<<

стр. 2
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

на Y1 . Можно написать T1 = I1 T1 (I1 |Y1 ).
i
Как T1 действует на элементы C?1 разбиения ?1 ? Элементы
i
разбиения ?1 суть “этажи” колонны X1 и номер i элемента C?
1
§ 4. Построение автоморфизма T 33


равен его “высоте” (над осью x) плюс 1. Вертикальный сдвиг
i+1
i
увеличивает “высоту” этажей X1 на 1; значит, T1 C? = C? ,
1 1
h
если только 1 i < h1 (на последнем элементе C? 1 отобра-
1
i?1
?1 i
жение T1 не определено). Кроме того, (T1 ) C? = C? , если
1 1
h1 (обратное отображение (T1 )?1 не определено
только 1 < i
1
на “нижнем этаже” [0, d1 ] ? {0} = C? , а вне этого этажа дан-
1
ное отображение это в точности вертикальный сдвиг на ?1 ,
уменьшающий высоту на 1). Отсюда следует, что действие T1 и T1
на элементы разбиений ?1 и ?1 описывается аналогичными фор-
мулами (суть дела в том, что эти отображения те же самые,
что T1 , если отождествить X1 и X1 с X1 посредством изоморфиз-
мов пространств с мерой J1 и J1 I1 , а ?1 и ?1 с этой точки зрения
те же самые разбиения, что и ?1 ; нумерации их элементов тоже
одинаковы). Отсюда следует, что
j i+j
i
когда 1
T1 (C?1 ) = C?1 , i+j h1 = 5.
Описание T1 лишь немногим сложнее описания T1 . T1 сдвига-
ет точку (x, y) ? X1 на 1 по вертикали, если образ (x, y + 1) этой
точки принадлежит X1 . В противном случае T1 переводит (x, y)
в точку “нижнего этажа” X1 , увеличивая x на d1 , т. е. T1 (x, y) =
(x + d1 , 0) (так что если точка (x, y) лежит на “верхнем этаже”
i
подколонны C1 , то ее образ лежит в “нижнем этаже” следую-
щей подколонны), если только последняя точка принадлежит X1 .
3
Для точек (x, y) “верхнего этажа” [2d1 , 1] ? {1} подколонны C1
ни одно из этих предписаний не работает точки (x, y + 1) и
(x + d1 , 0) обе находятся вне X1 . Для таких точек (x, y) мы не
определяем T1 (x, y).
На 2-м шаге X2 получается при добавлении к X1 проклад-
ки еще одного “этажа” [2d2 , d1 ] ? {5} (который не полностью
покрывает X1 ). Имеем очевидные изоморфизмы I2 : X2 > X2
пространств с мерой:
?
5
при x ? X1 = 0,
?J I (x) = [0, a1 ],
?11
? 3
?
?
?
?
23
I2 (x) = x? , 5 = (x ? a1 + 2d2 , 5)
15
?
?
?
5 28
?
?
при x ? X2 \ X1 = , = [a1 , a2 ]
?
?
3 15
(вторая строчка означает, что мы передвигаем [a1 , a2 ] налево так,
34 О спектральных кратностях в эргодической теории


что он переходит в отрезок 15 , 1 = [2d2 , d1 ], помещаем его в
2
3
плоскость (x > (x, 0)) и поднимаем на высоту y = 5; в итоге из
X2 \ X1 получается X2 \ X1 ).
Разделим отрезок [0, d1 ] оси x (который является “нижним эта-
1
жом” X1 ) на 5 подотрезков равной длины d2 = 15 :

[(i ? 1)d2 , id2 ] ? {0}, i = 1, 2, 3, 4, 5,

и проведем вертикальные линии через концы этих подотрезков.
Эти линии делят X2 на 5 подколонн

[(i ? 1)d2 , id2 ] ? {0, . . . , 4} (1 i 2),
i
C2 =
[(i ? 1)d2 , id2 ] ? {0, . . . , 5} (3 i 5).

Помимо X2 , мы будем также использовать X2 = [0, d2 ] ? {0, 1, . . .
. . . , h2 ?1}, где “высота” h2 “колонны” X2 такова, что ее мера (сла-
гающаяся из мер Лебега на ее “этажах”) равна аналогичной мере
X2 и X2 , т. е. a2 . Равенство d2 h2 = a2 означает, что 15 h2 = 28 , по-
1
15
тому h2 = 28. Определим отображение J2 : X2 > X2 аналогично
тому, как определялось J1 :
1
тождественное отображение;
J2 |C2
2 2
J2 |C2 получается путем перемещения C2 как твердого тела,
2 2
в результате которого C2 или, лучше сказать, его образ J2 (C2 )
1
помещается над J2 (C2 ), причем сохраняется порядок по высоте
2
горизонтальных отрезков, из которых состоит C2 ;
3 3
J2 |C2 получается путем перемещения C2 как твердого тела,
3 3
в результате которого C2 или, лучше сказать, его образ J2 (C2 ),
2
помещается над J2 (C2 ) с сохранением порядка по высоте соответ-
ствующих отрезков;
и так далее. Это наглядное определение J2 приводит к следу-
ющим формулам:
?
?(x ? (i ? 1)d2 , y + 5(i ? 1))
?
?
? i
при (x, y) ? C2 , 1 i 2,
?
J2 (x, y) =
?(x ? (i ? 1)d2 , y + 10 + 6(i ? 3))
?
?
? i
при (x, y) ? C2 , 3 i 5.
?

(разница между двумя формулами происходит оттого, что первые
две подколонны имеют “высоту” 5, а три остальные “высоту” 6
§ 4. Построение автоморфизма T 35


из-за добавления прокладки при переходе от X1 к X2 ). Обозна-
чим через ?2 разбиение колонны X2 на “этажи”, которые в этой
i
связи мы будем обозначать через C? :
2

i
C?2 = [0, d2 ] ? {i ? 1}, i = 1, . . . , h2 (h2 = 28),

и через ?2 и ?2 разбиения пространств X2 и X2 , являющиеся
прообразами разбиения ?2 при отображениях J2 и J2 I2 . Элемен-
?1 ?1
i i i i
тами этих разбиений служат C? = J2 (C? ) и C?2 = I2 (C? ).
2 2 2
Аналогично тому, что мы видели для ?1 , элементы разбиения ?2
суть подотрезки [(j ? 1)d2 , jd2 ] отрезка [0, a2 ]; номер j подотрез-
i
ка, вообще говоря, отличается от его номера i как элемента C?2
разбиения ?2 , но для i = 1 и i = 28 мы имеем j = i.
Чтобы покончить с понятиями, связанными со вторым шагом,
положим Y2 = [0, d1 ] ? {0, 1, . . . , 26} (это X2 без его “верхнего
этажа” [0, d2 ] ? {27}). Определим отображение T2 : Y2 > X2 как
вертикальный сдвиг на 1:

T2 (x, y) = (x, y + 1) (0 y 26).

