СОДЕРЖАНИЕ

На правах рукописи




ПЛЮТА Алексей Иванович




ОБ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО РОДА




05.13.18. – «Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ»




АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук




Ставрополь – 2004
Работа выполнена в Ставропольском государственном университете


Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, профессор
Стеценко Владислав Яковлевич


Официальные оппоненты: Доктор технических наук, профессор
Червяков Николай Иванович
Кандидат физико-математических наук
Толпаев Владимир Александрович


Вологодский государственный технический
Ведущая организация:
университет




Защита состоится «12» марта 2004г. в 14 часов на заседании диссерта-
ционного совета Д 212.256.05 по присуждению ученой степени кандидата
физико-математических наук в Ставропольском государственном универси-
тете по адресу: 355000, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1 физико-
математический факультет, ауд. 214


С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ по ад-
ресу: 355000, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1.


Автореферат разослан «___»___________2004г.




Ученый секретарь
диссертационного совета
кандидат физико-математических наук Л.Б. Копыткова


2
ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. При решении широкого класса задач матема-
тического анализа, алгебры, экономики требуется находить решение опера-
торных уравнений. В тех случаях, когда процесс отыскания точного реше-
ния является затруднительным, мы используем итерационные методы, по-
зволяющие найти приближенное решение с определенной степенью точно-
сти. Соответствующий класс задач можно представить с помощью опера-
торного уравнения вида
x = Ax + f (1)
с линейным или нелинейным оператором А, действующим в банаховом про-
странстве Е, и свободным членом f из этого пространства.
Следует отметить, что такие уравнения, также описывают некоторые эконо-
мические модели, например, модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
Балансовая модель производства является одной из наиболее простых мате-
матических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из ко-
торых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции,
производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребности в
этом продукте. Отсюда происходит название модели.
Впервые балансовые модели начали использоваться в СССР в 20-х годах. В
более или менее законченном виде теория балансовых моделей была разработана
американским ученым В.В. Леонтьевым в середине 30-х годов. Однако в те годы
ни уровень развития математической науки, ни качество вычислительной техники
не позволили широко распространить балансовый метод.
За разработку и внедрение в практику метода межотраслевого баланса группа
советских экономистов под руководством академика А.Н. Ефимова в 1968 году
была удостоена Государственной премии СССР. В настоящее время большое чис-
ло работ посвящается этой модели и ее применению для решения различных за-
дач. Такой интерес к балансовой модели определяется тем, что, как оказалось, эта
модель хорошо отображает многие существенные особенности современного
производства и в то же время легко поддается расчету. Во многих странах мира
балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и
прогнозирования.
В связи с появлением ЭВМ большой мощности значительно повысился ин-
терес к различным численным методам и алгоритмам, реализация которых грани-
чит с проведением вычислительного эксперимента. Потребность в таком подходе
к решению задач математической экономики диктуется все усложняющимися за-
просами практики, а также связана с попыткой создания более рациональных об-
щих теоретических моделей для изучения сложных экономических явлений.
Активное использование методов численного моделирования позволяет рез-
ко сократить сроки научных и конструкторских разработок. Поэтому, в качестве
довольно распространенных задач такого типа, например, встречается задача
о существовании у таких уравнений решения x = x* , обладающего свойством
неотрицательности. Процесс отыскания как точного, так и приближенного
решения уравнений (1) является весьма затруднительным при достаточно

