Íà ï°àâൠ°óê®ïè±è




‘ò°è¦®â ‚à¤è¬ ‚èêò®°®âè·

‘ÎÃËÀ‘΂ÀÍÈ… ÝÊ‘Ï…Ð’ÍÛ• Ζ…ÍÎÊ
ÏÐÈ ÏΑ’ÐÎ…ÍÈÈ
ÈÍ’…ÃÐÀËÜÍÛ• ÈÍ„ÈÊÀ’ÎÐ΂



05.13.11  ¬àòå¬àòè·å±ê®å è ï°®ã°à¬¬í®å ®áå±ïå·åíèå
⻷豫èòå«üí»µ ¬àøèí, ꮬï«åê±®â è ꮬïüþòå°í»µ ±åòå©




À‚’ÎÐ…”…ÐÀ’

¤è±±å°òàöèè íà ±®è±êàíèå ó·eí®© ±òåïåíè
êàí¤è¤àòà ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê




Ì®±êâà  2002
Ðàá®òà â»ï®«íåíà â ‚»·è±«èòå«üí®¬ öåíò°å è¬åíè À. À. „®°®¤íèö»íà
Ю±±è©±ê®© àêà¤å¬èè íàóê




Íàó·í»© °óê®â®¤èòå«ü:
êàí¤è¤àò ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê ‚. ‚. ˜àêèí

Îôèöèà«üí»å ®ïï®íåíò»:
¤®êò®° ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê, ï°®ôå±±®° ‘. À. À©âà§ÿí
êàí¤è¤àò ôè§èê®-¬àòå¬àòè·å±êèµ íàóê È. ”. ˜àµí®â

‚å¤óùàÿ ®°ãàíè§àöèÿ:
Èí±òèòóò ⻷豫èòå«üí®© ¬àòå¬àòèêè ÐÀÍ




Çàùèòà ±®±ò®èò±ÿ   2002 ã. â ·à±®â íà §à±å¤à-
íèè ¤è±±å°òàöè®íí®ã® ±®âåòà „002.017.02 ‚»·è±«èòå«üí®ã® öåíò°à è¬å-
íè À. À. „®°®¤íèö»íà ÐÀÍ ï® à¤°å±ó 119991, Ì®±êâà, ÑÏ-1, ó«. ‚àâè-
«®âà, 40.


‘ ¤è±±å°òàöèå© ¬®¦í® ®§íàꮬèòü±ÿ â áèá«è®òåêå ‚»·è±«èòå«üí®ã® öåí-
ò°à è¬åíè À. À. „®°®¤íèö»íà ÐÀÍ.


Àâò®°åôå°àò °à§®±«àí   2002 ã.




“·¼í»© ±åê°åòà°ü
¤è±±å°òàöè®íí®ã® ±®âåòà
¤.ô.-¬.í. ‚. ‚. Ðÿ§àí®â
Îáùàÿ µà°àêòå°è±òèêà °àá®ò»
Àêòóà«üí®±òü ï°®á«å¬». ‚à¦í®© §à¤à·å© àíà«è§à ¤àíí»µ, ò°åáóþ-
ùå© ê®«è·å±òâåíí»µ ¬åò®¤®â ®öåíêè, ÿâ«ÿåò±ÿ §à¤à·à ±®ã«à±®âàíèÿ ýê±-
ïå°òí»µ ®öåí®ê ï°è ï®±ò°®åíèè èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â. …¼ °åøåíèå
íó¦í® ¤«ÿ ®áúåêòèâí®ã® ±ó¤å©±òâà ⠱ﮰòå, àíà«è§à ±®±ò®ÿíèÿ ±®öèà«ü-
í»µ, ýê®í®¬è·å±êèµ, ýꮫ®ãè·å±êèµ ±è±òå¬ è ¤«ÿ ¬í®ãèµ ¤°óãèµ ï°å¤-
¬åòí»µ ®á«à±òå©. Ýò®© §à¤à·å ï®±âÿùåí® ¬í®ã® °àá®ò êàê §à°óáå¦í»µ,
òàê è ®òå·å±òâåíí»µ è±±«å¤®âàòå«å©.
‘®¤å°¦àòå«üí®å ®±í®âàíèå ¤è±±å°òàöèè ±®±òàâ«ÿþò °àá®ò» â ®á«à±òè
±íè¦åíèÿ °à§¬å°í®±òè ï°è§íàê®â®ã® ï°®±ò°àí±òâà è ýê±ïå°òí®-±òàòè±-
òè·å±êè© ¬åò®¤. ‚ ýò®© ®á«à±òè °àá®òà«è ‘. À. À©âà§ÿí, ‚. Ì. Áóµøòà-
áå°, È. ‘. …íþê®â, Ë. „. Ìåøà«êèí è ‚. ‚. ˜àêèí. ’å°¬èí ýê±ïå°òí®-
±òàòè±òè·å±êè© ¬åò®¤ âïå°â»å ừ ââå¤åí ‘. À. À©âà§ÿí®¬1 . ‚ åã® °à-
á®òå ừ® ï°å¤«®¦åí® ®öåíèòü ó¤å«üí»© âå± â«èÿíèÿ ·à±òí»µ ï®êà§à-
òå«å© íà ®áùåå, àã°åãè°®âàíí®å ±®±ò®ÿíèå ýôôåêòèâí®±òè è ï®±ò°®èòü
èíòåã°à«üí»© èí¤èêàò®° ¬í®¦å±òâà ®áúåêò®â â âè¤å «èíå©í®© ꮬáè-
íàöèè ï®êà§àòå«å© ®áúåêò®â. ϰ夫®¦åí»2 òàêèå ±ï®±®á» ï®±ò°®åíèÿ
èíòåã°à«üí®ã® èí¤èêàò®°à, êàê ¬åò®¤ ã«àâí»µ ꮬï®íåíò, ôàêò®°í»©
àíà«è§, ¬åò®¤ ýê±ò°å¬à«üí®© ã°óïïè°®âêè ï°è§íàê®â, ¬í®ã®¬å°í®å øêà-
«è°®âàíèå è ®òá®° íàè᮫åå èíô®°¬àòèâí»µ ï®êà§àòå«å©.
‚. ‚. ˜àêèí»¬3 ï°å¤«®¦åí ¬åò®¤ ®áúåêòèâè§àöèè °àá®ò» ¦þ°è,
®±í®âíàÿ è¤åÿ ê®ò®°®ã® §àê«þ·à«à±ü ⠤⮩±òâåíí®±òè ýê±ïå°òí®© ®öåí-
êè, ê®ã¤à ýê±ïå°ò» ¬®ã«è ®öåíèâàòü êàê âå±à ï®êà§àòå«å©, òàê è öåíí®±òü
®áúåêò®â. ‚ íà±ò®ÿùå© °àá®òå íà ®±í®âå ýò®ã® ¬åò®¤à ừ °à§âèò ¬åò®¤
±®ã«à±®âàíèÿ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê.
1 À©âà§ÿí ‘. À., ̵èòà°ÿí ‚. ‘. Ï°èê«à¤íàÿ ±òàòè±òèêà è ®±í®â» ýê®í®¬åò°èêè. 
Ì.: ÞÍÈ’È, 1998.  ‘. 363.
2 À©âà§ÿí ‘. À., Áóµøòàáå° ‚. Ì., …íþê®â È. ‘., Ìåøà«êèí Ë. „. Ï°èê«à¤íàÿ

±òàòè±òèêà /Ê«à±±èôèêàöèÿ è ±íè¦åíèå °à§¬å°í®±òè.  Ì.: ”èíàí±» è ±òàòè±òèêà,
1989.  607 c.
3 ˜àêèí ‚. ‚. Ê ®áúåêòèâè§àöèè °àá®ò» ¦þ°è. Ëèíå©íàÿ ¬®¤å«ü ±âÿ§è öåíí®-

±òè ®áúåêò®â è èí¤åê±®â. /â êí. ﮤ °å¤. Êó«àãèíà À. ‘. Ìåò®¤èêà è òåµíèêà ±òà-
òè±òè·å±ê®© ®á°àá®òêè ¬àòå°è૮⠱®ö讫®ãè·å±êèµ è±±«å¤®âàíè© è¤å®«®ãè·å±ê®©
°àá®ò».  Ì.: Àêà¤å¬èÿ ®áùå±òâåíí»µ íàóê ï°è –Ê ÊÏ‘‘, 1972.  C. 251-263.
2


Àíà«èòè·å±ê®å ®±í®âàíèå ±®±òàâ«ÿþò °àá®ò» ï® ±èíãó«ÿ°í®¬ó °à§«®-
¦åíèþ è °åãó«ÿ°è§àöèè «èíå©í»µ ®ïå°àò®°®â. ȱﮫü§®âà«à±ü, â ·à±ò-
í®±òè, °àá®òà „¦. ”®°±à©òà è Ê. Ì®«å°à4 , â ê®ò®°®© ừ® ®ïè±àí®
±èíãó«ÿ°í®å °à§«®¦åíèå è ¤®êà§àí» íå®áµ®¤è¬»å ò宰嬻. ‚ °àá®òå
Ï. Ê. •àí±åíà5 觫®¦åí» ï°®á«å¬» °åãó«ÿ°è§àöèè «èíå©í»µ ®ïå°àò®°®â
ï°è °åøåíèè ±è±òå¬ â»°®¦¤åíí»µ ó°àâíåíè©. ‚ ýò®© °àá®òå °à±±¬àò°è-
âàþò±ÿ êàê ¬åò®¤» °åãó«ÿ°è§àöèè À. Í. ’èµ®í®âà, òàê è °åãó«ÿ°è§àöèÿ
ï°è ﮬ®ùè ±èíãó«ÿ°í®ã® °à§«®¦åíèÿ.
’å°¬èí ±®ã«à±®âàíèå ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê ừ ââå¤åí Á. Ð. Ëèòâà-
ꮬ6 . Ìåò®¤», ®ïè±àíí»å â åã® °àá®òàµ, ®±í®âàí» íà ï®±«å¤®âàòå«üí®©
ê®°°åêöèè ýê±ïå°òà¬è ±â®èµ ®öåí®ê.
’å°¬èí èíòåã°à«üí»© èí¤èêàò®°  ±âå°òêà ¤àíí»µ, íàè᮫åå èí-
ô®°¬àòèâí® ®ïè±»âàþùèµ ®áúåêò, ừ ââå¤åí ‘. À. À©âà§ÿí®¬7 .
‚ ¤àíí®© °àá®òå ®ïè±àí® ò°è ﮤµ®¤à ê ï®±ò°®åíèþ èíòåã°à«üí®ã®
èí¤èêàò®°à. ‘ ﮬ®ùüþ ï°®öå¤ó°» ï®±ò°®åíèÿ èíòåã°à«üí®ã® èí¤èêà-
ò®°à áå§ ó·èòå«ÿ ừ ﮫó·åí èíòåã°à«üí»© èí¤èêàò®°, ê®ò®°»©, ï®
¬íåíèþ ýê±ïå°ò®â, ®êà§à«±ÿ íåó¤®â«åòâ®°èòå«üí»¬. ‘®ã«à±í® âò®°®¬ó
ﮤµ®¤ó, èíòåã°à«üí»© èí¤èêàò®° ±ò°®è«±ÿ ± ó·èòå«å¬, êàê â§âåøåí-
íàÿ ±ó¬¬à 觬å°åíè© ï®êà§àòå«å© êত®ã® ®áúåêòà. Ï®-âè¤è¬®¬ó8 , âå±à
íà§íà·à«è±ü íåâå°í®, ·ò® òàê¦å ï°è⮤諮 ê °å§ó«üòàòà¬, ±ï®°í»¬ ±
ò®·êè §°åíèÿ ýê±ïå°ò®â.
ϰ夫àãà嬻© ﮤµ®¤ è¬ååò öå«üþ ±®ã«à±®âàòü ýê±ïå°òí»å ®öåíêè è
§àê«þ·àåò±ÿ â ï®è±êå ꮬﰮ¬è±±í®ã® °åøåíèÿ. ‘®ã«à±í® ýò®¬ó ﮤµ®¤ó,
ýê±ïå°òଠï°å¤®±òàâ«ÿåò±ÿ ⮧¬®¦í®±òü °à§°åøèòü ï°®òèâ®°å·èå ¬å¦-
4 ”®°±à©ò „¦., Ì®«å° Ê. —豫åíí®å °åøåíèå ±è±òå¬ «èíå©í»µ à«ãåá°àè·å±êèµ
ó°àâíåíè©.  Ì.: Ìè°, 1969.  C. 15-18.
5 Hansen, Per Christian. Rank-Decient and Discrete Ill-Posed Problems, SIAM,

