стр. 1
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В. А. СТЕКЛОВА

РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК




СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ
Выпуск 3
Издание выходит с 2003 года




Д. В. Аносов

О спектральных кратностях
в эргодической теории




Москва
2003
УДК 519.2
ББК (В)22.162
С56




Редакционный совет:
С. И. Адян, Д. В. Аносов, О. В. Бесов,
А. А. Болибрух (главный редактор), В. С. Владимиров,
А. М. Зубков, А. Д. Изаак, А. А. Карацуба, А. Г. Куликовский,
С. П. Новиков, В. П. Павлов, А. Н. Паршин, Ю. В. Прохоров,
А. Г. Сергеев, А. А. Славнов, Е. М. Чирка




С56 Современные проблемы математики / Математи-
ческий институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). М.:
МИАН, 2003. Вып. 3: О спектральных кратностях в эргоди-
ческой теории / Д. В. Аносов. 86 с.
ISBN 5-98419-004-4

Серия “Современные проблемы математики” рецензируемое про-
должающееся издание Математического института им. В. А. Стеклова
РАН. В серии публикуются работы, отражающие научные достиже-
ния сотрудников и аспирантов МИАН. Особое внимание уделяется ис-
следованиям, выполненным в рамках научных программ Российской
академии наук. Публикация работ осуществляется по решению Редак-
ционного совета, в который входят представители администрации и
заведующие отделами МИАН. Издания серии рассылаются по стан-
дартному обязательному списку, в библиотеки математических инсти-
тутов и ведущих университетов страны.




c Математический институт
ISBN 5-98419-004-4
им. В. А. Стеклова РАН, 2003
§ 1. Введение
Эргодическая теория (ЭТ) является частью теории динамических
систем (ДС), имеющей дело с системами с инвариантной мерой.
Последнее означает, что в фазовом пространстве X системы име-
ется некоторая мера µ, которая сохраняется при движении фазо-
вых точек (точек X), соответствующем эволюции нашей ДС (т. е.
изменению ее состояния, происходящему при возрастании време-
ни t). Исторически главный стимул при возникновении ЭТ был
вызван тем, что ДС, изучаемые в классической механике так
называемые гамильтоновы системы
dpi ?H(p, q) dqi ?H(p, q)
(1)
=? , = (i = 1, . . . , n)
dt ?qi dt ?pi
обладают этим свойством. В этом случае фазовая точка (p, q) за
время t переходит в точку Tt (p, q) = (p(t), q(t)); здесь (p(t), q(t))
это решение системы (1) с начальным значением (p(0), q(0)) =
(p, q). (Обратите внимание, что система (1) является автономной,
т. е. ее правые части не зависят явно от t. Физически зависимость
правых частей от t означала бы, что силы, действующие на на-
шу систему, не определяются полностью ее состоянием (p, q), но
что при одном и том же (p, q) силы в различные моменты вре-
мени могут быть различными. Это может случиться, если име-
ются некоторые внешние силы, действующие на нашу систему.
Таким образом, автономная система обыкновенных дифференци-
альных уравнений возникает, когда мы рассматриваем изолиро-
ванную физическую систему.) Известная теорема, приписывае-
мая Лиувиллю, утверждает, что преобразования Tt сохраняют
2n-мерный объем, т. е. 2n-мерную меру Лебега. В то же время
известно, что H является первым интегралом системы (1), т. е.
H(Tt (p, q)) = H(p, q) (здесь существенно, что H не зависит от t).
Геометрически это означает, что гиперповерхности ME = {(p, q),
H(p, q) = E} (с постоянными E) являются инвариантными много-
образиями нашей системы, т. е. если (p, q) ? ME , то Tt (p, q) ? ME .
Если рассматривать только ограничение нашей ДС на некоторую
гиперповерхность ME (т. е. преобразования {Tt |ME }), то оказы-
вается, что эта система сама имеет “хорошую” инвариантную ме-
ру µE , которая тесно связана с геометрическим (2n ? 1)-мерным
“объемом” (“гиперплощадью”) SE на ME :
dSE
dµE = .
|grad H|
c Аносов Д. В.
4 О спектральных кратностях в эргодической теории


В классической ситуации pi и qi могут быть произвольны-
ми вещественными числами, т. е. фазовым пространством служит
R2n . Его объем бесконечен. Но в то же время гиперповерхности
постоянной энергии ME вполне могут быть компактными. Если
такая гиперповерхность не содержит критических точек функ-
ции H (точек, где grad H = 0), что является типичным случаем,
то она имеет конечный (2n?1)-мерный объем SE и конечную меру
µE . Мы видим, что разумно уделить особое внимание тем случа-
ям, когда инвариантная мера всего фазового пространства конеч-
на.
В этой брошюре речь идет о части ЭТ, которую можно назвать
“абстрактной ЭТ”, части ЭТ, рассматривающей сохраняющие
меру преобразования пространств X с мерами µ. В этой части
теории единственная структура, которую мы принимаем во вни-
мание, это структура пространства с мерой. (Когда же изучаются
эргодические свойства ДС, которая определена в пространстве с
некоторой дополнительной структурой и которая как-то связана
с этой структурой, то это можно назвать “прикладной ЭТ”, хотя
термин “прикладная” используется здесь в смысле, отличном от
его обычного смысла.) Мы будем рассматривать только тот слу-
чай, когда µ(X) = 11 , мера µ является “хорошей” (технически,
(X, µ) является неатомистическим пространством Лебега), а изу-
чаемые объекты суть такие биективные отображения T : X > X,
что для всякого измеримого подмножества A ? X множества T A,
T ?1 A тоже измеримы и имеют ту же меру. Этот случай занима-
ет центральное положение в абстрактной ЭТ, потому что многие
вопросы проявляются уже в этом случае, тогда как технически
он несколько проще2 . Наконец, в абстрактной ЭТ мы обычно с
1 Этимпо существу покрывается формально более общий случай конеч-
ной меры, т. е. случай, когда µ(X) < ?, потому что тогда мы можем перейти
µ(A)
к новой мере µ1 (A) = µ(X) , для которой µ1 (X) = 1. Она также сохраня-
ется нашей ДС и свойства ДС по отношению к мере µ1 те же, что и по
отношению к мере µ, с точностью до небольших изменений некоторых фор-
мулировок. (Терминологическое замечание: Халмош [1] называет меру µ, для
которой µ(X) < ?, “вполне конечной мерой” (“totally ?nite measure”).)
2 Конечно, “многие” не означает “все”, особенно когда мы переходим к со-

храняющим меру действиям групп и полугрупп, которые сильно отличаются
от Z. Имеются также и другие случаи, отличные от нашего в некоторых
других отношениях: преобразование T может быть необратимым; преобра-
зования могут зависеть от некоторых параметров и при этом надо уделять
некоторое внимание характеру этой зависимости, тогда как нам об этом не
надо заботиться. Обычно в конечном счете эти отличия сказываются менее
§ 1. Введение 5


самого начала предполагаем, что рассматриваемые ДС являются
эргодическими3 . Для этого имеются два резона: а) применения
ЭТ при исследовании “конкретной” ДС, которая определена в
пространстве с некоторой дополнительной структурой и которая
как-то связана с этой структурой, мы обычно особенно интересу-
емся эргодическими ДС (хотя может быть очень трудно доказать
эргодичность данной ДС (или данного класса ДС)); б) для неэр-
годического T пространство X можно в некотором смысле раз-
ложить на “эргодические компоненты” таким образом, что (как
подсказывает название) ограничения T на них эргодичны.
Нет нужды особенно пояснять, что мы пренебрегаем множе-
ствами меры нуль, как это часто делают при исследованиях, ка-
сающихся меры. Таким образом, изоморфизм двух пространств с
мерой (X, µ) и (Y, ?) это, строго говоря, изоморфизм T :
X \ M > Y \ N , где M и N суть некоторые множества меры нуль.
Было бы точнее говорить об “изоморфизме mod 0” (“mod 0”
это более или менее стандартное сокращение для “по модулю мно-
жеств меры нуль”). Но я обычно опускаю такие уточнения, как
это часто делают в подобных случаях. Поэтому я не колебался
давать такое определение функции, которое предписывает для
нее два различных значения в одной и той же точке (принимая
во внимание опущенные слова “mod 0”, это законно, если эти ис-
ключительные точки образуют множество меры нуль) или писать
что-нибудь вроде [0, 2] \ [1, 2] = [0, 1]. (Первокурснику не позволи-
ли бы так писать, но он не знает волшебного заклинания “mod 0”.)
Исторически, в развитии абстрактной ЭТ было три этапа. Я
должен предупредить с самого начала, что это не надо понимать
слишком буквально. На каждом этапе возникало новое направле-
ние, но старые направления оставались важными и в них продол-
жалась некоторая работа, хотя на некоторое время б?льшая часть
о
исследований естественным образом переключалась на новое на-
правление, где внезапно обнаружилось много вещей, которые на-
до сделать, причем многие из них можно было сделать немед-
ленно. Кроме того, на каждом этапе делалась некоторая (иногда
очень важная) работа, которая не соответствовала приводимой

радикально, и исследование нашего несколько более простого случая в какой-
то степени можно рассматривать как “прототип” исследования этих случаев.
3 В нашем случае это означает, что нет инвариантных множеств (таких

измеримых множеств A, что T A = A) “промежуточной” меры меры, от-
личной от 0 и 1.
6 О спектральных кратностях в эргодической теории


ниже характеристике этого этапа4 . Все же моя характеристика
соответствует тому, что можно считать основным руслом иссле-
дований в течение соответствующего периода времени.
1) С сохраняющим меру преобразованием T пространства с
мерой (X, µ) связывается оператор

U = UT : L2 (X, µ) > L2 (X, µ) (U f )(x) = f (T x).

