стр. 1
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

А.В.Блохин




ТЕОРИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТА

Курс лекций в двух частях

Часть 1




Блохин А.В. Теория эксперимента [Электронный ресур]: Курс лекций в двух
частях: Часть 1. — Электрон. текст. дан. (1,1 Мб). — Мн.: Научно-методический
центр “Электронная книга БГУ”, 2003. — Режим доступа:
http://anubis.bsu.by/publications/elresources/Chemistry/blohin1.pdf . — Электрон.
версия печ. публикации, 2002. — PDF формат, версия 1.4 . — Систем.
требования: Adobe Acrobat 5.0 и выше.




МИНСК

«Электронная книга БГУ»

2003



© Блохин А.В.
© Научно-методический центр
«Электронная книга БГУ»
www.elbook.bsu.by
elbook@bsu.by
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Кафедра физической химии



А. В. Блохин


ТЕОРИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТА
Курс лекций
В двух частях
Часть 1




МИНСК
БГУ
2002
УДК 542(042)
ББК 24.в.я73
Б70



Рецензенты:



кандидат химических наук Н. Н. Горошко;
старший преподаватель
кафедры физической химии Л. М. Володкович




Печатается по решению
Редакционно-издателъского совета
Белорусского государственного университета




Блохин А. В.
Б70 Теория эксперимента: Курс лекций. В 2 ч. Ч. 1 / А. В. Бло-
хин. - Мн.: БГУ, 2002. - 68 с.
ISBN 985-445-790-7.
В курсе лекций изложены основы современных методологических
подходов к постановке и обработке результатов физико-химических иссле-
дований и математических методов, применяемых при планировании и оп-
тимизации эксперимента.
Предназначено для студентов IV курса химического факультета.

УДК 542(042)
ББК 24.в.я73


ISBN 985-445-790-7(ч. 1) © Блохин А. В., 2002
ISBN 985-445-792-3 © БГУ, 2002
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ _______________________________________________________5
ВВЕДЕНИЕ ___________________________________________________________7
ЛЕКЦИЯ 1 ____________________________________________________________9
1.1. Случайные величины. Классификация ошибок измерений. Абсолютная и
относительная погрешность. ________________________________________________ 9
1.2. Оценка погрешностей функций приближенных аргументов. _____________ 12
1.3. Распределение случайных величин. Функция распределения и плотность
распределения случайной величины.________________________________________ 15
ЛЕКЦИЯ 2 ___________________________________________________________18
2.1. Числовые характеристики случайной величины. Свойства математического
ожидания и дисперсии. Нормированная случайная величина. _________________ 18
2.2. Нормальное и стандартное распределения случайной величины. Функция
Лапласа. Задача об абсолютном отклонении. _________________________________ 22
ЛЕКЦИЯ 3 ___________________________________________________________26
3.1. Генеральная совокупность и случайная выборка. Выборочная функция
распределения. Гистограммы. Понятие об оценках параметров генерального
распределения. ___________________________________________________________ 26
3.2. Метод максимального правдоподобия. _________________________________ 29
3.3. Оценка математического ожидания и дисперсии нормально распределенной
случайной величины. Дисперсия среднего серии измерений. ___________________ 31
ЛЕКЦИЯ 4 ___________________________________________________________35
4.1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность, уровень
значимости. ______________________________________________________________ 35
4.2. Проверка статистических гипотез, критерии значимости, ошибки первого и
второго рода. _____________________________________________________________ 37
4.3. Построение доверительного интервала для математического ожидания
непосредственно измеряемой величины. Распределение Стъюдента. ____________ 40
ЛЕКЦИЯ 5 ___________________________________________________________43
5.1. Оценка случайной и суммарной ошибки косвенных измерений. ____________ 43
5.2. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины. _____ 46
5.3. Сравнение двух дисперсий. Распределение Фишера. _____________________ 48
ЛЕКЦИЯ 6 ___________________________________________________________51
6.1. Определение дисперсии по текущим измерениям. Сравнение нескольких
дисперсий. _______________________________________________________________ 51
6.2. Сравнение двух средних. Расчет средневзвешенного значения. ___________ 54
6.3. Проверка однородности результатов измерений. ________________________ 56


3
6.4. Сравнение выборочного распределения и распределения генеральной
совокупности. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова. ___________________ 57
ПРИЛОЖЕНИЯ_______________________________________________________60
Приложение 1 ____________________________________________________________ 60
Приложение 2 ____________________________________________________________ 63
Приложение 3 ____________________________________________________________ 64
Приложение 4 ____________________________________________________________ 65
Приложение 5 ____________________________________________________________ 67
Приложение 6 ____________________________________________________________ 68
Приложение 7 ____________________________________________________________ 69
Приложение 8 ____________________________________________________________ 69




4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие представляет собой лекции по курсу «Теория экс-
перимента» для студентов IV курса химического факультета, специали-
зирующихся на кафедре физической химии, и содержит основы совре-
менных методологических подходов к постановке и обработке резуль-
татов физико-химических исследований и математических методов,
применяемых при планировании и оптимизации эксперимента.
В первой части пособия введено понятие о результатах эксперимен-
та как случайных величинах, информация о которых содержится в за-
конах распределения. Рассмотрен нормальный закон распределения ве-
роятностей для непрерывных величин. Во многих прикладных задачах
нет необходимости использовать законы распределения в полном виде,
вместо них можно воспользоваться числовыми характеристиками слу-
чайной величины, в сжатой форме выражающими наиболее существен-
ные особенности ее распределения. Введено понятие и рассмотрены
свойства наиболее часто применяемых моментов распределения — ма-
тематического ожидания и дисперсии. Рассмотрены основные понятия
математической статистики: генеральная совокупность и случайная
выборка, оценки генеральных параметров и их свойства, методы про-
верки статистических гипотез и построение доверительных интервалов
для генерального среднего и дисперсии. Для получения оценок гене-
ральных параметров используется метод максимального правдоподо-
бия. Указаны способы оценки случайной и суммарной погрешности
косвенных измерений. Представлены методы проверки однородности
двух и более выборочных дисперсий, сравнения средних и расчета
средневзвешенного значения величины.
Во второй части пособия рассмотрены основные методы корреля-
ционного и регрессионного анализов, широко применяемых при обра-
ботке результатов физико-химических измерений. Введено понятие о
стохастической связи между случайными величинами и коэффициенте
корреляции, характеризующем тесноту линейной зависимости между
ними. Коэффициенты полиномиальных зависимостей определяются
методом наименьших квадратов, который обосновывается как частный
случай метода максимального правдоподобия при нормальном распре-
делении случайных величин. Использование полиномиальных моделей
позволяет улучшать аппроксимацию экспериментальных данных, по-
вышая порядок полиномов. Представлены основы дисперсионного ана-
лиза, использующего свойство аддитивности дисперсии изучаемой

