<<

стр. 2
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

морфным образом. Поэтому ф(^ = c±1 Пусть ф действует на обра­зующих следующим образом:
ф(а) = (k,1,m) = b'afc cm; ф(Ь) = (р, q,r) = bqapcr; ф(c) = cs; где s = ±1
Тогда на произвольном элементе (x1lx2lx3^^^^^^eние ф действует следующим образом:
,x2,x3) = Wb))X2 (ф(а))Х1 (ф^Г3; ф(Ь)Х2 = (bqapcr)(bqapcr) • • • (bqapcr) =
4 v '

( используем: (*), ac = ca, bc = cb)
= l,4x2 aPx2 crx2+pq(l+2 + ... + (x2-l)) _ foqx2 apx2 crx2+pq^^§—— .
ф(а)Х1 = (blakcm)(blakcm)---(blakcm) =^iafaic^i+fc''l(T";

Таким образом,

ф(хих2,Х3) =bqX2aPX2CrX2+Pq!C2(!Ci˜1) .Ъ^акхг^гхг + Ы^^-^ .с*** =
= foqx2+lX! apx2 + kXi crx2+mx1+SX3+pq ^(^г-1) =4 (*1 -1) ^piXlX2 _
x2(x2 — 1) xi(xi — 1)
= (kx1+px2,lx1 + qx2, mx-i+rx2+sx3+pq \-kl h
+ p/xix2).
To есть, автоморфизмы нашей группы находятся среди отображений вида:

x2(x2 — 1) xi(xi — 1)
(kx1+px2,lx1+qx2, mx-i+rx2+sx3+pq \-kl Yplx\X2)

ф: (xi,x2,x3)
x
Х2, mxi-\-rx2+sx^-\-pq-
p, q, r, k, l, m G Z, s = ±1. (2)

61

Предложение 2. Автоморфизмы группы G - это в точности те отоб­ражения вида (2), у которых kq = pl + s.
Доказательство. Покажем, что условие kq = pl+s является необ-
ф
храняло операцию.
Для начала, покажем, что что первые две компоненты у ф^)ф(у) и ф^у) будут совпадать при любых k, l, m,p, q, r, s.

ф(x) = (kxi + px2, ixi + qx2, *);
ф(у) = (kyi + py2, lyi + qy2, *);
ф^)ф(у) = (k(xi + x2) + p(x2 + y2),1(xi + yi) + q(x2 + У2), *); xy = (xi + yi,x2 + У2, *); ф(xy) = (k(xi + x2) + p(x2 + У2), 1(xi + yi) + q(x2 + У2), *);

Таким образом, осталось проверять равенство только третьих компонент ф^)ф(у) и ф^у).

Пусть x = (xi,x2,x3),y = (у1,У2,У3). Тогда:
ф(х)ф(у) = (кхЛ +рх2, lx\ + qx2, тхЛ + rx2 + sx3 + pq-^—^—— +
x-jjx-j - 1)
+ kl Yplx\x2)-

¦{kyi+pyi, lyi+qy2, my1+ry2+sy3+pq \-kl \-plyiy2J =

где A = у (ж2(ж2-1)+у2(У2-1))+у(xi(xi-l)+yi(yi-l))+p/(xix2+yiy2)
= (*, *, m(xi + yi) + r(x2 + У2) + s(x3 + У3) + A), ЬУ2(У2-1))+у(.'-1(ж1-1)+;
у (x2 +y2˜x2-y2 + 2ж2у2) + — (x1 + J/i - xi - yi + 2x1y1)+
+ (kxi + px2)(1yi + qy2) =
\ k/ 2 2

+ p/(xix2 + yiy2 + x2yi) + kqxiy2;

С другой стороны,

ф(xy) = + yi, x2 + У2, x3 + У3 + xiy2) =
= (*, *, m(xi + yi) + r(x2 + У2) + s(x3 + У3) + B),
где

62
В = SXiy2 + у ((ж2 + У2)(х2 +У2- 1)) +
kl
+ у (xi + Vi)(xi +2/1 — 1) +pl(x1 + у\)(х2 + У2) =
pq / 2 2 \ kl / 2 2 \
= «а;1У2 + у(а;2+У2 ˜ж2 -?/2 + 2х2у2) + у (а^ +ух -xi -yi + 2xiyi)+
+ p1(xix2 + yix2 + y2xi + yiy2); Таким образом, легко видеть, что:
ф^у) = ф^)ф(у) -ф» A = B ^ ^ p1(xix2+yiy2+x2yi)+kqxiy2 = p1(xix2+yix2+y2xi+yiy2)+sxix2 О
-Ф» kqxiy2 = p1xiy2 + sxiy2 -Ф» kq = pl + s
Теперь убедимся что этого же условия kq = pl + s достаточно для
ф
Пусть p = (pi,p2,p3) — произвольный элемент G. Убедимся что 3!x : ф^) = p.
{
kxi + px2 = pi; Ixi + qx2 = p2; F(xi, x2) + sx3 = p3.
В силу того, что kq — pl = s = ±1, эта система имеет единственное решение, Vpi,p2,p3. Следовательно, ф - биекция.
G
Лемма 1. Если s = 1, то Д(ф) = оо.
ф
s = 1. Зафиксируем x = (xi,x2,x3) G G. Опишем его класс скру­ченной эквивалентности x^.
Если g = (gi, g2, g3) G G то g-i = (—gi, — g2, gig2 — g3); ф(5-1) = (—kgi — pg2, —Igi — qg2, —g3 + Q(gi, g2)), где Q - квадратич­ный полином двух переменных.
gxф(g-1) = (gi,g2,g3)(xix2 x3)(—kgi— pg2, —Igi—qg2, —g3+Q(gi,g2)) = = (gi +xi,g2+x2,g3+x3+gix2)( —kgi—pg2, —Igi —qg2, —g3+Q(gi,g2)) = = (xi + (1 —k)gi —pg2,x2 —Igi + (1 — q)g2,g3 —g3+x3 +gix2 + Q(gi,g2) — — (gi + xi )(1gi + qg2)) = = (xi + (1 — k)gi — pg2,x2 — Igi + (1 — q)g2,x3 + Qi(gi,g2)). (3)