В нашем случае (когда обратное преобразование T ?1 существу-
ет и сохраняет меру) U является унитарным линейным операто-
ром в гильбертовом пространстве. Для таких операторов имеется
общая спектральная теория. Ее можно развить для унитарных
операторов в любом гильбертовом пространстве, но нам нужен
только классический случай, когда гильбертово пространство се-
парабельно, потому что оно оказывается сепарабельным для “хо-
роших” пространств с мерой (X, µ). Эта спектральная теория не
имеет отношения к тому факту, что мы имеем дело с операторами
специального характера с операторами, возникающими указан-
ным выше способом. Но легко видеть, что если два автоморфизма
пространств с мерой

T : (X, µ) > (X, µ), T1 : (X1 , µ1 ) > (X1 , µ1 )

сопряжены при помощи изоморфизма пространств с мерой S :
(X, µ) > (X1 , µ1 )5 :
S ? T = T1 ? S
(в каковом случае мы считаем, что T и T1 это, в сущности,
одно и то же преобразование), то UT и UT1 сопряжены с помощью
унитарного изоморфизма

US : L2 (X1 , µ1 ) > L2 (X, µ) (US f )(x) = f (Sx),

т. е. UT ? US = US ? UT1 . В этом случае спектральные свойства UT
и UT1 одни и те же. Таким образом, можно рассматривать спек-
тральные свойства (инварианты) унитарного оператора U как
свойства (инварианты) нашей ДС. Говоря более неопределенно,
4 Пример:эргодическая теорема Биркгофа (являющаяся, возможно, самой
знаменитой теоремой во всей абстрактной ЭТ) была доказана в самом начале
первого этапа, но она находится вне его рамок.
5 S является изоморфизмом пространств с мерой, если образы и прообразы

измеримых множеств измеримы и имеют ту же меру.
§ 1. Введение 7


на этом этапе использовалась спектральная идеология; а эта идео-
логия восходит к анализу Фурье периодических и квазипериоди-
ческих функций. Стоит заметить, что в то время движения, опи-
сываемые такими функциями, имели главное значение также и
для теории гладких ДС и что первым примером такого анализа
Фурье было приближение движения планет с помощью тригоно-
метрических многочленов, которое, в сущности, было изобретено
в древней Греции, где оно осуществлялось геометрическим спо-
собом (деференты и эпициклы)6 . Во многих важных отношениях
периодические и почти-периодические движения обладают неко-
торой “регулярностью”. Хотя спектральная теория ДС никоим
образом не ограничивается движениями такого рода (и помимо
рядов Фурье здесь встречается также и некоторая модификация
интеграла Фурье), ее наиболее впечатляющие приложения имеют
приблизительно такой характер (дискретный спектр; см. ниже).
Предупреждение: постоянные функции всегда инвариантны
по отношению к UT . Обычно опускают эту тривиальную часть
гильбертова пространства L2 (X, µ) и рассматривают действие опе-
ратора UT на ортогональном дополнении H к константам. Это
означает, что наш оператор U часто действует только на L2 -
функциях с нулевыми средними значениями. Но при чтении на-
стоящего текста, как и практически любого текста по ЭТ, надо
иметь в виду, что время от времени U по прежнему будет дей-
ствовать на всем L2 (X, µ). Обычно “переключение” с гильбертова
пространства H = L2 (X, µ) {constants} на H = L2 (X, µ) про-
исходит без явного предупреждения; однако обычно из контекста
ясно, какое функциональное пространство используется.
2) На втором этапе основную роль как в ЭТ, так и в теории
гладких динамических систем играл противоположный случай
ДС, напоминающих случайные процессы. Здесь движения можно
охарактеризовать как нерегулярные. Я не буду останавливаться
на этом, потому что это не связано с моей темой. Я только упо-
мяну, что в ЭТ второй этап начал А. Н. Колмогоров, а в теории
гладких ДС несколькими годами позднее С. Смейлом. (Конеч-
но, долгое время новая идеология постепенно вызревала внутри
6 Для “широкой публики” они связаны с именем Птолемея. В действитель-
ности, менее совершенная геометрическая картина была предложена Евдок-
сом, а переход к эпициклам и деферентам осуществил Апполоний. Его идея
была успешно развита, главным образом, Гиппархом и также Птолемеем, ко-
торый подробно изложил ее и благодаря этому стал более знаменит, чем его
предшественники.
8 О спектральных кратностях в эргодической теории


прежней ЭТ и прежней теории гладких ДС, но именно Колмого-
ров и Смейл сказали нечто вроде “Да будет свет!” (и был свет).)
3) Я не могу охарактеризовать третий этап несколькими
фразами, как в 1) и 2). Но в этой брошюре представлен пример
работы, выполненной на этом этапе. В этой работе получено
частичное решение проблемы спектральной кратности, которая
логически принадлежит к первому этапу (хотя, по-видимому,
она была сформулирована позднее). Вообще, в течение третьего
периода был достигнут прогресс в возникших ранее проблемах;
это особенно относится к спектральной теории. См. [2], [3], [4].
Я сформулирую рассматриваемую здесь задачу и полученные
результаты в § 2, после того как я опишу некоторые понятия
и утверждения из спектральной теории унитарных операторов.
До сих пор практически не было параллелизма между тре-
тьим этапом развития ЭТ и развитием теории гладких ДС. Дол-
гое время исключение представляли только работы А. Б. Катка
и мои [5], [6], [7], [8], [9], появившиеся в самом начале третьего
этапа (даже до того, как был широко осознан сам факт, что на-
чинается новый этап). Мы построили некоторые ДС класса C ?
с неожиданными для гладких систем эргодическими свойствами.
Мы смогли это сделать потому, что нам удалось “сымитировать”
на гладком уровне некоторые построения, которые до некоторой
степени можно считать принадлежащими к третьему этапу раз-
вития абстрактной ЭТ. (Сюда же примыкает работа Катка, со-
общение о которой опубликовано в [10] и в которой та же техни-
ка использовалась для построения новых примеров гладких ДС,
у которых каждая траектория всюду плотна7 .) Насколько мне
известно, недавно наш подход вновь стал привлекать некоторое
внимание, однако хотя я не следил внимательно за литературой
по этому вопросу, мне кажется, что было бы преувеличением го-
ворить о возникновении “гладкого партнера” третьего этапа аб-
страктной ЭТ. Но может быть, со временем он все-таки появится.
Результат, излагаемый в этой брошюре, не мой. Он принад-
лежит О. Н. Агееву и В. В. Рыжикову более молодым участни-
кам московской исследовательской группы, официально возглав-
ляемой А. А. Болибрухом и мной; в действительности А. М. Сте-

7
[10] это только краткий анонс. Соответствующие построения восста-
новлены в [11]. (Формально изложение в [11] по сравнению с [10] дается для
частного случая, но отличия от общего случая не очень существенны.)
§ 1. Введение 9


пин тоже играет руководящую роль8 . (В отличие от меня, Степин
стимулировал работу в этом направлении своими замечаниями
в самом начале.) Я благодарен О. Н. Агееву, В. В. Рыжикову и
А. А. Приходько за объяснение этого и смежных результатов как
в докладах на нашем семинаре, так и в разговорах. Я благодарю
С. П. Коновалова и Е. И. Иванникову за изготовление нескольких
рисунков.
Этот текст является расширенным вариантом нескольких лек-
ций, которые я прочел в Боннском, Эрлангенском и Бохумском
университетах во время моей недавней поездки в Германию9 .




