стр. 1
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
















Труды XXVII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова















Москва 2005
УДК 51 + 53



Труды XXVII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова



В настоящем сборнике представлены статьи по актуальным пробле­мам математики и механики, подготовленные участниками XXVII Кон­ференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (11 - 22 апреля 2005 г.), проведённой совместно с XII Международной научной конференцией студентов, аспирантов и мо­лодых ученых "ЛОМОНОСОВ".

Редактор — Т. В. Родионов © Механико-математический факультет МГУ, 2005










Подписано в печать 05Л2.2005 г.
Формат 60x90 1/16. Объем 8 п. л.
Заказ 6 Тираж 50 экз.
Издательство ЦПИ при механико—математическом факультете МГУ г. Москва, Воробьёвы горы.
Лицензия на издательскую деятельность ИД JY4 04059 от 20.02.2001 г.
Содержание


A. М. Багян Хаусдорфова размерность некоторых множеств в
пространстве путей конечного графа 5
И. А. Базов Квадратичный операторный пучок задачи о дина-
мическом гасителе колебаний с катарактом 9
Я. А. Бутко Формула Фейнмана для диффузии со сносом в об-
ласти компактного риманова многообразия 10
СВ. Гальцев, А. И. Шафаревич Асимптотика дискретного
спектра несамосопряжённого периодичного оператора 18
Е. В. Гапечкина О стохастических дифференциальных уравне-
ниях с расширенным симметричным интегралом 22
Ю. Г. Гераськина Модель самоочищения легочных структур.. . 23 Д. В. Глазков Простейшие устойчивые режимы в модели Лан-
га - Кобаяши с большим запаздыванием 27
П. Ю. Глазырина Неравенство братьев Марковых для разных
метрик 33
Д. С. Глызин Пространственно-неоднородные циклы одной кра-
евой задачи в критическом случае 34
Д. Л. Гусев Задача о круговом сдвиге несжимаемого полого ци-
линдра 35
Н. С. Гусев Применение канонического представления кусочно
аффинных отображений к объему их при деформациях с изме-
нением геометрии 41
И. TIT. Дильдабаева, Л. А. Алексеева Ударные волны в упру-
гой среде при сбросе напряжений на трещине 45
B. Е. Евдокимович Замкнутые сети массового обслуживания с
динамическими характеристиками 51
Ю. А. Ермоленко Асимптотика уклонений целых функций от
элементов первой строки таблицы Паде 53
А. Н. Жаров, И. Г. Жарова О нелинейных осцилляциях за-
ряженной капли вязкой жидкости 54
Д. П. Ильютко Разветвленные А-экстремали и их асимптотика
при А — оо 55
Ф. К. Индукаев Автоморфизмы дискретной группы Гейзенбер-
га и их числа Райдемастера 59
И. С. Кащенко Нормализация системы с периодически распре-
деленным запаздыванием 66
А. В. Киселёв О редукции уравнения минимальных поверхно-
стей 67

3
B. В. Колыбасова Задача Дирихле - Неймана для диссипатив-
ного уравнения Гельмгольца в двумерной области с трещинами
с условием Неймана на трещинах 71
C. В. Князева Напряженное состояние многослойного кольца,
подкрепляющего круговое отверстие в весомой полуплоскости с
наклонной границей 75
С. А. Комеч Энтропия и скорость усложнения границ в гипер-
болических системах 76
А. А. Кукушина Решение уравнений в кольце двойных чисел. . 80 А. А. Логачев О трюке Батлера и редукции для геодезических
потоков 85
А. В. Меньшенина, С. П. Горбиков Изучение бифуркации, приводящей к хаотическим движениям в динамических системах
с ударными взаимодействиями 91
А. В. Моржаков Представление оператора обобщенного диф-
ференцирования в классе ограниченных звездных областей, со-
держащих начало координат 95
П. Н. Нестеров Асимптотическое поведение решений одномер-
ного уравнения Шредингера с быстро осциллирующим потенци-
алом 96
О. О. Обрезков Спектральные свойства лапласиана Леви 103
Н. А. Опокина Формы Киллинга на касательном и кокасатель-
ном расслоениях 106
К. Н. Печерских Схемы высокого порядка точности для реше-
ний трехмерных МГД уравнений методом Годунова 107
А. Г. Славин Квазидвухслойная модель для потоков "мелкой
воды" над ступенчатой границей 110
И. В. Телятников Поверхностные меры на траекториях в рима-новых подмногообразиях евклидовых пространств, порождаемые
броуновскими движениями 117
И. Ю. Трубников Гиперболический подход к исследованию об­ратимости функциональных операторов в Lp- пространствах... 118 X. Хоршиди Топология интегрируемого случая Стеклова на
so(4) 124
М. В. Шеблаев О криптосистемах, использующих группы кос 125







4
УДК 511
Хаусдорфова размерность некоторых множеств в пространстве путей конечного графа
А. М. Багян
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова 1. Введение.
В работе вычисляется хаусдорфова размерность множеств после­довательностей, удовлетворяющих ограничениям, наложенным на число повторений в них некоторых групп символов. При решении этой задачи используются методы термодинамического формализ­ма, описанные в [1].
На пространстве последовательностей SN, S = {1,..., K}, введем метрику рд, где pe(x,y) = Qn(x'y\ в € (0,1) и n(x,y) = sup{n : xk = yk, Vk ^ n}. Пусть G = (S,E) - связный ориентированный граф с множеством вершин S и множеством ребер E С S x S.
Предположим, что через каждую вершину некоторого множества I С S проходит петля; если I = 0, будем считать, что I = {1,... ,1}. Пусть заданы также набор простых циклов О = ...,uij} в G и числа Li,Mj € N 1 ^ i ^ 1> 1 ^ j ^ J- Рассмотрим множество X С SN последовательностей, которые являются бесконечными пу­тями в G и удовлетворяют условиям: число стоящих подряд в x € X символов i € I не превосходит Lj, а число стоящих подряд циклов u)j € О не превосходит Mj. Заметим, что каждое из множеств I, Q и {I + 1,..., K} может быть пустым (но не все три); тогда часть из описанных выше условий отсутствует.
Задача состоит в нахождении хаусдорфовой размерности DH,P(X) множества X, отвечающей метрике р = рд.
Рассмотрим граф G = (S, E) с множеством вершин S = Si U S2 U S3, где & = {(i, < i < I, 1 < l < Lj} S2 = {(uij, m), 1 < j < J, 1 < m < Mj}, S3 = {I +1,...,K}.
ES
дой вершине S вершины S-, S+ € S, где S- = S+ = S = (i, l) €
Si, S- — начальная вершина цикла из j, s+ — конечная вершина цикла
Wj при S = (u3j, m) € S2 и S- = S+ = S = к € S3. Положим так-
же в указанных трех случаях соответственно ||S|| = l, ||S|| = m|wj|,
где |wj| -длина цикла wj, и ||S|| = 1. Будем считать по определению,
что ( Si,S2) € E, если ( S+, S-) € E, но ii = i^i Si = € Si,
S2 = (i2, I2) € Si и wi = W2 при Si = (wi,mi) € S2, S2 = (w2,m2) € S?2-

5
Введем функцию W: S — R, положив W(v) = —1|v^ ln в, v € S, и
I J
матрицу Ар = {ар(v,v')}gxg, v, v' € S, q = Lj + Mj + K — I, где
ар(v, v') = exp[—eW(v')] при (v, v') € E и ар(v, v') = (v, v') € E.
Теорема. Хаусдорфова размерность в = DH,P(X) множества X равна единственному положительному корню уравнения Amax(Ap) = 1, где Amax (Ар) — максимальное по модулю собственное число мат­рицы Ар.
x
X мы поставим в соответствие некоторый бесконечный путь X ъ G. Пусть x = (xi, x2,...). Рассмотрим три случая.
(а) Найдутся такие n € N и j € [1, J], что последовательность
xi,..., xn можно разбить на m ^ Mj блоков, совпадающих с wj. Для
n xi = ( j, m)
(б) Условие п. (а) не выполняются, но найдутся такие i € [1,1] и
l ^ что xi,..., x; = i, x;+i = i. Положим тогда xi = (i, l).
(в) Условия п.п. (а), (б) не выполняются, это значит, что xi € S3.
xi = xi
Следующий шаг — применение описанной процедуры к после­довательности (xtl+i,xtl+2,...), где ti = ||xi|^, что приводит к x2. Продолжая так же, получим в итоге (за бесконечное число шагов) всю последовательность x Переход от x к x является взаимно одно­значным отображением; обозначим его п. Нетрудно проверить, что nX есть множество всех бесконечных путей в графе G, которое мы X
Пусть рд - образ метрики рд при отображении п. Из построения видно, что если x = nx, У = пу, то

рд^у^ ре(^у) = в^)+А(х-у\

v
где h(x,y) = J2 ||x^||, Р = p(x,y) = sup{n : x„ = у v, Vv < n} и
0 < A(x,y) < max{||S|| : S € S}. Пусть рд(x,y) := eh(5'y). Легко ви­деть, что рд — новая метрика на X, которая эквивалентна метрике р
сдорфова размерность, мы можем заменить рд на рд.
Теперь определим функцию U = U (V, x), где V - конечное под­множество множества N x € X, положив U(V, x) := W(x„), если V = {n}, n € N, и U(V, x) = 0 во всех остальных случаях.

6
Очевидно,

ре{х,у) =ехрUiin},xn)], p = р{х,у).

Отсюда видно, что метрика ре является потенциальной метрикой U
сдорфова размерность пространства путей, вычисленная для такой метрики, находится из уравнения Боуэна P(pU) = 0, в котором P
U
нашем случае P(pU) = InАтах(Ав). Тем самым уравнение Боуэна принимает вид Атах(Дд) = 1. 3. Замечания.
1. Пусть Bl - множество последовательностей нулей и единиц, удовлетворяющих условию: число стоящих подряд нулей и число сто­ящих подряд единиц не превосходят некоторого L ^ 1. Это частный случай рассмотренной ситуации, в котором G(S, E) — полный граф с двумя вершинами, множество I совпадает с S и Li = L2 = L. Нетрудно проверить, что тогда матрица Ар принимает вид





Ав =

(



в
eLe\ )

Ав
наковы и равны вв + ... + 9Le. Известно, что максимальное по моду­лю собственное число неотрицательной матрицы лежит между мак­симумом и минимумом сумм, составленных из элементов ее строк (см. [2]). Следовательно, Атах(Ар) = 9в + ... + 9Le. Согласно до­казанной теореме искомая величина в является корнем уравнения вв + ... + 9Le = 1, которое можно переписать в виде 6>(L+1)e = 26>в — 1.
Для случая в =1/2 этот результат имеется в [3].
Аналогичное явное уравнение для хаусдорфовой размерности можно написать и в более общем случае, когда число вершин полного графа G = (S, E) произвольно и число повторений каждой вершины ограничено одной и той же константой L, или когда |S | = 2 и число повторений каждой вершины ограничено своей константой.

7
2. Каждое из множеств Bl, L = 1, 2,..., нигде не плотно в про-
G
так как любой цилиндр содержит последовательность, не принадле­жащую Bl- Таким образом, |JBL — множество первой категории.
l
С другой стороны, при L — оо корень уравнения e(L+1)e = 2вв — 1 стремится к числу — In 2/ In в, равному хаусдорфовой размерности всего пространства путей {0,1}N (последнее также вытекает из до­казанной теоремы). Тем самым DH,P(IJ Bl) = DH,P({0,1}N)-
l
3. Отображение пространства последовательностей {0,1}N на
отрезок [0,1], индуцированное k-ичным разложением чисел из [0,1],
оо
x = xnk-n, является взаимно однозначным на некотором мно­жестве Ek С {1,...,k}N, дополнение к которому счетно. Так как счетное множество на хаусдорфову размерность не влияет, мы мог-
[0, 1]
их символического представления, перенеся евклидову метрику на {0,1}N. Несмотря на то, что образ этой метрики не эквивалентен Ре
так как хаусдорфова размерность, отвечающая образу евклидовой метрики, совпадает с хаусдорфовой размерностью, отвечающей мет­рике р1/к (см. [4, §14]). Таким образом, результаты этой работы, доказанные для подмножеств пространства последовательностей, применимы и к множествам действительных чисел, описываемым в терминах коэффициентов k-ичных разложений.