63
где Qi - другой квадратичный полином двух переменных (x фик­сирован). Рассмотрим нулевой уровень Lo = {x G G | xi = 0}. Его можно очевидным образом отождествить (как множество и даже как группу) с Z2.
Пусть x = (0, x2, x3). Тогда

x4> = {((1 — k)gi — pg2,x2 — Igi + (1 — q)g2,x3 + Q(gi,g2))},
П Lo =
1 k 1 k
= {(0, x2 - Igi + (1 - q) gi, x3 + Q2(gi)) \ gi ¦ gi G Z} =
pp
/(1 — q)(1 — k) „ . чч , 1 — k
= {0, x2 + ^ ^ >- - l)gi, x3 + Q2(gi)) gi : gi G Z},
pp
(4)
Q2
Представим себе Lo как решетку на плоскости. Легко видеть, что это множество, для любого x G Lo, лежит либо на прямой, либо на параболе. Но конечным числом такого рода множеств нельзя замо­стить весь Lo. Действительно, предположим противное. Выберем на плоскости какую-нибудь прямую, пересекающуюся с решёткой более чем по одной точке и не совпадающую по направлению ни с одной из прямых, на которых лежат мн-ва П Lo. Тогда её пересечение с этими множествами будет либо пустым, либо одноточечным, ли­бо двуточечным. Но наша прямая содержит бесконечно много точек решетки, и все эти точки нельзя замостить конечным числом одно­точечных и двуточечных множеств. Противоречие. Стало быть, Lo имеет пересечение с бесконечным числом классов скрученной экви­валентности.
Лемма 2. Для каждого N G N существует автоморфизм ф группы G такой, что Д(ф) = 2N.
ф
отображения вида вида (2) с kq — pl = ±1, имеем: ф^) = (kxi + px2,1xi + qx2,sx3 + Qo(xbx2)); Пусть g = (gi,g2,g3)- Тогда

g-! = (— gb — ^ gig2 — g3);
<Mg-1) = ( —kgi — —1gi — ^ —sg3 + Qi(gi,g2));
gxф(g-1) = (gi + xi, g2 + x2, g3 + x3 + gix2)• • ( —kgi — pg2, —1gi — qg2, —sg3 + Qi(gi,g2)) = = (xi + (1 — k)gi — pg2,x2 — Igi + (1 — q)g2,x3 + 2g3 + Q2(gi,g2,xi,x2))

64
Выберем k =1 — N,p = N, l = 1,q = — 1. Тогда s = kq — pl = N — 1 — N = —1- условия Предложения 2 выполнены. Имеем:
gxф(g-1) = (xi + Ngi — Ng2,x2 + 2g2 — gi,x3 + 2g3 + Q2(gi ,g2,xi,x2)).
(5)
Обозначим: /i = gi —g2, /2 = 2g2 —gi, /3 = g3 - Тогда gi = /2+2/1, g2 = /2 — /1, и имеем:

x0 = ^ф^-1) | g G G}
= {(xi + N/i, x2 + /2, x3 + 2/3 + Q3(/i, /2, xi, x2)) | /1, /2, /3 G Z}.
(6)
Отсюда видно, что если у элементов x и у первые компоненты не рав-
ны по модулю о у. То есть, подмножества Hi, H2,... HN G G,
где Hr = {(r + /iN, *, *) | /1 G Z} таковы, что элементы из разных
подмножеств не эквивалентны. Покажем, что каждое такое подмно-
жество распадается ровно на два класса скрученной эквивалентно-
сти.
Обратим внимание на выражения Qo, Qi, Q2, Q3- Напомним, что
п i \ , , Ж2(Ж2 - 1) , , ,xi(xi - 1)
Qo(x1,X2) = тхл +rx2 +pq hfcl h plx1x2

- это многочлен двух переменных. Легко видеть, что его чётность его значения на произвольном наборе аргументов определяется их остатками при делении на 4. Проследив за выкладками в настоя­щей лемме, легко заметить, что все Qi обладают тем же свойством. Фиксируем г € О, N — 1. Тогда, согласно (6),
(г, 0,0)0 = {(r + N/i, /2, 2/3 + Q3(/i, /2, xi, x2)) | /1, /2, /3 G Z} = U {(r + N/1,/2, 2/3 + Q3(/i,/2,r, 0)) |
| /1 G 4Z + i,/2 G 4Z + j,/3 G Z} = = U {(r + N/1,/2, 2/3 + (Q3(i,j,r, 0))mod2) |
| /1 G 4Z + i,/2 G 4Z + j,/2 G Z} ; (r, 0,1)0 = J {(r + N/1,/2, 2/3 + 1 + (Q3(ij,r, 0))mod2) |

| /1 G 4Z + i,/2 G 4Z + j,/3 G Z} ;

65
Таким образом, видно, что каждый элемент из Hr эквивалентен ли­бо (r, 0, 0), либо (r, 0,1). Именно, элемент вида(г + fiN, f2, f3) где fi = i(N), f2 = j(N) лежит в (r, 0,0)ф если f3 имеет ту же чётность, что и Q3(i,j,r, 0) и в (r, 0,0)ф, если другую. Значит, каждое из под­множеств Hr распадается на два класса эквивалентности. Но этих N
G распадается в 2N классов эквивалентности, то есть Е(ф) = 2N. УДК 519.62
Нормализация системы с периодически распределенным запаздыванием
И. С. Кащенко
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Изучается динамика дифференциально-разностного уравнения первого порядка с большим запаздыванием (T ^> 1)
о
х + 7Ж = a J cos(<7 — )x(t + s)ds -\-px2 + F(x), (1)
-T
где a < 0, y > 0, причем y2 + 2a > 0, a, F(x) имеет в нуле порядок малости выше второго.
Основной результат состоит в том, что локальная динамика за­дачи (1) в критическом случае определяется в главном поведением решений нормализованной системы — системы обыкновенных диф­ференциальных уравнений, не содержащей большой параметр. На­пример, если а = 2пп (и> 0), нормализованная система будет иметь вид:

2a2k2V m ' ' ' < > ' a2k3

г(п2 - к2)((2а + 72)fc2 - 7V) + - пА)г

22
˜Р?к{?), k/0,±n; Co = Co-
a
Здесь <fk (?) — это коэффициент при e2knit в разложении выражения ( ? Zme2mnit) в ряд Фурье.

работа выполнена при поддержке программы "университеты россии" ур.04.01.052.