8 Работа нашей группы частично поддерживалась грантом РФФИ 96-15-
96135 (как раз в то время, когда был получен излагаемый здесь результат) и
позднее грантом РФФИ 00-15-96107.
9 Эта поездка поддерживалась Фондом Гумбольдта и программой Россий-

ской академии наук “Математические методы в нелинейной динамике”. Во
время этого визита я провел много времени в Математическом институте им.
Макса Планка в Бонне, где была написана часть этого текста. Я благодарю
персонал института, равно как и персонал упомянутых выше университетов,
за гостеприимство.
10 О спектральных кратностях в эргодической теории


§ 2. Спектральная теорема для унитарных
операторов и задача о спектральной
кратности
Я сформулирую спектральную теорему в такой форме, которая
является более утонченной по сравнению с той формой, которая
обычно фигурирует в элементарных учебниках функционально-
го анализа. В нужной мне форме теорема утверждает, что се-
парабельное гильбертово пространстве H, в котором действует
унитарный оператор U , можно представить как конечную или
бесконечную ортогональную прямую сумму инвариантных под-
пространств, в которых U действует очень специальным обра-
зом. (Ср. с разложением конечномерного векторного простран-
ства, где действует линейный оператор A, в прямую сумму ин-
вариантных подпространств, где действие A описывается блока-
ми соответствующей жордановой матрицы.) Каждое слагаемое E
унитарно изоморфно некоторому пространству L2 (S1 , ?) (S1
стандартная окружность, а ? некоторая конечная10 мера на
ней), причем при этом изоморфизме ограничение U |E операто-
ра U на инвариантное подпространство E переходит в отображе-
ние
V : L2 (S1 , ?) > L2 (S1 , ?), f (z) > zf (z).
(Говоря более формально, если E рассматриваемое инвари-
антное подпространство, то существует такой унитарный изомор-
10 Для наших целей достаточно говорить только о конечных мерах, хотя
можно использовать здесь также и сигма-конечные (в терминологии Халмо-
ша [1] “вполне сигма-конечные” (“totally sigma-?nite”)) меры. Это приведет
к небольшим изменениям в части формулировок, но никоим образом не явля-
ется существенным, ибо пространство L2 (S1 , ?) с бесконечной сигма-конечной
мерой ? можно заменить пространством L2 (S1 , ?1 ) с конечной мерой ?1 , ко-
торая эквивалентна ? (в смысле, напоминающем определяемую ниже экви-
валентность конечных мер); при этой замене оператор V , играющий далее
важную роль (он “представляет U |E в терминах L2 (S1 , ?)” и действует, умно-
жая функцию на ее аргумент), остается оператором того же вида. (В отличие
от этого, в случае однопараметрических групп унитарных операторов (воз-
никающих, когда мы имеем дело с потоками, т. е. с однопараметрическими
группами сохраняющих меру преобразований) в “естественной” формулиров-
ке спектральной теоремы используются бесконечные меры. В этом случае
вместо L2 (S1 , ?) имеют дело с L2 (R, ?) и вместо V с однопараметрической
группой операторов Vt : f (?) > eit? f (?). В этом случае было бы неестествен-
но (хотя все еще возможно) иметь дело только с конечными мерами ?
наиболее известной и естественной мерой в R является мера Лебега, которая
только сигма-конечна.)
§ 2. Спектральная теорема 11


физм гильбертовых пространств W : E > L2 (S1 , ?), что W ?(U |E) =
V ? W .)11
Эти слагаемые отнюдь не определены единственным образом.
Они становятся однозначно определенными после наложения сле-
дующих “нормализующих условий”:
для каждых двух слагаемых, изоморфных L2 (S1 , ?) и
L2 (S1 , ?1 ) соответственно, соответствующие меры ?, ?1 либо эк-
вивалентны (тогда мы пишем ? ? ?1 ), либо взаимно сингулярны
(тогда мы пишем ? ? ?1 )12 ;
если ? ? µ, то число слагаемых L2 (S1 , ?1 ) с ?1 ? ? отлично
от числа слагаемых L2 (S1 , µ1 ) с мерами µ1 ? µ.
Хотя эти условия однозначно определяют слагаемые13 , остает-
ся некоторая неопределенность в выборе “стандартных представ-
лений” для этих слагаемых как некоторых пространств L2 (S1 , ?)
11 Я буду всегда (за одним исключением в § 8) обозначать отображение,
переводящее функцию z > f (z) в функцию z > zf (z), через V , хотя я буду
рассматривать различные функциональные пространства и потому, строго
говоря, V будет обозначать различные операторы (они определены одной
и той же формулой, но действуют в различных пространствах). Подобная
“вольность речи” не приносит вреда, если обращать внимание на контекст.
12 Конечная мера ? абсолютно непрерывна относительно конечной меры ?
1
(определенной на той же сигма-алгебре B), если выполняется одно из следу-
ющих эквивалентных условий:
(a) Если A ? B и ?(A) = 0, то ?1 (A) = 0.
(b) Для любого ? > 0 существует такое ? > 0, что если A ? B и ?(A) < ?,
то ?1 (A) < ?.
(c) Существует такая измеримая неотрицательная функция ? ? L1 (X, ?),
что для любого A ? B
?1 (A) = ? d?.
A
(Эквивалентность (a) и (b) получается несложно. Их эквивалентность (c)
это предмет теоремы Радона–Никодима. (b) напоминает определение абсо-
лютной непрерывности функции.) В этом случае пишут ?1 ?. Функция ?
называется плотностью или производной Радона–Никодима меры ?1 относи-
тельно ?; символически пишут d?1 = ?d? и ? = d?1 . Меры ?1 и ? эквива-
d?
лентны, если ?1 ?и? ?1 . Они (взаимно) сингулярны, если они, так
сказать, “сосредоточены” на непересекающихся множествах; более подробно,
если существует множество A, которое измеримо относительно обеих мер ?
и ?1 (в случае “хороших” пространств с мерой A можно считать борелев-
ским множеством) и ?1 (A) = 0, ?(X \ A) = 0 (как и раньше, X это все
рассматриваемое пространство с мерой).
13 Если имеется несколько слагаемых, изоморфных L2 (S1 , ?) с соответству-

ющим V , то в H однозначно определена прямая сумма H всех таких слага-
емых и число таковых. Сами слагаемые в H могут выделяться по-разному,
но они всегда будут изоморфны L2 (S1 , ?) с одной и той же мерой ? и с соот-
ветсвующим V .
12 О спектральных кратностях в эргодической теории


(с соответствующими ?). Эта неопределенность вызвана тем, что
если другая мера ?1 на S1 эквивалентна ?, то гильбертово про-
странство L2 (S1 , ?1 ) унитарно изоморфно L2 (S1 , ?) посредством
некоторого унитарного отображения, сопрягающего отображения V
в обоих пространствах. Действительно, пусть d?1 = ? d?. Тогда
для любых f, g ? L2 (S1 , ?1 )

v v
f, g = f g d?1 = f g? d? = (f ? )(q ? ) d?,

v
и потому отображение f > f ? является унитарным отображе-
нием L2 (S1 , ?1 ) > L2 (S1 , ?), которое, очевидно, сопрягает отобра-
жение V , действующее в одном пространстве, с отображением V ,
действующем в другом пространстве. Мы видим, что если пря-
мое слагаемое E в разложении H, о котором говорится в спек-
тральной теореме, унитарно эквивалентно L2 (S1 , ?) и при этом
U |E представляется отображением V , то то же самое E унитарно
эквивалентно любому пространству L2 (S1 , ?1 ) с ?1 ? ? (и U |E по
прежнему представляется как V ). Нет оснований предпочесть од-
ну меру ? другим. Таким образом, E соответствует целому клас-
су [?] мер ?1 , которые эквивалентны ?. Вообще (независимо от
спектральной теории) такой класс называется “метрическим ти-
пом”, а в нашем случае мы называем меру ? спектральной мерой
(для U ) и [?] “спектральным метрическим типом”.
Заметим, что если ? ? µ, то ?1 ? µ1 для всех ?1 ? ?, µ1 ? µ.
Поэтому можно говорить о взаимно сингулярных метрических
типах и писать [?] ? [µ].
Может иметься несколько (даже бесконечное счетное число)
ортогональных прямых слагаемых E, отвечающих некоторому
спектральному метрическому типу [?]. Число таких слагаемых
(которое может быть обычным числом или символом ?) назы-
вается (спектральной) кратностью спектральной меры ? и спек-
трального метрического типа [?]. Для других спектральных мет-
рических типов [?1 ] их спектральные кратности будут другими.
После всего сказанного видно, что унитарный оператор U :
H > H полностью характеризуется с точностью до унитарной
эквивалентности следующими “спектральными” данными:
1) конечным или счетным бесконечным множеством S взаим-
но сингулярных спектральных метрических типов;
2) системой спектральных кратностей этих метрических ти-
пов. Это некоторое инъективное отображение m : S > N?{?}.
§ 2. Спектральная теорема 13


