стр. 1
(всего 2)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

На правах рукописи



Толпаев Владимир Александрович




МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВУМЕРНОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ, НЕОДНОРОДНЫХ
И МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ




Специальность 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные
методы и комплексы программ»




Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-
математических наук




Ставрополь, 2004 г.
Работа выполнена на кафедре прикладной математики в Северо-
Кавказском государственном техническом университете (г. Ставрополь)


Научный консультант: доктор физико-математических наук,
профессор Семенчин Евгений Анд-
реевич


Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор
Лежнёв Виктор Григорьевич

доктор физико-математических наук,
профессор
Каплан Лев Григорьевич

доктор технических наук,
действительный член Академии горных
наук РФ
Долгов Сергей Викторович


Ведущая организация: Российский государственный универси-
тет нефти и газа им. И.М.Губкина
(г. Москва)

Защита состоится «2 июля 2004 г» в 16 часов на заседании диссертаци-

онного совета Д212.256.05 Ставропольского государственного университета по

адресу:

355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, ауд. 214.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ставропольского
государственного университета.
Автореферат разослан ______________________________

Учёный секретарь диссертационного
совета, кандидат физико-математических
наук Копыткова Л.Б.

2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Целый ряд актуальных проблем государственного
значения связан с движением жидкости и газа в пористых средах. К таким
проблемам относятся: водоснабжение; добыча энергетического сырья (нефти
и газа); проектирование, строительство и эксплуатация гидротехнических и
гидромелиоративных сооружений; борьба с загрязнением и засолением грун-
товыми водами сельскохозяйственных площадей и т.д. Решение таких про-
блем требует разработки теории фильтрационных процессов в моделях по-
ристых сред, наиболее адекватных к естественным условиям.
Пористые среды, в которых происходят фильтрационные течения жид-
кости, как правило, неоднородны, могут иметь слоистое строение, систему
трещин, обладающих упорядоченным расположением в пространстве. По-
следние факторы (слоистость, наличие пространственно-ориентированных
систем трещин) зачастую приводят к появлению анизотропии фильтрацион-
ных свойств в пористых средах. Кроме того, продуктивные природные пла-
сты, содержащие нефть и газ, проявляют не только анизотропные и неодно-
родные фильтрационные свойства, но они почти всегда искривлены и имеют
переменную толщину. Именно поэтому актуальны теоретические исследова-
ния математических моделей двумерной фильтрации в анизотропных, неод-
нородных и многослойных средах.
Цель исследования – разработать общие методы решения задач двумер-
ной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах и на
их основе предложить математические модели для изучения конкретных ин-
женерно-технических проблем в нефте- и газодобывающей промышленно-
сти, в водоснабжении, в проектировании гидротехнических и гидромелиора-
тивных сооружений, а также для изучения других динамических процессов,
описываемых двумерными эллиптическими уравнениями.
Научная новизна результатов диссертации заключается в следующем.
Разработаны алгоритмы для расчёта эффективных тензоров проницае-



3
мостей периодических и слоистых сред при линейном и нелинейном режи-
мах фильтрации.
Проведены исследования точности расчётов фильтрации в периодиче-
ских средах методом анизотропного эквивалентирования.
Предложена новая математическая модель двумерных фильтрационных
течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлён-
ных пластах переменной толщины, которая по сравнению с известной в этом
направлении моделью О.В. Голубевой гораздо точнее учитывает особенности
двумерных течений и поэтому значительно повышает точность расчётов.
Разработаны математические модели, учитывающие индивидуальные
фильтрационные свойства призабойных зон скважин (ПЗС) при исследова-
нии течений к одиночным и групповым скважинам.
Развита теория расчётов двумерных фильтрационных течений в много-
слойных неоднородных анизотропных средах для областей, ограниченных
дугами координатных линий изотермических систем координат.
Предложены:
качественная и точная количественная математические модели работы
скважины с гравийным фильтром;
качественные математические модели работы основных конструкций
промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин;
качественные математические модели работы скважин при вертикаль-
ном и горизонтальном гидроразрыве пласта.
Достоверность и обоснованность научных положений и результатов ис-
следований подтверждаются следующим:
1) корректностью применяемого апробированного математического
аппарата (теория аналитических функций комплексного переменного, теория
уравнений математической физики, методы дифференциальной геометрии,
линейной алгебры, тензорного исчисления);
2) результаты исследований других авторов (теория двумерной фильт-
рации О.В. Голубевой; теория фильтрации В.П. Пилатовского в тонких кру-

4
говых конических и параболоидных пластах; методы «изотропизирующих»
преобразований для расчётов плоскопараллельной фильтрации в однородных
анизотропных средах В.И. Аравина, Е.С. Ромма, Г.К. Михайлова; теория
В.Н. Щелкачёва работы круговой батареи скважин; методика расчётов по-
тенциальных полей в многослойных средах из однородных изотропных слоёв
В.Н. Острейко) следуют из результатов защищаемой работы как частные
случаи;
3) результаты, вытекающие из предложенных математических моделей
влияния особенностей ПЗС на дебиты скважин, согласуются с эксперимен-
тальными и теоретическими данными других исследователей (с теорией
фильтрации В.П. Пилатовского к скважине с системой круговых порогов и с
системой лучевых трещин; с данными Г.Б. Пыхачева и Р.Г. Исаева о влиянии
призабойной неоднородности пласта на дебит скважины; с результатами
опытно-промышленных испытаний Р.А. Гасумова, В.А. Машкова и др., ис-
следовавших влияние глинисто-песчаных пробок на дебит скважины).
Результаты диссертации могут иметь практическую ценность:
при исследовании фильтрационных течений в искривлённых слоях с
конечной постоянной и переменной толщиной, пористые среды которых мо-
гут быть как анизотропными, так и изотропными, однородными и неодно-
родными;
в точных послойных расчётах фильтрационных течений в многослой-
ных анизотропных и изотропных средах;
в расчётах фильтрационных течений в неоднородных средах методом
эквивалентирования последних подходящими многослойными средами;
в расчётах течений к скважинам с вертикальными или с горизонталь-
ными трещинами гидроразрыва, учитывающими конечную проницаемость и
размеры трещин;
в разработке спецкурсов для студентов, специализирующихся по про-
филям: теория аналитических и обобщённых аналитических функций ком-



5
плексного переменного и её приложения, механика, прикладная математика,
а также для студентов нефтегазовых специальностей.
Основные положения, выносимые на защиту:
1). Расчётные алгоритмы тензоров проницаемостей анизотропных моде-
лей периодических и слоистых пористых сред для линейных и нелинейных
режимов фильтрации жидкости.
2). Математические модели линейной фильтрации в искривлённых анизо-
тропно-неоднородных (в частном случае, в изотропно-неоднородных и изо-
тропно-однородных) пластах постоянной и переменной конечной толщины.
3). Математические модели фильтрации жидкости в ПЗС.
4). Математические модели влияния особых фильтрационных свойств
ПЗС на работу групповых скважин в неоднородных средах.
5). Теория расчётов плоскопараллельных фильтрационных течений в мно-
гослойных неоднородных анизотропных средах в областях, ограниченных
дугами координатных линий.
Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения
докладывались:
1) на семинарах по гидродинамике и математической физике под руково-
дством проф. О.В. Голубевой в МОИП при МГУ (1974-1978 гг.); по мате-
матической физике и гидродинамике под руководством акад.
П.Я. Кочиной и проф. О.В. Голубевой в ИПМ АН СССР (1974-1985 гг.);
по прикладной электродинамике под руководством чл.-корр. АН СССР
Н.Н. Тиходеева в НИИПТ АН СССР (Ленинград, 1987, 1989 и 1991 гг.);
2) на Воронежских математических школах «Современные методы в теории
краевых задач» (Воронеж, 1996 г.) и «Современные методы теории функ-
ций и смежные проблемы» (Воронеж, 1999 г.);
3) на 3-ем и 4-ом Всероссийских симпозиумах «Математическое моделиро-
вание и компьютерные технологии» (Кисловодск, 1999 и 2000 г);
4) на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование
в научных исследованиях» (Ставрополь, СГУ, 2000 г.); на 7-ой и 9-ой Все-

