°®¬ · = ·(r, q), ê®ò®°»© â»áè°àåò±ÿ òàê¦å, êàê â òå®°å¬å
3.1.1.
„à«åå ±ô®°¬ó«è°®âàí® ¤âà ±«å¤±òâèÿ ýò®© ò宰嬻. Ï°èâå¤å¬ ®¤-
í® è§ ýòèµ ±«å¤±òâè©, â °à¬êൠê®ò®°®ã® ¤àí® í®â®å 󱫮âèå, ®áå±ïå-
·èâàþùåå ê®ý°öèòèâí®±òü âà°èàöè®íí®ã® ôóíêöè®íà«à.
Ïó±òü  ¬èíè¬à«üí®å ±®á±òâåíí®å §íà·åíèå
»
‘«å¤±òâèå 3.2.2.

®ïå°àò®°à ± ã°àíè·í»¬ 󱫮âèå¬ ã¤å Ï°å¤ï®«®¦è¬, ·ò®
(2), f ≡ 0.
L
¤«ÿ íå«èíå©í®±òè â»ï®«íÿåò±ÿ 󱫮âèå ± ïà°à¬åò°®¬ 1¤r<
g0 (—)
(¤«ÿ ï°å¤ï®«àãàå¬, ·ò® ·è±«®  ï°®è§â®«üí®å
n+2
r≥1
n=2
n’2
ﮫ®¦èòå«üí®å), à òàê¦å ¤®ï®«íèòå«üí® â»ï®«íÿåò±ÿ íå°àâåí±òâ®
u
»
(19)
g0 (x, s)ds ≥ ’ |u|2 + S1 (x, u) + S2 (x),
2
0

ã¤å S2(x) ∈ L1(„¦) è S1(x, u)  íå®ò°èöàòå«üíàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ·ò®
¤«ÿ ï.â. x ∈ „¦.
u’+∞
(20)
S1 (x, u) ’’ +∞

’®ã¤à ¬í®¦å±òâ® M∞ ,0 ÿâ«ÿåò±ÿ ®ã°àíè·åíí»¬ è ê®°°åêòí»¬ ®ò-
í®±èòå«üí® ¬å°» ®òê«®íåíèÿ R· (g, g0), ã¤å · = ·(r, q).
L,g 0



‘«å¤óþùèå ¤âà ïà°àã°àôà ï®±âÿùåí» ¤®êà§àòå«ü±òâó òå®°å¬ è
±«å¤±òâè© âò®°®© ·à±òè ò°åòüå© ã«àâ».
—åòâå°òàÿ ã«àâà ï®±âÿùåíà íå«èíå©í»¬ ê°àå⻬ §à¤à·à¬ ± ïà-

°à¬åò°®¬ è ±®±ò®èò è§ ¤âóµ ·à±òå©.
‚ ïå°â®© ·à±òè °à±±¬àò°èâàþò±ÿ ê°àåâ»å §à¤à·è íà ±®á±òâåíí»å
§íà·åíèÿ.
Îï°å¤å«åíèå. —豫® » > 0 í৻âàþò ±®á±òâåíí»¬ §íà·åíèå¬

§à¤à·è (8)-(9), å±«è ±óùå±òâóåò ®á®áùåíí®å íåíó«åâ®å °åøåíèå u» ýò®©
ï°®á«å¬». Ï°è ýò®¬ u» áó¤å¬ í৻âàòü ±®á±òâåíí®© ôóíêöèå© §à¤à·è
(8)-(9), ±®®òâåò±òâóþùå© ».
”®°¬ó«è°óþò±ÿ ¤âå ò宰嬻 ® ±óùå±òâ®âàíèè ﮫ®¦èòå«üí®ã® «ó-
·à ±®á±òâåíí»µ §íà·åíè©, ê®ò®°»¬ ±®®òâåò±òâóþò íåò°èâèà«üí»å ±®á-
±òâåíí»å ôóíêöèè. Ï°èâå¤å¬ ®¤íó è§ ýòèµ òå®°å¬.


16
Ï°å¤ï®«®¦è¬, ·ò® â»ï®«íåí» ó±«®âèÿ ò宰嬻
’å®°å¬à 4.1.2.