Philadelphia, 1998.  P. 29-31.
6 Ëèòâàê Á. Ã. Ýê±ïå°òíàÿ èíô®°¬àöèÿ: Ìåò®¤» ﮫó·åíèÿ è àíà«è§à.  Ì.: Ðà¤è®

è ±âÿ§ü, 1982.  ‘. 69-88.
7 À©âà§ÿí ‘. À. ‘°àâíèòå«üí»© àíà«è§ èíòåã°à«üí»µ µà°àêòå°è±òèê êà·å±òâà

¦è§íè íà±å«åíèÿ ±óáúåêò®â Ю±±è©±ê®© ”å¤å°àöèè. /Ï°åï°èíò #WP/2001/125. 
Ì.:–ÝÌÈ ÐÀÍ, 2001.  65 c.
8 ΰ«®â À. È. ‘®â°å¬åíí»© ýòàï °à§âèòèÿ òå®°èè ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê. /Çà⮤±êàÿ

«àá®°àò®°èÿ, 1996, 1.
3


¤ó èíòåã°à«üí»¬è èí¤èêàò®°à¬è ®áúåêò®â, âå±à¬è ï®êà§àòå«å© è 觬å-
°ÿ嬻¬è ¤àíí»¬è.

–å«è è §à¤à·è °àá®ò». ’å®°åòè·å±êàÿ öå«ü íà±ò®ÿùå© °àá®ò»  °à§-
âèòèå ¬åò®¤®â ï®±ò°®åíèÿ èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â, ®±í®âàíí»µ êàê
íà èíô®°¬àöèè ®á àíà«è§è°ó嬻µ ®áúåêòàµ, òàê è íà ýê±ïå°òí»µ ®öåí-
êàµ. Ï°àêòè·å±ê®© öå«üþ °àá®ò» ÿâ«ÿåò±ÿ ±®§¤àíèå ï°®ã°à¬¬í®ã® ®áå±-
ïå·åíèÿ ¤«ÿ ï®±ò°®åíèÿ èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â è ±®ã«à±®âàíèÿ ýê±-
ïå°òí»µ ®öåí®ê.

Ìåò®¤» è±±«å¤®âàíèÿ, ¬àòå°èà«». Ìåò®¤®«®ãè·å±ê®© ®±í®â®© ¤«ÿ
â»ï®«íåíèÿ íà±ò®ÿùå© °àá®ò» ï®±«ó¦è«è ±®â°å¬åíí»å è±±«å¤®âàíèÿ â
òå®°èè ï°èíÿòèÿ °åøåíè©. ȱﮫü§®âà«è±ü, â ·à±òí®±òè, °àá®ò» ‚. ‚. ˜à-
êèíà ï® è§¬å°åíèþ ±âÿ§è ¬å¦¤ó êà·å±òâåíí»¬è ï°è§íàêà¬è, °àá®ò»
‘. À. À©âà§ÿíà ï® ï®±ò°®åíèþ èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â è ¬åò®¤» °å-
ãó«ÿ°è§àöèè ï°è °åøåíèè íåê®°°åêòí® ï®±òàâ«åíí»µ §à¤à·.
„«ÿ àï°®áàöèè ï°å¤«®¦åíí»µ °à±·¼òí»µ ï°®öå¤ó° è±ï®«ü§®âà«è±ü
¤àíí»å è ýê±ïå°òí»å ®öåíêè, ï°å¤®±òàâ«åíí»å „åïà°òà¬åíò®¬ ®µ°àí»
®ê°ó¦àþùå© ±°å¤» è ýꮫ®ãè·å±ê®© á姮ïà±í®±òè Ìèíè±òå°±òâà ï°è-
°®¤í»µ °å±ó°±®â Ю±±èè â °à¬êൠﰮåêòà ë®áà«üí®ã® ýꮫ®ãè·å±ê®ã®
ô®í¤à ‘®µ°àíåíèå áè®°à§í®®á°à§èÿ.

Îá®±í®âàíí®±òü íàó·í»µ ﮫ®¦åíè©. ’å®°åòè·å±êèå ﮫ®¦åíèÿ ¤è±-
±å°òàöèè, ±ô®°¬ó«è°®âàíí»å â âè¤å òå®°å¬ è ᮫åå ·à±òí»µ óòâå°¦¤å-
íè©, ±ò°®ã® ¤®êà§àí». ‚»â®¤», ±¤å«àíí»å â ï°å¤¬åòí®© ®á«à±òè, ®¤®á-
°åí» ýê±ïå°òà¬è ϰ失òàâèòå«ü±òâà ‚±å¬è°í®ã® ±®þ§à ®µ°àí» ï°è°®¤»
¤«ÿ ±ò°àí ‘ÍÃ.

Íàó·íàÿ í®âè§íà.
1. ‚âå¤åí ®ïå°àò®° ±®ã«à±®âàíèÿ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê.

2. ϰ夫®¦åí» ï°®öå¤ó°» ±®ã«à±®âàíèÿ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê ¤«ÿ «è-
íå©í»µ è °àíã®â»µ øêà«.

3. ϰ夫®¦åíà ï°®öå¤ó°à °åãó«ÿ°è§àöèè ®ïå°àò®°à, ®ò®á°à¦àþùåã®
ï°®±ò°àí±òâ® âå±®â ï®êà§àòå«å© â ï°®±ò°àí±òâ® èíòåã°à«üí»µ èí-
4


¤èêàò®°®â, è ¤®êà§àíà åã® ó±ò®©·èâ®±òü.

4. ‘®§¤àí® ï°®ã°à¬¬í®å ®áå±ïå·åíèå ¤«ÿ ï®±ò°®åíèÿ èíòåã°à«üí»µ
èí¤èêàò®°®â è ±®ã«à±®âàíèÿ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê.


’å®°åòè·å±êàÿ è ï°àêòè·å±êàÿ §íà·è¬®±òü. Ï®«ó·åíí»å ï°®öå¤ó-
°» í൮¦¤åíèÿ èíòåã°à«üí®ã® èí¤èêàò®°à ¬®ãóò è±ï®«ü§®âàòü±ÿ â §à¤à-
·àµ ï°èíÿòèÿ °åøåíèÿ, ¤«ÿ ±®ã«à±®âàíèÿ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê ±®±ò®ÿíèÿ
®áúåêò®â, ï®±ò°®åíèÿ ýꮫ®ãè·å±êèµ è ±®öèà«üí»µ èí¤èêàò®°®â, à òàê-
¦å èí¤èêàò®°®â êà·å±òâà, òàêèµ êàê èíòåã°à«üí»© èí¤èêàò®° êà·å±òâà
¦è§íè, èí¤åê± °à§âèòèÿ ·å«®âå·å±ê®ã® ï®òåíöèà«à.

Àï°®áàöèÿ °àá®ò». Ðàá®òà ﮤ¤å°¦àíà ã°àíò®¬ Д”È 00-01-00197
Ê°èòå°èè êà·å±òâà ¦è§íè è ó±ò®©·èâ®ã® °à§âèòèÿ ¤«ÿ ±®öèà«üí®-ýê®-
í®¬è·å±êèµ ±è±òå¬ â ýê±ò°å¬à«üí»µ 󱫮âèÿµ.
Ðàá®òà â»ï®«íåíà â °à¬êൠ°åà«è§àöèè ï°®åêòà ÃÝ” ‘®µ°àíåíèå
á讫®ãè·å±ê®ã® °à§í®®á°à§èÿ Ю±±èè è ï°®ã°à¬¬» ϰ失òàâèòå«ü±òâà
‚‘ÎÏ ¤«ÿ ±ò°àí ‘ÍÃ ï® ýꮫ®ãè·å±êè¬ ±åòÿ¬ è ®µ°àíÿ嬻¬ ï°è°®¤í»¬
òå°°èò®°èÿ¬. ϰ夫®¦åííàÿ â ¤àíí®© °àá®òå ¬®¤å«ü ï°®òå±òè°®âàíà íà
¤àíí»µ  °å§ó«üòàòൠ¬®íèò®°èíãà §àï®âå¤íèê®â Д §à 1996-2000 㮤».
Ìàòå°èà«» ¤è±±å°òàöèè ¤®ê«à¤»âà«è±ü íà ‚±å°®±±è©±ê®© ê®íôå°åí-
öèè Ìàòå¬àòè·å±êèå ¬åò®¤» °à±ï®§íàâàíèÿ ®á°à§®â  ÌÌÐÎ-10, Ì®±ê-
âà, 19-22 í®ÿá°ÿ 2001 ã. è ÌÌÐÎ-9, Ì®±êâà, 15-19 í®ÿá°ÿ 1999 ã.; Íàó·-
í®¬ ±å¬èíà°å Ìí®ã®¬å°í»© ±òàòè±òè·å±êè© àíà«è§ è âå°®ÿòí®±òí®å ¬®-
¤å«è°®âàíèå °åà«üí»µ ï°®öå±±®â  Ì®±êâà, –åíò°à«üí»© ýê®í®¬èê®-
¬àòå¬àòè·å±êè© èí±òèòóò ÐÀÍ, 17 àï°å«ÿ 2002 ã. è 28 ¬à°òà 2001 ã.; 8-©
¬å¦¤óíà°®¤í®© ê®íôå°åíöèè ȱ±«å¤®âàíèå ®ïå°àöè©  KOI-2000 
Юâèíü, •®°âàòèÿ, 27-29 ±åíòÿá°ÿ 2000 ã.
‘®§¤àíí®å â °à¬êൠ¤àíí®© °àá®ò» ï°®ã°à¬¬í®å ®áå±ïå·åíèå è ¬åò®-
¤èêè è±ï®«ü§óþò±ÿ ꮬïàíèå© GAIA UNLIMITED, Inc., USA ¤«ÿ ®öåí-
êè â«èÿíèÿ °àá®ò» ý«åêò°®±òàíöè© íà êà·å±òâ® ®ê°ó¦àþùå© ±°å¤» è
ϰ失òàâèòå«ü±ò⮬ ‚‘ÎÏ ¤«ÿ ±ò°àí ‘Íà ¤«ÿ ®öåíêè ýôôåêòèâí®±òè
óï°àâ«åíèÿ ã®±ó¤à°±òâåíí»¬è §àï®âå¤íèêà¬è Ю±±èè. Ï® òå¬å ¤è±±å°-
òàöèè ®ïóá«èê®âàí® 8 °àá®ò.
5


