СОДЕРЖАНИЕ

На правах рукописи




ЗАВЬЯЛОВА ТАТЬЯНА ВИКТОРОВНА


УСТОЙЧИВОСТЬ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ СО
СЛУЧАЙНЫМИ СКАЧКАМИ ФАЗОВЫХ
ТРАЕКТОРИЙ


Специальность 01.01.02. – дифференциальные уравнения




АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук




Екатеринбург – 2004
Работа выполнена в Уральском государственном университете путей сообщения на
кафедре высшей математики.




Научный руководитель доктор физико-математических наук,
доцент Тимофеева Г.А.



Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Пакшин П.В.,

кандидат физико-математических наук,
доцент Ряшко Л.Б.

Ведущая организация: Московский государственный институт
электроники и математики
(технический университет)



Защита состоится ''____'' _____________ 2004 г. в ____ часов на заседании диссерта-
ционного Совета K 212.286.02 по присуждению учёной степени кандидата физико-
математических наук в Уральском государственном университете им. А.М. Горького по ад-
ресу: 620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комн. 248.




С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского государственного уни-
верситета.




Автореферат разослан "____" ______________ 2004 г.




Учёный секретарь
диссертационного Совета
доктор физ. - мат. наук, профессор В.Г. Пименов




2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ


Актуальность темы. Изучение многих реальных процессов, происхо-
дящих в природе, технике, естествознании, связано с рассмотрением диффе-
ренциальных уравнений, параметры которых случайные функции времени. Ма-
тематическое моделирование динамики таких систем проводится с помощью
стохастических дифференциальных уравнений. Основы теории стохастических
дифференциальных уравнений были заложены в работах К. Ито, Р.Л. Страто-
новича, И.И. Гихмана, А.В. Скорохода, D. Williams, R.S. Bucy, A. Friedman и др.
в пятидесятых годах прошлого века. В современной теории случайных процес-
сов широкое распространение также получили модели, параметрами которых
являются однородные марковские цепи с конечным числом состояний. Такое
описание объекта управления оказалось наиболее полным, поскольку однород-
ная марковская цепь несёт информацию о режиме (или структуре) объекта в
данный момент времени, а фазовый вектор описывает его состояние в данном
режиме. В отечественной литературе описанные системы называют системами
со случайной структурой, а в западной литературе распространён термин «сис-
темы со скачками» (jump systems).
Одним из основных условий физической реализуемости эволюционного
процесса является его устойчивость. Основы теории устойчивости и управле-
ния систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями,
заложены Н.Н. Красовским, И.Я. Кацом, Р.З. Хасьминским и Э.А. Лидским в
начале 60-х годов 20 века. Круг исследования стохастических систем со струк-
турными изменениями значительно расширяется в работах В.Н Афанасьева,
В.Б. Колмановского, И.Я. Каца, Д.Г. Кореневского, Г.Н. Мильштейна,
А.А. Мартынюка, А.И. Маликова, В.Р. Носова, П.В. Пакшина, Н.А. Пакшиной,
Л.Б. Ряшко и др.
В работах И.Я. Каца, П.В. Пакшина, Н.А. Пакшиной, А.И. Маликова рас-
смотрены проблемы устойчивости систем со случайной структурой, в том чис-
ле и при предположении, что в случайные моменты скачкообразного изменения
параметров системы фазовый вектор её состояния также может изменяться
скачком. В работах этих авторов получены необходимые и достаточные усло-