5
случайной величины, что дает возможность разложить ее на отдельные
составляющие, обусловленные влиянием независимых факторов или их
взаимодействий. Рассмотрены основные положения и методы обработ-
ки результатов для однофакторного и двухфакторного дисперсионного
анализов; метод планирования эксперимента по схеме латинского
квадрата для трехфакторного анализа.
Изложены методы планирования эксперимента с использованием
полиномиальных моделей, направленные на поиск оптимальных усло-
вий при неизвестном механизме протекания процессов. Показано, что
выбор плана эксперимента определяется задачей исследования. Линей-
ные модели используются в методе крутого восхождения по поверхно-
сти отклика. Для достижения экстремума может быть также использо-
ван метод симплекс-планирования. Для описания области, близкой к
экстремуму, применяются композиционные планы второго порядка.
Лекции основаны на материале, представленном в следующих
учебных пособиях:
1. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в хими-
ческой технологии. М.: Высш. шк., 1985. 327 с.
2. Спиридонов В.В., Лопаткин А.А. Математическая обработка физико-хими-
ческих данных. М.: МГУ, 1970. 221 с.
3. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М.: Мир, 1985. 272 с.
Изложенный в пособии материал условно систематизирован по раз-
делам-лекциям и представляет собой теоретическую основу для рас-
смотрения практических вопросов и задач, возникающих при поста-
новке, планировании и обработке физико-химических экспериментов.
Многие положения и правила даны без математических доказательств,
рассмотрение которых не является целью курса. Проведение с помо-
щью этого пособия лекций-консультаций позволит, во-первых, высво-
бодить дополнительное время для решения практических заданий в
рамках отведенных на курс учебных часов (традиционно 24 лекцион-
ных часа и 10 часов семинарских занятий) и, во-вторых, активизиро-
вать самостоятельную работу студентов. На каждом занятии после об-
суждения теоретических вопросов студентам будут предложены прак-
тические задачи, основанные на экспериментальных исследованиях,
выполненных сотрудниками кафедры физической химии. Последние,
после их апробации, составят в будущем третью часть данного посо-
бия.




6
ВВЕДЕНИЕ
Задачей большинства физико-химических экспериментов является
количественное изучение каких-либо свойств вещества. Для этого про-
водятся измерения одной или нескольких физических величин с после-
дующей обработкой полученных данных. Экспериментальные резуль-
таты всегда содержат погрешности, связанные с тем, что любые изме-
рения сопровождаются действием и взаимодействием большого числа
разнообразных и трудноучитываемых факторов. Конечной целью лю-
бого исследования является не только представление наилучшей, по
мнению экспериментатора, оценки измеряемой величины, но и макси-
мально достоверной оценки погрешности измерений.
Любой прибор или устройство для измерения физических величин
можно рассматривать в виде объекта (рис. 1), для которого x1, …, xk —
входные измеряемые и регулируемые параметры; w1, …, wl — некон-
тролируемые, случайным образом изменяющиеся параметры («шум»
объекта); y1, …, ym — выходные параметры. Комплекс параметров x1,
…, xk называют основным, поскольку он определяет условия экспери-
мента. Результат опыта зависит не только от основных параметров, но
и от «шума» объекта, влияние которого носит случайный характер. По-
этому естественно рассматривать и результат эксперимента, и ошибку
измерения как случайные величины, управляемые вероятностными за-
конами, и применять для учета действия случайных факторов теорию
вероятностей. Тогда влияние случайных ошибок на результат измере-
ния можно количественно оценить при помощи математической стати-
стики — науки, занимающейся применением вероятностных методов к
решению задач в различных областях наук, в частности в задаче обра-
ботки результатов наблюдений.
Современная химическая промышленность выпускает несколько
десятков тысяч наименований продуктов, в лабораториях разрабаты-
ваются сотни новых технологических процессов. Экспериментальное
изучение механизмов протекания всех этих процессов нереально, меж-
ду тем задачи оптимизации и управления этими процессами необходи-
мо решать. Для этих целей успешно применяются экспериментально-
статистические методы, с помощью которых составляется математи-
ческая модель объекта и при неизвестном механизме протекающих в
объекте процессов изучается зависимость отклика системы на измене-
ния основных параметров.



7
Рис. 1. Схема объекта.

Математической моделью объекта служит функция отклика, связы-
вающая выходной параметр, характеризующий результаты экспери-
мента, с переменными, которые варьируют при проведении опытов:
y = ? (x1, x2,…, xk).
Независимые переменные x1, x2,…, xk называют факторами, простран-
ство с координатами x1, x2,…, xk — факторным пространством, а гео-
метрическое изображение функции отклика в факторном пространстве
— поверхностью отклика.
Эффективность экспериментов в большой степени зависит от мето-
дов их проведения. Пассивный эксперимент является традиционным
методом, когда ставится большая серия опытов с поочередным варьи-
рованием каждой из переменных. Обработка опытных данных прово-
дится статистическими методами, позволяющими оптимизировать про-
цедуру обработки и анализа эксперимента. Используя активный (спла-
нированный) эксперимент, можно достичь существенно большего —
оптимизировать и стадию постановки эксперимента. Под планировани-
ем эксперимента понимают оптимальное управление экспериментом в
условиях неполной информации о механизме процесса. Развитие этой
концепции связано с работами Р. Фишера, главная идея которых состо-
ит в раздельной оценке эффектов в многофакторной ситуации. Широко
применяемое планирование эксперимента при поиске оптимальных ус-
ловий процесса связано с работами Бокса и Уилсона. В настоящее вре-
мя методы планирования и оптимизации эксперимента широко приме-
няются при изучении процессов в лабораторных и полузаводских усло-
виях и несколько реже в промышленности.



8
ЛЕКЦИЯ 1
Случайные величины. Классификация ошибок измерений. Абсолютная и
относительная погрешность. Прямые и косвенные измерения. Оценка по-
грешностей функций приближенных аргументов. Распределение случай-
ных величин. Функция распределения и плотность распределения.