Наконец, “перенесем” это отображение в некоторые отображе-
ния T2 и T2 пространств X2 и X2 , используя сопряжение с
помощью J2 и J2 I2 . Опять-таки, здесь нужна некоторая осто-
рожность раз T2 не определено на всем X2 , то надо поинтере-
?1 ?1 ?1
соваться, где определены композиции J2 T2 J2 , I2 J2 T2 J2 I2 .
?1
Первая композиция определена на части Y2 = J2 (Y2 ) про-
странства X2 , которая получается из X2 при удалении правой
части [4d2 , d1 ] ? {5} “верхнего этажа” множества X2 . Действи-
5
тельно, [4d2 , d1 ] ? {5} является “верхним этажом” в C2 ; этот
“верхний этаж” является в точности прообразом “верхнего этажа”
5
[0, d2 ] ? {27} множества J2 (C2 ) или, что то же самое, “верхнего
этажа” колонны X2 ; а “верхний этаж” X2 это единственная
часть X2 , где T2 не определено. Значит, мы вправе написать
?1
T2 = J2 T2 (J2 |Y2 ). Кроме того, отрезок [4d2 , d1 ] ? {5} является
образом правой части [a2 ? d2 , a2 ] отрезка X2 при отображении I2 .
Поэтому Y2 = I2 (Y2 ) (напомним, что Y2 = [0, a2 ? d2 ]), и можно
?1
написать T2 = I2 T2 (I2 |Y2 ).
Как и раньше, мы задаемся вопросом, как T2 действует на эле-
i
менты C?2 разбиения ?2 ? Элементы ?2 суть “этажи” колонны X2
i
и номер i элемента C? это его “высота” (над осью x) плюс 1;
2
вертикальный сдвиг на 1, действующий на эти “этажи”, за
T2
36 О спектральных кратностях в эргодической теории


исключением верхнего; (T2 )?1 вертикальный сдвиг на ?1, дей-
ствующий на эти “этажи”, за исключением нижнего. Отсюда сле-
i+j
дует, что (T2 )j C? = C? , коль скоро 1 i + j h2 = 28, а тогда,
i
2 2
переходя к X2 , получаем
j i+j
i
когда 1
T2 (C?2 ) = C?2 , i+j h2 .

Можно также дать описание T2 , которое снова лишь слегка
сложнее описания T2 . Если точки (x, y) принадлежит X2 , мы
сперва пробуем сдвинуть ее вертикально на 1. Иными словами,
i
внутри подколонны C2 мы сдвигаем точку (x, y) вертикально на 1,
если это можно сделать, но покидая подколонну. В самом деле,
тогда точки (x , y ) = J2 (x, y) и J2 (x, y + 1) обе принадлежат одно-
i
му и тому же образу подколонны J2 (C2 ), причем вторая точка
это (x , y + 1) = T2 (x, y). Это не проходит для точек “верхнего
этажа” (y = 4 для x ? [0, 2d2 ] и y = 5 для x ? [2d2 , d1 ]). Такие
точки мы пробуем перенести в “нижний этаж” следующей под-
колонны, увеличивая x на d2 ; т. е. T2 (x, y) = (x + d2 , 0). В самом
деле, в этом случае T2 переводит точку (x , y ) = J2 (x, y), лежа-
i
щую на “верхнем этаже” J2 (C2 ), в точку (x , y + 1), лежащую в
i+1
“нижнем этаже” J2 (C2 ); а эта точка (x , y + 1) = J2 (x + d2 , 0).
5
Для точек (x, y) “верхнего этажа” [4d2 , d1 ] ? {5} подколонны C2
ни одно из этих предписаний не работает, и для таких точек T2
не определяется.
Мы дважды использовали прием, который называется “разре-
зание и штабелирование” (“cutting and stacking”).25 При постро-
ении T этот прием используется бесконечное число раз (хотя в
25 Этот прием применяется для различных целей в различных конструк-
циях, свойственных третьему этапу развития ЭТ. Почти всегда разрезанию и
штабелированию предшествует добавление прокладки, т. е. некоторого “ново-
го материала” расположенного над “верхним этажом” пространства, постро-
енного ранее. При переходе от X0 к X1 мы добавили прокладку 1 , 1 ?{1}, а
3
при переходе от X1 к X2 прокладку 15 , 1 ?{5}. В других случаях может
2
3
добавляться другое количество “нового материала” и он может располагать-
ся иначе. Но называют данный прием “разрезанием и штабелированием”, не
упоминая о “добавлении прокладки”.
Приводимое ниже общее описание касается только разрезания и штабели-
рования. Оно начинается с множества X , которым на n-м шаге индуктивного
построения будет
Xn = Xn?1 ? {прокладка, т. е. некоторый новый материал}
(таким образом, прокладка уже добавлена перед тем, как делается ссылка
на это описание).
§ 4. Построение автоморфизма T 37


формальном изложении его можно использовать только однаж-
ды при переходе от n ? 1 к n). Поэтому я опишу этот прием в
более общем виде.
Допустим, что нам дано множество

X = {(x, i); 0 x D, i ? Z+ , 0 i ?(x) ? 1},

где ? это функция ? : [0, D] > N (т. е. ее значения суть нату-
ральные числа). Пусть D = kd, где k ? N, и пусть функция ?
постоянная на каждом отрезке [(i ? 1)d, id ], i = 1, . . . , k. Ниже я
пишу ?i = ?([(i ? 1)d, id ]). Разрезание и штабелирование приво-
дят к новому пространству с мерой

X = [0, d ] ? {0, 1, . . . , ?1 + · · · + ?k ? 1}

(имеющему ?1 + · · · + ?k “этажей” [0, d ] ? {j}) и к изоморфизму
пространств с мерой J : X > X . Наглядно, мы сперва разреза-
ем X на k “подколонн”

C i = [(i ? 1)d, id ] ? {0, 1, . . . , ?i ? 1}

(это и есть “разрезание”); отметим, что C i имеет ?i “этажей”
[(i ? 1)d, id ] ? {j}. Теперь мы перемещаем эти подколонны как
твердые тела в R2 так, что порядок по высоте “этажей” подколонн
сохраняется, C 1 не двигается, C 2 становится частью J(C 2 ) строя-
щейся колонны X , расположенной сразу над C 1 , C 3 становится
частью J(C 3 ) колонны X , расположенной сразу над J(C 2 ), и т.д.
(это и называется “штабелированием”). Формально, нам нет нуж-
ды обращаться к геометрии плоскости и передвигать что-либо
в R2 , а можно просто рассматривать отображение J : X > X ,
которое определяется следующим образом:
?
при (x, y) ? C 1 ,
?(x, y)
?
?
?
при (x, y) ? C 2 ,
?(x ? d, y + ?1 )
?
?
J(x) = ....................................................... .....................
?
при (x, y) ? C i ,
?
?(x ? (i ? 1)d, y + ?1 + · · · + ?i?1 )
?
?
?
?....................................................... ....................

(Вновь обращаясь к геометрии плоскости, мы можем предста-
вить себе, что C i сдвигается налево, становясь множеством [0, d ]?
{0, 1, . . . , ?i ? 1}, и затем поднимается на ?1 + · · · + ?i?1 (заме-
тим, что “верхним этажом” множества J(C 1 ? · · · ? C i?1 ) является
38 О спектральных кратностях в эргодической теории


[0, d ] ? {?1 + . . . + ?i?1 ? 1}, т. е. мы помещаем C i как раз над
этим “этажом”). Это объясняет формулу для J.)
X , X рассматриваются как пространства с мерой, которая
является мерой Лебега на отрезках “этажах” этих мно-
жеств. J биективно отображает каждый “этаж” множества C i
на некоторый “этаж” множества X , при этом меры Лебега
сохраняются. Образы различных “этажей” подколонны C i или
“этажа” C i и “этажа” C j , j = i, не пересекаются. Каждый “этаж”
колонны X является таким образом, поэтому J(X ) = X . Это J
является изоморфизмом пространств с мерой X , X .
В нашем случае на n-м шаге мы добавляем к “колонне”

Xn?1 = [0, dn?1 ] ? {0, 1, . . . , hn?1 ? 1}

прокладку “(hn?1 + 1)-й этаж” [ndn , dn?1 ] ? {hn?1 } и таким
путем получаем пространство Xn (оно играет роль X ). Изомор-
физм пространств с мерой Jn?1 In?1 : Xn?1 > Xn?1 очевидным
образом продолжается до In : Xn > Xn ([an?1 , an ] отображает-
ся на прокладку (на новый этаж) “с угловым коэффициентом 1”;
это есть отображение x > (x ? an?1 + ndn , hn?1 )). Зафиксируем
тот факт, что In является продолжением отображения Jn?1 In?1 ,
с помощью формулы

(10)
In |Xn?1 = Jn?1 In?1 .