3
большом количестве неизвестных. Такого рода задачи специфичны в задачах
экономики, для которых экономический смысл имеет, как правило, лишь не-
отрицательные решения. Также важно уметь строить приближения un и, со-
ответственно, vn к решению x* операторного уравнения вида (1), такие что
un ? x* ? vn
При этом, оказывается, параллельно решаются две важные задачи теории
приближенных методов решения операторных уравнений – задача об оценке
погрешности приближенного решения, а также задача об априорной оценке
относительной погрешности приближенного решения.
Цель диссертационной работы - приближенное решение операторных
уравнений вида (1) в случаях, когда спектральный радиус r ( A) оператора A
не обязательно меньше единицы; построение итерационных последователь-
ностей сходящихся к решению уравнения (1), к собственным значениям и
собственным векторам оператора A ; разработка новых методов, позволяю-
щих повышать скорость сходимости итераций к решению уравнения (1);
разработка соответствующего программного обеспечения, позволяющего
реализовать предложенные методы.
Научная задача исследований состоит в разработке новых методов
решения операторных уравнений, описывающих экономические модели (мо-
дель межотраслевого баланса).
При решении поставленной общей научной задачи получены результаты
по ряду частных задач:
1. Проведение анализа известных численных методов построения при-
ближений, сходящихся к спектральному радиусу оператора и к собственным
векторам.
2. Разработка и анализ алгоритмов, позволяющих строить приближения,
сходящиеся к точному решению операторных уравнений, в тех случаях, ко-
гда спектральный радиус оператора не обязательно меньше единицы.
3. Разработка алгоритмов решения операторных уравнений, обладаю-
щих высокой скоростью сходимости построенных приближений к точному
решению.
4. Разработка соответствующего программного обеспечения, позво-
ляющего реализовать разработанные алгоритмы решения операторных урав-
нений.
Методы исследований. Для решения поставленных в работе научных
задач использованы идеи и методы классического функционального анализа
и теории положительных, а также монотонных операторов, действующих в
полуупорядоченных банаховых пространствах.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной ра-
боте результатов вытекает из математической строгости постановки и реше-
ния исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов
в частных случаях с известными в литературе.
На защиту выносятся следующие основные положения:


4
1. Итерационный метод решения системы линейных алгебраических
уравнений вида (1) с квадратной матрицей A , в случае, когда наибольшее по
модулю собственное значение матрицы A , больше чем единица.
2. Методы получения двусторонних оценок точного решения x* опера-
торного уравнения вида (1), в случае, когда спектральный радиус оператора
A не обязательно меньше единицы, а также подходы к уточнению получен-
ных оценок.
3. Синтез методов ускорения сходимости монотонных приближений к
решению x* уравнения вида (1) и однопараметрического итеративного агре-
гирования.
4.Метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению
уравнения вида (1), в случае выбора в качестве начальных приближений век-
торы, которые ограничивают точное решение x* уравнения вида (1) «сверху»
и «снизу».
5. Вариант метода Зейделя, позволяющий строить приближения, сходя-
щиеся к точному решению x* уравнения (1) с помощью метода ускорения
сходимости.
Научная новизна диссертационной работы. Результаты работы пред-
ставляют собой развитие теории линейных и нелинейных операторов, дейст-
вующих в полуупорядоченных банаховых пространствах. Так, например,
предложены методы решения операторных уравнений вида (1) в случаях, ко-
гда у оператора A спектральный радиус r ( A) не обязательно меньше едини-
цы. Предложен метод построения двусторонних оценок точного решения
x* операторного уравнения вида (1) в случае, когда спектральный радиус не
обязательно меньше единицы. Предложены варианты методов, позволяющие
строить приближения к решению уравнений вида (1), обладающие достаточ-
но высокой скоростью сходимости. Разработано программное обеспечение
на языке программирования TURBO PASCAL, позволяющее реализовывать
предложенные итерационные методы.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность ра-
боты заключается в получении новых оценок точного решения уравнения
(1), разработке новых методов решения уравнения (1)
Практическая ценность работы заключается в возможности применения
полученных методов решения уравнения (1) при решении конкретных задач
математики и экономики. Отдельные результаты могут быть использованы
при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий.
Реализация результатов. Теоретические и практические результаты
работы использованы в учебном процессе СГУ.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались
на международной летней школе молодых ученых «Итерационные методы и
матричные вычисления» (г. Ростов-на-Дону, 2002), на международной шко-
ле-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо,
2002), на региональной научной конференции «Теоретические и прикладные
проблемы современной физики» (г. Ставрополь, 2002), на зимней математи-
ческой школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы»
5
(г.Воронеж, 2003), на региональной школе-семинаре «Современные пробле-
мы математического моделирования» (п.Абрау-Дюрсо, 2003г.) и неодно-
кратно на семинарах кафедры математического анализа Ставропольского го-
сударственного университета (руководитель – профессор В.Я. Стеценко).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных ра-
бот [1-7]. Часть результатов диссертации получена автором совместно с на-
учным руководителем профессором В.Я. Стеценко, при этом В.Я. Стеценко
в соответствующих результатах принадлежат постановка задач и общие ре-
комендации относительно метода их решения, а автору диссертации реали-
зация этих рекомендаций и доказательства соответствующих утверждений.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав,
заключения, списка литературы и программного обеспечения, оформленно-
го в приложении. В ней принята сквозная нумерация параграфов, для утвер-
ждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа
и порядковый номер утверждения или формулы в нем. Диссертация изложе-
на на 167 страницах, список использованной литературы содержит 82 на-
именования.
Автор выражает глубокую признательность и благодарность д-ру физ.-
мат. наук, проф. В.Я. Стеценко за постановку задач и общие рекомендации к
их выполнению, обсуждение полученных результатов, оказанную помощь и
поддержку при работе над диссертацией.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Проиллюстрируем обзор содержания работы с кратким обзором некото-
рых известных результатов, непосредственно связанных с рассматриваемым
кругом вопросов. Прежде чем перейти к обзору содержания работы, приве-
дем некоторые определения.
Будем рассматривать банахово пространство E , полуупорядоченное ко-
нусом K , и оператор A произвольной природы, действующий в E .
Замкнутое выпуклое множество K ? E называется конусом, если вместе
с каждой своей точкой x оно содержит луч (лучом, проходящим через точку
x ? E x ? ? , называется совокупность точек tx (t ? 0 ) ), проходящий через x , и
если из x,? x ? K вытекает, что x = ? .
Конус K называется телесным, если он содержит внутренние элементы.
Если любой элемент x пространства E может быть представлен в виде
x = u ? v (u , v ? K ) , то конус K называется воспроизводящим. Конус K называ-
ется нормальным, если из неравенства ? ? x ? y следует, что x ? M y , где
M ? const – константа нормальности, не зависящая ни от x , ни от y .
Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит
каждое ограниченное по норме пространства E множество в компактное
множество.
Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформулиро-
вана с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи

