<<

стр. 3
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ


|?(x)|2 суммируемая (интегрируемая) функция (напомним, что
согласно одному из утверждений теоремы Фубини функция x >
Лебега в X. Это не принципиально, но более удобно. (Например, в противном
случае двойной интеграл в этой формуле равнялся бы (длина a отрезка X)?
?(x) dx.)
X
58 О спектральных кратностях в эргодической теории


|f (x, y)|2 dµ(y) является суммируемой) и

|?(x)|2 dµ(x) |f (x, y)|2 dµ(x) dµ(y). (33)

Поэтому ? ? L2 (X, µ); аналогично ? ? L2 (X, µ). Мы видим, что
отображения

P : L2 (X ? X, µ ? µ) > L2 (X, µ) f > ?, ?(x) = f (x, y) dµ(y),
X

Q : L2 (X ? X, µ ? µ) > L2 (X, µ) f > ?, ?(y) = f (x, y) dµ(x)
X

корректно определены. Ясно, что это линейные операторы, и так
как (33) означает, что ? , ? f , то эти операторы являются
ограниченными (и их нормы 1). Теперь можно перефразиро-
вать определение пространства L2 следующим образом:
00

L2 = {f ? L2 ; P f = Qf = 0}.
00

Это делает очевидной замкнутость L2 .
00
Доказательство замкнутости линейных подпространств L2 ,0x
L2 еще проще (не надо использовать какой-либо “серьезной” тео-
0y
ремы вроде теоремы Фубини). Просто заметим, что отображение

I : L2 (X, µ) > L2 (X ? X, µ ? µ) ? > f, f (x, y) = ?(x)
0

является линейным изометрическим отображением и что L2 0x
его образ. Если теперь последовательность fn ? L2 сходится в
0x
L2 (X ? X, µ ? µ) к f , то последовательность соответствующих ?n
удовлетворяет критерию Коши и оттого она сходится в простран-
стве L2 (X, µ) (которое, очевидно, является замкнутым подпро-
0
странством в L2 (X, µ)) к некоторой функции ?. Тривиальным об-
разом I(?) = lim fn , так что f = I(?) ? L2 . Подпространство L2
0x 0y
тоже является замкнутым по аналогичным соображениям.
Убедимся, что слагаемые в (32) взаимно ортогональны. Ясно,
что C ортогонально другим слагаемым, ибо все они принадле-
жат пространству L2 (X ? X, µ ? µ) функций с нулевым средним
0
значением, а L0 (X ? X, µ ? µ) ? C. Далее, L2 ? L2 :
2
0x 0y


?(x)?(y) dµ(x) dµ(y) = ? dµ · ? dµ = 0.
§ 6. Функциональная модель для UT ?T 59


Наконец, L2 ? L2 и L2 ? L2 : например, если f ? L2 и ? ?
0x 00 0y 00 00
L2 , то
0x


f (x, y)?(x) dµ(x) dµ(y) = ?(x) f (x, y) dµ(y) dµ(x)

= ?(x) · 0 dµ(x) = 0.

Тем самым доказано также, что в (32) действительно речь
идет о прямой сумме. Остается проверить, что эта сумма есть все
L2 (X ? X, µ ? µ), т. е. что

L2 (X ? X, µ ? µ) = L2 ? L2 ? L2 (X ? X, µ ? µ). (34)
0 0x 0y 00

Пусть f ? L2 (X ? X, µ ? µ), ?(x) = (P f )(x), ?(y) = (Qf )(y),
0
g(x, y) = f (x, y) ? ?(x) ? ?(y). Так как f ? L2 (X ? X, µ ? µ)
и ?, ? принадлежат L2 (X, µ), откуда следует, что как функции
от (x, y) они принадлежат L2 (X?X, µ?µ), то g тоже принадлежит
L2 (X ? X, µ ? µ). Надо проверить, что g ? L2 . При почти всех x
00


g(x, y) dµ(y) = f (x, y) dµ(y) ? ?(x) dµ(y) ? ?(y) dµ(y)
X X X X
= ?(x) ? ?(x) ? 0 = 0

( ? dµ = 0, ибо ? как функция от одной переменной принадле-
жит L2 (X, µ)). Аналогично, g(x, y) dµ(x) = 0 при почти всех y.
0
Все слагаемые в (32) инвариантны относительно UT ? UT . Для
констант это очевидно. Для функции f ? L2 мы имеем f (x, y) =
0x
некоторой ?(x); поэтому

f (T x, T y) = ? (первый элемент пары (T x, T y)) = ?(T x),

чем доказано, что UT ?T f ? L2 . Мы видим также, что по
0x
2
существу UT ?T действует на L0x как UT (более подробно, при
естественном унитарном изоморфизме L2 ? L2 (X, µ) оператор
0x =
UT ?T |L0x переходит в UT ). То же самое верно для L2 .
2
0y
Наконец, L2 является ортогональным дополнением к линейному
00
подпространству C ? L2 ? L2 , а так как последнее инвариантно
0x 0y
относительно унитарного оператора UT ?T , то его ортогональное
дополнение также инвариантно.
Функциональными моделями для L2 , L2 и для ограниче-
0x 0y
ний оператора UT ?T на эти подпространства, конечно, служат
60 О спектральных кратностях в эргодической теории


L2 (S1 , ?) и прежний оператор V . Новой для нас будет “пред-
варительная” модель для L2 (X ? X, µ ? µ) и для оператора
00
UT ?T |L2 . Этой моделью служит L2 (S1 ? S1 , ? ? ?), причем UT ?T
00
представляется следующим оператором V:
(V?)(z, w) = zw?(z, w)
(который, конечно, унитарен, ибо |zw| = 1).
Приступим к построению такого унитарного изоморфизма
W : L2 (X ? X, µ ? µ) > L2 (S1 ? S1 , ? ? ?),
00

что W(UT ?T |L2 )W?1 = V.
00
ортонормированный базис в L2 (X, µ) и
Пусть {fi ; i ? N} 0
?i = W fi (где W , как и раньше, такой унитарный изоморфизм
W : L2 (X, µ) > L2 (S1 , ?), что W (UT |L2 (X, µ))W ?1 = V ). ?i
0 0
ортонормированный базис пространства L2 (S1 , ?). Проверим, что
ортонормированный базис пространства
{fi (x)fj (y); i, j ? N}
2
L00 (X ? X, µ ? µ) и {?i (z)?j (w); i, j ? N} ортонормированный
базис пространства L2 (S1 ? S1 , ? ? ?).
Здесь мы снова почти на каждом шагу используем теорему
Фубини. Я не буду указывать, где на самом деле она использует-
ся, потому что это совершенно очевидно.
Функции fi (x)fj (y) ? L2 (X ? X, µ ? µ):

|fi (x)fj (y)|2 dµ(x) dµ(y)

|fi (x)|2 dµ(x) · |fj (y)|2 dµ(y) = 1 · 1 = 1. (35)
=

Точнее говоря, они лежат в L2 (X ? X, µ ? µ). Например, при
00
любом фиксированном y

fi (x)fj (y) dµ(x) = fj (y) fi (x) dµ(x) = fj (y) · 0 = 0.

