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ISBN 5-02-024873-8
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ISBN 5-02-024873-8
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2
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15
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1.1.
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1.2. : : : : 19
1.3. : : : : : : 21
1.4. : : : : 24
1.4.1. : : : : : : 24
1.4.2. : : : : : : : : : : : 27
1.4.3. : : : : : : : : 30
1.4.4. : : : : : : : : : : : : 33
1.5.
: : : : : : : : : : : : : : : 34
1.5.1. 34
1.5.2. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36
1.5.3. -
: : : : : : : 38
1.6. : : : : : : : : : : : : 46
1.6.1.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46
1.6.2. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48
1.6.3. -
: : : : : : : : : : : 50
1.6.4. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51
1.7. 58
1.7.1. : : : : : : : : : : 58
1.7.2. : : : : : : : : 59
1.7.3. : : : : : : : 59
1.8. : : : : : : : : : : : : : : : 60
1.9. : : : : : : : : : : : : : : : 64


3
2. -
67
2.1. : : : : : : : 67
2.1.1. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67
2.1.2. : : : 69
2.1.3. . -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71
2.2. : : 74
2.3. : : 76
2.4. : : : : : : : : : : : : : : : 77
3. -
80
-
3.1.
- : 81
3.1.1. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81
3.1.2. : : : 82
-
3.2.
-
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84
3.2.1.
: : : : : : : : : : : : : : 84
3.2.2.
86
3.2.3. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 87
3.2.4. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 89
3.3. : : : : : : : : : : : : : : : 96
4. -
98
4.1. : : 99
4.2. : 100
-
4.3. : : : : : : : : : : : 102
4.4. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103
-
4.5.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 105
4.6. : : : : : : : : : : : : : : : 108

4
5.
109
5.1.
: : : : : : : : 109
. -
5.2.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 111
5.2.1. : : : : : : : : : : 111
5.2.2. : : : : : : : 112
5.2.3. : : 113
5.3.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117
5.3.1. (-
) A : : : : : : : : : 121
5.3.2. -
: : : : : : : : : : : : 123
5.4. : : : : : : : : : : : : : : : 126
6. -
. 128
. -
6.1.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 128
6.1.1. : : : : : 128
6.1.2. : : : : 130
6.1.3. : : : : : : : 131
6.2. : : : : : : : : : : : 132
-
6.3.
133
6.4. : 134
6.4.1. : : : : : 135
6.4.2. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137
6.5. 139
6.5.1. : : : : : : : : : : : : : : : : 139
6.5.2. : : : : : : : : : : : : 142
6.6. Q : : 145
6.7.
: : : : : : : : : : : : : : : : : 146
6.7.1. z- : : : : : : : : 146
6.7.2. : : : : : : : : : : 148
6.7.3. : : : : : : : : 149

5
6.7.4. : : : : : : : : : : : : 149
6.8.
: 150
-
6.9.
- -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 153
6.9.1. : : 154
6.9.2. : : : : : : : : : : : : 156
.
6.10.
: : : : 159
6.10.1. : : : : : : : : : : : : 159
6.10.2. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 161
{ -
6.11.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 164
6.12. : : : : : : : : : : : : : : : 165
7. {
166
7.1. : : : : : : : : : : : : : : 166
7.2. : : : : : : : : : : : : 169
. -
7.3.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174
7.4. : : : : : : : : : : : : : : : 178
8. -
181
8.1. : 181
8.2. ::::::::::::: 183
8.3. ::::: 187
8.4. ::::::::::::: 192
8.5. ::::::::::::::: 200
9. -
202
9.1. : : : : : : : : 202
9.2. 202
.
9.3.
: : : : : : : : : : : : : : : : 204
9.4. : : : : : : : : : : : : 208

6
-
9.5.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : 211
9.5.1.
: : : : : : : : : : 211
9.5.2. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 214
9.6. : : : : : : : : : : : : : : : 218
10. -
220
10.1. : : 220
10.2. : : 224
-
10.3.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 230
10.3.1. : : : : : : : : : : : : 231
10.3.2. : : : : : : : : 232
10.3.3. . : : : : 233
10.3.4. . : : 236
10.3.5. .
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 237
10.3.6. : : : : : : : : : : : : : 239
10.3.7. : : : : : : : 240
11. -
242
11.1. 242
11.2. : : : : : : : : : 244
11.2.1. : : : : : : : : : : 245
11.2.2. : : : : : : : 245
11.2.3. -
: : : : : : 246
( -
11.3.
) : : : : : : : : : : : : : : : : : 247
11.3.1. ." -
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11.3.2. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 250
11.3.3. : : : : 252
11.3.4. . -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 256

