СОДЕРЖАНИЕ

УДК 517.9 Работа выполнена в Челябинском государственном уни-
верситете на кафедре математического анализа.
На правах рукописи
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук,
доцент Федоров Владимир Евгеньевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
пpофессоp Максимов Вячеслав Иванович
Рузакова Ольга Александровна
кандидат физико-математических наук,
доцент Макаров Анатолий Семенович
ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ Ведущая организация:
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Институт математики
СОБОЛЕВСКОГО ТИПА им. С.Л. Соболева СО РАН


Защита состоится "16" июня 2004 года в 13 ч. 00 мин. на
01.01.02. дифференциальные уравнения
заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуж-
дению ученой степени кандидата физико-математических
наук при Уральском государственном университете
АВТОРЕФЕРАТ
им. А.М. Горького по адpесу:
диссертации на соискание ученой степени
620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, а. 248.
кандидата физико-математических наук
С диссертацией можно ознакомиться в научной
библиотеке Уральского государственного унивеpситета
им. А.М. Горького.


Автоpефеpат разослан "6" мая 2004 г.


ЕКАТЕРИНБУРГ 2004 Ученый секpетаpь
диссертационного совета
доктор физико-математических
наук, профессор В.Г. Пименов
Актуальность темы. Уравнениями соболевского типа по времени исследовали в своих работах Н.Н. Красовский,
называются уравнения, не разрешенные относительно стар- R.E. Kalman, Y.C. Ho, K.S. Narendra, H.O. Fattorini, R. Trig-
шей производной по времени. Такие уравнения возникают giani, Ф.А. Шолохович, А.Б. Куржанский, Л.М. Куперман,
при моделировании различных реальных процессов. В на- Ю.М. Репин, С.А. Нефедов и многие другие. Управляе-
стоящее время уравнения соболевского типа изучаются в мость уравнений соболевского типа, ранее, по-видимому, не
рамках двух подходов. К первому следует отнести работы исследовалась.
Цель работы. Пусть X, Y, U банаховы пространства.
С.Л. Соболева, С.А. Гальперна, А.Г. Костюченко, Г.И. Эс-
кина и многих других. Данный подход предполагает непо- Рассматривается задача Коши
средственное исследование начально-краевых задач для
x(0) = x0 (1)
уравнений или систем уравнений в частных производных.
Другой подход подразумевает изучение абстрактных опе-
для линейного уравнения соболевского типа
раторных уравнений с дальнейшими приложениями к кон-
кретным начально-краевым задачам. В настоящее время в .
L x (t) = M x(t) + Bu(t), 0 ? t ? T. (2)
этой области активно и плодотворно работают И.В. Мель-
никова, Н.А. Сидоров, R.E. Showalter, A. Favini, A. Yagi, Здесь операторы L ? L(X; Y), M ? Cl(X; Y), B ? L(U; Y),
Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров и многие другие. функция u(t) : [0, T ] > U обозначает управление. Цель ра-
Одной из наиболее часто возникающих и важных за- боты исследовать управляемость уравнения (2), то есть
дач прикладного характера является задача оптимального возможность приведения траектории его решения в наперед
управления. Для линейного уравнения соболевского типа заданную точку или ?-окрестность заданной точки
задача оптимального управления исследовалась в работах (?-управляемость) в случае, когда kerL = {0}, а оператор
Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова. В конечномерных про- M сильно (L, p)-радиален, то есть существует сильно непре-
странствах уравнения соболевского типа или так называе- рывная разрешающая полугруппа однородного уравнения
мые алгебро-дифференциальные уравнения и, в частности, (2).
задачи оптимального управления для них, рассматривают- В предположении, что пространство управлений U ко-
ся в работах Ю.Е. Бояринцева и В.Ф. Чистякова. Одна- m
нечномерно, а оператор Bu(t) = bi ui (t), уравнение (2)
ко, решение задач оптимального управления имеет смысл i=1
принимает вид
лишь в случае существования множества управлений, то
есть при возможности неоднозначного выбора управления, m
.
приводящего к желаемой цели. Поэтому необходимо, что- L x (t) = M x(t) + bi ui (t), 0 ? t ? T, (3)
бы система обладала свойством управляемости1 . Управля- i=1
емость уравнения, разрешенного относительно производной
где функции ui (t) : [0, T ] > R обозначают управления,
векторы bi ? Y, 1 ? i ? m. Еще одной целью диссер-
1
Шолохович Ф.А. Об управляемости линейных динамических си-
тационной работы является исследование конечномерной
стем // Изв. УрГУ. 1998. № 10. Вып. 1. С. 103 – 126.