[1] Gurevich В. М. and Tempelman A. A. Hausdorff dimension and
pressure in the DLR thermodynamic formalism. Amer. Math. Soc.
Transl. (2). - 2000. - 198. - 91-107. [2] Гантмахер Ф. P. Теория матриц. - M.: Наука, 1966. [3] Shahverdian A. Yu. The finite-difference method of one-dimensional
nonlinear systems analysis. Fractals 2000. 8. 49-65. [4] Виллингслей П. Эргодическая теория и информация. - М.: Мир,
1969.








8
УДК 628.517
Квадратичный операторный пучок задачи о динамическом гасителе колебаний с катарактом
И. А. Базов
Ростовский государственный университет путей сообщения

Описание конструкций динамического гасителя колебаний с ка­тарактом в роли вязкостного демпфера колебаний приведено в [2]. Разыскивая, как обычно решение задачи о свободных колебаниях в виде x = qeAt, где x = (xl, x2)T', q = (qi, q2)T, x,q G M2. Расчетная схема свободных колебаний, в принятых нами безразмерных пере-
\2 | Ю \ | п — п „„„ Л /Г — ( № 0
менных, имеет вид: MX + TZX + C = 0, где M = ^ 0 ^ j , /л — с
/ 1 +Y -1
шение масс. Матрица жесткости C имеет вид: C = I ^ 1
7 = j± — отношение жесткости пружин. Структура матрицы Рэлея
следующая: R = ^ в в ^ ; Здесь в — безразмерный коэффици­ент вязкого трения.
Таким образом, задача свелась к типичному самосопряженному-квадратичному операторному пучку [1]. Кстати, в [2] не приводится общее исследование спектра, а рассмотрен только конкретный чис­ловой пример, отвечающий малой вязкости. В настоящей работе про­водится полное исследование расположения собственных чисел (СЧ) в комплексной плоскости. Специфической особенностью задачи яв-
T
зывает специфическое влияние на расположение спектра. В работе доказана теорема о затухании: Re X < 0. Установлено достаточное условие колебательности режимов (мод). Аналогичная оценка для условия апериодичности (Im X = 0) установлена быть не может в
T
вения следующих ситуаций: четырехкратное вещественное СЧ, пара двукратных вещественных СЧ, комплексно-сопряженная пара крат­ных комплексных СЧ, трехкратное вещественное СЧ и т.д. Во всех случаях установлена двукратная полнота в смысле Келдыша базиса из собственных и присоединенных векторов. В заключение отметим, что методом диаграммы Ньютона построены асимптотики СЧ для больших (в 1) и малых (в <С 1) значений коэффициента вязкого трения.

9
[1] Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан Операторные ме­тоды в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные за­дачи. — М.: Наука, 1989.
[2] Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Теоретическая механика, ч. 3. Ди­намика несвободной системы и теория колебаний. — М., Л.: ГТТИ, 1934.

УДК 517.9
Формула Фейнмана для диффузии со сносом в области компактного риманова многообразия
Я. А. Вутко
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

1.Введение. Получены представления решения задачи Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области компактного риманова многообразия в виде предела конечнократных интегралов по декартовым степеням области; при этом интегралы берутся от элементарных функций, зависящих от геометрических характери­стик многообразия, коэффициентов уравнения и начальных данных. Предполагается, что векторное поле, описывающее снос, не имеет особых точек на многообразии, потенциал - непрерывная функция, начальные данные - непрерывная функция, обращающаяся в ноль на границе рассматриваемой области многообразия.
В доказательстве используются теорема Чернова [СЫ] и асимп­тотические оценки, найденные в работах Смолянова, Вайцзеккера и Виттиха fSWWl, SWW2|.
2.Предварительные сведения. Для всякого риманова много­образия if обозначим символом р риманову метрику на К, volK - бо-релевскую меру на К, порождаемую римановым объёмом, scal(x) = trRicci(x) - скалярная кривизна многообразия К в точке x G К. Символом r2(x) - обозначим квадрат нормы нормали средней кри­визны в точке x. Для любого k G N символ (G) обозначает про­странство k раз непрерывно дифференцируемых на G функций, рав­ных на dG нулю вместе со всеми своими частными производными до k-oro порядка включительно. Каждую функцию из Co(G) доопреде­лим нулём вне G, превращая тем самым, C0(G) в подпространство С(К). Для любого множества П G К функция In(x) - индикатор множества Q.

10
Пусть X - банахово пространство, L(X) пространство всех непре­рывных линейных операторов в X, наделённое сильной оператор­ной топологией. Для каждого линейного оператора A в X через Dom(A) обозначается его область определения. Производная в ну­ле функции F : [0, е) — L(X), е > 0 - это линейное отображе­ние F'(0) : Dom(F'(0)) — X, определяемое равенством F'(0)g = limt^0 t-l(F(t)g — F(0)g), где Dom(F'(0)) - векторное пространство всех g G X, для которых существует предыдущий предел. В даль­нейшем используется следующая версия теоремы Чернова [СЫ].
Теорема 1 (Теорема Чернова). . Пусть F : [0, оо) — L(X) - силь-
F(0) = I
||F(t)|| < eat для некоторого a G M и пусть D- векторное подпро-
Dom(F'(0)) F'(0)
CC
полугруппы etc, то для каждого T > 0 последовательность F(t/n)n, n G N при n — оо сходится к etc в сильной операторной топологии равномерно относительно t G [0, T].
Понятие эквивалентности по Чернову однопараметрических се­мейств операторов F(t) и etc введено в [SWW3]: ||F(t)g — etcg|| = o(t), t — 0 Vg G D1 С D(C), где D1- существенная область опреде-C
G
(t, x) =
dt
ва многообразия К, dim К = m с гладкой границей 3G. Рассмотрим начально-краевую задачу Коши-Дирихле в этой области для урав­нения диффузии со сносом:


{˜^Kf){t,x) + {a{x),4f{t,x))+
+V(x)f(t,x),t > 0, x G G, (1) f (0, x) = fo(x),x G G,
f (t,x) = 0,t > 0, x G dG.
Здесь Дк = tr V2 - оператор Лапласа-Бельтрами на многообра­зии К, V - связность Леви-Чивита (при этом символом Vf (x) G TxK
fx
ся, что a(-) : К — ТК - векторное поле класса С1(К), (w(x), v(x)) - скалярное произведение векторов w(x) и v(x) в ТХК, потенциал V : G — M
Мы предполагаем, что f : [0, о) х G — M, f0 G С0(G), f (t, •) G C0(G), Vt > 0. Здесь C0(G) - банахово пространство функций,


11

непрерывных на G и равных нулю на 3G, с норм ой || • || suPxecf (x)l
Нашей целью будет представление решения задачи (1) в виде пре­дела некоторых конечнократных интегралов по декартовым степе-G
Зададим оператор (A, Dom(A)) на пространстве C0(G) следую­щим образом:
Dom(A) =С 0(G),
(-±AKf)(x) + (a(x),Vf(t,x))+V(x)f(x),VxЈG, (Af )(х) = { 2
0, Vx G dG.
Тогда для Vf G Dom(A) (Af )(x) G Сo(G).
Мы построим однопараметрические семейства {Sq(t)}t-^0 и {Sp(t)}t-^0, эквивалентные по Чернову полугруппе etA, разреша­ющей задачу (1). Тогда из теоремы Чернова будет следовать, что
etA = s - lim (Sq(t/n)n),

etA = s - lim (Sp(t/n)n),
n—>00
где s — lim обозначает предел в сильной операторной топологии на Co(G).
4. Представление решения задачи Коши-Дирихле в ви­де предела конечнократных интегралов. Пусть K- компактное
m
в пространство RN. Пусть Ф : K — RN -изометрия, осуществляю­щая вложение. Для каждого вектора u(x) касательного простран­ства TxK символом иФ(х) обозначается этот же вектор как вектор в объемлющем пространстве. Для любого n G N Kn = KxKx .. .xK.
Рассмотрим семейство операторов T(t),t ^ 0, действующих сле­дующим образом: (T(t)f)(x) = f(7x(t)), где 7x(-) - геодезическая с началом в точке х и направляющим вектором а(х) такая, что дли­на её от начала до точки 7x(t) равна t||a(x)||TxK = t||аФ(х)||rn, где || • ||rn - норма в объемлющем пространстве. Пусть многообразие K и векторное поле а(^) таковы, что T(t), для t ^ 0 корректно опреде-
(K)
имеет особых точек на многообразии.
Пусть е(^) : [0,t0] — R+ - функция такая, что e(t) \ 0 при t — 0. Пусть pe{t) (х) - некоторое множество функций из Cj^G) ап­проксимирующих в смысле поточечной сходимости функцию Ig(x)

12 при t — 0. Причём peW(x) = 1 при x G ОзЕ(г), pe(t)(x) = 0 при
x G G \ Ge(t) и 0 < pe(t) (x) < x G Ge(t) \ G3e(t), где G5 = {x G
G : p(x, dG) > Обозначим через S(t), t > 0 семейство операторов
таких, что S(t)f (x) = pe(t) (x)f (x). Положим для t ^ 0, x, z С K
s i _ii*w-*wn^ p(M,z)
= (Mpie 2. и <z(i,x,z) = jKp{fXz)JiK(dz) ¦
Пусть функция scal(-) непрерывна на K.
Рассмотрим следующие операторы, действующие в Со ((G):
Sq(t): (Sq(t)f )(x)= pЈ(t) (x) I etV(x)f (z)q(t,7x(t),z)volK(dz),
G

Sp(t): (Sp(t)f)(x)=Ve(t)(x) |e^)e!scal(^(t))e-I,2(^(t)).
G
• f (z)p(t,7x(t),z)voIk (dz)
В качестве существенной области определения операторов Sq(t), Sp(t) будем рассматривать множество D = C0(G), всюду-плотное в C0(G).
Теорема 2. Пусть etA - полугруппа операторов в C0(G), разреша­ющая задачу Кошп-Дпрпхле (I). Тогда 1) etA = s — lim (Sq(t/n)n),
n—>oo
2) etA = s — lim (Sp(t/n)n).
n—>oo
Доказательство. Рассмотрим семейство операторов Bp(t), t > 0 таких, что Bp(t)f (x) = jp(t,x,z)f (z)volK(dz). Пусть семейство опе-
K
раторов Bq(t) действует на C(K) следующим образом: Bq(t)f (x) =
/ q(t, x, z)f (z)volK(dz) Заметим, что для функции f G С0(G) в опре-K
Bp Bq
нить интегралами по области. Оператор умножения на функцию e|scai( )е-5||тф( )||rJV 0503начим символом Tp(t), а оператор умноже­ния на функцию etV () - символ ом U (t). Тогда для f G С 0(G) имеем

Sq (t)f (x) = (S (t)U (t)T (t)Bq (t)f )(x)
И
Sp(t)f (x) = (S (t)U (t)T (t)Tp(t)Bp(t)f )(x).
Покажем, что семейства операторов {Sq(t)}t^0 и {Sp(t)}t^0 экви­валентны по Чернову сильно непрерывной полугруппе etA, где опе­ратор A введён ранее. Нам необходимо показать, что выполняются

13
следующие условия: Sq(0) = Id, lim^o Sq^/ * = Af, для V/ G D, и
Sp(0) = Id, lim^o Svit)tf = Af, для V/ G D.
Предложение 1 (cm.[SWW2]). Пусть Ф : K — RN - изометрическое вложение компактного риманова многообразия Kb Rn, dim K = m.
f G 3(K)
Bp(t)f(x) = e-^^e+ir2^f{x) - ^AKf(x) + О(02) fGD
(Tp(t)Bp(t)f)(x) = f{x) - /(*) + 0(t3/2). (2)



e-i8cal{x)e+ir2{x)f(x) _ ±AKf(x)+0(t3/2)
e-fscal(»e+§r20) + 0(t3/2)
II. таким образом, lim^o Bq(t)f(x) = f(x), Ит4_>о ^^^^^"^ = -|Дх/(г). А значит, семейство операторов Bq(t) эквивалентно по Чернову полугруппе, порождённой — ^Ак, то есть для любой функ-f G D
(Bqf)(x)=f(x)-t-AKf(x)+o(t). (3)
Далее проверим, что семейство операторов T(t) удовлетворяет следующим условиям: ]imt->oT(t)f(x) = /(ж), limt->o т(*)^)-/(з0 _ (a(x), Vf (x)). Так как 7x(0) = x, то lim T(t)f (x) = lim f (7x(t)) = f(x)
, ,. T(t)f (x)-f(x) у /(7x(t))-/(7x(0))
t мы получаем, что limt->o t = Imit^o t =
(a(x), Vf (x)).
Тогда с учётом формул (2) и (3)
lim T (t)Tp(t)Bp(t)f (x)= f (x),