6
российских научно-технических конференциях «Современные проблемы
математики и естествознания» и «Информационные технологии в науке,
проектировании и производстве» (Нижний Новгород, НГТУ, 2003 г.); 4-ой
Международной научно-практической конференции «Методы и алгорит-
мы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочер-
касск, Южно-Российский государственный технический университет, ян-
варь 2004 г.); 1-ой и 3-ей региональных научных конференциях «Пробле-
мы компьютерных технологий и математического моделирования в есте-
ственных, технических и гуманитарных науках» (Георгиевск, СеКавГТУ,
2001, 2003 гг.).
5) Результаты диссертации в целом докладывались на научном семинаре ка-
федры прикладной математики и компьютерного моделирования в Рос-
сийском государственном университете нефти и газа им. И.М.Губкина (г.
Москва) 18 декабря 2003 г. (Рук. семинара – М.Г. Сухарев, доктор техни-
ческих наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 83
научных статьях, 25 из которых – в центральной научной печати. Перечень
последних приведён в конце автореферата.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, 6 глав, 2-х прило-
жений, заключения и списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во Введении приводится краткий обзор литературы, обосновывается
актуальность темы, формулируется цель работы, кратко излагается её содер-
жание и перечисляются результаты, которые выносятся на защиту.
В 1-ой главе предлагаются математические модели линейной и нелиней-
ной фильтрации жидкости в пористых средах с периодической структурой, ко-
торые получаются в результате трояко-периодического повторения в простран-
стве некоторого основного структурного элемента (ячейки) ? этой среды.
Впервые основы линейной теории фильтрации в пористых средах с част-
ными случаями периодических структур были заложены в трудах
7
Б.К. Ризенкампфа, Ж. Феррандона, Ф. Шаффернака, Р. Дахлера, В.И. Аравина и
др. Такие структуры они априори рассматривали как анизотропные и для линей-
ной фильтрации в них предложили следующее обобщение закона Дарси:
? k ?? k12 ?? k13 ??
v 1 = 11 ? + ? + ?
? H 1 ?? H 2 ?? H 3 ??
?
? k 21 ?? k 22 ?? k 23 ??
?
. (1)
?v 2 = ? + ? + ?
H 1 ?? H 2 ?? H 3 ??
?
? k ?? k 32 ?? k 33 ??
? v 3 = 31 ? + ? + ?
? H 1 ?? H 2 ?? H 3 ??
?

В (1) через v1, v2 и v3 обозначены проекции вектора скорости фильтрации
r r r
r
r r r
r
v = v 1e1 + v 2 e 2 + v 3e3 в точке наблюдения с радиус-вектором R = x ? i + y ? j + z ? k
r r r
1 ?R r 1 ?R r 1 ?R
r
на орты e1 = ? , e 2 = ортогональной системы коорди-
? , e3 = ?
H 1 ?? H 2 ?? H 3 ??
v
?R
нат ?, ?, ?. Через H 1 = (аналогичные формулы для H2 и H3) обозначены па-
??

раметры Ламе системы ?, ?, ?. Функция ? связана с приведённым давлением P
p + ?gh
P
, в которой p, ?, g, h и µ - гидродинамическое давле-
формулой ? = ? = ?
µ µ

ние, плотность флюида, ускорение свободного падения, нивелировочная высота
и динамическая вязкость жидкости соответственно. Совокупность девяти коэф-
фициентов kij в (1) образует симметричный в ортогональной системе коорди-
нат ?, ?, ? тензор проницаемости второго ранга.
Теория нелинейной фильтрации в анизотропных средах стала разви-
ваться с появлением в 1974 г. публикации С.Н. Нумерова, а затем статей
А.В. Костерина, Е.Г. Шешукова, Ю.М. Молоковича. Математические модели
нелинейной фильтрации они сводили к обобщению закона (1) и применяли
тензора только 2-го ранга. Дальнейшее развитие этой теории сделали
К.С. Басниев и Н.М. Дмитриев, основываясь на том, что при фильтрации
r
жидкости между полями v и ?P существует связь, которая в наиболее общем
виде выражается формулами
r rr
( ) ( )
rrr
(либо v = f R , ?P, ?, µ ). (2)
?P = F R , v, ?, µ


8
Применяя теорию (Л.И. Седов, В.В. Лохин, Ю.И. Сиротин и др.) нелинейных
тензорных функций нескольких тензорных аргументов, они предложили об-
щий вид связи (2) аппроксимировать зависимостями следующего вида (кото-
рые без принципиальных ограничений представим для ортонормированного
базиса)
? ? i P = a ij ? v j + b ijk ? v j v k + c ijkl ? v j v k v l + K , (3)

где a ij , bijk , c ijkl - тензоры, задающие нелинейные фильтрационные свойства

пористой среды, а ?iP - проекции вектора ?P на соответствующие оси. Эти
тензоры, зависящие в общем случае от координат точки наблюдения, коэф-
фициентов µ и ?, инвариантов вектора скорости фильтрации, находятся из
условий их инвариантности относительно заданной точечной группы сим-
метрии порового пространства.
Итак, в математическом моделировании нелинейной фильтрации в ани-
зотропных средах существуют два внешне различных подхода: 1) берущий
начало от работ С.Н. Нумерова и 2) развиваемый в трудах Н.М. Дмитриева.
В диссертации анизотропные среды рассматриваются как модели таких
периодических, структурный элемент ? которых представляет прямоуголь-
ный параллелепипед с бесконечно малыми по сравнению с характерным раз-
мером области фильтрации размерами. К этим периодическим структурам
относятся распространённые в естественных условиях слоистые среды, тре-
щиноватые коллекторы с одной системой трещин или с двумя и тремя вза-
имно ортогональными системами трещин, осадочные породы, образованные
частицами вытянутой формы с упорядоченной ориентацией их в пространст-
ве и н. др. Метод построения линейной анизотропной модели пористой сре-
ды с названными периодическими структурами базируется на первичных по-
нятиях главных направлений анизотропии (ГНА) и главных проницаемостей.
Основное определяющее свойство ГНА в том, что в фильтрационных тече-
r
ниях вдоль них вектора v и ?P коллинеарны. Проницаемость пористой сре-
ды вдоль ГНА названа главной. Для линейных анизотропных моделей рас-