2.2.2, â»ï®«íåí® °àâåí±òâ® g0(x, 0) ≡ 0 è ±óùå±òâóåò ý«å¬åíò u0 ∈
X òàꮩ, ·ò®
u0 (x)
(21)
dx g0 (x, s)ds > 0.
„¦ 0

’®ã¤à ±óùå±òâóåò »0 > 0 òàê®å, ·ò® ¤«ÿ «þá®ã® » > »0 ±óùå±òâóåò
ê®íå·í®å
d» = inf Jg0 ,» (v) < 0,
v∈X

ï°è·å¬ í੤åò±ÿ íåíó«åâàÿ ò®·êà u ∈ X, ¤®±òàâ«ÿþùàÿ ýò®ò ¬è-
íè¬ó¬ è ÿâ«ÿþùàÿ±ÿ ±®á±òâåíí®© ôóíêöèå©, ±®®òâåò±òâóþùå© ».
Ï°è⮤èò±ÿ íå®áµ®¤è¬®å è ¤®±òàò®·í®å 󱫮âèå, ¤«ÿ â»ï®«íåíèÿ
󱫮âèÿ (21). ”®°¬ó«è°óåò±ÿ òå®°å¬à ® ±óùå±òâ®âàíèè «ó·à ﮫ®¦è-
òå«üí»µ ±®á±òâåíí»µ §íà·åíè© â ±èòóàöèè, ê®ã¤à ±óùå±òâóþò

g±(x) = lim g0 (x, s).
s’±∞

Îï°å¤å«è¬
g+ (x), ï°è s ≥ 0,
g0 (x, s) =
¯
g’ (x), ï°è s < 0.
Ïó±òü ê°àåâàÿ §à¤à·à
’å®°å¬à 4.1.3.


(22)
Lu(x) = g0 (x, u(x)), x ∈ „¦
¯
(23)
Bu|‚„¦ = 0

è¬ååò íåíó«åâ®å ê®°°åêòí®å °åøåíèå ®òí®±èòå«üí® ¬åò°èêè R· (g, g0)
(· > 0), ò®ã¤à ±óùå±òâóåò »0 òàê®å, ·ò® â±å » > »0 ÿâ«ÿþò±ÿ ±®á-
±òâåíí»¬è §íà·åíèÿ¬è è±µ®¤í®© ê°àå⮩ §à¤à·è (8)-(9).
„à«åå ô®°¬ó«è°óåò±ÿ òå®°å¬à ®á ó±ò®©·èâ®±òè ¬í®¦å±òâ ±®á±òâåí-
í»µ ôóíêöè© ®òí®±èòå«üí® â®§¬óùåíèÿ ±ïåêò°à«üí®ã® ïà°à¬åò°à,
íå«èíå©í®±òè è ê®ýôôèöèåíò®â ¤èôôå°åíöèà«üí®ã® ®ïå°àò®°à.
‚® âò®°®¬ ïà°àã°àôå ï°è⮤ÿò±ÿ ¤®êà§àòå«ü±òâà â±åµ óòâå°¦¤å-
íè© ïå°â®© ·à±òè.
‚® âò®°®© ·à±òè ·åòâå°ò®© ã«àâ» °à±±¬àò°èâàþò±ÿ ê°àåâ»å §à¤à-
·è ± °à±ï°å¤å«åíí»¬ ïà°à¬åò°®¬.


17
Ïå°â»© ïà°àã°àô ±®¤å°¦èò ï®±òàí®âêó §à¤à·è è â ò®¬ ·è±«å ô®°-
¬ó«è°®âêó 󱫮âèÿ (——). ‚⮤èò±ÿ ê«à±± ﮫóêà°àò室®°èå⻵ ôóíê-
öè© è ó±òàíàâ«èâàþò±ÿ ±â®©±òâà òàêèµ ôóíêöè©.
Îï°å¤å«åíèå. ”óíêöèè g0 : „¦ — R ’ R, ó¤®â«åòâ®°ÿþùèå ±«å¤ó-