1.1 . Случайные величины. Классификация ошибок измерений.
Абсолютная и относительная погрешность.
Под случайной величиной понимают величину, принимающую в ре-
зультате испытания значение, которое принципиально нельзя предска-
зать, исходя из условий опыта. Случайная величина обладает целым
набором допустимых значений, но в результате каждого отдельного
опыта принимает лишь какое-то одно из них. В отличие от неслучай-
ных величин, изменяющих свое значение только при изменении усло-
вий опыта, случайная величина может принимать различные значения
даже при неизменном комплексе основных факторов.
Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Воз-
можные значения дискретных величин можно заранее перечислить.
Значения непрерывной случайной величины не могут быть заранее пе-
речислены, они заполняют собой некоторый интервал. Набор допусти-
мых значений сам по себе слабо характеризует случайную величину.
Чтобы ее полностью охарактеризовать, необходимо не только указать,
какие значения она может принимать, но и как часто.
Каждый результат измерения — случайная величина. Отклонение
результата реального измерения от истинного значения величины на-
зывается ошибкой измерения. («Ошибка» в научном смысле означает
неизбежную погрешность, которая сопутствует всем измерениям). Ни
одну физическую величину (длину, время, температуру и т.д.) невоз-
можно измерить с полной определенностью. Лучшее, на что можно
рассчитывать, — это свести ошибки к возможному минимуму и надеж-
но рассчитать их величины.
Различают ошибки измерений трех видов:
1. Грубые ошибки возникают вследствие нарушения основных усло-
вий измерения. Результат, содержащий грубую ошибку, резко отли-
чается по величине от остальных измерений, на чем основаны неко-
торые критерии исключения грубых ошибок.
2. Систематические ошибки постоянны во всей серии измерений или
изменяются по определенному закону. Выявление их требует спе-
циальных исследований, их всегда стремятся свести к минимуму, а

9
при необходимости они обычно учитываются введением соответст-
вующих поправок в результаты измерения.
3. Случайные ошибки — ошибки измерения, остающиеся после устра-
нения всех выявленных грубых и систематических ошибок. Они
вызываются большим количеством таких факторов, эффекты дейст-
вия которых столь незначительны, что их нельзя выделить в от-
дельности (при данном уровне техники измерения). При этом рас-
пределение случайных ошибок обычно симметрично относительно
нуля: ошибки, противоположные по знаку, но равные по абсолют-
ной величине, встречаются довольно часто.
Корректный способ представления результатов любого измерения
состоит в том, что экспериментатор указывает свою наилучшую оценку
измеряемой величины и интервал, в котором, как он уверен, она лежит.
Чтобы охарактеризовать отклонение приближенного значения некото-
рой величины от ее истинного значения, вводят понятия абсолютной и
относительной погрешностей, отвлекаясь от конкретного источника
погрешностей.
Пусть А — точное значение исследуемой величины, а — ее наи-
лучшая экспериментальная оценка (обычно среднее арифметическое
серии измерений). Под абсолютной ошибкой (или погрешностью) ве-
личины а понимают абсолютное значение разности между этими зна-
чениями:
? = ?А – а? = ??а?, (1.1)
или
А = а ± ?. (1.2)
Предельная абсолютная погрешность определяется как
?пр. ? ?А – а?, (1.3)
или
?пр. ? ?, (1.4)
при этом
(а + ?пр.) ? А и А ? (а - ?пр.), (1.5)
т. е. истинное значение искомой величины заведомо лежит в пределах
а - ?пр. ? А ? а + ?пр.. (1.6)
Для характеристики относительной точности измерений, зависящей
от значения измеряемой величины, вводится относительная погреш-
ность:

10
?
?= , (1.7)
A

? A = ?. (1.8)
По аналогии с абсолютной погрешностью вводится также понятие пре-
дельной относительной погрешности:
?
? пр. ? , (1.9)
A
или
? пр. A ? ? . (1.10)
Тогда
? пр.
? пр. = , (1.11)
A
или
? пр. A = ? пр. . (1.12)
В вышеприведенные формулы входит неизвестная величина А, что
делает невозможным численное определение погрешности. Практиче-
ски поступают следующим образом: так как в большинстве случаев аб-
солютная погрешность много меньше самой измеряемой величины,
т. е. ? << A , ? << a или А ? а, то для таких достаточно точных изме-
рений можно записать:
? a ? ? и ? пр. a ? ? пр. .
Тогда с учетом определений абсолютной и относительной погрешно-
стей получаем
??
( )
?
A = a ± ? = a ?1 ± ? ? a (1 ± ? ) или A ? a 1 ± ? пр. . (1.13)
? a?
Относительная погрешность в отличие от абсолютной является вели-
чиной безразмерной и для большинства измерений представляет собой
малое число, поэтому ее часто умножают на 100 и приводят в процен-
тах.




11
1.2. Оценка погрешностей функций приближенных аргумен-
тов.
Измерения делят на прямые и косвенные. В первом случае непо-
средственно измеряется определяемая величина, при косвенных изме-
рениях она задается некоторой функцией от непосредственно измеряе-
мых величин. Подавляющее большинство физико-химических свойств
веществ и параметров процессов определяются в результате косвенных
измерений, погрешность которых зависит от погрешностей непосред-
ственно измеряемых величин, использованных в расчетах.
Предположим, что некоторые величины X1, X2, …, Хn измерены с
абсолютными погрешностями ?х1, ?х2, …, ?хn и что измеренные значе-
ния используются для вычисления функции
Z = f (X1, X2, …, Хn). (1.14)
Очевидно, что погрешности приближенных аргументов должны при-
вести к погрешности в значении искомой функции, что можно записать
в следующем виде:
Z + ? z = f ( X 1 + ? x1 , X 2 + ? x2 , ..., X n + ? xn ) , (1.15)
где ?z — абсолютная погрешность функции Z.
Разложим правую часть равенства (1.15) в ряд Тейлора:
Z + ? z = f ( X 1 , X 2 , ..., X n ) +
n n
1 ? ?2 f ? 2
? ?
? ?f ?
? ?
? ? X ?? xi +
?
+ ? ? X 2 ?? xi + ... . (1.16)
? 2?
? i? i?
i =1 i =1

Если предположить, что измерения достаточно точны, так что величи-
ны ?хi малы по сравнению со значениями аргументов Xi, то в выраже-
нии (1.16) можно отбросить все члены, содержащие абсолютные по-
грешности аргументов во второй и высшей степенях. Тогда
n

?
? ?f ?
?
? ? X ?? xi ,
Z + ? z ? f ( X 1 , X 2 , ..., X n ) + (1.17)
?
? i?
i =1

откуда с учетом (1.14) получаем
n

?
? ?f ?
?
? ? X ?? xi .
?z ? (1.18)
?
i =1 ? i?


