<<

стр. 2
(всего 2)

СОДЕРЖАНИЕ

??
L[?(x, y )] ? k (x, y ) ? ? + k (x, y ) ? ? = 0 (19)
?x ? ?y ?
?x ? ?y ?
? ?
с коэффициентом k(x,y) известно фундаментальное решение g(x,y,x0,y0). Ма-
тематическая постановка сводится к краевой задаче для уравнения (19) отно-
k0 ? P
сительно потенциала ? = ? с граничными условиями
µ

? C = ? C = const , (20)
? П = ? П = const и

где П –контур питания в области фильтрации D, а С –контур скважины. Для
расчёта потенциала течения к скважине предварительно строится функция
Грина ?0(x,y) = g(x,y,x0,y0) + f(x,y), где f(x,y) – регулярное в области D ре-
шение уравнения (19), удовлетворяющая однородным условиям Дирихле
? 0 (x, y ) П = 0 и описывающая точечный сток в точке (x0,y0) с нормированным

удельным дебитом 2?. После этого потенциал течения к скважине с удель-
ным дебитом Q найдём по формуле
Q
?(x, y ) = ? ? 0 (x, y ) + A , (21)
2?
постоянные Q и A в которой определяем из граничных условий (20). В ре-
зультате из (20) и (21) для удельного дебита получаем формулу
2? ? (? C ? ? П )
, (22)
Q=
? 0 (x C , y C )

где (xC,yC) – точка контура скважины.
29
В §§ 2 и 3 рассматриваются задачи расчёта дебита одиночной круговой
скважины 1) в неоднородных анизотропных пластах с линейным режимом
фильтрации и 2) в изотропных пластах – с нелинейным. Здесь предложены
вариационные методы (пробных эквипотенциалей и пробных линий тока) для
расчёта в аналитической форме верхних и нижних оценок дебита скважины.
В §4 исследуется интерференция n скважин, эксплуатирующих неод-
нородный изотропный пласт. Область фильтрации D ограничена контуром
питания П и круговыми контурами скважин Сk с радиусами rk (k = 1,2, … ,n ),
на которых заданы значения ? C = ? k = const . Потенциал ?(x,y) течения от n
k



скважин ищется в виде суперпозиции функций Грина
?k(x,y) = g(x,y,xk,yk) + fk(x,y), описывающих отдельные точечные стоки:
n
?(x, y ) = ? ? k ? ? k (x, y ) + ? П , (23)
k =1


где ?k – неопределённые множители, связанные с дебитами Qk равенствами
Qk
; (k = 1,2,..., n ) . Постоянные ?k находим из граничных условий на конту-
?k =
2?

рах питания и скважин, которые приводят к системе линейных алгебраиче-
ских уравнений (СЛАУ)
?n
?? ' ? i ? ? i (x k , y k ) + ? k ? ? k (x k + ?x k , y k + ?y k ) = ? k ? ? П
. (24)
? i =1
?k = 1,2,..., n
?

Знак “штрих” у суммы здесь и далее означает, что индекс суммирования
i ? k. Приращения ?xk и ?yk определяют точку на контуре Ck.
В §5 предложена математическая модель взаимодействия n скважин, в
призабойных зонах которых свои индивидуальные проницаемости, не равные
проницаемости пласта. Призабойная зона каждой скважины с центром в точ-
ке (xm,ym) и с радиусом r0m принимается за круговую с радиусом rm и с посто-
янной проницаемостью km. Течение в ПЗС рассматривается как радиальное.
Радиусы rm ПЗС считаются достаточно малыми по сравнению с другими рас-



30
стояниями в области фильтрации. Предполагая перечисленные допущения
выполненными, для дебитов скважин Qm = 2???m приходим к СЛАУ
k 0 ? (PП ? Pm )
?n * *

?? ' ? i ? ? i (x m , y m ) + ? m ? ? m (x m + ?x m , y m + ?y m ) =
µ
? i =1
k m ? (Pm ? P0*m )
? *
?
. (25)
?? m =
?r ?
? µ ? ln? m ?
?r ?
? ? 0m ?
?
?m = 1, 2, ... , n
?
Отношение скачка проницаемости k1/k0
6
0.1 0.2 0.5 1 5 20 40