66
Аналогичная система получатся и в случае а = п(2п + 1).
[1] Кащенко И. С. Динамические свойства одного класса дифференци­альных уравнений с распределенным запаздыванием. — В кн.: Совр. проблемы математики и информатики. Вып. 7. — Ярославль, 2005. — 140^147.

УДК 514.763.85, 517.972.6
О редукции уравнения минимальных поверхностей
А. В. Киселёв
Ивановский государственный энергетический университет
В работе приведены свойства алгебры Ли контактных симметрии уравнения Еш\п? двумерных минимальных поверхностей в E3; по­строена спиралеобразная минимальная поверхность, инвариантная относительно композиции вращения и растяжения. Определения и обозначения следуют [1, 3, 5]. Все свойства поверхностей сохраняют­ся при заменах x — y, z i—> — z координат 0xyz в пространстве E3.
1. Лежандром доказана следующая
Теорема 1 [6]. Уравнение двумерных минимальных поверхностей
(1 + u2) uxx — 2uxuyuxy + (1 + uxX) uyy = 0, (1)
заданных в непараметрической форме ? = {z = u(x, y)} С E3, отображается преобразованием Лежандра L = {w = xux + yuy — u, p = ux, q = uy} в линейное эллиптическое уравнение
(1+ p2) wpp + 2pqwpq + (1 + q2) wqq = 0. (2)
Обратное преобразование Ј-1 = {x = wp, y = wq> u = pwp + qwq — w} сопоставляет решениям уравнения (2) минимальные поверхности ?.
Каждой симметрии уравнения (2) соответствует преобразова­ние симметрии уравнения (1). Поскольку определяющее уравнение ?р (ip) = 0, которому удовлетворяют [1] инфинитезимальные сим­метрии ip любого линейного уравнения {F = 0}, совпадает с самим этим уравнением, то справедливо
Утверждение 1 [5]. Алгебра Ли symконтактных симметрии
p = w( ux uy)
том числе p1 = 1 (сдвиг) и p2 = uxi (трансляции; x1 = x, x2 = у), a

67

также точечными преобразованиями p32 = yux — xuy, p3 = xl + uuxi (вращения) и p4 = u — xux — yuy (растяжение).
Коммутационные соотношения между семью точечными симмет-риями pi, ..., p4 указаны в [4].
dp
dp
lydu˜x
Утверждение 2. Все контактные симметрии p(ux, uy) t sym5mi-njj коммутируют [5] между собой. Для любой симметрии p(ux, uy) t symЈm-mj: выполнено

{p132,p}
dp duxi
—p,
+ ux uy
dp
dux3-i
Подалгебра Ли h решений p(ux, uy) уравнения (2) — радикал алгеб­ры Ли sym Јmins контактных симметрии уравнения (1).
В [5] были построены две бесконечные последовательности сим­метрии p t h) полиномиальных по одному из аргументов (напри­мер uy); каждой степени k полиномов соответствуют два решения.
Пример 1 [3]. Эти последовательности начинаются сечениями


1
(1
p1
p8 =


+ arctg ux,

3 uxuy

2 ux arctg ux, 3 3u
p2 = uy, p5 = uy arctg ux,
1+u
ux 1
u
V
1
(1
u2x
u2x
P7 =
p9 =

Утверждение 3. Отображения ad^i2 и ad^i: h — h задают локаль­ные операторы рекурсии на алгебре Ли sym 5mi-njj,
Пример 2. Перечисленные в примере 1 симметрии отображаются согласно приведенной ниже схеме:

ad
ad
-i ad


ad
p5
pe
p7
p8
\pb ad

ad

2
p22 p1
p9
\pl

p5
Из теоремы 1 и утверждения 1 следует, что каждой контактной pth
поставить в соответствие минимальную поверхность ?:

68
Поскольку p(p, q) есть решение уравнения (2), то образ L-1(p) обратного преобразования Лежандра описывает минималь­ную поверхность в параметрическом представлении.
Редукция ?ттЕ П {p = 0} уравнения (1) симметрией p t h С sym ?ш\ns задает p-инвариантную поверхность в E3, см. п. 2.
Пример 3. Решению p5 = qarctgp уравнения (2) соответствует геликоид {z = x tg y} С E3 с осью 0y и образующими, параллель-0xz
относительно симметрии p5 = uy arctg ux, есть плоскость.
Замечание 1. Генераторы алгебры Ли sym5m;nz, указанные в утверждении 1, задают симметрии ut = p([u\, x, y) поверхностей ? = {z = u(x, y)}. Операторы рекурсии (см. утверждение 3 и [5]) поставляют дискретные преобразования между поверхностями ?.
?
пример, катеноид, геликоид, поверхность Щерка [7]), инвариантные
p
метрий pi, ..., p4 уравнения (1); для этого решались совместно p=0
ции (1) композицией ф = p1^ + p4 вращения и растяжения.
Утверждение 4 [4]. Введем полярные координаты (р, 9) на плоско­сти 0xy. Тогда всякая минимальная поверхность а С E3, инвариант­ная относительно симметрии ф = u — (x — y)ux — (x + y)uy; задана в цилиндрических координатах (z, р, 9) соотношением z = p-h(9 — lnр), где функция h(q) аргумента q = 9 — ln р удовлетворяет уравнению
h" • (h2 + 2) + h — 2h — (h)3 — (h — h)3 = 0. (3)
а
цилиндра Q = {p = 1} С E3 вдоль логарифмических спиралей p = const • exp(9), 9 t R, по конусам z = p^h(q), воспроизводя высекаемый ими па цилиндре профиль П = {z = h(q) \р_1} решения h.
Подстановка h = i^,h' = г](0 отображает (3) в уравнение ц' ц (?2 + 2) + С — 2ц — ц3 — (? — ц)3 = 0 с кубической нелинейностью; заданный им фазовый портрет уравнения (3) исследован в [2].
ф
в параметрическом представлении.
Подействуем преобразованием Лежандра L на систему, состоя-ф=0
нение w + qwp — pwq = 0. В полярных координатах p = д cos"d, q = д sin "d та плоскости 0pq второе уравнение принимает вид w — w# = 0, откуда w = ш(д) exp('d). Подставляя w(g, $) в (2), мы приходим к