‘ò°óêòó°à ¤è±±å°òàöèè. ‚® ââå¤åíèè ®ïè±àíà àêòóà«üí®±òü è öå«è
°àá®ò». Ï°èâå¤åí ®á§®° «èòå°àòó°», ï®±âÿùåíí®© ¤àíí®© òå¬àòèêå. ‚
ïå°â®¬ °à§¤å«å ®ïè±àí» è§âå±òí»å ±ï®±®á» í൮¦¤åíèÿ èíòåã°à«üí®ã®
èí¤èêàò®°à áå§ ®áó·àþùå© â»á®°êè. ‚® âò®°®¬ °à§¤å«å ®ïè±àí» ï°å¤-
«®¦åíí»å ï°®öå¤ó°» ±®ã«à±®âàíèÿ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê è °åãó«ÿ°è§àöèè
®ïå°àò®°à, ®ò®á°à¦àþùåã® âåêò®° è§ ï°®±ò°àí±òâà ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê
âå±®â ï®êà§àòå«å© â ï°®±ò°àí±òâ® èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â. ‚ ò°åòüå¬
°à§¤å«å ®ïè±àíà ï°å¤«®¦åííàÿ ¬®¤å«ü óï°àâ«åíèÿ ± ®á°àòí®© ±âÿ§üþ,
â °à¬êൠê®ò®°®© ®öåíèâàåò±ÿ ýôôåêòèâí®±òü °àá®ò» §àï®âå¤íèê®â, è
®ïè±àí» °å§ó«üòàò» ⻷豫åíèÿ èíòåã°à«üí®ã® èí¤èêàò®°à ± è±ï®«ü§®-
âàíèå¬ ¤àíí»µ å¦åã®¤í»µ ®ò·åò®â §àï®âå¤íèê®â è ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê.
—åòâå°ò»© °à§¤å« ï®±âÿùåí ®á±ó¦¤åíèþ ï°®öå¤ó° í൮¦¤åíèÿ èíòå-
ã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â è ﮫó·åíí»µ °å§ó«üòàò®â. ‚ §àê«þ·åíèè ﮤâå-
¤åí» èò®ãè °àá®ò» ï® ®öåíêå ýôôåêòèâí®±òè óï°àâ«åíèÿ §àï®âå¤íèêà-
¬è. „è±±å°òàöèÿ ±®¤å°¦èò 106 ±ò°àíèö ¬àøèí®ïè±í®ã® òåê±òà, 16 °è±óí-
ê®â, 7 òàá«èö. ‘ïè±®ê «èòå°àòó°» âê«þ·àåò 64 íàè¬åí®âàíèÿ.


‘®¤å°¦àíèå °àá®ò»
‚âå¤åíèå ±®¤å°¦èò ®áùóþ µà°àêòå°è±òèêó °àá®ò». Ï°èâå¤åí® ®á®±í®-
âàíèå àêòóà«üí®±òè ò嬻, ±ô®°¬ó«è°®âàí» öå«è è §à¤à·è è±±«å¤®âàíèÿ.
‘¤å«àí ®á§®° °àá®ò, ï®±âÿùåíí»µ ¤àíí®© òå¬àòèêå. “êà§àí» ®±í®âí»å
±ï®±®á» í൮¦¤åíèÿ èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â è °®«ü ýê±ïå°ò®â.
‚ ïå°â®¬ °à§¤å«å ï°èâå¤åí» è§âå±òí»å ¬åò®¤» ï®±ò°®åíèÿ èíòåã°à«ü-
í»µ èí¤èêàò®°®â. Îïè±àíà ¬®¤å«ü ï®°®¦¤åíèÿ ¤àíí»µ. Ï°èâå¤åí» ·å-
ò»°å °à§«è·í»µ ¬åò®¤à í൮¦¤åíèÿ èíòåã°à«üí®ã® èí¤èêàò®°à áå§ ó·è-
òå«ÿ, ®ïè±àíà ï°®öå¤ó°à ê«à±òå°è§àöèè ®áúåêò®â ï°è ï®±ò°®åíèè èí¤è-
êàò®°®â.
Çà¤àí® ¬í®¦å±òâ® Υ = {…1 , ..., …m } ®áúåêò®â è ¬í®¦å±òâ® ï®êà§àòå«å©
Ψ = {ψ1 , ..., ψn }. Îáúåêò …i ®ïè±àí ± âåêò®°®¬-±ò°®ê®© ai· = ai1 , ..., ain :
ai· ∈ Rn . Ìí®¦å±òâ® ®ïè±àíè© ®áúåêò®â ï°å¤±òàâ«åí® â âè¤å ¬àò°èö»
m,n
è±µ®¤í»µ ¤àíí»µ A = {ai,j }i,j=1 .
6


Îï°å¤å«åíèå 1. Îáúåêò …i , è¬åþùè© ¬àê±è¬à«üí»© ï® §íà·å-
íèþ èíòåã°à«üí»© èí¤èêàò®° (íàè᮫üøóþ ýê±ïå°òíóþ ®öåíêó, å±-
«è ®íà °à±±¬àò°èâàåò±ÿ â êà·å±òâå èíòåã°à«üí®ã® èí¤èêàò®°à), qi =
max{q1 , ..., qm }, ÿâ«ÿåò±ÿ íàè«ó·øè¬. Îáúåêò …i , è¬åþùè© ¬èíè¬à«ü-
í»© ï® §íà·åíèþ èíòåã°à«üí»© èí¤èêàò®° qi = min{q1 , ..., qm }, ÿâ«ÿ-
åò±ÿ íàèµó¤øè¬.

Îï°å¤å«åíèå 2. Ï®êà§àòå«ü ψj , è¬åþùè© ¬àê±è¬à«üí»© ï® §íà·åíèþ
âå± (íàè᮫üøóþ ýê±ïå°òíóþ ®öåíêó, å±«è ®íà °à±±¬àò°èâàåò±ÿ â êà·å-
±òâå âå±à ï®êà§àòå«ÿ), wj = max{w1 , ..., wn }, ÿâ«ÿåò±ÿ íàèâà¦íå©øè¬
ï°è í൮¦¤åíèè èíòåã°à«üí®ã® èí¤èêàò®°à.

‚»ï®«íåí» ±«å¤óþùèå ï°å¤«®¦åíèÿ. Ìàê±è¬à«üí®å §íà·åíèå ý«å¬åí-
òà aξζ 觬å°ÿ嬮㮠ï®êà§àòå«ÿ ψζ ± í®¬å°®¬ ζ ®§íà·à«®, ·ò® ξ-© ®áúåêò …ξ
íàè«ó·øè© ï® ¤àíí®¬ó ï®êà§àòå«þ. ’àê¦å, ¬èíè¬à«üí®å §íà·åíèå ý«å-
¬åíòà aξζ ï®êà§àòå«ÿ ψζ ®§íà·à«®, ·ò® ®áúåêò …ξ ÿâ«ÿåò±ÿ íàèµó¤øè© ï®
¤àíí®¬ó ï®êà§àòå«þ,

aξζ = max{aiζ }m ’qξ = max{q1 , ..., qm },
i=1
(1)
a·‘ = min{ai‘ }m ’q· = min{q1 , ..., qm }.
i=1
T
‚åêò®°» a·j = a1j , ..., amj : a·j ∈ A í®°¬è°®âàí» òàê, ·ò® ±ï°àâ夫èâ®
°àâåí±òâ®
|aij ’ aopt |
j
aij = 1’ opt , i = 1, ..., m, j = 1, ..., n,
max([aopt ’ min(a·j )], [max(a·j ) ’ aj ])
j
(2)
ã¤å ®ïòè¬à«üí®å §íà·åíèå opt(a·j ) : min(a·j ) < opt(a·j ) < max(a·j ) §à¤à-
í®.
„«ÿ í൮¦¤åíèÿ èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â áå§ ó·èòå«ÿ è±ï®«ü§®-
âà«è±ü ¬åò®¤ ã«àâí»µ ꮬï®íåíò, ¬åò®¤ ±èíãó«ÿ°í»µ ꮬï®íåíò è °à±-
±«®åíèå Ïà°åò®. ȱﮫü§®âà«à±ü òàê¦å â§âåøåííàÿ ±ó¬¬à q = Aw0 , ã¤å
T
: w0 ∈ Rn íà§íà·à«è±ü ýê±ïå°òà¬è.
âå±à w0 = w01 , ..., w0n

Îï°å¤å«åíèå 3. Èíòåã°à«üí»¬ èí¤èêàò®°®¬ ®áúåêòà …i ∈ Υ ± í®-
¬å°®¬ i í৻âàåò±ÿ ±êà«ÿ° qi ∈ R1 , ï®±òàâ«åíí»© â ±®®òâåò±òâèå
íàá®°ó ai· ®ïè±àíè© ®áúåêòà.
7

T
Ï°è °à±±¬®ò°åíèè ¬í®¦å±òâà ®áúåêò®â Υ âåêò®° q = q1 , ..., qm:
q ∈ Rm ±·èò૱ÿ èíòåã°à«üí»¬ èí¤èêàò®°®¬ ¬í®¦å±òâà ®áúåêò®â, ®ïè-
±àíí»µ ¬àò°èöå© A = {ai· }m : A ∈ Rm—n .
i=1

Ìåò®¤ ã«àâí»µ ꮬï®íåíò9 . „«ÿ í൮¦¤åíèÿ ïå°â®© ã«àâí®© ꮬ-
˜
ï®íåíò» í®°¬è°®âàíí®© (2) è öåíò°è°®âàíí®© ¬àò°èö» A ò°åá®âà«®±ü
n,n
íà©òè òàêèå ê®ýôôèöèåíò» C = {cij }i,j , ·ò® «èíå©í»å ꮬáèíàöèè
˜
âåêò®°®â z·i = Ac·i , i = 1, ..., n ®á«à¤à«è á» íàè᮫üøå© ¤è±ïå°±èå©
max(Dz·1 + Dz·2 + ... + Dz·n ) ï°è ®ã°àíè·åíèÿµ í®°¬è°®âêè m c2 = i=1 ij
1, j = 1, ..., n è m cij cik = 0, j, k = 1, ..., n, j = k. Çíà·åíèå èíòåã°à«ü-
i=1
í®ã® èí¤èêàò®°à q1 ⻷豫ÿ«®±ü êàê ï°®åêöèÿ âåêò®°®â-±ò°®ê ¬àò°èö»
˜
íà ïå°âóþ ã«àâíóþ ꮬï®íåíòó, q1 = Ac·1 .
Ìåò®¤ ±èíãó«ÿ°í»µ ꮬï®íåíò. Ï°®öå¤ó°à í൮¦¤åíèÿ èíòåã°à«ü-
í®ã® èí¤èêàò®°à q2 ï® ±èíãó«ÿ°í®¬ó °à§«®¦åíèþ §àê«þ·à«à±ü â ±«å¤óþ-
ùå¬. Á»«® í੤åí® ±èíãó«ÿ°í®å °à§«®¦åíèå ¬àò°èö» è±µ®¤í»µ ¤àíí»µ
A = U ΛV T .