5



4
Отношение Q? ? Q0




3



2



1



0
3 6 9 12 15 18 21
Количество скважин n

Рис. 12 — Зависимость суммарного дебита центральной круговой батареи от числа
скважин n и от отношения проницаемостей k1/k0. Радиус контура питания R = 10 км,
радиус ПЗС — 10 м, радиус скважин — 0,1 м. (k1 – проницаемость ПЗС, k 0 – проницае-
мость пласта). Радиус батареи – r1=1 км. Q0 – базисная величина, дебит фиктивной
круговой скважины в центре пласта.
В частном случае, когда n скважин расположены равномерно в круговой
батарее с радиусом r1 и с центром, совпадающим с центром однородного изо-
тропного кругового с радиусом R пласта, а радиусы rC всех скважин, их при-
забойных зон r0 и давления PC на скважинах одинаковы, получено решение:
2?k 0 k1 (PП ? PC ) R 2 n ? (r1 )
2n
, где B = . (26)
Q=
n ? r0 ? R ? (r1 )
n ?1
? ? n
?r ?
µ? k 0 ln? 0 ? + k1 ln (B)?
?r ?
? ?
? C?
? ?

Здесь Q - удельный дебит одной скважины в батарее, k1 - проницаемость ПЗС


31
скважин, k0 – проницаемость пласта. Суммарный дебит Q? батареи равен
Q? = n?Q. Формула (26) обобщает формулу В.Н. Щелкачёва и переходит в неё
при k0=k1 или при r0 = rC. Она применялась в вычислительном эксперименте
k1
по исследованию зависимости Q? от отношения проницаемостей . Резуль-
k0

таты расчётов, представленные на рис. 12, показывают, что повышение про-
ницаемости ПЗС более чем в 20 раз неоправданно, в промысловой практике
достаточно увеличивать проницаемость ПЗС в 5 раз. Ухудшение проницае-
мости ПЗС сильнее сказывается на суммарном дебите батареи, чем её увели-
чение. Поэтому необходимо предусматривать защитные меры, предотвра-
щающие понижение проницаемости ПЗС.
В §6 предложена математическая модель интерференции скважин с не-
v
линейным режимом фильтрации grad P = ? f ( v ) ? в призабойных зонах с зара-
v

нее неизвестными радиусами rm. Для расчёта дебитов скважин Qm = 2???m
выведена система нелинейных алгебраических уравнений

k ? (P ? P )
?n
' ?i ? ?i (xm , ym ) + ?m ? ?m (xm + ?xm , ym + ?ym ) = 0 П m
?? µ
? i=1
? rm ? ? ?
? ? fm ? m ? ? dr = Pm ? P0m
?
?r0m ? r ?
. (27)
?
??m ? km ? f (? , C , ? ) = Re
? ?? r m 1m m кр

? m

?m = 1,2, ..., n ; i ? m
?
Система (27) из 3n уравнений замкнутая, число неизвестных в ней ?1, ?2,
….,?n, P1, P2, … ,Pn, r1, r2, …, rn соответствует числу уравнений.
Основные результаты 5-ой главы: 1) разработаны общие математиче-
ские модели, описывающие работу в изотропном неоднородном пласте а)
одиночной скважины, б) группы скважин, в) группы скважин со скачками
проницаемостей в ПЗС, г) группы скважин с нелинейным режимом фильт-
рации в ПЗС; 2) предложен метод построения серии точных решений (в по-

32
становке для двухсвязных областей) задач фильтрации к круговой скважине с
конечным радиусом; 3) предложены вариационные методы расчёта верхних и
нижних оценок дебита одиночной скважины; 4) по предложенным математи-
ческим моделям выполнены вычислительные эксперименты и сделаны выво-
ды.
В 6-й главе разработана теория расчёта плоскопараллельных фильтра-
ционных течений в многослойной области G в виде криволинейного четы-
рехугольника, ограниченного дугами координатных линий ортогональной
изотермической системы координат P, Q. Расчётная область заполнена мно-
гослойной неоднородной анизотропной средой (МС-средой), границы от-
дельных слоёв которой совпадают с линиями P = const (или Q = const).
y
B E
˜i
?
? i, ? i,
y



? i, f i (x),

? i (y)
... ...
˜i
?
d1 d2 d i-1 di d i+1 d n-1 dn
x



1 2 i-1 i i+1 n-1 n
x0=0 x n=l

x1 x2 x i-2 x i-1 xi x i+1 x n-2 x n-1
M D x
˜i
i n
d i = x i ? x i ?1 ; ? yi = ?i ? безразмерная посто-
Рис. 13. x = ? d ; x = ? dk ? l ;
i k n
˜
?x
k =1 k =1