69
уравнению д2 • (1 + д2) и>''(д) + ди>'(д) + и>(д) = 0. Его комплексно
сопряженные решения таковы:
ш± = (2+ д2)2 exp^±arctg(-(l + e )) 2 ± arth (-(1 + ^ ))' их вещественная и мнимая части определяют пару функций w± = w±(vV + q2)exp(arctg(q/p)),
ф
инвариантных минимальных поверхностей посредством обратного преобразования Лежандра ?-1.
Замечание 2. Графики z = u(x, y) полученных выше решений ?-1(w(p, q)) нетривиально переклеиваются между собой [2]. Про-Па Q

Распространение профиля П с цилиндра Q С E3 определяется следствием 1; в начале координат поверхность имеет особенность. Горизонтальную проекцию профиля можно сделать соизмеримой с 2тг, сколь угодно мало сдвигая вправо ребро R и примыкающие а1 а2
вая необходимое число профилей последовательно на окружности {q ? R}/2nZ, можно сделать минимальную поверхность а само-
R
спирали S.
Автор благодарен Р. Витоло и Д. В. Пелиновскому за стимулиру­ющие замечания, а также В. И. Варламову за полезные обсуждения.
Работа выполнена при поддержке гранта JCa650 CP/D университе­та Лечче.
[1] Бочаров А. В., Вербовецкий А. М., Виноградов А. М. и др. Сим­метрии и законы сохранения уравнений математической физики / Ред. А. М. Виноградов и И. С. Красильщик. 2-е изд. — М.: Факториал, 2005.
[2] Варламов В. И., Киселев А. В. О новом классе спиральных мини­мальных поверхностей. Препринт ВМ-4/05. — Иваново: ИГЭУ, 2005.

70
[3] Киселев А. В., Манно Дж. О неполиномиальных структурах, допускаемых полиномиальными дифференциальными уравнениями. Вестник ИГЭУ. - 2004. - №3. - 30-31.
[4] BlLA N. Lie groups applications to minimal surfaces PDE. Diff. Geom. Dynam. Systems. — 1999. — 1, №1. — 1-9.
[5] Kiselev A. V., Manno G. On the symmetry structure of the minimal surface equation. — В кн.: Proc. IX conf. 'Differential Geometry and Its Applications', 2004. Prague, 2005 (в печати).
[6] Legendre A. Memoire sur 1'integration de quelques equations aux diffe­rences partielles. Mem,. Acad. Roy. Set. Paris. 1789. 309-351.
[7] Nitsche J. С. C. Vorlesungen iiber Minimalflachen. — Berlin: Springer-Verlag, 1974.

УДК 517.956.224
Задача Дирихле — Неймана для диссипативного
уравнения Гельмгольца в двумерной области с трещинами с условием Неймана на трещинах
В. В. Колыбасова
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Задачи Дирихле и Неймана для диссипативного уравнения уста­новившихся волн в областях с экранами изучались в [1, 2].
На плоскости x t R2 рассмотрим многосвязную область, ограни­ченную простыми разомкнутыми кривыми (экранами) Г11,..., Y'N1 t C2'X и простыми замкнутыми кривыми Г2,,..., Г2^ t C2'\ X t (0,1], так, что кривые не имеют общих точек, в частности, концов. Будем рассматривать как случай внешней области, так и случай внутрен­ней области, когда кривая Г'1 охватывает все остальные. Положим Г1 = iXi 1 Г1^ Г2 = UN=1 Г2п, Г = Г1 U Г2. Связную область, огра­ниченную Г2 и содержащую Г1, будем называть Т>, так что ВТ = Г2, Г1 С Т. Предположим, что каждая кривая Г^, j = 1, 2, параметри­зована длиной дуги s:
Г2 = {x : x = x(s) = (x1(s),x2(s)), s e [ai,Vn] }, n =1,...,Nj,
так, что a1 < Ъ1 < • • • < aN1 < Ъ1^ < а\ < Ъ2^ < • • • < a2N2 <
Ъ2 Т б б s
^.Совокупности отрезков оси Os 1 [а2, Ъп], (J^ 1 [а2,Ъ2] и

71
U2=i Un= 1 [ahi &П] далее также будем обозначать Г1, Г2 и Г соответ­ственно. Для j = 0,1 и r ? [0,1] положим

Cj'r (Г2п) =
= {F(s) : F(s) ? [a2, b2n] , F(m) (a^ = F(m) , m = 0, j},
и Cj> (Г2) = i О ^ Пусть nx = (x2(s)1-x1(s)) - вектор нормали к Г в точке x(s). Будем рассматривать Г1 как совокупность разрезов.
Определение 1. Будем говорить, что функция u(x) принадлежит классу гладкости K, если
и ? С0 ^1?\Г1^ П С2 (1?\Г1) и и(х) непрерывна на концах разрезов Г1;
Vw ? С0 (т>\Г1 где X — множество точек, состоящее
из концов Г1: X = i (x (a2) U x (b^)) ;
3) в окрестности любой точки x(d) ? X для некоторых констант
C > 0, б > —1 выполняется неравенство

|Vu| < C|x — x(d)|e, (1)
где x — x(d) и d = a\ или d = Ъ\, n = 1, . .., N1. В определении 1 u(x) и Vu(x) непрерывно продолжимы на раз­резы Г1 \X слева и справа, но могут иметь скачок при переходе через Г1 \ X.
Задача U. Найти функцию u(x) из класса K, которая удовле­творяет уравнению Гельмгольца uXlXl (x) + uX2X2 (x) + k2u(x) = 0, x ? D \ Г1, k = const Im k > 0, и граничным условиям
du(x)

= /1(s), u(x)|x(s)er2 = f2(s). (2)
x(s)er1
Если T> — внешняя область, добавим условия на бесконечности и = о^х]-1/2), \Vu(x)\ = o(\x\-1/2), \х\ = у/х\ + ж2, ^ оо.
U
смысле.
С помощью энергетических тождеств можно доказать теорему единственности.
Теорема 1. Если Г ? C2'A, А ? (0,1], то задача U имеет не более одного решения.

