СОДЕРЖАНИЕ

УДК 517.9 Работа выполнена в Челябинском государственном уни-
верситете на кафедре математического анализа.
На правах рукописи
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук,
доцент Воронин Сергей Михайлович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
пpофессоp Долгий Юрий Филиппович
Мещерякова Юлия Игоревна
кандидат физико-математических наук,
доцент Елизаров Павел Михайлович
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ Ведущая организация:
АНАЛИТИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ Воронежский государственный университет
ВЫРОЖДЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОСОБЫХ
ТОЧЕК РОСТКОВ ГОЛОМОРФНЫХ
ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ Защита состоится "16" июня 2004 года
в 13 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета
К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата
01.01.02 – дифференциальные уравнения физико-математических наук при Уральском государствен-
ном университете им. А.М. Горького по адресу:
620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, а. 248.
АВТОРЕФЕРАТ С диссертацией можно ознакомиться в научной библиоте-
диссертации на соискание ученой степени ке Уральского государственного университета им. А.М. Горь-
кандидата физико-математических наук кого.


Автоpефеpат разослан "6" мая 2004 г.



Ученый секpетаpь
диссертационного совета
доктор физико-математических
ЕКАТЕРИНБУРГ – 2004
наук, профессор В.Г. Пименов
Актуальность темы. Основы теории нормальных фикации вырожденных элементарных (седло-узловых)
форм были заложены А. Пуанкаре еще в конце 19 века. Зна- особых точек на комплексной плоскости.
Методы исследования. Основным методом исследова-
чительный вклад в развитие этой теории внесли Х. Дюлак,
К. Зигель, К. Чень, Ф. Такенс, В.А. Кондратьев, В.С. Са- ния является метод, который условно можно назвать методом
мовол, Г.Р. Белицкий, Г. Селл, В.И. Арнольд, А.Д. Брюно, „нормализующих атласов“. Состоит он в том, что нормали-
Ю.С. Ильяшенко, А.С. Пяртли и др. зация исследуемого объекта проводится там, где ее удается
Вопросы нормализации вещественных полей и отображе- провести. Построенный набор нормализующих отображений
ний на инвариантном многообразии рассматривались в ра- образует так называемый нормализующий атлас на некото-
ботах Ж. Адамара, О. Перрона, В.А. Плисса, М. Хирша, ром многообразии (области). Суть метода состоит в том, что
К. Пью, М. Шуба, Ф. Дюмортье, Ю.Н. Бибикова, В.Ф. Ла- функции перехода этого атласа обычно и дают список инва-
зуткина. риантов аналитической классификации. Метод нормализую-
Как правило, в задачах аналитической классификации щих атласов использовался ранее в работах Экалля, Мар-
получали результаты двух типов: либо доказывали совпаде- тине, Рамиса, Ильяшенко, Воронина, Гринчий и др.
ние аналитической и формальной классификаций, либо на- Кроме того, в работе использовались: теорема о сжима-
ходили условия, гарантирующие расходимость нормализую- ющих отображениях и метод конструирования аналитиче-
щих рядов. Результаты принципиально иного характера были ских объектов, основанный на использовании техники почти
получены за последние 24 года. В 1980 г. в задаче об анали- комплексных структур.
Новизна полученных результатов. В работе получе-
тической классификации ростков одномерных отображений с
тождественной линейной частью были обнаружены функцио- ны следующие результаты:
нальные инварианты (Ж. Экалль, С.М. Воронин). В дальней- - доказана теорема о секториальной нормализации седло-
шем функциональные инварианты были построены для рост- узловых особых точек;
ков резонансных одномерных отображений, а также в зада- - получена аналитическая классификация таких точек:
че об орбитальной1 классификации резонансных особых то- она не совпадает с формальной и имеет функциональные мо-
чек голоморфных векторных полей на комплексной плоско- дули;
сти (Ж. Экалль, Б. Мальгранж, Ж. Мартине, Ж.-П. Рамис, - получено полное описание аналитической группы сим-
Ю.С. Ильяшенко, С.М. Воронин, П.М. Елизаров, А.А. Щер- метрий, найдены достаточные условия аналитической экви-
баков, А.А. Гринчий). валентности ростка седло-узлового векторного поля и его
Цель работы. Целью работы является построение пол- формальной нормальной формы.
ной системы инвариантов в задаче об аналитической класси- Все результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Работа
Динамические системы-1. Итоги науки и техники. Совре-
1
носит теоретический характер. Существенность полученных
менные проблемы математики. Фундаментальные направле- результатов заключается в том, что они позволяют почти
ния. т.1.-М.:ВИНИТИ, 1985. полностью завершить так называемую „программу Пуанка-