12
Выражение для предельной абсолютной погрешности функции
n переменных запишется в следущем виде:
n n

? ?
?f ?f
? пр ? ? xi = ?i , (1.19)
?Xi ?Xi
i =1 i =1

т.е. предельная абсолютная погрешность функции независимых пере-
менных равна сумме частных производных этой функции, умноженных
на соответствующие абсолютные погрешности аргументов. В прак-
тических расчетах значения частных производных берутся в точках,
соответствующих измеренным значениям хi или средним арифметиче-
ским xi , если проводились серии измерений.
В математической статистике также доказывается, что если абсо-
лютные погрешности аргументов независимы и случайны, то наилуч-
шей оценкой погрешности функции (1.14) будет квадратичная сумма
ее частных производных, умноженных на соответствующие погрешно-
сти аргументов:
2
n

?
? ?f ?
? ? X ? xi ? .
?
?z ? (1.20)
?
? ?
i
i =1

Формулы (1.19) и (1.20) являются основными при практических расче-
тах. Из них можно вывести формулы для расчетов погрешностей кос-
венных измерений для некоторых частных случаев, использование ко-
торых на практике бывает более удобным:
1. Измеренная величина умножается на точное число. Если величина
X измерена с погрешностью ?х и используется для вычисления
Z = BX,
в котором В — точное число, то абсолютная погрешность в Z равна
?z = B ? ?x . (1.21)
2. Погрешность в суммах и разностях. Если величины X1, X2, …, Хn из-
мерены с малыми погрешностями ?х1, ?х2, …, ?хn и измеренные зна-
чения используются для вычисления функции
Z = (X1 + … + Хm) – (Хk + …+ Хn),
а погрешности аргументов независимы и случайны, то погрешность
в Z равна квадратичной сумме исходных погрешностей:
(? x1 )2 + ... + (? xm )2 + (? xk )2 + ... + (? xn )2 ;
?z = (1.22)

13
в любом случае она никогда не больше, чем их обычная сумма
? z ? ? x1 + ... + ? xm + ? xk + ... + ? xn . (1.23)
3. Погрешности в произведениях и частных. Если величины X1, X2, …,
Хn измерены с малыми погрешностями ?х1, ?х2, …, ?хn и измеренные
значения используются для вычисления функции
X 1 ? ... ? X m
Z= ,
X k ? ... ? X n
а погрешности аргументов независимы и случайны, то относитель-
ная погрешность в Z равна квадратичной сумме исходных относи-
тельных погрешностей:
2 2 2 2
?
? ? x1 ? ? ?x ? ? ? xk ? ? ?x
?z
? + ... + ? m ? + ... + ? n ? ; (1.24)
=? ? +?
?X ? ?X ? ?X ?
?X ?
Z ?n ?
?1 ? ?m ??k ?
в любом случае она никогда не больше, чем их обычная сумма
?z ? x1 ? xm ? xk ? xn
? + ... + + + ... + . (1.25)
Z X1 Xm Xk Xn
4. Погрешность в произвольной функции одной переменной. Если вели-
чина X измерена с погрешностью ?х и используется для вычисления
функции Z = f (X), то абсолютная погрешность в Z равна
?Z
?z = ?x . (1.26)
?X
5. Погрешность в степенной функции. Если величина X измерена с по-
грешностью ?х и используется для вычисления степенной функции
Z = X m (где m — фиксированное известное число), относительная
погрешность в Z в m раз больше, чем в Х:
?z ?x
= m? . (1.27)
Z X

Пользуясь формулами (1.21) - (1.27), можно справиться практиче-
ски с любой задачей вычисления ошибок в случае косвенных измере-
ний. Любой расчет может быть представлен как последовательность
определенных шагов, каждый из которых включает один из следующих
видов операций: 1) нахождение сумм и разностей, 2) расчет произведе-
ний и частных, 3) вычисление функции одного переменного (данный
метод называют «шаг за шагом»). Однако в случае когда выражение
14
для вычисления функции Z включает одну и ту же величину более чем
один раз (например, дважды Х1), то некоторые из ошибок могут взаим-
но компенсироваться и в результате расчет ошибки методом «шаг за
шагом» может привести к переоценке конечной погрешности. Поэтому
в подобных случаях рекомендуется пользоваться общими формулами
(1.19) и (1.20).

1.3. Распределение случайных величин. Функция распределе-
ния и плотность распределения случайной величины.
Пусть дискретная физическая величина Х может принимать в ре-
зультате опыта значения х1, х2, …, хn. Отношение числа опытов mi, в ре-
зультате которых величина Х принимает значение хi, к общему числу
проведенных опытов n называется частотой появления события Х = хi.
Частота (mi / n) является случайной величиной и меняется в зависимо-
сти от количества проведенных опытов. Однако при большом количе-
стве опытов (в пределе n > ?) она стабилизируется около некоторого
значения рi, называемого вероятностью события Х = хi (статистиче-
ское определение):
рi = Р (Х = хi) ? (mi / n). (1.28)
Очевидно, что сумма вероятностей реализации всех возможных значе-
ний случайной величины равна единице:
n

? pi = 1. (1.29)
i =1

Дискретную случайную величину можно полностью задать вероят-
ностным рядом, указав вероятность рi для каждого значения хi:
х1 х2 х3 … хn
р1 р2 р3 … рn
Законом распределения случайной величины называют любое соот-
ношение, устанавливающее связь между возможными значениями слу-
чайной величины и соответствующими им вероятностями. Вероятност-
ный ряд является одним из видов законов распределения случайной ве-
личины.
Распределение непрерывной случайной величины нельзя задать ве-
роятностным рядом, поскольку число значений, которое она может
принимать, так велико, что для большинства из них вероятность при-
нять эти значения равна нулю. Поэтому для непрерывных физических
15
величин изучается вероятность того, что в результате опыта значение
случайной величины попадет в некоторый интервал. Удобно пользо-
ваться вероятностью события Х ? х, где х — произвольное действи-
тельное число. Эта вероятность
Р (Х ? х) = F(x) (1.30)
является функцией от х и называется функцией распределения (пре-
дельной функцией распределения, функцией распределения генеральной
совокупности) случайной величины. В виде функции распределения
можно задать распределение как непрерывной, так и дискретной слу-
чаной величины (рис. 2 и 3). F(x) является неубывающей функцией, т.е.
если х1 ? х2, то F(х1) ? F(х2) (рис. 3).