72
Ниже будем считать, что

/1(s) ? С°-л (Г1) , /2(s) ? С 1'х (Г2) , А ? (0,1]. (3)

Под /Гз ... dr будем понимать 1 JJ ... da.
U

г
иЫ(х) = 7 / p{v)V(x,o)do + ^ I p(a)-^—fi^\k\x-y(a)\)da,

д
(4)
где

1/(х,а) = Г (к\х - у(0\) d^, aelalbi], n=l,...,Nb

) — функция Ханкеля первого рода нулевого порядка.
Будем искать /x(s) в пространстве (Г1) ПС1,л/4 (Г2), ш ? (0,1], q ? [0,1), с нормой || • ||С-(Г1) + II • ||С1.^/4(Г2^
Определение 2. Будем говорить, что /x(s) ? (Г1), если ^1(s) ?
С°'ш ^ где M1(s) = M(s) П^= 1 |s — a2|9 |s — ||M0Uc?(П) =
УмНУс»."(Г1)-
Кроме того, функция /x(s) должна удовлетворять условиям


/i(a) da = 0, n = 1, . .., N1. (5)

Используя результаты [3], можно проверить, что ее ли /x(s) при­надлежит пространству (Г1) П С 1>Л/4 (Г2), ш ? (0,1], q ? [0,1), и удовлетворяет условиям (5), то функция (4) удовлетворяет всем условиям задачи, кроме граничных условий (2). Чтобы удовлетво­рить граничным условиям, подставим (4) в (2) и получим интеграль­ные уравнения для /x(s) на Г1 и Г2

-j p(a)—+fp(a)Y1(s,a)da = -2f1(s), s G Г1, (6) п Jг1 a — s
M(s) + J M(a)Y2(s,a) da = 2/2(s), s ? Г2, (7)

73
где
про(x(s),y(a)) _ 1 А _ \x(s)-y(a)\ a-sj
2 an.——j ^^^^-.И!)}.
G C°'p° (Г1 x Г) ,
p° = А, есл и 0 <A< 1, и p° = 1 — e° для любо го e° G (0,1) есл и A =1 (см. [4, лемма 3]),
Y2(s,a) = |(1 - J(CT))y(x(S))CT) + l-S(a)^-H^(k\x(s)-y(a)\),

V0(x,a) = -—h(k\x - y(Ј)\) dЈ, a G [an,bn] , n=l,...,N1,
ф)=^1)(г)-^1п|, n k
5(s) = 0, если s G Г1, и J(s) = 1, если s G Г2. Через p°(x, у) обозначен угол между вектором —у и направлением нормали nx. Угол p°(x, у) считается положительным, если он отложен от nx против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Кроме того, p°(x, у) непрерывен при x, у G Г, если x = у. Согласно [3, 4], Y2(s, <т) G C° (Г2 x Г), т.к. Г G C2,х.
( ) ( )
шение уравнения (7) в пространстве (Г1) П C° (Г2), ш G (0,1],
q G [0,1), автоматически принадлежит (Г1) П C 1,л/4 (Г2). Пото-
му ниже будем искать решение системы (5)—(7) в (Г1) П C° (Г2).
Система интегральных уравнений (5)—(7) является частным случа-
ем систем, изученных в [5]. С помощью теоремы 1 можно доказать,
( ) ( )
в пространстве (Г1) П C° (Г2), ш G (0,1], q G [0,1). Используя этот факт и следствие 1 в [5], можно доказать лемму.
Лемма. Если Г G C2'\ A G (0,1], и выполнены условия (3), то система уравнений (5)-(7) имеет решение p(s) G Cp/2 (Г1) П C° (Г2), p = min{1/2, А}. Это решение системы (5) (7) единственно в про­странстве Cp/2 (Г1) П C° (Г2).
Теорема 2. Если Г G C2'A, A G (0,1], и выполнены условия (3), то решение задачи U существует, единственно и даётся форму­лой (4), где p(s) — решение системы (5) (7) в Cp/2 (Г1) П C° (Г2), p = min{1/2, A}

74
Решение задачи U удовлетворяет условию (1) с б = —1/2.

[1] Krutitskii P. A. The Dirichlet problem for the dissipative Helmholtz
equation in a plane domain bounded by closed and open curves. Hiroshima
Math. J. - 1998. - 28, №1. - 149^168. [2] Krutitskii P. A. The Neumann problem for the 2-D Helmholtz equation
in a domain, bounded by closed and open curves. Int. J. Maths. Math.
Sci. - 1998. - 21, №2. - 209^216.
[3] Крутицкий П. А. Задача Дирихле для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. ЖВМ и МФ. — 1994. — 34, .V'8 9. — 1237^1257.
[4] Крутицкий П. А. Задача Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. ЖВМ и МФ. — 1994. 31. .V" 11. 1652^1665.
[5] Крутицкий П. А. О свойствах систем интегральных уравнений с опе­раторами Коши. ДАН. - 2001. - 376, №11. - 17^20.

УДК 517.956.224
Напряженное состояние многослойного кольца, подкрепляющего круговое отверстие в весомой полуплоскости с наклонной границей
С. В. Князева
Тульский государственный университет

Предложено новое аналитическое решение задачи о плоской де­формации упругой весомой полубесконечной среды S°, ограничен­ной наклонной границей L° (/3 — угол наклона к горизонтали), ослаб­ленной круговым отверстием L° радиус а Д°, подкрепленным мно­гослойным кольцом, содержащим произвольное число n слоев Sj (j = 1,..., n) выполненных их разных материалов. Деформацион­ные свойства материалов областей Sj (j = 0,..., n) характеризуются модулями упругости Ej (j = 0,n) коэффициентами Пуассона vj (j = 0,n) Внутренний контур кольца Sn свободен от действия внешних сил. Кольцо находится на глубине H от наклонной грани­цы L°. Слои Sj (j = 1,..., n) и среда S° деформируются совместно, то есть на линиях контакта Lj (j = 1,..., n) выполняются условия непрерывности векторов напряжений и смещений.
После введения комплексных потенциалов (z), (z) (j = 0, ..., n) характеризующих напряженно-деформированное состояние
работа поддержана грантом нш-1013.2003.5.