3 4
ре“ исследования особых точек векторных полей на плоско- Объем диссертации составляет 104 страницы. Библиография
сти: не до конца исследованными теперь остаются лишь сед- содержит 100 наименований работ российских и зарубежных
ловые особые точки с „плохим“ отношением собственных зна- авторов.
чений линейной части. Полученные результаты могут найти
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
применение во всех аналитических задачах теории динами-
ческих систем, в которых возникают вырожденные элемен-
Введение содержит краткий обзор литературы по теме
тарные особые точки. Кроме того, данные результаты могут
диссертации. Здесь же обозначены цели и методы исследова-
быть использованы для чтения спецкурсов по теории дина-
ния, дается представление о содержании диссертации, при-
мических систем в университетах.
носятся благодарности научному руководителю, коллективу
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссер-
кафедры математического анализа ЧелГУ, супругу и роди-
тационной работе, были представлены на Воронежской зим-
телям автора.
ней математической школе „Современные методы в теории
Кроме того, во введении даны основные определения, ис-
краевых задач“ (Воронеж, 1999г.), Всероссийской научно-
пользуемые в диссертации:
практической конференции „Проблемы физико-математичес-
Ростком векторного поля (отображения) в точке 0 на-
кого образования в педагогических вузах России на совре-
зывается класс всех векторных полей (отображений), совпа-
менном этапе“ (Магнитогорск, 1999г.), Воронежской зимней
дающих с ним в некоторой (зависящей от поля) окрестности
математической школе „Современный анализ и его приложе-
этой точки.
ния“ (Воронеж, 2000г.), Четвертом сибирском конгрессе по
Пусть V класс ростков голоморфных векторных полей
прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000)
в (C2 , 0) с изолированной вырожденной элементарной особой
(Новосибирск, 2000г.), Международной конференции по диф-
точкой 0 (т.е. таких, что линейная часть ростка в этой точке
ференциальным уравнениям и динамическим системам (Суз-
вырождена, но хотя бы одно собственное значение линейной
даль, 2000г.), Международной конференции „Дифференци-
части поля в этой точке отлично от нуля).
альные и интегральные уравнения. Математические модели“
Два ростка векторных полей v и v в точке 0 называют-
?
(Челябинск, 2002г.), Всеросссийской конференции „Алгорит-
ся аналитически (формально) эквивалентными, если суще-
мический анализ неустойчивых задач“ (Екатеринбург, 2004г.)
ствует росток в точке 0 аналитической замены координат H,
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 ра-
переводящий интегральные кривые поля v в интегральные
бот, список которых приводится в конце автореферата. Ре-
кривые поля v ( если существует формальная замена коор-
?
зультаты, опубликованные в совместных с научным руково-
динат H, такая, что H ? v = v ? H).
?
дителем работах, получены автором самостоятельно; соавто-
Ростки v и v называются орбитально аналитически (фор-
?
ру принадлежит постановка задачи и основное направление
мально) эквивалентными, если существует локальная голо-
исследования.
морфная замена координат, переводящая фазовый портрет
Структура и объем работы. Диссертация состоит из
одного ростка в фазовый портрет другого (если существует
введения, четырех глав и списка цитируемой литературы.
формальная замена координат H и формальный степенной

5 6
Определение 1. Будем говорить, что наборы µ = (p, ?, a)
ряд k с ненулевым свободным членом такие, что H ? · v =
p?? ?
k · v ? H).
? и µ = (?, ?, a) эквивалентны, если p = p, ? = ?, наборы
? ?
Первая глава посвящена исследованию формальной a = (a0 , . . . , ap ) и a = (a0 , . . . , ap ) удовлетворяют условию
? ? ?
классификации вырожденных элементарных особых точек в
ak = ak ok , k = 0, . . . , p, где op некоторый корень степени p
?p
(C2 , 0). Известно2 , что росток из V формально орбитально
из единицы.
эквивалентен одному из ростков вида