3 4
?-управляемости вырожденного уравнения (3) (kerL = {0}) оператором при производной. Полученные абстрактные ре-
с (L, ?)-ограниченным оператором M , L-резольвента кото- зультаты реализованы в конкретных начально-краевых за-
рого имеет несущественную особую точку в бесконечности. дачах. Все результаты являются новыми.
Кроме того, нашей целью является исследование ?-уп-
Теоретическая и практическая значимость. Резуль-
равляемости уравнения
таты диссертации имеют как теоретический, так и прак-
тический характер. К результатам теоретической значимо-
m
.
L x (t) = M x(t) + bi (t)ui (t) + c(t), 0 ? t ? T, (4) сти следует отнести найденные критерии ?-управляемости и
управляемости абстрактных уравнений соболевского типа.
i=1

Полученные результаты затем используются при исследо-
содержащего вектор–функции bi (t), c(t) : [0, T ] > Y,
вании управляемости начально-краевых задач для уравне-
1 ? i ? m, с сильно (L, p)-радиальным оператором M .
ния Баренблатта–Желтова–Кочиной, уравнения эволюции
Методы исследования. В основе нашего подхода ле-
свободной поверхности фильтрующейся жидкости, уравне-
жит метод фазового пространства2 . Суть метода заклю-
ния стратификации объемного заряда в полупроводнике и
чается в редукции сингулярного уравнения (2) к паре экви-
многих других неклассических уравнений и систем уравне-
валентных ему уравнений
ний математической физики.
x1 (t) = S1 x1 (t) + L?1 QBu(t),
?
Апробация работы. Результаты, изложенные в дис-
1

сертации, были представлены на Всероссийской научной
H x0 (t) = x0 (t) + M0 (I ? Q)Bu(t),
? ?1
конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых за-
определенных, однако, не на пространстве X, а на взаимно дач" (Екатеринбург, 2001, 2004) XXXIX Международной
дополнительных подпространствах, одно из которых явля- научной студенческой конференции "Студент и научно–тех-
ется фазовым пространством уравнения, а другое ядром нический прогресс" (Новосибирск, 2001), научных студен-
разрешающей полугруппы. Полученные уравнения затем ческих конференциях "Студент и научно–технический про-
исследуются методами функционального анализа, теории гресс" (Челябинск, 2001 – 2003), Международных научных
полугрупп операторов, теории управляемости эволюцион- конференциях "Дифференциальные и интегральные урав-
ных уравнений. При изучении прикладных задач исполь- нения. Математические модели" (Челябинск, 2002), "Ill–po-
зуются классические методы теории уравнений в частных sed and inverse problems" (Новосибирск, 2002), "Обратные
производных. задачи: теория и приложения" (Ханты–Мансийск, 2002),
Новизна полученных результатов. Основными ре- "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы
зультатами диссертации являются теоремы об управляемос- преподавания математики" (Тамбов, 2003), Всероссийской
ти и ?-управляемости дифференциального уравнения пер- конференции "Актуальные проблемы прикладной матема-
вого порядка в банаховом пространстве с вырожденным тики и механики" (Екатеринбург, 2003), на семинаре проф.
Г.А. Свиридюка в Челябинском государственном универси-
2
Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and
тете.
Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.