6
является спектр соответствующего оператора. Одной из основных характери-
стик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. На-
помним, что те значения ? , при которых уравнение
Ax ? ?x = f ,
где A – рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор
( A ? I ) ?1 ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений
? , не являющихся регулярными, называется спектром оператора A и обозна-
чается ? ( A) . Спектральным радиусом r ( A) оператора называется число, опре-
деленное формулой
r ( A) = sup ? , (? ? ? ( A)) .
Во введении обоснована актуальность диссертационных исследований,
сформулирована цель работы, показана научная новизна основных результа-
тов, практическая значимость, указаны основные положения, выносимые на
защиту.
Глава I посвящена обзору известных итерационных методов решения
операторного уравнения вида (1). По изложенным в Главе I методам автором
составлены программы на языке программирования TURBO PASCAL. При
помощи этих программ реализовывались рассмотренные методы на конкрет-
ных примерах.
В §1 главы I исследуется метод последовательных приближений.
Система уравнений
Ax = b
тем или иным методом преобразуется к виду системы уравнения “второго
рода”, т.е. к виду (1), после чего её решение находится как предел последова-
тельности xm +1 :
xm +1 = Axm + f , (m = 0,1,2,...) (2)
где A - матрица порядка (n ? n) , f - свободный вектор, f ? R n , x - неизвест-
ный вектор, x ? R n , x0 - начальное приближение. Этот метод (2) называется
методом простой итерации.
При решении уравнения вида (1) методом последовательных приближе-
ний (2) по заданной точности ? > 0 вычислений бывает важно определить
число итераций "m" .
При известных условиях к решению уравнения (1) сходится итерацион-
ный процесс (2), при любом начальном приближении x0 , при этом таковыми
известными условиями является одно из следующих условий:
n
max ? aij ? q1 <1
a)
i = 1, n j = 1

n
max ? a ji ? q2 <1
б)
i = 1, n j = 1

n n

??a ? q 3 <1
2
в) ij
i =1 j =1



7
Пусть ? > 0 заданное число, тогда для того чтобы гарантировать неравен-
ство:
qim
< ? , (i = 1,2,3)
x * ? xm+1 ? ? x1 ? x0
1 ? qi (i )
(i )