3
вия вероятностной устойчивости, разработаны алгоритмы и методы исследова-
ния робастной устойчивости, изучены задачи управления и стабилизации сто-
хастических систем со скачками в предположении, что условия скачка фазового
вектора описываются неслучайными функциями.
Однако представляется естественной ситуация, когда в случайные момен-
ты времени за счёт перехода системы из одного состояния в другое фазовый
вектор изменяется скачком случайным образом. Скажем, если в механических
системах изменение структуры связано со случайным скачкообразным измене-
нием массы или геометрии системы, то корректная постановка задачи требует
задания новых начальных условий, поскольку фазовый вектор оказался раз-
рывным. Подобные проблемы возникают в виброударных, экономических и
других сложных системах, связанных с частичным отказом элементов. В дан-
ной работе рассматриваются вопросы устойчивости систем случайной структу-
ры при условии, что в момент смены структурного состояния скачком изменя-
ется фазовый вектор, причём начальные условия для продолжения процесса яв-
ляются случайными и зависят как от структурного состояния системы, так и от
случайной величины с известными характеристиками распределения. Исследо-
вание устойчивости таких систем, проведённое в диссертационной работе, ба-
зируется на методах, использованных в монографии И.Я. Каца «Метод функ-
ций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной струк-
туры» для стохастических систем с детерминированным условием скачка фазо-
вого вектора.
Целью работы является исследование асимптотической устойчивости и
устойчивости в среднем квадратичном линейных и нелинейных систем со слу-
чайной структурой и случайным условием скачка фазового вектора.
Методы исследования. При выполнении диссертационной работы исполь-
зованы теория вероятностей, теория случайных процессов, линейная алгебра,
математический и функциональный анализ, методы теории устойчивости по
Ляпунову и теории стохастической устойчивости. Для моделирования динами-
ки процессов использован пакет программ Mat Lab.
Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие
новые научные результаты:

4
• Для линейной стационарной системы со случайной структурой и случай-
ным условием скачка фазового вектора построена детерминированная система
дифференциальных уравнений для моментов второго порядка. Устойчивость
полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений влечет ус-
тойчивость исходной стохастической системы со случайными скачками фазо-
вого вектора. Для одномерной системы со случайными скачками фазового век-
тора получены условия для параметров случайного скачка, при выполнении ко-
торых неустойчивая стохастическая система без скачков становится устойчивой
при их появлении.
• Получены выражения усреднённой производной в силу системы со слу-
чайной структурой со скачками для двух основных типов марковских процес-
сов. На основе этих результатов проведено исследование устойчивости нели-
нейных стохастических систем со случайными скачками фазового вектора.
• Методом первого приближения получены достаточные условия асимпто-
тической устойчивости и экспоненциальной устойчивости в среднем квадра-
тичном нелинейной стохастической системы со случайными скачками.
• В качестве системы первого приближения рассмотрена система со случай-
ной структурой, полученная «замораживанием» коэффициентов. Для этого слу-
чая получены достаточные условия, налагаемые на вероятностные характери-
стики марковского процесса, а также на параметры нелинейной системы и па-
раметры скачка, при которых нелинейная система со скачками экспоненциаль-
но устойчива в среднем квадратичном.
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теорети-
ческий характер. Полученные результаты вносят вклад в развитие теории ус-
тойчивости систем со случайной структурой. Практически результаты могут
быть использованы при моделировании сложных динамических систем с отка-
зами механизмов и других нарушениях. Применение результатов работы по-
зволит стабилизировать работу динамических систем со случайными сбоями,
поскольку во многих случаях случайным изменением начальных условий фазо-
вого вектора можно неустойчивую систему со случайной структурой привести
в устойчивое состояние.