ортонормированная система функций в
{fi (x)fj (y), i, j ? N},
2
L00 (X ? X, µ ? µ): (35) означает, что fi (x)fj (y) = 1, и если i = k
или j = l, то

fi (x)fj (y), fk (x)fl (y) = fi (x)fj (y)fk (x)fl (y) dµ(x) dµ(y)

= fi (x)fk (x) dµ(x) · fj (y)fl (y) dµ(y),

где по крайней мере один из множителей равен 0.
§ 6. Функциональная модель для UT ?T 61


Остается проверить, что нет такой функции g(x, y) ? L2 (X?X,
00
µ ? µ), которая была бы ортогональна ко всем fi (x)fj (y). Поло-
жим hj (x) = g(x, y)fj (y) dµ(y). hj определена при почти всех x
и является измеримой функцией от x; как обычно, доказывается,
что hj ? L2 (X, µ) (промежуточный шаг: почти всюду

|hj (x)|2 |g(x, y)|2 dµ(y) · fj 2
|g(x, y)|2 dµ(y) ).
=

Точнее говоря, hj ? L2 (X, µ):
0


hj (x)dµ(x) = g(x, y)fj (y) dµ(x) dµ(y)

= fj (y) g(x, y) dµ(x) dµ(y)

= fj (y) · 0 dµ(y) = 0.

Теперь для всех i

hj , f i = hj (x)fi (x) dµ(x)

= g(x, y)fi (x)fj (y) dµ(x) dµ(y) = 0,

ибо g ортогональна ко всем fi (x)fj (y). Поскольку {fi } базис в
L2 (X, µ), то hj = 0. Значит, для почти всех x и всех j
0


g(x, y)fj (y)dµ(y) = 0,

т. е. функция y > g(x, y) (которая принадлежит L2 (X, µ) при поч-
0
ти всех x) ортогональна всем fj (y). Поскольку {fj } базис, то
получается, что (при почти всех x) g(x, y) = 0 для почти всех y.
Тем самым доказано, что g(x, y) = 0 почти всюду.
Так же можно доказать, что {?i (z)?j (w)} ортонормирован-
ный базис в L2 (S1 ? S1 , µ? µ) (это доказательство даже несколько
короче, так как не надо заботиться о средних значениях).
Определим теперь W : L2 (X ? X, µ ? µ) > L2 (S1 ? S1 , ? ? ?)
00
как линейный оператор, переводящий ортонормированный базис
{fi (x)fj (y)} в ортонормированный базис {?i (z)?j (w)}:

W(fi (x)fj (y)) = ?i (z)?j (w).
62 О спектральных кратностях в эргодической теории


Ясно, что это унитарный линейный оператор. Нам надо доказать,
что
W UT ?T |L2 W?1 = V.
00

Известно, очевидно и т.д., что (ограниченный) линейный опе-
ратор A в гильбертовом пространстве однозначно определяется
своими “матричными элементами” Aei , ej относительно любого
ортонормированного базиса {ei } этого пространства. (Это равно-
сильно утверждению, что если все Aei , ej = 0, то A = 0. Но если
при фиксированном i оказывается, что Aei , ej = 0 при всех j,
то Aei = 0 ({ej } базис!). А если все Aei = 0, то A = 0.) Значит,
достаточно доказать, что для всех i, j, k, l

W UT ?T |L2 W?1 ?i (z)?j (w), ?k (z)?l (w)
00
= V?i (z)?j (w), ?k (z)?l (w) .

Левая часть равна

UT ?T |L2 W?1 ?i (z)?j (w), W?1 ?k (z)?l (w)
00
UT ?T |L2 fi (x)fj (y), fk (x)fl (y)
= 00

= fi (T (x))fj (T (y))fk (x)fl (y) dµ(x) dµ(y)
X X

= fi (T (x))fk (x) dµ(x) · fj (T (y))fl (y) dµ(y)
X X
= UT fi , fk UT fj , fl .

Но

V?i (z)?j (w), ?k (z)?l (w)

= zw?i (z)?j (w)?k (z)?l (w) d?(z) d?(w)
S1 S1

= z?i (z)?k (z) d?(z) · w?j (w)?l (w) d?(w)
S1 S1
= V ?i , ?j V ?k , ?l = UT fi , fk UT fj , fl ,

и все доказано.
§ 7. Мера, индуцированная при отображении 63


§ 7. Мера, индуцированная при отображении
из другой меры
Содержание этого параграфа, в принципе, хорошо известно. Но
для некоторых читателей оно может оказаться не столь хорошо
известным (или забытым) поэтому я и счел целесообразным
написать этот параграф.
Пусть (X, B, µ) пространство с конечной мерой28 , т. е. B
сигма-алгебра некоторых подмножеств X и µ функция
µ : B > R+ = [0, ?), имеющая известные свойства, резюмируе-
мые словами “сигма-аддитивная функция множеств с конечными
неотрицательными значениями”. (Обычно сигма-алгебра B пред-
полагается полной в том смысле, что если A ? B и µ(A) = 0,
то все подмножества A тоже принадлежат B. Когда X снаб-
жено “хорошей” топологией, то имеется другая возможность: B
часто является сигма-алгеброй борелевских множеств.) Пусть
дано множество Y и сюръективное отображение (отображение
“на”) F : X > Y . Тогда можно снабдить Y структурой про-
странства с мерой (Y, B , µ ), определяя B как систему тех
множеств B, прообразы которых F ?1 (B) ? B, а µ : B > R+
как µ (B) = µ(F ?1 (B)). Почти очевидно, что B сигма-алгебра
иµ мера . (Если сигма-алгебра B полна в указанном
29

смысле, то B тоже полна: если A ? B , µ(A) = 0 и B ? A,
то F ?1 (A) ? B, µ(F ?1 (A)) = 0 и F ?1 (B) ? F ?1 (A); ввиду
полноты B, F ?1 (B) ? B, а это означает, что B ? B .) Очевидным
обозначением для µ является µ ? F ?1 ; часто употребляется также
обозначение F? µ. Здесь я буду пользоваться последним. Мера
F? µ называется мерой, индуцированной на пространстве Y при
отображении F из меры µ.
Функция f : Y > C измерима тогда и только тогда, когда
для любого борелевского подмножества B ? C множество
f ?1 (B) ? B . Это означает, что F ?1 (f ?1 (B)) ? B, т. е. что
28 Нам нужен только случай конечной меры, так что мы можем им
ограничиться. Модификации для случая бесконечной меры более или менее
очевидны, но для них потребовалось бы некоторое место.
29 Часто бывает, что заранее задана некоторая сигма-алгебра B

подмножеств Y и что отображение F измеримо как отображение одного
“измеримого пространства” (пространства с сигма-алгеброй подмножеств) в
другое. Тогда определяют только µ (так же, как и выше). Заметим, что
в этом случае B тоже состоит из множеств с измеримыми прообразами,
но могут существовать множества с измеримыми прообразами, не
принадлежащие B . Нам этот вариант не понадобится.
64 О спектральных кратностях в эргодической теории


функция f ? F на X измерима. Проверим, что в этом случае
справедлива формула

(36)
f d(F? µ) = (f ? F ) dµ
Y X
с дополнительным примечанием: при написании этой формулы
имеется в виду, что интеграл в одной из сторон этой формулы
существует; это гарантирует существование интеграла в другой
стороне формулы. Проверка проводится в несколько шагов.
Сперва рассмотрим тот случай, когда f “простая” функция
fi ?Ai , где fi некоторые числа и ?Ai характеристи-
f=
ческие (индикаторные) функции некоторых множеств Ai ? B .
Тогда f ? F тоже сумма характеристических функций некото-
рых множеств с некоторыми множителями, оба интеграла в (36)
существуют и

f d(F? µ) = fi (F? µ)(Ai )
Y

fi µ(F ?1 (Ai )) =
= fi ?F ?1 (Ai ) dµ.
X
Остается заметить, что ?F ?1 (Ai ) = ?Ai ? F (x ? F ?1 (Ai ) тогда
и только тогда, когда F (x) ? Ai ); значит,

fi ?F ?1 (Ai ) = fi ?Ai ? F = f ? F.
Теперь рассмотрим тот случай, когда f ограниченная изме-
римая функция на Y . Любую такую функцию можно равномерно
приблизить “простыми” функциями, и оба интеграла Y f d(F? µ)
и X (f ? F ) dµ являются пределами соответствующих интегралов
от этих приближающих функций. Тем самым формула (36) дока-
зана для равномерно ограниченных измеримых функций.
Заметим, что в обоих рассмотренных выше случаях нам не
надо специально заботиться о сходимости интегралов в (36)
они существуют автоматически.
Пусть, далее, функция f 0 является измеримой и неограни-
ченной. Обозначим через fN ее “ограничение” (“срезку”)