где x (i ) соответственно одна из норм.
Положим
? (1 ? qi )
ln
x1 ? x0 (i )
z= ,
ln(qi )
тогда достаточно определить m по формуле:
m = [z ] + 1,
где [z ] обозначается значение функции “антье от z ”, т.е. обозначает целую
часть числа z . Напомним, что [z ] - наибольшее целое число, не превосходя-
щее числа z .
На страницах §1 рассмотрены соответствующие примеры, когда по задан-
ной точности ? определяется количество приближений к вектору являющим-
ся решением данной системы уравнений, с заданной точностью ? .
В §2 рассматривается метод ускорения сходимости монотонных прибли-
жений к решению уравнения вида (1). Предполагается, что спектральный ра-
диус r ( A) < 1 ; поэтому уравнение (1) имеет единственное решение x * , кото-
рое является пределом последовательных приближений
xn +1 = Axn + f , (n = 0,1,2,...)
при любом начальном приближении x 0 ? E . Допустим, что начальное при-
ближение x 0 = u 0 выбрано так, что
u0 ? Au0 + f . (3)
Тогда последовательные приближения
un +1 = Aun + f
будут удовлетворять соотношениям
u 0 ? u1 ? ... ? u n ? u n +1 ? ... ? x *
Аналогично, если начальное приближение x 0 = v 0 удовлетворяет соотно-
шению
(4)
v0 ? Av0 + f ,
то последовательные приближения
vn +1 = Avn + f
удовлетворяют соотношениям
x * ? ... ? v n +1 ? v n ? ... ? v1 ? v 0
Таким образом, если удается найти элементы u 0 и v 0 , удовлетворяющие
соответственно соотношениям (3) и (4), то мы получаем монотонные при-
ближения к точному решению x * операторного уравнения (1).


8
В §2 предлагается определение поправочных коэффициентов p1 и q1 , та-
ких что выполнены следующие неравенства:
u1 ? u 0 ? p1 (v 0 ? v1 )
v 0 ? v1 ? q1 (u1 ? u 0 ) .
Тогда определим элементы
u1 + p1 v1 (5)
,
u1 =
*

1 + p1

v1 + q1u1 (6)
.
v1 =
*

1 + q1
Аналогично по un , vn строятся приближения u n , v n , которые можно рас-
* *


сматривать как способ уточнения приближений un , vn к точному решению x * .
Формулы (5) и (6) рассмотрены как рекуррентный процесс построения по-
следовательностей u n , v n .
* *


Рассмотренный выше метод ускорения сходимости проиллюстрирован
соответствующими примерами.
В §3 главы I рассматривается метод однопараметрического итеративного
агрегирования применительно к линейным операторным уравнениям. Дан-
ный метод проиллюстрирован соответствующими примерами, реализован-
ными на программах на языке программирования TURBO PASCAL. Вычис-
лительная практика свидетельствует о высокой сходимости метода однопа-
раметрического итеративного агрегирования и при нарушении известных ус-
ловий.
В §4 главы I рассматривается одно обобщение метода однопараметриче-
ского итеративного агрегирования в случае применения к нелинейным урав-
нениям. Данный метод также проиллюстрирован соответствующими приме-
рами, реализованными на программах, на языке программирования TURBO
PASCAL. Многочисленные примеры выявили некоторые «интересные» осо-
бенности рассматриваемого метода.
Глава II посвящена исследованию итерационных методов построения
приближений, сходящихся к спектральному радиусу и собственному вектору
линейного оператора.
Так в §5 главы II рассмотрены различные способы построения приближе-
ний, сходящихся к спектральному радиусу r ( A) .
Алгоритм получения оценок как сверху так и снизу для значений спек-
трального радиуса r ( A) оператора A базируется на следующей теореме:
Теорема 5.2 Пусть u0 ? R n - вектор у которого все компоненты (u0 )i
(i=1,2,..) являются положительными числами: (u0 )i > 0 . Пусть ??0 и ??0 та-
ковы, что
?u0 ? Au0 ? ? u0
(здесь и далее запись x ? y , x, y ? R n означает, что для всех i = 1, n выполня-
ются неравенства ( x)i ? ( y )i ). Тогда ? ? r ( A) ? ? .

9
При этом если ? n , ? n соответственно таковы, что
? n = max{ : ?u0 ? Anu0 }
?
? n = min{? : Anu0 ? ?u0 },
то
? n / n ? r ( A) ? ? n / n
1 1


и при этом последовательности { n / n } и {? n / n } сходятся, соответственно
?1 1


монотонно возрастая и монотонно убывая, к r ( A) .
По предложенному алгоритму в теореме 5.2 автором была разработана со-
ответствующая компьютерная программа на языке программирования
TURBO PASCAL. Данная программа была опробирована на большом коли-
честве примеров, которые представлены в §5.
Этот алгоритм в аналогичной форме приемлем для получения оценок сни-
зу, соответственно сверху для спектрального радиуса линейного оператора
вида
? k ( t , s ) x ( s ) ds
Ax ( t ) =
?
с неотрицательным непрерывным ядром K (t , s) .
Также в §5 указаны признаки, обеспечивающие выполнение условия
r ( A) < 1 .
Получены соответствующие признаки для случая, когда A - интегральный
оператор вида Ax ( t ) = ? K ( t , s ) x ( s ) ds , в котором ? - ограниченное замк-
?
нутое множество из евклидова пространства R m , K (t , s) - функция, для кото-
p
рой при некоторых p > 1 и q = выполняется условие:
p ?1
1
? ? q