Его образ m(S) называется множеством спектральных кратно-
стей для U .
На первый взгляд все это может показаться громоздким, но
в действительности сказанное доставляет для U модель (пря-
мая сумма операторов V действующих в соответствующих про-
странствах L2 ) которая является столь же явной, как в теореме
о жордановой нормальной форме для обычных матриц. Другое
дело, что последняя теорема является более эффективной, ибо
ясно, что для нахождения жордановой нормальной формы на-
до сперва решить некоторое алгебраическое уравнение и затем
решить несколько систем линейных уравнений. Нет нужды го-
ворить, что практически это может оказаться в высшей степени
нетривиальным вычислительная алгебра имеет свои трудности
и свои собственные нетривиальные идеи и методы, которые часто
помогают преодолевать эти трудности. Но все же, для того что-
бы установить жорданову нормальную форму заданной матрицы,
надо ответить на несколько четко сформулированных алгебраи-
ческих вопросов, в каждом из которых фигурирует конечное мно-
жество чисел, тогда как для нахождения спектральных данных
для U с самого начала потребовалось бы отвечать на вопросы, в
которых фигурируют бесконечные множества чисел и операций,
и число таких вопросов может быть бесконечным.
Ясно, что для любых данных указанного выше характера
конечного или счетного бесконечного множества S взаимно син-
гулярных метрических типов и инъективного отображения m :
имеется такой унитарный оператор U , спек-
S > N ? {?}
тральными данными для которого служат как раз S и m. (Дей-
ствительно, возьмем для каждого [?] ? S ортогональную прямую
сумму m([?]) копий L2 (S1 , ?) и затем ортогональную прямую сум-
му всех предыдущих сумм; определим U как прямую сумму копий
операторов V , действующих в соответствующих L2 (S1 , ?).) Но мы
интересуемся такими U , которые возникают как (U f )(x) = f (T x)
для эргодических автоморфизмов “хороших” пространств с мерой
(X, µ), для которых µ(X) = 1. Почти совершенно не известно, ка-
кие (S, m) могут быть спектральными данными для таких U . Но
несомненно, что таким образом реализуются не все (S, m).
В элементарных курсах функционального анализа спектр огра-
ниченного линейного оператора A : H > H определяется как
множество тех комплексных чисел ?, для которых у линейного
оператора A ? ? · id (id тождественное отображение) нет огра-
14 О спектральных кратностях в эргодической теории


ниченного обратного оператора, определенного на всем H 14 . Лю-
бое замкнутое подмножество S1 может быть спектром некоторого
унитарного оператора. Но известно, что для операторов U = UT ,
связанных со многими автоморфизмами T неатомистических про-
странств Лебега, спектром является вся окружность S1 (это верно
как для всех эргодических T , так и для довольно общих неэрго-
дических T ) [12], [13].
Другое ограничение касается собственных значений. В наших
терминах они проявляются как такие точки ? ? S1 , что ?(?) > 0
для некоторой меры ? ? S (в этом случае функция f : S1 > C,
равная 1 при z = ? и 0 для всех остальных z, является ненулевым
собственным вектором оператора V ), но конечно проще говорить
о них на обычном языке: ? тогда и только тогда является соб-
ственным значением, когда существует такая ненулевая функция
f ? L2 (X, µ) (“собственный вектор” или “собственная функция”),
что U f = ?f . В нашем случае (наши ограничения на T включа-
ют эргодичность) все собственные значения являются простыми и
множество всех собственных значений является счетной бесконеч-
ной подгруппой S1 . (Я не привожу простого доказательства этих
фактов ради экономии места и потому, что оно имеется во многих
учебниках по эргодической теории, см., например, [14], [15].)
Говорят, что U имеет дискретный спектр, если у U имеется
полная система собственных функций, т. е. если линейные
комбинации его собственных функций плотны в рассматриваемом
гильбертовом пространстве (в этом случае лучше рассматривать
H = L2 (X, µ)). Тогда m(S) = 1; единственная спектральная
мера дискретна в том смысле, что ее можно представить в
виде (бесконечной) суммы “атомарных” мер, сосредоточенных
на собственных значениях. В этом случае под спектром можно
понимать просто множество S собственных значений (что не
приведет ни к какой утрате информации; однако последнее
относится именно к S, а не к его замыканию). Говорят,
что U имеет непрерывный спектр, если у U нет собственных
функций (кроме констант но в этом случае удобнее выбросить
константы из нашего гильбертова пространства). В этом случае
14 Для унитарного оператора U спектр в этом смысле совпадает с наимень-
шим замкнутым множеством, на котором “сосредоточены” все спектральные
меры. Видно, что при переходе к спектру в этом элементарном смысле утра-
чивается значительная часть информации, содержащейся в полной системе
унитарных инвариантов оператора U в том, что выше названо “спектраль-
ными данными”.
§ 2. Спектральная теорема 15


все спектральные меры непрерывны. С первых лет эргодической
теории известно, что U имеет непрерывный спектр тогда и
только тогда, когда преобразование T слабо перемешивает15 .
Наконец, U имеет смешанный спектр, если его спектр не
является ни дискретным, ни непрерывны, т. е. если имеются
собственные значения (в H = L2 (X, µ) constants), но линейные
комбинации собственных функций не плотны в H. В этом
случае собственные значения по прежнему являются простыми
(из-за нашего обычного условия эргодичности), так что один из
спектральных метрических типов имеет кратность 1 и множество
спектральных кратностей содержит 1.
Отступая на момент в сторону, я напомню теорему Дж. фон
Неймана и П. Халмоша: если эргодические автоморфизмы про-
странств с мерой T : (X, µ) > (X, µ) и T1 : (X1 , µ1 ) > (X1 , µ1 )
имеют одинаковый дискретный спектр (т. е. UT и UT1 имеют оди-
наковый дискретный спектр), то автоморфизмы пространств с
мерой T и T1 “одинаковы с точки зрения теории меры”, т. е. они
сопряжены с помощью некоторого автоморфизма пространств с
мерой S : (X, µ) > (X1 , µ1 ) (в предположении, что рассматрива-
емые пространства с мерой являются “хорошими”). Кроме того,
для любой счетной подгруппы S ? S1 существует такой эргоди-
ческий автоморфизм пространства с мерой T , что UT имеет дис-
кретный спектр S. (Доказательство можно найти в почти любом
учебнике по эргодической теории, например в [14], [15].) Таким
15 Нам это не понадобится, но все же я напомню определение. Сперва
я напомню определение перемешивания (“не слабого”). T обладает этим
свойством, если для любых двух измеримых множеств A, B

µ(T n A ? B) > µ(A)µ(B) при (2)
n > ?.

В случае слабого перемешивания мы требуем м?ньшего
е требуется нечто,
лежащее между (2) и сходимостью левой части (2) к правой части в смысле
Чезаро (последнее было бы равносильно эргодичности):
n?1
1
|µ(T k A ? B) ? µ(A)µ(B)| > 0 при n > ?.
n k=0

(Обе формулировки даны при нашем обычном предположении, что
µ(X) = 1. Если мера µ только конечна, их надо слегка изменить.)
Известно, что слабое перемешивание эквивалентно эргодичности декартова
квадрата T ? T : (X ? X, µ ? µ) > (X ? X, µ ? µ) нашего автоморфизма
пространства с мерой T : (X, µ) > (X, µ). Об этой эквивалентности, как и
об эквивалентности слабого перемешивания непрерывности спектра, см.,
например, [14].
16 О спектральных кратностях в эргодической теории


образом, спектральная идеология доставляет очень удовлетвори-
тельную трактовку ДС с дискретным спектром. В общем же слу-
чае из того факт, что два унитарных оператора UT и UT1 унитарно
эквивалентны, не следует, что соответствующие T и T1 сопряже-
ны посредством некоторого автоморфизма пространств с мерой.
Иными словами, в общем случае спектральные данные для UT не
характеризуют однозначно ДС {T n }.
Если множество спектральных кратностей есть {1}, т. е. ес-
ли в разложении пространства H, обеспечиваемом спектральной
теоремой, все H изоморфно некоторому L2 (S1 , ?), то говорят, что
спектр простой. Если H является прямой суммой нескольких
L2 (S1 , ?) с одной и той же ?, т. е. если S состоит ровно из одного
элемента, иными словами, если множество спектральных кратно-
стей есть {n} с некоторым n ? N ? {?}, то говорят, что спектр
однороден. Таким образом, простой спектр является однородным,
но обратное неверно.
Ослабляя формулировку проблемы “какие (S, m) могут реа-
лизовываться как спектральные данные для некоторого U рас-
сматриваемого типа”, можно отказаться от предписывания спек-
тральных мер и спрашивать только о множествах спектральных
кратностей. Это значит, что дано непустое A ? N ? {?}, и спра-
шивается, существует ли такой автоморфизм пространства с ме-
рой T , что спектральные данные для U = UT это некоторое
(S, m) с m(S) = A?
В. А. Рохлин поставил следующий вопрос16 , являющийся част-
ным случаем этой проблемы: существует ли T , для которого мно-
жество спектральных кратностей есть {2}? В таком случае H
было бы изоморфно прямой сумме двух экземпляров простран-
ства L2 (S1 , ?) с некоторой мерой ?, причем этот изоморфизм (в
понятном смысле) переводил бы UT в наше обычное V . Таким
образом, в этом вопросе речь идет об однородном спектре крат-