y p+1 ?
? Теорема 2. Две формальные нормальные формы vµ и vµ ?
vp,? = x + , ? ? C.
?x 1 + ?y p ?y формально эквивалентны тогда и только тогда, когда µ
эквивалентно µ.
?
Обозначим через Vp,? класс ростков, формально орбиталь-
но эквивалентных vp,? .
Доказательство теоремы 2 приведено в параграфе 1.2. В
Следующая теорема, по существу, равносильна резуль-
параграфе 1.3 доказана следующая
татам А.Д. Брюно (для двумерного случая), но дает более
удобную для наших целей формальную нормальную форму
Лемма 1 (о предварительной нормализации). Для лю-
седло-узловых особых точек.
бого v ? Vp,? и любого N ? N существует росток v , такой,
?
что v аналитически эквивалентен v и
?
Теорема 1 (о формальной классификации). Каждый
росток из Vp,? формально эквивалентен одному из ростков p
?
ak y k + y N ?(x, y)
v=
? x +
?x
k=0
vp,?,a = vp,? · a(y), (?)
p
p y p+1 ?
ak y k + y N +1 ?(x, y) ?y ,
yk ,
где a(y) = ak a0 = 0, ak ? C, k = 0, 1, . . . , p. 1+?y p
k=0
k=0

где ?(x, y), ?(x, y) – голоморфные в (C2 , 0) функции.
Параграф 1.1 посвящен доказательству теоремы о фор-
мальной классификации. Класс формальной эквивалентно- N
Через Vp,?,a обозначим класс ростков из Vp,?,a вида (?).
сти ростка vp,?,a , называемого формальной нормальной фор-
мой, обозначим Vp,?,a. Пусть ? ? ( 2p , ? ). Для j ? N (1 ? j ? 2p) рассмотрим
?
p
области ?j = {(x, y) ? C2 : |x| < ?, 0 < |y| < ?, | arg y +
Martinet J., Ramis J.P. Probl?me de modules pour des
e
2
?j
?
2p ? p | < ?}. Систему областей {?j } (j = 1, . . . , 2p) будем
?quations di??rentielles non lin?aires du premier ordre. Publ.
e e e
называть хорошим покрытием области {|x| < ?, 0 < |y| < ?};
?
Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 55, 1982.
параметры ? и ? будем называть, соответственно, раствором
и радиусом хорошего покрытия.

7 8
Определение 2. Пусть U окрестность нуля в C, Отметим, что теорема о секториальной нормализации яв-
ляется обобщением аналогичной теоремы для орбитальной
сектор конечного радиуса с вершиной в нуле. Об-
S?C
эквивалентности3 .
ласть ? = U ? S будем называть секториальной областью.
Третья глава содержит основной результат диссерта-
?
?= fk (x)y k с голоморф-
Полуформальное отображение H ционной работы, здесь доказана теорема об аналитической
k=0
классификации ростков класса Vp,?,a и построены функцио-
ными в U коэффициентами будем называть асимптотиче-
нальные инварианты данной классификации. Именно, здесь
ским для голоморфного отображения H : ? > C2 на сек-
мы строим нормализующий атлас для ростка v ? V и опре-
ториальной области ? = U ? S, если для любой частичной
деляем инварианты аналитической классификации ростка v
n
fk (x)y k имеем:
суммы Hn = по функциям перехода этого атласа.
k=0
Пусть Mp,? пространство всех наборов (c, ?, ?) таких,
что c ? Cp ; ? = (?1 , . . . , ?p ), ? = (?1 , . . . , ?p ), ?j и ?j го-
H(x, y) ? Hn (x, y) = o(y n ) при (x, y) ? ?, y > 0.
ломорфны в (C, 0); ?j (0) = ?j (0) = 0, ?? (0) = 1 ?k < p,
k
? (0) = exp(2?i?).
?p
Теорема 3 (о секториальной нормализации). Для лю-
Пусть pa – наибольший общий делитель p и всех тех
N
бого ростка v ? Vp,?,a и любого хорошего покрытия ? = {?j }
k ? {1, . . . , p}, для которых ak = 0, na = p/pa . Два набора
с заданным раствором и достаточно малым радиусом су- c??
(c, ?, ?) и (?, ?, ?) из Mp,? будем называть эквивалентны-
ми, если для некоторого C ? Cp , C = (C1 , . . . , Cp ) и некото-
ществует единственный набор голоморфных отображений ?
рого s ? Z, 0 ? s < pa
Hj : ?j > Hj (?j ) ? C2 , таких, что:
1? . Hj сопрягает на ?j росток v и его формальную нормаль- cj+sna = Cj · cj ,
?
?1
(1)
?j+sna (z) ? Cj+1+sna ?j (Cj z),
?
ную форму vp,?,a:
? ?1
?j+sna (z) = ?j (Cj z)
?
Hj · vp,?,a = v ? Hj на ?j .
(нумерацию считаем циклической). Пусть Mp,?,a простран-
ство классов эквивалентности из Mp,? .
?
2? . Нормированная формальная нормализующая замена H
ростка v является асимптотической для Hj на ?j . Теорема 4 (об аналитической классификации). Суще-
ствует такое отображение
Теорема о секториальной нормализации доказана во вто-
рой главе. m : Vp,?,a > Mp,?,a , m : v > mv ,
В параграфе 2.1 приводится полное доказательство для
Hukuhara H., Kimura T., Matuda T. Equations di?erentialles
3
частного случая p = 1, ? = 0, a0 = 1, a1 = 0. Для общего слу-
ordinaires du premier ordre dans le champ complexe. Publ. Math.
чая несколько более компактное доказательство приведено в
параграфе 2.2. Soc. of Japan, 1961.