5
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и
обсуждались на открытых научных семинарах кафедры «Кибернетика» Мос-
ковского государственного института электроники и математики под руково-
дством проф. В.Н. Афанасьева; кафедры «Теоретическая механика» УрГУ под
руководством проф. Ю.Ф. Долгого; кафедры «Высшая математика» УрГУПС
под руководством проф. И.Я. Каца и доц. Г.А. Тимофеевой.
Основные результаты диссертации докладывались на 7-ом и 8-ом междуна-
родных семинарах «Устойчивость и колебания нелинейных систем управле-
ния» (г. Москва, июнь 2002 г., 2004 г.); на международной конференции «Диф-
ференциальные и интегральные уравнения. Математические модели» (г. Челя-
бинск, февраль 2002 г.); на 2-ом международном конгрессе "Нелинейный дина-
мический анализ" (г. Москва, 2002 г.); на международной научно-технической
конференции "Кибернетика и технологии 21 века" (г. Воронеж, 2002 г.); на
Всероссийской научно-практической конференции «Фундаментальные и при-
кладные исследования – транспорту-2000» (УрГУПС, Екатеринбург, 2000 г.);
на научно-технической конференции «Молодые учёные – транспорту» (Ур-
ГУПС, Екатеринбург, 2001 г.); на Всероссийской научно-практической конфе-
ренции «Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта»
(УрГУПС, Екатеринбург, 2003 г.); на Всероссийской конференции «Алгорит-
мический анализ неустойчивых задач» (УрГУ, г. Екатеринбург, февраль 2004
г.); на 35-ой региональной молодёжной школы-конференции «Проблемы теоре-
тической и прикладной математики» (г. Екатеринбург, 2004 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1-13].
Структура и объём диссертации. Основной текст диссертации состоит из
введения, двух глав, приложения и списка литературы, содержащего 84 назва-
ния. Диссертационная работа занимает 112 машинописных страниц.


КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ


Введение содержит обзор современного состояния исследуемой пробле-
мы, приведён обзор работ российских и зарубежных авторов, изучавших близ-
кие задачи, кратко изложено содержание работы.

6
В первой главе рассматривается задача устойчивости в среднем квадра-
тичном линейной стационарной стохастической системы, испытывающей па-
раметрическое воздействие простой марковской цепи с конечным числом со-
стояний. Характеристика движения осложнена тем, что в моменты случайного
скачкообразного изменения структуры системы, так же скачком изменяются
координаты фазового вектора. Первая глава объединяет 6 параграфов.
В § 1 рассматривается постановка задачи, а также вводятся все необходи-
мые определения стохастической устойчивости системы, описанной следую-
щим уравнением


l
dx = A ( y (t )) xdt + ? ? ? ( y (t )) xdw? (t ) , (1)
? =1



где x ? R ( n) ? n ? вектор фазовых координат системы, время t может изме-
няться в области I = {t : t ? t 0 }. Вектор-функция y (t ) , описывает воздействие
случайных параметрических возмущений, действующих на систему. Предпола-
гается, что при каждом t ? I функция y (t ) принимает значения из множества

Y = { y1 , K , y k } ? R ( r ) и является простой марковской цепью, переходные веро-
ятности которой допускают разложение


P{ y (t ) = y j y ( s ) = yi ? y j } = qij ? (t ? s ) + o(t ? s ) (2)


P{ y (? ) ? yi , s ? ? ? t y ( s ) = yi } = 1 ? qi ? (t ? s ) + o(t ? s ), (3)


где qij ? известные величины, характеризующие интенсивность переходов мар-

ковской цепи. Будем говорить, что при y (t ) = yi система (1) находится в i -ом
структурном состоянии. o(t ? s ) ? бесконечно малая величина при t > s , более
высокого порядка малости, чем (t ? s ) . Функция w(t ) = {w1 (t ),K, wm (t )} явля-
ется m ? векторным винеровским процессом. A( y (t )), ? ? ( y (t )) ? матрицы раз-
мерности n ? n , определенные при каждом y (t ) ? Y .

7
Предполагается, что в случайный момент времени t = ? при переходе
системы (1) из состояния y (? ? 0) = yi в состояние y (? ) = y j ? yi с переход-
ными вероятностями (2), (3) происходит скачок фазового вектора согласно со-
отношению


N
x(? ) = K ij x(? ? 0) + ? ? s Qs x(? ? 0) , (4)
s =1



где x(? ) ? n ? вектор фазовых координат системы (1), непрерывный справа, то
есть x(? ) = x(? + 0); K ij ? известные матрицы размерности n ? n , i, j = 1,K, k ,
i ? j , зависящие от структурного состояния системы; Qs ? известные матрицы
размерности n ? n ; ? s – независимые случайные величины, для которых вы-