9
сматриваемых периодических сред ГНА известны априори - ими служат пер-
rr
пендикулярные к боковым граням структурных ячеек ? оси симметрии h1 , h 2
r
и h 3 . Главные проницаемости ?1, ?2 и ?3 в анизотропных моделях этих сред
находим из решений задач усреднения. В зависимости от постановок задач
усреднения они могут вычисляться методами 1) локального или 2) предла-
гаемого автором интегрального анизотропного эквивалентирований. Выбор
метода зависит от вида расчётной области и геометрии конкретной периоди-
ческой структуры и влияет на точность расчётов фильтрации в периодиче-
ской среде, моделируемой анизотропной. Исследования точности метода
анизотропного эквивалентирования слоистых сред проводятся в 3-ей и отчас-
ти в 6-ой главах.
В прикладных задачах теории фильтрации поле ГНА и отвечающие ему
поля главных проницаемостей часто можно рассматривать как заданные. В дис-
сертации развиты способы задания широкого круга серий триортогональных
систем криволинейных поверхностей, вектора нормалей к которым определяют
ГНА, и для каждой серии выведены расчётные формулы для тензоров прони-
цаемостей. В приложении 2 представлен каталог тензоров проницаемостей для
различных серий законов распределения ГНА.
При построении нелинейных анизотропных моделей пористых сред с пе-
риодическими структурами автор тоже исходит из существования связи между
r
полями v и ?P в виде (2). Для аппроксимации этого уравнения связи приме-
rr
нено разложение функции (2) в ряд Тейлора в окрестности точки v = 0 . Огра-
ничиваясь в этом разложении слагаемыми до третьих степеней, обобщённый
закон Дарси (ОЗД) первоначально тоже получается в виде (3), который, од-
нако, предлагается представить в другой форме
? ? i P = rij v j , (4)

с тензором второго ранга rij = a ij + b ijk v k + c ijkl v k v l + K , зависящим от компонент
r
скорости фильтрации v и непосредственно вытекающим из (3). Представле-
ние ОЗД для нелинейной фильтрации в анизотропных средах в виде (4) соот-

10
ветствует подходу, впервые намеченному С.Н. Нумеровым. Итак, глубокой
принципиальной разницы в двух подходах к описанию нелинейной фильтра-
ции в анизотропных средах нет. Подход С.Н. Нумерова в виде (4) удобно
применять для описания нелинейной фильтрации в трансверсально-
изотропных и ортотропных средах, для которых априори известны ГНА. Ес-
ли же уравнения (4) переписать в виде, разрешённом относительно компо-
нент скорости фильтрации, то придём к закону Дарси, по форме, совпадаю-
щей с (1). Поэтому (1) можно применять не только для описания линейной,
но и нелинейной фильтрации в названных анизотропных средах. Но главные
проницаемости ?i в случае нелинейной фильтрации нужно считать завися-
щими не только от координат точки наблюдения, но и от инвариантных ве-
r
личин вектора скорости фильтрации, таких, как модуль v = v ; скалярные
rr r
r
произведения (v, n k ) вектора v с какими-то заданными векторами n k ; от
квадратичных форм (VT?Di?V), зависящих от координат вектора скорости
фильтрации. Поэтому в математических моделях нелинейной фильтрации в
анизотропных средах ?i в общем случае могут задаваться функциями вида
?? i = f i (M, v, (v, n k ), (V T ? D i ? V ))
rr
. (5)
?
?i = 1,2,3

Обобщенный метод С.Н. Нумерова (5) в диссертации применён к построе-
нию математической модели нелинейной фильтрации в среде с прямолинейной
анизотропией и с полярным главным направлением.
Основные результаты 1-й главы: 1) развит метод расчёта тензоров прони-
цаемостей анизотропных моделей периодических сред по заданным полям ГНА
и главных проницаемостей как для линейного, так и для нелинейного режимов
фильтрации; 2) дано развитие метода С.Н. Нумерова математического модели-
рования нелинейной фильтрации в трансверсально-изотропных и ортотропных
анизотропных средах и указана его преемственная связь с методом
К.С. Басниева и Н.М. Дмитриева; 3) создан каталог тензоров проницаемостей
анизотропных сред для широких серий законов распределения ГНА.


11
Во 2-ой главе выводятся общие уравнения двумерной линейной фильт-
рации в анизотропных средах, указываются способы приведения их к кано-
ническому виду и общие методы решения.
Двумерную линейную фильтрацию в искривлённых слоях (пластах) изу-
чали П.Я. Кочина, В.П. Пилатовский, О.В. Голубева и её ученики
М.И. Хмельник, Ю.А. Гладышев, К.Н. Быстров, В.Ф. Пивень,
С.Е. Холодовский, а также И.А. Амирасланов и Г.П. Черепанов и др. В их ра-
ботах изотропные искривлённые слои считались бесконечно тонкими по
сравнению с наименьшим главным радиусом кривизны подошвы слоя, что
снижало практический интерес этой теории.
В диссертации предложена теория линейной двумерной фильтрации
жидкости в искривлённых однородных и неоднородных анизотропных слоях
постоянной и переменной конечной (имеющей в нефтегазовой отрасли про-
мысловое значение) толщины с непроницаемыми подошвой и кровлей. Как
частные случаи двумерной рассмотрены уравнения плоскопараллельной
фильтрации в однородных и неоднородных анизотропных средах.
При выводе уравнений двумерной фильтрации непроницаемые поверх-
ности подошвы и кровли пласта принимались за координатные ? = ?1 = const
(подошва) и ? = ?2 = const (кровля) некоторой ортогональной криволинейной
системы координат ?, ?, ?. Поверхности тока фильтрационных течений рас-
сматривались как стационарные, совпадающие с координатными поверхно-
стями ? = const. Это, конечно, идеализация, но в большинстве случаев реаль-
ная схема течения почти во всём пласте близка к ней. Поле скоростей фильт-
r r r
рации в принятой схеме будет таким: V = V? (?, ?, ?, t ) ? e1 + V? (?, ?, ?, t ) ? e 2 , где
rrr
e1 , e 2 , e 3 - орты базиса в системе ?, ?, ?.

В §1 главы 2 выводится уравнение неразрывности для двумерных фильтра-
ционных потоков сжимаемой жидкости в искривлённых анизотропных пластах
переменной конечной толщины



12
?2
??
? ? ?? [H 2 (?, ?, ? ) ? H 3 (?, ?, ? ) ? ?(?, ?, ?, t ) ? V? (?, ?, ?, t )] +
?1 ?

?
[H1 (?, ?, ? ) ? H 3 (?, ?, ? ) ? ?(?, ?, ?, t ) ? V? (?, ?, ?, t )]+ (6)
+
??
? (? ? m ) ?
+ H 1 (?, ?, ? ) ? H 2 (?, ?, ? ) ? H 3 (?, ?, ? ) ? ? ? d? = 0 .
?t ?
В §2 выводятся уравнения линейной фильтрации несжимаемой жидко-
сти в искривлённом неоднородном анизотропном слое переменной толщины,
одно из ГНА которого всюду направлено по касательным к ? - координатным
линиям, а два других ГНА относительно ? - и ? - координатных линий имеют
произвольную ориентацию. Тензорный закон Дарси (1) для двумерных тече-
ний несжимаемой жидкости в таком слое приводит к следующему распреде-
лению проекций скорости фильтрации:
k 11 ( ?, ?, ? ) ?Ф k 12 ( ?, ?, ? ) ?Ф k12 ( ?, ?, ? ) ?Ф k 22 ( ?, ?, ? ) ?Ф
, (7)
V1 = + ; V2 = +
H 1 ( ?, ?, ? ) ?? H 2 ( ?, ?, ? ) ?? H 1 ( ?, ?, ? ) ?? H 2 ( ?, ?, ? ) ??

где Ф = Ф(?, ?) . Подставляя (7) в интегральное по толщине криволинейного
слоя уравнение неразрывности (6) и выполняя необходимые преобразования,
для функции Ф( ?, ?) выводим уравнение
?? ?Ф ? ? ? ?Ф ?
?Ф ?Ф
=0 , (8)
T11 ( ?, ?) + T12 ( ?, ?) + T12 ( ?, ?) + T22 ( ?, ?)
?? ? ?? ? ?? ? ?? ?
?? ??
? ? ? ?