75
областей Sj (j = 0,..., n) и связанных с напряжениями известны­ми формулами Колосова - Мусхелишвили, рассматриваемая задача сводится к краевой задаче теории аналитических функций комплекс­ного переменного. Для решения задачи используется аналитическое продолжение комплексных потенциалов </°(z), y//°(z), регулярных в
S° S/ °
ницу L°. Это позволяет свести решение рассматриваемой задачи к итерационному процессу, при котором в каждом приближении реша­ется задача для многослойного кольца, подкрепляющего отверстие в полной плоскости, при граничных условиях, содержащих некото­рые дополнительные члены, представленные в форме комплексных рядов Лорана, неизвестные коэффициенты которых отыскиваются на основе предыдущих приближений. После окончания итерацион­ного процесса (когда отличие соответствующих коэффициентов системы, полученных в двух последующих приближениях, не пре­вышают заранее заданной малой величины е = 10-7) вычисляются коэффициенты разложений в ряды искомых комплексных потенци-
Sj ( j = 0, . . . , n) Решение задачи реализовано в виде программы для ПЭВМ.

УДК 517, 519.21
Энтропия и скорость усложнения границ в гиперболических системах
С. А. Комеч
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

1. Введение. Одна из геометрических интерпретаций энтропии Колмогорова ^Синая динамической системы связывает эту величи­ну со скоростью искажения границ простых областей в фазовом пространстве системы. Впервые подобная интерпретация, правда, в нестрогой форме, появилась в физической литературе (см. [2, гл. 1]). В [3] этот вопрос был исследован для символических динамических систем. В настоящей работе показана справедливость такого подхода на простом примере классической динамической системы.
Пусть т - гиперболический автоморфизм n-мерного тора Tn и hv (т) - энтропия динамической системы (Tn, v, т), где v - мера Ле­бега.
Для всякой точки p G Tn обозначим через B(p, r) замкнутый шар радиуса r с центром в этой точке. Для всякого множества D С Tn

76
обозначим через Ue(D) его е-окрестность. Сформулируем основной результат этой работы.
теорема. Для всякой функции k: R+ — Z+, удовлетворяющей условиям lime^° k(e)/lnе = 0 и lime^° k(e) = оо , при всех p G T" справедливо равенство



Приведём несколько известных фактов, касающихся автомор­физма тора (см., например, [1]). Пусть AT - матрица, индуцирующая т. Обозначим через Ai... As её собственные значения. Тогда
hv (т)=ln П I Ai |. (2)
i:|Ai|>1
Так как т - гиперболический автоморфизм, то |Aj| = 1 для любого г.
Обозначим через Hu (соответственно, Hs) прямую сумму соб­ственных подпространств, соответствующих Aj с |Aj| > 1 (|Aj| < 1); Hu, Hs инвариантны относительно AT, Hs nHu = {0} и R" = Hu©Hs. Нам потребуется также следующее утверждение.
утверждение. Существуют такие константы as, au, As < 1, Au > 1, что для любых г/i G Hs; y2 G Hu и m G N
IIA^/iU < asArH/iH, УА-тУ2у < auA-myy2y. (3)
Введём на Hu и Hs лебеговы меры pu и /.ts соответственно. По­ложим A = YiJ:|Ai|>i |Aj|- Тогда для любых измеримых множеств Bu С Hu и Bs С Hs
Mu(At Bu) = AMu(Bu), Ms(At Bs) = A-Vs(Bs). (4)
2. Доказательство теоремы.
Для любого множества M С R" обозначим через Oe (M) ето е-окрестность в R". Положим Hs(y) = y + Hs, Hu(y) = y + Hu, y G R". Меры Лебега на Hs(y), Hu(y) (полученные из ps, /.tu сдвигом на y) будем обозначать теми же символами ps и /xu. Для любого множества Gs С Hs(y), y G R", обозначим через Of(Gs) ето е-окрестность в Hs(y). Аналогично определим множество Ou y (Gu) С Hu(y), где Gu С Hu(y) Далее, для упрощения записи, индекс y будет опускаться.
Пусть Gyy (соответственно, Gp — произвольное измеримое огра-
Hs ( y)

77
Hu(y)). Назовём множество Gy х Gu := {z G R" : z = ys + yu — y, ys G Gy, yu G Gu} параллелограммом в R". Для любых y G R", 6 > 0 положим Pf(y) = Of (y) х Ou (y).
Ясно, что для любого x G R" существуют константы Gi, G2, за-
Hu Hs
PClЈ(x) С OЈ(x) С Pf2Ј(x). (5)
Оценка сверху. Из (5) и определения параллелограмма Pf2Ј(x) получаем
OЈ(x) С (p°2Ј(x)) = (of2Ј(x) х Of2Ј(x)), k G Z+. (6)
Ясно, что существует константа Yi > 0, зависящая только от угла Hu Hs
Oe(A^PC2Ј(x)) С OJlЈ(AkOf2Ј(x)) х Ouie(A^Of2Ј(x)). (7)
В силу (3) diam(AkOf2Ј(x)) < 2asA;?G2^. Так как As < 1 и lime^° k^) = оо, то при малых е (больших k^)) A^(e)Of2Ј(x) С Of (A^(Ј)x) и, следовательно,
OJlЈ(Ak(Ј)Of2Ј(x)) С OЈ(i+Yl)(Ak(Ј)x),
а потому
Ms(OJlЈ(Ak(Ј)Of2Ј(x))) < Ms(OЈ(i+Yl)(Ak(Ј)x)). (8)
Теперь оценим ^^OulЈ(A^Of2Ј(x))j. В силу (3) выполняется неравенство ^(A^x, ^(A^Of2Ј(x))) > a-iAuG2^, где d - метрика в R". Поэтому множество G(A^(Ј)x) полученное из A^(Ј)Of2Ј(x) гомо­тетией с коэффициентом 2 и центром в точке A^(Ј)x, при достаточно малом е содержит OulЈ(A^(Ј) Of2Ј(x)) Так как, очевидно,
Mu(e(Ak(Ј) x)) = 2"-1Mu(Ak(Ј) Of2Ј(x)),
где / — размерность Hs, из (4) следует, что
Mu(OulЈ(Ak(Ј)Of2Ј(x))) < Mu(e(Ak(Ј)x)) = 2"-1Afc(Ј)Mu(Of2Ј(x)).
(9)