янная, коэффициент анизотропии i-го слоя; ˜x = ? i ? f i ( x ); ˜y = ? i ? ? i ? f i ( x ) ; f i ( x ) ? без-
?i ?i
размерная функция, характеризующая закон неоднородности i-го слоя.;
f i ( x i ?1 ) = 1; f i ( x i ) = ? i . Постоянная ? i – коэффициент неоднородности i-го слоя.
? i ? размерная постоянная (проницаемость). d i ? ширина i-го слоя. Функция ?i(y) - плот-
ность распределения источников в i-ом слое.
В изотермических P, Q и в декартовых (для прямоугольной области) ко-
ординатах x, y расчёт поля в МС-среде осуществляется по алгоритмам, кото-
рые отличаются лишь непринципиальными деталями. Поэтому без ограниче-
ния общности далее рассматривается область G = {0? x ? l; 0 ? y ? h} в виде
33
прямоугольника MBED (рис. 13), заполненного средой с прямолинейной ани-
зотропией. Её физические характеристики претерпевают конечные разрывы
во внутренних точках 0 = х0 < х1 < х2 < х3 < ... < хn-1 < xn = l. ГНА всюду сов-
падают с осями x и y, а собственные значения Г1(х) и Г2 (х) тензора прони-
цаемости среды на отрезках ?i = [xi-1, xi] задаются равенствами
= ˜1i = ? i ? f i ( x ) = ˜2 i = ? i ? ? i ? f i ( x ),
и i=1,2,…,n. Поле скоростей
? ?
Г1 Г2
х ?? i х ?? i

r r
r
фильтрации ?( x, y) = ? x ( x, y) ? i + ? y ( x, y) j в такой среде описывается 1) законом
?? ??
Дарси ? х = ? Г1 ? , в котором потенциал, как обычно, связан с
, ?у = ?Г2 ?
?х ?у

приведённым давлением P формулой ?(х, у) = P(x, y) ? µ и 2) уравнением не-
) )
разрывности div ? = ??( у) . В последнем ?(y ) задаёт плотность источников,
определяемых в каждом i-ом слое по заданным кусочно-непрерывным функ-
)
циям ?i(y) по формуле ?( у) х?[ х = ? i ? ?i ( у ), i = 1, n. После подстановки ?x и
i ?1 , х i ]




?y в уравнение неразрывности для потенциала ? = ?(х,у) получаем неодно-
родное уравнение эллиптического типа
?? ?? ? ) ? 2?
L[?( х , у ) ?, F( х )] ?
)
(28)
F( х ) ? ? + ? ? F( х ) ? 2 = ?( у )
?х ? ?х ? ?у
?
)
с кусочно-непрерывными коэффициентами ? |х??i = ? i ; F( х ) х ?? = f i ( х );
i i



?( у) х?? = ?i ( у) , которое для послойно перенумерованных значений потенциа-
i



ла ?i(х, у) эквивалентно системе уравнений эллиптического типа
L[?i ( х, у) ?i , f i ( х )] = ?i ( у); i = 1, n. (29)
Уравнение (28) и соответствующая система (29) решаются совместно с гра-
ничными условиями: на сторонах ВЕ и MD задаются условия Дирихле:
= Ф1 ( х ); ? i ( х , h ) х ?? = Ф 2 ( х ); i = 1, n , (30)
? i ( х ,0) х
?i ?? i i i




где Ф1(х) и Ф2(х) – непрерывные на [0, l] функции. На сторонах МВ и DE за-
даются граничные условия
?? n ?
* ?? ? ?
?*
= F2 ( у) , (31)
? а 1 ? ?1 + b1 ? ? = F1 ( у); ? а * ? ? n + b* ?
2 2
?х ? х =0 ?х ? х =l
? ?


34
где a1*, a2*, b1*, b2* - заданные постоянные, а F1(y) и F2(y) – заданные функции.
На границах контакта слоёв выполняются условия сопряжения, выражающие
непрерывность давления и нормальных составляющих vn, т.е.
?? i ?1 ??
?i-1 = ?i
при х = хi-1 : и (32)
? i ?1 ? ? i ?1 ? = ? i ? i , i = 2, n.
?х ?х