Рис. 2. Функция распределения Рис. 3. Функция распределения
дискретной случайной величины. непрерывной случайной величины.

Ордината кривой F(x), соответствующая точке хi, представляет со-
бой вероятность того, что случайная величина Х при испытании ока-
жется ? хi. Тогда вероятность того, что значения случайной величины
будут лежать в интервале от х1 до х2, равна
Р(х1 ? Х ? х2) = F(х2) - F(х1). (1.31)
Значения F(х) при предельных значениях аргумента равны: F(-?) = 0,
F(+?) = 1. Следует отметить, что функция распределения дискретной
случайной величины всегда есть разрывная функция. Скачки происхо-
дят в точках, соответствующих возможным значениям этой величины,
и равны вероятностям этих значений (рис. 2).
Для непрерывной случайной величины наиболее часто использует-
ся производная функции распределения — плотность распределения
случайной величины Х.
Если F(х) непрерывна и дифференцируема, то

16
dF ( x)
f ( x) = . (1.32)
dx
Задание f (x) также полностью определяет случайную величину. Плот-
ность распреределения является неотрицательной функцией (рис. 4).




Рис. 4. Плотность распределения
непрерывной случайной величины.

Площадь, ограниченная осью х, прямыми х = х1 и х = х2 и кривой
плотности распределения, равна вероятности того, что случайная вели-
чина примет значения из интервала х1 ? х2:
x2

? f ( x) d x = F(х ) - F(х ).
Р (х1 ? Х ? х2) = (1.33)
2 1

x1

Тогда
x

? f ( x) d x .
F(х) = Р(-? ? Х ? х)= (1.34)
??

Поскольку попадание случайной величины в интервал -? < Х < +? есть
достоверное событие, то
+?

? f ( x) d x = 1. (1.35)
??




17
ЛЕКЦИЯ 2
Числовые характеристики случайной величины. Свойства математиче-
ского ожидания и дисперсии. Нормированная случайная величина. Кван-
тили. Нормальное и стандартное распределения случайной величины.
Функция Лапласа. Задача об абсолютном отклонении.

2.1. Числовые характеристики случайной величины. Свойст-
ва математического ожидания и дисперсии. Нормиро-
ванная случайная величина.
Вместо полного определения случайной величины в виде законов
распределения вероятностей в прикладных задачах ее часто определя-
ют при помощи числовых характеристик — чисел (вещественных),
выражающих характерные особенности случайной величины, называе-
мых моментами случайной величины.
Наиболее часто в приложениях математической статистики исполь-
зуют математическое ожидание (характеристику положения значений
случайной величины на числовой оси) и дисперсию (или среднее квад-
ратичное отклонение), определяющую характер разброса значений
случайной величины.
Математическое ожидание (генеральное среднее) случайной вели-
чины (начальный момент первого порядка) принято обозначать М [Х],
mx или m. Оно определяется для дискретной и непрерывной случайной
величины соответственно как
n

? xi pi ,
m = M [X] = (2.1)
i =1

+?

? x f ( x) d x .
mх = M [X] = (2.2)
??
Для случайных величин математическое ожидание является теоре-
тической величиной, к которой приближается среднее значение x слу-
чайной величины Х при большом количестве испытаний.
Свойства математического ожидания:
1. Если с — постоянное число (неслучайная величина), то
М [c] = c, (2.3)
М [cХ] = c М [Х]. (2.4)


18
2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно
сумме математических ожиданий этих случайных величин:
М [Х1 + Х2 + …+ Хn] = М [Х1] + М [Х2] + … + М [Хn]. (2.5)
3. Математическое ожидание произведения независимых случай-
ных величин равно произведению математических ожиданий со-
множителей:
М [Х1?Х2?Х3?…?Хn] = М [Х1]?М [Х2]?М [Х3]?…?М [Хn]. (2.6)
Случайные величины называются независимыми, если каждая из
них имеет самостоятельное распределение, не зависящее от воз-
можных значений других величин.
4. Если случайная величина Z является некоторой нелинейной
функцией n независимых случайных величин
Z = f (X1, X2, …, Хn),
которая мало меняется в небольших интервалах изменения аргу-
ментов, то
M [Z ] = f (M [ X 1 ], M [ X 2 ], ..., M [ X n ]). (2.7)
Дисперсией (вторым центральным моментом) случайной величи-
ны называется математическое ожидание квадрата отклонения случай-
ной величины от ее математического ожидания, т. е.
D [X] = M [(X – mx)2]. (2.8)
Для дискретной и непрерывной случайных величин дисперсия оп-
ределяется следующим образом соответственно:
n

? ( xi ? m x ) 2 pi ,
D [X] = (2.9)
i =1

+?

? ( x ? m x ) 2 f ( x) d x .
D [X] = (2.10)
??

Другие обозначения для дисперсии: Dx, ?x2, ?2(X).
Дисперсия играет важную роль при статистических расчетах и яв-
ляется мерой рассеяния значений х около их математического ожида-
ния. Корень квадратный из второго центрального момента называется
средним квадратичным отклонением (стандартным отклонением, или
стандартом):
?x = ? = D [X ] . (2.11)
Свойства дисперсии:
19
1. Если с — постоянное число (неслучайная величина), то
?2(c) = 0, (2.12)
?2(cХ) = с2 ?2(Х). (2.13)
2. Дисперсия случайной величины равна математическому ожида-
нию квадрата случайной величины минус квадрат ее математиче-
ского ожидания:
?2(Х) = М [ X 2 ] — m x .
2
(2.14)
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме
дисперсий этих величин:
?2(Х1 + Х2 +…+ Хn) = ?2(Х1) + ?2(Х2) + … + ?2(Хn). (2.15)
Выражение (2.15) называют законом сложения дисперсий. Следует
отметить, что закон сложения справедлив для дисперсий случайных
величин (?2), а не среднеквадратичных отклонений (?).
4. Если случайная величина Z является нелинейной функцией n не-
зависимых случайных величин
Z = f (X1, X2, …, Хn),
которая мало меняется в небольших интервалах изменения аргу-
ментов, то ее дисперсия приближенно равна
2 2
? ?f ? 2 ? ?f ? 2
?2 (Z ) = ? ? ? ( X1) + ?
? ?X ? ? (X2) +
? ?X ? ?
? 1? ? 2?

2
? ?f ? 2
+ ... + ?
? ?X ? ? (Xn) . (2.16)
?
? n?