’å®°å¬à 1. („¦. ”®°±à©ò) „«ÿ «þᮩ âåùå±òâåíí®© (n — n)-
¬àò°èö» A ±óùå±òâóþò ¤âå âåùå±òâåíí»å ®°ò®ã®íà«üí»å (n — n)-
¬àò°èö» U è V , òàêèå, ·ò® U T AV ¤èàã®íà«üíàÿ ¬àò°èöà Λ. Ìàò-
°èö» U è V â»áè°àþò±ÿ òàê, ·ò®á» ¤èàã®íà«üí»å ý«å¬åíò» Λ è¬å«è
âè¤ »1 »2 ... »r > »r+1 = ... = »n = 0, ã¤å r  °àíã ¬àò°èö» A.


Á»«à í੤åíà ï°®åêöèÿ â±åµ âåêò®°®â ai· íà ±èíãó«ÿ°í»© âåêò®°, ±®-
®òâåò±òâóþùè© íàè᮫üøå¬ó ±èíãó«ÿ°í®¬ó ·è±«ó »1 ¬àò°èö» A, q2 =
U diag(»1 , 0, · · · , 0).
Ðà±±«®åíèå Ïà°åò®10 . Îïè±àíèÿ {ai· } ¬í®¦å±òâà ®áúåêò®â Υ á»«è
9 À©âà§ÿí‘. À., Áóµøòàáå° ‚. Ì., …íþê®â È. ‘., Ìåøà«êèí Ë. „. Ï°èê«à¤íàÿ
±òàòè±òèêà /Ê«à±±èôèêàöèÿ è ±íè¦åíèå °à§¬å°í®±òè.  Ì.: ”èíàí±» è ±òàòè±òèêà,
1989.  C. 334.
10 ˜àêèí ‚. ‚. Ïà°åò®-ê«à±±èôèêàöèÿ ê®íå·í»µ â»á®°®ê. Ï°è¬åíåíèå ¬í®ã®¬å°-

í®ã® ±òàòè±òè·å±ê®ã® àíà«è§à â ýê®í®¬èêå è ®öåíêå êà·å±òâà ï°®¤óêöèè. V-ÿ íà-
ó·íàÿ ê®íôå°åíöèÿ ±ò°àí ‘ÍÃ. ’å§è±» ¤®ê«à¤®â.  Ì.: –åíò°à«üí»© ýê®í®¬èê®-
¬àòå¬àòè·å±êè© èí±òèòóò ÐÀÍ, 1993.  ‘. 96-97.
8


ï°å¤±òàâ«åí» â âè¤å
l
Sζ , Sζ © S· = …, 屫è ζ = ·,
T=
ζ=1

ã¤å ¬í®¦å±òâ® Ïà°åò® ζ-ã® ï®°ÿ¤êà Sζ = {ai· : i ∈ {1, ..., m}} è l  ·è±«®
°à§áèåíè© ê®íå·í®ã® ¬í®¦å±òâà {ai· }.

Îï°å¤å«åíèå 4. ‚åêò®° aξ· = aξ1 , ..., aξn í৻âàåò±ÿ í央¬èíè°óå-
¬»¬, 屫è íå í੤åò±ÿ íè ®¤í®ã® âåêò®°à ai· , òàê®ã®, ·ò® aij > aξj , i =
1, ..., m, j = 1, ..., n.

„«ÿ â±åµ ζ = 1, ..., l ¬í®¦å±òâ® Sζ ừ® ®ï°å¤å«åí® êàê íàá®° í央-
¬èíè°ó嬻µ âåêò®°®â, íå ï°èíफå¦àùèµ ¬í®¦å±òâó Sζ’1 , ò® å±òü,

aij }m .
Sζ = {aξ· : aξ· ∈ Sζ’1 , ∀i ∈ {1, ..., m}, i = ξ∃j ∈ {1, ..., n} : aξj ξ=1

‚ ±®®òâåò±òâèå êত®¬ó âåêò®°ó aξ· , ξ = 1, ..., m ừ ï®±òàâ«åí èí¤åê± ζ
¬í®¦å±òâà Sζ , ê®ò®°®¬ó ï°èíफå¦èò âåêò®° aξ· . Ï®«ó·åíí®å ¬í®¦å±òâ®
Ξ = {ζξ }m ï°èâå¤å¬ ê âè¤ó, ó¤®â«åòâ®°ÿþùå¬ó (1), q3 = {max(Ξ) ’
ξ=1
ζξ }m .
ξ=1
‚® âò®°®¬ °à§¤å«å ®ïè±àí» ±ï®±®á» ±®ã«à±®âàíèÿ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê,
â»±òàâ«åíí»µ â «èíå©í»µ è °àíã®â»µ øêà«àµ. Îá±ó¦¤à«à±ü °åãó«ÿ°è-
§àöèÿ ï°è í൮¦¤åíèè ±®ã«à±®âàíí»µ ®öåí®ê.
Êত®¬ó ®áúåêòó …i ừà ï®±òàâ«åíà â ±®®òâåò±òâèå ýê±ïå°òíàÿ ®öåí-
êà q0i , òàê¦å, êত®¬ó ï®êà§àòå«þ ψj ừà ï®±òàâ«åíà â ±®®òâåò±òâèå
ýê±ïå°òíàÿ ®öåíêà w0j , ò® å±òü §à¤àí» âåêò®°» q0 = q01 , ..., q0m T : q0 ∈
Rm è w0 = w01 , ..., w0n T : w0 ∈ Rn .
’°®©êó (q0 , w0 , A) ï°å¤±òàâ«åíà ± ﮬ®ùüþ òàá«èö», â ê®ò®°®© êà¦-
¤»© ý«å¬åíò âåêò®°à q0 ï®±òàâ«åí â ±®®òâåò±òâèå ±ò°®êå, à êত»© ý«å-
¬åíò âåêò®°à w0 ï®±òàâ«åí â ±®®òâåò±òâèå ±ò®«áöó ¬àò°èö» A:
T
w0
.
q0 A
‚ ®áùå¬ ±«ó·àå âåêò®° ýê±ïå°òí®© ®öåíêè q0 ®áúåêò®â è âåêò®° â§âåøåí-
í®© ±ó¬¬» §íà·åíè© ï®êà§àòå«å© ®áúåêò®â Aw0 °à§«è·í», q0 = Aw0 ,
9


òàê¦å, w0 = A+ q0 , ã¤å A  «èíå©í»© ®ïå°àò®°, ï°å¤±òàâ«ÿ嬻© ï°è
ﮬ®ùè ¤àíí®© ¬àò°èö», è ïó±òü ±óùå±òâóåò A+  ®ïå°àò®°, ï±å⤮®á-
°àòí»©11 ®ïå°àò®°ó A.

Îï°å¤å«åíèå 5. ‘®ã«à±®âàíí»¬è §íà·åíèÿ¬è èíòåã°à«üí®ã® èí¤èêà-
ò®°à è âå±®â ï®êà§àòå«å© í৻âàþò±ÿ òàêèå §íà·åíèÿ q è w, ï°è ê®-
ˆˆ
ò®°»µ â»ï®«íÿåò±ÿ 󱫮âèå

ˆ ˆ
q = Aw,
(3)
w = A+ q.
ˆ ˆ

Îï°å¤å«åíèå 6. Îïå°àò®°®¬ ±®ã«à±®âàíèÿ ¦ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê íà-
§»âàåò±ÿ ®ïå°àò®°, ïå°å⮤ÿùè© ò°®©êó (q0 , w0 , A) â ò°®©êó (ˆ , w, A),

ã¤å âåêò®°» q, w ó¤®â«åòâ®°ÿþò 󱫮âèþ (3):
ˆˆ


¦ : (q0 , w0 , A) ’’ (ˆ , w, A).

±-±®ã«à±®âàíèå. Îïå°àò®° ±®ã«à±®âàíèÿ ừ ®ï°å¤å«¼í ±«å¤óþùè¬
®á°à§®¬. Çà¤àíà A  ¬àò°èöà «èíå©í®ã® ®ïå°àò®°à, ®ò®á°à¦àþùåã® ï°®-
±ò°àí±òâ® âå±®â ï®êà§àòå«å© W w0 â ï°®±ò°àí±òâ® èíòåã°à«üí»µ èí-
¤èêàò®°®â ®áúåêò®â Q q0 :

A : W ’’ Q,

è A ï®±òàâ«åí â ±®®òâåò±òâèå ï±å⤮®á°àòí»© ®ïå°àò®° A+ , ®ò®á°à¦àþ-
ùè© ï°®±ò°àí±òâ® èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â â ï°®±ò°àí±òâ® âå±®â ï®-
êà§àòå«å© A+ : Q ’’ W , ò® å±òü, A+ A = In , AA+ = Im , A+ AA+ = A+ ,
AA+ A = A, ã¤å In è Im  å¤èíè·í»å ¬àò°èö» °à§¬å°í®±òå©, ±®®òâåò-
±òâóþùèµ èí¤åê±à¬.
‘óùå±òâóåò ±èíãó«ÿ°í®å °à§«®¦åíèå ¬àò°èö» A âè¤à A = U ΛV T , ã¤å
Λ = diag(»1 , ..., »R ), R = min(m, n), è

U T U = Im , V V T = In . (4)

’å®°å¬à 2. Ìàò°èöà A+ = V T Λ’1 U ÿâ«ÿåò±ÿ ¤«ÿ ¬àò°èö» A ï±å⤮-
®á°àòí®©.
11 î«óá „¦., ‚àí-Ë®óí —. Ìàò°è·í»å ⻷豫åíèÿ  Ì.: Ìè°, 1999.  C. 223.
 10 


Îï°å¤å«è¬ A+ êàê
A+ = V Λ’1 U T , (5)
r

ã¤å Λ’1 = diag(»’1 , ..., »’1 , 0, ..., 0)  ¤èàã®íà«üíàÿ ¬àò°èöà °à§¬å°í®±òè
r r
1
n — n.
ȱµ®¤í»å §íà·åíèÿ âåêò®°®â èíòåã°à«üí®ã® èí¤èêàò®°à è âå±®â ï®êà-
§àòå«å© á»«è ®á®§íà·åí» ±®®òâåò±òâåíí® q0 : q0 ∈ Q ⊆ Rm è w0 : w0 ∈
W ⊆ Rn . Ïó±òü
q1 = Aw0 è w1 = A+ q0 .
Çà¤àí» ®ò°å§êè [q1 , q0 ] ‚ Q è [w1 , w0 ] ‚ W . …âê«è¤®âà ¤«èíà ®ò°å§ê®â
q0 ’ q1 è w0 ’ w1 ừà è±ï®«ü§®âàíà êàê ¬å°à íå±®ã«à±®âàíí®±òè
ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê. Á»«è í੤åí» ±®ã«à±®âàíí»å ®öåíêè íà ýòèµ ®ò°å§-
êàµ. „«ÿ â»ïóê«»å «èíå©í»å ꮬáèíàöèè âåêò®°®â q0 , q1 , è w0 , w1 ừè
ï°å¤±òàâ«åí» â âè¤å:

{w± : w± = (1 ’ ±)w0 + ±w1 } ∈ [w0 , w1 ],
{qβ : qβ = βq0 + (1 ’ β)q1 } ∈ [q0 , q1 ],

ã¤å ±, β ∈ [0, 1].