14
l]inT(t)Tp(t)Bp(t)f(x)-f(x) =
t->o t
= lim T(t)(Tp(t)Bp(t)f(x) - f(x)) + T(t)/(x) - f(x) =
t->o t
= -l-AKf{x) + {a{x),Vf{x)). (4)


tlim0 T(t)Bq(t)f(x) = f(x)

ljm T(t)Bq(t)f(x) - fjx) =
t->o t
= lim T(t)(Bq(t)f(x) - fjx)) + T(t)/(x) - fjx) =
t->o t
= ˜AKf(x) + (a(x),Vf(x)). (5)

Пользуясь разложением функции etV(x) в ряд Тейлора при t — 0
lim U(t)T(t)Tp(t)Bp(t)f(x) =
fix), |^0Ю1»Ш =°Hfix), где оператор Я : В fix) = —TjAxfix) + (a(x),Vf(x)) + V(x)f(x). И аналогично, KmU(t)T(t)Bq(t)f(x) = fix), lim^o "Wr(t)i?,W/(s)-/(s) = я/(х)_
Для любой f G D существует J > 0 такое, что носители как самой f
ка включительно лежат в области G<5. Найдём ts > 0, при котором выполняется следующее условие: Vt G [0, t^j Gs С G3e(t(S). Следова­тельно, limt—0(Sp(t)f)(x) = lim[0,ti]Bt—0, (Sp(t)f)(x) = pe(0)(x)f (x) = f (x), Vx G G, Vf G D, и аналогично limt—0(Sq(t)f)(x) = f (x). Зна­чит, условия Sp(0) = Id, Sq(0) = Id выполнены.
Так как для Vt G [0, t<5x G Gs выполняется тождество
fs{t) И = 1 , то Vx G Gs lim (ж) = Af(x), lim (ж) =
Af (x). При x G G \ Gs выполняются равенства f (x) = 0, Vf (x) = 0, = 0 и, следовательно, lim sp^˜f (x) = 0 = Af(x),
lim Sq{t\f˜f {x) = 0 = Afix). При x G dG для любого t > 0
^(x) = 0, gg(t)/˜/(g) = 0, а значит, lim gp(t^˜/(j) =
0 = lim gg(t)/˜/(g) = 0 = Тем самым до-
казано, что для Vx G G, Vf G D выполняются соотношения lim^o Щ^-{х) = (Af)(x), lim^o Щ^(х) = (Af)(x).
Итак, семейства операторов {Sp(t)}t>0 и {Sq(t)}t>0 эквивалентны по Чернову полугруппе etA и, согласно теореме Чернова, etA = s — lim (Sp(t/n))n, etA = s — lim (Sq(t/n))n.
n—o n—o
5. Формулы Фейнмана для задачи Коши-Дирихле. По тео­реме 2 решение задачи (I) может быть представлено следующим об-
x0 = x

15
/
t Л/"/ \ I \
e"fc" [J[^(t/n)(xk-i)J x
xf0(xn)q(t/n, 7x(t/n), xi)q(t/n, 7xi (t/n), x2) ... q(t/n, 7xn-1 (t/n), xn) x
x volK(dxi)...volK(dxn) (6)


s , s /" E П^-i) ife E scaKT^-H*/"))
2)f (t, x)= lim / e fc=1 e fc=1 x
n—o

-sfe E r-^T^-i (t/n)) / ™ \
x e I И Pe(t/n)(xfc-i M f0(xn)p(t/n,7x(t/n),xi)x

x p(t/n,7x1 (t/n),x2)...p(t/n, 7xn-1 (t/n),xn)volK(dxi)...volK(dxn).
(7)
Ни скорость сходимости e(t) — 0, ни выбор аппроксимирующе-
p (t) (x)
nG
ную функцию по компакту Gn и имеет место сходимость pe(t/n) — 1G, n — 00, то выберем e(t/n) (n G N) таким образом, чтобы пре­дельные выражения в формулах (4) и (5) совпадали соответственно с выражениями

l)f(t,x)= lim e^^^-^Mx^qit/n^it/n^x^x
n—o

x q(t/n, 7x1 (t/n), x2)...q(t/n, 7xn-1 (t/n), xn)x
x K(dxi )... K(dxn),

2) f (t,x) = lim / e
I ? П^-i) ife E scal(7Xfc-1 (t/n))








16
E r2(7xfc-i(t/n))
x e f0(xn)x
p(t/n, 7x(t/n), xi)p(t/n, 7x1 (t/n), x2)...p(t/n, 7xn-1 (t/n), xn) x
x K(dxi )... K(dxn).


f(t, x)
начальным условием f0 G С0(G). Тогда f (t, x) может быть пред­ставлено формулами (6) и (7).

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность профессору О. Г. Смолянову за постановку задачи и полезные дис­куссии.

[1] [СЫ] Chernoff R. P. Note on product formulas for operator semigroups. J. Func. Anal. - 1968. -2. - 238^242.
[2] Chernoff R. P. Product formulas, nonlinear semigroups and addition of unbounded operators. Mem,. AMS. 1974. 140.
[3] [SWW1] Smolyanov O. G., Weizsacker H.v., Wittich O. Brownian motion on a manifold as limit of stepwise conditioned standart Brownian motions. In: Canadian Math. Soc. Conference Proceedings. Vol. 29. 2000.
[4] [SWW2] Smolyanov O. G., Weizsacker H.v., Wittich O. Chernoff's theorem and Discrete Time Approximations of Brownian Motion on Manifolds. — http: //arxiv. org/PS_cache/math/pdf/0409/0409155. pdf
[5] [SWW3] Smolyanov O. G., Weizsacker H.v., Wittich O. Chernoff's theorem and the construction of semigroups. — In: Evolution Equations: Applications to Physics, Industry, Life Sciences and Economics - EVEQ 2000, M.Ianelli, G.Lumer (eds.) - Birkhauser, 2003. - 355^364.
[6] Смоляное О. Г., Трумен А. Интегралы Фейнмана по раекториям в римановых многообразиях. —jourflAH. — 2003. — 392, №2. — 174^ 179.
[7] Smolyanov О. G., Tokarev A. G., Truman A. Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula. J. of Math.Phys. 2002. 43, №10. — 5161-5171.
[8] Andersson L., Driver В. K. Finite dimensional approximations to Wiener measure and path integral formulas on manifolds. J. Func. Anal. - 1999. - 165, № 2. - 430^498.
[9] Витко Ya. A. Representations of the solution of the Cauchy - Dirichlet problem for the heat equation in a domain on a compact Riemannian manifold by functional integrals. Rus. J. Math. Phys. 2004. 11, .V'2. - 1-7.

17
УДК 517.984.55+514.84
Асимптотика дискретного спектра несамосопряжённого периодичного оператора
С. В. Гальцев, А. И. Шафаревич
Московский государственный университет

Постановка задачи. Рассмотрим дифференциальное выраже­ние D = —h2^˜2 + iV(x), где V(x) — некоторая периодичная целая аналитическая функция с периодом T G (0, +оо). Нас будет интере­совать случай, когда V(x) является вещественнозначной на действи­тельной оси. Тогда потенциал iV(x) будет чисто мнимым на действи­тельной оси. Дифференциальное выражение D порождает неограни­ченный несамосопряжённый оператор на L2(Si = R/TZ). Поставим вопрос об асимптотике дискретного спектра этого оператора.
Уравнение

В^р-Е^р= -h2<^- + (iV(z) - Е)^р = 0

есть линейное однородное с целыми аналитическими коэффициента­ми. Поэтому все его решения у образуют двумерное линейное под­пространство в пространстве целых аналитических функций. Таким
T
сматриваемого оператора лежат в пространстве A(C/TZ) периодиче­ских целых аналитических функций. Значит, можно рассматривать
D
нейный оператор 33, на векторном пространстве A(C/TZ). Итак, нас интересует вопрос, какова асимптотика собственных значений опе­ратора 33.
Собственные значения и числовой образ оператора 33. Ве-
V( x)
ческая), а значит достигает на окружности Si = R/TZ своих мини­мума и максимума. Обозначим их min V и max V.
Лемма 1. Для любого h > 0 все собственные значения оператора 3D лежат в полуполосе [0, +оо) + i[min V, max V].
Доказательство. Достаточно умножить равенство 33у = Еу на у, а затем проинтегрировать его по Si.
Эта лемма позволяет искать асимптотику собственных значений оператора 33 только в полу полосе [0, +оо) + i[min V, max V ].

18
Поиск асимптотики собственных значений в частном случае. Рассмотрим частный случай оператора D с потенциалом iV(z) = i cos z. Исследование собственных значений проведём с помощью ВКБ-асимптотики (см. [1], [2]). Для этого построим все­возможные графы Стокса для функции q(z) = i cos z — E. При каждом возможном (топологическом) виде графа Стокса вычис­лим матрицу монодромии M, то есть матрицу, отвечающую сдвигу
E
является собственным значением оператора D на A(C/TZ) тогда и только тогда, когда некоторая нетривиальная линейная комбинация фундаментальных решений переводится матрицей монодромии в себя. Это происходит тогда и только тогда, когда матрица моно­дромии M имеет собственное значение 1, что эквивалентно условию tr M = det M + 1.
На периоде уравнение q(z) = 0 имеет два решения (не совпа­дающие при E = ±i). Это точки z±(E) = ± arccos(—iE). Случай кратных решений (то есть случай E = ±i) рассматривать не будем.
q(z) = i cosz—E
E ? ([0, +оо) + i[—1, +1])—i} есть пять топологически разных видов графа Стокса:
1) 2) 3) 4) 5)

Доказательство. С учётом свойств линий Стокса, описанных в [1], это следует из того, что на периоде имеются две точки поворота,
E
2п и симметричен относительно нуля (так как q(z + 2п) = q(z) и
q(z) = q(—z)
Лемма 3. Для указанных выше топологических видов графа tr M = det M + 1 леитпо следующим условиям (соответственно)
cos а/icosх — Edx^j = 1 + O(h);
cos (jj^ a/icosz — Edz^j = O(h), если конечной линией Стокса соединены гожи z_ и z ..//..///. если соединены точки Z- и z+ — 2тг, то cos f*+ 27Т л/i cos z — Edz^j = O(h);
exp +exp ) (l + Q(fe)) + exp (^) (l + 0(h)) = 2 + 0(h), где т\ = J^_27T Vicesz — Edz, причём Iititi > 0, a

19
т2 = f*+ a/*cosz — Edz, причём 1тт2 > 0;
exp (^) = 2 + 0(h), где R-етз > 0, то есть это уравнение нераз­решимо при достаточно малых h;
exp (^-) = 2 + 0(h), где Rer4 > 0, то есть это уравнение нераз-
h
Доказателъство. В каждом случае, зная вид графа Стокса, по­строим матрицу перехода П (матрица монодромии M через неё вы­ражается) из некоторой канонической области K в каноническую область K + 2п (см. [1] и [3]).
Лемма 4. Vicosz — Edz = ^ V'icosz — Edz.
Множество решений уравнения Re J^+^ \/i cos z — Edz = 0 на
параметр E ? C обозначим r\, а множество решений уравнения
Re 2?Г л/i cos z — Edz = 0 обозначим rj'.
rC точку i и пересекающей луч (0, +оо) ровно в одной точке E* ? (0, +оо). Множество ц1 = fj.
Лемма б. Топологический случай 1) графа Стокса реализуется на
(E*, +о ) r
i E*
соединены точки z_ и z+) и на интервале кривой fj, соединяющем —i E*
соединены точки z_ и z+ — 27г). Случай 3) реализуется в точке E*. В остальных точках полуполосы [0, +оо) + i[—1,1], кроме точек ±i, реализуются случаи 4) и 5).
Теорема 1. Вне е-окрестностей точек ±i асимптотика собствен­ных значений оператора D при iV(z) = i cos z сосредоточена на
(E*, +о ) r
i и точку Е*, и отрезке кривой fj, соединяющем точку —i и точку
E*. На луче (E*, +оо) асимптотика собственных значений DD выде-
ляется условием Im/g" л/г cos х — Edx ? h(2TiZ + 0(h)), на отрезке
кривой г] условием Im f*+ л/icosz — Edz G к(-к/2 + 7rZ + 0(h)),
а на отрезке сопряжённой кривой fj имеем сопряжённое условие
Im л/icosz - Edz ? h{n/2 + ttZ + 0(h)).
Доказательство. Достаточно объединить результаты всех лемм.
Замечание 1. Условия на асимптотику выписаны в теореме 1 через мнимые части некоторых интегралов. Нетрудно заметить, что действительная часть каждого из них обращается в ноль на соответствующей кривой. Поэтому в условиях на асимптотики

20
знак Im можно опустить. Тогда на луче (E*, +оо) имеем требо­вание /027г л/г cos х — Edx G ih(2irZ + 0(h)), на отрезке ц (кроме е-окрестности точки i): f*+ л/icosz — Edz G ih(ir/2 + 7rZ + O(h)), a
на отрезке ry (кроме ^окрестности точки —г): f*+^ Vi cos z — Edz G ih(n/2 + nZ + O(h)).
Замечание 2. Рассмотрим поверхность p2 + i cosz = E в простран­стве {(p, z) G С x (C/TZ)}. Это риманова поверхность функции p(z) = л/i cos z — E. Она получается склейкой вдоль разреза (с «пе­рехлёстом») двух экземпляров цилиндра C/TZ, разрезанного по от­резку [z_, z+j.