если f (x) N,
f (x),
fN (x) =
если f (x) > N.
N,
По определению, Y f (x) d(F? µ) = limN >? Y fN (x) d(F? µ), где
предел может быть бесконечным. Очевидно, (f ? F )N = fN ? F ,
§ 7. Мера, индуцированная при отображении 65


так что

f (x) d(F? µ) = lim fN (x) d(F? µ)
N >?
Y Y

= lim (fN ? F ) dµ = (f ? F ) dµ,
N >? X X

где первый и последний интегралы оба конечны или оба беско-
нечны.
Пусть f измеримая функция с вещественными значениями.
Обозначим

если f (x) 0,
f (x),
f+ (x) =
если f (x) < 0,
0,
если f (x) 0,
f (x),
f? (x) =
если f (x) > 0.
0,

Тогда функции f± измеримы и f = f+ + f? . Если хотя бы один
из двух интегралов Y f+ d(F? µ) и Y |f? | d(F? µ) конечен, то мы
определяем Y f d(F? µ) как их разность (причем в том случае,
когда один из этих двух интегралов бесконечен, а другой конечен,
мы полагаем

? ? конечное число = ?, конечное число ? ? = ??).

Если оба интеграла бесконечны, то Y f d(F? µ) не определен. Оче-
видно, (f ?F )+ = f+ ?F , (f ?F )? = f? ?F , и так как мы уже знаем,
что Y f+ d(F? µ) = X (f ? F )+ dµ, где оба интеграла одновремен-
но конечны или бесконечны, и так как аналогичное утверждение
имеет место для интегралов от (f ?F )? и f? ?F , то мы приходим к
формуле (36) вместе со сделанным сразу после нее дополнитель-
ным примечанием.
Наконец, пусть f измеримая функция с комплексными зна-
чениями. Тогда f = g + ih с некоторыми вещественно-значными
измеримыми функциями g и h. Мы определяем Y f d(F? µ) =
g d(F? µ)+i Y h d(F? µ), в предположении, что это имеет смысл,
Y
т. е. что существуют оба интеграла в правой части и хотя бы один
из них конечен. Применяя (36) к интегралам от g и h, мы по-
лучаем формулу (36) для f с тем же самым дополнительным
примечанием. (Что касается последнего, заметим, что: a) инте-
гралы Y g d(F? µ) и X (g ? F ) dµ одновременно существуют или
66 О спектральных кратностях в эргодической теории


не существуют, а когда они существуют, то они оба конечны или
бесконечны; b) то же самое относится и к интегралам от h и h?F .)
В § 8 нам понадобится, что если две (как обычно, конечные)
меры µ и ? на X эквивалентны, то меры F? µ и F? ? на
Y тоже эквивалентны. Достаточно доказать, что если ? µ,
то F? ? F? µ. Здесь удобно обратиться к тому определению
абсолютной непрерывности, в котором используются множества
меры 0. Пусть A ? B и (F? µ)(A) = 0. Последнее означает, что
µ(F ?1 (A)) = 0. Так как ? µ, то ?(F ?1 (A)) = 0, а это и означает,
что (F? ?)(A) = 0.
Мы применим понятие индуцированной меры к случаю, когда
X = S1 ? S1 , Y = S1 , F является “отображением умножения” m,
определенным как

m : S1 ? S1 > S1 , m(z, w) = zw,

и µ является прямым произведением ??? конечной меры ?, опре-
деленной на S1 , на себя. (? будет некоторой спектральной мерой.)
В этом случае индуцированная мера m? (???) обозначается через
? ? ? и называется сверткой30. Повторим, что31

(? ? ?)(A) = (? ? ?)(m?1 (A)),

f d(? ? ?) = (f ? m) d(? ? ?),
(37)
S1 S1 S1

f (z) d(? ? ?)(z) = f (??) d?(?) d?(?).
S1 S1 S1

Конечно, здесь предполагается измеримость множества A по
мере ? ? ? и интегрируемость функции f по той же мере. Это
эквивалентно измеримости множества m?1 (A) и интегрируемости
функции (?, ?) > f (??) по мере ? ? ?.
Желательно было бы знать, что мера ? ? ? является обычной
мерой Лебега–Стилтьеса32 или, говоря точнее, что она станет
30 В функциональном (или гармоническом) анализе это понятие определя-
ется во много более общей ситуации. Я рассматриваю только специальный
случай, который нам понадобится в § 8.
31 Отныне в тех случаях, когда приходится иметь дело одновременно с S1

и S1 ? S1 , я обычно буду обозначать точки тора греческими буквами (?, ?),
чтобы подчеркнут их отличие от точек окружности S1 .
32 В теореме Герглотца молчаливо подразумевается, что спектральная

мера ? является мерой Лебега–Стилтьеса. Вообще, обычно в тех случаях,
когда речь идет о мере на S1 , она является мерой Лебега–Стилтьеса.
§ 7. Мера, индуцированная при отображении 67


такой мерой, если, “разрезав” окружность S1 , перейти к отрезку
[0, 2?). Определение меры Лебега–Стилтьеса ? выглядит совсем
иначе, нежели наше определение ? ? ?. Начинают с неубывающей
функции (“функции распределения”), затем определяют меру ?
интервалов, затем меру открытых и замкнутых множеств, и
наконец определяют ?-измеримое множество как множество A,
которое для любого ? > 0 можно так приблизить “сверху”
открытым множеством U ? A и “снизу” замкнутым множест-
вом F ? A, что ?(U ) ? ?(F ) < ?; для измеримого A определяют
?(A) = supF ?A ?(F ) = inf U?A ?(U ). Легко видеть, что мера ?,
определенная на некоторой полной сигма-алгебре B подмножеств
интервала, будет мерой Лебега–Стилтьеса, если B содержит
все замкнутые множества (значит, и все множества типа F? )
и если для любого множества A ? B существует такое F? -
множество B ? A, что µ(A \ B) = 0. Проверим, что мера ? ? ? и
соответствующая сигма-алгебра B имеют эти свойства.
Во-первых, сигма-алгебра B полная. Действительно, если
мера множества A ? B равна нулю и B ? A, то m?1 (B) ?
m?1 (A), (? ? ?)m?1 (A) = 0, и множество m?1 (B) ? m?1 (A)
принадлежит сигма-алгебре ? ? ?-измеримых множеств как под-
множество множества меры 0; отсюда следует, что B ? B . Во-
вторых, раз отображение m непрерывно, то прообразы всех боре-
левских множеств, не только замкнутых, являются борелевски-
ми множествами и поэтому (? ? ?)-измеримы. Теперь я докажу,
что если A ? B , то существует такое F? -множество B ? A, что
(? ? ?)(B) = (? ? ?)(A). Пусть C = m?1 (A). Будучи (? ? ?)-
измеримым, оно содержит F? -подмножество D той же меры. Мы
можем представить D как объединение n Dn замкнутых мно-
жеств, которые компактны, поскольку компактен тор. Образ ком-
пактного множества при непрерывном отображении компактен,
в частности, замкнут. Стало быть, все m(Dn ) замкнуты, и ес-
ли взять B = m(D) = n m(Dn ), то B будет F? -множеством,
содержащимся в A. Очевидно, D ? m?1 (B) ? C, и посколь-
ку (? ? ?)(D) = (? ? ?)(C), то множество m?1 (B) имеет ту
же меру, что и (? ? ?)(C). Но (? ? ?)(B) = (? ? ?)m?1 (B) и
(? ? ?)(A) = (? ? ?)(C). Поэтому (? ? ?)(B) = (? ? ?)(A).
В качестве примера докажем, что в нашем случае (когда ме-
ра ? непрерывна) свертка ? ? ? тоже непрерывна. Для любой
68 О спектральных кратностях в эргодической теории


точки a ? S1

(? ? ?)({a}) = (? ? ?)(m?1 ({a})) = (? ? ?)({(?, ?); ?? = a})
a
= (? ? ?) (?, ?); ? = .
?