’å®°å¬à 3. „«ÿ «þỵ §íà·åíè© ±, β ∈ [0, 1], §íà·åíèÿ âåêò®°®â w± , qβ
ó¤®â«åòâ®°ÿþò ò°åá®âàíèÿ¬ ±®ã«à±®âàíèÿ, ò® å±òü, Aw± = qβ , ï°è-
·å¬ ± = 1 ’ β.

’àêè¬ ®á°à§®¬, ±®ã«à±®âàíí»å ýê±ïå°òí»å ®öåíêè í੤åí» ± ﮬ®-
ùüþ â»°à¦åíèÿ
w± = (1 ’ ±)w0 + ±A+ q0 ,
(6)
q± = ±q0 + (1 ’ ±)Aw0 ,
ã¤å ± : ± ∈ [0, 1]  ïà°à¬åò° ¤®âå°èÿ ýê±ïå°òí»¬ ®öåíêଠèíòåã°à«ü-
í»µ èí¤èêàò®°®â ®áúåêò®â, «èá® ýê±ïå°òí»¬ ®öåíêଠâå±®â ï®êà§àòå«å©.
Ï°è §íà·åíèè ± = 0 èãí®°è°óþò±ÿ ýê±ïå°òí»å ®öåíêè ®áúåêò®â è ó·è-
ò»âàþò±ÿ ®öåíêè âå±®â; ï°è §íà·åíèè ± = 1 èãí®°è°óþò±ÿ ýê±ïå°òí»å
®öåíêè âå±®â è ó·èò»âàþò±ÿ ®öåíêè ®áúåêò®â.

’å®°å¬à 4. ’°®©êà (q± , w± , A), ﮫó·åííàÿ ï°®öå¤ó°®© ±-±®ã«à±®âàíèÿ (6)
ó¤®â«åòâ®°ÿåò ò°åá®âàíèÿ¬ ±®ã«à±®âàíèÿ (3).
 11 


’àêè¬ ®á°à§®¬, ± ﮬ®ùüþ â»°à¦åíèÿ (6) â»á°àí ïà°à¬åò° ±, ®ï°å-
¤å«ÿþùè© ±®ã«à±®âàíí»å §íà·åíèÿ âåêò®°®â ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê q± =
Aw± . Á»«à ±¤å«àíà ®öåíêà íåâÿ§êè ï°è â»á°àíí®¬ ïà°à¬åò°å ±. …â-
ê«è¤®â® °à±±ò®ÿíèå ¬å¦¤ó è±µ®¤í»¬è âåêò®°à¬è q0 , w0 è ﮫó·åíí»¬è
âåêò®°à¬è q± , w± â ï°®±ò°àí±òâå èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â è â ï°®-
±ò°àí±òâå â屮⠱®®òâåò±òâåíí® °àâí»

µ2 = q± ’ q0 2 ,
δ2 = w± ’ w0 2 .

‚ êà·å±òâå ê°èòå°èÿ â»á®°à ïà°à¬åò°à ± ừ® â»á°àí® ó±«®âèå ¬è-
íè¬ó¬à °à±±ò®ÿíèÿ ¬å¦¤ó íà·à«üí»¬è è ±®ã«à±®âàíí»¬è ýê±ïå°òí»¬è
®öåíêà¬è â ®á®èµ ï°®±ò°àí±òâൠQ è W . “·èò»âàÿ, ·ò® °à§¬å°í®±òè
ýòèµ ï°®±ò°àí±òâ ±®®òâåò±òâåíí® °àâí» m è n, í®°¬è°óå¬ êâरàò» °à±-
±ò®ÿíè© è í੤åí» òàêèå ±®ã«à±®âàíí»å §íà·åíèÿ âåêò®°®â q± è w± , ·ò®
®íè ó¤®â«åòâ®°ÿþò 󱫮âèþ

µ2 δ2
(7)
= .
m’1 n’1

Íà ï°àêòèêå ýê±ïå°òଠï°å¤«àãà«®±ü â»á°àòü §íà·åíèå ïà°à¬åò°à ± â
§àâè±è¬®±òè ®ò ï°å¤ï®·òåíè© ®öåí®ê ®áúåêò®â è«è ®öåí®ê ï®êà§àòå«å©.
Ï®«ó·åíí»å °å§ó«üòàò» ï°å¤«àãà«è±ü ýê±ïå°òଠíà ®á±ó¦¤åíèå â ±«å¤ó-
þùå¬ âè¤å:
T
w0
init
T
n w±
q0 q± A

Ï°è 觬åíåíèè ïà°à¬åò°à ¤®âå°èÿ ýê±ïå°ò®â ± ê ýê±ïå°òí»¬ ®öåíêà¬
®áúåêò®â è ï®êà§àòå«å© è«è ï°è 觬åíåíèè ±à¬èµ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê
â»øå®ïè±àííàÿ ï°®öå¤ó°à ï®âò®°ÿ«à±ü, è íà ®á±ó¦¤åíèå ýê±ïå°ò®â ïå-
°å¤àâà«è±ü âí®âü ﮫó·åíí»å °å§ó«üòàò».
γ 2 -±®ã«à±®âàíèå. ‘®ã«à±®âàíí®å °åøåíèå ừ® ®ï°å¤å«åí® êàê °å-
øåíèå, ó¤®â«åòâ®°ÿþùåå 󱫮âèþ (3), ï°è ê®ò®°®¬ °à±±ò®ÿíèå ®ò ±®ã«à-
±®âàíí»µ âåêò®°®â qγ è wγ , òàêèµ, ·ò® qγ = Awγ ¤®, ±®®òâåò±òâåíí®,
 12 


âåêò®°®â ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê q0 è w0 ¬èíè¬à«üí®. Ïó±òü
µ2 = Aw ’ q0 2 ,
(8)
δ2 = w ’ w0 2 .
Ðåøåíèå §à¤à·è í൮¦¤åíèÿ ¬èíè¬à«üí®ã® °à±±ò®ÿíèÿ ®ò ±®ã«à±®âàí-
í»µ âåêò®°®â ¤® âåêò®°®â ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê ï°èíÿ« âè¤

wγ = arg min (µ2 + γ 2 δ 2 ), (9)
w∈W

ã¤å â屮⮩ ¬í®¦èòå«ü γ 2 ∈ (0, ∞)  ®ï°å¤å«ÿåò ±òåïåíü ꮬﰮ¬è±-
±à ¬å¦¤ó ®öåíꮩ ®áúåêò®â è ï®êà§àòå«å©. Ï°è ¬à«»µ §íà·åíèÿµ γ 2 â
᮫üøå© ±òåïåíè ó·èò»âàåò±ÿ ýê±ïå°òíàÿ ®öåíêà ®áúåêò®â, à ï°è ᮫ü-
øèµ §íà·åíèÿµ γ 2 â ᮫üøå© ±òåïåíè ó·èò»âàåò±ÿ ýê±ïå°òíàÿ ®öåíêà
ï®êà§àòå«å©.
’å®°å¬à 5. ”óíêöè®íà« (µ2 + γ 2 δ 2 ) ¤®±òèãàåò å¤èí±òâåíí®ã® ¬èíè¬ó-
¬à íà ¬í®¦å±òâå wγ ∈ W â ò®·êå

wγ = (AT A + γ 2 I)’1 (AT q0 + γ 2 w0 ). (10)

’å®°å¬à 6. ’°®©êà (qγ , wγ , A), ﮫó·åííàÿ ï°®öå¤ó°®© γ 2 -±®ã«à±®âàíèÿ (10)
ó¤®â«åòâ®°ÿåò ò°åá®âàíèÿ¬ ±®ã«à±®âàíèÿ (3).
Ïà°à¬åò° γ 2 ¤«ÿ ﮫó·åíèÿ ±®ã«à±®âàíí»µ âåêò®°®â qγ = Awγ è wγ
â»áè°à«±ÿ è§ ó±«®âèÿ (7).
„ -±®ã«à±®âàíèå. ϰ夫®¦åíà ï°®öå¤ó°à, ã¤å ± ®öåíêà¬è q0 , w0 °à§-
°åøåí» «þá»å ¬®í®ò®íí»å ï°å®á°à§®âàíèÿ. ’® å±òü, ââå¤åí® ®òí®øåíèå
ï®°ÿ¤êà íà ¬í®¦å±òâå ý«å¬åíò®â âåêò®°®â w0 = {wj : w1 ... wn }n j=1
qm }m , ê®ò®°®å §à¤àåò ±®®òâåò±òâåíí® ê®íó±»12
è q0 = {qi : q1 ... i=1
W ∈ Rn è Q ∈ Rm . Ï°è í൮¦¤åíèè ±®ã«à±®âàíí»µ ®öåí®ê â⮤è«è±ü
¬®í®ò®íí»å ê®°°åêòè°óþùèå ôóíêöèè TQ : Q ’’ Q è TW : W ’’ W,
ï°èá«è¦àþùèå íà·à«üí»å ýê±ïå°òí»å ®öåíêè ï°è ±®µ°àíåíèè ®òí®øå-
íèÿ ï®°ÿ¤êà.
„àíà ò°®©êà (q0 , w0 , A). Íà©¤å¬ òàêèå âåêò®°» q„ = TQ (q0 ) è w„ =
TW (w0 ), ·ò® â»ï®«íÿåò±ÿ 󱫮âèå ¬èíè¬ó¬à íåâÿ§êè
(11)
ATW (w0 ) ’ TQ (q0 ) = ∆.
12 Êà°¬àí®â ‚. Ã. Ìàòå¬àòè·å±ê®å ï°®ã°à¬¬è°®âàíèå.  Ì.: Íàóêà, 1980.  ‘. 29.
 13 