полняется M? s = 0, M? s2 = 1 ( M – знак математического ожидания). Предпо-
лагается, что случайные величины ? s не зависят от реализации винеровского
процесса w(t ) и состояний марковской цепи y (t ) . Для различных моментов
времени ? соответствующие случайные вектора ? s также независимы.
В §2 строятся моментные уравнения для стохастической системы (1), (4).
Показывается, что дифференциальные уравнения для моментов первого поряд-
ка системы имеют вид

? k
mi = ( Ai ? qi E ) mi + ? q ji K ji m j , (5)
j ?i




s = 1, K N .
и не зависят от постоянных матриц Qs ,
mi (t ) = M [ x(t ) ? i ( y (t )) x0 , y0 ],
qi = ? qij ,
Ai = A( yi ),
Здесь обозначено
i? j

?1, при i = j
?
?i ( y j ) = ?
i, j = 1, K , k , i ? j и .
?0, при i ? j
?
В этом же параграфе рассмотрена проблема экспоненциальной устойчи-
вости в среднем квадратическом системы (1), (4). Для систем такого типа стро-

8
ятся матричные дифференциальные уравнения для вторых условных моментов
решения, анализ которых позволяет исследовать среднеквадратическую устой-
чивость исходной стохастической системы. Доказывается следующее утвер-
ждение. Здесь и далее нумерация теорем и утверждений такая же, как в основ-
ном тексте диссертации.
ТЕОРЕМА 2.1. Для экспоненциальной устойчивости в среднем квадра-
тичном системы со случайной структурой (1), испытывающей воздействие мар-
ковской цепи с известными параметрами распределения (2), (3), и со случай-
ным условием скачка (4) необходимо и достаточно, чтобы была экспоненци-
ально устойчива детерминированная система матричных дифференциальных
уравнений для моментов второго порядка

? k
M i = Ai M i + M i Ai? ? qi M i + ? q ji K ji M j K ?ji +
j ?i

k N l
+ ? ( ? Qs M j Qs ) q ji + ? ? ?i M i ? ??i ,
? (6)
? =1
j ?i s =1




которые следует решать при начальных условиях


M i (0) = x0 ( x0 )? ? i ( y0 ), i = 1, K , k .


Здесь введено обозначение M i (t ) = M [ x(t ) x?(t ) ? i ( y (t )) x0 , y0 ].
В доказательстве теоремы показано, что исследование среднеквадратиче-
ской устойчивости стохастической системы со скачками сводится к анализу ус-
тойчивости детерминированной системы для моментов второго порядка.
В § 3 анализируются условия устойчивости в среднем квадратичном с
помощью построенной системы для условных моментов второго порядка. Осо-
бое внимание уделяется особенностям случайных разрывов фазовой траекто-
рии, а именно, ищется ответ на вопрос: каким условиям должны удовлетворять
параметры скачка фазового вектора, чтобы система со случайной структурой
была экспоненциально устойчивой в среднем квадратичном. В качестве приме-
ра рассмотрено линейное дифференциальное уравнение со случайной структу-
9
ры, независящего от компонентов винеровского процесса, и случайное условие
скачка фазового вектора. Проведённые исследования приводят к выводу о том,
что детерминированная часть скачка должна стремиться к единице, а случайная
составляющая должна быть мала в окрестности невозмущённого движения.
Найдены условия, налагаемые на параметры скачка фазового вектора, при ко-
торых неустойчивую систему случайной структуры без скачков можно привес-
ти в устойчивое положение.
В § 4 представлен вывод усреднённой производной (или производящего
дифференциального оператора) в силу линейной системы со случайной струк-
? dM [V ] ?
турой (1) (обозначаемое далее ? и случайным условием скачка фа-
?)
? dt ? (1)
зового вектора (4) для двух основных типов марковского процесса. В случае ес-
ли случайный процесс y (t ) является простой марковской цепью справедливо
следующее утверждение.
ЛЕММА 4.1. Для усредненной производной квадратичной функции
V (t , x, y ) в силу системы (1), зависящей от параметров простой марковской це-
пи (2), (3), и с условием скачка фазового вектора (4) в точке ( s, x, yi ) ? F спра-
ведлива формула