После этого мы используем прием разрезания и штабелирования с

D = dn?1 , d = dn , k = 2n + 1,
при x ? [0, ndn ],
hn?1
?(x) =
при x ? [ndn , dn?1 ],
hn?1 + 1
?1 = · · · = ?n = hn?1 , ?n+1 = · · · = ?2n+1 = hn?1 + 1.

Таким образом, мы делим Xn на 2n + 1 = dn?1 “подколонн” Cn i
dn
равной ширины dn посредством вертикальных линий, проходя-
щих через точки idn (i = 1, . . . , 2n + 1) оси x. “Подколонны” ну-
меруются слева направо числами i = 1, . . . , 2n+1. Роль X играет
пространство с мерой Xn = [0, dn ] ? {0, 1, . . . , hn ? 1}, имеющее hn
этажей меры dn . Здесь hn = ?i = (2n + 1)hn?1 + n + 1. Мы
строим изоморфизм пространств с мерой Jn : Xn > Xn , передви-
гая эти подколонны как твердые тела одну за другой внутрь Xn
§ 4. Построение автоморфизма T 39


1 i
так, что подколонна Cn не двигается и Cn переходит в
?
?[0, dn ] ? {(i ? 1)hn?1 , ihn?1 ? 1}
?
?
?
при 1 i n,
?
i
Jn (Cn ) =
?[0, dn ] ? {(i ? 1)hn?1 + i ? n ? 1, ihn?1 + i ? n ? 1}
?
?
?
при n + 1 i 2n + 1.
?

Положим теперь Yn = [0, dn ]? {0, . . . , hn ? 2} (иными словами,
это пространство Xn без его “верхнего этажа” [0, dn ] ? {hn ? 1}).
Определим Tn : Yn > Xn как (x, y) > (x, y + 1). Возвращаясь
?1 ?1
к Xn и Xn , мы полагаем Tn = Jn Tn Jn , Tn = In Tn In , опять-
таки делая некоторые оговорки об областях определения этих
композиций. А именно, отображение Tn определено вне “верхнего
2n+1
этажа” [dn?1 ? dn , dn?1 ] ? {hn?1 } последней подколонны Cn
(ибо при отображении Jn именно этот этаж соответствует “верх-
нему этажу” [0, dn ] ? {hn ? 1} колонны Xn ); а Tn определено на
[0, an ? dn ] = Xn \ [an ? dn , an ] = Yn (ибо [an ? dn , an ] соответ-
2n+1
ствует при отображении In “верхнему этажу” подколонны Cn ).
Поэтому без каких-либо оговорок можно написать
?1
Tn = Jn Tn (Jn |Yn ),
(11)
?1 ?1 ?1
Tn = In Tn (In |Yn ) = In Jn Tn Jn (In |Yn ).

Я сказал, что описание Tn в терминах, непосредственно от-
носящихся к отрезку Xn , было бы запутанным и практически
бесполезным. Но описание Tn в терминах, относящихся к про-
странству Xn , не столь запутанно, и мы будем им пользоваться.
С точностью до очевидных изменений, оно остается таким же,
как описания T1 , T2 :
?
при (x, y) ? [0, ndn ] ? {0, 1, . . . , hn?1 ? 2}
?(x, y + 1)
?
?
?
и при (x, y) ? [ndn , dn?1 ] ? {0, 1, . . . , hn?1 ? 1},
?
Tn (x, y) =
?(x + dn , 0) при (x, y) ? [0, ndn ] ? {hn?1 ? 1}
?
?
?
и при (x, y) ? [nd , d
? ? d ] ? {h }.
n n?1 n n?1


Мы сперва прокомментируем это описание и затем проверим
его. “Верхний этаж” множества Xn состоит из двух частей:
[0, ndn ] ? {hn?1 ? 1} и [ndn , dn?1 ] ? {hn?1 }. (Мы добавили к Xn?1
прокладку In ([an?1 , an ]), расположенную над [ndn , dn?1 ] на
40 О спектральных кратностях в эргодической теории


высоте y = hn?1 , тогда как над [0, ndn ] ничего не добавлялось.)
Под этим “верхним этажом” Tn всюду определено и под
действием этого отображения вторая координата y точки (x, y)
увеличивается на 1. На самом правом подотрезке [dn?1 ? dn ] ?
{hn?1 } этого “верхнего этажа” (этот подотрезок является
2n+1
“верхним этажом” последней подколонны Cn ) отображение Tn
не определено. Вне этого подинтервала Tn переводит точку
(x, hn?1 ? 1) или (x, hn?1 ) “верхнего этажа” в точку (x + dn , 0),
лежащую на “нижнем этаже” множества Xn и принадлежащую
следующей подколонне.
Tn увеличивает вторую координату любой точки колонны Yn
(не меняя ее первой координаты) на 1. Если
i
(x, y) ? Cn \ {его “верний этаж”},
то
i
(x , y ) = Jn (x, y) ? Jn (Cn ) \ {его “верхний этаж”},
i
и (x , y + 1) = Jn (x, y + 1).
(x , y + 1) ? Jn (Cn )
Тем самым доказана первая формула для Tn (x, y).
i
Если (x, y) лежит на “верхнем этаже” подколонны Cn и i <
2n + 1, то точка (x , y ) = Jn (x, y) принадлежит “верхнему этажу”
i
образа Jn (Cn ) этой подколонны и точка Tn (x , y ) = (x , y + 1)
i+1
принадлежит “нижнему этажу” образа Jn (Cn ) следующей под-
i+1 ?1
колонны Cn . Поэтому вторая координата точки Jn Tn Jn (x, y)
i
равна 0. Для нашей точки (x, y) ? Cn первая координата x ее об-
i+1
раза Jn (x, y) равна x = x?(i?1)dn ; для точки (x1 , y1 ) ? Cn пер-
вая координата ее образа Jn (x1 , y1 ) равна x1 ?idn . Поэтому первая
?1 ?1
координата точки Jn Tn Jn (x, y) = Jn (x , y + 1) равна x + dn .
Наконец, если (x, y) принадлежит “верхнему этажу”
2n+1
[dn?1 ?dn ]?{hn?1 } последней подколонны Cn , то точка Jn (x, y)
принадлежит “верхнему этажу” [0, dn ] ? {hn ? 1} колонны Xn ,
где Tn не определено. Тем самым мы проверили данное выше
описание Tn .
Обозначим через ?n разбиение пространства Xn на “этажи”,
i
которые в этой связи мы будем обозначать через C?n :
i
C?n = [0, dn ] ? {i ? 1}, i = 1, . . . , hn .
Очевидно,
i+j
T j (C?n ) = C? ,
i
если 1 (12)
i+j hn .
n
§ 4. Построение автоморфизма T 41