5 6
Кроме того, данное исследование поддержано грантами представлены необходимые результаты по теории диффеpен-
Минобразования РФ № A03-2.8-82, Минобразования РФ и циальных операторов в банаховых пространствах.
Вторая глава посвящена исследованию бесконечномер-
Правительства Челябинской области № 03-01-б, стипенди-
ей Президента РФ (2003) и стипендией Законодательного ной управляемости уравнения соболевского типа. В пер-
Собрания Челябинской области (2003). вом параграфе вводятся определения ?-управляемости из
Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 нуля, в нуль и из любой точки в любую для уравнения
работ, список которых приводится в конце автореферата. (2) с сильно (L, p)-радиальным оператором M . Кроме то-
Результаты, опубликованные в совместных с научным руко- го, помимо ?-управляемости за время T вводится понятие
водителем работах, получены автором самостоятельно; со- ?-управляемости за свободное время. Изучается взаимосвязь
автору принадлежит постановка задачи и основное направ- данных определений для уравнения, определенного на фа-
ление исследования. зовом пространстве уравнения (2) и суженного на ядро раз-
Структура и объем работы. Диссертация состоит из решающей полугруппы уравнения, приводятся необходимые
введения, трех глав и списка литературы. Объем диссерта- условия ?-управляемости. Заметим, что в рассмотренных
ции составляет 110 страниц. Библиография содержит 127 нами условиях решение задачи Коши содержит производ-
наименований работ российских и зарубежных авторов. ные, поэтому в качестве класса функций управления нами
выбран класс функций управления V (T ) = C p+1 ([0, T ]; U).
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Кроме того, функции управления должны удовлетворять
условию согласования с начальным значением x0 задачи
Во введении обосновывается актуальность темы иссле- Коши
дования, определяется цель работы, дается обзор литерату-
p
ры по исследуемой проблематике.
H k M0 (I ? Q)Bu(k) (0),
(I ? P )x0 = ? ?1
Первая глава содержит предварительные сведения. В
k=0
ней собраны факты, которые так или иначе используются
при доказательстве основных результатов диссертации. В поэтому множество допустимых функций управления сужа-
первом паpагpафе представлены сведения об относитель- ется до Vx0 (T ). Второй параграф содержит критерии ?-уп-
ных резольвентах. Второй и третий параграфы содержат равляемости сужения уравнения (2) на его фазовое про-
соответственно основные факты об (L, ?)-огpаниченных и странство, которое является разрешенным уравнением от-
сильно (L, p)-радиальных операторах и соответствующих носительно производной, полученные ранее в работах
им аналитических группах и сильно непрерывных полу- H.O. Fattorini5 , R. Triggiani6 . Они сформулированы в адап-
группах опеpатоpов с ядрами, доказанные ранее в работах
операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, вып. 3. С. 173 – 200.
Г.А. Свиpидюка3 , В.Е. Федорова4 . В четвертом паpагpафе 5
Fattorini H.O. On complete controllability of linear systems // J.
3
Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи Di?erent. Equat. 1967. V. 3. P. 391 – 402.
6
Triggiani R. Controllability and observability in Banach space with
мат. наук. 1994. Т. 49, № 4. С. 47 – 74.
4
Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы bounded operators // SIAM J. on Control, 1975. V. 13, № 2, 462 – 491.


7 8
тированном для нашего уравнения виде и доказаны для оператор–функции (µL ? M )?1 , приведены в седьмом пара-
нашего класса функций управления. В третьем параграфе графе. (При этом используются результаты о точной управ-
найдены критерии ?-управляемости уравнения на ядре раз- ляемости разрешенного относительно производной уравне-
решающей полугруппы и уравнения (2). ния, полученные ранее7 ).

Теорема 1. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, опе- Теорема 3. Пусть оператор M (L, ?)-ограничен, причем
ратор B непрерывно обратим. Система (2) ?-управляема бесконечность является несущественной особой точкой по-
за свободное время T в том и только в том случае, когда рядка p оператор–функции (µL ? M )?1 . Если система (2)
управляема, тогда при некотором m ? N0
span{im X T L?1 QB, T ? 0} = X1 ,
1

span{im S1 L?1 QB, 0 ? k ? m} = X1 ,
k
span{im H k M0 (I ? Q)B, 0 ? k ? p} = dom M0 .
?1
1


Теорема 2. Пусть оператор M (L, ?)-ограничен, причем span{im H k M0 (I ? Q)B, 0 ? k ? p} = dom M0 .
?1

бесконечность является несущественной особой точкой по-
В восьмом параграфе исследуется точная управляемость
рядка p оператор–функции (µL ? M )?1 , оператор B непре- уравнения (2) для случая переменного оператора управле-
рывно обратим. Система (2) ?-управляема в том и только ния B(t).
в том случае, когда
Теорема 4. Пусть оператор M (L, ?)-ограничен, причем
1
k
span{im S1 L?1 QB, k ? N0 } = X , бесконечность является несущественной особой точкой по-
1

рядка p оператор–функции (µL ? M )?1 , оператор–функция
span{im H k M0 (I ? Q)B, 0 ? k ? p} = dom M0 .
?1
B(t) аналитична в круге ST (0). Если система (2) управля-
В четвертом параграфе полученные абстрактные резуль- ема, тогда существует t0 такое, что QB(t0 ) = O,
таты применяются при изучении ?-управляемости уравне-
ния эволюции свободной поверхности фильтрующейся жид- p
Ck H k M0 (I ? Q)B (k?l) (0), 0 ? l ? p = dom M0
l
span im
кости. Полученные абстрактные результаты использованы
?1