Выражение (2.16) называют законом накопления ошибок, и он часто
используется в теории ошибок для определения случайной ошибки
функции по значениям случайных ошибок аргументов.
Третий центральный момент, разделенный на ?x3, называется коэф-
фициентом асимметрии плотности распределения:
? +? ?
? ( x ? m ) 3 f ( x) d x ? / ? 3 .
?
?= (2.17)
x
?x
?
? ?? ?



20
На рис. 5 приведены примеры плотностей распределения с одинаковы-
ми математическим ожиданием и дисперсией, но с разными коэффици-
ентами асимметрии.




Рис. 5. Плотности распределения с нулевым
и ненулевым коэффициентами асимметрии.

Если у случайной величины Х существуют первый и второй момен-
ты, то можно построить нормированную случайную величину
X ? mx
X0 = , (2.18)
?x
для которой
М [X0] = 0, D [X0] = 1. (2.19)
Докажем, что для нормированной случайной величины справедли-
вы утверждения (2.19):
? X ? mx ? 1 1
[M ( X ) ? m x ] = 0 ,
M[X0] = M ? = M [ X ? mx ] =
??
? ?x ? ?x
x

? X ? mx ? 1 1 D[ X ]
= 2 D( X ? m x ) = 2 [D( X ) ? 0] =
D[ X 0 ] = D? = 1.
?x ? ?x 2
?x ?x
? ?
Существуют следующие соотношения между функциями распреде-
ления, соответствующими нормированной Х0 и ненормированной Х ве-
личинам:
1 ? x ? mx ?
1
f1 ?
? ? ?,
f ( x) = f1 ( x0 ) = (2.20)
?
?x ?x ? x?

f1 ( x0 ) = ? x f ( x) = ? x f (m x + ? x x0 ) , (2.21)


21
? x ? mx ?
F ( x) = F1 ( x0 ) = F1 ?
? ? ?, (2.22)
?
? x?

F1 ( x0 ) = F ( x) = F (mx + ? x x0 ) . (2.23)
Рассмотренные выше моменты являются общими (интегральными)
характеристиками распределения случайной величины. Вторая группа
параметров характеризует отдельные значения функции распределе-
ния. К ним относятся квантили. Квантилем х? распределения случай-
ной величины Х с функцией распределения F(x) называется решение
уравнения F(x?) = ?, т. е. такое значение случайной величины, что
Р (Х ? x?) = ?. Наиболее важное значение имеет квантиль х1/2, называе-
мый медианой распределения (рис. 6).




Рис. 6. Медиана распределения.

Ордината медианы пополам рассекает площадь между кривой
плотности вероятности и осью абсцисс. Если распределение симмет-
рично, то х1/2 = mx


2.2. Нормальное и стандартное распределения случайной ве-
личины. Функция Лапласа. Задача об абсолютном откло-
нении.
Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по
нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид
? ( x ? mx ) 2 ?
1
exp? ? ?, (?? < x < +?) ,
f ( x) = (2.24)
? 2 ?x ?
2? ? x 2
? ?
где mx и ? 2 — математическое ожидание и дисперсия случайной вели-
x
чины Х.

22
Функция распределения равна
x
? ( x ? mx ) 2 ?
?
1
exp? ? ?d x.
F ( x) = (2.25)
? 2?x ?
2? ? x 2
? ?
??
Нормальное распределение наиболее часто встречается на практике
и теоретически наиболее полно разработано. Множество событий про-
исходит случайно вследствие воздействия на них большого числа неза-
висимых (или слабо зависимых) возмущений, и у таких явлений закон
распределения близок к нормальному. Установлено, что нормальное
распределение содержит минимум информации о случайной величине
по сравнению с любыми распределениями с той же дисперсией. Следо-
вательно, замена некоторого распределения эквивалентным нормаль-
ным не может привести к переоценке точности наблюдений, что ши-
роко используется на практике.
График плотности нормального распределения называется нор-
мальной кривой, или кривой Гаусса (рис. 7).




Рис. 7. Кривая Гаусса. Рис. 8. График функции F0(x)
стандартного распределения.

Нормальное распределение нормированной случайной величины
называется стандартным. Его функция распределения имеет вид
x

?
1
exp(? x 2 / 2) d x ,
F0 ( x) = (2.26)
2?
??
а график этой функции представлен на рис. 8.
Вероятность того, что значения нормированной случайной величи-
ны будут лежать в интервале от х01 до х02, равна
Р(х01 ? Х0 ? х02) = F0(х02) – F0(х01). (2.27)

23
Функция
Ф(Х) = F0(х) – ? (2.28)
называется функцией Лапласа
x

?
1
exp(? x 2 / 2) d x . (2.29)
Ф(Х) = F0(х) – ? = F0(х) – F0(0) =
2?
0
Значения функции Лапласа табулированы (приложение 1). Так как
она является нечетной функцией, т. е. Ф(-х) = -Ф(х), то таблицы значе-
ний Ф(х) составлены лишь для х > 0.
Для нормированной случайной величины с учетом (2.27) и (2.28)
имеем:
Р(х01 ? Х0 ? х02) = F0(х02) – F0(х01) =
= Ф(х02) + ? - Ф(х01) - ? = Ф(х02) - Ф(х01). (2.30)
Тогда в общем случае
? x ? mx x ? mx ?
P( x1 ? X ? x2 ) = P ? 1 ?=
? X0 ? 2
?? ?x ?
? ?
x

? x ? mx ? ? x ? mx ?
= Ф? 2 ? ? Ф? 1 ?. (2.31)
?? ? ?? ?
? ? ? ?
x x

Во многих практических задачах х1 и х2 симметричны относительно
математического ожидания, в частности в задаче об абсолютном от-
клонении. Абсолютным отклонением является величина
? x = X ? mx . (2.32)
Требуется найти вероятность того, что абсолютное отклонение случай-
ной величины не превзойдет некоторого заданного числа ?:
P( ? x ? ?) = P (mx - ? ? X ? mx + ?). (2.33)
В частности, для нормированной случайной величины
P ( ? x0 ? ?) = P (-? ? X0 ? +?) = Ф(?) – Ф(-?) = 2Ф(?). (2.34)
Тогда для нормально распределенной случайной величины с парамет-
рами mx и ?х справедливо
? ?? ???
P ( ? x ? ?) = P ? ? x0 ? ? = 2Ф ? ? . (2.35)
? ?x ? ?? ?
? ? ? x?
Обозначив ?/?х = k, из (2.35) получаем
24
P ( ? x ? k?х) = 2Ф(k), (2.36)
откуда
P ( ? x ? ?х) = 2Ф(1) = 0.6826,