„«ÿ k = 0, ..., K óêà§àí» òàêèå âåêò®°»
wk+1 = TW,k (wk , A+ qk ),
(12)
qk+1 = TQ,k (qk , Awk ),
2
= Awk ’ qk 2 . ‚åê-
ê®ò®°àÿ ¤®±òàâ«ÿþò ¬èíè¬ó¬ ôóíêöè®íà«ó ∆k
ò®°» q„ , w„ , í੤åí» â °å§ó«üòàòå ꮬﮧèöèè TQ = TQ,1 —¦ ... —¦ TQ,K è
TW = TW,1 —¦ ... —¦ TW,K .
„«ÿ í൮¦¤åíèÿ ê®°°åêòè°óþùå© ôóíêöèè T °à±±¬®ò°åí» ¤âà ¬í®-
¦å±òâà x = {x1 , ..., xm } è t = {t1 , ..., tm : t1 tm }. Ìí®¦å±òâ®
...
ïà° φ = {(t1 , x1 ), ..., (tm , xm )} §à¤àþò ôóíêöèþ φ, è xi = φ(ti ). ”óíê-
öèÿ φ, â ®áùå¬ ±«ó·àå, í嬮í®ò®ííà. Í੤åíà òàêàÿ ¬®í®ò®ííóþ ôóíê-
öèþ f : t ’’ x, f ∈ Pm ê®ò®°àÿ àïï°®ê±è¬è°óåò φ,
m
2
f (t) = arg min (f (ti ) ’ φ(ti )) ,
f ∈Pm
i=1

ã¤å Pm ¬í®¦å±òâ® â±åµ ⮧°à±òàþùèµ ï®«èí®¬®â ±òåïåíè p
m. ’àê¦å,
í੤åíà òàêàÿ ôóíêöèþ • : t ’’ x, • ∈ ˜, ê®ò®°àÿ èíòå°ï®«è°óåò
¬í®¦å±òâ® ïà° φ:
•(t) = arg min •(t) ’ φ(t) ,
•∈˜
ã¤å ˜  ¬í®¦å±ò⮠ﮫèí®¬èà«üí»µ ±ï«à©í®â ± m ó§«à¬è ±òåïåíè r
¤åôåêòà 1.
„«ÿ ï°èá«è¦åíèÿ ôóíêöèè • ôóíêöèå© f ừ è±ï®«ü§®âàí ¬åò®¤
13
êà±àòå«üí»µ Íüþò®íà-Êàíò®°®âè·à . ”óíêöèÿ f (t), •(t) °à±±¬àò°èâà-
«à±ü íà ®ò°å§êå S = [a, b]t.
’°åáóåò±ÿ íà©òè 㮬宬®°ô觬 ‘ : S ’’ S, ‘(t) = t + „ (t), òàꮩ, ·ò®

‘ = arg min f (t) ’ •(‘(t)) 2 ,
„ ∈S

ï°è §íà·åíèè „ = O(t). „«ÿ í൮¦¤åíèÿ „ ôóíêöèÿ •(‘(t)) ï°å¤±òàâ-
«åíà â âè¤å •(‘(t)) = •(t) + „ (t)• (t) + O(„ 2 (t)). „«ÿ °åøåíèÿ §à¤à·è
®ïòè¬è§àöèè
2 2
„ (t) 2 )
„ (t) = arg min( f (t) ’ •(t) +
„ ∈S
13 Áàµâà«®â Í. ‘., Æè¤ê®â Í. Ï., Ê®áå«üê®â Ã. Ì. —豫åíí»å ¬åò®¤».  Ì.: Íàóêà.
ë. °å¤. ôè§.-¬àò. «èò., 1987.  ‘. 323-329.
 14 


è±ï®«ü§®âàí® â»°à¦åíèå

(f (t) ’ •(t))• (t)
„ (t) = .
2 2
(•(t)) +
ȱꮬàÿ ôóíêöèÿ T : x ’’ y á»«à §à¤àíà ±«å¤óþùè¬ ®á°à§®¬. Ï®¤-
±òàâ«ÿÿ â í੤åííóþ ôóíêöèþ •(‘(t)) §íà·åíèÿ ti è§ φ ﮫó·åí» ±ê®°-
2
°åêòè°®âàíí»å ®öåíêè yi = •(‘(ti )), i = 1, ..., m. Ïà°à¬åò° , ®ï°å¤å-
«ÿþùè©, íà±ê®«üê® âå«èêà °à§í®±òü ¬å¦¤ó §íà·åíèÿ¬è, ê®ò®°»å ï°èíè-
¬àåò ôóíêöèÿ • â ò®·êൠt è ‘(t), ﮤáè°à«è±ü òàêè¬ ®á°à§®¬, ·ò®á»
ôóíêöèÿ T (‘(t)) á»«à ¬®í®ò®íí®©.
Ðåãó«ÿ°è§àöèÿ ï°è ±®ã«à±®âàíèè ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê. ϰ夫®¦åí® ±«å-
¤óþùåå °åøåíèå ï°®á«å¬» â»á®°à à«ã®°èò¬à ⻷豫åíèÿ ï±å⤮®á°àò-
í®ã® ®ïå°àò®°à A+ : Q ’’ W . Çà¤àí® ¬í®¦å±òâ® „¦ = {ω1 , ..., ωk }, à«-
ã®°èò¬®â ⻷豫åíèÿ ï±å⤮®á°àòí®ã® ®ïå°àò®°à A+ . ȧ ¤àíí®ã® ¬í®-
¦å±òâà â»áè°àåò±ÿ òàꮩ à«ã®°èò¬ ω, ·ò® ¤«ÿ ﮫó·åíí®ã® A+ = A+ (ω)
2
δ2
µ
ã¤å µ2 = q ’ q0 2 , è δ 2 = w ’ w0 2 .
è¬ååò ¬å±ò® minω∈„¦ ( m’1 + ˆ ˆ
n’1 ),
„«ÿ °åøåíèÿ §à¤à·è ừè ï°å¤«®¦åí» ¤âà ±ï®±®áà í൮¦¤åíèÿ ï±åâ-
¤®®á°àòí®ã® ®ïå°àò®°à A+ : °åãó«ÿ°è§àöèÿ ï±å⤮®á°àòí®ã® ®ïå°àò®°à
¬åò®¤®¬ ’èµ®í®âà14 è ®á°àùåíèå ó±å·åíí®ã® ±èíãó«ÿ°í®ã® °à§«®¦åíèÿ.
‚ ïå°â®¬ ±«ó·àå ừ í੤åí ï±å⤮®á°àòí»© ®ïå°àò®° A+ = (AT A +
γ 2 I)’1 .
À«ã®°èò¬ ®á°àùåíèÿ ¬àò°èö» ï®±°å¤±ò⮬ ó±å·åíí®ã® ±èíãó«ÿ°í®-
ã® °à§«®¦åíèÿ ±®±ò®èò â ±«å¤óþùå¬. Ïó±òü ¬àò°èöà è±µ®¤í»µ ¤àí-
í»µ A ï°å¤±òàâ«åíà â âè¤å A = U ΛV T . ’®ã¤à ï°è í൮¦¤åíèè ®á°àò-
í®© ¬àò°èö» A+ = V Λ’1 U T â ±è«ó ®°ò®ã®íà«üí®±òè ¬àò°èö U è V :
U T U = V V T = I è â ±è«ó 󱫮âèÿ óá»âàíèÿ ¤èàã®íà«üí»µ ý«å¬åí-
ò®â ¬àò°èö» Λ = diag(»1 , ..., »n ), ï±å⤮®á°àòíàÿ ¬àò°èöà A+ ᮫åå
§àâè±èò ®ò òåµ ý«å¬åíò®â ¬àò°èö» Λ, ê®ò®°»å è¬åþò ¬åíüøèå §íà·å-
íèÿ, ·å¬ ®ò ïå°â»µ ±èíãó«ÿ°í»µ ·è±å«. „婱òâèòå«üí®, 屫è ï® ó±«®-
âèþ ò宰嬻 ® ±èíãó«ÿ°í®¬ °à§«®¦åíèè ¬àò°èöà A è¬ååò ±èíãó«ÿ°í»å
»n , ò® ±èíãó«ÿ°í»å ·è±«à ¬àò°èö» A+ °àâí»
·è±«à »1 »2 ...
14 ’èµ®í®âÀ. Í., À°±åíèí ‚. ß. Ìåò®¤» °åøåíèÿ íåê®°°åêòí»µ §à¤à·.  Ì.: Íàó-
êà, 1986.  ‘. 110.
 15 


Λ’1 = diag( »1 , ..., »1n ) è »1
1 1 1
... »1n . ‘·èòàÿ ïå°â»å r ±èíãó«ÿ°í»µ ·è-
»2
±å« ®ï°å¤å«ÿþùè¬è ±®á±òâåíí®å ï°®±ò°àí±òâ® ¬àò°èö» A, ï°è ®á°àùå-
íèè ¬àò°èö» A è±ï®«ü§®âà«è±ü ïå°â»å r ±èíãó«ÿ°í»µ ·è±å«. Îá°àòíàÿ
¬àò°èöà A+ í੤åíà êàê A+ = V Λ’1 U T . r
„«ÿ ®á®±í®âàíèÿ ï°å¤«®¦åíí»µ ¬åò®¤®â ±®ã«à±®âàíèÿ è±ï®«ü§®âà-
«à±ü «å¬¬à ® íåï°å°»âí®±òè ®á°àòí®ã® ®ò®á°à¦åíèÿ, âïå°â»å ±ô®°¬ó-
«è°®âàííàÿ À. Í. ’èµ®í®â»¬.
’°®©êà (q, w, A) ®ï°å¤å«åíà íà ±«å¤óþùèµ ¬åò°è·å±êèµ ï°®±ò°àí-
±òâàµ. ‚åêò®° q ÿâ«ÿåò±ÿ ý«å¬åíò®¬ Q, ã¤å ®á«à±òü Q ÿâ«ÿåò±ÿ ꮬïàêò-
í®© â Q: Q ‚ Q ≡ Rm , òàê êàê ®á«à±òü Q §à¬êíóòà è ®ã°àíè·åíà. ’àê¦å,
âåêò®° w ÿâ«ÿåò±ÿ ý«å¬åíò®¬ W , ã¤å ®á«à±òü W ÿâ«ÿåò±ÿ ꮬïàêòí®©
â W: W ‚ W ≡ Rn , òàê êàê ®á«à±òü W §à¬êíóòà è ®ã°àíè·åíà. Ìåò°èêà
§à¤àåò±ÿ í®°¬à¬è âåêò®°®â q 2 ¤«ÿ ꮬïàêòà Q è w 2 ¤«ÿ ꮬïàê-
òà W . ”óíêöè®íà« ρQ = ρQ (Aw, q) ®ï°å¤å«åí êàê ρQ = Aw ’ q 2 .