На этой поверхности имеются три базисных цикла:
1) 7о — цикл, идущий из точки z_ через точку z+ и возвращаю-
z_
y_ — цикл, идущий из z+ и обходящий левый экземпляр ци­линдра в направлении убывания Re z;
7+ — цикл, идущий из z+ и обходящий правый экземпляр ци-
Re z
С учётом этого, интегралы в теореме 1 можно переписать в виде интегралов по путям от функции p = p(z, E):
' / pdz G ih(2nZ + O(h)), E G (E*, +оо)
/ pdz G ih(n + 2nZ + O(h)), E G n, Re E G (e, E*]
/7_+70+7+pdzGife(7r + 27rZ+O(fe)), Bet), ReE G (e,E*].
В таком виде полученные условия обычно называются условиями квантования Бора-Зоммерфельда.
[1] Евграфов М.А., Федорюк М. В. Асимптотика решений уравнения w" —p(z, A)w = 0щ>и А — ос в комплексной плоскости. УМН — 1966. — 21, №1. - :i 50.
[2] Стёпин С. А., Аржанов А. А. О локализации спектра в одной задаче сингулярной теории возмущений. УМН — 2002. — 57, №3. — 16И62.

21
[3] Туманов С. Н., Шкаликов А. А. О предельном поведении спектра модельной задачи для уравнения Орра^Зоммерфельда с профилем Пу-азейля. Известия РАН, серия Математика 2002. 66, №4. 177^204.

УДК 519.21
О стохастических дифференциальных уравнениях с расширенным симметричным интегралом
Е. В. Гапечкина
Уфимский государственный авиационный технический университет

Рассмотрим детерминированный аналог стохастического диффе­ренциального уравнения

где первый интеграл есть расширенный симметричный интеграл по непрерывной функции X(s), s ? [0, T], обладающей локальным вре­менем a(t,u), t ? [0,T], u ? R, непрерывным no t при п.в. u. При этом предсказуемость коэффициентов a и b не предполагается.
Известно [1, 2], что расширенный симметричный интеграл, с од­ной стороны, является интегралом по заряду (знакопеременной ме­ре), а с другой, пределом симметричных интегралов при определен­ном виде аппроксимации подынтегральных выражений. В свою оче­редь, симметричный интеграл есть детерминированный аналог сто­хастического интеграла Стратоновича. Расширенный симметричный интеграл возникает в обобщенной формуле Ито, поэтому рассмотре­ние уравнений вида (1) является актуальной задачей.
Решение уравнения (1) ищется в виде n(s) = y>(t, X(t)) при этом функция y>(t, X(t)) = JQ g(s,X(s))1(X(s) < X(t))ds + n(0) находится из системы обыкновенных дифференциальных уравнений



(2)

с начальными условиями y>(0, X(0)) = n(0)

22

Таким образом, с помощью модификации метода [2], предложен­ного Ф. С. Насыровым, решение уравнения (1) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (2).

[1] Насыров Ф. С. Симметричные интегралы и их применение в финан­совой математике. Труды МИАН. — 2002. - 237. - 265^278.
[2] Насыров Ф. С. Симметричные интегралы и потраекторные анало­ги стохастических дифференциальных уравнений. Вестник УГАТУ. — 2004. — 4, №2. — 55 (Hi.

УДК 519.21
Модель самоочищения легочных структур Ю. Г. Гераськина
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Введение. В работе строится модель, имитирующая структуру и процесс самоочищения в легочных тканях живых организмов.
В реальной ситуации легкие образуют древовидную структуру, в сегментах бронхов которой имеются ворсинки, играющие роль эска­латорного механизма вывода накопившегося в легких вещества во вне. Сегменты имеют разные пропускные способности и разную эф­фективность ворсинок. Чем выше от альвеол, тем мощнее механизм передачи вещества изнутри во вне.
Возникает задача построения модели легочного механизма само­очищения и изучения её свойств.
В работе предлагается такая модель и для нее решается зада­ча нахождения в самом сложном случае скорости ее очищения при учете значений таких параметров модели, как число ворсинок в сег­менте, их эффективность, глубина древовидной структуры и др., то есть вычисляется соответствующая сложностная функция Шеннона.
Основные понятия, постановка задачи и результаты. Пусть
N {1.2 n....).N N U{0}, N, {1.2 п} при п ?
N .
Пусть А = {аь а2, ..., а„}. Элемент at из А при i ? Nn называ­ется вершиной. Пусть В С Ах А, тогда пара (au aj) из В называется ребром, ориентированным от a4 к a.,-, пр и i,j ? N n.
Пару G = (А, В) называем графом. Его вершинами являются элементы из А, а ребрами - пары из В. Про вершину at из (au aj)

23
говорят, что она инцидентна этому ребру, а число всех таких ребер является ее ветвлением.
Каждый граф допускает геометрическую интерпретацию следу­ющим образом.
Каждой вершине a4 из А взаимно однозначно сопоставляется точ­ка a/ в трехмерном евклидовом пространстве, множество которых обозначаем через А/.
Каждому ребру (au aj) сопоставляется ориентированная дуга окружности <a/, a/>, при этом разные дуги не пересекаются, кроме, быть может, точек, соответствующих одной и той же вершине. Воз­/
графа G.
Известно[1], что такая реализация всегда возможна.
В наших рассмотрениях граф может быть интерпретирован его геометрической реализацией.
Нас будут интересовать специальные графы, называемые дере­вьями.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию D-1, которая полу­чается из дерева D путем замены ориентации в D на противополо­женную, полагая корнем в D-1 корень в D.
D-1 назовем I-деревом.
Класс всех деревьев обозначим через D, а класс всех I-деревьев - через D-1. Выделим в D-1 подкласс всех I-деревьев, каждая точ­ка в которых инцидентна не более, чем трем ребрам, то есть имеет ветвление не более двух. Эти I-деревья называем дихотомическими.
Далее будем рассматривать только такие деревья, хотя наши утверждения для них будут справедливыми и для подкласса I-
?
Сделаем несколько дополнительных предположений относитель­но
I-деревьев.
Припишем каждому ребру I-дерева D-1 число из N, которое на­зовем весом ребра. Это приписывание подчиним правилу: если двум ребрам, "входящим" в одну и ту же вершину, приписаны, соответ­ственно, веса а и Ь, то "исходящему" из них ребру приписываем вес с > а+b .
Далее будем считать, что каждое ребро разделено на п частей, ?
in
Ворсинкам могут приписываться числа из No, не превосходящие

24
веса этого ребра, называемые нагрузкой на ворсинку.
Припишем также ребру число г из N, такое что г не превосходит веса ребра, и назовем его мерой переброса.
I-дерево D-1, у которого каждому ребру приписаны вес Ь, такой что с1 < b < с2, (c1; с2) ? N, мера, переброса г, такая что k1 < г < к2, (к15 к2) ? N, и число ворсинок п, обозначим через D-1^, с2; к1; к2; п). Свяжем с ним некоторый процесс, который назовем процессом очищения. Он состоит в следующем.
Считаем, что в D-1(c1, с2; к15 к2; п) заданы распределения зна­чений нагрузок по всем ворсинкам.
Каждая ворсинка осуществляет переброс своей нагрузки на сле­дующую с меньшим номером внутри ребра по такому правилу:
а) если следующая ворсинка имеет не нулевую нагрузку, то переброс
не осуществляется;
б) если нагрузка ворсинки не превосходит г, и выполнено условие а),
то перебрасывается на следующую вся нагрузка ворсинки, и счита-
ется, что ее нагрузка становится равной нулю;
в) если на ворсинке нагрузка d более, чем г, то она перебрасыва-
ет на следующую ворсинку нагрузку, равную г, и оставляет у себя
нагрузку d-r;
если ворсинка в ребре является последней, то переброс нагрузки осу­ществляется по правилам а), б), в);
г) если ребро оканчивается корнем, то переброс с наименьшей по
номеру ворсинки осуществляется в "среду" по правилам б) и в), в
предположении, что "среда" играет роль ворсинки с нулевой нагруз-
кой;
д) если ребро заканчивается не корнем, то есть его вершина инци-
дентна следующему ребру, то нагрузка с наименьшей по номеру вор-
синки этого ребра передается наибольшей по номеру ворсинке дру-
гого ребра по правилам а), б), в).
Считаем, что процесс очищения развивается в дискретные мо­менты времени t, где t = 0, 1, 2, ....
В нулевой момент I-дерево D-1(c1, С2; К1, k2; п) имеет заданное распределение нагрузок по его ворсинкам.
К первому моменту осуществляется переброс нагрузок с ворсин­ки на ворсинку во всем I-дереве в соответствии с правилами а), б), в), г), д).
Если за q тактов на ворсинках I-дерева возникло новое распре­деление нагрузок, и хотя бы одна из нагрузок не равна нулю, то процесс продолжается в соответствии с правилами а), б), в), г), д).

25
Если в момент р впервые нагрузка всех ворсинок стала равной нулю, то процесс останавливается.
Ясно, что значение р зависит от D-1(c1, с2; к15 к2; п) и начального распределения нагрузок на его ворсинках.
Нашей гдавной задачей будет выявление этой зависимости.
Последовательность ребер в I-дереве вида
(aii, ai2 Xai2 ; ai-i ) ¦ ¦ ¦ (aik , aik+1 )(aik+i; aifc+2 ) • • • (ais-l; ais )
назовем цепью в нём от до ais и будем считать s ее длиной. Наи­большую длину цепи в I-дереве называем его глубиной. Понятие глу­бины распространим на вершины I-дерева.
Пусть ai - некоторая вершина в D-1^, с2; к1; к2; п). Говорим, что она имеет некоторую глубину h, если кратчайшая цепь от нее -1 1 2 1 2
корня равна нулю. Если глубина D-1^, с2; к1; к2; п) равна /, то все его вершины расслаиваются на классы Ко, K1, Ki, где Kj состоит
-1 1 2 1 2
j
-1 1 2 1 2
правильным, если каждому ребру, исходящему из любой вершины класса Kj приписаны вес 2l-jb и мера переброса 2l-jr. Таким обра-
Ki
2l-1 2l-1 l-1
Обозначим через Б^Ь, г, п) класс всех I-деревьев D-1(b, г, п),
а через L(Dl(b, г, п)) - наибольшее из времен, за которое заканчи-
l- 1
распределении нагрузок его ворсинок.
Обозначим через L(b, г, n, 1) наибольшее из значений функции ЦБ^Ь, г, п)) по всем D-1(b, г, п) изБ^Ь, г, п).Таким образом, на­шей главной задачей будет установление вида этой функции, обычно называемой сложностной функцией Шеннона.
Теорема. Если Ь, г, п, I ? N, то имеет место следующее равен­ство
L(b, г, п, /)=]?] .(2п/--1).
Таким образом мы решили нашу основную задачу.
[1] Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.: Высшая школа, 2002.

26
УДК 517.928
Простейшие устойчивые режимы в модели Ланга — Кобаяши с большим запаздыванием
Д. В. Глазков
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова

Исследуется динамика системы Ланга-Кобаяши с большим запаздыванием в некоторой области пространства параметров. Строится и исследуется квазинормальная форма модели в слу­чае близком к критическому.
1. Введение.
аЕ lit dZ ˜dt
Рассмотрим математическую модель динамики полупроводнико­вого лазера, которая основана на уравнениях Ланга-Кобаяши [1]:

v(1 + ia)EZ + ne-iuJohE(t - h),
(1)
Q - Z - (Z + 1) |E|2.