16 А. М. Вершик, бывший студентом Рохлина, написал мне: “I am sure that
there were no such questions in the papers by V.A.R. But on the seminar this
question appeared.” Согласно Вершику, это произошло в конце 60-х гг. Но
Рохлин вполне мог и ранее обратить внимание на этот вопрос, и он мог
сформулировать его не только на семинаре, о котором говорил Вершик (и
который работал в Ленинграде), но и где-нибудь еще скажем, при посеще-
нии Москвы (где однажды он даже прочел длинный курс лекций об ЭТ) или
на какой-нибудь конференции. Мои “эргодические” приятели в Москве при-
писывают этот вопрос Рохлину; как могло бы случиться, что все они знают
о замечании, сделанном в другом городе?
§ 2. Спектральная теорема 17


ности 2. Такой спектр заведомо был бы непрерывным уже гово-
рилось, что при наличии собственных значений некоторая спек-
тральная мера имела бы кратность 1. В то время уже было извест-
но, что {1}, {?} и {1, ?} могут быть реализованы как множества
спектральных кратностей для некоторых T ; возможно, были из-
вестны и некоторые другие случаи (довольно изолированные). Не
имелось глубоких причин рассматривать случай множества спек-
тральных кратностей {2} как нечто, имеющее особую важность.
Если бы некий оракул сообщил вам ответ для этого случая, я не
вижу, какие полезные выводы можно было бы сделать на основе
этой информации. Но в некотором смысле случай {2} выглядит
как следующий случай после {1}, поэтому Рохлин интересовался
специально случаем {2}. Я думаю, он чувствовал, что это первый
случай, где для ответа на вопрос нужны какие-то новые идеи, по-
строения и т. д., которые могут оказаться полезными и для дру-
гих целей.
Положительный ответ на вопрос Рохлина получили одновре-
менно и независимо О. Н. Агеев [16] и В. В. Рыжиков [17]. Их
методы несколько различались. Я изложу несколько упрощенный
вариант работы Агеева.
Помимо ответа на вопрос Рохлина, Агеев и Рыжиков полу-
чили несколько смежных результатов, подтвердив тем самым то
представление о роли этого вопроса, которое, как я думаю, бы-
ло у Рохлина. (Первый результат такого рода содержался уже
в [16] и [17], см. ниже; другие результаты принадлежат Агее-
ву [18], [19], [20].) Но здесь я рассматриваю только построение
примера, о котором спрашивал Рохлин.
И Агеев, и Рыжиков построили желаемый автоморфизм про-
странства с мерой как декартов квадрат17

T ?T : (X ?X, µ?µ) > (X ?X, µ?µ), (T ?T )(x, y) = (T x, T y)

некоторого вспомогательного автоморфизма пространства с ме-
рой T : (X, µ) > (X, µ), имеющего следующие специальные свой-
ства:
a) T эргодичен и имеет простой спектр (т. е. его множество
спектральных кратностей это {1}). Кроме того, его спектр чи-
сто непрерывен (иными словами, T слабо перемешивает).
17 Я думаю, А. Б. Каток первым заподозрил, что некоторый декартов квад-
рат может быть полезным в этом отношении.
18 О спектральных кратностях в эргодической теории


b) Для U = UT существует такая последовательность нату-
ральных чисел lk > ?, что U lk слабо сходится к 1 (id + U ) при
2
k > ?. (Иными словами, для любых f, g ? H скалярное произ-
ведение U lk f, g > 2 f + 1 U f, g .)
1
2
Построение такого T целиком относится к тому, что выше я
назвал третьим этапом развития ЭТ. Преобразование T , которое
мы построим, это частный случай так называемых “автомор-
физмов ранга 1”. Я не буду определять это понятие18 , но я от-
мечу без каких-либо объяснений, что a) свойственно всем таким
автоморфизмам, за исключением утверждения о непрерывности
спектра. Автоморфизм ранга 1 вполне может иметь дискретный
спектр. Но часто построение автоморфизма ранга 1 включает
“нечто”, обеспечивающее непрерывность спектра. Поэтому заме-
чание, что спектр T непрерывен, тоже может (неформально) рас-
сматриваться как нечто, имеющее общий характер (при построе-
нии автоморфизмов ранга 1). Однако в нашем случае об этом не
надо специально заботиться, потому что эргодичность и b) легко
приводят к непрерывности спектра:
если U f = ?f и f = 1, то известно, что |?| = 1; значит,

1
1 = |?lk | = | U lk f, f | >
( id + U )f, f
2
1 1 1
= (1 + ?)f = |1 + ?|, |1 + ?| = 1.
2 2 2

Поскольку |?| = 1, из последней формулы следует, что ? = 1. Но
для эргодического T единственными собственными функциями
с собственным значением 1 (т. е. единственными инвариантными
функциями) являются константы, которые мы удалили из нашего
пространства H = L2 (X, µ) {constants}.
Во второй части решения задачи Рохлина доказывается, что
если T имеет свойства a) и b), то у T ? T множество спектраль-
ных кратностей есть {2}. Эта часть основана на функционально-
аналитических идеях и методах спектрального характера. Если
бы кто-нибудь знал о существовании T с подходящими свойства-
18 См. [3], где дано несколько эквивалентных определений. (Излагая их, Фе-
ренчи говорит, что эта тема является “ночным кошмаром для лектора”. Воз-
можно, это так из-за того, что доказательство их эквивалентности длинное
и утомительное, тогда как на этой стадии аудитория еще не видит, действи-
тельно ли полезно иметь все эти определения, т. е. будут ли вознаграждены
мучения слушателей.)
§ 2. Спектральная теорема 19


ми, он смог бы провести вторую часть рассуждений в 30-х гг.
Но в то время не было даже известно, существует ли T с про-
стым непрерывным спектром. Первые примеры такого рода по-
явились около 1960 г. И даже в 60-х гг. свойства, аналогичные
w w
“U lk > 1 (id + U )” (где > обозначает, конечно, слабую сходи-
2
мость) не обсуждались. По этой причине не было оснований об-
суждать, какие заключения о T ? T можно сделать, если у нас
есть T , удовлетворяющее a) и b).
На самом деле в [16] и [17] доказано, что те T , для которых
T ? T имеет спектральную кратность 2, “типичны” в следую-
щем смысле (обычном в абстрактной ЭТ): они образуют остаточ-
ное множество в пространстве всех автоморфизмов X (где X по
прежнему изоморфно интервалу), снабженном известной слабой
топологией. Это намного больше, чем только утверждение о су-
ществовании подходящего T , которое будет доказано в настоящей
работе. Но будучи более сложными, построения в [16] и [17] тем
не менее не очень далеки от наших: по существу, Агеев и Рыжи-
ков доказывают, что любое T можно “слегка изменить” так, что
оно станет напоминать то отображение, которое мы построим.
20 О спектральных кратностях в эргодической теории