Но для любой кривой L ? S1 ? S1 вида ? = W (?) мы имеем
(? ? ?)(L) = 0, потому что (Фубини!)

(? ? ?)(L) = ?L (?, ?) d?(?) d?(?)
S1 S1

= ?L (?, ?) d?(?) d?(?)
S1 S1

= ?({W (?)}) d?(?) = 0 d?(?) = 0.
S1 S1

Сказанное доказывает также, что

для диагонали D = {(?, ?); ? = ?} (? ? ?)(D) = 0. (38)
§ 8. Спектральная кратность автоморфизма T ? T 69


§ 8. Спектральная кратность
автоморфизма T ? T
В этом параграфе мы будем иметь дело с нашей “предваритель-
ной” функциональной моделью, точнее, с моделями
(L2 (S1 , ?), V ) для UT в L2 (X, µ) и для UT ?T |L0x , UT ?T |L0y
0
(39)
и с моделью
(L2 (S1 ? S1 , ? ? ?), V) для UT ?T в L2 (X ? X, µ ? µ). (40)
00

Так как мы собираемся использовать свойство b) из § 2, нам надо
перефразировать его в терминах этих моделей. Для (39) пере-
фразировка очевидна слабая сходимость сохраняется при уни-
тарном изоморфизме (ибо она определяется в терминах скаляр-
w1
ных произведений). Поэтому V ln > 2 (id + V ), т. е. для любых
?, ? ? L2 (S1 , ?)
1
z ln ?(z)?(z) d?(z) > (41)
(1 + z)?(z)?(z) d?(z).
2
S1 S1

Что влечет за собой b), т. е. (41), для “предварительной” моде-
ли (40)? Как мы увидим,
1
w
Vln > умножение на (42)
(1 + ?)(1 + ?),
4
т. е.

? ln ? ln ?1 (?, ?)?2 (?, ?) d?(?) d?(?)
S1 S1
1
(43)
> (1 + ?)(1 + ?)?1 (?, ?)?2 (?, ?) d?(?) d?(?)
4
S1 S1

при всех ?1 , ?2 ? L2 (S1 ? S1 , ? ? ?).
(43) тривиально, когда каждая из функций ?1 и ?2 является
произведением двух функций, одна из которых зависит только
от ?, другая только от ?. Действительно, если
?1 = ?1 (?)?1 (?), ?2 = ?2 (?)?2 (?),
то интеграл в левой части (43) равен

? ln ?1 (z)?2 (?) d?(?) ? ln ?1 (?)?2 (?) d?(?).
S1 S1
70 О спектральных кратностях в эргодической теории


Согласно (41), при ln > ? последнее выражение стремится к
1 1
(1 + ?)?1 (?)?2 (?) d?(?) (1 + ?)?1 (?)?2 (?) d?(?),
2 2
S1 S1

что равно интегралу в правой части (43).
Это рассуждение наталкивается на один “подводный камень”:
можно ли утверждать, что функции ?1 , ?2 , ?1 , ?2 интегрируемы
с квадратом? Обычно в подобных случаях приходится исполь-
зовать теорему Фубини, возможно, вместе с какими-то другими
соображениями, основанными на каких-то специфических осо-
бенностях рассматриваемого вопроса. Но мы можем избежать
подобного обсуждения. Для нашей цели можно ограничиться
тем случаем, когда с самого начала функции ?1 , ?2 , ?1 , ?2
предполагаются непрерывными. Тогда не возникает вопроса о
корректности предыдущего рассуждения.
Если наше утверждение о сходимости (43) имеет место для
функций вида ?(?)?(?) (пусть даже только с непрерывными ?
и ?), то оно имеет место и для конечных линейных комбинаций
таких функций. Множество F таких комбинаций (даже тех, в ко-
торых сомножители непрерывны) плотно в L2 (S1 ?S1 , ???). В § 5
мы видели, что если имеется такая последовательность Bn (?, ?)
равномерно (по n) ограниченных билинейных функционалов, что
Bn (?, ?) > 0 при всех ?, ? из некоторого плотного множества F ,
то Bn (?, ?) > 0 при всех ?, ?. Поэтому нам надо проверить рав-
номерную ограниченность билинейных функционалов
Bn (?1 , ?2 )
1
(??)ln ? (1 + ?)(1 + ?) ?1 (?, ?)?2 (?, ?) d?(?) d?(?).
=
4
S1 S1
Доводы здесь аналогичны тем, которые были использованы в § 5
для рассматривавшихся там Bn . Так как |?| = |?| = 1, то
1
(??)ln ? (1 + ?)(1 + ?)
4
1 1
|??|ln + (1 + |?|)(1 + |?|) = 1 + (1 + 1)(1 + 1) = 2,
4 4


|Bn (?1 , ?2 )| 2 |?1 ||?2 |d(? ? ?) = 2 |?1 |, |?2 |
S1 S1
2 |?1 | |?2 | = 2 ?1 ?2 .
§ 8. Спектральная кратность автоморфизма T ? T 71


В дальнейшем нам понадобятся гильбертовы пространства сим-
метрических и антисимметрических функций на торе S1 ? S1 :
Hs = {f ? L2 (S1 ? S1 , ? ? ?); f (?, ?) = f (?, ?) ? (?, ?) ? S1 ? S1 },
Ha = {f ? L2 (S1 ? S1 , ? ? ?); f (?, ?) = ?f (?, ?) ? (?, ?) ? S1 ? S1 }.
Заметим, что L2 (S1 ? S1 , ? ? ?) = Hs ? Ha (ортогональная прямая
сумма). Действительно, ввиду равенства
1 1
f (?, ?) = (f (?, ?) + f (?, ?)) + (f (?, ?) ? f (?, ?))
2 2
(где первое слагаемое, очевидно, лежит в Hs , а второе в Ha )
21 1
ясно, что L (S ? S , ? ? ?) = Hs + Ha . Слагаемые пересекаются
только по {0}: если f ? Hs ? Ha , то f (?, ?) равняется одновремен-
но f (?, ?) и ?f (?, ?), откуда f = 0. Иными словами, L2 = Hs ? Ha
в алгебраическом смысле. Слагаемые здесь ортогональны: если
f ? Hs , g ? Ha , то

f (?, ?)g(?, ?) d?(?) d?(?) = ? f (?, ?)g(?, ?) d?(?) d?(?).
S1 S1 S1 S1
В последнем интеграле мы можем поменять обозначения пере-
менных, что дает