? ??? (7)
| K ( t , s)|q ds? dt < +?
?? ?
При выполнении условия (7) оператор A , как известно, действует в про-
странстве Lp (?) и является вполне непрерывным оператором в этом про-
странстве.
Предварительно напомним определение неразложимости оператора. По-
ложительный линейный оператор A назовем неразложимым, если из того, что
x > ? , x ? ?Ax (? > 0 ) , следует, что x >> ? .
Введем в рассмотрение следующие функции
P ( t ) = ? | K ( t , s)| ds , Q( t ) = ? | K ( s, t )| ds .
? ?


Теорема 5.3. Пусть для некоторого ? ? [0,1] выполняется следующее не-
равенство
P? (t )Q1?? (t ) ? 1 , (t ? ? ) (8)
и, кроме того, выполняется одно из двух следующих условий:
10
10) в неравенстве (8) равенство допускается лишь на множестве точек
лебеговой меры нуль;
20) в неравенстве (8) строгое неравенство выполняется для всех t из не-
которого множества ? ? ? , mes? > 0 , оператор A - неразложим в про-

странстве L p (? ) .

Тогда спектральный радиус r ( A) интегрального оператора A в про-
странстве L p (? ) меньше чем единица:
r ( A) < 1.
В §6 главы II рассмотрены различные способы построения приближений
сходящихся к собственному вектору оператора A , отвечающего собственно-
му значению r ( A) .
Оператор A будем предполагать при этом не только положительным, но и
фокусирующим. Напомним определение фокусирующегося оператора.
Определение 6.1. Оператор A называется фокусирующим на конусе K ,
если он u0 -положительный и если для всех x > ? , y > ? существует постоян-
ная ? 2 , такая что
? ( Ax , Ay ) ? ? 2 .
При этом число ? назовем постоянной фокусирования.
Приведем критерий фокусирования.
Утверждение 6.1. Для того чтобы положительный оператор A был фо-
кусирующим, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие u0 ? K ,
? ? const , что для каждого x ? K выполняется неравенство
? ( x)u0 ? Ax ? ?? ( x)u0 .
Здесь u0 - фиксированный элемент конуса K . Это утверждение означает,
что AK ? K u , ? .
0


Тогда алгоритм построения приближений, сходящихся к собственному
вектору оператора A определяется следующей теоремой:
Теорема 6.3. Пусть A - фокусирующий оператор с постоянной ? .Тогда
A имеет в Ku собственный вектор x* , которому отвечает собственное
0


значение ?1 . К этому вектору x* сходится метод
Axn
xn + 1 = (n = 0,1,2,...)
|| Axn ||u0
при любом x0 ? Ku , x0 ? ? . При этом справедлива оценка близости
0


qn
? ( x , xn ) ? ? ( x1 , x0 ) ,
*

1? q
где q удовлетворяет неравенству
? ?1
q? < 1.
? +1

11
К собственному вектору x* также сходятся последовательности un и vn ,
которые удовлетворяют следующему неравенству
un ? x* ? vn
где
n
? ?1 ? ? ?1 ?
?? ?
?a? 2 ? ? +1 ?
?
An x0 ,
un = ? ?
?b?