§ 3. Циклические элементы и циклические
подпространства
Помимо самой спектральной теоремы, нам понадобится пара
связанных с ней понятий и фактов; они фигурируют в ее
доказательстве, но также могут и будут использоваться более или
менее независимо от нее. Хотя для того, чтобы сформулировать
задачу о спектральных кратностях и обсудить ее значение,
было необходимо сперва сформулировать спектральную теорему,
при доказательстве свойств T и T ? T , указанных в § 2, мы
будем использовать не эту теорему, а содержание настоящего
параграфа. Мы по прежнему имеем дело с унитарным линейным
оператором U : H > H.
Пусть f ? H. Замкнутое линейное подпространство H 19
Z(f ) = clos Span{U n f ; n ? Z}
называется циклическим подпространством, порожденным f , а f
называется циклическим элементом, порождающим это подпро-
странство. Эти понятия зависят также от оператора U . Если мы
хотим указать эту зависимость, то можно писать Z U (f ). Но обыч-
но циклические подпространства и векторы используются в рас-
суждениях, в которых U все время одно и то же, так что нет
нужды упоминать об U , говоря о Z(f ).
Z(f ) (двусторонне) инвариантно относительно U , т. е. U Z(f ) =
Z(f ). Действительно, U ±1 переводит любую линейную комбина-
цию векторов U n f в аналогичную линейную комбинацию. Пере-
ходя к замыканию, мы видим, что U Z(f ) ? Z(f ) и U ?1 Z(f ) ?
Z(f ); из последнего следует, что Z(f ) ? U Z(f ).
19 Здесь через Span B для любого B ? H обозначается векторное подпро-
странство в алгебраическом смысле, порожденное элементами B, т. е. мно-
жество всех конечных линейных комбинаций этих элементов, а clos означает
замыкание.
Имея дело с гильбертовым пространством, используют два типа сходимо-
сти: сходимость по норме (fn > f , если fn ? f > 0) и слабую сходимость
w
(fn > f , если fn , g > f, g для всех g ? H). Стоит уже сейчас отметить,
что замыкания алгебраического векторного подпространства L ? H в смысле
этих двух типов сходимости совпадают. Действительно, пусть clos L означает
замыкание в смысле сходимости по норме. Предел последовательности эле-
ментов L является также слабым пределом, так что замыкание в смысле
слабой сходимости не может быть меньше, чем clos L. Пусть теперь fn ? L и
w
fn > f . Имеем f = f + f с некоторыми f ? clos L, f ? clos L. Поскольку
= f 2,
fn ? L, то все fn , f = 0. Но в то же время fn , f > f, f
поэтому f = 0 и f ? clos L.
§ 3. Циклические элементы 21


Циклические подпространства пространства H суть в точно-
сти те подпространства E, которые изоморфны L2 (S1 , ?) (с неко-
торой мерой ?) посредством такого унитарного изоморфизма W ,
что V ? W = W ? (U |E). В одну сторону это тривиально. Дей-
ствительно, в L2 (S1 , ?) функции V n 1 суть функции z > z n на S1 ,
так что Span V n 1 является пространством тригонометрических
полиномов, а замыкание последнего, как известно, совпадает со
всем L2 (S1 , ?). Мы видим, что L2 (S1 , ?) = Z V (1). Если W : E >
L2 (S1 , ?) такой унитарный изоморфизм, что V ?W = W ?(U |E),
то линейные комбинации векторов U n W ?1 (1) = W ?1 V n (1) плот-
ны в E. Значит, E = Z U (f ) с f = W ?1 (1).
Доказательство в другую сторону не столь тривиально. Здесь
надо использовать теорему Герглотца о так называемых позитив-
ных последовательностях. Я напомню это понятие и эту теорему.
“Двусторонняя” последовательность комплексных чисел {an ;
n ? Z} называется позитивной, если для любой последовательно-
сти {zn ? C; n ? Z}, в которой только конечное число zn = 0,

(3)
an?m zn zm 0
n,m

(на самом деле это конечная сумма, так что не возникает во-
проса о сходимости. (3), конечно, включает утверждение, что
n,m an?m zn zm ? R.) Согласно Герглотцу, для любой такой по-
следовательности {an } существует единственная мера ? на S1 ,
такая, что an = S1 z n d?(z) при всех n. (Для самого Герглот-
ца ? была функцией распределения на [0, 2?] (т. е. неубывающей
функцией, которая непрерывна слева и для которой ?(0) = 0);
2?
1
он писал an = 2? 0 ein? d?(?), понимая интеграл как интеграл
Стилтьеса.) В частности, a0 = d? = ?(S1 ), так что мера ? ко-
нечна.
Пусть E = Z(f ). Последовательность чисел an = U n f, f по-
зитивна. Действительно, an?m = U n?m f, f = U n f, U m f ,
2
n
an?m zn zm = zn U f 0.
n,m

Значит, существует единственная мера на S1 , которую мы те-
перь обозначим через ?f (вместо ?) и для которой все U n f, f =
n
S1 z d?f (z). В частности, эта мера конечна. Она называется спек-
тральной мерой для элемента f , а ее максимальный спектральный
22 О спектральных кратностях в эргодической теории


тип [?f ] спектральным метрическим типом циклического про-
странства E, порожденного f . (Этот метрический типа не зависит
от выбора циклического элемента, порождающего E: можно до-
казать, что если Z(f ) = Z(g), то ?f ? ?g .) Мы можем теперь
уточнить утверждение, что циклическое пространство Z(f ) уни-
тарно изоморфно некоторому L2 (S1 , ?): оно изоморфно простран-
ству L2 (S1 , ?f ), где ?f спектральная мера для циклического
элемента f , порождающего E.
Мы хотели бы установить унитарный изоморфизм W : E >
21
L (S , ?f ), продолжив отображение

U nf > zn (4)

сперва линейно на Span{U n f } и затем по непрерывности на его
замыкание E. Это кажется удачной идеей, потому что20

U n f, U m g = zn, zm
H L2 (S1 ,?f )

(это просто перефразировка теоремы Герглотца), откуда легко
следует, что для любых конечных линейных комбинаций

an U n f ? bm U m f an z n ? bm z m . (5)
=
H L2 (S1 ,?f )
n m n m

Но имеется препятствие к этому плану: может случиться, что век-
торы {U n f } не являются линейно независимыми; даже хуже, мо-
жет случиться, что некоторое U n f совпадает с некоторым U m f ,
тогда как n = m, тогда не ясно, является ли отображение (4)
корректно определенным.
На самом деле такой случай для нас не интересен, ибо легко
доказать, что в этом случае векторное пространство Span{U n f }
конечномерно. Следовательно, оно совпадает с E и U |E является
конечномерным унитарным оператором, который должен иметь
полную систему собственных векторов. Но в настоящей работе
мы интересуемся случаем, когда у U нет собственных значений.
Однако утверждение, которое гласило бы, что E ? L2 (S1 , ?f ),
за исключением некоторого случая (причем этот случай ко-
нечномерный и потому более простой!) выглядело бы несколько
неестественным, неуклюжим и неприятным. Простой трюк позво-
ляет обойти указанное препятствие и доказать наше утверждение
20 Нижние индексы напоминают, где мы берем скалярное произведение или
нормы.
§ 3. Циклические элементы 23


(о функциональной модели для циклического пространства) без
каких-либо исключений.
Обозначим через L векторное пространство таких “двусторон-
них” последовательностей {an ? C; n ? Z}, у которых только
конечное число “координат” an = 0. Пусть у ln ? L n-я коорди-
ната равна 1, а остальные координаты равны 0. Эти ln образуют
базис пространства L в алгебраическом смысле, т. е. любое a ? L
можно представить как линейную комбинацию нескольких ln и
это можно сделать единственным образом. Определим линейные
отображения

A : L > Span{U n f }, B : L > Span{z n },

задав их на базисе:

A(ln ) = U n f, B(ln ) = z n .

Тогда (5) утверждает, что

при любых
A(a) ? A(b) = B(a) ? B(b) a, b ? L,
H L2 (S1 ,?f )


и поэтому ядра Ker A = Ker B. Теперь у нас получаются биекции

Span{U n f } < L/Ker A = L/Ker B > Span z n ,

и мы видим, что наша программа работает, т. е. что линейное
отображение W : Span{U n } > Span{z n }, удовлетворяющее (4),
корректно определено, даже если U n f линейно зависимы. (5) озна-
чает, что это изометрия. Наконец, изометрическое линейное отоб-
ражение единственным образом продолжается до изометрии за-
мыканий
W
Z(f ) = clos Span{U n f } > clos Span{z n } = L2 (S1 , ?f ).

Так как W линейно на Span{U n f } и является изометрией, то

W (lim gn + lim hn ) = lim W gn + lim W hn ,
W (? lim gn ) = ?W (lim gn ) (? ? C)

(предполагается, что пределы в левых частях существуют; то-
гда пределы в правых частях тоже существуют). Это означает,
24 О спектральных кратностях в эргодической теории


что W линейное отображение. Но комплексно-линейное отоб-
ражение, которое является изометрией и оттого сохраняет нор-
мы векторов, сохраняет также эрмитово скалярное произведение
(т. е. унитарно). Это следует из формул
2 2 2
g+h =g +h + g, h + h, g
2 2
=g +h + 2 Re g, h ,
2 2 2
g + ih =g +h + 2 Re g, ih
2 2
=g +h + 2 Re(?i g, h )
2 2
=g +h + 2 Im g, h

(сохранение g , h , g + h и g + ih при отображении W обес-
печивает сохранение Re g, h и Im g, h ).
Мы резюмируем:

существует такой унитарный изоморфизм
?
W : Z(f ) > L2 (S1 , ?f )
(6)
что
U n g, h = S1 z n (W g)(W h) d?f для всех g, h ? Z(f ).