в котором через Т11(?, ?), Т12(?, ?), Т22(?, ?) автором обозначены выражения
?2 ?2 ?2
? H2 ? H3 ? ? H1 ? H 3 ?
? (H 3 ? k12 )d? ; T22 (?, ?) = ?
? ? k 22 ?d? ,(9)
? ? k11 ?d? ; T12 ( ?, ?) = ?
T11 ( ?, ?) = ?H ? ?H ?
? ? ? ?
?1 ?1 ?1
1 2


названные коэффициентами проводимости искривлённого пласта. Уравнение
(8) целесообразно рассматривать совместно с системой
?? ?? ?? ?? ?? ??
T11 (?, ?) + T12 (?, ?) ; T12 (?, ?) + T22 (?, ?) , (10)
= =?
?? ?? ?? ?? ?? ??

что позволяет применить методы теории обобщённых аналитических функ-
ций (И.Н. Векуа, L. Bers, A. Gelbart и др.) к исследованию течений в искрив-
лённых слоях конечной толщины. Если в (10) перейти к новым переменным
?1 и ?1, связанным с прежними ?, ? системой уравнений Бельтрами



13
??1 ?? ??1 ??
+ T12 1 + T22 1
T11 T12
??1 ??1
?? ?? ?? ??
, (11)
= =?
;
?? ??
T11T22 ? T T11T22 ? T
2 2
12 12


то (10) примет канонический вид
?? ?? ?? ??
p(?1 , ?1 ) ; p(?1 , ?1 ) , (12)
= =?
??1 ??1 ??1 ??1

(где p(?1 , ?1 ) = T11T22 ? T12 ) системы, определяющей p-аналитические (по
2



Г.Н. Положему) функции ?(?1, ?1) + i??(?1, ?1) = w(?1) комплексного пере-
менного ?1 = ?1 + i??1.
В частном случае, когда пласт настолько тонкий, что можно пренебречь
изменениями параметров Ламе по его толщине и принять их равными своим
значениям на подошве, то из (8)-(10) получим уравнения О.В. Голубевой для
изотропных бесконечно тонких слоёв. Из этих же уравнений (8)-(10) как ча-
стный случай вытекают уравнения плоскопараллельной фильтрации в одно-
родных и неоднородных анизотропных средах. В диссертации доказано, что
плоскопараллельная фильтрация во всех анизотропно-однородных средах с
постоянными главными проницаемостями ?1 и ?2, у которых одно ГНА пер-
пендикулярно к плоскости течения, а два других в этой плоскости всюду на-
правлены по касательным к линиям уровня функций
? ?
d?
p( ?, ?) = ?? ? ? ? H ( ?)d? , q( ?, ?) = ?? + ? ? , (13)
H ( ?)
?0 ?0


(? и ? - одновременно не равные нулю постоянные, H (?) - произвольная положительная
непрерывная функция, а ? и ? - изотермические криволинейные координаты),

описывается комплексными потенциалами w(?) = ?(?1,?1)+i??(?1,?1), пред-
ставляющими аналитические функции комплексного переменного
?
? 1? 2 ( ? 2 + ? 2 H 2 ( ?))
?
??H ( ?)( ? 2 ? ? 1 )
? = ?1 + i??1, где d? . (14)
?
?1 = ? ? ? 2 2 ?1 =
d? ;
? H ( ?)? 1 + ? ? 2
? H ( ?)? 1 + ? 2 ? 2 2 2 2
?0
?0


Формулы (14) исчерпывают весь запас известных случаев (В.И. Аравин,
Е.С. Ромм, Г.К. Михайлов и др.), когда плоскопараллельные течения в анизо-
тропно-однородных средах исследуются методами аналитических функций
комплексного переменного с помощью «изотропизирующих» подстановок.
14
В 5-ом параграфе 2-ой главы указывается новый класс плоскопарал-
лельных течений в однородных средах с прямолинейной анизотропией, когда
тройка попарно-ортогональных ГНА имеет произвольную ориентацию отно-
сительно плоскости течения. Доказано, что плоскопараллельные течения в
этих средах описываются комплексными потенциалами
?( X, Y ) + i? ( X, Y ) = w ( ? ) , представляющими собой аналитические функции

ac ? b 2
b
Y .(Через ?, X, Y, a, b, c обо-
комплексного переменного ? = X ? Y + i ?
c c

k ?k
a ? c ? b2 ? Р 2
k2
k13
значены: ;
?=? a = k11 ? b = k12 ? 13 23 ; c = k 22 ? 23 ;
;
µ k 33 k 33 k 33

k13 k
? z; Y = y ? 23 ? z , где x, y и z – декартовые координаты, причём x, y
X=x?
k 33 k 33

расположены в плоскости течения, а kij (i,j = 1,2,3) - заданные постоянные
компоненты тензора проницаемости анизотропной среды).
Основные результаты 2-ой главы: 1) выведено интегральное по толщине
искривлённого слоя уравнение неразрывности для двумерных течений;
2) выведены общие уравнения двумерной фильтрации несжимаемой жидко-
сти в искривлённых слоях с конечной толщиной; 3) указана связь общих
уравнений двумерной фильтрации в анизотропных (однородных и неодно-
родных) средах с теорией обобщённых аналитических функций
Г.Н. Положего и плоскопараллельной фильтрации в однородных анизотроп-
ных средах с теорией аналитических функций комплексного переменного;
4) указан широкий класс законов распределения ГНА в анизотропно-
однородных средах, для которого «изотропизирующие» подстановки нахо-
дятся при помощи квадратур по выведенным формулам; 5) указан новый ра-
нее не исследованный класс точных решений уравнений плоскопараллельной
фильтрации в однородных средах с прямолинейной анизотропией.
В 3-ей главе исследуется точность фильтрационных расчётов в слои-
стых средах методами однородно-анизотропного эквивалентирования.



15
Впервые проводить расчёты потенциальных полей в слоистых средах
методом однородно-анизотропной аппроксимации предложил ? в 1932 г. не-
мецкий физик-электротехник Ф. Оллендорф. Несмотря на широкое примене-
ние этого метода в электротехнических (Ф. Оллендорф, И.Е Тамм и
В.Л Гинзбург, А.В. Нетушил, Л.М. Бреховских, В.Ф. Кулько,
В.Н. Михайловский, В.Н. Острейко и др.) и в фильтрационных (В.И. Аравин,
Е.С. Ромм, Г.К. Михайлов, С.Е. Холодовский и др.) расчётах, специальных
исследований его точности не проводилось. Поэтому ставились задачи:
1) исследовать погрешность фильтрационных расчётов в многослойных сре-
дах (МС-средах) методом однородно-анизотропного эквивалентирования и
2) дать рекомендации по его применению. Для этого выполнялись сопостави-
тельные расчёты течений в слоистой среде и её анизотропных моделях, к ко-
торым приводят конкретные методы эквивалентирования (локальный, инте-
гральный или какой-то иной).
В методе локального однородно-анизотропного эквивалентирования
расчёт главных проницаемостей анизотропной модели осуществляется в ме-
стных для ячейки ? декартовых координатах. Главные проницаемости нахо-
rrr
дятся из равенства потоков вдоль осей симметрии h1 , h 2 , h 3 в ячейке ? соот-