n
? ?1 ? ? ?1 ?
?? ?
?b? 2 ? ? +1 ?
?
An x0 ,
vn = ? ?
?a?
а постоянные a и b таковы, что
ax0 ? Ax0 ? bx0
Рассмотренные в §6 методы накладывают на оператор A дополнительные
условия и ограничения.
Также рассмотрены и построены приближения, ведущие к собственному
вектору x* для некоторых классов нелинейных операторов F (x) . Здесь выде-
лен соответствующий класс нелинейных операторов F (x) , действующих в
полуупорядоченном банаховом пространстве, являющимся монотонным от-
носительно нормального конуса K и таким, что
F (?x) ? ? µ F ( x)
для всех x ? K и ? ? [1;+? ], где µ < 1, µ ? const .
В главе III рассмотрены новые конструкции и алгоритмы построения
приближений, сходящихся к точному решению x* операторного уравнения
вида (1).
Так в §7 главы III рассмотрен метод перехода от уравнения вида (1) с мат-
рицей A , к уравнению
y = By + g (9)
с матрицей B , спектральный радиус которой меньше, чем спектральный ра-
диус матрицы A (r ( B) < r ( A) ) .
Этот прием основан на предварительном преобразовании уравнения (1) к
новому уравнению вида (9), для которого будет выполнено неравенство:
r ( B) < 1
и, следовательно, для решения которого может быть использован метод по-
следовательных приближений:
xm +1 = Bxm + f , (m = 0,1,...)
при любом начальном приближении x0 .
Соответствующий метод основан на результатах работ В.Я Стеценко,
Т.А. Костенко, В.А. Семилетова и заключается в следующем.
Пусть у оператора A среди собственных значений только одно больше
единицы, тогда:
10) нормируем собственные векторы x* и l * матрицы A и A* , соответст-
венно условием
l * ( x* ) = 1;

12
20) по матрице A строим матрицу B согласно формуле
def
Bx = Ax ? ?1l * ( x) x* ,
где ?1 = r ( A) . При этом явный вид матрицы B может быть найден по виду
матрицы A и виду векторов x* и l * . Спектр матрицы B расположен внутри
круга с центром в начале координат и радиусом равным единице, что позво-
ляет применять для решения уравнения с матрицей B метод последователь-
ных приближений.
На самом деле этот метод обладает существенно большими потенциаль-
ными возможностями, в силу которых предлагается прием решения уравне-
ний вида (1) с матрицами A , необязательно являющихся неотрицательными
матрицами. Этот метод был реализован на языке программирования TURBO
PASCAL для матриц A , спектральный радиус которых больше единицы.
В §8 главы III рассмотрен метод получения оценок вида:
u ? x* ? v ,
где x* - неизвестное решение линейного операторного уравнения вида (1).
Соответствующие оценки базируются на следующих теоремах:
Теорема 8.1. Пусть xn ? p , xn , xn + p (n = 0,1,2,...) соответствующие приближе-
ния к решению x* метода последовательных приближений
(m = 0,1,2,...)
xm +1 = Axm + f .
Подчеркнем, что при этом сходимость этих последовательных прибли-
жений к x* заранее не предполагается.
Пусть постоянная ? такова, что ? ? [0;1) и при этом выполнено неравен-
ство
xn + p ? xn ? ? (xn ? xn ? p ).
Тогда для решения x* уравнения (1) (если это решение существует)
справедлива следующая оценка
?
( xn + p ? xn ) ,
x * ? xn + p +
1? ?
которую естественно назвать априорной оценкой “сверху” неизвестного
решения x* .
Теорема 8.2. Пусть xn ? p , xn , xn + p (n = 0,1,2,...) соответствующие приближе-
ния к решению x* метода последовательных приближений. Пусть постоян-
ная ? такова, что ? < 1 и при этом выполняется неравенство
? (xn ? xn ? p ) ? xn + p ? xn ,
то справедлива следующая априорная оценка “снизу” для неизвестного ре-
шения x* :
?
( xn + p ? xn ) .
x * ? xn + p +
1? ?
Отмечен тот факт, что предложенный метод получения оценок точного ре-
шения x* операторного уравнения вида (1) эффективен и в том случае, когда
r ( A) > 1 .



13
В §9 главы III рассмотрены подходы к уточнению границ решения опера-
торных уравнений вида (1) в случае, когда спектральный радиус r ( A) не обя-
зательно меньше единицы. Соответствующие уточнения базируются на сле-
дующих теоремах.
Теорема 9.1. Пусть оператор A p является u0 - ограниченным снизу.
Пусть выполнено неравенство
xn + p ? xn ? ? (xn ? xn ? p ) (10)
и ? > ?0 .
Тогда имеет место следующее уточнение оценки “сверху” для решения
x уравнения (1):
*