Позднее мы используем следующее замечание. Z(f ) порожда-
ется не только элементом f , но и многими другими элементами
множество {g; Z(g) = Z(f )} плотно в Z(f ). В терминах нашей
“функциональной модели” L2 (S1 , ?f ) (в которой U заменено на V )
L2 -функция g на S1 порождает L2 (S1 , ?f ) тогда и только тогда,
когда произведения21

(тригонометрический полином от z) · g(z) (7)

плотны в L2 (S1 , ?f ). (Такие произведения это в точности линей-
ные комбинации членов вида V n g.) Ясно, что если 1 ? Z V (g), то
любую линейную комбинацию функций V n 1 = z n можно прибли-
зить функциями (7), и получается, что Z(g) = Z(1) = L2 (S1 , ?f ).
Если g ? L2 (S1 , ?f ) и

для всех z ? S1 , (8)
0<m |g(z)| M
21 Здесь я использую выражение “тригонометрический полином” для функ-
ции на S1 , которая становится тригонометрическим полиномом от ?, если
ограничение на S1 мно-
заменить z на ei? . Можно также сказать, что это
1
гочлена Лорана (т. е. многочлена от z, z ).
§ 3. Циклические элементы 25


1 1 1 21
то m |g| , g ? L (S , ?f ), и если p(z) тригонометрический
1
полином, аппроксимирующий g (в нашей L2 -норме) с точностью
?
до M , то

1
1 ? p(z)g(z) = g(z) ? p(z)g(z)
g(z)
1 1
= g(z) ? p(z) M ?p ?.
g(z) g

Но функции g, удовлетворяющие (8) с некоторыми m > 0 и M ,
плотны в L2 (S1 , ?f ).
Мы используем это замечание, чтобы доказать следующее до-
статочное условие простоты спектра, в котором предполагается,
что нам дано некоторое плотное подмножество F ? H: для любых
f, g ? F и любого ? > 0 существует такое h ? H, что расстояния
d(f, Z(h)) < ?, d(g, Z(h)) < ?. Ясно, что это условие является
также и необходимым, ибо в случае простого спектра имеется да-
же такое h, что для любого f ? H расстояние d(f, Z(h)) = 0!
Последнее утверждение просто повторяет определение простого
спектра. Наше достаточное условие ослабляет это утверждение в
трех отношениях: f , g не должны быть произвольными элемен-
тами из H, но только из F ; h может зависеть от f , g, ?; вместо
d = 0 мы требуем только, чтобы было d < ?. В то же время новой
чертой нашего достаточного условия является то, что линейные
комбинации элементов U n h аппроксимируют не отдельные эле-
менты f , а пары f и g.
Чтобы доказать достаточность этого условия, мы покажем,
что для любых f ? F, ? > 0 множество

{h ? H; d(f, Z(h)) < ?}

является открытым плотным подмножеством пространства H.
То, что оно открытое, очевидно (если расстояние между f и неко-
торой линейной комбинацией элементов U n h меньше ? и если
слегка изменить h, то эта линейная комбинация изменится столь
мало, что расстояние останется < ?). Чтобы доказать плотность,
надо показать, что возле заданного g ? H можно найти такое h1 ,
для которого d(f, Z(h1 )) < ?. Будем обозначать r-окрестность
точки p через Ur (p). В U?/2 (g) имеется некоторое g1 ? F. При
? ?
некотором h мы имеем d(f, Z(h)) < 2 < ? и d(g1 , Z(h)) < 2 . Из
26 О спектральных кратностях в эргодической теории


последнего неравенства вместе с g1 ? U?/2 (g) следует, что множе-
ство Z(h) ? U? (g) = ?. Это множество является подмножеством
подпространства Z(h), открытым в топологии Z(h) (ибо откры-
тые множества этой топологии суть пересечения Z(h) с открыты-
ми подмножествами H). А раз те h1 , которые порождают Z(h),
плотны в Z(h), то существует такое h1 , принадлежащее непусто-
му открытому подмножеству Z(h) ? U? (g) подпространства Z(h).
Раз Z(h1 ) = Z(h), то расстояние d(f, Z(h1 )) = d(f, Z(h)) < ?.
Возьмем теперь счетное подмножество {fn } ? F, плотное в H.
Тогда множество

1
h; d(fn , Z(h)) <
m
n,m

является пересечением счетного числа открытых плотных под-
множеств H. Такие пересечения называются остаточными мно-
жествами, и во всех полных метрических пространствах они не
1
пусты (теорема Бэра). Если h ? n,m {h; d(fn , Z(h)) < m }, то при
1
любом n расстояния d(fn , Z(h)) меньше любого m , а это означа-
ет, что эти расстояния равны нулю. Итак, все fn ? Z(h), а так
как множество {fn } плотно в H, то Z(h) оказывается замкнутым
плотным подмножеством H, т. е. оно совпадает с H.
§ 4. Построение автоморфизма T 27


§ 4. Построение вспомогательного
автоморфизма T
Пространство (X, µ), где будет определено T , является некото-
рым конечным отрезком [0, a] с мерой Лебега. Конечно, µ(X) = a,
что = 1, но тривиально нормализовать меру после того, как все
будет определено.
T будет определяться шаг за шагом на некоторых частях Yn
отрезка X, где n ? Z+ ; {Yn } растущая система отрезков, при-
чем Yn = X. На каждом шаге мы будем иметь дело преимуще-
ственно с несколько б?льшим интервалом Xn = [0, an ]. Здесь
о

0 < a0 < a1 < · · · < an < · · · , a = sup an < ?.

Построение будет таким, что Yn+1 ? Xn , так что в конце концов T
будет определено всюду. На каждом шаге будет играть важную
роль некоторое число dn . Оно очень мало, т. е. числа dn очень
быстро стремятся к нулю при n > ?. В некоторых конструк-
циях такого типа практически невозможно сказать что-либо бо-
лее конкретное о dn , за исключением того, что при любом n они
должны удовлетворять некоторым сильным условиям малости,
зависящим от того, что было сделано на предыдущих шагах кон-
струкции (в то же время на каждом шаге dn подчинено только
некоторым полуявным оценкам сверху; поэтому в выборе этих dn
остается большая свобода). В нашем случае мы можем быть бо-
1
лее конкретными можно взять dn = (2n+1)!! . Мы начнем с
a0 = d0 = 1 и примем

an = an?1 + (n + 1)dn (n ? N).

Ясно, что разности an ? an?1 убывают очень быстро, и потому
a < ?, как и было сказано. Что касается Yn (где на n-м шаге
будет определено Tn ), то будет Yn = [0, an ? dn ]. Мы видим, что
действительно Yn+1 ? Xn .
До сих пор ничего не было сказано о нашем главном персо-
наже отображении T . Мы определим некоторые Tn : Yn > Xn .
На n-м шаге определение будет согласовываться с предыдущими
шагами в том смысле, что Tn |Yn?1 = Tn?1 . (На каждом шаге мы
просто продолжаем определение уже построенного отображения
на б?льшее множество, не меняя его значений в тех точках, где
о
отображение было определено раньше.)
28 О спектральных кратностях в эргодической теории


Отображение Tn : Yn > Xn будет линейным на некоторых под-
отрезках (с угловым коэффициентом 1) и разрывным в концах
этих подотрезков. В принципе, его можно было бы определить
в терминах, относящихся к Xn . Но такое определение было бы
громоздким, запутанным и “ничего не говорило бы ни уму, ни
сердцу”, его “движущие пружины” оставались бы скрытыми.