? f (?, ?)g(?, ?) d?(?) d?(?).
S1 S1
Интеграл здесь отличается от исходного интеграла только по-
рядком интегрирования по ?(?) и ?(?). Порядок можно обра-
тить, и получится, что исходный интеграл равен самому себе со
знаком минус. Значит, этот интеграл равен нулю. Из того, что
L2 = Hs ? Ha и Hs ? Ha , следует, что Hs , соответственно Ha , яв-
ляется ортогональным дополнением к Ha , соответственно к Hs .
Отсюда следует также замкнутость Hs и Ha ортогональные до-
полнения всегда замкнуты. (Конечно, замкнутость Hs , Ha легко
доказать и непосредственно.)
Очевидно, что Hs и Ha инвариантны относительно V (в том
смысле, что VHs = Hs , VHa = Ha ). Действительно, (??)±1 f (?, ?)
имеет те же “свойства симметрии”, что и f (?, ?).
Замечание об обозначениях: через 1?,? обозначается функция
от (?, ?), тождественно равная 1. Подобного рода обозначение ис-
пользуется, чтобы отличить эту функцию от тождественно рав-
ной 1 функции 1z от переменной z или обе эти функции от
числа 1.
72 О спектральных кратностях в эргодической теории


Теперь мы можем анонсировать нашу программу. Мы дока-
жем, что
Hs = Z(1) = Z V (1?,? ), (44)
(45)
Ha = Z(? ? ?),
(46)
?1?,? = ? ? ?,
???? ? ? ? ?, (47)
=
(48)
? ? ? ? ?.
Отсюда будет следовать, что

L2 (X ? X, µ ? µ)
0
? L2 (S1 , ?) ? L2 (S1 , ?) ? L2 (S1 , ? ? ?) ? L2 (S1 , ? ? ?). (49)
=

Ясно, что если меры ?1 ? ?2 , то ортогональная прямая сумма

L2 (S1 , ?1 ) ? L2 (S1 , ?2 ) ? L2 (S1 , ?1 + ?2 ),
=

причем при этом изоморфизме оператор V ?V (эти “слагаемые” V
действуют обычным образом на первом и втором слагаемом в сто-
ящей слева прямой сумме) переходит в оператор V , действующий
на третьем L2 . Поэтому

L2 (X ? X, µ ? µ) ? L2 (S1 , ? + ? ? ?) ? L2 (S1 , ? + ? ? ?)
=
0
ортогональная прямая сумма).
(?

Тем самым доказано, что множеством спектральных кратностей
для UT ?T является {2}33 .
33 Существенно,
что ? ? ? ? ?. В противном случае мы имели бы ? = ? + ?1 ,
? ?? = ? +?2 с некоторыми мерами ? ? ? , ? ? ?1 , ? ? ?2 , ?1 ? ?2 (некоторые
комментарии по этому поводу будут даны при доказательстве (48)). Тогда
получилось бы, что
L2 (S1 , ?) ? L2 (S1 , ? ? ?) ? L2 (S1 , ?) ? L2 (S1 , ?1 ) ? L2 (S1 , ? ) ? L2 (S1 , ?2 )
=
? L2 (S1 , ?1 + ?2 ) ? L2 (S1 , ?) ? L2 (S1 , ? )
=
? L2 (S1 , ?1 + ?2 ) ? два слагаемых L2 (S1 , ?),
=
и

L2 (X ? X, µ ? µ)
0
? два слагаемых L2 (S1 , ?1 + ?2 ) ? четыре слагаемых L2 (S1 , ?)
=
(прямая сумма ? все время ортогональная). Здесь ?1 + ?2 ? ? и чис-
ло слагаемых со спектральной мерой ?1 + ?2 отлично от числа слагаемых
§ 8. Спектральная кратность автоморфизма T ? T 73


Замечание. Если автоморфизм пространства с мерой T эр-
годичен и UT имеет дискретный спектр, то

(L2 (X, µ), UT ) ? (L2 (S1 , ?), V ),

где мера ? “сконцентрирована” на счетном множестве ? собствен-
ных значений, которое является подгруппой мультипликативной
группы S1 . В этом случае оказывается, что ? ?? ? это просто
перефразировка того факта, что произведение двух собственных
значений является собственным значением. По этой причине в
случае непрерывной меры ? свойство ? ? ? ? (когда оно вы-
полняется) может рассматриваться как аналог свойства ? быть
группой. В течение ряда лет в эргодической теории были из-
вестны только такие ?, для которых выполняется это свойство.
Это привело Колмогорова к вопросу, не верно ли, что для ме-
ры ?, возникающей в спектральном разложении оператора UT
для эргодического T , всегда должно быть ? ? ? ?, т. е. не дол-
жен ли для спектра иметь место некоторый аналог “группового
свойства”.
Точнее говоря, Колмогоров задал вопрос об этом свойстве для
так называемой “меры максимального спектрального типа” ?max .
Последнее понятие относится к общему случаю унитарного опе-
ратора U в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Оказы-
вается, что существует однозначно определенный спектральный
тип [?max ], такой, что для любой представляющей его меры ?max

существует такой элемент f ? H, что его спектральная мера
?max для любого g ? H.
?f ? ?max , ?g

Это объясняет, почему спектральный тип [?max ] называется “мак-
симальным спектральным типом” (и почему принадлежащие ему
меры тоже называются максимальными). Если, в обозначениях
§ 2, S состоит из спектральных типов [?i ] для оператора U , т. е.
если меры ?i суть представители всех спектральных типов, то
легко доказать, что можно взять ?max = i ai ?i , где положи-
тельные коэффициенты ai берутся такими, чтобы ряд сходился к
конечной мере.
со спектральной мерой ?. Оператор UT ?T представлялся бы при этом обыч-
ным образом (V на каждом прямом слагаемом). Это разложение гильбертова
пространства имело бы все свойства разложения, описанного в спектральной
теореме из § 2, так что множеством спектральных кратностей для T ?T было
бы {2, 4}.
74 О спектральных кратностях в эргодической теории


Похоже, Колмогоров подозревал, что (для эргодического T и
соответствующего UT ) всегда ?max ? ?max ?max . (48) показыва-
ет, что наше T является противоречащим примером для такого
утверждения. (В этом случае легко усмотреть, что ?max ? ?.) На
самом деле первый противоречащий пример был намного раньше
найден на совсем другом пути. Но здесь мы “бесплатно” получа-
ем другой противоречащий пример, занимаясь ответом на вопрос
Рохлина.
Приступаем к доказательству (44)–(48).
Прежде всего, если E такое замкнутое линейное подпро-
странство, что VE = E, то для любого ? ? E будет Z(?) ? E (по-
скольку линейные комбинации элементов Vn ? принадлежат E,
равно как и их пределы). Ясно, что 1?,? ? Hs и ? ? ? ? Ha .
Поэтому
(50)
Z(1) ? Hs , Z(? ? ?) ? Ha .
Теперь, используя (42), мы докажем, что для любого симмет-
рического многочлена p(?, ?) и любого ? ? L2 (S1 ? S1 , ? ? ?)

p(?, ?)? ? Z(?) = Z V (?).