Возвращаясь к пространствам с мерой Xn и Xn , мы определим
там разбиения ?n и ?n , состоящие из элементов
i ?1 i i ?1 i ?1 ?1 i
C?n = Jn (C?n ), C?n = In (C?n ) = In Jn (C?n ).
i
Элементы C?n суть некоторые отрезки вида [kdn , (k+1)dn ]?{l}
напомним, что мы разделили “этажи” множества Xn (это отрез-
ки [0, dn?1 ] ? {l} и отрезок [ndn , dn?1 ] ? {hn }) на части равной
i
длины dn . Элементы C?n суть отрезки вида [(j ? 1)dn , jdn ],
j = 1, . . . , hn , эти элементы являются прообразами предыдущих
отрезков при линейных отображениях, сохраняющих меру, так
i
что каждый элемент C?n является некоторым отрезком [c, c + dn ],
и они покрывают [0, an ]; для одного из этих отрезков должно
быть c = 0, для другого c = dn , и так далее. Вообще говоря,
j = i, но для некоторых i оказывается, что j = i. В частности,
1
это так для i = 1 и i = hn ; кроме того, C?n = [0, dn ] ? {0} и
hn
C?n = [dn?1 , dn ] ? {hn }; мы утверждаем также, что отображение

1 1 1
In |C?n : C?n = [0, dn ] > C?n = [0, dn ] ? {0}

это x > (x, 0), а отображение
hn hn h
In |C?n : C?n = [an ? dn , an ] > C? n = [dn?1 ? dn , dn?1 ] ? {hn?1 }
n


это x > (x ? an?1 + ndn , hn?1 ). Последний факт мы уже зна-
ем отображение, о котором идет речь, является ограничением
отображения

[an ? an?1 , an ] > hn?1 -й “этаж” Xn .

Другое утверждение нам уже известно для малых n, и теперь
надо использовать индукцию по n. Например, если утверждение
уже доказано для n ? 1, то ясно, что когда мы делим отрезок
[0, dn?1 ] ? {0} на 2n + 1 равных частей, то первая из них (явля-
1
ющаяся “нижним полом” подколонны Cn ) есть [0, dn ] ? {0}, и так
1
как отображение Jn |Cn является тождественным, то Jn [0, dn ] =
1 1
[0, dn ] = C?n . Это доказывает, что C?n = [0, dn ] ? {0}. Прообра-
зом этого отрезка при отображении Jn?1 служит тот же самый
отрезок (ведь отображение Jn?1 совпадает с тождественным на
б?льшем отрезке [0, dn?1 ] ? {0}); наконец, из нашего индуктивно-
о
го предположения следует, что прообразом отрезка [0, dn ] ? {0}
42 О спектральных кратностях в эргодической теории


1
при отображении In?1 служит [0, dn ]. Отсюда видно, что C?n =
?1 ?1
?1 1 1
In (C?n ) = In?1 Jn?1 (C?n ) = [0, dn ]. Доказательства утверждений
hn h
о C?n и C? n проводятся аналогично; различие состоит в том, что
n
в этих доказательствах мы обращаем внимание на то, что проис-
ходит возле правого конца отрезка [0, an ] (а не возле его левого
конца) и возле правого верхнего угла Xn (а не возле левого ниж-
него угла).
В § 5 нам пригодится следующее замечание об отношении меж-
ду разбиениями ?n с различными n: если n < m, то элементы
разбиения ?m суть части либо элементов разбиения ?n , либо мно-
жества X \ Xn . (Мы можем превратить ?n в разбиение ?n все-
i
го пространства X, элементами которого являются прежние C?n
и новый элемент X \ Xn . Тогда можно просто сказать, что при
m > n разбиение ?m является измельчением разбиения ?n .) Да-
бы убедиться в этом, достаточно рассмотреть отношение меж-
i
ду ?n?1 и ?n . Некоторые элементы C?n разбиения ?n (они явля-
ются подмножествами множества Xn ) лежат вне Xn?1 (это неко-
торые отрезки вида [jdn , (j + 1)dn ] ? {hn?1 }). Для таких i имеем
i i
C?n ? X \Xn?1 . Другие элементы C?n разбиения ?n лежат в Xn?1 ;
это некоторые отрезки вида [jdn , (j + 1)dn ] ? {j}, 0 j hn?1 ? 1.
Эти элементы являются подотрезками отрезков [0, dn?1 ]?{j} (на-
помним, что мы разделили отрезок [0, dn?1 ] оси x на 2n+1 частей
равной длины dn и провели вертикальные линии через их концы),
i l
являющихся элементами разбиения ?n?1 . Если C?n ? C?n?1 , то
(учитывая, что In |Xn?1 = Jn?1 In?1 , причем образ этого отобра-
жения есть Xn?1 )
?1 ?1
i ?1 i ?1 l l l
C?n = In (C?n ) ? In (C?n?1 ) = In?1 Jn?1 (C?n?1 ) = C?n?1 .

Перефразируя (12) в терминах Xn , Tn и ?n , получаем
i+j
j i
когда 1 (13)
Tn (C?n ) = C?n , i+j hn .
После того как мы определили отображения Tn , мы хотели
бы определить T как отображение, значения которого при x ? Yn
совпадают с Tn (x). Это будет корректным определением, если мы
докажем, что
(14)
Tn |Yn?1 = Tn?1 .
Прежде всего, проверим, что
(15)
Tn |Yn?1 = Tn?1 .
§ 4. Построение автоморфизма T 43


В самом деле,
Yn?1 = Xn?1 \ {его “верхний этаж”} ? Xn \ {его “верхний этаж”},
так что Tn определено на Yn?1 и действует там, увеличивая вто-
рую координату на 1 и не меняя первую координату. Так же дей-
ствует и Tn?1 .
(15) это, в сущности, версия (14), написанная в терминах
пространств “со штрихами”. Формальное доказательство (14) со-
держится в цепочке простых равенств. Я сперва напишу всю эту
цепочку и затем дам необходимые разъяснения.
(a) (b)
?1 ?1 ?1 ?1
Tn |Yn?1 = In Jn Tn Jn (In |Yn?1 ) = In Jn Tn (Jn |Yn )(In |Yn?1 )
(c) (d)
?1 ?1
= In Tn (In |Yn?1 ) = In (Tn |Yn?1 )(In |Yn?1 )
(e) (f)
?1 ?1
= In Tn?1 (In |Yn?1 ) = In Tn?1 Jn?1 (In?1 |Yn?1 )
(g) (h)
?1 ?1
= In?1 Jn?1 Tn?1 Jn?1 (In?1 |Yn?1 ) = Tn?1 .
В (a) мы используем, что Yn?1 ? Xn?1 ? Yn . Поэтому опре-
делено Tn |Yn?1 . (a) является, так сказать, ограничением на Yn?1
определения (11) отображения Tn .
В (b) мы заменили Jn на Jn |Yn на том основании, что образ
предшествующего отображения содержится в Yn . Действительно,
In (Yn?1 ) = Jn?1 In?1 (Yn?1 ) = Jn?1 Yn?1 = Yn?1 ? Xn?1 ? Yn .
(Здесь только первый шаг требует некоторого пояснения. Мы ис-
пользуем (10). Поскольку в In (Yn?1 ) речь идет только об значени-
ях ограничения отображения In на подмножество Yn?1 простран-
ства Xn?1 , то мы действительно вправе применять (10).)
В (c) мы используем определение Tn (см. (11)).
В (d) мы заменили Tn на Tn |Yn?1 , основываясь на том, что
при проверке (b) мы уже видели, что образ предшествующего
отображения это в точности Yn?1 .
В (e) мы используем (15).
В (f) надо снова вспомнить, что In |Yn?1 = Jn?1 (In?1 |Yn?1 )
(это равенство является, так сказать, ограничением (10) на Yn?1 ).
?1
В (g) мы используем соотношение In |Xn?1 = In?1 Jn?1 ,
которое следует из (10), если учесть, что образом отображения
Jn?1 In?1 является Xn?1 . Мы можем применять это соотношение
к (g), поскольку образ Tn?1 содержится в Xn?1 .
В (h) мы ссылаемся на (11).
44 О спектральных кратностях в эргодической теории