Рис. 1


Например, на рис. 1 я изобразил график T2 . Глядя на него,
едва ли можно догадаться, как строить остальные Tn и почему T
будет иметь желаемые свойства. Построение Tn легко понять в
терминах, связанных с другими пространствами с мерой Xn , Xn ,
Yn , Yn , которые изоморфны Xn , Yn . Эти новые пространства с ме-
§ 4. Построение автоморфизма T 29


рой будут состоять из нескольких отрезков на плоскости; говоря
о мере в них, мы имеем в виду меру, слагающуюся из мер Лебега
на этих отрезках. (Но в то время как Xn и Yn являются частями
фиксированного пространства с мерой X, пространства “со штри-
хами” не являются частями каких-то X , X . В этом отношении
можно сказать, что они несколько “эфемерны” они использу-
ются при построении отображений Tn : Yn > Xn , Tn : Yn > Xn ,
которые, так сказать, являются отображением Tn , описанным в
терминах пространств “со штрихами”, но “штрихованные” про-
странства с следующим номером строятся заново на следующем
шаге построения.) Построение осуществляется по индукции, его
шаги нумеруются неотрицательными целыми числами. В прин-
ципе, надо описать только 0-й шаг и переход от n ? 1 к n, но что-
бы дать некоторое ощущение того, что делается, мы рассмотрим
также 1-й и 2-й шаги, прежде чем сформулируем, как происходит
переход от n ? 1 к n.
На 0-м шаге мы полагаем X0 = X0 = X0 ? {0} =
[0, 1] ? {0}, Y0 = Y0 = Y0 = ?, так что у нас нет отображений T0 ,
T0 и T0 , т. е. они вообще не определены. Обозначим через ?0 , ?0 и
?0 разбиения пространства X0 , соответственно, X0 и X0 , состоя-
щие из единственного элемента самого этого пространства.
На 1-м шаге мы имеем X1 = X0 ? 1, 5 , так что X1 получается
3
из X0 добавлением отрезка, примыкающего к правому концу от-
резка X0 и имеющего длину 2 . Определим X1 как подмножество
3
плоскости R2 , получающееся из X0 = X0 ? {0}22 при добавле-
нии отрезка, который имеет ту же длину 2 , но расположен над
3
правой частью X0 на уровне y = 1:
1
X1 = ([0, 1] ? {0}) ? , 1 ? {1} .
3
На следующих шагах построения мы тоже будем добавлять
нечто к Xn?1 и это “нечто” тоже будет расположено над Xn?1 .
В нашем построении это “нечто” будет отрезком, но в других
конструкциях сходного характера добавляемое множество может
иметь другую форму. Эти новые множества (которые добавля-
ются к уже построенному на предыдущем шаге множеству Xn?1
и которые расположены выше него) называются “прокладками”
22 X это то же самое, что и X0 , но я говорю об X0 , потому что позднее
0
мы будем строить Xn с n > 1, добавляя нечто к множеству Xn?1 , которое
на более поздних шагах нашей конструкции будет отличаться от Xn?1 .
30 О спектральных кратностях в эргодической теории


(“spacers”)23 . Обозначим очевидный изоморфизм пространств с
мерой X0 > X0 через I1 :
?
при x ? [0, 1] = X1 ,
?(x, 0)
I1 (x) = 2 5
при x ? 1,
? x ? ,1 = X2 \ X1 .
3 3

Теперь разделим отрезок [0, 1] оси x на 3 подотрезка равной дли-
1
ны d1 = 3
[0, d1 ], [d1 , 2d1 ], [2d1 , 1]
и проведем вертикальные линии через концы этих подотрезков.
Эти линии делят X1 на три подколонны
1 2 3
C1 = [0, d1 ]?{0, 1}, C1 = [d1 , 2d1 ]?{0, 1}, C1 = [2d1 , 1]?{0, 1}.




Рис. 2


Кроме X1 , мы будем использовать также множество X1 =
[0, d1 ]?{0, 1, 2, 3, 4} (рис. 2). Оно состоит из 5 “этажей” [0, d1 ]?{i},
i ? {0, . . . , 4}. Обозначим через h1 = 5 “вышину” “колонны” 24 X1
23 В данный момент эта “прокладка” выглядит скорее как “покрышка”,
нежели прокладка (в обычном разговорном смысле). Позднее она будет пе-
ремещена внутрь рассматриваемого пространства и тогда станет больше на-
поминать обычную прокладку.
24 Колонну называют также “башней”. Однако последний термин иногда

употребляют для системы из нескольких колонн, так что для безопасности
я говорю о колоннах.
§ 4. Построение автоморфизма T 31


(в том же стиле мы могли бы принять h0 = 1) и через ?1 разби-
ение X1 на “этажи”, которые в этой связи мы будем обозначать
i
через C? :
1


i
C?1 = [0, d1 ] ? {i ? 1}, i = 1, . . . , 5.

Определим изоморфизм пространств с мерой J1 : X1 > X1
1
очень естественным образом. C1 является “дном” X1 , и мы при-
1 2
мем, что J1 |C1 тождественное отображение. Перемещая C1 как
1 1
твердое тело, поместим его над J1 (C1 ) = C1 так, что “нижний
2
этаж” C1 перейдет в [0, d1 ]?{1} (т. е. в тот “этаж” колонны X1 , ко-
торый расположен непосредственно над единственным “этажом”
1
“подколонны” C1 ). Это приводит к отображению
2 2
J1 |C1 : C1 > X1 (x, y) > (x ? d1 , y + 1).
3 1 2
Перемещая C1 как твердое тело, поместим его над J1 (C1 ? C1 );
3
тем самым J1 продолжается на C1 как
3 3
J1 |C1 : C1 > X1 (x, y) > (x ? 2d1 , y + 3).

Обозначим через ?1 разбиение X1 , являющееся прообразом раз-
биения ?1 при отображении J1 , т. е. разбиение множества X1 на
?1
i i
элементы C? = J1 (C? ), и через ?1 разбиение X1 , являющееся
1 1
прообразом разбиения ?1 при отображении I1 , т. е. разбиение X1
?1
i i
на элементы C?1 = I1 (C? ). Ясно, что
1


1 2 3
C?1 = [0, d1 ] ? {0}, C?1 = [d1 , 2d1 ] ? {0}, C?1 = [d1 , 2d1 ] ? {1},
4 5
C?1 = [2d1 , 1] ? {0}, C?1 = [2d1 , 1] ? {1}

5
и что ?1 является разбиением множества X1 = 0, 3 на отрезки
[(j ? 1)d1 , jd1 ] = j?1 , 3 . Но номер i элемента
j
3

i
(9)
C?1 = [(j ? 1)d1 , jd1 ]
3
может отличаться от j. C? содержится в прокладке, которая яв-
1
?1
ляется частью X1 , имеющей высоту y = 1; при отображении I1
эта часть соответствует части X1 , добавленной к X0 ; отсюда вид-
но, что при i = 3 в (9) должно быть j 4, а не j = 3. А следующий
4
элемент C? содержится в части X1 , имеющей высоту y = 0; при
1
32 О спектральных кратностях в эргодической теории


?1
отображении I1 эта часть соответствует X0 ; поэтому при j = 4
в (9) должно быть j 3. Легко найти соответствие между i и j
оказывается, что
1 2 3
C?1 = [0, d1 ], C?1 = [d1 , 2d1 ], C?1 = [3d1 , 4d1 ],
4 5
C?1 = [2d1 , 3d1 ], C?1 = [4d1 , 5d1 ].

Но нет необходимости подробно вникать в подобные детали. Важ-
но только понимать, что j может отличаться от i. Конечно, для
некоторых i может случиться, что i = j; позднее мы используем,
что это так для первого и последнего элементов ?1 , т. е. для i = 1
и i = 5.
Чтобы покончить с понятиями, связанными с первым шагом,
положим Y1 = [0, d1 ]? {0, 1, 2, 3} (это X1 без его “верхнего этажа”
[0, d1 ] ? {4}). Определим отображение T1 : Y1 > X1 как верти-
кальный сдвиг на 1:

T1 (x, y) = (x, y + 1) (0 y 4).

Наконец, “перенесем” это отображения в X1 и X1 , где получаются
отображения T1 и T1 , сопряженные с T1 посредством отображе-
ний J1 и J1 I1 . (T1 и T1 это, так сказать, просто отображение
T1 , если отождествлять X1 и X1 с X1 посредством изоморфиз-
мов J1 и J1 I1 .) Но здесь нужна некоторая осторожность, потому
что T1 не определено на всем X1 , поэтому нельзя просто напи-
?1 ?1
сать T1 = J1 T1 J1 , T1 = I1 T1 I1 . Или же, если мы все-таки так
пишем, мы должны поинтересоваться, где определены эти ком-
?1
позиции. T1 определено на части Y1 = J1 (Y1 ) пространства X1 ,
которая получается из X1 при удалении правой части [2d1 , 1]?{1}
“верхнего этажа” множества X1 . Действительно, [2d1 , 1] ? {1}
3
это “верхний этаж” в C1 , который является в точности прообра-
3
зом “верхнего этажа” [0, d1 ]?{4} множества J1 (C1 ) или, что то же
самое, “верхнего этажа” колонны X1 ; а “верхний этаж” X1 это
единственная часть X1 , где T1 не определено. Значит, мы впра-
?1
ве написать T1 = J1 T1 (J1 |Y1 ), и это можно понимать букваль-
но. Также, отрезок [2d1 , 1] ? {1} является образом правой части
[a1 ? d1 , a1 ] отрезка X1 при отображении I1 . Поэтому Y1 = I1 (Y1 )
(напомним, что Y1 = [0, a1 ? d1 ]) и композиция T1 определена
?1

стр. 1
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ

>>