7
11.4. : : : : : : : : : : : : : 261
11.4.1. : : : : : : : : : : : : 261
11.4.2. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 264
11.4.3. : : : : : : : : : : : : : : : 268
11.4.4. : : : : 270
11.4.5. : : : : : 276
11.4.6. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 279
11.5. : : 286
11.5.1. : : : : : 286
11.5.2. : : : : : : : : : : : : : : 289
11.5.3. .. : : : : : : : : : : : : 290
.
11.6.
: : : : : : : : : : : : 290
11.6.1. : : : : : : 290
11.6.2. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 293
12. -
298
12.1.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 298
12.2.
: : : : : : : : : : : : : : : 305
12.3. : : : : : : : 307
12.3.1. : : : : : : 307
12.3.2. 308
12.3.3. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 310
-
12.4.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 314
12.4.1. : 314
12.4.2. : : : : 318
12.4.3. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 319
12.5.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 320
12.5.1. : 321
12.5.2. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 322

8
12.5.3. . -
: : : : : : : : : : : : : : 323
12.6. : : : 330
12.6.1. 330
12.6.2.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 332
12.6.3. : 333
12.6.4. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : 334
12.6.5. : : : : : : : : : : 336
12.7.
. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 339
12.7.1. : : : : : : : : : : : : : : 340
12.7.2. : : : : : : 343
12.7.3. : : : : : : : : : : 345
12.7.4. . -
: : : : : : : : : : : : : : 346
12.8. : : : : : : : : : : : : : : : 352
13. -
-
354
-
13.1.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 354
13.2. : : : : : : : 360
13.2.1. -
. : : : : : : : 360
13.2.2. -
: : : : : : : : : : : : 363
13.3. : : : : : : : 367
13.3.1. : : : : : : : : 367
13.3.2. : : : : 370
13.3.3. : : : : : : : : : : : : 373
13.3.4. : : : : : 376
-
13.4.
-
378
13.4.1. : : : 378


9
13.4.2. -
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 382
13.4.3. 386
-
13.5.
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13.5.1. ::: : : 393
13.5.2. :: : : 395
13.5.3. :: : : 397
13.5.4.
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 399
A. A. -
407
B. B. - -
-
413
C. C. -
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10
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. 94].
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XX ,
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The MathWorks
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C.

13
10, 32, 81, 82], The MathWorks Com.
(www.mathworks.com).
MATLAB,
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ScilabR ,
INRIA (www-rocq.inria.fr/scilab). -
ScilabR D.
, -
,
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.
-
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-
" "
(www.ipme.ru/ipme/labs/ccs/ccs.html).
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360-01. , ,
(96-
01-01151, 99-01-0672) " "( 2.1-589,
0145, 0151) .
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- , 1999 .

14
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u(t) y(t)
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y = f(u) y = f(u t) ( ).
y(t) = f(u(t)):
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15
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y(t1 ) = S(x(t0 ) u t0 t1 ]):
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.
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.
2.
,
( . . 1.1, ).
y(t2 ) = S(x(t0 ) u t0 t2 ]):
t0 < t1 < t2 :
, x(t0 ) u t0 t1 ]
u t0 t1 ] u( ) t0 t1 ]:
3



16
. 1.1. .
y(t2 ) = S(x(t1 ) u t1 t2 ]):
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. X = fxg
2
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x = x1 x2 : : : xn ]T :
x = colfx1 x2 : : : xn g
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17
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. ,
X = Rn :
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44]. , -
, -
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X = Rn
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. -
-
-
.
.

18
.
( -
) .
;
x(t) = f; x(t) u(t) t x(t0 ) = x0
_ t t0 (1.1)
y(t) = g x(t) u(t) t :
{( ) -
, , -
t2R -
t0 u(t):
{ , -
, ,
y(t) { .
, -
.
, (1.1), -
x(t) 2 Rn y(t) 2 Rl u(t) 2 Rm
: f( ) g( ) { -
-
.
1.2.
f( ) g( ) xu -
(1.1) 44]
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) x(t0 ) = x0
_ t t0 (1.2)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t):
-
x(t) 2 Rn y(t) 2 Rl u(t) 2Rm
. ,
, 5

- A(t) B(t) C(t) D(t)
nn nm ln lm .
1. D(t) 0 (1.2) -
( ).
.2
,
5
( ) -
.
. 10.3.1. . 231.