P ( ? x ? 2?х) = 2Ф(2) = 0.9544,

P ( ? x ? 3?х) = 2Ф(3) = 0.9973.
Таким образом, отклонения больше, чем утроенный стандарт (утро-
енное стандартное отклонение), практически невозможны. На практике
часто величины 2?х (или 3?х ) считают максимально допустимой ошиб-
кой и отбрасывают результаты измерений, для которых величина от-
клонения превышает это значение, как содержащие грубые ошибки.
Нормальное распределение обладает также свойством линейности:
если независимые случайные величины Х1 и Х2 имеют нормальные рас-
пределения, то для произвольных чисел ? и ? величина
Y = ?X1 + ?X2
также имеет нормальное распределение, причем из свойств математи-
ческого ожидания и дисперсии следует, что
M [Y ] = ? M [ X 1 ] + ? М [ X 2 ], (2.37)

? [Y ] = ? 2 ? 2 [ X 1 ] + ? 2 ? 2 [ X 2 ] . (2.38)




25
ЛЕКЦИЯ 3
Генеральная совокупность и случайная выборка. Выборочная функция
распределения. Гистограммы. Понятие об оценках параметров генераль-
ного распределения. Метод максимального правдоподобия. Оценка мате-
матического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной
величины. Дисперсия среднего серии измерений.

3.1. Генеральная совокупность и случайная выборка. Выбороч-
ная функция распределения. Гистограммы. Понятие об
оценках параметров генерального распределения.
Явление статистической устойчивости результатов наблюдений
имеет место лишь при большом (в пределе — бесконечно большом)
числе измерений. В подавляющем же числе экспериментов исследова-
телю приходится иметь дело лишь с ограниченным, обычно неболь-
шим, числом наблюдений. В силу закона случая какие-то величины,
определенные по малому числу наблюдений, в общем случае могут не
совпадать с теми же величинами, вычисленными по большому числу
наблюдений, выполненных в тех же условиях. Поэтому в математиче-
ской статистике вводят понятие абстрактной генеральной совокупно-
сти, состоящей из всех допустимых значений случайной величины, и
выборки, представляющей собой совокупность ограниченного числа
значений, полученных в результате опытов. В соответствии с этим раз-
личают выборочные характеристики случайной величины, найденные
по ограниченному числу наблюдений и зависящие от этого числа, и со-
ответствующие им характеристики генеральной совокупности. При
этом выборочные характеристики рассматриваются как оценки соот-
ветствующих характеристик генеральной совокупности.
Выборка называется репрезентативной (представительной), если
она дает достаточное представление об особенностях генеральной со-
вокупности. Однако из случайного характера выборок следует, что лю-
бое суждение о генеральной совокупности само случайно. Предполо-
жим, что в результате эксперимента получена выборка из х1, х2, …, хn
значений случайной величины Х. Обозначим через nx число выбороч-
ных значений, расположенных левее х — некоторой точки числовой
оси Х. Отношение (nx / n) есть частота появления значений Х, меньших
х, и является функцией от х. Эта функция, получаемая по выборке, на-
зывается эмпирической, или выборочной функцией распределения (в от-
личие от распределения генеральной совокупности) и обозначается как
Fn(x) = nx / n. (3.1)

26
Можно доказать, что с вероятностью, равной 1, при n >? макси-
мальная разность между функциями распределения случайной величи-
ны Fn(x) и F(x) стремится к нулю. На практике это означает, что при
достаточно большой выборке функцию распределения генеральной со-
вокупности приближенно можно заменять выборочной функцией рас-
пределения. Пусть х1 < х2 < … < хn (упорядоченная по величине выбор-
ка, или вариационный ряд). Все элементы выборки имеют одинаковую
вероятность, равную 1/n. Поэтому
Fn(x) = 0 при x < x1,
при xk ? x < xk+1, где k = 1, 2, …, n – 1,
Fn(x) = k/n
при x ? xn.
Fn(x) = 1
График Fn(x) представлен на рис. 9. Все элементы выборки оказывают-
ся точками разрыва этой функции. В точке разрыва х = хk функция
скачком переходит от значения (k – 1)/n к значению k/n, которое и
удерживает в следующем интервале.




Рис. 9. Выборочная функция распределения.

При обработке выборок обычно используют метод «сгруппирован-
ных данных»: выборка объема n преобразуется в статистический ряд.
Весь диапазон значений случайной величины от хmin до xmax делится на
k равных интервалов ( j = 1, 2, …, k). Число интервалов можно выбирать
произвольно или по эмпирическим формулам, например:
k = 1+ 1.39 ln n (3.2)
с округлением до ближайшего целого. Длина интервала равна
h = ( x max ? x min ) / k . (3.3)


27
Число элементов выборки, попавших в j-интервал, обозначим через nj.
Величина
p* = n j / n (3.4)
j

определяет относительную частоту попадания случайной величины в j-
интервал. Все точки, попавшие в j-интервал, относят к его середине:
x* = ( x j ?1 + x j ) / 2 . (3.5)
j

Статистический ряд записывается в виде табл. 1.
Таблица 1
Статистический ряд.

Интервал Длина Середина Число точек Относительная
интервала интервала в интервале частота
x1 * p1*
1 (хmin, x1) n1
x2 * p2*
2 (х1, x2) n2
… … … … …
xk* pk*
(хk-1, xmax)
k nk
? 1
n

График, построенный по данным табл. 1, называется гистограммой
эмпирического, или выборочного, распределения (рис. 10). На рис. 11
приведен график функции Fn(x), построенный по сгруппированным
данным.




Рис. 10. Гистограмма распределения. Рис. 11. График функции Fn(x),
построенный по сгруппированным
данным.

При обработке результатов наблюдений обычно не удается полу-
чить эмпирическую функцию распределения. Однако даже простейший

28
анализ условий опыта позволяет с достаточной уверенностью опреде-
лять тип неизвестной функции распределения. Окончательное уточне-
ние неизвестной функции распределения сводится к определению не-
которых числовых параметров распределения. По выборкам могут
быть рассчитаны выборочные статистические характеристики (выбо-
рочное среднее, дисперсия и т.д.), которые являются оценками соответ-
ствующих генеральных параметров.
Оценка а*(х1, х2, …, хn) называется состоятельной, если с увеличе-
нием объема выборки n она стремится (по вероятности) к оцениваемо-
му параметру а. Эмпирические (выборочные) моменты являются со-
стоятельными оценками теоретических моментов.
Оценка а*(х1, х2, …, хn) называется несмещенной, если ее математи-
ческое ожидание при любом объеме выборки равно оцениваемому па-
раметру а, т. е. М [а*] = а.
Важной характеристикой оценок генеральных параметров является
также их эффективность, которая для различных несмещенных оце-
нок одного и того же параметра при фиксированном объеме выборок
обратно пропорциональна дисперсиям этих оценок.