Здесь E(t) — комплексная амплитуда электрического поля, Z (t) — инверсия носителей; к > Он -w0h — сила и фаза обратной связи (ОС), wo — оптическая частота; Q характеризует превыше­ние тока накачки над пороговым; v связан с отношением времен распада; а — коэффициент уширения линии, ответственный за
h
время прохода по внешнему резонатору. Кроме того, подчеркнем, что важными с физической точки зрения значениями параметров Q, v, h > О
Q, v
2. Состояния равновесия.
Найдем состояния равновесия системы (1) как решения алгебра­ической системы
(1 + ia)E* Z * + Ke-iuJ0hE* = О,
(2)
Q - Z* - (Z* + 1) |E* |2 = О.
Здесь возможны два случая, каждый из которых рассмотрим от­дельно.


27

1. Состояние равновесия E* = 0, Z* = Q. Это "базовое" решение системы (1). Оно присутствует при любом выборе параметров урав­нения. Его устойчивость определяется из анализа корней характери­стического уравнения
А - Ke-i0J0he-Xh = vQ(1 + ia).
Отметим, что в "критическом" случае Q uioh = nm, m ? Z
оно совпадает с известным характеристическим уравнением Хатчин­сона, поэтому, если 0 < —Kcos(u;oh) < то Е* = 0, Z* = Q устой-
А
но утверждать и для достаточно малых Q, |к sin(a;0h)|. Однако, при Q
зависимости от значений других параметров.
E* = 0
Г (1 + ia)Z* + Ke-iW0h = 0, \Q - Z* - (Z* + 1) |E* |2 = 0.
Решая ее, получим бесконечно много состояний равновесия вида |_Е*|2 = f/g* , Z* = —Kcos(cuoh). При этом необходимо выполнение условий tg(w0h) = — a и —1 < Z* < Q. Замена вида E(t) = P(t)-e-iwt сводит этот случай к исследованию поведения системы (1) в окрест­ности цикла. Точнее циклов, поскольку каждому uik соответствует, вообще говоря, свое решение вида P(t) = PkeiSt, Z(t) = Zk. Эти ре­шения называются режимами внешнего резонатора. Вопроса об их устойчивости пока касаться не будем.
3. Построение "нормальной формы" и ее свойства.
Рассмотрим исходную систему Ланга-Кобаяши в случае, когда параметры Q, v достаточно велики (порядка ^, где е - малый пара­метр). Точнее,
v = -, Q = q-˜. (3)
? ?
Чтобы исследовать поведение уравнений (1) в окрестности циклов, выполним следующее преобразование переменных:
t = es, E=-^-.-e-i0JSE1. у/г
Это приводит нас к системе dE1
(4)
(1 + ia )E1Z + iu>E1 - ЈKes(e)E1(i ds
^=q-(Z+l)\E1\2 -sZ,

28
где h связано с ho равенством h = eh0, a 5(e) = —u0h + uihe-1. Эту систему мы и будем исследовать.
Рассмотрим наряду с системой уравнений (4) обобщающее диф­ференциальное уравнение с запаздыванием вида
х' = F(x) +е ¦ Ф (x,x(t - -)У (5)

Общая методика исследования его динамики в малой окрестно­сти периодического решения системы "нулевого приближения" х' = F(х) была разработана в [3]. Ею мы и воспользуемся применительно к уравнению Ланга-Кобаяши.
В данном случае система ОДУ х' = F (х) имеет периодическое решение, которое в форме вектора с вещественными компонентами имеет вид:
(
cos(ws) sin(ws) 0
Поставим задачу исследования динамики решения системы (4) в малой "окрестности" найденного решения системы "нулевого при-
e
роль играет поведение решения линеаризованной в окрестности V0 системы "нулевого приближения".
Стандартная линеаризация приводит к системе
u' = A(s)u, (6)

периодическая матрица которой имеет вид:
(
О —из ^fq ¦ [cos(ws) — a sin(ws)]
из 0 ^fq ¦ [sin(ws) + acos(ws)]
—2^fq ¦ cos(u3s) —2^/q ¦ sin(ws) —q
Заметим, что, во-первых, эта линеаризованная система имеет пери­одическое решение
- sin(us) Ko(s) = yfq ¦ \ cos(u3s)
0
а, во-вторых, два мультипликатора матрицы монодромии по модулю меньше единицы. Отметим, что сопряженная к (6) система имеет

29
периодическое решение
1 / sin(ws) + a cos(ujs)
Ho(s) = • — cos(ujs) + asin(ws)
\ 0
Рассмотрим формальные ряды
V (s,e) = Vo(t )+ eV1(r,t) + (7)
^=1+еф) + ... . (8)
ds
Здесь Vj(r,t) являются Т-периодичными (T = —) по т, tp(t) — скалярная почти периодическая функция, t = es. Подставим (7), (8) в (4) и будем приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях
ee системе
^)У0\т) + ^ = А(т)У1+ф(Уо(т(в)),Уо(т(в-Но))). (9)
Следуя [3], введем некоторые обозначения. Обозначим в = 9(e) такое значение из полуинтервала [0, T), для которого h0 — в является целым кратным T:
h
в = {h0} modT={-} mod^-
Тем самым при e — 0 значение 9 бесконечно много раз меняется от 0 до T. Также введем в рассмотрение T-периодическую функцию g(y) числового параметра у, определяемую формулой
т
o
д(у) = (Ф,Я0) = || (ф(Уо(г),Уо(г-у)),Я0(г))йг. Кроме того, из (8) имеем

t (s) = s — so + el [ip(er) + .. ] dr,

поэтому




30

-(s — ho) = t(s) — ho — J [ip(r) + . . ]dr, t-h


и, заменяя h0 на в в силу периодичности V0, с точностью до слагае­мых более высокого порядка малости получаем, что
t
y = в + J p(r)dr.
t-h
Условие существования периодического (по т) решения уравне­ния (9) состоит в ортогональности слагаемых, не содержащих Vi, функции H)(s). Это приводит нас к уравнению относительно p(t)
о
p(t) = g(y) = g (в + j p(t + r)dr), (ю)
-h
которое является базовым для дальнейшего исследования. Отметим, что система (10) играет роль нормальной формы в задаче о локаль­ной динамике уравнения (4) в окрестности решения Vo(s) системы "нулевого приближения". Отыскав его решение в указанном клас­се функций, можно последовательно найти любое число элементов рядов (7), (8).
Состояния равновесия системы (10) определяются из уравнения
p = д(в + fop). (11)
Пусть po есть решение (11), соответствующее некоторому значению в0 параметра в. Вопрос об устойчивости p0 разрешается в [3] следу­ющим образом. Если выполнено неравенство h • |д'(в0 + hp0)| < 1, то решение p0 уравнения (11) устойчиво. (А вместе с ним и реше­ние уравнения (4), задаваемое рядом (7)). Когда верно соотношение h • |д'(в0 + hp0)| > 1, p0 неустойчиво. Обозначая uip вновь p и полагая
в1 = (и;в - 6(e) + arctg(a)}mod2п,
мы получим, что в случае системы Ланга-Кобаяши уравнение (10) имеет вид:
p(t) = -кл/l + a2 sinу). (12)
Отвлечемся от исходного уравнения (1), и рассмотрим уравне­ние (10), которое является квазинормальной формой для (5). Имен­но, докажем, следующее полезное утверждение.

31
Лемма 1. Если для любого y выполнено неравенство ^ • д'у(y)| ^ р < 1, то при любой начальной функции ph из C1[—h, 0] p (t) — 0 экспоненциально при t — оо.
Схема доказательства.
Дифференцируя равенство (10) и используя известную теорему Лагранжа, придем к соотношению
p'(t) = g'y(y(t)) • h • p'(t — ph) для некоторого p G (0,1).
Обозначим L = sup |p'(t)|. В силу условий леммы можно пока-
tЈ[to,oo)
зать, что sup \f'(t)\ < pnL, где tn < to + nh. ¦
te[tn,TO)
ph
L[—h, 0]
p( t) t — о
Вернемся к уравнению Ланга-Кобаяши. Отметим связь между динамикой исходной системы в рассматриваемой области парамет­ров и динамикой ее квазинормальной формы (12). Именно, устой­чивому состоянию равновесия уравнения (12) соответствует устой­чивый цикл в (1). Согласно лемме 1 эта ситуация реализуется в случае, когда |cos(#i+y)| < кН^\+а2 ¦ Этот вывод подтверждает­ся результатами численного исследования как уравнения (12), так и исходной системы (1). Заметим также, что численно решение (12) всегда асимптотически стремится к некоторой константе Ck (вообще говоря, не единственной), которая удовлетворяет неравенству \Ск\ < к л/1 + а2- Таким образом, при выполнении предположений (3), в ис­ходной системе (1) устанавливается простой периодический режим вида E = Ekem, Z = Zk.
Автор благодарит С. А. Кащенко за постановку задачи.

[1] Lang R. ,Kobayashi К. External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties. IEEE J. Quantum Electron. 1980. 16 (1). 347^355.
[2] Эльсгольц Л. Э., Норкин С. В. Введение в теорию дифференциаль­ных уравнений с отклоняющимся аргументом. — М.: Наука, 1971.
[3] Кащенко С. А. Бифуркации цикла в сингулярно возмущенных нели­нейных автономных системах. Известия РАЕН, серия МММИУ. — 1998. - 2, №4. - 5 53.

32
УДК 517.518.86
Неравенство братьев Марковых для разных
метрик
П. Ю. Глазырина
Уральский государственный университет
Пусть Pn — множество алгебраических многочленов степени и. Для Р G V„ положим ||Р||д = (± д \P(t)\idty/4, 0 < q < оо;
ЦРЦоо = maxte[_M] \P(t)\; \\Р\\0 = exp (± д In \P(t)\ dt). В докладе будет обсуждаться неравенство
||P(k)||q < M,,p(u,k)ypyp, P GPn, 1 < k < и, (1)
Неравенство (1) изучалось многими математиками для q,p > 0. Так, братья Марковы нашли точную константу при q = p = о, Г. Лабел-ле — q = о p = 2 Б. Боянов — k = 1, q ^ 1, p = о Для k = и (1) эквивалентно задаче о многочлене наименее уклоняющемся от нуля в Lp, решенную при p = о П. Л. Чебышевым, p = 1 A. II. Корки-ным и Е. И. Золотаревым, а также при p = 2. С. В. Конягин получил равномерные по и и k оценки роста наилучшей константы в весовом аналоге (1) для p > 1. Из его результата, а также одного из результа­тов В. И. Иванова следует, что при фиксированных k, 0 <p ^ q ^ оо
M,,p(n,k) х u2k+2/p-2/q, и — оо.

p = 0.
ром доказана следующая
Теорема. Пусть и > 11 < k < и 1 ^ q ^ о. Тоща
г! U ^ —zHnn"-kk)
Мд_о(и, k) = max
ze[0,i) (и — k)! || • —
Максимум достигается в единственной точке z*; экстремальными являются многочлены c(t ± z*)n и только они. В частности, если (и — k)2q < k, то z* = 0 и
и! en
Mqfi(n,k) =
(и — k)! ((и — k)q +

33
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 05­01-00233) и Программы Государственной поддержки ведущих науч­ных школ РФ (проект НШ-1347.2003.1).

УДК 517.926
Пространственно-неоднородные циклы одной краевой задачи в критическом случае
Д. С. Глызин
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова

В докладе рассматривается следующая краевая задача:
utt + u = a?uXx + (мм — u2)ut ^
u|x=0 u|x=n 0j
отыскание асимптотики циклов которой при наличии резонанса 1 : 2 является предметом работы. Здесь 0 < р << 1, a ? R.
Линеаризованная в нуле задача допускает решения вида u(t, х) = е±гШг** sin(nx), где ш„ = л/1 + а2п2, п = 1,2,... Допустим, что для некоторого k ^ и имеет место резонанс
2^n = W2k+i, (2)
то есть а = апк = л/3/((2/г + I)2 — An2).
Пусть также для всех натуральных и, r выполняется

4^n = и>г. (3)
Для задачи (1), обладающей резонансом (2), при условии (3) полу­чено приближение цикла следующего вида:

u(t, х) = Mpi(ei(Wnt+Vo) + e-i(Wnt+Vo)) sin их—
— MP2(e2i(Wnt+Vo) + e-2i(Wnt+Vo)) sin(2k + 1)x + o(p2),

где p0 ? [0, 2n], a pi, p2 явно выражаются через и, k.