þùè¬ ¤âó¬ 󱫮âèÿ¬

(i) ±å·åíèå g0 (x, ·) ¤«ÿ ï®·òè â±åµ x ∈ „¦ íåï°å°»âíà ±«åâà (±ï°àâà),

(ii) ¤«ÿ êত®ã® ôèê±è°®âàíí®ã® u0 ôóíêöèÿ g0 (·, u0 ) 觬å°è¬à,

í৮âå¬ ï®«óêà°àò室®°èå⻬è.
Ïó±òü ôóíêöèÿ g0 : „¦ — R ’ R  ﮫóêà-
“òâå°¦¤åíèå 4.2.1.

°àò室®°èåâà, ò®ã¤à g0(x, u) ÿâ«ÿåò±ÿ á®°å«å⮩ (mod 0).
Ýòè¬ °å§ó«üòàò®¬ ®ïè±»âàåò±ÿ ¤®±òàò®·í® øè°®êè© ê«à±± á®°å«å-
⻵ (mod 0) íå«èíå©í®±òå©, ê®ò®°»å ¬®ãóò â±ò°åòèòü±ÿ â ï°è«®¦å-
íèÿµ. ‘«å¤óþùå© óòâå°¦¤åíèå, ±âÿ§àíí®å ± §à¤à·à¬è ± °à±ï°å¤å«¼í-
í»¬ ïà°à¬åò°®¬, ®ïè°àåò±ÿ íà óòâå°¦¤åíèå 4.2.1.
„«ÿ «þᮩ ôóíêöèè , ó¤®â«åòâ®°ÿþùå©
g0
“òâå°¦¤åíèå 4.2.2.

󱫮âèþ è «þᮩ 觬å°è¬®© ôóíêöèè ôóíêöèÿ
(— — 1), w:„¦’R
ÿâ«ÿåò±ÿ á®°å«å⮩
g0 (x, u, w(x)) (mod 0).
Ì» ¬®¤èôèöè°óå¬ ®ï°å¤å«åíèå ê®°°åêòí®ã® °åøåíèÿ è ê®°°åêò-
í®ã® ¬í®¦å±òâà °åøåíè©, ·ò®á» ®ò°à§èòü ±ïåöèôèêó §à¤à· ± °à±ï°å-
¤å«åíí»¬ ïà°à¬åò°®¬.
Îï°å¤å«åíèå. Ìí®¦å±òâ® M ∈ Wq („¦) ®á®áùåíí»µ °åøåíè© §à-
2

¤à·è (10)-(11) áó¤å¬ í৻âàòü ê®°°åêòí»¬, å±«è ¤«ÿ ¤®±òàò®·í® ¬à-
«®ã® µ > 0 í੤åò±ÿ òàê®å δ > 0, ·ò® ¤«ÿ «þᮩ ï®±«å¤®âàòå«üí®±òè
k’∞
{δk }∞ , δ > δk > 0, ó¤®â«åòâ®°ÿþùå© ó±«®âèþ δk ’’ 0, ï°èá«è¦åí-
k=1
íàÿ ê°àåâàÿ §à¤à·à

(24)
Lk u(x) + g0 (x, u(x), wk (x)) = 0, x ∈ „¦
(25)
Bu|‚„¦ = fk ,

è¬ååò ï® ê°à©íå© ¬å°å ®¤í® ®á®áùåíí®å °åøåíèå â µ-®ê°å±òí®±òè ¬í®-
¦å±òâà M ï°®±ò°àí±òâà H 1 („¦), ï°è·å¬ è§ «þᮩ ï®±«å¤®âàòå«üí®±òè
°åøåíè© {uk }, ±®±ò®ÿùóþ è§ ®á®áùåíí»µ °åøåíè© ±®®òâåò±òâóþùèµ
ê°àå⻵ §à¤à·, ¬®¦í® ⻤å«èòü ﮤﮱ«å¤®âàòå«üí®±òü ±«àá® ±µ®¤ÿ-
ùóþ±ÿ ê ò®·êå u0 ∈ M â ï°®±ò°àí±òâå Wq („¦), ã¤å
2