ветствующим потокам (при тех же граничных условиях) в объёме ?, приня-
rrr
том за анизотропную среду с ГНА h1 , h 2 , h 3 .
В методе интегрального однородно-анизотропного эквивалентирова-
ния расчёт главных проницаемостей выполняется для всей многослойной об-
ласти ? в целом в системе координат, координатные линии которой совпа-
дают как с границами раздела чередующихся изотропных слоёв многослой-
ной среды, так и с границами ?? области ?. Они находятся из равенства по-
r r
токов вдоль слоёв h1 и перпендикулярно к ним h 2 в многослойной области ?
соответствующим потокам (при одинаковых граничных условиях) в этой же
r r
области, принятой за анизотропную среду с ГНА h1 , h 2 . Недостаток метода
интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования: координатные

16
линии выбираемой системы могут совпадать с границами раздела слоёв, но
не совпадать с границами ?? расчётной области. В этом случае расчёт глав-
ных проницаемостей анизотропной модели неизбежно приходится выпол-
нять по методу локального однородно-анизотропного эквивалентирования,
что и объясняет его широкое применение на практике.
В §1 рассматривается иллюстративная задача расчёта дебита скважины в
МС-среде (рис. 1 и 2) методами 1) локального и 2) интегрального однородно-
анизотропного эквиваленти-
рований.
Расчёты дебита в слои-
R
rc
стой среде по методу инте-
грального однородно-
анизотропного эквиваленти-
Рис. 2
Рис. 1
рования средой с радиальной
анизотропией для рис.1 и 2 приводят к точным результатам при любом числе
слоёв и любом законе изменения их размеров.
Q точн ? Q аниз
Результаты относительных погрешностей (в %) расчётов
Q точн

дебитов методом локального однородно-анизотропного эквивалентирования
для рис.1 приведены в таблице 1, а для рис.2 – в таблице 2. Представленные
результаты показывают медленную сходимость данного метода к точному
решению, которое практически достигается лишь тогда, когда в области
фильтрации укладывается не менее ˜ 5·104?106 слоёв. Число слоёв в реаль-
ных многослойных средах изменяется в диапазоне ? 50?5?104, затрудняющем
получение высокой точности расчётов по этому методу. Таким образом, рас-
смотренный пример показывает, что для повышения точности фильтрацион-
ных расчётов в МС-средах по возможности нужно применять метод инте-
грального однородно-анизотропного эквивалентирования.
В §§ 2 и 3 автор обобщил фильтрационные теоремы О.В. Голубевой об
окружности и прямой на среды с центральными и конгруэнтными законами

17
распределения ГНА соответственно. Эти теоремы применялись к исследова-
нию точности метода локального однородно-анизотропного эквивалентиро-
вания слоистых сред в других задачах.
Таблица 1
1 –ый случай: R/rскв = 100
Отношение проницаемостей ? = k1 k 2
Отношение
Число слоёв 2,00 10,00 20,00 100,00
h/rскв
0,50 0,10 0,05 0,01
±3,20 ±7,87 ±8,70 ±9,42
100 0,9900
±0,70 ±1,73 ±1,91 ±2,07
500 0,1980
±0,01 ±0,02 ±0,02 ±0,02
50000 0,0020
Отношение
2 –ой случай: R/rскв = 1000
Число слоёв
h/rскв
±2,17 ±5,34 ±5,90 ±6,40
1000 0,9990
±0,48 ±1,17 ±1,30 ±1,41
5000 0,1998
±0,05 ±0,12 ±0,13 ±0,14
50000 0,0200
Отношение
3 –ий случай: R/rскв = 10000
Число слоёв
h/rскв
±2,83 ±6,96 ±7,69 ±8,33
5000 1,9998
±1,63 ±4,01 ±4,44 ±4,80
10000 0,9999
±0,18 ±0,44 ±0,49 ±0,53
100000 0,10000
(Знаки «+» соответствуют значениям ?= 2; 10; 20 и 100, а знаки «–» - для ? = 0,50; 0,10; 0,05 и 0,01)
Таблица 2
Отношение проницаемостей ? = k1 k 2
Число
секторов 0,01 0,05 0,10 0,50 2,00 10,00 20,00 100,00
7 -16,28 -14,84 -13,24 -5,00 4,55 10,47 11,45 12,28
11 -9,78 -8,96 -8,04 -3,13 2,94 6,92 7,60 8,18
21 -4,90 -4,50 -4,05 -1,61 1,56 3,75 4,13 4,46
51 -1,96 -1,81 -1,63 -0,66 0,65 1,58 1,74 1,89
101 -0,98 -0,90 -0,82 -0,33 0,33 0,80 0,89 0,96
501 -0,20 -0,18 -0,16 -0,07 0,07 0,16 0,18 0,20
1001 -0,10 -0,09 -0,08 -0,03 0,03 0,08 0,09 0,10
5001 -0,02 -0,02 -0,02 -0,01 0,01 0,02 0,02 0,02
В §4 исследовались искажения плоскопараллельных фильтрационных
потоков в однородной изотропной среде с проницаемостью k круглым слои-
стым включением радиуса R из n колец с одинаковой толщиной и с вырож-
дающимся в круг центральным кольцом (рис.1). Приведены точные аналити-
ческие решения задач об искажении фильтрационных потоков: 1) поступа-
тельного, 2) от точечного источника, расположенного на расстоянии b > R от
центра включения и с обильностью q и 3) от аналогично расположенного ди-

18
поля с моментом M. С помощью полученных решений вычислены фильтра-
ционные потоки Qмелк через диаметр круглого слоистого включения, перпен-
дикулярный к неискажённому поступательному потоку в 1-м и к отрезку, со-
единяющему точечную особенность с центром включения, во 2-м и 3-м слу-
чаях. Для этих же задач с помощью обобщённой теоремы об окружности
строились точные решения, когда круглое слоистое включение на рис.1 с по-
мощью метода локального однородно-анизотропного эквивалентирования
моделировалось как радиально-анизотропное с главными проницаемостями
k1 + k 2
2k1k 2
вдоль радиусов и перпендикулярно к ним. С по-
?1 = и ?2 =
k1 + k 2 2

мощью полученных решений вычислены фильтрационные потоки Qан через
такой же диаметр круглого радиально-анизотропного включения, аналитиче-
ские выражения для которых применялись при сравнения величин Qмелк и Qан
в рассматриваемой слоистой среде и в её анизотропной модели. Вычислены
отношения Qмелк/Qан и относительные погрешности ? (в процентах), появ-
ляющиеся при замене слоистой среды её радиально-анизотропной моделью и
приведённые в таблице 3. Расчёты в ней показывают, что метод локального
однородно-анизотропного эквивалентрирования для оценки фильтрационных
потоков имеет ограниченное применение. Его погрешность становится удов-
летворительной не более 4…5% при k1/k2 не превышающем 103, когда тол-
щина слоёв не превышает 1% от характерного размера области фильтрации
(когда n = 100).
В §5 методом конформных отображений рассчитано точное значение
полного фильтрационного потока Qаниз от отрезка AB к отрезку CD на рис.3 в
прямоугольной области с прямолинейной анизотропией. С помощью прямо-
линейной анизотропии здесь моделировались фильтрационные свойства
слоистой среды, для главных проницаемостей которой оба метода (инте-
грального и локального) однородно-анизотропного эквивалентирования при-
k1 + k 2
2k1k 2
водят к одинаковым формулам ?1 = .
и ?2 =
k1 + k 2 2