После того, как мы построили T , мы докажем, что это дей-
ствительно автоморфизм пространств с мерой, т. е. что у него
имеется обратное отображение T ?1 и что для любого измеримого
множества A ? X как T (A), так и T ?1 (A) измеримы и имеют ту
же меру, что и A.
?1 1
Обратное отображение Tn определено на Xn \ C?n = [dn , an ]
(поскольку (Tn )?1 определено на Xn \C?n = [0, dn ]?{1, . . . , hn?1}).
1
?1 ?1
Имеем Tn+1 |[dn , an ] = Tn (поскольку Tn+1 |[0, an ? dn ] = Tn и
образ этого отображения есть [dn , an ]. Надо иметь в виду, что
отображение Tn+1 инъективно, и что если мы знаем, что у точ-
?1
ки x имеется прообраз Tn (x), то у нее нет других прообразов
при отображении Tn+1 ). Отрезки [dn , an ] образуют возрастаю-
щую систему отрезков и [dn , an ] = X. Поэтому можно кор-
ректно определить T ?1 (x), приняв, что при x ? [dn , an ] это есть
Tn (x). Обозначение T ?1 намекает, что отображение T ?1 явля-
?1

ется обратным по отношению к T . И действительно, для любо-
го фиксированного x существует такое n, что x ? [dn , an ? dn ],
и для такого x равенство T T ?1(x) = T ?1 T (x) = x сводится к
?1 ?1
Tn Tn (x) = Tn Tn (x) = x.
Наконец, отображения T, T ?1 измеримы и сохраняют меру Ле-
бега. Пусть A измеримое подмножество X. Я докажу, что T (A)
измеримо и имеет ту же меру, что и A. Мы используем, что вер-
тикальный сдвиг Tn отображает измеримое подмножество про-
странства Yn в измеримое подмножество пространства Xn , име-
ющее ту же меру. Так как In и Jn являются изоморфизмами
пространств с мерой, то Tn и Tn отображают измеримые под-
множества пространства Yn , соответственно. Yn = [0, an ? dn ], в
измеримые подмножества пространства Xn , соответственно. Xn ,
имеющие ту же меру. Теперь для любого измеримого подмно-
жества A ? X

A= (A ? [0, an ? dn ]),
n
(16)
T (A) = T (A ? [0, an ? dn ]) = Tn (A ? [0, an ? dn ]).
n n


Из последней формулы следует измеримость T (A). В (16) A
и T (A) представлены в виде объединений возрастающих после-
довательностей множеств (для A это ясно, для T (A) следует из
§ 4. Построение автоморфизма T 45


того факта, что Tn+1 |[0, an ? dn ] = Tn ). Поэтому

µ(A) = lim µ(A ? [0, an ? dn ]),
µ(T (A)) = lim µ(Tn (A ? [0, an ? dn ])).

Но µ(Tn (A ? [0, an ? dn ])) = µ(A ? [0, an ? dn ]), ибо Tn сохраняет
меру.
Аналогичным образом, используя вместо первой строки (16)
тот факт, что A = n (A ? [dn , an ]), и соответствующую форму-
лу для T ?1 (A), можно доказать, что если A ? X измеримо, то
T ?1 (A) измеримо и имеет ту же меру, что и A.
Последнее замечание в этом параграфе касается действия T j
j
на элементах разбиения ?n . Пока Tn (x) определено (т. е. пока
(Tn )j (Jn In (x)) определено), T j (x) = Tn (x). Если x ? C?n , то
j i

Jn In (x) ? C?n = [0, dn ] ? {i ? 1}, и (Tn )j (Jn In (x)) определено,
i

пока 0 i ? 1 + j < hn , т. е. пока 1 i + j hn . Вспоминая (13),
мы видим, что

T j |C?n = Tn |C?n ,
i j i
когда 1 i+j hn ,
(17)
i+j
T j (C?n ) = Tn (C?n ) = C?n
i j i
для таких i, j, n.
46 О спектральных кратностях в эргодической теории


§ 5. Свойства T
Эргодичность. Пусть A ? X инвариантное измеримое множе-
ство положительной меры. У любого множества A положитель-
ной меры имеются так называемые “точки плотности”. Точка x0
называется точкой плотности, если для любого ? > 0 найдется
такое ? > 0, что если ? любой отрезок длины µ(?) < ?, содер-
жащий x0 , то µ(A??) > 1 ? ?. Пусть x0 точка плотности для
µ(?)
нашего A. x0 принадлежит всем отрезкам Xn с достаточно боль-
i
шими n и тем самым является точкой некоторых элементов C?n n
i 1
разбиений ?n . C?n является отрезком длины dn = (2n+1)!! ; при до-
n
i i
статочно больших n будет dn < ?. Тогда µ(A?C?n ) > (1??)µ(C?n ).
n n
in +j
in
j j
Но T (A) = A и T (C?n ) = C?n , пока 1 in + j hn , т. е. это
так для тех j, для которых 1 ? in j hn ? in . Для таких j мы
имеем T j (A ? C?n ) = A ? C?n +j , и (поскольку T сохраняет меру)
i
i
n n


µ(A ? C?n +j ) = µ(A ? C?n ) > (1 ? ?)µ(C?n +j ).
i i
i
n n n

Раз i + j с теми j, для которых 1 ? in j hn ? in , принимает
все значения от 1 до hn , то Xn = j C?n +j и
i
n




A ? C?n +j
i
µ A ? C?n +j
i
µ(A) µ(A ? Xn ) = µ =
n n
j j

µ C?n +j = (1 ? ?)µ(Xn ).
i
> (1 ? ?) n
j

Поскольку ? > 0 можно взять произвольно малым и после это-
го в качестве n можно взять произвольно большое целое число,
то получается, что µ(A) µ(X), т. е. µ(A) = µ(X). Мы видим,
что любое инвариантное множество положительной меры имеет
меру µ(X).
Простота спектра. Обозначим через Fn множество тех функ-
ций f ? L2 (X, µ), которые постоянны на элементах разбиения ?n
и равны нулю вне Xn . Примем F = n Fn ; ясно, что множе-
ство F плотно в L2 (X, µ). (Любую непрерывную функцию, рав-
ную нулю в точке a, можно равномерно приблизить функциями
из F ; а такие непрерывные функции плотны в L2 (X, µ).) Мы до-
кажем, что для любых f, g ? F существует такое h ? L2 (X, µ),
что d(f, Z(h)) = d(g, Z(h)) = 0, это даже больше, чем требуется
в достаточном условии, приведенном в § 3.
§ 5. Свойства T 47