18
• ã°àíè·í®å 󱫮âèå ó¤®â«åòâ®°ÿåò íå°àâåí±òâó ||fk ||Y ¤ δk ;

• ê®ýôôèöèåíò» ak (x) è ck (x) ¤èôôå°åíöèà«üí®ã® ®ïå°àò®°à Lk
ij
ﮤ·èíÿþò±ÿ òå¬ ¦å ®ã°àíè·åíèÿ¬ íà ã«à¤ê®±òü, ·ò® è ±®®òâåò-
±òâóþùèå ê®ýôôèöèåíò» ®ïå°àò®°à L è ®ò«è·àþò±ÿ ®ò ï®±«å¤-
íèµ íå ᮫åå ·å¬ íà δk â ¬åò°èêå C(„¦);

• ôóíêöèè wk ó¤®â«åòâ®°ÿþò íå°àâåí±òâଠ|wk (x)| ¤ W (x) ¤«ÿ
ï.â. x ∈ „¦, W (x) ∈ Lp („¦), è ||wk ’ w0 ||p < δk .

Ï°è⮤ÿò±ÿ àíà«®ãè òå®°å¬ ®á ó±ò®©·èâ®±òè è§ ã«àâ» 3. ‘ô®°¬ó-
«è°óå¬ ®¤èí è§ ýòèµ °å§ó«üòàò®â.
‘®ï®±òàâè¬ ê°àå⮩ §à¤à·å (10)-(11) âà°èàöè®íí»© ôóíêöè®íà«
u(x)
1
Jw0 (u) = (Lu, u) + dx g0 (x, s, w0 (x))ds.
2 „¦ 0

Îᮧíà·è¬ ·å°å§ MR 0 ¬í®¦å±òâ® ò®·åê àá±®«þòí®ã® ¬èíè¬ó¬à
L,w
ôóíêöè®íà«à Jw0 â øà°å BR (0) ï°®±ò°àí±òâà X.
Ïó±òü ·è±«® òàê®â®, ·ò® íå ïó±ò® è
MR 0
R
’å®°å¬à 4.2.2.

¤«ÿ â±åµ ò®·åê ±ôå°» ï°®±ò°àí±òâà â»ï®«íÿåò±ÿ íå°àâåí-
L,w
u SR (0) X
±òâ® ’®ã¤à ¬í®¦å±òâ® °åøåíè© MR 0
Jw0 (u) > µR = inf Jw0 (u). L,w
ÿâ«ÿåò±ÿ ê®°°åêòí»¬.
||u||¤R


„®êà§àòå«ü±òâ® °å§ó«üòàò®â ã«àâ» 4 ®±í®â»âàåò±ÿ íà °å§ó«üòàòàµ,
ﮫó·åíí»µ â ã«àâൠ2 è 3.

‚ §àê«þ·åíèå, àâò®° â»°à¦àåò ã«óá®êóþ á«à㮤à°í®±òü ±â®å¬ó
íàó·í®¬ó °óê®â®¤èòå«þ, ï°®ôå±±®°ó ‚.Í. Ïàâ«åíê®, §à ï®±òàí®âêó
è±µ®¤í®© §à¤à·è, âíè¬àíèå è ﮬ®ùü â °àá®òå.




19
Ïóá«èêàöèè ï® òå¬å ¤è±±å°òàöèè
[1] Ëåï·èí±êè© Ì.Ã. Çà¤à·à Ì. À. Ëàâ°åíòüåâà ®á ®áòåêàíèè ò°àí-
øåè. // ÈÌÏÐÈÌ-2000, Fourth Siberian Congress on Industrial and
Applied Mathematics. Book of abstracts.  Novosibirsk.  2000

[2] Ëåï·èí±êè© Ì.Ã., Ïàâ«åíê® ‚.Í. Àïï°®ê±è¬àöèÿ ê°àå⻵ §à¤à·
ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí®© íå«èíå©í®±òüþ. // Ìàòå°èà«»
‚®°®í妱ꮩ âå±åííå© ¬àòå¬àòè·å±ê®© øꮫ».  2003.  ‚®°®-
íå¦. - ±. 76