Расчёты потенциальных полей для задач электротехники с частными
случаями кусочно-однородных сред (когда все fi(x) ? 1) и с однородными
граничными условиями (30) ранее выполнял В.Н. Острейко. В диссертации
сформулированная задача решается для кусочно-неоднородных сред с гра-
ничными условиями (30) общего вида. Для этого автор разработал метод пе-
рехода к модельной задаче с помощью построения в областях gi = {xi-1 < x <
xi ; 0 < y < h} передаточных функций ?i(x,y), удовлетворяющих однородному
уравнению (29) и принимающих в вершинах gi заданные значения
? i ( х i?1 ,0) = ? iM ; ? i ( х i?1 , h ) = ? iB ; ? i ( х i ,0) = ? iD ; ? i ( х i , h ) = ? iE , (i = 1, n ) . Такие частные

решения имеют вид
х х
?у?
dx dx
? ? ?? ?
˜ х i ?1 f i ( х ) ˜ ? у ? ˜ ? h ? х i ?1 f i ( х )
? i ( х , у ) = ˜i + bi ? х i , (33)
+ сi ? ? ? + d i ?
а хi
?h?
dx dx
? f (х) ? f (х)
х i ?1 i х i ?1 i


˜ =? ,˜ =? ?? ,˜ =? ?? ,˜ =? +? ?? ?? .
где Если значения
аi iM bi iM сi iM d i
iD iB iE iM iB iD


?i(х,у) в вершинах gi задавать по формулам ?iM = Ф1(хi-1); ?iB = Ф2(хi-1);
?iD = Ф1(хi); ?iЕ = Ф2(хi), то ?i(х,у) на границах у = 0 и y = h в точках хi,
i = 0, n примут значения граничных условий Ф1(х) и Ф2(х). Поэтому, разбивая
MD на достаточно мелкие частичные отрезки ?i = [xi-1, xi], с помощью функ-
ций ?i(х,у) удастся сравнительно точно удовлетворить граничным условиям
(30). Решения уравнений (29), удовлетворяющие условиям (30), получены в
виде ?i(x,y) = ?i(x,y) + wi(x,y), в котором wi(x,y) представлены рядами Фурье
?k
?
w i ( x, y) = ? U ik ( x ) ? sin(? k y) , где . (34)
?k =
h
k =1

Функции Uik(x) в рядах Фурье (34) автор представляет в специальном, ориен-
тированном на «многослойные» задачи виде
35
A ik
, (35)
U ik ( x ) = C ik ? g ik ( x ) + D ik ? p ik ( x ) ?
?2k ? ? i ? f i ( x )

? i ? sh[? ik ? ( x ? x i?1 )]
sh[? ik ? ( x i ? x )] ln ? i
где g ik ( x ) = ; p ik ( x ) = ; d i = x i ? x i?1 ; a i = ;
f i ( x ) ? sh (? ik ? d i )
f i ( x ) ?sh (? ik ? d i ) 2d i
h
? ?k ?
2
? ik = ? ? ? i + a ; A ik = ? ? ?i ( y) ? sin? y ?dy ; а Cik и Dik – произвольные посто-
2 2
k i
h0 h?
?

янные. Законы изменения неоднородности fi(x) в каждом слое в (35) выбира-
ются отдельно по любому из трёх перечисляемых вариантов: 1). Однородно -
анизотропный слой, когда fi(x) = 1; (?i = 1). 2). Анизотропный слой с квадра-

? ? ? (x ? x i?1 ) + (x i ? x )?
2

тичным законом изменения неоднородности: f i ( x ) = ? i ?.
x i ? x i?1
? ?
? ?

? x ? x i ?1 ?
3). Анизотропный слой с экспоненциальным законом: f i ( x ) = exp? ? ln ? i ?
? ?
? x i ? x i ?1 ?

В случае произвольного закона f(x) отрезок MD на рис.13 разбивается на час-
тичные отрезки, на которых f(x) аппроксимируется перечисленными выра-
жениями. Для окончательного решения задачи, как это следует из формул
(34) и (35), остаётся вычислить коэффициенты разложений Cik и Dik в рядах
Фурье для wi(x,y). Разработанный алгоритм расчёта этих коэффициентов из
граничных условий (31) и (32) сведён к применению метода прогонки.
Кроме изложенного первого, в диссертации подробно рассмотрен вто-
)
рой случай, когда источники поля в МС-среде отсутствуют, ?(y ) = 0 , а грани-
цы MD и BE для фильтрационного потока непроницаемы, т.е. v iy = 0 , или

?? i ?? i
(i = 1,2, K , n ) . (36)
= =0;
?y ?y
y =0 y=h


Граничные условия на сторонах MB и ED и на границах контакта слоёв во
втором случае тоже записываются в виде (31) и (32).
Разработанная теория применялась к исследованию на конкретных при-
мерах точности расчётов фильтрации в слоистых средах методом интеграль-
ного однородно-анизотропного эквивалентирования.