19
Таблица 3
n = 10 n = 20 n = 30 n = 50 n = 80 n = 100




Вид поля
k1 k
?1
k1 ? k2
k2 Qмелк Qмелк Qмелк Qмелк Qмелк Qмелк
? ,% ? ,% ? ,% ? ,% ? ,% ? ,%
?2 Qан Qан Qан Qан Qан Qан


1 0,972 2,88 0,986 1,42 0,990 1,01 0,995 0,60 0,996 0,40 0,997 0,30
2 1,099 9,00 1,048 4,58 1,032 3,10 1,019 1,86 1,011 1,09 1,009 0,89
2,243 0,889
2




3 1,030 2,91 1,014 1,38 1,009 0,89 1,005 0,50 1,003 0,30 1,002 0,20
1 0,929 7,64 0,964 3,73 0,976 2,46 0,986 1,42 0,991 0,91 0,992 0,81
2 1,003 0,30 1,001 0,10 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0
2,449 0,490
6




3 0,996 0,40 0,999 0,1 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0
1 1,093 8,51 1,047 4,49 1,031 3,01 1,019 1,86 1,012 1,19 1,009 0,89
1 / 16




2 1,066 6,19 1,032 3,10 1,022 2,15 1,013 1,28 1,008 0,79 1,007 0,70
1 0,221
3 1,026 2,53 1,016 1,57 1,006 0,60 1,003 0,30 1,002 0,20 1,001 0,10
1 0,865 15,61 0,933 7,18 0,956 4,60 0,974 2,67 0,984 1,63 0,987 1,32
2 0,887 12,74 0,945 5,82 0,964 3,73 0,978 2,25 0,986 1,42 0,989 1,11
60




0,516 0,064
3 0,956 4,60 0,984 1,63 0,988 1,21 0,994 0,60 0,996 0,40 0,997 0,30
1 0,618 61,81 0,793 26,10 0,863 15,87 0,919 8,81 0,950 5,26 0,961 4,06
1000




2 0,662 51,06 0,831 20,34 0,893 11,98 0,939 6,50 0,963 3,84 0,970 3,09
0,316 0,004
3 0,758 31,93 0,928 7,76 0,970 3,09 0,987 1,32 0,992 0,81 0,993 0,70
1 1,209 17,29 1,143 12,51 1,106 9,58 1,069 6,45 1,045 4,31 1,036 3,47
0,001




2 1,159 13,72 1,110 9,90 1,079 7,32 1,048 4,58 1,030 2,91 1,024 2,34
0,316 0,004
3 1,163 14,02 1,087 8,00 1,051 4,85 1,022 2,15 1,011 1,09 1,008 0,79
Сравнение фильтрационных потоков в слоистой среде и её радиально-анизотропной модели. (В левых
Q мелк
столбиках отношения , в правых -относительная погрешность в расчётах потоков по методу
Q аниз
анизотропного эквивалентирования). 1 – поступательный поток; 2 – источник; 3 – диполь; (b/R=1,2).
Величина соответствующего фильтрацион-
H
ного потока Qмелк в слоистой среде на рис. 3
вычислялась численными методами. Приме-
T A
М B
k1

нялся метод сеток для просчёта потенциала
k2
?2
?1
k1

скорости фильтрации в каждом слое, и по-
k2
k1
том с помощью численного интегрирования
k2 2l y
k1
находилась величина Qмелк. Результаты
k2
k1
расчётов полных фильтрационных потоков
k2
D E
C

Q0 Q0
, в слоистой среде и в её анизо-
x
Рис. 3
Q мелк Q аниз

Q мелк ? Q аниз
тропной модели и относительных погрешностей ? = ? 100% метода
Q мелк

однородно-анизотропного эквивалентирования представлены в таблице 4. (В
вычислительном эксперименте MBED – квадрат; |AB| = |CD| = 0,5?H; через

20
?1 ? ? gT ? H
обозначена базисная величина, соответствующая полному
Q0 =
2?µ ?l

фильтрационному потоку при AB = MB и DC = DE).
Таблица 4
Общее число слоев 2 4 10 20 30
Для ?1 / ?2 = 0,1 величина Q0 / Qаниз = 1,139
Q0 / Qмелк 1,428 1,338 1,226 1,188 1,167
Погрешность ?, % 20,2 17,5 7,1 4,1 2,4
Для ?1 / ?2 = 0,5 величина Q0 / Qаниз = 1,317
Q0 / Qмелк 1,449 1,397 1,341 1,328 1,321
Погрешность ?, % 9,1 5,7 1,8 0,8 0,3
Для ?1 / ?2 = 0,75 величина Q0 / Qаниз = 1,396
Q0 / Qмелк 1,463 1,433 1,404 1,400 1,396
Погрешность ?, % 4,6 2,6 0,6 0,3 0,0
Удовлетворительная точность расчётов фильтрационного потока, на-
блюдаемая в таблице 4 при сравнительно малом числе слоёв (начиная с 10 и
более), объясняется тем, что анизотропная модель для рис.3 совпала с моде-
лью метода интегрального эквивалентирования, точность которого по срав-
нению с методом локального эквивалентирования выше.
Выводы по 3-ей главе. Рассмотренные примеры подтверждают, что со
стремлением к нулю отношения a/L (a - толщина отдельного слоя в слоистой
среде, L - характерный размер многослойной области фильтрации) величины
таких интегральных характеристик, как поток, можно вычислять с достаточ-
ной для практики точностью, аппроксимируя в расчётах слоистые среды их
анизотропными моделями. Такая аппроксимация существенно упрощает рас-
чёты и приводит к удобному для анализа аналитическому решению задачи.
При этом точность аппроксимации выше по методу интегрального, чем ло-
кального однородно-анизотропного эквивалентирования. Кроме того, точ-
ность метода однородно-анизотропного эквивалентирования тем выше, чем
большая часть линий тока поля почти ортогональна (или, наоборот, почти
параллельна) границам раздела изотропных слоев, составляющих слоистую
среду. В проанализированных в 3-ей главе примерах, относящихся к абсо-
лютно различным ситуациям, погрешность при оценке интегральных харак-
теристик поля в слоистой среде, моделируемой анизотропной, не превышала


21
5% при широком диапазоне изменения коэффициента анизотропии
( 0,1 ? ? мин / ? макс < 1 ), если a/L?0,03.
В 4-ой главе исследуются особенности фильтрации в ПЗС - влияние на
дебит скважины: скачка проницаемости в ПЗС; конструктивных особенно-
стей скважинных фильтров; наличие трещин гидроразрыва. Для изучения пе-
речисленных проблем автором предложены удобные для практического при-
менения методы, пополняющие арсенал инженерной математики.
В §1 по литературным данным (монографий Ю.М. Басарыгина,
А.И. Булатова, Ю.М. Проселкова и В.М. Гаврилко и В.С. Алексеева) кратко
описываются типовые конструкции промышленных фильтров скважин.
В §2 исследуется вопрос о погрешности расчёта дебита одиночной кру-
говой скважины, у которой режим фильтрации в ПЗС может стать нелиней-
ным. Погрешности появляются из-за того, что точных значений критических
чисел Рейнольдса, устанавливающих границы для линейного закона Дарси,
не существует. Выведены уравнения для расчёта в ПЗС радиуса r0 перехода
от линейного к нелинейному режиму фильтрации и соответствующие фор-
мулы для дебита Q. По выведенным формулам проведены вычислительные
эксперименты, показавшие, что 1) относительные погрешности в расчётах де-
битов газодобывающих скважин не превзойдут 6%, если переход к нелинейному
режиму учесть по любому конкретному критерию, 2) неучёт ПЗС с нелинейным
режимом фильтрации приводит к заниженному значению дебита газодобываю-
щих скважин со значимыми погрешностями (до 14%), 3) радиусы призабойных
зон газодобывающих скважин с нелинейным режимом фильтрации могут дости-
гать 50-60rскв, 4) для нефтедобывающих скважин фильтрация в ПЗС в большин-
стве случаев подчиняется линейному закону.
Другая причина, заставляющая проводить специальные исследования
фильтрации в ПЗС, связана с тем, что в действительности течение в ней все-
гда является осесимметричным, тогда как в классических постановках задач
его считают плоскопараллельным. Вопрос, можно ли пренебрегать осесим-
метричностью течения, исследуется в §§ 3 и 4 на примере работы скважины с