[3] Ëåï·èí±êè© Ì.Ã., Ïàâ«åíê® ‚.Í. Àïï°®ê±è¬àöèÿ ê°àå⻵ §à-
¤à· ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí®© íå«èíå©í®±òüþ. // ‚å±ò-
íèê —å«ÿáèí±ê®ã® óíèâå°±è-òåòà. Ìàòå¬àòèêà, ¬åµàíèêà, èí-
ô®°¬àòèêà, 1(7). —å«ÿáèí±ê, 2003ã. - ±.89-98

[4] Leptchinski M., Pavlenko N.Approximation of discontinuous
nonlinearities for elliptic boundary value problems at resonance. //
Nonlinear partial dierential equations. Book of abstracts.  Donetsk.
 2003

[5] Ëåï·èí±êè© Ì.Ã. Àïï°®ê±è¬àöèÿ ê°àå⻵ §à¤à· ý««èïòè·å±ê®ã®
òèïà ± °à§°»âí®© ï°à⮩ ·à±òüþ. // Ê®íêó°± ã°àíò®â ¬®«®¤»µ
ó·åí»µ —å«. ®á«. ‘á®°íèê °åôå°àò®â.  —å«ÿáèí±ê.  2003. - ±.
10

[6] Ëåï·èí±êè© Ì.Ã. Ï°àâè«üí»å °åøåíèÿ ê°àå⻵ §à¤à· ý««èïòè-
·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí®© íå«èíå©í®±òüþ. // XXVI Ê®íôå°åíöèÿ
¬®«®¤»µ ó·åí»µ ¬åµ¬àòà ÌÓ. ’å§è±» ¤®ê«à¤®â.  Ì®±êâà. 
2004. - ±. 74

[7] Ëåï·èí±êè© Ì.Ã., Ïàâ«åíê® ‚.Í. Àïï°®ê±è¬àöèÿ °å§®íàí±í»µ
ê°àå⻵ §à¤à· ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí®© íå«èíå©í®±òüþ.
// ‘èáè°±êè© ¬àòå¬àòè·å±êè© ¦ó°íà«.  2005.  ò.46 1.  ±.
139-148

[8] Ëåï·èí±êè© Ì.Ã. Ï°àâè«üí»å °åøåíèÿ °å§®íàí±í»µ ê°àå⻵ §à-
¤à· ý««èïòè·å±ê®ã® òèïà ± °à§°»âí®© íå«èíå©í®±òüþ. // Ìàòå°è-


20
à«» ‚®°®í妱ꮩ âå±åííå© ¬àòå¬àòè·å±ê®© øꮫ».  ‚®°®-íå¦.
 2005.  ±.142-143

[9] Ì. Ã. Ëåï·èí±êè©, ‚. Í. Ïàâ«åíê®. Ï°àâè«üí»å °åøåíèÿ ý««èï-
òè·å±êèµ ê°àå⻵ §à¤à· ± °à§°»âí»¬è íå«èíå©í®±òÿ¬è. // À«-
ãåá°à è Àíà«è§.  2005.  ò.17, í®¬å° 3.  ±.124-138




21
Ï®¤ïè±àí® â ïå·àòü . ”®°¬àò 60 — 84 1/16.
Áó¬àãà ®ô±åòíàÿ. Ïå·àòü ®ô±åòíàÿ. “±«. ïå·. «. 1,0.
“·.-觤. «. 1,0. ’è°à¦ 100 ýê§. Çàêৠ. Áå±ï«àòí®.

ÃΓ‚ÏÎ "—å«ÿáèí±êè© ã®±ó¤à°±òâåíí»© óíèâå°±èòåò"
454021 —å«ÿáèí±ê, ó«. Á°àòüåâ Êàøè°èí»µ, 129

Ï®«èã°àôè·å±êè© ó·à±ò®ê ȧ¤àòå«ü±ê®ã® öåíò°à
—å«ÿáèí±ê®ã® ã®±ó¤à°±òâåíí®ã® óíèâå°±èòåòà
454021 —å«ÿáèí±ê, ó«. Ì®«®¤®ãâà°¤å©öåâ, 57á