36
Основные результаты главы 6: 1) разработан математический аппарат
расчёта линейной фильтрации в кусочно-неоднородных многослойных сре-
дах в областях, топологически эквивалентных прямоугольнику; 2) с помо-
щью развитой теории на конкретных примерах выполнены дополнительные
исследования точности расчётов в МС-средах методом интегрального одно-
родно-анизотропного эквивалентирования; 3) на примере разработанной тео-
рии указаны общие подходы к расчётам полей в многослойных средах в дру-
гих областях - полосе, полуполосе, круге и н. др., а также в топологических
аналогах этих областей в изотермических системах координат.
В приложении 1 приведены справочные сведения по законам ортого-
нального преобразования базисов, координат векторов и тензоров 2, 3 и 4
рангов.
В приложении 2 приводится каталог тензоров проницаемостей для
линейной фильтрации в средах с конкретными законами распределения ГНА.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основании выполненных исследований разработаны теоретические
положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое круп-
ное достижение в развитии теории двумерной фильтрации 1) в искривлённых
слоях конечной переменной толщины и 2) в многослойных и анизотропных
средах.
Основные результаты работы, полученные лично автором:
1. Разработаны алгоритмы для расчёта тензоров проницаемостей тех анизо-
тропных сред, главные направления анизотропии которых известны априори
(к ним относятся распространённые в естественных условиях трансверсаль-
но-изотропные и ортотропные среды, некоторые периодические, трещинова-
тые и слоистые среды) при линейном и нелинейном режимах фильтрации.
2. Предложена математическая модель двумерных фильтрационных течений
несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пла-
стах конечной переменной и постоянной толщины.



37
3. Проведены исследования точности фильтрационных расчётов в слоистых
средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования.
4. Разработаны математические модели учёта индивидуальных фильтрацион-
ных свойств призабойных зон скважин при исследовании течений к одиноч-
ным и групповым скважинам.
5. Предложена качественная и точная количественная математическая мо-
дель работы скважины с гравийным фильтром.
6. Предложены математические модели работы основных конструкций про-
мышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин.
7. Предложены качественные математические модели работы скважин при
вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта.
8. Предложена теория расчётов двумерных фильтрационных течений в мно-
гослойных и неоднородных средах в области, ограниченной дугами коорди-
натных линий изотермических систем координат.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
1. ЖЕРНОВОЙ А.Д., ДОНЦОВ К.М., ТОЛПАЕВ В.А. Математическая мо-
дель вскрытия радиально-анизотропного пласта щелевым способом. // Из-
вестия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естест-
венные науки. 1996. № 1. С.36-41.
2. ТОЛПАЕВ В.А. Математические модели для фильтрационного расчета
гидротехнических сооружений. // Известия ВННИГ им. Б.Е. Веденеева, Т.
239, Санкт-Петербург, 2001. С. 98-109.
3. ТОЛПАЕВ В.А. Математические модели нелинейной фильтрации в грун-
тах с обобщенной анизотропией. // Известия ВУЗОВ. Северо-Кавказский
регион. Естественные науки. 2000, № 2. С.33-36.
4. ТОЛПАЕВ В.А. Математическое моделирование нелинейной фильтрации
в анизотропных средах обобщённым методом С.Н. Нумерова. // Известия
вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. Приложение. 2003.
№ 12. С.3-11.
5. ТОЛПАЕВ В.А. О построении точных решений задач напорной фильтра-
ции в некоторой серии анизотропных сред. // Изв. СКНЦ ВШ. Естествен-
ные науки. 1979. №4. С. 33-36.
6. ТОЛПАЕВ В.А. Обобщение фильтрационных теорем об окружности и
прямой для анизотропных сред. // Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки.
1984. №3. С.32-35.
7. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет напорных фильтрационных течений методом вир-
туальных трубок тока. // Сборник материалов Всероссийской научной