? ?
u0 ,
x * ? xn + p + ( xn + p ? xn ) ?
1? ? (1 ? ? )(1 ? ? 0 )
где ? и ? 0 определяются согласно (8) и
(? 0 > 0) ,
A p u0 ? ? 0u0 (11)
а
? = ? [? (xn ? xn ? p ) ? (xn + p ? xn )] > 0.
Теорема 9.2. Пусть оператор A p является u0 - ограниченным снизу.
Пусть для последовательных приближений xn + p , xn , xn ? p , где n и p фиксиро-
ванные натуральные числа (n ? p ) , выполняется неравенство
? (xn ? xn ? p ) ? xn + p ? xn
причем 0 < ? < 1 и ? > ? 0 .
Тогда имеет место следующее уточнение оценки “снизу” для решения x*
уравнения (1):
? ?1
u0 ,
x * ? xn + p + ( xn + p ? xn ) +
1? ? (1 ? ? )(1 ? ? 0 )
где ? и ? 0 определяются в соответствии с неравенствами
? (xn ? xn ? p ) ? xn + p ? xn
и (11), а
?1 = ?1 [(xn + p ? xn ) ? ? (xn ? xn ? p )] > 0.
В §10 главы III предлагается один вариант метода, позволяющего строить
приближения к решению системы линейных уравнений вида (1), обладающе-
го достаточно высокой скоростью сходимости. Предлагаемый вариант по
существу представляет собой сочетание методов итеративного агрегирования
(см. §3) и использует идею ускорения сходимости для известного варианта
ускорения сходимости метода последовательных приближений (см. §2).
Предлагаемый в данном параграфе метод по существу гарантирует достаточ-
но высокую степень сходимости к исходному решению и отличается просто-
той в его реализации. Немаловажной особенностью этого метода является то,
что этот метод способен сходится к решению уравнения вида (1) и в случае,
когда спектральный радиус матрицы A больше единицы r ( A) > 1 , чего не мо-
гут себе позволить хорошо известные итерационные методы решения опера-
торных уравнений, например метод наискорейшего спуска. Преимущества
14
предлагаемого метода также проиллюстрированы соответствующими приме-
рами и графиками.
В §11 главы III приближения “снизу” и “сверху” к точному решению x*
операторного уравнения вида (1), строятся по методу ускорения сходимости
монотонных приближений (см.§2) к точному решению x* уравнения вида (1)
по следующим формулам:
un + pn vn vn + qn un
, .
un = vn =
* *

1 + pn 1 + qn
Здесь в качестве начальных приближений u0 , v0 предлагается выбрать векто-
ры, полученные по следующим формулам:
?
( xn + p ? xn ) ,
xn + p +
1? ?
?
( xn + p ? xn ) ,
xn + p +
1? ?
где xn ? p , xn , xn + p (n = 0,1,2,...) соответствующие приближения к решению x* ме-
тода последовательных приближений:
xn +1 = Axn + f , (n = 0,1,2,...)
постоянная ? такова, что ? < 1 и при этом выполняется неравенство:
? (xn ? xn ? p ) ? xn + p ? xn
постоянная ? такова, что ? ? [0,1) и при этом выполнено неравенство:
xn + p ? xn ? ? (xn ? xn ? p ).
В §12 главы III рассмотрен вариант метода Зейделя. Одна из возможных
интерпретаций метода Зейделя решения линейных алгебраических систем и
более общих операторных уравнений заключается в следующем. Если тре-
буется решить уравнение вида (1), то при условии, что
А=А1+А2
и в предположении, что существует обратный оператор к оператору (I-A1),
уравнение (1), можно переписать в эквивалентном виде
x = ( I ? A1 ) ?1 ? A2 x + ( I ? A1 ) ?1 ? f ,
после чего к полученному уравнению применить метод последовательных
приближений
xm+1 = (I ? A1 ) A2 xm + (I ? A1 ) f , (m = 1,2,...) ,
?1 ?1


который можно также записать в виде
(m = 1,2,...)
y m +1 = A1 y m +1 + A2 y m + f
Т.е. по сути, применять метод последовательных приближений для ре-
шения операторного уравнения вида
x = Dx + h , (12)
где D = (I ? A1 )?1 ? A2 , h = (I ? A1 )?1 ? f .
Именно такую интерпретацию допускает классический метод Зейделя ре-
шения линейных систем алгебраических уравнений.
Суть излагаемого в данном параграфе варианта метода Зейделя, для по-
строения приближений, сходящихся к точному решению операторного урав-
нения, состоит в том, что к полученному уравнению (12) предлагается при-
15
менить метод ускорения сходимости приближений, рассмотренный в §2.
Здесь также исследовано влияние порядка метода Зейделя на скорость схо-
димости приближений.
По всем вышеприведенным методам автором диссертации созданы про-
граммные продукты, позволяющие не только проиллюстрировать, но и зна-
чительно расширить результаты теоретических исследований. В частности,
автором применялись язык программирования TURBO PASCAL, математи-
ческие среды MathСad. В результате расчетов накоплен большой экспери-
ментальный материал, заметная часть из которого приведена в настоящей
диссертации.