78
Пусть / — мера Лебега в R". В силу (7)-(9)
M(OЈ(Ak(Ј)PC2Ј(x))) <
< 7°Ms(OYlЈ(Ak(Ј)Of2Ј(x)))Mu(OulЈ(Ak(Ј)Of2Ј(x))) (10)
< 7oal(е(1+ Yi))' 2"-' Ak(Ј)«2 ^е)"-',
где y° _ константа, зависящая лишь от угла между Hu и Hs, a ai, «2 - константы, зависящие только от /.
Оценка снизу. При всяком k G Z+ из (5) и определения паралле­лограмма PClЈ(x) получаем
OЈ(Akx) х OflЈ(x) С OЈ(A^PClЈ(x)) С OЈ(A^OЈ(x)). (11)
Обозначим через п естественную проекцию R" на T". Для оценки меры множества из левой части (11) нам потребуется следующая лемма.
Лемма. При малом е множество OЈ(A^(Ј)Pf2Ј(x)) проецируется под действием п на T" взаимно однозначно.
Доказательство. Из определения параллелограмма Pf2Ј(x) сле­дует, что diam(Pf2Ј(x)) < 2С2е. Следовательно,
diam(OЈ(Ak(Ј)Pf2Ј(x))) < 2С2евк(?) + 2е, (12)
где в = |AT| - норма матрицы. По условию теоремы k^) = oln^),
следовательно, правая часть (12) стремится к е — 0. Очевид-
1 T"
взаимно однозначно. Отсюда следует утверждение леммы. ¦
Из леммы следует, что
/(OЈ(A^(Ј)PClЈ(x))) = v(n(0Ј(A^(Ј)PClЈ(x)))) . (13)
Из (4) и (11) получаем
/(OЈ(A^(Ј)PflЈ(x))) > y°/s(OЈA^(Ј)(x))Mu(OflЈ(x))Afc(Ј)
> Yo«lе1 «2 (G^f"^*^, (14)
Y° Hu Hs
Пусть теперь p G T" и x G n-ip. Тогда, в силу (5) и (13)
/(OЈ(A^(Ј)PClЈ(x))) < v (^(тk(Ј)B(p, е))) (15)
< /(OЈ(A^(Ј)Pf2Ј(x))).

79

Подставляя (10) и (14) в (15), получаем

Ak(Ј) G2"-1е",
< Y(1 + Yi)' 2"-1 Ak(Ј)

где 7
7 = Y°ai«2-Для меры шара имеем

v^Cp^)) = /(OЈ (x)) = азе",
(17)

где а3 - константа, зависящая от и.
Из (16), (17) и (2) получаем (1). Теорема доказана.
Замечание. По-видимому, аналогичное утверждение справедли­во для гораздо более широкого класса динамических систем, в част­ности для диффеоморфизмов Аносова.
[1] Гуревич В. М., Синай Я. Г. Дополнение к книге П.Виллингслей: Эр-годическая теория и информация. — М.: Мир, 1969.
[2] Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. — М.: Нау­ка, 1984.
[3] Gurevich В.М. Geometric Interpretation of Entropy for Random Processes. AMS Transl. (2) - 1996. - 171. - 81^87.

УДК 512.55
Решение уравнений в кольце двойных чисел А. А. Кукушина
Карельский государственный педагогический университет
Введение. Кольцом двойных чисел называется кольцо

K = {a + b • j/j
2
1, a, b G R}

полученное из поля действительных чисел добавлением элемента j, для которого выполняется условие j2 = 1. Полученное кольцо близко
G
сел R. Кольцо K может быть реализовано как фактор-кольцо кольца многочленов с действительными коэффициентами по идеалу, порож-x2 — 1
K
гда, когда равны соответствующие координаты этих элементов.

80


Операции сложения и умножения в кольце двойных чисел анало­гичны соответствующим операциям над комплексными числами:
(a + b • j) + (c + d • j) = (a + c) + (b + d) • j (a + b • j) • (c + d • j) = (a • c + b • d) + (a • d + b • c) • j
Но кольцо двойных чисел не является областью целостности, так как в кольце двойных чисел K элементы 1 + j и 1 — j являются делителями нуля.
«Решение уравнений в кольце двойных чисел» является актуаль­ной темой для изучения, так как при изучении данной темы обоб­щается вопрос об извлечении корней в кольце двойных чиисел.
Решение уравнений в кольце двойных чисел. Уравнение общего вида степени и в кольце двойных чисел K имеет вид:
(a"+b"-j)-x" + (a"-i +b"-i-j)-x"-i + +(ai+bi-j)-x+(a°+b° •j) = 0
причем числа a", a"-i,..., ai, a° и b", b"-i,..., bi, b° являются про­извольными действительными числами.
Теорема 1. Произвольное неотрицательное целое число m явля-
и
Km де m = t • s, причем целые числа t и s удовлетворяют условиям 0 < t, s < и.
Доказательство. Предположим, что произвольное неотрица-m
уравнения

(a"+b"-j)-x" + (a"-i +b"-i •j)^x"-i + +(ai+bij>x+(a°+b°•j) = 0
(1)
Km виде m = t • s, причем t и s удовлетворяют условиям 0 ^ t, s ^ n.
Пусть x = y + z • j — один из корней данного уравнения (1), тогда вместо x, подставляя y + z • j в данное уравнение (1), получим уравнение вида

(a" + b" • j) • (y + z • j)" + ••• +(ai + bi • j) • (y + z • j) + (a° + b° • j) = 0 (2)
Так как, согласно формуле бинома Ньютона, выполняется фор­мула
r
(y + z • j)r = ]Г Grfc • yr-fc • (z • j)k fc=°

81

для всех 1 ^ r ^ и, то уравнение (2), а значит и данное уравнение (1)
Г (a" + b" • j) • (y + z)" + • • • + (ai + bi • j) • (y + z) + (a° + b° • j) = 0, \ (a" + b" • j) • (y + z)" + • • • + (ai + bi • j) • (y + z) + (a° + b° • j) = 0.
Каждое уравнение полученной системы является уравнением сте­пени и в поле действительных чисел R, а, значит, в поле действитель-
и
ts шений, тогда возможное количество решений системы равно m = t-s.
(1)
совпадают, так как система была получена с помощью равносильных
(1) m = t • s
но выполнение условий 0 ^ t, s ^ и. Доказано необходимое условие теоремы.
m
виде m = t • s и выполняются условия 0 ^ t, s ^ и, то существует
m
Уравнение (u — 1) • (u — 2) • ... • (u — t) = 0 в поле действительных чисел после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в левой части уравнения, приводится к виду


Пусть коэффициенты уравнения

равны

а коэффициенты уравнения

равны
82
и имеет ровно t решений. Аналогично, уравнение (v — 1) • (v — 2) • ... • (v — s) = 0 в поле действительных чисел приводится к виду vs —