19
(1.2) -
,
. 1.2.




. 1.2. (1.2).
2. A(t) B(t) C(t) D(t) -
( t), (1.2)
.2
, {
-
, .
t0 = 0:
-
, -
:
x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) x(0) = x0 t 0: (1.3)
_
-
.
;
x k + 1] = f ;x k] u k] k x k0 ] = x0 k k0 (1.4)
y k] = g x k] u k] k
{
x k + 1] = A k]x k] + B k]u k] x t0 ] = x0 k k0 (1.5)
y k] = C k]x k] + D k]u k]
20
{ . (1.4), (1.5) k = k0 k0 +
", x k] 2 Rn y k] 2Rl u k] 2
+1 k0 + 2 : : : { "
Rm f( )2Rn g( )2Rl : - A k] B k] C k] D k]
n n n m l n l m:
.
, , ,
'(t), -
yc (t) ym (t) .
(1.3)
x(t) = Ax(t) + Bu u(t) + B' '(t) yc (t) = Cc x(t) ym (t) = Cm x(t):
_
-
.
1.3.
-
, , , -
, , , ,
(" ") . -
.
11. . 242. -
-
, ..
(1.1) (1.2) ( , ,
{ (1.5) (1.4)).
.
(1.1)
x(t) = f(x u t)
_ y(t) = g(x u t): (1.6)
-
x (t) 2 Rn u (t) 2 Rm .
(" ") -
f( ) g( )
x (t) u (t) . 6


x(t) + x(t) = f(x (t) u (t) t) + @f(x u t) x(t) +
_ _ @x
+ @f(x u t) u(t) + O2 (1.7)
@u
6
f( ) g( ) xu x (t) u (t).

21
y(t) = g(x (t) u (t) t) + @g(x u t) x(t) +
@x
+ @g(x u t) u(t) + O2
@u
x(t) = x(t);x (t) { -
x (t) u(t) = u(t);u (t) { -
u (t), @f( ) , @f( ) , @g( ) , @g( )
@x @u @x @u
{ - f( ) g( ) ( -
) x, u,
x(t) x (t) u(t) u (t) O { -
2

x(t), u(t):
:
x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) + f (t) ; x (t) + O2
_ _
y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t) + O2

A(t) = @f(x u t) B(t) = @f(x u t)
@x @u
C(t) = @g(x u t) D(t) = @g(x u t) ;
@x @u
- n n n m l n l m( -
), f (t) = f(x (t) u (t) t):
x(t), u(t)
x (t) u (t)
.
-
x (t) u (t). -
23, 47, 72]:
{ -
, x (t) u (t)
(1.7).

x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)
_
y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t) (1.8)
{
, .. -
, x (t)
_ 0 u (t)
_ 0 x (t) x u (t) u (t):
_
22
x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) + f (x u t)
_
y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t): (1.9)
, -
u(t) u (t) -
, . , -
,
,
(
" "
u(t)).
.
-
m
l: .
T
x(t) = '(t) '(t)]
_ '{
,
x1(t) = x2(t)
_ (1.10)
x2(t) = ;mglJ ;1 sin(x1 (t)):
_
J = ml2 ; , g; -
. ' -
" ". (1.10)
: x1 = 0 x2 = T7
0] : -
0 0
(1.10)
(1.3)
01
A= gl;1 0
" " , " "{
(.. x x0
2: )
1
0

x0 =
,
7

n = : : : ; 2 ;1 0 1 2 : : :
T
n 0]
=
R2
.

23
-
x1 (t) = 2 cos( t) x2(t) = ; 2 sin( t)
p (t),
x
;1
= gl : , -
, -
0]T .
x x(0) =
1
0 2
h iT
f = ; 2 sin( t) ;mglJ ;1 sin(2 cos( t)) :
x (t) = ; 2 sin( t) ; 2 2 cos( t)]T
_
x(t) = x(t) ; x (t) :
8
< x1 (t) = x2 (t)
_
x2 (t) = ;mglJ ;1 cos( 2 cos( t)) x1 (t);
:_ (1.11)
; mglJ ;1 sin( 2 cos( t)) + 2 2 cos( t):
(1.11) -
-
(1.10), -
x. , (1.11) (1.2)
1
0
v(t) = ; mglJ ;1 sin( cos( t))+ 2 cos( t) -
2 2



A(t) = ;mglJ ;1 cos( cos( t)) 1
0 B= 0 :
0 1
2

-
( )
.
-
( -
) 15, 76, 93, 94, 95, 113] ( . . 11.3. . 247).
1.4.
.
1.4.1.
1. RC- . ,
C -
R( . 1.3, ).
24
u(t) , -
. .