3.2. Метод максимального правдоподобия.
Для получения точечных оценок используют различные методы.
Широко применяется метод максимального правдоподобия. Сущность
метода заключается в нахождении таких оценок неизвестных парамет-
ров, для которых функция правдоподобия при случайной выборке объ-
ема n будет иметь максимальное значение.
Пусть плотность распределения случайной величины Х задается
функцией f (x, a), где а — неизвестный параметр, входящий в выраже-
ние закона распределения. На опыте получена выборка значений х1, х2,
…, хn. Окружим каждую точку хi окрестностью длины ?. Тогда вероят-
ность попадания в интервал с границами (хi - ? / 2), (хi + ? / 2) прибли-
женно равна f (x, a) ?. Если произведено n наблюдений, то вероятность
того, что одновременно первое наблюдение попадет в первый интер-
вал, второе — во второй и т.д., есть вероятность совместного осущест-
вления всех этих независимых событий и равна
Р (x, a) = f (x1, a)?f (x2, a)?…?f (xn, a)? ? n =
= f (x1)?f (x2)?…?f (xn)? ? n . (3.6)
Так как событие с вероятностью Р осуществилось на самом деле
при первом же испытании, то естественно предположить, что ему соот-
29
ветствует максимальная вероятность. Поэтому в качестве оценки сле-
дует взять то значение а* из области допустимых значений параметра а,
для которого эта вероятность принимает наибольшее возможное значе-
ние, т.е. корень уравнения
? P ( x, a )
= 0. (3.7)
? a a =a *
Достаточным условием максимума при этом является выполнение не-
равенства
? 2 P ( x, a )
< 0. (3.8)
2
?a
Решение проще получить, если перейти к функции
n
P ( x, a )
? ln f ( xi , a) ,
L ( x, a ) = ln = (3.9)
n
? i =1

которая называется функцией правдоподобия.
Вероятность Р и функция L имеют максимумы при одних и тех же
значениях определяемых параметров, так как
?L ? 1 ?P
= ln P = , P > 0. (3.10)
?a ?a P ?a
В общем случае, когда требуется оценить одновременно несколько
параметров одномерного или многомерного распределения, формули-
ровка принципа максимального правдоподобия сохранится: надо найти
такую совокупность допустимых значений параметров а1*, а2*, …, аk*,
которая обращает функцию правдоподобия в максимум.
Найдем методом максимального правдоподобия оценку параметра
? показательного распределения с плотностью
f ( x) = ? exp(??x), 0 ? x < ? (3.11)
по выборке х1, х2, …, хn.
Функция правдоподобия примет следующий вид:
n n

? ln(? exp(??x )) = n ln ? ?? ?x .
L= (3.12)
i i
i =1 i =1
Тогда



30
n
?L n
?
=? xi = 0 , (3.13)
?? ? i = 1

n 1
?* = = , (3.14)
n x
? xi
i =1

где x — среднее выборки.

3.3. Оценка математического ожидания и дисперсии нормально
распределенной случайной величины. Дисперсия среднего
серии измерений.
Пусть распределение случайной величины Х подчинено нормаль-
ному закону
? ( x ? m) 2 ? ? ( x ? m) 2 ?
1 1
exp? ? ?= exp? ? ?.
f ( x) =
( )
? 2 ? 2 ? 2??2 ? 2? ?
2? ? 1 2
? ? ? ?
2

Тогда вероятность совместного осуществления n независимых событий
Х = xi (i = 1, 2, …, n) равна
? ?
n
1 1
? ( xi ? m)
exp ? ? 2?
2
? ?n
P ( x, m, ? ) = (3.15)
(2? ? ) ? 2 ?2 ?
n
2
? ?
2 i =1

и функция правдоподобия
n
P n n 1
? ( xi ? m) 2 .
L ( x, m, ? 2 ) = ln n = ? ln 2? - ? ln ? 2 ? 2 (3.16)
? 2?
2 2 i =1

Продифференцируем (3.16) по m
n
?L 2
? ( xi ? m) = 0 .
=2 (3.17)
? m 2? i =1

Поскольку 1/?2 ? 0, то
n

? ( xi ? m) = 0 .
i =1
Тогда оценка для математического ожидания равна

31
n
1
?
m* = x = xi , (3.18)
n i =1
где x — среднее арифметическое выборки (серии измерений). Отме-
тим, что для выборочного среднего сохраняются все свойства матема-
тического ожидания. Например, если Z является нелинейной функцией
n независимых случайных величин
Z = f (X1, X2, …, Хn),
то ее выборочное среднее приближенно выражается формулой
z = f ( x1 , x 2 , ..., x n ) .
Дифференцируя функцию правдоподобия (3.16) по ?2, получаем
n
?L n1 1
? ( xi ? m) 2 = 0 ,
=? + (3.19)
?? 2 2 ? 2 2(? 2 ) 2 i =1


1? ?
n
1
? 2
? 2 ?n ? 2 ( xi ? m) ? = 0 . (3.20)
2? ? ? ?
? ?
i =1

Поскольку 1/(2?2) ? 0, то
n
1
? ( xi ? m) 2 = 0 ,
n? 2 (3.21)
? i =1

откуда находим оценку s12 для дисперсии случайной величины:
n
1
? (xi ? x )2 .
2* 2
(? ) = =
s1 (3.22)
n i =1
Метод максимального правдоподобия всегда приводит к состоя-
тельным, хотя иногда и смещенным оценкам, имеющим наименьшую
возможную дисперсию при неограниченном возрастании объема вы-
борки. Так, выборочная дисперсия s12 оказывается смещенной оценкой
генеральной дисперсии
n ?1 2
2
M [ s1 ] = ?. (3.23)
n
Для получения несмещенной оценки дисперсию s12 надо умножить
на величину n/(n - 1)



32
n

? ( xi ? x) 2
n i =1
s 2 = s1
2
= . (3.24)
n ?1 n ?1
Уменьшение знаменателя в (3.24) на единицу непосредственно связано
с тем, что величина x , относительно которой берутся отклонения, сама
зависит от элементов выборки. Каждая величина, зависящая от элемен-
тов выборки и входящая в формулу выборочной дисперсии, называется
связью. Можно доказать, что знаменатель выборочной дисперсии все-

стр. 1
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ

>>