Если функции f, g ? F, они обе содержатся в некотором Fn .
Возьмем за h характеристическую (индикаторную) функцию ?C hn
?n
hn
элемента C?n .
Для характеристической функции ?B любого мно-
жества B ? X

((UT )?B )(x) = (UT i ?B )(x) = ?B (T i (x)) = ?T ?i (B) (x).
i


Для B = ?C hn мы имеем
?n



T ?i (B) = C?n ?i
hn
при i = 0, . . . , hn ? 1

(см. (13)), так что линейные комбинации функций h, UT h, . . .
. . . , UT n ?1 h
h
это то же самое, что линейные комбинации ха-
k
рактеристических функций всевозможных элементов C?n разби-
ения ?n . А ведь любая функция из Fn является такой линейной
комбинацией.
w
Свойство U ln > 1 (id + U ). Мы докажем это свойство с ln =
2
hn + 1.
Рассмотрим следующие функции на H ? H:
1 1
Bn (f, g) = U hn +1 f, g ? f, g ? U f, g
2 2
1 1
U hn +1 f ? f ? U f, g .
=
2 2

Это билинейные функционалы. Заметим, что они равномерно
ограничены (в том смысле, в каком говорят об ограниченности
билинейных функционалов, а не в смысле ограниченности
функций!). Действительно,

1 1 1 1
U hn +1 f ? U hn +1 f +
f ? Uf f+ Uf
2 2 2 2
1 1
(18)
=f+ f+ f =2 f ,
2 2
1 1
U hn +1 f ? f ? U f g
|Bn (f, g)| 2f g.
2 2

Ввиду этой равномерной ограниченности Bn вместо

lim Bn (f, g) = 0 для всех f, g ? H
n>?
48 О спектральных кратностях в эргодической теории


достаточно доказать, что limn>? Bn (f, g) = 0 для всех f, g из
какого-нибудь плотного подмножества F ? H (как и раньше, мы
возьмем F = n Fn ). Действительно, пусть f, g ? H. Возьмем
любое ? > 0 и сперва найдем такие f1 , g1 ? F, что f ? f1 < ?,
g ? g1 < ?, затем возьмем столь большое N = N (?), что
|Bn (f1 , g1 )| < ? при всех n > N . Для такого n
|Bn (f, g) ? Bn (f1 , g1 )| |Bn (f ? f1 , g)| + |Bn (f1 , g ? g1 )|
2 f ? f1 g + 2( f + f ? f1 ) g ? g1
2 f ? f1 ? + 2( f + ?)? = 2?( f + g + ?),
|Bn (f, g)| |Bn (f1 , g1 )| + |Bn (f, g) ? Bn (f1 , g1 )|
? + 2?( f + g + ?) = ?(1 + 2 f + 2 g + 2?).
Если дано ? > 0, то возьмем такое ? = ?(?) > 0 , что ?(1 + 2 f +
2 g + 2?) < ?, а затем возьмем N = N (?(?)). При всех n > N
будет |Bn (f, g)| < ?. Это доказывает, что limn>? Bn (f, g) = 0.
Итак, достаточно ограничиться функциями f, g ? F = n Fn .
Прежде всего, заметим, что если n < m, то Fn ? Fm . Дей-
ствительно, f ? Fn означает две вещи:
f постоянна на элементах разбиения ?n ; тогда она постоян-
на на тех элементах разбиения ?m , которые являются частями
предыдущих элементов;
f равна нулю вне Xn ; тогда она равна нулю (в частности, по-
стоянна) как на тех элементах разбиения ?m , которые являются
частями множества X \ Xn , так и вне б?льшего, нежели Xn , мно-
о
жества Xm .
Мы докажем, что если f, g ? Fn?2 , то
2
(19)
v
|Bn?1 (f, g)| f g.
2n + 1
Отсюда будет следовать желаемое утверждение
lim Bn (f, g) = 0 для всех f, g ? F. (20)
n>?

Действительно, если даны f, g ? F, ? > 0, то можно найти та-
кое N1 , что f, g ? FN1 ?2 , а затем такое N N1 , что
2
v f g < ?.
2N + 1
2
При всех n N будет f, g ? Fn?2 и v2n+1 f g < ?; соглас-
но (19), |Bn?1 (f, g)| < ?. Это и доказывает (20).
§ 5. Свойства T 49


Если f, g ? Fn?2 , то
h
и f = g = 0 на C?n?1 . (21)
n?1
f, g ? Fn?1
Первое уже объяснялось. Что касается второго, то мы уже ви-
hn?1
дели, что последний элемент C?n?1 разбиения ?n?1 является от-
резком [an?1 ? dn?1 , an?1 ], лежащим вне Xn?2 = [0, an?2 ]; а по
определению Fn?2 , f |X \ Xn?2 = g|X \ Xn?2 = 0.
Ниже используется только (21). Напомним, что
h
Xn?1 \ {его “верхний этаж” C? n?1 } = Yn?1 ,
n?1

h
так что Xn?1 \ C?n?1 = Yn?1 . Значит,
n?1



f = g = 0 вне (22)
Yn?1 .
Отсюда видно, что для наших f, g
1 1
f (T hn?1 +1 x) ? f (x) ? f (T x) g(x) dx.
Bn?1 (f, g) =
2 2
Yn?1
(23)




Рис. 3


Обозначим (рис. 3)
2n+1
Zn = [0, dn?1 ? dn ] ? {0, . . . , hn?1 ? 2} = Yn?1 \ Cn ,
2n+1
Cn = [dn?1 ? dn , dn?1 ] ? {0, . . . , hn?1 ? 2} = Cn ? Yn?1
50 О спектральных кратностях в эргодической теории


2n+1
(напомним, что Cn = [dn?1 ? dn , dn?1 ] ? {0, . . . , hn?1 } являет-
ся последней из подколонн, на которые мы “расщепили” Xn при
переходе к Xn ),
?1 ?1 ?1 ?1
?1 ?1
Zn = In (Zn ) = In?1 Jn?1 (Zn ), Cn = In (Cn ) = In?1 Jn?1 (Cn ).

Очевидно,
1 1
f (T hn?1+1 x) ? f (x) ? f (T x) g(x) dx
2 2
Yn?1
1 1
f (T hn?1 +1 x) ? f (x) ? f (T x) g(x) dx
=
2 2
Zn
1 1
f (T hn?1+1 x) ? f (x) ? f (T x) g(x) dx. (24)
+
2 2
Cn

Мы увидим, что первый интеграл в правой части равен нулю,
тогда как второй интеграл можно довольно непосредственным
образом оценить сверху, и будет доказано, что при больших n он
мал.
i
Зададимся вопросом о max{i; C?n ? Zn }. Jn (Zn ) является ча-
2n+1
стью множества Xn = [0, dn ] ? {0, . . . , hn ? 1}. Jn (Cn ) и два
2n+1
“этажа” колонны Xn , расположенные сразу под Jn (Cn ) (они
являются образами при отображении Jn некоторых частей мно-
жества Xn?1 , имеющих высоту y = hn?1 ? 1 и y = hn?1 ), лежат
2n+1
над Jn (Zn ). Поскольку Jn (Cn ) имеет hn?1 + 1 “этажей”, то мы
видим, что выше Jn (Zn ) имеются hn?1 +3 “этажей”. “Этаж” колон-
i+1
ны Xn с высотой y = i это C?n , так что упомянутые hn?1 + 3
“этажей” суть
hn ?h ?2
C?n , C?n ?1 , . . . , C?n n?1 .
hn hn
(25)
Следовательно,
i
(26)
max{i; C?n ? Zn } hn ? hn?1 ? 3