?
1 ? ? 2V ?
?V ( s, x, yi ) ? ?V ?
? dM [V ] ?
+ ? ? A( s, yi ) x + tr ? 2 ? ( s, x, yi )? ?( s, x, yi )? +
? dt ? = ?s ? ?x ? 2 ? ?x
? ? (1) ?

k N
+ ? [V ( s, K ij x, y j ) + V ( s, ? Qs x, y j ) ? V ( s, x, yi )] qij . (7)
j ?i s =1




Здесь V (t , x, y ) – квадратичная форма по переменной x , определённая в облас-
ти F :
x ? R ( n ) , y ? Y , t ? 0, (8)




10
s = 1, K , r , r – вектора y (t ) образуют между со-
Если компоненты y s ,
бой чисто разрывные марковские процессы, допускающие разложение


P{ y s (t + ?t ) ? ( ? , ? + ?? ) y s (t ) = ? ? ? } = qs (t , ? , ? )???t + ? (?t )


P{ y s (? ) ? ? , t < ? ? t + ?t y s (t ) = ? } = 1 ? qs (t , ? )?t + ? (?t ) , (9)


где qs (t , ? , ? ), q s (t , ? ) – известные функции, причем, qs (t , ? ,+?) = q s (t , ? ) , то
справедливо следующее утверждение.
ЛЕММА 4.2. Для усредненной производной квадратичной функции
V (t , x, y ) в силу системы (1), подверженной параметрическому воздействию
чисто разрывного марковского процесса y (t ) ? [?1 ,? 2 ] с переходными вероят-
ностями (9), и с условием скачка фазового вектора (4) в точке ( s, x, ? ) ? F
справедлива формула


?
?V ( s, x, ? ) ? ?V ? 1 ? ? 2V ?
? dM [V ] ?
?? +
? A( s, ? ) x + tr ? 2 ??
? dt ? = +?
?s ? ?x ? 2 ? ?x
? ? (1) ?

?2 N
+ ? [V ( s, K (? , ? ) x, ? ) + V ( s, ? Qs x, ? ) ? V ( s, x, ? )]d ? q ( s, y, ? ) . (10)
s =1
?1



В § 5 проведено исследование устойчивости в среднем квадратичном ли-
нейной стохастической системы (1), (4) с помощью метода функций Ляпунова.
Получен аналог матричного уравнения Ляпунова для обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. Для системы (1) – (4) справедлива следующая система
матричных дифференциальных уравнений:


N
l
Gi Ai + Ai?Gi + ? ? ??i Gi? ?i + ? ( K ij G j K ij + ? Qs G j Qs ? Gi ) qij = ?Ci ,
? ?
? =1 i? j s =1