Симметрический многочлен от двух переменных является мно-
гочленом от элементарных симметрических многочленов ?1 =
?1 (?, ?) = ? + ?, ?2 = ?2 (?, ?) = ??. Умножение на ?2 это V,
так что
i
?2 Z(?) ? Z(?) для всех i ? Z (51)
(раз Z(?) инвариантно относительно V и V?1 ). Что же касается
умножения на ?1 , это тот решающий шаг, где мы используем (42).
w
Все Vln ? ? Z(?). Но V ln ? > 1 (1 + ?)(1 + ?)? и Z(?) замкнуто
4
относительно слабой сходимости. Значит, 1 (1 + ?)(1 + ?)? ? Z(?).
4
В то же время (1 + ?)(1 + ?) = 1 + ? + ? + ?? = 1 + ?1 + ?2
и ?, ?2 ? ? Z(?). Получается, что ?1 ? ? Z(?).
Если ? ? Z(?), то Z(?) ? Z(?) (любую линейную комбинацию
элементов Vk ? можно приблизить линейными комбинациями эле-
ментов Vk ? , где ? некоторая линейная комбинация элементов
m 2
V ?, приближающая ?). Получается, что ?1 ? ? Z(?1 ?) ? Z(?),
и так далее.
Как мы видим,
j
для всех неотрицательных целых чисел j.
?1 ? ? Z(?)
§ 8. Спектральная кратность автоморфизма T ? T 75


После этого можно сказать (со ссылкой на (51)), что
ij
?2 ?1 ? ? Z(?) для всех неотрицательных целых чисел i, j.

Любой симметрический многочлен p(?, ?) является линейной ком-
ij
бинацией некоторых ?1 ?2 , и мы приходим к включению p(?, ?)? ?
Z(?) = Z V (?).
В случае одной переменной z мы уже дали название “тригоно-
1
метрические полиномы” многочленам от z и z . Аналогично, мы
1 1
будем называть многочлены от ?, ? , ?, ? “тригонометрическими
полиномами”. (Если положить ? = ei? , ? = eiµ , то наши “тригоно-
метрические полиномы” действительно станут тригонометриче-
скими полиномами от ?, µ.) Любой тригонометрический полином
1
t(?, ?) может быть записан в виде t(?, ?) = (??)n p(?, ?) с некото-
рыми многочленом p и числом n ? Z+ . Если функция t(?, ?)
симметрическая, то многочлен p(?, ?) тоже симметрический.
Так как VZ(?) = Z(?), то приходим к выводу, что

(симметрический тригонометрический полином от ?, ?)? ? Z(?).
(52)
В частности, взяв ? = 1?,? , мы видим, что

симметрический тригонометрический полином от ?, ? ? Z(1).
(53)
Но

симметрические тригонометрические полиномы плотны в Hs .
(54)
Действительно, поскольку тригонометрические полиномы плот-
ны в L2 (S1 ? S1 , ? ? ?), то для любого ? ? Hs , ? > 0 имеет-
ся такой тригонометрический полином t, что ? ? t < ?. Тогда
1
симметрический тригонометрический поли-
2 (t(?, ?) + t(?, ?))
1
ном, а ?(?, ?) = 2 (?(?, ?) + ?(?, ?)). Значит,

1
?(?, ?) ? (t(?, ?) + t(?, ?))
2
1 1
= (?(?, ?) + ?(?, ?)) ? (t(?, ?) + t(?, ?))
2 2
1 1
?(?, ?) ? t(?, ?) + ?(?, ?) ? t(?, ?) < ?.
2 2
Теперь из (50), (53) и (54) следует (44).
76 О спектральных кратностях в эргодической теории


Для доказательства (45) нам нужно простое алгебраическое
утверждение: каждый антисимметрический многочлен p(z, w)34
имеет вид q(z, w)(z ? w), где q симметрический многочлен. До-
статочно доказать это утверждение для однородных многочле-
нов. Пусть p(z, w) однородный антисимметрический многочлен
z
степени n. Тогда p(z, w) = wn p w , 1 . Разделим p(t, 1) (как много-
член от t степени n) на t?1. Априори при этом может получиться
остаток r:
(55)
p(t, 1) = Q(t)(t ? 1) + r,
где Q некоторый многочлен от t степени n ? 1 и r остаток.
Поскольку p(z, w) = ?p(w, z), то
z w
wn p , 1 = ?z n p ,1 ,
w z
z
и введя новую переменную t = w, это можно записать как

1
p(t, 1) = ?tn p ,1 .
t

Используя (55), получаем

1 1
Q(t)(t ? 1) + r = ?tn Q ? 1 ? tn r. (56)
t t

Но ведь tn?1 Q 1 является многочленом от t и t 1
? 1 = 1 ? t.
t t
Стало быть, в правой части (56) стоит

?(многочлен от t)(1 ? t) ? tn r.

При t = 1 это равняется ?r. При том же t левая часть (56) равна r,
поэтому r = ?r, r = 0, и
z z z
p(t, 1) = Q(t)(t ? 1), p ,1 = Q ?1 ,
w w w
z z z
p(z, w) = wn p , 1 = wn Q ?1 =
w w w
z z
= wn?1 Q w ? 1 = q(z, w)(z ? w).
w w
34 Здесь z и w суть независимые переменные в обычном алгебраическом
смысле. Их абсолютные величины не обязаны равняться 1, (z, w) не является
точкой S1 ? S1 . Поэтому сейчас нет причины использовать греческие буквы.
§ 8. Спектральная кратность автоморфизма T ? T 77


z
Здесь q(z, w) = wn?1 Q w некоторый многочлен (однородный
степени n ? 1). Будучи отношением двух антисимметрических
функций p(z, w) и z ? w, он симметричен.
Применяя это утверждение вместе с (52) к ? = ? ? ?, заклю-
чаем, что

{антисимметрические тригонометрические
полиномы от ?, ?} ? Z(? ? ?).
Но эти тригонометрические полиномы плотны в Ha (аргументы
аналогичны тем, которые использовались для симметрических
полиномов и Hs ; вместо полусуммы мы берем полуразность). Это
вместе с (50) доказывает (45).
Доказательство (46) сводится к непосредственному исполь-
зованию определения оператора V, скалярного произведения в
L2 (S1 ? S1 , ? ? ?) и (37):

Vn 1?,? , 1?,? = (??)n 1 · 1 d?(?) d?(?)
S1 S1

(??)n d?(?) d?(?) = z n d(? ? ?)(z).
=
S1 S1 S1

Доказательство (47) более сложно35 . Введем следующую
меру ? на S1 ? S1 :

|? ? ?|2 d?(?) d?(?).
?(A) = ···

A

Мы увидим, что ???? = m? ? (где m по прежнему отображение
умножения S1 ? S1 > S1 ). Из определения индуцированной меры
m? ? следует, что

?(z) d(m? ?) = ?(??) d?(?, ?)
S1 S1 S1

?(??)|? ? ?|2 d?(?) d?(?)
=
S1 S1
35 Возможно, что изложение в этом месте стало бы более прозрачным, ес-
ли бы я использовал понятие “функции f (U ) от унитарного оператора U ”,
соответствующей более или менее общей измеримой функции f , определен-
ной на S1 . Это позволило бы интерпретировать произведения ?(??)(? ? ?)
с ? ? L2 (S1 , ???? ) как ?(V)???? . (Точно так же в предыдущих соображе-
ниях о Hs можно было бы интерпретировать ?(??) с ? ? L2 (S1 , ? ? ?) как
?(V) · 1?,? .)
78 О спектральных кратностях в эргодической теории


для любой функции ?, определенной на S1 и интегрируемой (сум-
мируемой) по мере m? ?, в частности, для любой непрерывной
функции. Из (6) с V вместо U и ? ? ? вместо f (т. е. из самого
определения ???? , основанного на теореме Герглотца) явствует,
что