34
УДК 539.3
Задача о круговом сдвиге несжимаемого полого
цилиндра
Д. Л. Гусев
Тульский государственный университет
Рассматривается задача о круговом сдвиге полого цилиндра при условии несжимаемости материала. Вводится функция круговой де­формации, определяющая напряженно-деформированное состояние цилиндра. Проводится исследование зависимости вращающего мо­мента от угла поворота внешней поверхности цилиндра. Предлага­ется способ определения модуля сдвига с использованием данной за­висимости.
Введение. Круговой сдвиг полого цилиндра используется для моделирования процессов, происходящих в различных нелинейных средах, в частности в эластомерах [1]. Экспериментальные исследо­вания на основе модели кругового сдвига позволят определять зна­чения материальных параметров. Также, в результате таких иссле­дований можно будет делать выводы об адекватности представле­ния материала различными уравнениями состояния. В данной ра­боте рассматривается однородный, изотропный, нелинейно-упругий, несжимаемый материал, уравнение состояния которого описывает­ся в [2].
Математическая модель кругового сдвига. Рассмотрим достаточно длинный полый цилиндр из однородного изотропного ма­териала. Внутренняя цилиндрическая поверхность жестко закреп­лена. Внешняя цилиндрическая поверхность может поворачивать­ся на некоторый угол под воздействием вращающего момента. Рас­сматриваемый материал полагаем несжимаемым, и, следовательно, осевые и радиальные перемещения материальных точек цилиндри­ческих поверхностей отсутствуют. Толщина цилиндра не меняется. Сдвиговые деформации возникают в результате вращения внутрен­них цилиндрических поверхностей вокруг оси цилиндра.
Рассмотрим плоскую деформацию поперечного сечения цилин-
Ri
R2 • Под действием вращающего момента M внешняя оболочка пово­рачивается на угол 7 так, что точка В перемещается в точку C Так как внутренняя цилиндрическая поверхность жестко закреплена, то точка A остается неподвижной. Внутренние цилиндрические поверх-

35
ности будут поворачиваться вокруг оси цилиндра на некоторые уг­лы, меньшие 7, но будут оставаться на своих радиусах. Радиальное распределение этих углов назовем функцией кругового перемещения или функцией поворота.
Пусть R, Ф, Z — цилиндрические координаты точек цилиндра в начальном состоянии, r,<p,z — цилиндрические координаты точек цилиндра в деформированном состоянии. С учетом сделанных выше предположений, получаем связь между указанными координатами в виде:
r = R,
<Р = Ф + f (R), (1)
z = Z,
f ( R)
ных точек, удовлетворяющая граничным условиям (рис. 1):
f (Ri) = 0, f (R2)= 7. (2)
Введем безразмерную переменную р = r/Ri = R/Ri, меняющую­ся в пределах от 1 до d = R2 /Ri - относительная толщина цилиндра.

36
Величину
= (з,
назовем безразмерным параметром сдвига или сдвиговой деформа­цией.
Запишем диадное представление аффинора деформации в орто­нормированием отсчетном базисе цилиндрической системы коорди­нат:

Мера деформации Коши-Грина [2] с учетом (4) примет вид:
G = F • FT = (4k2 + 1) erer + 2k (erev + ever) + evev + ezez. (5)
Известно [2], что для изотропного материала энергетически со­пряженную пару образуют тензор Генки Г и «повернутый» обоб­щенный тензор Коши <тц. Однако, для определения напряженного состояния материала необходимо использовать симметричный тен­зор истинных напряжений Коши S. Для несжимаемого материала связь между указанными тензорами напряжений имеет вид:
S = RT • aR • R, (6)
где R - ортогональный тензор поворота в полярном разложении аф­финора деформации F = U • R, имеющий следующее диадное раз­ложение:
1
л/k2 + 1
Запишем уравнение состояния рассматриваемого несжимаемого материала в виде [2]:
Sr = 2СГ, (8)
где SR - девиатор «повернутого» обобщенного тензора Коши, Г -девиатор тензора деформации Генки, G - модуль сдвига. Тензор де­формации Генки [2] для несжимаемого материала совпадает со своим девиатором:


Г = Г = и о [к (ёгег - evev) + {erev + ever)]. (9)
Представим тензоры S и or в виде суммы шаровой и девиаторной составляющих
S = S + pE, or = Sr + oqE, (10)

37

где S - девиатор тензора напряжений Коши, p - гидростатическое напряжение, oq — первый инвариант «повернутого» обобщенного тен-E
выражение (6) и учитывая уравнение состояния (8), получим:

p = °0,
RT • SR • R = 2G • RT • Г • R. (11)

Введем безразмерные переменные S = S/ (2G) и p = p/ (2G). Из выражения (11) с учетом (7) и (9) после преобразований получим безразмерные компоненты девиатора тензора истинных напряжений Коши:


<7rr fftptp /_—.—_ , (12)

ln(y^TT+fc)

Учитывая, что напряжения являются функциями только ради­альной переменной р, запишем уравнения равновесия в цилиндриче­ской системе координат в безразмерных переменных:

dp dsr
dp dp
0, (14)

^ + fl^=0. (15)
dp p
3. Основные результаты. Решением уравнения (15) является функция:
trip о? (16)
»=ьш$> (17)
где р — безразмерный вращающий момент на единицу длины цилин­дра, приложенный к его внешней поверхности, имеющий вид:
М
Н
где M — размерный вращающий момент на единицу длины цилиндра, приложенный к его внешней поверхности (рис. 1).
Подставляя уравнения (12) в (14) и переходя к дифференцирова­нию по переменной k, при условии pi (k) |k=0 = 0, найдем безразмер­ное гидростатическое давление:

Р 2
I In2 (лД2 + 1 + к) . (18)


38

Таким образом, зависимости безразмерных компонент девиато-ра напряжений и гидростатического давления от сдвиговой дефор-k
и (18). Следует отметить, что при k = kmax « 1,509 касательное напряжение имеет максимум = rrv (kmax) « 0,663.
Из уравнения (16) следует, что максимальное значение функ­ции rrv (р) достигается та внутреннем радиусе, т. е. при р =1. Та­ким образом, предельный безразмерный вращающий момент можно определить как ртах = « 0,663.
Сравнивая (13) и (16), получим алгебраическое уравнение
м = \n(VWTi + k)

k ( р)
значении безразмерного вращающего момента р. Численно интегри­руя уравнение (3) при безразмерных граничных условиях, следую­щих из условий (2), находим зависимость безразмерного вращающе­го момента от угла поворота внешней оболочки цилиндра р = р (7).
Линеаризуя уравнение (19) и используя уравнение (3), получим линейную зависимость между вращающим моментом и углом пово­рота внешней оболочки цилиндра:

^Ж=л- (20)
Аналогичная зависимость вращающего момента от угла поворота, найденная для потенциалов Трелоара и Муни^Ривлина, приводится Лавенделом [1].
Графики зависимости р = р (7) и ее линейной асимптотики для d=2
из рисунка, функция р = р (7) асимптотически линейна при неболь­ших углах поворота внешней оболочки 7 < 0,2. При больших углах поворота вращающий момент нелинейно стремиться к своему пре­дельному значению ртах ˜ 0,663.
G
угол поворота внешней оболочки 7 и по графику р = р (7) опреде­ляется соответствующий этому углу безразмерный вращающий мо­р
M
лу (17), и тем самым определяется неизвестный модуль сдвига. Про­верку достоверности описания материала уравнением состояния (8),

39
также можно провести с помощью графика р = р (y) и форму­лы (17). В данном случае модуль сдвига будет известной величиной, а определяться будет величина безразмерного вращающего момен-р
величиной для соответствующего угла поворота. Если расхождения в интервале допустимой погрешности, то исследуемый материал опи­сывается уравнением состояния (8).
4. Заключение. В данной работе с помощью задачи о круго­вом сдвиге полого цилиндра было проведено исследование реакции нелинейно-упругого несжимаемого материала, удовлетворяющего уравнению состояния, представленному в [2]. Полученные результа­ты показывают, что рассматриваемое уравнение состояния позволя­ет описать нелинейные характеристики материала, проявляющиеся при достаточно больших нагрузках. При малых нагрузках данное уравнение описывает асимптотически линейную реакцию материа­ла, аналогичную потенциалам Трелоара и Муни-Ривлина.

[1] Лавендел Э. Э. Расчет резинотехнических изделий. — М.: "Машино­строение", 1976.
[2] Маркин А. А. Нелинейная теория упругости. — Тула: ТулГУ, 2000.

40
УДК 514.144.23, 514.172.45, 514.177.2
Применение канонического представления кусочно аффинных отображений к объему их при деформациях с изменением геометрии
Н. С. Гусев
Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана

В теории топологических вариационных задач, таких как пробле­ма Плато и ее одномерный аналог — проблема Штейнера, важную роль играют непрерывные деформации минимизируемых "поверхно­стей", изменяющие их топологию. Необходимость подобных дефор­маций давно и широко известна, см. [2],[3]. В данной работе представ­лена модель таких деформаций в классе так называемых многогран­ников-следов, представляющих собой специальные классы кусочно аффинных отображений, введено понятие объема многогранника-следа и как приложение показана локальная структура локально ми­нимальных многогранников-следов, сводящаяся к известным прин­ципам Плато. Эта техника также позволила получить продвижение в решении задачи о связи погруженного многоугольника и его гра­ницы, см. [1].
Пусть K — конечный полный симплициальный комплекс (все симплексы комплекса K считаются открытыми). Объединение всех
KK рез UK. Многогранником или полиэдром называется тело некоторо­го связного симплициального комплекса. Ниже все многогранники считаются вложенными в пространство Rv достаточно большой раз­мерности v, в котором фиксировано скалярное произведение, порож­дающее объемы meso,..., mesv.
Каждое непрерывное кусочно аффинное ("PA-") отображение / предполагается заданным на связном компактном многогранном множестве dom/. Кусочная аффинность / означает, что существу-
K
dom / / K
отображение.
PA /
дой точки его образа im / связен. PA-отображение / называется смя-
/ dom /
также содержит непустой интервал.

41
PA /
K UK = dom/ /
K
K
плексом, который мы обозначим через /(K).
Если рассматривается композиция / о д некоторых отображений / и д, то всегда предполагается, что отображения /ид согласованы в следующем смысле: im д = dom /.
Теорема 1. Пусть д0 и дх — P'A-контракции с общей областью определения, а /,, PA-смятия, заданные на im ди (ь = 0, 1), причем /0 о д0 = /\ о дх. Тогда найдется инъективное PA-отображекие h : imдх —> imд0 такое, что /0 о h = /\.
/
сочно аффинное смятие д, что д о h = / да некото рой PA-контракции
h dom /
/
PA /
ные редукты отличаются друг от друга на композицию с кусочно аффинным гомеоморфизмом (см. теорему 1).
/
жем, что множество A С dom / гранично относительно отображения /
ставления / = д о h верно, что (1) A = h-1(h(A)) и (2) дл всякого кусочно аффинного гомеоморфизма i многогранника im h на себя такого, что i о h = h верно, что i(h(A)) = h(A).

ничными множествами A и В назовем редуктивно эквивалентными, если найдутся канонические представления / = /' о / "и д = д' о д" такие, что /' = д' и /''(A) = д"(В). Классы редуктивно эквива­лентных пар (/, A), где A — граничное множество относительно PA-/
Также для отмеченного многогранника-следа а тар у (д, A) G a назовем каноническим представителем отмеченного многогранника-следа а, если отображение д — кусочно аффинное смятие.
Пару •), A), где •) — отображение, определенное на про­изведении [а, в] х S некоторого отрезка [а, в] С R (где а = в) и некоторого многогранника S со значениями в том же аффинном про­странстве и непрерывное по совокупности аргументов на [а, в] х S и при этом множество A гранично относительно отображения Ф(т, •) при т G [а, в], назовем отмеченною левою однородною (или еще омо-
[ а, в]

42 го комплекса K, если (0) отображение ж) постоянно при каждом
x G A, (1) отображение Ф(т, •) симплициально относительно ком-
плекса K при каждом т G [а, в] (следовательно, S =UK) и (2) для
всяких двух вершинных точек v', v'' комплекса K и произвольных
т',тG (а, в] если Ф(т>') = Ф(т>"), то Ф(т'',v') = Ф(т'',v'') (или
еще Ф(т, ^-образ каждой вершинной точки комплекса K зависит от
т [ а, в]
Семейство Фт отмеченных многогранников-следов с параметром т G [а, в] С R, назовем деформацией) при условии, что размерность образа Фт не зависит от т G [а, в], найдутся подразделение а = ?о <...<?„ = в набор симплициальных комплексов Kx,..., Kv и набор левых однородных относительно отрезка Јt] или [Јt, Јt-1] и соответственного комплекса K тар (>?,.(•, •), At), где (ФДт, •), At) G Фт, т G [6.-1,6.] при ь = 1,...,v.
Такое семейство отмеченных многогранников-следов назовем ку­сочно аналитическим при условии, что его составляющие аналитич-ны.
Установлено, что следующая формула корректно определяет объ-
/
vol(/) := ^2 mesM д(К)
K.KGK
для р = dimim /, произвольного канонического представления / =
д о h K
д
ляется понятие объема отмеченного многогранника-следа a: Vol а := vol(/), для некоторого эле мента (/, A) из а. Ф
следов, то функция р, действующая по формуле р(т) = Vol Фт, непрерывна. Если же Ф кусочно аналитическая, то р кусочно C1-гладка.
а
для всякой аналитической деформации Ф на [а, в], где Фа = а, верно, что -f I , Vol Ф(т) > 0.
Рассмотрим некоторое множество P и точку а в нем. Скажем то­гда, что множество K С P есть локальный конус в множестве P с вершиною в а, если найдется симплициальный комплекс K такой, что (1) множество {а} — вершина во всяком симплексе A из ком-
K K =UK а P
такого локального конуса K определим его границу fra K по форму­ле fra K := {ж : [а, ж) С K, x G K}.