11
i, j = 1,..., k , i ? j . (11)
где Ci = C ( yi ) , Gi = G ( yi ) – симметричные, положительно определённые мат-
n?n
рицы размерности соответствующих квадратичных форм
W ( x, yi ) = x?C ( yi ) x , V ( x, yi ) = x? G ( yi ) x по переменной x . В равенстве (11)
Ai = A( yi ), ? ?i = ? ? ( yi ), i, j = 1,..., k , i ? j .
обозначено
Это уравнение позволяет получить ряд алгебраических критериев экспо-
ненциальной устойчивости в среднем квадратичном, в зависимости от выбора
функции W ( x, y (t )) .
В § 6 смоделирована динамическая система, описывающая движение ма-
териальной точки по циклоиде с параметром, зависящим от простой марков-
ской цепи с двумя состояниями. В момент перехода из первого состояния во
второе фазовый вектор изменяется скачком случайным образом. Для этой сис-
темы получены условия устойчивости в среднем квадратичном с помощью ме-
тода моментов. Второй пример в этом параграфе иллюстрирует применение ме-
тода функций Ляпунова к системе со случайной структурой со скачками.
Вторая глава диссертации (§7-§11) посвящена исследованию нелиней-
ных стохастических систем со случайными скачками фазовых координат сис-
темы. Здесь рассматриваются некоторые приложения основных теорем о веро-
ятностной устойчивости, прежде всего для изучения влияния изменений пара-
метров системы и параметров случайного скачка на устойчивость системы. По
аналогии с детерминированными системами такая задача носит название задачи
об устойчивости по первому приближению. Многообразие возникающих здесь
постановок задач связано со способом выбора системы первого приближения и
характером близости между исходной и упрощённой системами.
В частности, в §8 изучается поведение системы


dx = [ A(t , y (t )) x + R(t , x, y (t ))] dt + ? [? ? (t , y (t )) x + S? (t , x, y (t ))] dw? (t ) (12)
l

? =1



с нелинейным условием скачка



12
x(? ) = K ij x(? ? 0) + ? ?ij ( x(? ? 0)) , (13)


где A(t , y (t )), ? ? (t , y (t )) – известные n ? n – матрицы с заданными свойствами,
а вектор-функции R (t , x, y (t )), S? (t , x, y (t )) удовлетворяют условиям Липшица
и, кроме того, условиям


R (t , x, y (t )) ? ? x , S? (t , x, y (t )) ? ? x , ?ij ( x) ? ? x , (14)


где ? – некоторая положительна постоянная.
В качестве системы первого приближения рассматривается линейная сто-
хастическая система


l
dx(t ) = A(t , y (t )) xdt + ? ? ? (t , y (t )) xdw? (t ) (15)
? =1



и линейное условие скачка фазового вектора x(t )


x(? ) = K ij x(? ? 0) (16)


Для системы (12), (13) справедливо следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 8.1. Если невозмущенное движение x = 0 системы (15) с ус-
ловием скачка фазового вектора (16) экспоненциально устойчиво в среднем
квадратичном, а постоянная ? > 0 в условии (14) достаточно мала, то невоз-
мущенное движение полной системы (12) с условием скачка (13) асимптотиче-
ски устойчиво по вероятности в целом, и экспоненциально устойчиво в среднем
квадратичном.
Также приводится модификация этого утверждения на случай, если нели-
нейные добавки R (t , x, y ), S? (t , x, y ), ?ij ( x) малы в среднем по времени, то есть


R (t , x, y ) ? ? (t ) x , S? (t , x, y ) ? ? (t ) x , ?ij ( x) ? ? (t ) x , (17)

13
где ? (t ) – непрерывная ограниченная функция в области F , для которой суще-
ствует такое положительное число T > 0 , что при всех t 0 > 0 справедливо не-
равенство
1 t0 +T
? ? (t ) dt < ? , (18)
T t0


где ? – положительная постоянная.
В § 9 смоделирован процесс, описывающий присоединение или отбрасы-
вание случайной массы тела, закреплённой на пружине с известным коэффици-
ентом жёсткости. Методом моментов второго порядка получены достаточные
условия устойчивости такого процесса. В этом же параграфе исследуется во-
просы устойчивости такой системы, при условии, что на тело действует неко-
торая возмущающая сила. Демонстрируется применение метода первого при-
ближения.
В §10 параграфе изучается задача об устойчивости по первому прибли-
жению системы со случайной структурой


dx = f (t , x, y (t ))dt + ? (t , x, y (t ))dw(t ) , (19)


где непрерывные функции f (t , x, y ) , ? (t , x, y ) имеют в области F непрерыв-
ные и ограниченные производные по x до второго порядка включительно:


? 2?
?2 f
?f ??
?N x, ?N x ,
?N x , ?N x, (20)
?y ?y
?y ?y
2 2




где N > 0 некоторая постоянная.
Пусть в случайные моменты скачкообразного изменения вектора состоя-
ния системы y (t ) фазовый вектор x(t ) так же изменяется скачком по закону:




14
N
x(? ) = K (? , ? ) x(? ? 0) + ? ? sQs x(? ? 0) , (21)
s =1



где ? ? момент перехода системы из состояния y (? ? 0) = ? , в состояние
y (? + 0) = ? ? ? ; ? s ? независимые случайные величины, для которых
M? s = 0, M? s2 = 1 ; K (? , ? ) ? матрица размерности n ? n , характеризующая
переходное состояние фазового вектора в момент смены структурного состоя-
ния y (t ) ? Y ; Qs ? известные матрицы с постоянными коэффициентами раз-
мерности n ? n . Предполагается, что в окрестности невозмущённого движения
x = 0 параметры скачка фазового вектора ограничены:


K (? , ? ) ? E ? ? , Qs ? ? , (22)


при всех ? , ? ? Y . Здесь ? – некоторая положительная постоянная.
Предполагается, что системой первого приближения является
детерминированная система, полученная «замораживанием случайности» и
имеет вид
dx? = f (t , x? ,? )dt + ? (t , x? ,? )dw(t ) . (23)


где ? – некоторое фиксированное значение марковского процесса. Будем пред-
полагать, система (23) равномерно устойчива по параметру ? , то есть


M [ x? (t ) x? (t 0 ) = x0 ] ? A x0 e ?? ( t ?t0 ) ,
2 2
(24)


причем, постоянные A > 0, ? > 0 не зависят от структурного значения систе-
мы ? ? Y при всех t > t 0 .
Справедливо следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 10.1. Пусть невозмущенное движение системы с неизмен-
ной структурой (23) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном рав-
номерно по параметру ? ? Y и выполнено условие (24), кроме того, для систе-

15
мы со случайной структурой (19) и случайным условием скачка (21) справедли-
вы условия (20), (22), а процесс y (t ) изменения структурного состояния явля-
ется чисто разрывным марковским процессом (9). Тогда существует такая по-
стоянная ? > 0 , что при выполнении условия


? (t , y ) = 2? ? ? ? ? p( s, ? , ? )d? < ?
Y



невозмущенное движение системы (19), (21) будет экспоненциально устойчиво
в среднем квадратичном.
Требование, предъявляемое теоремой 10.1 к системе первого приближе-
ния (23), является довольно жёстким (в условии теоремы 10.1 требуется, чтобы
система (23) была экспоненциально устойчива при каждом значении ? ? Y ).
Поэтому рассмотрен случай, когда система первого приближения (23) с неиз-
менной структурой экспоненциально устойчива в среднем квадратичном рав-
номерно по ? лишь на некотором замкнутом множестве H ? Y . А на множе-
стве T = Y \ H система первого приближения (23), вообще говоря, не обладает
этим свойством. В этом случае для экспоненциальной устойчивости системы
(19), (21) оказывается достаточным, чтобы для чисто разрывного марковского
процесса y (t ) выполнялись следующие ограничения


1
M [ y (t + ?t ) y (t ) = y ? S ] < ? 1 ,
lim
?t >0+ ?t




1
P{ y (t + ?t ) ? T y (t ) = y ? S } < ? 2 ,
lim
?t >0+ ?t




1
P{ y (t + ?t ) ? S y (t ) = y ? T } > ? 3 ,
lim
?t >0+ ?t




где ? 1 , ? 2 , ? 3 – некоторые положительные постоянные, а для параметров скач-
ка достаточно выполнения условий (22). Полученные условия означают, что

16
система (19), (21) будет экспоненциально устойчивой в среднем квадратичном,
если вероятность перехода системы из устойчивых состояний в неустойчивые
достаточно мала, тогда как вероятность обратных переходов достаточно велика.
При этом, как и в теореме (10.1), параметры скачков малы и средняя скорость
изменения процесса y (t ) тоже мала, пока эти случайные изменения происходят
на множестве устойчивых состояний.