(??)n |???|2 d?(?) d?(?) = Vn (???), ??? = z n d???? (z).
S1 S1 S1

Первый двойной интеграл можно записать как S1 S1 (??)n d? =
z n d(m? ?). Отсюда следует, что для любого тригонометриче-
S1
ского полинома t(z) (который является конечной линейной ком-
бинацией функций z n )

t(z) d(m? ?)(z) = t(??) d? = t(z) d???? (z),
S1 S1 S1 S1

и мы видим, что для любой непрерывной функции f ? C(S1 )

f (z) d(m? ?)(z) = f (z) d???? (z).
S1 S1

Таким образом, меры m? ? и ???? определяют один и тот же
линейный функционал на C(S1 ). Известно, что любая конечная
мера µ на S1 однозначно определяется функционалом f > S1 f dµ
на C(S1 ) (аналогичное утверждение справедливо для мер на мно-
гих других топологических пространствах). Тем самым доказано,
что m? ? = ???? .
Ясно, что мера ? абсолютно непрерывна относительно ? ? ? и
имеет плотность (производную Радона–Никодима)
d?
(?, ?) = |? ? ?|2 .
d(? ? ?)
Эта плотность положительна почти всюду относительно ? ? ?
она обращается в нуль только на диагонали D = {(?, ?); ? = ?},
а мы видели в § 7, что (? ? ?)(D) = 0, см. (38). Оттого меры ?
и ? ? ? имеют одни и те же множества меры 0, что означает их
эквивалентность.
В § 7 мы видели, что меры, индуцированные из двух экви-
валентных мер при одном и том же отображении, эквивалент-
ны. Поэтому (47) следует из тех фактов, что ? ? ? = m? (? ? ?),
???? = m? (?), ? ? ? ? ?.
§ 8. Спектральная кратность автоморфизма T ? T 79


Наконец, надо доказать (48). Это будет сделано от противного.
Допустим, что ? ? ? ? ?. Как известно из теории меры, тогда
существуют такие меры ?, ?1 , ? , ?2 , что36 ? и ? нетривиальны и

? = ? + ?1 , ? ? ? = ? + ?2 ,
(57)
???, ?1 ? ?, ?1 ? ? ? ?, ?2 ? ? , ?2 ? ?.
Можно перефразировать (57) в более наглядных терминах
множеств, являющихся “носителями” этих мер. Существуют та-
кие измеримые множества B, C, что

(? ? ?)(S1 \ B) = 0, ?(S1 \ C) = 0.
?1 (B) = 0, ?2 (C) = 0,

Тогда ? является частью меры ?, “сконцентрированной” на мно-
жестве A = B ? C, т. е.

?(S1 \ A) = 0.
для (58)
?(E) = ?(E) E ? A,

Кроме того,

? (S1 \ A) = 0,
для E ? A,
? (E) = (? ? ?)(E)
для E ? S1 \ A, (59)
?1 (E) = ?(E) ?1 (A) = 0,
для E ? S1 \ A,
?2 (E) = (? ? ?)(E) ?2 (A) = 0.

В самом деле,

(60)
?1 (A) = ?1 (B ? C) ?1 (B) = 0,

и при E ? A

?(E) = (? + ?1 )(E) = ?(E) + 0 = ?(E).

Что касается второй из формул (58), S1 \ A = (S1 \ B) ? (S1 \ C),
и надо доказать, что ?(S1 \ B) = 0 и ?(S1 \ C) = 0. Второе ра-
венство получается непосредственно: ?(S1 \ C) ?(S1 \ C) = 0.
Чтобы доказать первое равенство, начнем с ? и ? ? ?: ? (S1 \ B)
(? ??)(S1 \B) = 0. Так как ? ? ? , то получается, что ?(S1 \B) = 0.
36 См. [1], § 32, теорема 3 (теорема о лебеговском разложении мер). Мы
сперва применяем эту теорему к ? ? ? и ?; это дает нам такие меры ?, ?1 , что
? ? ? (так что ?1 ? ?). Затем мы применяем ее
? = ? + ?1 , ?1 ? ? ? ?, ?
к ? и ? ? ?; это дает такие ? , ?2 , что ? ? ? = ? + ?2 , ?2 ? ?, ? ? (так что
?2 ? ? ). Легко проверить, что меры ?, ?1 , ? , ?2 удовлетворяют (57).
80 О спектральных кратностях в эргодической теории


Равенства в первой строчке (59) доказываются аналогично.
Рассмотрим вторую строчку. Второе из стоящих там равенств
уже доказано (см. (60)). Если E ? S1 \ A, то


?(S1 \ A) + ?1 (E) = 0 + ?1 (E) = ?1 (E).
?(E) = (? + ?1 )(E)

Третья строчка равенств в (59) доказывается аналогично второй
строчке.
Можно рассматривать ? и ? как эквивалентные меры на A, ?1
и ?2 как меры на S1 \ A. Пространства L2 (A, ?) и L2 (S1 \ A, ?1 ),
соответственно L2 (A, ? ) и L2 (S1 \ A, ?2 ), можно естественным
образом рассматривать как замкнутые линейные подпростран-
ства в L2 (S1 , ?), соответственно, в L2 (S1 , ? ? ?). Например, в слу-
чае L2 (A, ?) мы просто рассматриваем функцию, принадлежа-
щую L2 (A, ?), как продолженную на S1 таким образом, что она
равна 0 вне A. (Точнее, элемент функционального гильбертова
пространства L2 (A, ?) это класс ? функций, любые две из ко-
торых совпадают друг с другом почти всюду. Вкладывая L2 (A, ?)
в L2 (S1 , ?), мы продолжаем эти функции так, как было сказано, и
тогда любые два такие продолжения являются представителями
образа элемента ? при включении L2 (A, ?) > L2 (S1 , ?).) Кста-
ти, такие же доводы позволяют отождествить L2 (A, ?), L2 (A, ? ),
L2 (S1 \A, ?1 ), L2 (S1 \A, ?2 ) также и с L2 (S1 , ?), L2 (S1 , ? ), L2 (S1 , ?1 ),
L2 (S1 , ?2 ).
Пусть f ? L2 (A, ?); будем теперь рассматривать L2 (A, ?) как
подпространство пространства L2 (S1 , ?). Оператор V , действую-
щий в L2 (S1 , ?), переводит f в функцию, которая тоже принадле-
жит L2 (A, ?) (если f (z) = 0 вне A, то же верно и для zf (z)). Имея
дело с пространством L2 (A, ? ), являющимся подпространством в
L2 (S1 , ???), я буду более формален: я буду обозначать включение
L2 (A, ? ) > L2 (S1 , ? ? ?) через J. Это линейный изометрический
оператор. Его образ J(L2 (A, ? )) тоже инвариантен относительно
оператора V , который теперь является умножением функций из
L2 (S1 , ? ? ?) на их аргумент. До сих пор мы обозначали такие опе-
раторы, действующие в различных пространствах, одной и той же
буквой V , но теперь это будет неудобно. Обозначим через V? огра-
ничение оператора V (“прежнего V , действующего в L2 (S1 , ?)”) на
L2 (A, ?), и через V? ограничение оператора V (теперь это дру-
оператор V , действующий в L2 (S1 , ? ? ?)) на
гой оператор V
L2 (A, ? ). Можно сказать даже более формально: V? это опе-
§ 8. Спектральная кратность автоморфизма T ? T 81