43
а ( /, A)
ский представитель, а G dom /\ A, K — локальный конус в dom /\ A с а
ским представителем (f\-^, fra К) назовем локализатом отмеченного а
а
мален, если всякий его локализат минимален.
а
локально минимальный отмеченный многогранник-след в трехмер­ном пространстве, (/, F) G A, множество dom / не имеет точек раз-
dom / /
x dom / \ F
в dom / множество U Э же одним из следующих свойств: или (1) U гомеоморф но R2 и / \и аффинно;
K
UK = U;
K = {Si, S2, S3, A}, где Su — двумерный симплекс, A — ребро в каждом из Si, S2, S3;
/ \St аффинно, ь = 1, 2, 3;
двугранный угол между /(Sa) и /(S/) равен 120°, при а = в;
K
UK = U
K = {S12 = S21, S23 = S32, S31 = S13, S14 = S41, S24 = S42, S34 =
S43, Ai, A2, A3, A4, P}, где Sae — двумерный симплекс, имею­щий гранями Aa, A/3 и P, и At — ребро с вершиною P;
/ \sa/3 аффинно, при а = в;
двугранный угол между / (Sa/) и / (S/y ) один и тот же, при а = в = 7 = а.


[1] Гусев Н. С. Кусочно аффинные погружения многоугольников и их границы // Материалы VIII Международного семинара "Дискретная математика и ее приложения" (2-6 февраля 2004 г.). М.: Издатель­ство механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносо­ва, 2004, с. 390-392

[2] Иванов А. О., Тужилин А. А. Теория экстремальных сетей. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

[3] Фоменко А. Т. Вариационные методы в топологии. — М.: Наука, 1982.

44
УДК 514.144.23, 514.172.45, 514.177.2
Ударные волны в упругой среде при сбросе напряжений на трещине
И. III. Дильдабаева, Л. А. Алексеева



Целью работы является разработка численно-аналитических ме­тодов расчета задач дифракции волн в изотропных упругих средах при сбросе напряжений вследствие возникновения трещин произ­вольной формы. Для решения задачи применяется аппарат теории обобщенных функций, следуя методике, разработанной в [1-3]. Ис­пользуя дифференцирование в пространстве обобщенных функций, исходная краевая задача приводится к уравнениям движения с мас­совой силой в виде сингулярных обобщенных функций типа просто­го и двойного слоя на поверхности трещины с плотностями, соот­ветствующими скачкам напряжений и скоростей перемещений. Ис­пользуя свойства тензора Грина уравнений Ламе, строится решение в виде его свертки с сингулярной массовой силой. Получены инте­гральные представления перемещений среды при заданных скачках напряжений и скоростей перемещений на трещине, регулярные для внутренних точек среды. В первом приближении исследована ди­намика среды при заданном сбросе напряжений на трещине конеч­ной длины при плоской деформации. Рассмотрены два случая: сброс вертикальных и сброс горизонтальных напряжений. Представлены результаты расчетов для прямолинейной трещины и дуговой формы.
1. Постановка задачи динамики трещин.
S
среде. До начального момента времени t = 0 среда находилась в статическом напряженном состоянии. В момент t = 0 в среде возни­кает трещина. В качестве модели этого процесса здесь предлагается возникновение скачка напряжений на поверхности S в момент t = 0 с последующим сбросом напряжений с течением времени развития трещины T (t ^ T < оо):

[o-jjnj]S = Pj(x,t) при t > 0, Pj(x,t) — t — T. (1)
При этом в среде возникают ударные волны, удовлетворяющие уравнениям Ламе:

45
ci\ uk,ij + [uk}l\snj5s{x) + c^ — ([uk]snids) - р^ч = -pFi (2)
J oxj dt
где u(x,t) — вектор перемещений точек среды, р — ее плотность.
Как известно [4], на фронтах ударных волн выполняются соотно­шения:
[щ]р. = 0, mj [o-j ]F. = —cp[U i]Fi (3)
где mj (x, t) — компоненты волнового вектора — единичной нормали к фронту волны, направленной в сторону ее распространения.
Условия на поверхности трещины при мгновенном сбросе напря­жений: o+jnj = 0 ; Pi (x, t) = —o0jnjS(t) . При длительном сбросе Pi (x,t) = —o0jnj(5(t) считаем известным.
2. Постановка задачи в пространстве обобщенных функ­ций. Для построения решения задачи воспользуемся аппаратом тео-
u( x, t)
как обобщенную функцию U(x,t). Нетрудно показать, что с учетом условий (1), (3), обобщенное решение удовлетворяет уравнению:

d2U

= -pFi + C^[ukil}snjSs(x) + ([uk}smSs(x))^ = Gt. (4)
Здесь в правой части уравнений появляются сингулярные обоб­щенные функции — простые и двойные слои на трещине с плотно­стями, зависящими от скачка напряжений и перемещений на ней.
Для построения обобщенного решения полученного уравнения, воспользуемся его фундаментальным решением Uк- тензором Грина. Это решение уравнений Ламе (2), соответствующее Fi = —6(x,t)6j.
Переходя к интегральной записи этого выражения, получим
m
y>,t) = C#uЈ l(x,t), у
m
rp(x,t,n) = j^(x,t)nj,
ij
— У,t, n) = Tm(y — x,t),
ят (x,t,n) = тт (x)tH (t).

46
Формула выражает перемещения в среде при известных скачках напряжений и скоростей перемещений на трещине. Они, вообще го­воря, не являются независимыми величинами и связаны условиями, зависящими от условий контакта берегов трещины. Здесь на этом вопросе мы пока не останавливаемся.
3. Тензоры фундаментальных решений при плоской де­формации. Запишем формулы (4) для плоской деформации. В этом случае тензор Грина уравнений движения изотропной упругой сре­ды имеет вид [1]:

flj(r Л - -i-i «if2r • г ¦ -t)j) I с1-н"(с1*-г) _ c2H(c2t-r) \

c\\J c\t2—r2 c\\J c\t2—r2
Столбцы этой матрицы описывают перемещения среды при дей­ствии постоянной силы, сосредоточенной в начале координат, при­ложенной в момент t=0:. Fi = H(t)(S(x), 0), F2 = H(t)(0, S(x))
4. Перемещения упругой среды при сбросе напряжений на трещине.
Пусть массовые силы равны нулю, тогда первое слагаемое в (4) нулевое. Здесь в расчетах перемещений среды пока учтено только слагаемое, определяемое сбросом напряжений на трещине. А именно, полагаем
t
um{x,t) = -J dr j Ulm{x-y,t)[Pi{y,t-t] dS{y).
0 S s
Расчеты проводились при сбросе напряжений на плоской тре­щине, моделируемой отрезком: |x1| ^ 1, x2 = 0. На рисунках представлены векторные поля перемещений при в случае, когда [Pi(y,t — т)]S = (5| exp(—at)H(1 — |x 11) При j = 1, имеем сброс вертикальных напряжений, которые возникают, например, в земной коре при раскрытии трещин. При j = 2, сбрасываются касательные напряжения, которые характерны для трещин со сдвигом берегов относительно друг друга. Так как действие силы происходит в го­ризонтальном направлении, можно наблюдать перемещение среды в этом же направлении, а в области, где среда находится за фронтом действия силы, наблюдается "подтягивание" среды в направлении действия силы. В верхнем и нижнем участке также наблюдается зона завихрения.

47

lill.liSI t* i-t










49













50
[1] Айталиев 111. Алексеева Л. А., Дильдабаев Ш.А., Жан-бырбаев Н. В. Метод граничных интегральных уравнений в задачах динамики упругих многосвязных тел. — Алматы: Гылым, 1992.
[2] Алексеева Л. А., Закирьяноба Г. К. Динамические аналоги фор­мулы Сомильяны для нестационарной динамики упругих сред с про­извольной степенью анизотропии. ПММ. — 1994. — 58, №2. — 170-175.
[3] Alexeyeva L. A. Analogies of Kirchhoff and Somigliana formulas in elastodynamics plane problems. Int. J. Applied Mathematics & Mechanics. — 1991. ^55, №2. - 298-308.

УДК 514.144.23, 514.172.45, 514.177.2
Замкнутые сети массового обслуживания с динамическими характеристиками
В. Е. Евдокимович
Белорусский государственный университет транспорта

В сети, состоящей из N однолинейных узлов, циркулирует M за­явок. Состояние сети в момент времени t характеризуется случай­ным вектором
X(t) = (xi(t),X2(t),.. .,xN(t)),
где
Xj(t) = (Xj l(t), . . .,Xi,ni (t)) ,
щ =\ Xi I — число заявок в г-м узле, a Xik(t) — тип заявки с номером
к в очереди i-го узла (г = 1, N — 1, к = Заявки могут быть L
xN N
состоянием xN + Xj N-ro узла будем понимать такое его состояние, когда в узле находится | xN | + | Xj | заявок ( Xj — ^^стояние г-го узла.) Обозначим через (0) такое состояние узла, когда в нем отсут­ствуют заявки. Обозначим через
X = {X = (xi, X2,... ,xn) : ni + П2 + ... + un = M},
а через
Xm-i = {X = (xi,X2,...,xn) : ni + П2 + ... + un = M - 1}.
Направленная в г-й узел заявка 1-го типа, когда сеть находится в со­стоянии X (Е Xm-i непосредственно в момент поступления заявки, с
51
вероятностью /( (X) начинает обслуживаться в соответствии с дис­циплиной LCFS с дообслуживанием вытесненной с прибора заявки, а с дополнительной вероятностью 1 — /(j)(X) мгновенно обходит узел
(О < tf\x) < 1, i = / = lTX, х G XM-i) •
Времена ожидания заявок в очереди ограничены случайными вели-
чинами, распределенными экспоненциально с параметром щ{п), г =
1, N. Длительности обслуживания заявок в узлах не зависят от про-
цесса поступления, независимы между собой, и для г-го узла име-
ют показательное распределение с параметром Hi(x), i = 1, N, х G
XM-1. Предполагается, что pj(X) > nj > 0. Заявка 1-го типа,
завершившая обслуживание в г-м узле, независимо от других заявок с вероятностью
p(j,I)(j,m)(X)
направляется в 7-й узел, приобретая тип ш;
N L
^2 ^2 P{i,i){j,m){x) = 1, i=l,N, l=l,M, хеХм-i-
j=1 m=1
Заявка 1-го типа, обошедшая г-й узел, независимо от других заявок с вероятностью
I)(j,m)(X)

NL

j= 1 m= 1
Для рассматриваемой модели устанавливается достаточное условие эргодичности и находится финальное стационарное распределение.