9 10
их замена координат имеет вид
что справедливы следующие утверждения:
1? . Эквивалентность и эквимодальность. v ? v ? mv =
?
H(x, y) = (x + o(1), y + o(y p+1 )).
mv ;
?
2? . Реализация. Для любого m ? Mp,?,a существует та-
Замечание 1. Строгая эквивалентность удобнее эквива-
кое v ? Vp,?,a , что m = mv ;
лентности в силу единственности формальной нормализую-
3? . Аналитическая зависимость. Для любого аналитиче- N
щей замены. Каждый росток из Vp,?,a не только формально
ского семейства v? ростков из Vp,?,a некоторые представи-
эквивалентен своей формальной нормальной форме vp,?,a , но
тели µ? модулей mv? также образуют аналитическое се-
и строго формально эквивалентен ей.
мейство.
Тогда имеет место следующая
Эта теорема является точным аналогом известной теоре-
мы об орбитальной аналитической классификации ростков Теорема 5. Пространство Mp,? является пространством
из Vp,? . Отметим, что количество модулей в задаче об анали- модулей строгой аналитической классификации ростков
тической классификации увеличилось вдвое по сравнению с N
класса Vp,?,a.
задачей об орбитальной аналитической классификации. Дей-
ствительно, орбитальная аналитическая классификация име- Отмеченная выше неединственность нормализующей за-
ет p + 1 числовых (один формальный модуль ? и p модулей мены в задаче об аналитической классификации объясняет
c = (c1 , . . . , cp ) аналитической классификации), и p функцио- взаимосвязь пространств Mp,? и Mp,?,a: пространство Mp,?,a
нальных модулей {?j }; аналитическая классификация имеет получается из пространства Mp,? факторизацией по отно-
2p + 2 числовых (p + 2 формальных модулей ?, a0 , . . . , ap и шению эквивалентности (1), происходящему из этой неедин-
p аналитических модулей набора c), и 2p функциональных ственности.
модулей {?j }, {?j }. Четвертая глава приложения теории нормальных
Все три утверждения теоремы 4, для краткости, заменим форм.
одной фразой: „Пространство Mp,?,a является пространством
Определение 4. Аналитической (формальной) группой
модулей аналитической классификации ростков
N
класса Vp,?,a“. ?
симметрий ростка v ? V назовем группу Gv (Gv ), состоя-
Наряду с аналитической эквивалентностью здесь рассмат- щую из всех голоморфных (формальных) замен координат,
ривается и строгая эквивалентность.
сохраняющих v.
Определение 3. Ростки v, v ? Vp,?,a назовем строго экви-
N
? Группа симметрий любого ростка v содержит подгруппу
валентными, если они эквивалентны, причем сопрягающая t
G+ = {gv }t?C , состоящую из всех сдвигов вдоль фазовых кри-
v
вых ростка v за фиксированное время.