ратор (V? f )(z) = zf (z) в L2 (A, ? ); его связь с V состоит в том,
что V J = JV? .
В § 3 мы уже упомянули (в несколько ином виде) унитарный
изоморфизм
d?
I : L2 (A, ?) > L2 (A, ? ) (If )(z) = где ? =
?(z)f (z), .
d?
Очевидно, он переводит V? в V? , т. е. V? = IV? I ?1 . Но перефра-
зировка (41) свойства b) из § 2 в терминах функциональной мо-
w1
дели (L2 (S1 , ?), V ) для (L2 (X, µ), UT ) гласит, что V ln > 2 (id + V ),
0
и тогда то же самое тем более справедливо для ограничения V?
w1 w
этого оператора: V?ln > 2 (id + V? ). Отсюда следует, что V?ln >
1
2 (id + V? ).
С другой стороны, ввиду (44) и (46) существует унитарный
оператор W : Hs > L2 (S1 , ? ? ?), сопрягающий операторы V|Hs
и V . Поэтому оператор V|W?1 J(L2 (A, ? )) унитарно сопряжен
с оператором V? ; это сопряжение осуществляется посредством
W?1 J:
V|W?1 J(L2 (A, ? )) = W?1 JV? (W?1 J)?1 .
Поэтому ln -е степени левого оператора слабо сходятся в
W?1 J(L2 (A, ? )) к соответствующему пределу, т. е. для любых
двух функций ?, ? ? W?1 J(L2 (A, ? ))

1
Vln ?, ? > (61)
(id + V)?, ? .
2

Но то же самое верно также и тогда, когда ? ? W?1 J(L2 (A, ? ))
и ? ? L2 (S1 ? S1 , ? ? ?). Действительно, такую функцию ? мож-
но представить в виде суммы ее двух проекций на подпростран-
ство37 W?1 J(L2 (A, ? )) и на ортогональное дополнение к послед-
нему подпространству:

?1 ? W?1 J(L2 (A, ? )), ?2 ? W ?1 J(L2 (A, ? )).
? = ?1 + ?2 ,

Имеем
1
Vln ?, ?1 > Vln ?, ?2 = 0
(id + V)?, ?1 ,
2
линейная изометрия и L2 (A, ? ) полно, то
37 Поскольку W?1 J
W?1 J(L2 (A, ? )) является замкнутым подпространством.
82 О спектральных кратностях в эргодической теории


1
и 2 (id + V)?, ?2 = 0, откуда вытекает (61) для ? = ?1 + ?2 .
Иными словами,

если ? ? W?1 J(L2 (A, ? )), то
(62)
w1 1
Vln ? > (? + V?) = (?(?, ?) + ???(?, ?)).
2 2
Сопоставляя (62) и (42), приходим к выводу, что если ? ?
W J(L2 (A, ? )), то
?1


1 1
(1 + ??)?(?, ?) = (1 + ?)(1 + ?)?(?, ?)
2 4
почти всюду по мере ? ? ?. Так как
1 1 1 1
(1 + ??) ? (1 + ?)(1 + ?) = (1 ? ? ? ? + ??) = (1 ? ?)(1 ? ?),
2 4 4 4
то получается, что

если ? ? W?1 J(L2 (A, ? )), то
(1 ? ?)(1 ? ?)?(?, ?) = 0 почти всюду по ? ? ?.

Но

(? ??){(?, ?); ? = 1} = (? ??)({1}?S1) = ?({1})?(S1 ) = 0·?(S1 ) = 0

и аналогично (? ? ?){(?, ?); ? = 1} = 0. Приходится признать,
что почти всюду ?(?, ?) = 0, т. е. ? = 0 как элемент пространства
L2 (S1 ?S1 , ? ??). Но если ? ? ? ??, то в W?1 J(L2 (A, ? )) имеются
ненулевые элементы.
Литература 83


Литература
[1] Халмош П., Лекции по теории меры. – М.: ИЛ, 1953.

[2] Nadkarni M.G., Spectral theory of dynamical systems.
Birkh?user Advanced Texts. – Basel: Birkh?user, 1998.
a a

[3] Ferenczi S., “Systems of ?nite rank” // Colloq. Math., 1997.
73(1), 35–65.

[4] Goodson G. R., “A survey of recent results in the spectral theory
of ergodic dynamical systems” // J. Dynam. Control Systems,
1999. 5(2), 173–226.

[5] Аносов Д. В., Каток А. Б., “Новые примеры эргодических
диффеоморфизмов гладких многообразий” // УМН, 1970.
25(4), 173–174.

[6] Аносов Д. В., Каток А. Б., “Новые примеры в гладкой эрго-
дической теории. Эргодические диффеоморфизмы” // Труды
ММО, 1970. 23, 3–36.

[7] Аносов Д. В., “Существование гладких эргодических потоков
на гладких многообразиях” // Изв. АН СССР. Cер. матем.,
1974. 38(3), 518–545.

[8] Каток А. Б., “Эргодические возмущения вырожденных инте-
грируемых гамильтоновых систем” // Изв. АН СССР. Сер.
матем., 1973. 37(3), 539–576.

[9] Каток А. Б., “Эргодические потоки, порождаемые системой
слабо взаимодействующих осцилляторов” // Труды V Меж-
дународной конференции по нелинейным колебаниям (Киев,
1969). Т. 2: Качественные методы в теории нелинейных ко-
лебаний. – Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1970. 216–221.

[10] Каток А. Б., “Минимальные диффеоморфизмы на главных
S 1 -расслоениях” // Тезисы VI Всесоюзной топологической
конференции, 63. – Тбилиси: Мецниереба, 1972.

[11] Бронштейн И. У., Расширения минимальных групп преобра-
зований. – Кишинев: Штиинца, 1975.
84 О спектральных кратностях в эргодической теории


[12] Ionescu Tulcea A., “Random series and spectra of measure-
preserving transformation” // Ergodic theory. – New York:
Academic Press, 1963. 273–292.
[13] Goldstein S., “Spectrum of measurable ?ows” // Ast?risque,
e
1976. 40, 95–98.
[14] Халмош П. Р., Лекции по эргодической теории. – М.: ИЛ,
1959.
[15] Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая
теория. – М.: Наука, 1980.
[16] Ageev O. N., “On ergodic transformations with homogeneous
spectrum” // J. Dynam. Control Systems, 1999. 5(1), 149–152.
[17] Ryzhikov V. V., “Transformations having homogeneous spectra”
// J. Dynam. Control Systems, 1999. 5(1), 145–148.
[18] Агеев О. Н., “О функции кратности спектра динамических
систем” // Матем. заметки, 1999. 65(4), 619–622.
[19] Агеев О. Н., “О спектре декартовых степеней классических
автоморфизмов” // Матем. заметки, 2000. 68(5), 643–647.

[20] Ageev O. N., “On the multiplicity function of generic group
extensions with continuous spectrum” // Ergodic Theory
Dynam. Systems, 2001. 21(2), 321–338.
Оглавление
§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§ 2. Спектральная теорема для унитарных операторов и за-
дача о спектральной кратности . . . . . . . . . . . . . 10
§ 3. Циклические элементы и циклические подпространства 20
§ 4. Построение вспомогательного автоморфизма T . . . . 27
§ 5. Свойства T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§ 6. Функциональная модель для UT ?T . . . . . . . . . . . . 55
§ 7. Мера, индуцированная при отображении из другой
меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§ 8. Спектральная кратность автоморфизма T ? T . . . . 69
Научное издание

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ

Выпуск 3




Дмитрий Викторович Аносов

О спектральных кратностях
в эргодической теории




Ответственный за выпуск А. Д. Изаак
Компьютерная верстка Е. И. Иванникова




Сдано в набор 15.09.2003. Подписано в печать 17.12.2003.
Формат 60?90/16. Усл. печ. л. 6,1. Уч.-изд. л. 6,0. Тираж 100 экз.
Отпечатано в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН
Москва, 119991, ул. Губкина, 8.
http://www.mi.ras.ru/spm/ e-mail: spm@mi.ras.ru

<<

стр. 3
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