при исследовании начально–краевой задачи для алгебро– k=l
дифференциальной системы уравнений с частными произ- и при некотором m ? N0
водными в пятом параграфе. В шестом параграфе вводят-
ся понятия точной управляемости уравнения (2). Необходи-
span{im Ak (T ), 0 ? k ? m} = X1 .
мые условия точной управляемости уравнения (2) в пред-
положении, что оператор M (L, ?)-ограничен, а бесконеч- 7
Коробов В.И., Рабах Р. Точная управляемость в банаховом про-
ность является несущественной особой точкой порядка p странстве // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 12. С. 2142 – 2150.


9 10
В третьей главе изучается конечномерная управляе- рассмотрена задача с раздельными функциями управления,
мость уравнения соболевского типа. В первом параграфе для которой сформулирован критерий ?-управляемости. В
приводится критерий конечномерной ?-управляемости для четвертом параграфе полученные абстрактные результаты
уравнения, определенного на фазовом пространстве уравне- применяются для исследования конечномерной ?-управля-
ния (3) в предположении, что оператор M (L, ?)-ограничен, емости задачи Коши – Дирихле для уравнения Баренблат-
а бесконечность является несущественной особой точкой по- та – Желтова – Кочиной. Пятый параграф посвящен ис-
рядка p оператор–функции (µL ? M )?1 . Нами показано, следованию ?-управляемости более общего уравнения (4).
что полученный ранее А.Б. Куржанским8 критерий спра- Уравнение такого вида, разрешенное относительно произ-
ведлив и в нашем случае при использовании более узкого водной, исследовано ранее9 . В предположении, что опера-
класса функций управления. Во втором параграфе показа- тор M сильно (L, p)-радиален, найдены необходимые усло-
но, что ?-управляемость суженного на ядро разрешающей вия конечномерной ?-управляемости вырожденного уравне-
полугруппы уравнения равносильна точной управляемости ния (4) (ker L = {0}).
и получен ее критерий. Третий параграф содержит необхо-
Теорема 6. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, век-
димое условие конечномерной ?-управляемости уравнения
(3). тор–функции bi (t), c(t) ? C p+1 ([0, T ]; Y0 ), 1 ? i ? m. Если
система (4) ?-управляема за время T , тогда
Теорема 5. Пусть оператор M (L, ?)-ограничен, а беско-
span{X T ?s L?1 b1 (s), 0 ? s ? T, 1 ? i ? m} = X1 ,
нечность является несущественной особой точкой поряд- 1i
ка p оператор–функции (µL ? M )?1 . Если система (3)
пространство X0 не более, чем (p + 1)m-мерно, а система
?-управляема, то линейная оболочка векторов
векторов
{S1 L?1 b1 , k ? N0 , 1 ? i ? m}
k
1i p
0(k?l)
Ck H k M0 bi
l
(T ), 0 ? l ? p, 1 ? i ? m
?1
X1 ,
плотна в пространстве а система векторов
k=l

{H k M0 b0 , 0 ? k ? p, 1 ? i ? m}
?1
является в нем условным базисом.
i

Шестой параграф содержит пример не ?-управляемой
является условным базисом в пространстве X0 .
системы. В седьмом параграфе рассмотрена начально-крае-
вая задача для уравнения, содержащего многочлены от эл-
Отмечено, что в данной постановке задачи, найденное усло-
вие не является достаточным, в результате чего там же 9
Нефедов С.А., Шолохович Ф.А. Критерий ?-управляемости ли-
8
Куржанский А.Б. К управляемости в банаховых пространствах // нейной системы // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 4. С. 653 –
Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, № 9. C. 1715 – 1718. 657.