(на самом деле “этаж”, расположенный непосредственно под “эта-
жами” (25), уже принадлежит Jn (Zn ), поэтому в (26) можно на-
писать = вместо , но нам это не понадобится).
i
Если C?n ? Zn и j hn?1 + 3, то 0 i + j hn ? hn?1 ? 3 +
hn?1 + 3 = hn . Учитывая (17), заключаем, что

T j |Zn = Tn |Zn
j
при j = 0, . . . , hn?1 + 3 (27)
§ 5. Свойства T 51


j
(этим сказано также, что Tn |Zn определено при таких j). Таким
образом,

1 1
f (T hn?1 +1 x) ? f (x) ? f (T x) g(x) dx
2 2
Zn
1 1
f (Tn n?1 +1 x) ? f (x) ? f (Tn x) g(x) dx.
h
(28)
=
2 2
Zn

j
Поскольку мы знаем, что Tn (x) определено при x ? Zn ,
0 j hn?1 +3 (нам понадобится только 0 j hn?1 +1), то мы
можем перейти в (28) к Zn ? Xn?1 ? Xn и Tn . Если (x , y ) ? Zn ,
то точка (x , y ) есть In (x) с некоторым x ? Zn , и (Tn )j (x , y ) опре-
j
делено для тех же j, для которых определено Tn (x); в частности,
оно определено при 0 j hn?1 + 1. Обозначим
?1 ?1
g (x, y) = g(In (x, y)) для (x, y) ? Xn .
f (x, y) = f (In (x, y)),

Тогда можно переписать интеграл в (28) как

1 1
f ((Tn )hn?1 +1 (x, y))? f (x, y)? f (Tn (x, y)) g (x, y) dµ(x, y).
2 2
Zn
(29)
Здесь (как и во всем Xn ) мера µ является на каждом “этаже”
мерой Лебега; результаты интегрирования по “этажам” надо сло-
жить. Иными словами, мы рассматриваем
hn?1 ?2 2ndn
f ((Tn )hn?1 +1 (x, y))
0
i=0
1 1
? f (x, y) ? f (Tn (x, y)) g (x, y) dx
2 2

(заметим, что 2ndn = dn?1 ? dn , т. е. это “ширина” Zn ).
i
Функции f, g постоянны на элементах C?n?1 ; это равносильно
i
тому, что f , g постоянны на элементах C? , т. е. на “этажах”
n?1
колонны Xn?1 (а на Xn \ Xn?1 они равны нулю). Это означает,
что f (x, y) и g (x, y) зависят только от y: f (x, y) = ?(y),
g (x, y) = ?(y). В Zn мы имеем Tn (x, y) = (x, y + 1), оттого
f (Tn (x, y)) = ?(y + 1). Что можно сказать о f ((Tn )hn?1 +1 (x, y))?
Под действием Tn , (Tn )2 и т.д. точка (x, y) ? Zn перепрыгивает
в точку (x, y + 1), (x, y + 2) и т.д., пока она не достигает “верхнего
52 О спектральных кратностях в эргодической теории


этажа”. Если x ? [0, ndn ], то это происходит, когда (x, y + j) =
(x, hn?1 ? 1), т. е. когда j = hn?1 ? 1 ? y. Если x ? [ndn , 2ndn ] =
[ndn , dn?1 ? dn ], то это происходит, когда (x, y + j) = (x, hn?1 ), т. е.
когда j = hn?1 ?y. После этого новое применение отображения Tn
переводит эту точку “верхнего этажа” в (x + dn , 0), т. е.

(Tn )hn?1 ?y (x, y) = (x + dn , 0), когда x ? [0, ndn ],
(Tn )hn?1 +1?y (x, y) = (x + dn , 0), когда x ? [ndn , 2ndn ].

После этого будет (Tn )k (x + dn , 0) = (x + dn , k) вплоть до того
момента, когда (x + dn , k) попадает на “верхний этаж”. Это про-
изойдет только когда k = hn?1 ? 1 или даже k = hn?1 . Но нас
сейчас интересуют (Tn )j (x, y) = (Tn )k (x + dn , y) с

если x ? [0, ndn ],
k hn?1 + 1 ? (hn?1 ? y) = y + 1,
(30)
если x ? [ndn , 2ndn ].
k hn?1 + 1 ? (hn?1 + 1 ? y) = y,

В обоих случаях k hn?1 ? 2 < hn?1 ? 1. Поэтому
y
hn?1 +1
(x, y) лежит на вертикальной линии, проходящей
(Tn )
через точку x + dn оси x, и ее высота k дается правой частью
(30). Иными словами,

(x + dn , y + 1) при x ? [0, ndn ],
T hn?1 +1 (x, y) =
при x ? [ndn , 2ndn ].
(x + dn , y)

Таким образом,

?(y + 1) при x ? [0, ndn ],
f (T hn?1 +1 (x, y)) =
при x ? [ndn , 2ndn ].
?(y)

Теперь видно, что выражение (29) равно
hn?1 ?2 ndn
1 1
?(i + 1) ? ?(i) ? ?(i + 1) ?(i) dx
2 2
0
i=0
hn?1 ?2 2ndn
1 1
(31)
+ ?(i) ? ?(i) ? ?(i + 1) ?(i) dx.
2 2
ndn
i=0

Подынтегральные выражения не зависят от x, так что интегри-
рование означает просто, что надо умножить подынтегральные
§ 5. Свойства T 53


выражения на ndn . Значит, (31) равно
hn?1 ?2
1
ndn (?(i + 1) ? ?(i))?(i)
2
i=0
hn?1 ?2
1
+ (?(i) ? ?(i + 1))?(i) = 0.
2
i=0

Мы доказали, что первый интеграл в правой части (24) ра-
вен нулю. Остается оценить сверху второй интеграл, стоящий в
правой части (24). Имеем
2
1 1
hn?1 +1
f (T x) ? f (x) ? f (T x) g(x) dx
2 2
Cn
2
1 1
hn?1 +1
|g(x)|2 dx
f (T x) ? f (x) ? f (T x) dx
2 2
Cn Cn
2
1 1
f (T hn?1 +1 x) ? f (x) ? f (T x) dx |g(x)|2 dx
2 2
X Cn
2
1 1
hn?1 +1
|g(x)|2 dx
=U f ? f (x) ? U f
2 2 Cn

2
|g(x)|2 dx
4f
Cn

(см. (18)),

|g(x)|2 dx = |g (x, y)|2 dµ(x, y) =
Cn Cn
hn?1 ?2 hn?1 ?2
(2n+1)dn
2
|?(i)|2 .
= |?(i)| dx = dn
2ndn
i=0 i=0