22
гравийным фильтром. В § 3 дано качественное решение задачи о фильтрации
к скважине с гравийным фильтром, а в §4 – её точное решение. Анализ полу-
ченного приближенного решения привёл к выводам: 1). Если безразмерный
b 2 k1
параметр x = , (где k1, k2, R, rc, b – соответственно проницаемости
?R?
rc
k 2 ? ln? ?
?r ?
? c?

пласта и гравийного фильтра, радиус кругового контура питания, радиус
ствола скважины, мощность пласта) принимает значение х ? 0,5, то тогда:
приведенное давление вдоль ствола скважины можно считать постоянным,
равным Рс; дебит центральной скважины можно вычислять по классической
формуле Дюпюи; скорость фильтрации имеет равномерное распределение по
всей длине ствола скважины. 2). Если х > 0,5, то приток флюида в скважину
происходит неравномерно: у подошвы пласта скорости фильтрации ничтож-
но малы, а при приближении к кровле пласта они резко возрастают и могут
приводить к вымыву частиц породы возле кровли в скважину. Приведённое
давление вдоль ствола может изменяться в широких пределах, включая край-
ние от РП до РС. Расчёт дебита по формуле Дюпюи в этих случаях даёт силь-
но завышенные значения. Анализ в §4 точного решения этой задачи приво-
дит к таким же выводам, но с непринципиальными количественными уточ-
нениями по всем перечисленным позициям.
Учёт конструктивных особен-
y
С
ностей применяемых в про-
?
B
E
мышленности скважинных
?

фильтров (каркасно-
опорные пояса A D x
rc R

стержневого – рис.4, кольча-
стержни фильтра

того – рис.5, перфорационного
Рис. 4. Схема каркасно-стержневого фильтра, – рис.6) требует детального
используемого в вододобывающих скважинах. rc ,
радиус скважины, ? - половина раствора угла щели, ? исследования пространствен-
- половина раствора угла непроницаемой стенки, R –
радиус невозмущённой круговой эквипотенциали. ной фильтрации в ПЗС.



23
z
Строгое гидродинами-
R
кольца фильтра rc
ческое исследование про-
z0

B C
странственных течений к
lc
крепежные E F
фильтрам скважин очень
стержни


сложно. Ранее подобные
A D
r
исследования чаще на элек-
Рис. 5 Схема кольчатого фильтра, используемого в тролитических моделях
вододобывающих скважинах. rc – радиус скважины; lщ -
половина высоты щели; lc - половина высоты проводились М.Н. Тихо-
непроницаемой стенки; R – радиус невозмущённой
эквипотенциали; z0 = lщ + lc. вым, В.И. Щуровым, Дод-
соном и Кардуэллом и др. В
R O1
диссертации для прибли-
B1
?0
жённого аналитического ис-
B1 C1
A1
C1 h
следования пространствен-
C
B
?
D1
ных течений в ПЗС, в том
O
?
числе к скважинным фильт-
B
rc
A
рам, предложен единый под-
C

ход - метод средневзвешен-
D
Рис. 6. Схема фрагмента фильтра перфорационной конструкции с рядным
ного потенциала (СВП), час-
расположением перфорационных отверстий. Слева сегмент фильтра
элементарной области притока жидкости, BB1C1C - область D поверхности
то применяемый в теорети-
фильтра, OO1 - ось симметрии ствола скважины, h - высота сегмента, ?0 -
угол раствора сегмента

ческой электротехнике и известный в ней как метод Хоу. Для скважин с
фильтрами высоты H для всех перечисленных конструкций решение по ме-
тоду СВП привело к однотипным выражениям для дебита
kH PП ? Pc
, (15)
Q = 2? ?
µ ln R + 1 ?
rc 2
отличающимся в (15) лишь коэффициентами дополнительного сопротивления ?.
Для каркасно-стержневой конструкции известно точное решение
В.П. Пилатовского, которое тоже приводит к формуле (15), но с иным коэффи-
циентом ?. Сопоставительные с формулой В.П. Пилатовского расчёты показали
удовлетворительную точность метода СВП. Его погрешность не превышает 5-
7%, но всегда приводит к заниженному значению дебита. По формулам (15)

24
проведены вычислительные эксперименты для выявления зависимости дебита
от типа конструкции скважинного фильтра. Данные вычислительных экспери-
ментов на рис. 7
1




показывают, что
0,9



0,8

в промышлен-
1
Относительный дебит Q ? Q 0




0,7
3
ности целесооб-
0,6

Радиус скважины 100 мм, радиус эквипотенциали 200
разнее исполь-
мм.
2
0,5

1)Фильтр перфорационной конструкции, количество
перфорационных отверстий по окружности 32
зовать перфора-
0,4
отверстий, угол раствора отверстия 2,87 градуса,
высота отверстия 115 мм, количество отверстий по
ционную конст-
0,3
вертикали от 1 до 8.
2)Фильтр кольчатой конструкции, высота щели 1,5
0,2
мм, количество щелей от 1 до 666.
рукцию, для
3)Фильтр каркасно-стержневой конструкции, угол
раствора щели 25 градусов, количество щелей от 1 до
0,1



которой харак-
14.
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Скважность
терна высокая
Рис. 7. Сопоставление фильтров различных конструкций. (Q0 – дебит совершенной
скважины, скважность – отношение суммарной площади щелей (отверстий) к площади
пропускная спо-
ствола скважины).


собность при малой (20-25%) скважности, что позволяет обеспечить фильтру
необходимые прочностные качества.
В §9 исследуется влияние скачка проницаемости призабойной зоны на
дебит скважины. Решение этих задач автор строит с помощью доказанной им
теоремы о подобии фильтрационных по-
y

M2
лей в грунтах со специальными законами
k1
изменения проницаемости. На рис.8 и 9
k0
r1
приведены скважины, работающие в об-
l

M1 ? = ?П
ласти с прямолинейной и круговой гра-
x

ницами контура питания, круговая приза-
Рис. 8

бойная зона которых имеет проницаемость k1, отличающуюся от проницае-
мости k0 остальной части пласта. С помощью теоремы о подобии найдены
верхняя и нижняя оценки Q1 и Q2 дебита скважин, позволившие действи-
тельное значение определить с высокой точностью. Кроме теоремы о подо-
бии, разработан ещё один приближённый способ учёта скачка проницаемо-
сти в ПЗС одиночной скважины, основанный на том, что течение в ПЗС
можно принять как плоскорадиальное. Исходя из этого, автор свёл задачу к

25
конформному отображению области фильтрации с выброшенной круговой
частью ПЗС с радиусом r1 на круговое кольцо. Если
y