’å®°å¬à 7. ϱå⤮®á°àòí»© ®ïå°àò®° A+ , ®ï°å¤å«åíí»© êàê A+ =
(AT A + γ 2 I)’1 , ÿâ«ÿåò±ÿ íåï°å°»âí»¬ ï® ¬åò°èêå ï°®±ò°àí±òâà W.
’å®°å¬à 8. Îïå°àò®° A+ = U T Λr V , ﮫó·åíí»© ¬åò®¤®¬ ®á°àùå-
íèÿ ó±å·åíí®ã® ±èíãó«ÿ°í®ã® °à§«®¦åíèÿ, ÿâ«ÿåò±ÿ íåï°å°»âí»¬ â r-
¬å°í®¬ ﮤﰮ±ò°àí±òâå.

’àê êàê ®ïå°àò®° A â ó°àâíåíèè Aw = q âﮫíå íåï°å°»âí»©, ò®
ï®±ò°®åíèå ó±ò®©·èâ®ã® ê ¬à«»¬ 觬åíåíèÿ¬ ï°à⮩ ·à±òè q ï°èá«è-
¦åíí®ã® °åøåíèÿ ýò®ã® ó°àâíåíèÿ ï® ô®°¬ó«å q = A+ w ⮧¬®¦í® â
òåµ ±«ó·àÿµ, ê®ã¤à °åøåíèå èùåòcÿ íà ꮬïàêòå W ‚ W è ï°àâàÿ ·à±òü
ó°àâíåíèÿ ï°èíफå¦èò ¬í®¦å±òâó AW .
Ï®êà§àí®, ·ò® ±®ã«à±®âàíí»å âåêò®°» q, w, ﮫó·àå¬»å ± ﮬ®ùüþ
ˆˆ
ï°®öå¤ó° ±®ã«à±®âàíèÿ, ÿâ«ÿþò±ÿ å¤èí±òâåíí»¬è.
Çà¤à·à í൮¦¤åíèÿ ò°®©êè (ˆ , w, A) í৻âàåò±ÿ ê®°°åêòí® ï®±òàâ-

«åíí®© íà ïà°å ¬åò°è·å±êèµ ï°®±ò°àí±òâ (Q, W), 屫è ó¤®â«åòâ®°ÿþò±ÿ
󱫮âèÿ:

1. ¤«ÿ â±ÿê®ã® ý«å¬åíòà q ∈ Q ±óùå±òâóåò °åøåíèå w ∈ W;
ˆ ˆ

2. °åøåíèå ®ï°å¤å«ÿåò±ÿ ®¤í®§íà·í®;
 16 


3. §à¤à·à ó±ò®©·èâà íà ï°®±ò°àí±òâൠQ, W.

’àêè¬ ®á°à§®¬, ﮫó·åí» °åøåíèÿ §à¤à· (6) è (10), ê®°°åêòí»å ï® À¤à-
¬à°ó.
‚ ò°åòüå¬ °à§¤å«å ï°èâå¤åí» °å§ó«üòàò» ï®±ò°®åíèÿ èí¤èêàò®°®â è
®ïè±àíà áèá«è®òåêà ôóíêöè©, íå®áµ®¤è¬»µ ¤«ÿ ⻷豫åíè©.
„«ÿ °åøåíèÿ §à¤à·è ï® ®öåíêå ýôôåêòèâí®±òè óï°àâ«åíèÿ §àï®âå¤-
íèêà¬è á»«è ±®á°àí» ±«å¤óþùèå ¤àíí»å:

 å¦å㮤í»å ®ò·åò» §àï®âå¤íèê®â §à 1995-2000 ãã.,

 ýê±ïå°òí»å ®öåíêè èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â §àï®âå¤íèê®â,

 ýê±ïå°òí»å ®öåíêè âå±®â ï®êà§àòå«å© å¦åã®¤í»µ ®ò·åò®â,

 ¬íåíèÿ ýê±ïå°ò®â ®òí®±èòå«üí® ê«à±±èôèêàöèè §àï®âå¤íèê®â,

„«ÿ ®öåíêè ýôôåêòèâí®±òè óï°àâ«åíèÿ §àï®âå¤íèêà¬è ýê±ïå°òà¬
ừ ï°å¤«®¦åí ±ïåöèà«üí® ±®±òàâ«åíí»© ±á®°íèê àíêåò15 . ‚ ¤àíí®¬
±á®°íèêå ýê±ïå°òଠï°å¤«àãà«®±ü ¤àòü ®öåíêó ýôôåêòèâí®±òè °àá®ò»
§àï®âå¤íèêà ï® °à§«è·í»¬ ê°èòå°èÿ¬ (®µ°àíà, íàóêà, ï°®±âåùåíèå, °à-
á®òà ¤è°åêò®°à), à òàê¦å ±°àâíèòü §àï®âå¤íèêè ¤°óã ± ¤°ó㮬. Ï®¬è¬®
ýò®ã®, ýê±ïå°òଠï°å¤«àãà«®±ü ±¤å«àòü ±à¬®®öåíêó ®±â央¬«åíí®±òè ®
°àá®òå §àï®âå¤íèêà.
‚ ¤àíí®© °àá®òå, â êà·å±òâå è««þ±ò°àòèâí®ã® ï°è¬å°à â»á°àí» ¤àí-
í»å å¦åã®¤í»µ ®ò·åò®â ï® °à§¤å«ó Ðàá®òà ±«ó¦á» ®µ°àí» §àï®âå¤íè-
ê®â Ю±±è©±ê®© ”å¤å°àöèè. ϰ夫àãà嬻å ï°®öå¤ó°» ừè ï°è¬åíåí»
ê â»á°àíí»¬ ¤àíí»¬, °å§ó«üòàò» ®á°àá®òêè ¤àíí»µ ®ïè±àí» íè¦å.
‚ êà·å±òâå è±µ®¤í»µ ¤àíí»µ °à±±¬®ò°åíà ¬àò°èöà A, âê«þ·àþùàÿ â
±åáÿ 23 §àï®âå¤íèêà, óêà§àíí»µ ýê±ïå°òà¬è. —豫® ®á󱫮â«åíí®±òè ¬àò-
°èö» A °àâí® ¦A = 2700. Ï°è í൮¦¤åíèè èíòåã°à«üí®ã® èí¤èêàò®°à
áå§ ó·èòå«ÿ ê ¬àò°èöå è±µ®¤í»µ ¤àíí»µ ï°è¬åíÿ«è±ü ò°è ï°®öå¤ó°»
í൮¦¤åíèÿ èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â  ⻷豫åíèå í®°¬» â ¬åò°èêå
15 IUCN-CIDA-WWF. Ýê±ïå°òí®-±òàòè±òè·å±êè© ¬åò®¤ ®öåíêè ýôôåêòèâí®±òè °à-
á®ò» ÎÎÏ’. ‘á®°íèê àíêåò. Ðóê®ïè±ü.  Ì.:IUCN, 2001  18 ±.
 17 


Ìèíê®â±ê®ã®, ¬åò®¤ ã«àâí»µ ꮬï®íåíò è ¬åò®¤ ±èíãó«ÿ°í®ã® °à§«®¦å-
¯
íèÿ. ‚»·è±«åíí»å èí¤èêàò®°» q1 = Aw0 , q2 = Ac·1 è q3 = U »1 ±«àá®
ê®°°å«è°óåò ± èíòåã°à«üí»¬ èí¤èêàò®°®¬ q0 , ï°å¤ï®«àãà嬮¬ ýê±ïå°-
òà¬è: rq1 ,q0 = ’0.15, rq2 ,q0 = ’0.14, rq3 ,q0 = ’0.34.
’àêè¬ ®á°à§®¬, ¤«ÿ ò®ã® ·ò®á» ﮫó·èòü ó¤®â«åòâ®°èòå«üí»å ¤«ÿ
ýê±ïå°ò®â °å§ó«üòàò», ¬èíè¬à«üí® ï°®òèâ®°å·àùèå ýê±ïå°òí»¬ ®öåí-
êଠè è±µ®¤í»¬ ¤àíí»¬, ò°åá®âà«®±ü â»ï®«íèòü ï°®öå¤ó°ó ±®ã«à±®âà-
íèÿ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê.
Á»«è è±ï®«ü§®âàí» ¤âà ¬åò®¤à ±®ã«à±®âàíèÿ, ¤àâøèå ï°è¬å°í® ®¤è-
íàê®â»å ®öåíêè èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â, ê®ò®°»å ýê±ïå°ò» ±®·«è
ó¤®â«åòâ®°èòå«üí»¬è. Ïà°à¬åò°» ¤®âå°èÿ ± è γ 2 °åøåí® á»«® íà§íà-
·èòü è±µ®¤ÿ è§ ó±«®âèÿ (7). ‚ ¤àíí®¬ ±«ó·àå ± = 0.32575, γ 2 = 0.93376.
Ï°è ¬èíè¬à«üí®¬ §íà·åíèè ïà°à¬åò°à ±, á«è§êè è±µ®¤íàÿ ®öåíêà èí-
¤èêàò®°à q0 è ±®ã«à±®âàííàÿ ®öåí-
êà q± . Ï°è ¬àê±è¬à«üí®¬ §íà·åíèè
ïà°à¬åò°à ±, á«è§êè è±µ®¤íàÿ ®öåí-
êà âå±®â ï®êà§àòå«å© w0 è ±®ã«à-
±®âàííàÿ ®öåíêà w± . Ï°è íåê®ò®-
°®¬ §íà·åíèè ± °à±±ò®ÿíèÿ ®ò ®á®-
èµ ±®ã«à±®âàíí»µ âåêò®°®â ¤® ±®®ò-
âåò±òâóþùèµ è¬ è±µ®¤í»µ âåêò®°®â Ðè±. 1: Çàâè±è¬®±òü °à±±ò®ÿíè© µ è δ ®ò
ïà°à¬åò°à ±
µ2 δ2
±òàí®âÿò±ÿ ®¤èíàê®â»: n’1 .
=
m’1
22
ȧ¬åíåíèå °à±±ò®ÿíè© µ , δ ï°è â»á®°å ïà°à¬åò°à ± ∈ [0, 1] ¬®¦í® óâè-
¤åòü íà °è±. 1. Ǥå±ü ï® ®±è àá±öè±± ®ò«®¦åí® §íà·åíèå ±, à ï® ®±è ®°¤è-
íàò §íà·åíèÿ µ, δ. Ï°è óâå«è·åíèè ± °à±±ò®ÿíèå µ ¬å¦¤ó âåêò®°à¬è q0
è q± óâå«è·èâàåò±ÿ, à °à±±ò®ÿíèå δ ¬å¦¤ó âåêò®°à¬è w0 è w± ó¬åíüøà-
åò±ÿ.
Ê °à±±¬àò°èâà嬻¬ ýê±ïå°òí»¬ ®öåíêଠừà ï°è¬åíåíà ï°®öå¤ó-
°à „ -±®ã«à±®âàíèÿ. Ï°®öå¤ó°à ®ò®á°à¦àåò âåêò®°» ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê
q0 , w0 ±®®òâåò±òâåíí® â òàêèå âåêò®°» q„ è w„ , ê®ò®°»å ¬èíè¬è§è°óþò
íåâÿ§êó ∆ 2 ó°àâíåíèÿ A(Tw (w0 )) = Tq (q0 ) + ∆.
Ðå§ó«üòàò» °àá®ò» ï°®öå¤ó°» „ -±®ã«à±®âàíèÿ è±ï®«ü§®âà«è±ü â êà·å-
 18 