Сравним это с

2
|g(x)|2 dx = |g(x)|2 dx = |g (x, y)|2 dµ(x, y)
g =
X Xn?1 Xn?1
hn?1 ?1 hn?1 ?2
dn?1
2
|?(i)|2 .
= |?(i)| dx = dn?1
0
i=0 i=0
54 О спектральных кратностях в эргодической теории

h ?2 h ?1
(В последней сумме мы написали i=0 вместо i=0 , пото-
n?1 n?1


му что ?(hn?1 ? 1) = 0. Напомним, что ?(i) = g (x, i) и что g = 0
вне Zn .) Ясно, что

dn 1
|g(x)|2 dx = 2
g 2.
g =
dn?1 2n + 1
Cn

Мы приходим к выводу, что

1 1
f (T hn?1 +1 (x)) ? f (x) ? f (T (x)) g(x) dx
|Bn?1 (f, g)| =
2 2
Cn

удовлетворяет (19).
§ 6. Функциональная модель для UT ?T 55


§ 6. Функциональная модель для UT ?T
Мы знаем, что пространство L2 (X, µ) функций класса L2
0
со средним значением нуль (т. е. таких L2 -функций, что
f dµ = 0) унитарно эквивалентно некоторому простран-
X
ству L2 (S1 , ?) посредством некоторого унитарного изоморфизма
W : L2 (X, µ) > L2 (S1 , ?), который сопрягает U = UT с V (напом-
0
ним, что (V ?)(z) = z?(z)), т. е. W U W ?1 = V . Это утверждение
является упрощенным вариантом спектральной теоремы для
того случая, когда в L2 (X, µ) имеется циклический вектор. По
0
существу, этот частный случай доказан в § 3 (а в § 5 мы видели,
что этот случай имеет место для нашего UT ). С этой (весьма
ограниченной!) точки зрения роль спектральной теоремы в ее
общем виде, обсуждавшемся в § 2, состоит только в том, чтобы
разъяснить, почему этот частный случай называется случаем
простого спектра.
Наша конечная цель доказать утверждение, что простран-
2
ство L0 (X ? X, µ ? µ) (нижний индекс 0 снова указывает, что
функции из этого пространства имеют средние значения 0) уни-
тарно эквивалентно некоему L2 (S1 , ?) ? L2 (S1 , ?) (прямая сумма
ортогональная; мера ? непрерывна) посредством некоего уни-
тарного изоморфизма W : L2 (X ? X, µ? µ) > L2 (S1 , ?)? L2 (S1 , ?),
0
сопрягающего UT с оператором V ? V (действующего следующим
образом: ((V ? V )(?, ?))(z, w) = (z?(z), w?(w)). Как видно из
этой формулы, я обозначаю элементы прямой суммы как пары
(?, ?), а не как суммы ? + ?. Использование сумм в данном тексте
могло бы привести к недоразумениям. И ведь прямая сумма двух
пространств есть не что иное, как их декартово произведение
(только это произведение снабжено некоторой дополнительной
структурой структурой векторного пространства); обозначение
элементов прямой суммы как пар согласуется с этим фактом.)
Это утверждение, которое будет доказано в § 8, доставляет функ-
циональную модель для UT ?T в духе спектральной теоремы,
как она сформулирована в § 2. В терминах этой теоремы наше
утверждение как раз и означает, что UT ?T имеет однородный
непрерывный спектр кратности 2. (Опять-таки можно стать на
ту точку зрения, что роль спектральной теоремы состоит только
в том, чтобы объяснить спектральную терминологию.)
В этом параграфе мы построим некоторую “предварительную”
функциональную модель для UT ?T . В этой модели основную роль
56 О спектральных кратностях в эргодической теории


играет другое функциональное пространство (нежели в спект-
ральной теореме) пространство, состоящее из некоторых функ-
ций двух переменных (z, w) ? S1 ? S1 , т. е. функций на двумерном
торе. В этих терминах будет дано также простое представление
для UT ?T . (Кроме этого пространства, в “предварительной” мо-
дели будут два прямых ортогональных слагаемых, унитарно изо-
морфных L2 (S1 , ?) посредством оператора, “переводящего” огра-
ничение UT ?T на эти слагаемые в V .)
При построении “предварительной” модели мы будем исполь-
зовать только то, что было сказано в первом абзаце этого парагра-
фа. На этом шаге мы не будем использовать свойства b) из § 2 26 .
Другое дело, что без этого (или, может быть, какого-то друго-
го) дополнительного свойства невозможно доказать наше окон-
чательное утверждение об UT ?T . Но чтобы доказать это утвер-
ждение, удобнее работать с “предварительной” функциональной
моделью (конечно, при этом принимается во внимание свойство b)
из § 2, тоже переформулированное в терминах “предварительной”
модели; эта переформулировка будет дана в § 8.)
Для читателя с подходящим тезаурусом (включающем тензор-
ные произведения гильбертовых пространств) содержание этого
параграфа более или менее очевидно. Но я хотел быть понятным
также и для других читателей.
Первый шаг в направлении этой “предварительной” модели
состоит в том, что мы разлагаем пространство L2 (X ? X, µ ? µ)
в ортогональную прямую сумму четырех замкнутых линейных
подпространств, инвариантных относительно UT ? UT :

L2 (X ? X, µ ? µ) = C ? L2 ? L2 ? L2 (X ? X, µ ? µ), (32)
0x 0y 00

где
C = {constants};
L2 подпространство L2 (X ? X, µ ? µ), состоящее из тех
0x
функций f (x, y), которые в действительности зависят только от x
(f (x, y) = ?(x), где, конечно, ? ? L2 (X, µ)) и имеют нулевое сред-
нее значение (это значит, что ? ? L2 (X, µ), ибо
0


?(x) dµ(x)27 );
f (x, y)dµ(x)dµ(y) =
X X X
26 Не считая, конечно, того факта, что мы использовали b), доказывая, что
спектр UT непрерывен.
27 Здесь и далее я использую нормированную меру µ вместо обычной меры
§ 6. Функциональная модель для UT ?T 57


L2 подпространство L2 (X ? X, µ ? µ), состоящее из тех
0y
функций f (x, y), которые в действительности зависят только
от y и имеют нулевое среднее значение (f (x, y) = ?(y), где
? ? L2 (X, µ));
0
L00 (X ? X, µ ? µ) подпространство L2 (X ? X, µ ? µ), состо-
2

ящее из таких функций f (x, y), что
при почти всех y функция x > f (x, y) имеет нулевое среднее
значение, т. е. X f (x, y) dµ(x) = 0;
при почти всех x функция y > f (x, y) имеет нулевое среднее
значение, т. е. X f (x, y) dµ(y) = 0.
В связи с определением L2 надо заметить, что ввиду конеч-
00
ности меры

L2 (X ? X, µ ? µ) ? L1 (X ? X, µ ? µ).

С учетом этого обстоятельства теорема Фубини утверждает, что
для f ? L2 (X ? X, µ ? µ) при почти всех y, соответственно, при
почти всех x функции

x > |f (x, y)|2 , y > |f (x, y)|2 ,
x > f (x, y), y > f (x, y)

являются измеримыми и суммируемыми. Теорема утверждает
также, что интегралы этих функций по X существуют и
равны соответствующим двойным интегралам. Мы заключаем,
прежде всего, что функции ?(x) = X f (x, y) dµ(y), ?(y) =
X f (x, y) dµ(x) корректно определены (при почти всех x или y)
и что два условия, наложенные в определении L2 , имеют
00
смысл. Ясно, что L2 является линейным подпространством
00
2
L (X ? X, µ ? µ) в алгебраическом смысле. Докажем, что это
замкнутое подпространство. При почти всех x
2
2
|?(x)| = f (x, y) · 1 dµ(y)

|f (x, y)|2 dµ(y) · 12 dµ(y) = |f (x, y)|2 dµ(y).

<<

стр. 2
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ

>>