11 12
липтического оператора высокого порядка, которая являет- 2. Рузакова О.А. Управляемость неоднородного уравне-
ся обобщением некоторых задач, рассмотренных в преды- ния соболевского типа с сильно (L, p)-радиальным опе-
дущих параграфах. ратором // Студент и научно–технический прогресс.
Тез. научн. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ, 2001.
Основные результаты диссертации.
С. 9 – 11.
1. Получены критерии ?-управляемости уравнения (2) с 3. Рузакова О.А. Об одномерной управляемости линей-
сильно (L, p)-радиальным оператором M и непрерыв- ных уравнений соболевского типа // Уравнения со-
но обратимым оператором B. болевского типа. Сб. науч. работ. Челябинск: ЧелГУ,
2002. С. 215 – 219.
2. Найдены необходимые условия управляемости урав-
4. Рузакова О.А. Об одномерной управляемости линей-
нения (2) в предположении, что оператор M (L, ?)-
ных уравнений соболевского типа // Студент и науч-
ограничен, бесконечность является несущественной осо-
но–технический прогресс. Тез. науч. студ. докл. Челя-
бой точкой порядка p оператор–функции (µL ? M )?1 .
бинск: ЧелГУ, 2002. С. 5 – 6.
3. Получены критерии ?-управляемости уравнения (3) 5. Рузакова О.А. Двумерная управляемость задачи Ко-
в предположении, что оператор M (L, ?)-ограничен, ши–Дирихле для уравнения Баренблатта–Желтова–
бесконечность является несущественной особой точ- Кочиной // Обратные задачи: теория и приложения:
кой порядка p оператор–функции (µL ? M )?1 . Тез. докл. междунар. науч. школы–конф. Часть 2.
Ханты–Мансийск, 2002. С. 30 – 31.
4. Найдены необходимые условия конечномерной ?-уп-
6. Рузакова О.А. Конечномерная управляемость уравне-
равляемости уравнения (4) с сильно (L, p)-радиальным
ний соболевского типа // Актуальные проблемы при-
оператором M .
кладной математики и механики. Тез. докл. Всеросс.
конф. Екатеринбург. 2003. С. 65 – 66.
5. Получены условия ?-управляемости для начально-кра-
евых задач для некоторых неклассических уравнений 7. Рузакова О.А. Двумерная управляемость уравнения
в частных производных. соболевского типа // Студент и научно–технический
прогресс: Тез. науч. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ,
2003. С. 6.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
8. Рузакова О.А. Конечномерная управляемость уравне-
ний соболевского типа // Вестн. ЧелГУ. Математика,
1. Рузакова О.А. Управляемость неоднородного уравне-
механика, информатика. 2003, № 1. С. 127 – 135.
ния соболевского типа с сильно (L, p)-радиальным опе-
ратором // Студент и научно–технический прогресс. 9. Рузакова О.А. К вопросу об одномерной управляе-
Тез. междунар. научн. студ. конф. Новосибирск, 2001. мости линейных вырожденных уравнений // Вестник
С. 127 – 128. МаГУ. Сер. Математика. 2003, Вып. 4. С. 111 – 120.

13 14
10. Рузакова О.А. Конечномерная управляемость урав-
нений соболевского типа // Алгоритмический анализ
неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф.
Екатеринбург. 2004. С. 216.
11. Рузакова О.А., Федоров В.Е. Об одномерной управля-
емости в гильбертовых пространствах линейных урав-
нений соболевского типа // Алгоритмический анализ
неустойчивых задач. Тез. докл. Всеросс. научн. конф.
Екатеринбург, 2001. С. 177 – 178.
12. Рузакова О.А., Федоров В.Е. Одномерная управляе-
мость уравнений соболевского типа // Дифференц.
и интегральные уравнения. Мат. модели. Тез. докл.
междунар. науч. конф. Челябинск, 2002. С. 85.
13. Федоров В.Е., Рузакова О.А. Одномерная управляе-
мость в гильбертовых пространствах линейных урав-
нений соболевского типа // Дифференц. уравнения.
2002. Т. 38, № 8. C. 1137 – 1139.
14. Федоров В.Е., Рузакова О.А. Управляемость линей-
Подписано в печать 05.05.04. Формат 60 ? 84 1/16.
ных уравнений соболевского типа с относительно
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0.
p-радиальными операторами // Изв. вузов. Матема-
Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 115. Бесплатно.
тика. 2002. № 7. C. 54 – 57.
15. Федоров В.Е., Рузакова О.А. Одномерная и двумер-
Челябинский государственный университет
ная управляемость уравнений соболевского типа в ба-
454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129
наховых пространствах // Мат. заметки. 2003. T. 74,
№ 4. С. 618 – 628.
Полиграфический участок Издательского центра
16. Ruzakova O.A. Two–dimensional controllability of Sobolev Челябинского государственного университета
type equation // Ill-posed and inverse problems: Abstracts 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57б
of internat. conf. Novosibirsk, Sobolev Institute press,
2002. p. 140.




15



СОДЕРЖАНИЕ