38
конференции 27-30 сентября 2000 г. «Математическое моделирование в
научных исследованиях». Ч. 1. Ставрополь, СГУ, 2000. С.160-164.
8. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет статических полей в прямоугольной многослойной
области. // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1990, № 7. С.5-14.
9. ТОЛПАЕВ В.А. Решение задач фильтрации в кусочно-неоднородных сре-
дах методом моделирования границ раздела эквипотенциалями течения. //
Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. Науки. 1999. № 4.
С.39-43.
10. ТОЛПАЕВ В.А. Решение краевых задач со смешанными краевыми усло-
виями в прямоугольной многослойной области. // Известия вузов. Северо-
Кавказский регион. Естеств. Науки. 1998. № 4. С.47-55.
11. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения линейной напорной плоскопараллельной
фильтрации в анизотропных средах / / Изв. Северо – Кавказ. науч. центра
высш. шк. Естеств. науки. 1984. № 2. С.45-49.
12. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения нелинейной фильтрации в анизотропных сре-
дах. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки.
Приложение. №7, 2003. С. 7-18.
13. ТОЛПАЕВ В.А. Численно-аналитические методы расчета дебитов оди-
ночных и групповых скважин в неоднородных средах. // Известия ВУЗОВ.
Северо-Кавказский регион. Естественные науки. № 1, 2000. С.53-57.
14. ТОЛПАЕВ В.А., ЖЕРНОВОЙ А.Д. Решение краевой задачи Дюпюи для
среды с прямолинейной анизотропией. // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки.
1988, № 4. С.80-87.
15. ТОЛПАЕВ В.А., ЖЕРНОВОЙ А.Д., ПЕТРЕНКО В.И. Численный расчет
емкости цилиндрического конденсатора с анизотропным диэлектриком. //
Известия вузов СССР. Электромеханика. 1989, №6. С.5-12.
16. ТОЛПАЕВ В.А., ЗАХАРОВ В.В., ПЕТУХОВ А.А. Комплексные потен-
циалы фильтрационных течений в прямолинейно анизотропных средах с
произвольной ориентацией осей тензора проницаемости //Мат. IY Между-
народной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы при-
кладной математики в технике, медицине и экономике». ЮРГТУ (НПИ) –
(Новочеркасск, 23 января 2004 г.) – Ч.2.- С.39-42.
17. ТОЛПАЕВ В.А., ИВАНОВА Е.Ф. Интегрирование систем дифференци-
альных уравнений модифицированным методом исключения. // Известия
вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. Науки. 1998. № 3. С.107-110.
18. ТОЛПАЕВ В.А., КРЫМИН Л.Г. О приближенном расчете электротехни-
ческих характеристик плоскопараллельного поля плотности постоянного
тока в неоднородном изотропном проводнике. // Известия вузов. Элек-
тромеханика, №4. 1987. С.11-17.
19. ТОЛПАЕВ В.А., ЛЕДОВСКОЙ В.И. Расчёт коэффициентов проводимости
для изотропных пластов вращения постоянной толщины //Мат. IY Меж-
дународной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы
прикладной математики в технике, медицине и экономике». ЮРГТУ
(НПИ) – (Новочеркасск, 23 января 2004 г.) – Ч.2.- С.43-46.

39
20. ТОЛПАЕВ В.А., МАТВЕЕВ Ю.Т. Построение решений некоторых урав-
нений гиперболического типа методом перехода. // Сборник научно-
методических статей по математике. Выпуск 11, М.: «Высшая школа»,
1983. С.98-107.
21. ТОЛПАЕВ В.А., СЕРБИНА Л.И. Расчёт тензора проницаемости для сред с
цилиндрическими законами распределения главных направлений анизо-
тропии. // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский реги-
он. Естественные науки. 1997. № 2. С.41-42.
22. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В., ЗАХАРОВ В.В. Влияние проницае-
мости гравийного фильтра на дебит буровой скважины при линейном за-
коне Дарси. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные
науки. №3, 2003. С. 36-41.
23. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б. Комплексные потенциалы плос-
ко-параллельных электрических и магнитных полей в анизотропных сре-
дах. // Изв. Вузов. Электромеханика. 1984. №3. С. 5-9.
24. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б. О точности моделирования в ста-
тических расчётах мелкослойчатых сред анизотропными. // Известия ву-
зов СССР. Электромеханика. 1988. № 6. С.13-18.
25. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б., КРЫМИН Л.Г. Об аппроксима-
ции в электротехнических расчетах мелкослойчатых сред анизотропными.
// Известия вузов, Электромеханика, №11, 1985. С.23-32.

Во всех совместных работах автору принадлежит теоретическая часть,
разработка вычислительных алгоритмов и подготовка тестовых примеров.
Программную реализацию и конкретные вычисления проводили соавторы.




40

<<

стр. 2
(всего 2)

СОДЕРЖАНИЕ