Основные публикации по теме диссертации


Завьялова Т.В., Кац И.Я., Моментное уравнение и исследование ус-
1.
тойчивости линейных систем со случайно изменяющейся структурой. Труды
Всероссийской научно-практической конференции "Фундаментальные и при-
кладные исследования – транспорту-2000".– УрГУПС.– Екатеринбург.– 2000.–
С. 449-450.
Завьялова Т.В. Устойчивость невозмущенного движения нелиней-
2.
ных стохастических систем с разрывными фазовыми траекториями. Сборник
трудов УрГУПС. Том 2.– 2001.– С. 107-115.
Завьялова Т.В. Устойчивость стохастических систем со случайным
3.
условием скачка фазовой траектории. Тезисы докладов международной конфе-
ренции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические мо-
дели».– Челябинск.– 2002.– С. 35-36.
Завьялова Т.В. Об устойчивости нелинейных стохастических сис-
4.
тем со случайным условием скачка фазового вектора. Тезисы докладов 7-го
международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем
управления". Москва.– 2002.– С. 88-90.
Завьялова Т.В. К вопросу об устойчивости стохастических систем с
5.
разрывными фазовыми траекториями. Тезисы докладов 2-го Международного
конгресса "Нелинейный динамический анализ". – Москва.– 2002.– С. 75-77.
Завьялова Т.В., Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Об устойчивости движе-
6.
ния стохастической системы со случайным условием скачка фазовой траекто-
рии. //Автоматика и телемеханика.– 2002.– №7– С. 33-46.


17
Завьялова Т.В. Условия стабилизации линейных стохастических
7.
систем со структурными изменениями и случайными разрывами фазовых тра-
екторий. Сборник трудов 3-ей Международной научно-технической конферен-
ции "Кибернетика и технологии 21 века".– Воронеж – 2002.– С. 11-21.
8. Zavialova T.V. The analysis of stability of non-linear stochastic system
with random impulse in condition of phase vector shock, proceedings of the "10th In-
ternational Symposium on Dynamic Games and Applications". – St.-Peterburg 2002.
vol. 2.– p. 903-906.
Завьялова Т.В. Стабилизация стохастических систем, испытываю-
9.
щих воздействие марковского процесса. Сборник научных трудов конференции
«Молодые учёные – транспорту».– Екатеринбург.– УрГУПС.– 2003. С. 448-457.
Завьялова Т.В. Метод функций Ляпунова в исследовании средне-
10.
квадратической устойчивости. Тезисы докладов Всероссийской конференции
«Алгоритмический анализ неустойчивых задач». Екатеринбург. УрГУ, 2004.–
С. 161.
Завьялова Т.В. Устойчивость стохастических систем по первому
11.
приближению. // Вестник молодых учёных, серия «Прикладная математика и
механика».– Санкт Петербург– 2004– №1– С. 23-29.
Завьялова Т.В. Моделирование движения тела переменной массы.
12.
Материалы региональной молодёжной школы-конференции «Проблемы теоре-
тической и прикладной математики».– Екатеринбург.– 2004.– С. 128-132.
Завьялова Т.В. Устойчивость динамических систем со случайными
13.
скачками вектора состояний. Тезисы докладов 8-го международного семинара
"Устойчивость и колебания нелинейных систем управления".– Москва.– 2004.
С. 68-69.




18
Завьялова Татьяна Викторовна




Устойчивость стохастических систем со
случайными скачками фазовых
траекторий



Специальность 01.01.02. – дифференциальные уравнения




Подписано в печать 7.09.04
Бумага писчая № 1 Формат 60x90 1/16 Объём 1,2 п.л.
Тираж 100 Заказ


Типография УрГУПС, 620034, Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66


19



СОДЕРЖАНИЕ