это конформное отображение t = t (z ) найдено, то де-
l
бит Q скважины со скачком проницаемости в ПЗС
k0

m1 m2
можно вычислить по формуле
r1
k1 x
R
2?k 0 k1 ( PП ? PС )
(16)
Q= ,
? r?
t(z П )
µ? k1 ? ln + k 0 ? ln 1 ?
? r0 ?
t(z C )
? ?
? = ?П
где zП и zС - комплексные координаты точек контура
Рис. 9
питания П и круговой границы ПЗС, а r0- радиус
скважины. Задачи, представленные на рис. 8 и 9, решены и вторым способом.
Сопоставительные расчёты дали практически совпадающие результаты, по-
казавшие, что, повышая проницаемость ПЗС, можно заметно увеличить де-
бит. Пониженная по сравнению с пластом проницаемость ПЗС приводит к
резкому сокращению дебита скважины.
В §§ 10 и 11 исследуется вопрос о дебите скважины, в призабойной зо-
не которой сделан вертикальный (рис. 10) либо горизонтальный (рис.11) гид-
роразрыв пласта. Исследование эффектив-
y


ности вертикального гидроразрыва изуча-
лось в работах В.М. Ентова и
В.В. Мурзенко, К.М. Донцова с соавтора-
2
?0
1
ми, В.В. Кадета и В.И. Селякова,
rc x
r1
Р.Д. Каневской и Р.М. Кац,
Kщ – количество
А.Ф. Зазовского и Г.Т. Тодуа,
R
щелей


А.В. Доманского и др. Эффективность го-
Рис. 10
ризонтального гидроразрыва пласта иссле-
довалась методом электролитического моделирования С.А. Христиановичем
и Ю.П. Желтовым. Приближённое решение о притоке к скважине с одной се-
рединной горизонтальной трещиной методом ЭГДА получено
Ю.Н. Васильевым и А.И. Башкировым.
В диссертации для выявления главных фильтрационных эффектов, вы
26
званных гидроразрывом пласта, применён метод СВП. Для дебита Q скважи-
ны с вертикальными щелями на рис. 10 методом СВП получено выражение
?n ?n
?R? ? r1 ? ?r ?
ln? ? ? ? +? c ? ?r ?
?r ? ?r ?
16 ?
, а ? n = К Щ ? ? n + ? . (17)
1
Q ? c? ? 1?
? c?
, где ? = 2 ?
= ? ?
? n =0 ?? r ? ? n ? r ? ? n ?
?R? ? 2?
Q0 ?
ln? ? + ( 2n + 1) 3 ?? 1 ? ? ? c ? ?
?r ? K ?r ?
??
? 1? ?? rc ? ? 1? ?
щ
? ?
2? ? (? Щ ? ? П ) ? b
Через Q0 в формуле (17) обозначена базисная величина Q 0 = .
?R ?
ln? ?
? rC ?
Случай, когда в ПЗС только две вертикальные трещины, расположенные на
одной прямой, позволяет воспользоваться известным точным решением для
электростатического аналога задачи. Это точное решение применялось для
оценки погрешности формулы (17) при Kщ = 2 и r1 ? 300rС и показало, что
формула (17) даёт всегда заниженное на 5-7% значение дебита Q. Формула
(17) применялась для анализа эффективности вертикального гидроразрыва
пласта. По результатам расчётов сделаны выводы: 1). Дебит скважины суще-
ственно зависит от радиусов вертикальных трещин. Вначале с ростом радиу-
са трещин дебит растёт, а затем его рост замедляется. 2). С ростом числа ще-
лей дебит растёт, но быстро из-за интерференции щелей достигает асимпто-
тического значения. Оптимальное число вертикальных трещин при гидрораз-
рыве пласта от 2 до 4. 3).
z
Выгоднее создавать не-
большое количество
Q2
2 зона v0 =
l
крупных по размерам
2??l?(r0 + r1)
??2 = 0
b
трещин, чем большое ко-
Q1
1 зона
b-l личество мелких.
v1 =
??1 = 0 2??(b – l)?(r0 + r1)

Для гирлянды из N
R r
r0 r1 горизонтальных трещин,
Рис. 11. Расчётная схема течения к горизонтальной трещине
равномерно распреде-
по комбинированному методу фрагментов и СВП

лённых вдоль непрони-
цаемого вертикального ствола скважины, поверхность каждой из которых

27
моделировалась как эквипотенциальная, по методу СВП получена следую-
щая формула для дебита Q?:
ln (R 0 ) Wn (x, y )
?
Q? ? b0 ?
˜
? , S(x, y ) = ?
, где S = S? x, , (18)
= ˜
(2n + 1)3 ? w n (x, y )
2?N ?
? R 0 ? 8 ? S ? b0
Q0 ? n =0
?+
ln?
x ? ?3 ? N ? x
?

и R0 = R ? rC ; b0 = b ? rC ; x = 1 + r1 ? rC ; y1 = (b - ?) ? rC ; y2 = ? ? rC,
I 0 (? n ) ; ? K 0 (? n ) I1 (? n ) ; K1 (? n ) ?(2n + 1) ? x
Wn (x , y ) = w n (x , y ) = ?n =
; ; ;
I1 (q n ) ; K1 (q n ) I1 (q n ) ; K1 (q n ) 2y

?(2n + 1)
. В (18) через Q0 обозначен дебит совершенной скважины с ра-
qn =
2y

диусом r0 и вычисляемый по формуле Дюпюи. Вычислительные эксперимен-
ты, выполненные с помощью (18), показали: 1) для повышения производи-
тельности скважины выгоднее создавать одну крупную ГТ в середине пласта,
чем множество мелких трещин в гирлянде, 2) для одной трещины гидрораз-
рыва максимальный дебит достигается при её расположении в середине пла-
ста и 3) если размер этой единственной трещины больше мощности пласта
(r1 > b), то её расположение вдоль ствола скважины практически не играет
роли. К таким же выводам приводят исследования, полученные методом
электролитического моделирования (Г.Б. Пыхачев, Р.Г. Исаев).
Основные результаты главы 4: 1) автор доказал, что классическая поста-
новка задачи о течении к скважине, когда поверхность её ствола принимается
за эквипотенциальную, может приводить к заметным ошибкам в расчёте де-
бита, если не учесть по приведённому в диссертации критерию возможность
перехода в ПЗС плоскорадиального течения в осесимметричное; 2) доказана
необходимость учёта при расчёте дебитов скважин возможного перехода в
ПЗС линейного режима фильтрации к нелинейному; 3) доказано, что расчёт
сложных трёхмерных фильтрационных течений в ПЗС с приемлемой точно-
стью можно выполнить методом СВП; 4) проведены расчёты и даны практи-
ческие рекомендации по оптимальному соотношению проницаемостей ПЗС и
пласта, по техническим параметрам применяемых фильтров и по количеству
и размерам искусственно создаваемых трещин гидроразрыва.

28
В 5-ой главе исследуются математические модели интерференции
нефтедобывающих скважин, уточняющие постановки В.Н. Щелкачёва для
таких же задач. В ПЗС учитывается возможность, во-первых, скачков прони-
цаемости и, во-вторых, перехода фильтрации от линейного режима к нели-
нейному.
§1 носит вспомогательный характер. В нём описывается метод функций
Грина для расчёта плоскопараллельной фильтрации к одиночной скважине,
эксплуатирующей при линейном напорном режиме неоднородный изотроп-
ный пласт с проницаемостью K(x,y) = k0·k(x,y), где k0 - размерная константа,
а k(x,y) - такая безразмерная функция, что для эллиптического уравнения
?? ? ? ? ?? ?

стр. 1
(всего 2)

СОДЕРЖАНИЕ

>>