. 1.3.
1. { uC(t) -
.
RC-
RC dudt(t) + uC (t) = u(t): (1.12)
C



T = RC { x(t) =
uC (t): (1.12) x(t),
_ -
n = 1 A = ;T ;1 B = T ;1
(1.3), C = 1:
11 -
,
. -
.
2. { uR (t) -
.
( x(t)) . -
, y(t) = uR (t)
u(t); uC (t) u(t); x(t): -
A = ;T ;1 B =
T ;1 C = ;1 D = 1:

25
2. (RLC- ).
, -
R, L, C- (.
1.3, ). y(t)
uL (t) ,
,{ u(t):
,
L di(t) = uL (t) C dudt(t) = i(t)
C
dt
uR (t) = Ri(t) u(t) = uL(t)+uC (t)+uR (t) i(t) { -
, uC (t) { , uR (t)
{ . -
T
x(t) = i(t) uC (t)] y(t) = uL (t)
:
x1 (t) = (u(t) ; Rx1 (t) ; x2 (t))L;1
_ (1.13)
x2 (t) = C;1 x1 (t)
_
y(t) = u(t) ; Rx1 (t) ; x2 (t):
, n=2 m=l=1
(1.2)
;RL;1 ;L;1 B = L;1 C = ;R ;1] D = 1:
A = C;1 0 0
3. -
. -
-
( . 1.3, ).
,
-
e(t). -
. e(t)
M(t): -
(t)
i(t). -
15, 76]:
8
d (t) = !(t)
>
>
> dt
<
di(t) + Ri(t) = e(t) ; C !(t) (1.14)
> L dt e
>
>
J d!(t) = CM i(t) ; M(t):
:
dt
26
: L, R { -
,J{ -
, Ce CM { , -
.
n = 3 m = l = 2: -
,
(t) i(t) !(t) : x(t) = (t) i(t) !(t)]T 2R3 : -
u(t) = e(t) M(t)]T 2 R2
y(t) = (t) i(t)]T 2R2 : , (1.14)
(1.3),
2 3 2 3
0 0 1 0 0
A = 4 0 ;RL;1 ;Ce L;1 5 B = 4 L;1 05
;J ;1
0 CM J ;1 0 0

C= 1 0 0 :
010
1.4.2.
1. -
. -
( )
19], . 1.4.




. 1.4. .

27
(t) !x (t) { -
Jx { -
x Mx (t) {
, , , . -
-
, -
.
8 d (t)
<
dt = !x (t) (1.15)
: d!x (t) = Mx (t) :
dt Jx
n = 2 m = 1:
, -
T
: x(t) = (t) !x (t)] :
(1.3),
A= 0 1 B = J0 :
;1
00 x
C , -
. , ,
l = 1 C = 1 0]: ,
l = 2 C = I2 : 8
2. -
. ,
() ( . 1.5)
19, 23, 98]
8_
> mV (t)=;mg sin + P cos ; qS (cx cos + cy sin )
>
> mV _(t)=;mg cos + P sin + qS (;c sin + c cos )
>
>
> x y
< J ! =qSbm
z _z z (1.16)
_
> #(t)=!z
>
> x(t)=V cos cos
>_
>
>
:_
H(t)=V sin
#, , { ,
= #; { V{ mg { -
Sb{
n:
8 In
n .

28
. 1.5. .

Jz {
q{ xH{
P{ cx cy mz { -
, .
, ,
.
, (1.16) -
" " -
(1.3) 23]
2 3
;aV ;ax + ax ;ax 0 ;aH
0
x x
6 ;aV ;ay + ay ;ay 0 ;aH 7
0
6 H7
y y
6 ;aV z ;a!zz ;amz 0 ;amz 7
amz
A=6 7
m m
6 07
0 0 1 0 0
6 7
;V sin cos
4 cos cos 05
0 0 0
sin V cos 0 0 0 0
2 3
ax ;ax
6 ay ay 7
6 amz ;amz 7
6 7
B=60 7 (1.17)
6 07
6 7
40 05
0 0
{ : -
!z # x H]T :
: x= V
]T
u= {

29
. 9

CD , -
-
.
1.4.3.
1. -
. (" ")
( . 1.6), ,
. -
F(t): :m M{
L{ -
J{
k{ " " g{ -
.
'(t) "
". s(t) -
( ) .