11 12
Фактор-группу Gv /G+ (если она корректно определена) 1. Мещерякова Ю.И. Формальные нормальные формы
v
назовем главной частью группы симметрий ростка v. изолированных вырожденных элементарных особых то-
Группой симметрий инварианта m ? Mp,?,a назовем под- чек // Деп. в ВИНИТИ №2848 - В98 от 23.03.1998г. 12 с.
группу Cp ? Zpa (где pa – наибольший общий делитель p и
?
2. Мещерякова Ю.И. Формальные нормальные формы
всех тех индексов k, для которых ak = 0, a = (a0 , a1 , . . . , ap )),
изолированных вырожденных элементарных особых то-
состоящую из всех чисел (C, s) ? Cp ? Zpa таких, что для
?
чек // Воронеж. зим. мат. школа "Современные методы
некоторого представителя {c, ?, ?} инварианта m справедли-
в теории краевых задач"Тез. докл. Воронеж,
вы равенства
1999г.с. 136.
?1
cj = Cj · cj+sna , 3. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая
?1 ?1
?j (Cj z) ? Cj+1+sna ?j+sna (z), классификация ростков голоморфных векторных полей
?1
?j (Cj z) ? ?j+sna (z). на С с типичными вырожденными особыми элементар-
ными точками // Проблемы физ.-мат. образ. в пед. ву-
Теорема 6. 1. Формальная группа симметрий ростка зах России на совр. этапе: Матер. Всерос. научн.-практ.
класса Vp,?,a изоморфна прямому произведению мультипли- конф. Ч.2. Тез. докл. Магнитогорск: МГПИ, 1999г.
кативной группы C? , аддитивной группы C и группы выче-
4. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая
тов Zpa . классификация типичных вырожденных элементарных
особых точек ростков голоморфных векторных полей
2. Главная часть аналитической группы симметрий ростка
в (C2 , 0) // Воронеж. зим. мат. школа "Современный
v ? Vp,? изоморфна группе симметрий его инварианта.
анализ и его приложения"Тез. докл. Воронеж, 2000г.,
С. 60–61.
Следствием данной теоремы является следующее доста-
точное условие аналитической эквивалентности седло - узло-
5. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Преобразования t-
вой особой точки ростка голоморфного векторного поля и его
монодромии типичных вырожденных элементарных
формальной нормальной формы.
особых точек голоморфных векторных полей // Четв.
сиб. конгресс по прикладн. и индустриальн. мат.
Следствие 1. Если главная часть аналитической группы
(ИНПРИМ-2000), посвящ. пам. М.А. Лаврентьева. Тез.
симметрий ростка v из Vp,?,a не является конечной, то ро- докл. Новосибирск, 2000г.
сток v аналитически эквивалентен своей формальной нор-
6. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Функциональные ин-
мальной форме vp,?,a. варианты вырожденных элементарных особых точек го-
ломорфных векторных полей в (C2 , 0) // Международн.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
конф. по диф. уравнениям и динамич. системам. Тез.
докл. Суздаль, 2000г., С. 120–121.

13 14
7. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая
классификация типичных вырожденных элементарных
особых точек ростков голоморфных векторных полей
на комплексной плоскости // Известия вузов. Матема-
тика, 2002, №1, С. 13–16.

8. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Уголки Елизарова
для одного класса вырожденных элементарных особых
точек // Международн. конф. "Дифференциальные и
интегральные уравнения. Математические модели"Тез.
докл. Челябинск, 2002г., с. 22.

9. Мещерякова Ю.И. Симметрии ростков типичных вы-
рожденных элементарных особых точек // Междуна-
родн. конф. "Дифференциальные и интегральные урав-
нения. Математические модели"Тез. докл. Челябинск,
2002г., с. 70.

10. Мещерякова Ю.И. Формальная классификация вырож-
денных элементарных особых точек // Уравнения собо-
Подписано в печать 05.05.04. Формат 60 ? 84 1/16.
левского типа: Сб. науч. работ. Челяб. гос. ун-т. Челя-
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0.
бинск, 2002г., С. 197–206.
Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 114. Бесплатно.
11. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая
классификация ростков голоморфных векторных полей Челябинский государственный университет
с вырожденной элементарной особой точкой // Вестник 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129
Челябинского университета. Серия 3. Математика. Ин-
форматика. Механика. №3, 2003г., С. 16–41. Полиграфический участок Издательского центра
Челябинского государственного университета
454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57б




15



СОДЕРЖАНИЕ