Заключение

Проведенные в диссертационной работе исследования направлены на раз-
работку новых методов решения операторных уравнений, описывающих эко-
номические модели (модель межотраслевого баланса). Получены следующие
научные и практические результаты.
1. Разработан и апробирован на большом количестве примеров итераци-
онный метод решения системы линейных алгебраических уравнений вида
x = Ax + f с квадратной матрицей A , в случае, когда наибольшее по модулю
собственное значение матрицы A , больше чем единица.
2. Предложен метод получения двусторонних оценок точного решения
x* операторного уравнения вида x = Ax + f , в случае, когда спектральный ра-
диус не обязательно меньше единицы, а также подходы к уточнению полу-
ченных оценок. Метод проиллюстрирован соответствующими примерами.
3. Получен синтез методов ускорения сходимости монотонных прибли-
жений к решению x* уравнения вида x = Ax + f и однопараметрического ите-
ративного агрегирования.
4. Разработан и апробирован на большом количестве примеров вариант
метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравне-
ния вида x = Ax + f , в котором упрощена задача поиска начальных приближе-
ний.
5. Разработан и апробирован на большом количестве примеров вариант
метода Зейделя, позволяющий строить двусторонние приближения к точно-
му решению уравнения вида x = Ax + f .
6. Составлена библиотека программ на языке программирования TURBO
PASCAL, которая позволяет реализовывать полученные в данной работе ме-
тоды и алгоритмы.
Таким образом:
- Разработаны новые методы решения операторных уравнений, описы-
вающих экономические модели (модель межотраслевого баланса), обладаю-
щих высокой скоростью сходимости последовательностей к точному реше-
нию данных уравнений, а также способностью сходится к точному решению
даже в тех случаях, когда спектральный радиус оператора больше единицы.

16
- Разработан комплекс программ на языке программирования TURBO
PASCAL, реализующих эти алгоритмы.

Основные результаты опубликованы в работах:
1. Плюта А.И. Об одном варианте метода ускорения сходимости монотон-
ных приближений к решению уравнения вида x = Ax + f //Теоретические и
прикладные проблемы современной физики: Материалы Региональной
научной конференции. – Ставрополь: Изд-во СГУ, 2002. – С.255-262.
2. Плюта А.И. О некоторых методах получения оценок точного решения x *
операторных уравнений вида x = Ax + f в случае, когда спектральный ра-
диус ? ( A) не обязательно меньше единицы// Международная летняя шко-
ла молодых ученых «Итерационные методы и матричные вычисления».
Лекции приглашенных лекторов и тезисы докладов молодых ученых. -
Ростов-на-Дону: РГУ, 2002. – С.482-486.
3. Плюта А.И., Стеценко В.Я. «Гибрид» методов ускорения сходимости мо-
нотонных приближений к решению уравнения вида x = Ax + f и однопара-
метрического итеративного агрегирования//Ученые записки физико-
математического факультета Ставропольского государственного универ-
ситета. – Ставрополь: СГУ , 2002. – С.79-85.
4. Плюта А.И., Стеценко В.Я. Об одном варианте метода Зейделя. //Журнал
«Математическое моделирование». – 2003. – Т.15, №12. - С.29-36
5. Стеценко В.Я., Плюта А.И. Обзор и реализация на ЭВМ методов решения
систем линейных и нелинейных уравнений. Учебное пособие. – Ставро-
поль: Изд-во СГУ, 2003.-71с.
6. Стеценко В.Я., Плюта А.И. О некоторых методах построения монотонных
приближений к решению линейных операторных уравнений.// Теоретиче-
ские и прикладные проблемы современной физики. Материалы регио-
нальной научной конференции. – Ставрополь, 2002.-С.281-284.
7. Стеценко В.Я., Плюта А.И. Об одном итерационном методе решения сис-
тем линейных алгебраических уравнений вида x = Ax + f с квадратной
матрицей A //Современные методы теории функций и смежные пробле-
мы: Материалы конференции. – Воронеж: ВГУ, 2003. -С.250-251.
8. Стеценко В.Я., Кириллова Л.Н.,Плюта А.И. Новые оценки сверху спек-
трального радиуса матричных и интегральных операто-
ров//Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.
Ефимова. Труды участников. – Ростов-на-Дону, 2002.-С.160-161.




17



СОДЕРЖАНИЕ