. 1.6. .
-
, . 62], -
, . -
, , 47], -
x(t) =
-
9
.


30
s s s+L0 ' s+L0 ']T
_ _ _ u(t) = F(t)
(1.3)
2 3 2 3
0 1 0 0 0
;kM ;1
6 07 6 M ;1 7
0 0
A=6 7 B=6 0 7 (1.18)
4 15 4 5
0 0 0
;gL;1 gL;1
0 0 0
1 1


L1 = J + mL
2
-
mL
.
, CD -
.
2. -
.
,
m1 m2 -
126] ( . 1.7). ,




. 1.7. .

k1 k2 :
h1 (t) h2 (t) h3 (t)
, ( -
_ _
x(t) = h1 (t) h1 (t) h2 (t) h2 (t)]T
),
u(t) = h3 (t) -

31
(1.3)
2 3 2 3
0 1 0 0 0
6 ;k1m;1 7 607
k2 m;1
0 0 7 B =6
A= 6 0 1 4 0 7 :(1.19)
1
4 15 5
0 0
0 ;(k1 + k2)m;1
k1 m;1 k2m;1
0
2 2 2

y1 (t) = h1 (t)
y1 (t) = h2 (t) ; h3 (t)
1000 0
C= 0 0 1 0 D = ;1 :
3. . -
, -
-
. : (t) (t) {
H{ JB JC {
MB (t) MC (t) { . -
(
) 91]
0
8
_ (t) = ! (t)
>
>
< JC !C (t) = ;C C !C (t) + H cos 0!B (t) + MC (t)
_ (1.20)
_ (t) = !B (t)
>
>
: JB !B (t) = ;H cos 0 ! (t) ;
_ B !B (t) + MB (t)
C B
!B (t) !C (t) { -
. x(t) = (t)
T
!C (t) (t) !B (t)] u(t) = MB (t) MC (t)]:
(1.3),
2 3 2 3
0 1 0 0 00
; C J ;1
6 0 H cos 0J 7 B = 6 J ;1 0 7:(1.21)
;1 7
A= 6 0 6 7
40 5 40 05
0 0 1
0 ;H cos 0 JB 0 ; B JB
;1 ;1 ;1
0 JB
,
-
X -
, -
.
32
1.4.4.
-
(1.5). , -
,
-
.
1. . -
-
-
. -
x k + 1] = x k] + u k] u k] { -
Pk;1
, x k] { (x k] = i=0 u i]):
x k] -
(1.5), A=1 B =1 C =
1 D = 0:
,
, y k]
Pk
y k] u k] y k] = i=0 u i] :
(1.5) D = 1:
2. . -
,
, , -
1 Pi=k;4
: y k] = 4 k;1 u i]:
( "-
"), -
.
" " -
. ,
:
8
> x1 k + 1] = u k]
>
< x k + 1] = x k]
2 1
> x3 k + 1] = x2 k] (1.22)
>
: x4 k + 1] = x3 k]
1
y k] = 4 (x1 k] + x2 k] + x3 k] + x4 k])
(1.5) -



33
2 3 23
0000 1
6 7 67
A = 61 0 0 07 B = 607 C = 1 1 1 1 1]:
4
40 1 0 05 405
0010 0
, -
, -
. -
-
, -
77], -
( ) -
. -
2. . 67.
1.5. -
1.5.1.


x(t) = Ax(t) + Bu(t)
_ y(t) = Cx(t) + Du(t) (1.23)


x k + 1] = Ax k] + Bu k] y k] = Cx k] + Du k] (1.24)
x2Rn y 2Rl u2Rm :
3, 47, 66].
;
W( ) = C In ; A ;1B + D 2C (1.25)
(1.23) ( (1.24))
y: 2
u
W( )
, -
lm .
-
s p,
{ z 15, 47, 66, 76, 95, 93].
34
( { -
) .
.
, -
, -
(1.25) 15, 66, 76, 93, 94, 95].
10

x0 = 0 -
66]: X(s) = L x(t) Y (s) =
L y(t) U(s) = L u(t) : det(sIn ; A) 6= 0
;
X(s) = (sIn ; A);1 BU(s) Y (s) = C (sIn ; A);1 B + D U(s):

. 1
( 15)



>>