52
УДК 517.5
Асимптотика уклонений целых функций от элементов первой строки таблицы Паде
Ю. А. Ермоленко
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины,

Будем рассматривать функции /, аналитические в некоторой об­ласти G, содержащей круг D = {z : \z\ ^ 1}, ш представимые в D
/(z) = E°°n (!)
В работах [1, 2] при условиях на коэффициенты {/n}°°=n
/n+1//n = (a/na){1 + y (n)}, (2)
где Y(n) — 0, a > 0, a ? C, получены асимптотики убывания величин
\\f(z) - 741(2; ЛНссо)
при n — 00, где 7гпд (z; /) - аппроксимации Паде порядка (п,1). Рас­смотрим более общие условия:



где Y(n) — 0 a, в ^ 0 9 ? C. Имеет место следующая
Теорема 1. Пусть коэффициенты {/n}^Lo РДДа (1) удовлетворя­ют условиям (3).Тогда для любого z ? D при п —> оо справедливо асимптотическое равенство:

/(z) — nn,1(z; /) = —/n+1
га+1 lne n V Vna lne
n

Пусть 1 ? 1 _ рациональная функция наилучшего прибли­жения в классе всех рациональных функций 1-
Теорема 2. В условиях теоремы 1 при n — то имеют место асимп­тотические равенства:
n
\\f(z) - r*(z; ЛII = |/n+i| "'f' (l + O ^ 1
«+1 lne nl Vn« lne


53

[1] Верезкина Л. Л.,Русак В. Н. О наилучших рациональных аппрокси­мациях некоторых целых функций. Весцг АН БССР. Сер. фгз.-матэм. навук. — 1990. — №4. — 27-32.
[2] Levin A.L.,Lubinsky D. S. Rows and diagonals of the Walsh array for entire functions with smooth Maclaurin series coefficients. Constr. Approx. — 1990. -№6.- 257-286.

УДК 532.516, 532.591
О нелинейных осцилляциях заряженной капли вязкой жидкости
А. Н. Жаров, И. Г. Жарова
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова

Как известно, исследование капиллярных осцилляции и устой­чивости заряженной капли вязкой жидкости представляет интерес в связи с многочисленными академическими, техническими и техноло­гическими приложениями. Однако, строгое аналитическое решение этой задачи до настоящего момента времени никем из исследовате­лей не найдено.
В настоящем исследовании рассматривалась сферическая капля вязкой несжимаемой жидкости, находящаяся в вакууме в условиях невесомости, несущая на себе электрический заряд. Считалось, что в начальный момент времени поле скоростей жидкости в капле ну­левое, а форма капли осесимметрична и описывается функцией вида
С = ? 53 hmPm(cos$)

где ? — малый параметр, характеризующий амплитуду начального возмущения; Pm(cos$) — полином Лежандра порядка m; f2 — мно­жество индексов изначально возбужденных мод; hm — константы,
m
чальной формы капли.
Математическая формулировка задачи о расчете капиллярных колебаний заряженной капли, вязкой несжимаемой электропровод­ной жидкости содержит в себе: уравнение Навье — Стокса; уравнение неразрывности жидкости; уравнение Лапласа для электрического потенциала; условия эквипотенциальности поверхности капли; усло­вие постоянства полного заряда капли; условие постоянства объема

54
капли; условие неподвижности центра масс капли; кинематическое и динамические граничные условия.
Поскольку система уравнений электрогидродинамики, описыва­ющая осцилляции вязкой заряженной капли является нелинейной, то для ее решения можно использовать метод прямого разложения по величине малого параметра е. Разложив все величины задачи в ряд по е с точностью до величин второго порядка малости и приме­няя преобразование Лапласа по времени можно найти решение зада­чи о капиллярных осцилляциях заряженной капли вязкой жидкости и в частности аналитическое выражение для отклонения поверхно­сти капли от равновесной ?(?). Данное выражение представляется в виде бесконечных рядов по корням дисперсионного уравнения и ко­нечными рядами по полиномам Лежандра. Отметим так же, что в пределе большой вязкости выражение для ?(?) достаточно компакт­но. Анализ найденного выражения для временной эволюции формы сильно деформированной капли сильно вязкой жидкости позволяет проследить за временной эволюцией каждой моды.

УДК 514.77, 519.711.72, 517.982.22
Разветвленные А-экстремали и их асимптотика
при А — то
Д. П. Илъютко
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Введение и постановка задачи. Задачи, связанные с изучени­ем экстремальных сетей, т.е. критических точек функционала нор­мированной длины, появляются при обобщении знаменитой пробле­мы Штейнера: среди всех сетей, затягивающих данное конечное множество X точек евклидовой плоскости, найти сеть наимень­шей длины, см. [1] . Решение этой задачи называется кратчайшей
X
ваются сети на А-нормированных плоскостях, т.е. на нормирован­ных плоскостях (R2, р\), для которых единичная окружность ? = {x ? R2| рл(ж) = 1} совпадает с правильным 2А-угольником, одна из осей симметрии которого лежит на оси абсцисс. Важными отли­чиями этих нормированных плоскостей от стандартной евклидовой
При подготовке данной работы автор пользовался частичной поддержкой грантов Президента РФ НШ 1988.2003.1, МД 263.2003.01, а также гранта РФФИ 04-01-00682.

55 плоскости являются отсутствия гладкости единичной окружности ? и строгой выпуклости единичного круга, ограниченного ?. Ока­зывается, на таких плоскостях, ввиду отсутствия гладкости нормы, класс локально экстремальных сетей существенно шире класса экс­тремальных сетей. В данной работе дается геометрический ответ на
А
плоскости (А-экстремальным), где А = 2, 3, 4, 6. Также исследу-
А
где А = 2, 3, 4 6, и об асимптотике А-экстремальных деревьев при А — то.
Экстремальные сети. Под сетью мы будем понимать произ­вольное плоское дерево Г с множеством вершин V(Г) и множеством ребер ?(Г). Будем говорить, что сеть Г затягивает конечное мно­жество X, если V(Г) содержит множество X. Вершины из множе­ства X называются граничными для сети Г (<9Г — множество гранич­ных вершин сети Г), а вершины из V(Г) \ X — внутренними для Г. Без ограничения общности мы будем рассматривать только линей­ные сети, т.е. сети, все ребра которых являются отрезками прямых. Г
Г 2 Г
тью. Длиной 1(Г) сети Г назовем сумму У^жуеЕ(-Г) рл(ж — у). Под де-Г
семейство {Г4} сетей Г4 с границей <9Г, полученных из Г движением внутренних вершин, при этом вершины могут расщепляться.
Г
бой деформации {Г4}, t ? [0,1], где Г4=0 = Г, выполнено соотношение |40+^(Г4) ^ 0. Экстремальная сеть на А-нормированной плоскости А
ГА
Y — некоторое ее ребро, ориентированное одним из двух возможных
способов. Если направление этого ребра приходит во внутреннюю
2А ?
fl(Y) направления ребра y равно этой стороне 2А-угольника ? (нето­чечное ребро), а если направление этого ребра приходит в вершину 2А-угольника, то будем говорить, что замыкание A(y) направления ребра y равно этой вершине (точечное ребро). Для любых подмно­жеств A и B из ? обозначим через a(A, B) точную нижнюю грань углов между радиус-векторами точек x ? A и у ? B. Если yi и Y2 — два смежных ребра, то в выражении ск(A(yi), A(y2)) п°Д замыка­ниями A(yj) мы будем понимать замыкания для ребер Yi, i = 12, ориентированных от их общей вершины. Рассмотрим произвольную

56 пару (y, y') смежных ребер, ориентированных от их общей вершины. Определим знак этой пары c(y, y') следующим образом: для линейно независимых ребер y и y 'положим c(y, y') = 1> если базис (y, y') п0˜ ложительно ориентирован на R2, и c(y, y') = — 1 в противном случае; для линейно зависимых ребер y и y' положим c(y, y') = 1- Определим для пары (y, y') погрешность fall(Y, y') и ориентированную погреш­ность fallo(Y, y')> положив: fall(Y, y') = k если
«(fl(Y),n(7')) = f -g,
и
fall0(Y,Y') = Ј(y, Y')fall(Y, y').
Рассмотрим произвольный ориентированный путь V = {yi, ..., Yn} в сети Г, где y« — последовательные ребpa пути V. При каждом 1 ^ i ^ n — 1 внутренней вер шине zi пут и V, инцидентной ре брам Yi и Yi+ъ поставим в соответствие знак 6(yj, Yi+i)- Путь V называется
V
ничные в сети Г, имеют одинаковый знак. Ориентация правильно V
внутренней вершины пути V, граничной в сети Г, положителен.
V
ренние ребра которого точечны, ориентированную погрешность fall0(V), положив:
n-2
fallo(V) = max(fallo(Yi, Y2) + ^ fallo(Yi, Yi+i) + fallo(Yn-i, Yn)),

где dfl(Yi) = {y/jYj2} i = 1 или П — граница подмножества fl(Yi) окружности E
Пусть П — множество канонически ориентированных путей в Г, все внутренние ребра которых точечны. Положим Fallo(r) = maxpen fallo(V).
Определение 2. Кусочно-регулярную кривую назовем монотон­ной, если направления всех векторов скорости этой кривой приходят на одну и ту же сторону 2А-угольника E
Г Г
Г
резки.
Теорема 1. Произвольная сеть Г А-экстремальна, где А = 2, 3, 4, 6, тогда и только тогда, когда все ее вершины степени 1 являются граничными, все ее нити — монотонные кривые и Fallo(r) ^ 3.

57
АА экстремальных сетей при А — оо. Рассмотрим на плоскости две произвольные сети i = 1, 2.
Определение 4. Сети ^ и Г2 называются планарно эквивалент­ными, если существует гомеоморфизм плоскости на себя, сохраняю­щий ориентацию и переводящий одну сеть в другую (с сохранением границы).
Г
А
валентная ей А-экстремальная сеть Г'.
Г
пени всех вершин не больше 3 а все вершины степени 1 являются граничными.
Верна следующая теорема.
ГА зацию, где А = 2, 3 4 6 тогда и только тогда, когда Г является деревом Штейнера.
Г
ность сетей {Гп}^=^, планарно эквивалентных сети Г. Фиксируем для каждой сети Гп деформацию, которая осуществляет планарную эквивалентность сетей Г и Гп. Тем самым для каждой пары сетей фиксирована планарная эквивалентность.
Определение 7. Будем говорить, что последовательность {ГГ1}п°=1 Г
шин сетей Гп, которые при планарной эквивалентности переходят
Г
довательность сетей {Гп}п°=1 строго сходится к сети Г, если она сходится и границы всех сетей совпадают.
Г
А
ных сетей, сходящаяся к Г при А — то
Не для каждой экстремальной сети на стандартной евклидовой
А
строго сходящаяся к ней при А — то. Проблемы могут возникнуть в
23
Г
13 Теорема 4. Для любой бинарной экстремальной сети на стандарт­А
А—о

58

Автор выражает глубокую благодарность профессорам А. О. Ива­нову и А. А. Тужилину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

[1] Иванов А. О., Тужилин А. А. Теория экстремальных сетей. — Моск­ва - Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003.

УДК 514.74
Автоморфизмы дискретной группы Гейзенберга и их числа Райдемастера
Ф. К. Индукаев
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

1. Определение числа Райдемастера. Пусть G - дискретная группа, а ф - её автоморфизм. Введём на G следующее отношение эквивалентности: x ˜ y если Зд, что y = ^жф(^-1)
Предложение 1. Это отношение действительно является отноше­нием эквивалентности
Доказательство.
x ˜ x, так как x = ехф(е-1)
Если x ˜ y, y ˜ z, то 3g G G, h G G что y = ^тф^-1), z = /м/ф(/1-1) = /г^сф^-1^^-1) = /м^ф^/м;)-1) =Ф x ˜ z
3) Если x ˜ y = (^ф^-1) =Ф x = 5-1уф((^-1)-1) =>• y ˜ x
Группа G разбивается на классы эквивалентности; класс эквива-
лентности элемента х обозначаются через x^. Число таких классов,
ф
Д(ф).

Легко убедиться, что такие матрицы образуют группу относительно матричного умножения. Эта группа называется дискретной группой Гейзенберга. Будем обозначать её через G.
59
2. Дискретная группа Гейзенберга. Рассмотрим множество целочисленных 3 х 3-матриц вида

G
имеет три образующие:

зом:
'1 k m^
0 1 I \ = b'afccm (1)
v0 0 1
Эти образующие связаны соотношениями:
[a, c] = e; [b, c] = e; [a, b] = c,
где квадратные скобки обозначают групповой коммутатор.
G
1km
0 1 l \ = (k,1,m).
001
Например, образующие будем записывать так:
a =(1, 0,0); b =(0,1, 0); c = (0,0,1).
Тогда закон умножения запишется в виде:
(xi,x2,x3)(yi,y2,y3) = (xi + yi,x2 + y2,x3 + уз + xiy2);
а обратный элемент найдется по формуле:
(xi,x2,x3)-1 = (-xi, -x2, -x3 + xix2).
Далее, непосредственно проверяется, что
akb = b'afccfc1. (*)
Этим мы будем пользоваться чтобы записывать любые элементы группы в виде bX2 axi cX3
G
лическая подгруппа, порождённая c = (0,0,1).

60
2. Описание автоморфизмов группы G. Если ф - автоморфизм G

стр. 1
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ

>>