±òâå âµ®¤í®© ò°®©êè ¤«ÿ ï°®öå¤ó°» γ 2 -±®ã«à±®âàíèÿ ± öå«üþ ﮫó·åíèÿ
±®ã«à±®âàíí»µ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê. „«ÿ ®öåíêè °àá®ò °à§«è·í»µ ï°®öå-
¤ó° ±®ã«à±®âàíèÿ ừ® è±ï®«ü§®âàí® ï®«ó·åíí®å °à±±ò®ÿíèå ®ò âåêò®°®â
µ2 δ2 ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê ¤® ±®ã«à±®âàíí»µ
Ï°®öå¤ó°à +
m’1 n’1
âåêò®°®â. Ðå§ó«üòàò» ±°àâíåíèÿ °àá®ò
0.67
±-±®ã«à±®âàíèå
à«ã®°èò¬®â ï®êà§àí» â òàá«èöå 1. Êàê
γ 2 -±®ã«à±®âàíèå 0.62
âè¤í® è§ â»øåï°èâå¤åíí®© òàá«èö»,
„ -γ 2 -±®ã«à±®âàíèå 0.59
2 2
µ δ
’àá«èöà 1: Ðà±±ò®ÿíèå ¬å¦¤ó âåêò®°à- °à±±ò®ÿíèå m’1 + n’1 , ﮫó·åíí®å ±
¬è ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê è ±®ã«à±®âàíí»- ﮬ®ùüþ ï°®öå¤ó°» γ 2 -±®ã«à±®âàíèÿ
¬è âåêò®°à¬è
¬åíüøå, ·å¬ °à±±ò®ÿíèå, ﮫó·åíí®å ±
ﮬ®ùüþ ï°®öå¤ó°» ±-±®ã«à±®âàíèÿ, òàê êàê â® âò®°®¬ ±«ó·àå ±®ã«à±®-
âàíí»å âåêò®°» q± , w± ï°èíफå¦à«è ±®®òâåò±òâåíí® ®ò°å§êଠ[q0 , q1 ]
è [w0 , w1 ], à â ïå°â®¬ ±«ó·àå ±®ã«à±®âàíí»å âåêò®°» qγ , wγ «å¦à«è â
®ê°å±òí®±òè ±®®òâåò±òâåíí® âåêò®°®â q0 è w0 . Ê®¬ï®§èöèÿ ï°®öå¤ó° „ -
±®ã«à±®âàíèÿ è γ 2 -±®ã«à±®âàíèÿ ¤à«à åùå ¬åíüøåå ±ó¬¬à°í®å °à±±ò®ÿíèå
µ2 δ2
n’1 .
+
m’1
’àê êàê ®áå ®ïè±àíí»µ ï°®öå¤ó°»  ±-±®ã«à±®âàíèÿ è γ 2 -
±®ã«à±®âàíèÿ ¤à«è á«è§êèå °å§ó«üòàò», ïå°âàÿ ï°®öå¤ó°à á»«à °åê®-
¬åí¤®âàíà â ò®¬ ±«ó·àå, ê®ã¤à ïà°à¬åò° ±®ã«à±®âàíèÿ íà§íà·àþò ±à¬è
ýê±ïå°ò». ‚ ò®¬ ±«ó·àå, ê®ã¤à ò°åáóåò±ÿ íà©òè ¬èíè¬à«üí®å ±ó¬¬à°í®å
°à±±ò®ÿíèå °åꮬåí¤®âà«à±ü ï°®öå¤ó°à γ 2 -±®ã«à±®âàíèÿ.
‚ ®á±ó¦¤åíèè óêà§àí» ®±®áåíí®±òè ï°è¬åíåíèÿ ï°®öå¤ó° ï®±ò°®åíèÿ
è ±®ã«à±®âàíèÿ èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â, è ®ïè±àí» ®á«à±òè ï°è¬åíå-
íèÿ ýòèµ ï°®öå¤ó°.
Çàê«þ·åíèå ±®¤å°¦èò ®±í®âí»å °å§ó«üòàò» ¤è±±å°òàöèè, à òàê¦å ±ïè-
±®ê ïóá«èêàöè© ï® òå¬å è±±«å¤®âàíèÿ.

1. ‚âå¤åí ®ïå°àò®° ±®ã«à±®âàíèÿ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê. ϰ夫®¦åí»
ï°®öå¤ó°» ±®ã«à±®âàíèÿ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê ¤«ÿ «èíå©í»µ è °àí-
ã®â»µ øêà«.

2. ϰ夫®¦åíà ï°®öå¤ó°à °åãó«ÿ°è§àöèè ®ïå°àò®°à, ®ò®á°à¦àþùåã®
ï°®±ò°àí±òâ® âå±®â ï®êà§àòå«å© â ï°®±ò°àí±òâ® èíòåã°à«üí»µ èí-
 19 


¤èêàò®°®â, è ¤®êà§àíà åã® ó±ò®©·èâ®±òü.

3. Ðà±±¬®ò°åí» è§âå±òí»å ï°®öå¤ó°» ﮫó·åíèÿ èíòåã°à«üí®ã® èí¤è-
êàò®°à ¬í®¦å±òâà ®áúåêò®â áå§ ó·èòå«ÿ. Ðà§âèòà ï°®öå¤ó°à, °à§-
¤å«ÿþùàÿ ¬í®¦å±òâ® ®áúåêò®â íà ê«à±òå°».

4. ‘®§¤àí® ï°®ã°à¬¬í®å ®áå±ïå·åíèå ¤«ÿ ï®±ò°®åíèÿ èíòåã°à«üí»µ
èí¤èêàò®°®â è ±®ã«à±®âàíèÿ ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê.

5. Ìåò®¤» ﰮ諫þ±ò°è°®âàí» §à¤à·å© ï® ®öåíêå ýôôåêòèâí®±òè °à-
á®ò» §àï®âå¤íèê®â Ю±±èè. ȱﮫü§®âà«è±ü ¤àíí»å å¦åã®¤í»µ ®ò-
·åò®â ® °àá®òå ±«ó¦á» ®µ°àí» §àï®âå¤íèê®â è ýê±ïå°òí»å ®öåíêè
èíòåã°à«üí»µ èí¤èêàò®°®â è âå±®â ï®êà§àòå«å© °àá®ò» §àï®âå¤íè-
ê®â. ‚ êà·å±òâå °å§ó«üòàòà ﮫó·åí» ±®ã«à±®âàíí»å èíòåã°à«üí»å
èí¤èêàò®°» è âå±à ï®êà§àòå«å©.


Ïóá«èêàöèè ï® òå¬å °àá®ò»
1. ‘ò°è¦®â ‚. ‚. ‘®ã«à±®âàíèå ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê ¤«ÿ áè®±è±òå¬ â
ýê±ò°å¬à«üí»µ 󱫮âèÿµ. ‘®®áùåíèÿ ï® ï°èê«à¤í®© ¬àòå¬àòèêå.
Íàó·í®å 觤àíèå.  Ì.: ‚– ÐÀÍ 2002.  41 ±.

2. ‘ò°è¦®â ‚. ‚., ˜àêèí ‚. ‚. ‘®ã«à±®âàíèå ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê
â °àíã®â»µ øêà«àµ. /Ìàòå¬àòèêà. Ê®¬ïüþòå°. Îá°à§®âàíèå. IX
¬å¦¤óíà°®¤íàÿ ê®íôå°åíöèÿ. ’å§è±» ¤®ê«à¤®â.  Ì.: Ï°®ã°å±±-
’°à¤èöèÿ, 2002.  ‘. 148.

3. ‘ò°è¦®â ‚. ‚., ˜àêèí ‚. ‚. ‘®ã«à±®âàíèå ýê±ïå°òí»µ ®öåí®ê. /Ìà-
òå¬àòè·å±êèå ¬åò®¤» °à±ï®§íàâàíèÿ ®á°à§®â (ÌÌÐÎ-10), „®ê«à¤»
X â±å°®±±è©±ê®© ê®íôå°åíöèè. Íàó·í®å 觤àíèå.  ÐÀÍ, ‚–, Д-
”È, Ì®±êâà, 2001.  ±. 137-138.

4. ‘ò°è¦®â ‚. ‚., ˜àêèí ‚. ‚., Á«àã®â褮⠂. ‚. ‘®ã«à±®âàíèå ýê±-
ïå°òí»µ ®öåí®ê ï°è àíà«è§å ýôôåêòèâí®±òè óï°àâ«åíèÿ §àï®âå¤-
íèêà¬è. /’å§è±» ¤®ê«à¤®â Ï°è¬åíåíèå ¬í®ã®¬å°í®ã® ±òàòè±òè·å-
±ê®ã® àíà«è§à â ýê®í®¬èêå è ®öåíêå êà·å±òâà.  Ì®±êâà, 2001. 
C. 30.
 20 


5. Molak V, Shakin V. Strijov V., Kyoto Index for the Power Plants in
the USA. The 3-rd Moscow International Conference On Operations
Research (ORM2001). Abstracts.  ‚»·è±«èòå«üí»© öåíò° ÐÀÍ,
Ì®±êâà, 2001  P. 80.

6. Strijov V., Shakin V., An algorithm for clustering of the phase
trajectory of a dynamic system.  Mathematical Communications 
Supplement 1(2001)  p. 159-165.

7. Çóáà°åâè· Í. ‚., ’èêóí®â ‚. C., Ê°åïåö ‚. ‚., ‘ò°è¦®â ‚. ‚., ˜à-
êèí ‚. ‚. Ìí®ã®âà°èàíòí»å ¬åò®¤» èíòåã°à«üí®© ®öåíêè °à§âèòèÿ
·å«®âå·å±ê®ã® ï®òåíöèà«à â °åãè®íൠЮ±±è©±ê®© ”å¤å°àöèè. /â ±á.
ÃÈ‘ ¤«ÿ ó±ò®©·èâ®ã® °à§âèòèÿ òå°°èò®°è©. Ìàòå°èà«» Ì妤óíà-
°®¤í®© ê®íôå°åíöèè.  Ïåò°®ïàâ«®â±ê-Êଷàò±êè©, 2001.  ±. 84-
105.

8. ‘ò°è¦®â ‚. ‚., ˜àêèí ‚. ‚. Ï°®ã°à¬¬í®å ®áå±ïå·åíèå ¤«ÿ è±±«å-
¤®âàíèÿ ô৮⻵ ò°àåêò®°è©. /Ìàòå¬àòè·å±êèå ¬åò®¤» °à±ï®§íà-
âàíèÿ ®á°à§®â (ÌÌÐÎ-9), „®ê«à¤» IX â±å°®±±è©±ê®© ê®íôå°åíöèè.
Íàó·í®å 觤àíèå.  ÐÀÍ, ‚–, Д”È, Ì®±êâà, 1999.  c. 227-230.