Если выполняется условие s ^ t (для условия t ^ s аналогично), то­гда ит,..., nt+i равны 0. Решая все возможные системы уравнений вида
Г aj + bj = kj, \ aj — b j = Uj .
если 0 ^ i ^ n, тогда найдем неизвестные aj, bj, которые будут соот­ветствующими коэффициентами уравнения
(a"+b" •j)^™ + (a"_i +b"_i •j)^"1-1 + h(ai -l-bij^^-l"^+b° •j) = 0.
m
условие теоремы доказано.
Значит, теорема 1 доказана полностью.
и
может иметь не более и2 решений.
Доказательство леммы очевидно, учитывая результат, получен­ный в теореме 1.
Так как кольцо двойных чисел K включает в себя все действи­тельные числа, тогда очевидна следующая теорема 2.
Теорема 2. Все решения уравнений над полем действительных чи­сел являются решениями данных уравнений в кольце двойных чисел.
Корень четной степени можно извлекать только из двойных чи­сел вида a + b • j, для коэффициентов которых выполняется условие |b| ^ a, причем данный корень имеет одно единственное значение. [2]
Для того чтобы в кольце двойных чисел найти минимальную сте-
m
1) найти все возможные произведения неотрицательных целых
t • s m
ts
t — s
3) минимальной степенью уравнения является максимальное ts и
K и2
• Степень и данного уравнения является четным числом и дис­криминант данного уравнения больше нуля; •и
криминант данного уравнения меньше нуля.
и
K
пени и с действительными коэффициентами в поле R.

83
Если уравнение с действительными коэффициентами не имеет
R
K
Примеры. Произвольное уравнение третьей степени вида (a + b • j) • x3 + (c + d • j) • x2 + (l + k • j) • x + (m + n • j) = 0 K
и девять решений; пять, семь, восемь решений данное уравнение иметь не может.
Примеры некоторых уравнений, иллюстрирующие количество ре­шений произвольных уравнений третьей степени в кольце двойных чисел:
x3 + (—6 + 3 • j) • x2 + (15 — 12 • j) • x + ( —14+ 13 • j) = 0 — имеет одно решение,
2 • x3 + (—8 + 2 • j) • x2 + (11 — 5 • j) • x — 2 = 0 — имеет два решения,
2 • x3 + (9 — 3 • j) • x2 + (14 — 8 • j) • x + ( —1 — 5 • j) = 0 — имеет три решения,
2 • x3 + (21 — 5 • j) • x2 + (51 — 61 • j) • x + (—81 + 79 • j) = 0 — имеет четыре решения,
2 • x3 + (—19 + 7 • j) • x2 + (67 — 45 • j) • x + (74 — 86 • j) = 0 — имеет шесть решений,
x3 + (1 — 7 • j) • x2 + (15 — 4 • j) • x + (3 — 9 • j) =0 — имеет девять решений,
Произвольное уравнение четвертой степени в кольце двойных чи-K
девять, двенадцать и шестнадцать решений.
Количество решений уравнений произвольной степени в кольце двойных чисел можно найти, используя полученные результаты в теореме 1.
Заключение. В ходе проведенного исследования установлено возможное количество решений уравнений в кольце двойных чисел, установлен способ нахождения в кольце двойных чисел минималь­ной степени уравнения, имеющего заданное количество решений, а также найдены условия, при которых уравнение с действительными
и и2
ний.
[1] ye shuwu on double number. Acta Set. Natur. Univ. Situatsen Natur. Sci. — 1991. - 2.
[2] ивлев д. д. о двойных числах и их функциях. Математическое про­свещение. 1961. 6.

84
[3] розенфельд В. А. Неевклидовы геометрии. — xi.: г г ii1. 1995.

УДК 517.938.5
О трюке Батлера и редукции для геодезических
потоков
А. А. Логачев
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова


Аннотация
Изучаются свойства интегрируемости и квазислучайности класса геодезических потоков на однородных пространствах Г\О, отвечающих левоинвариантным римановым метрикам на О, dimG = 3. Рассмотренные примеры подтверждают гипо­тезу А. М. Степина о связи положительности топологической энтропии интегрируемых геодезических потоков и существо­ванием гиперболической компоненты в присоединенном пред­ставлении.
Лагранжев поток, соответствующий римановой метрике р : TM — R+ на многообразии M, - это динамическая система в про­странстве SM С TM касательных векторов единичной длины, для
р
что касательный вектор v (Е SM за время t переходит в касательный вектор 7(t) к натурально параметризованной геодезической 7^), за­даваемой начальным условием "7(0) = v. Квадратичность функции р
TM и (с помощью преобразования Лежандра) на T*M.
В работах [6, 2] были рассмотрены новые интегрируемые геодези­ческие потоки на однородных пространствах групп Ли. Интегриру­емость означает, что существует набор из и = dim(T*M)/2 гладких интегралов движения функционально независимых на плотном под­множестве, попарные скобки Пуассона которых обращаются в нуль. Сначала был построен пример интегрируемого геодезического пото­ка на трехмерном нильмногообразии; энтропия этого потока равна 0. Затем был предъявлен интегрируемый геодезический поток с поло­жительной топологической энтропией на компактном многообразии
работа выполнена при поддержке гранта президента рф для ведущих на­учных школ нш-457.2003.1

85 размерности 3 и серия таких примеров в более высоких размерно­стях.
Перечислим конфигурационные пространства рассматриваемых гамильтоновых систем, являющиеся G-пространствами. Для этого начнем с описания трехмерных групп ^^^^^^^^^тых подгрупп Г. T3
из [1]) - это группа верхнетреугольных квадратных матриц порядка 3 с единицами на диагонали. Мы не будем описывать этот случай, так как он полностью рассмотрен в [6].
СЛУЧАЙ 1. Группа Si. Эту группу можно задать следующим об­разом (x, y, z) G R3, (x, y, z) * (x', y', z')=(x + x'ez, y + y'e_z, z + z'). Дискретная кокомпактная подгруппа для группы Si порождается образующими (xi,yi, 0), (x2,y2,0) и (0,0, k), где ek + e_k G Z.
СЛУЧАЙ 2. Группа S2. Аналогично случаю 1, группа представ-( x, y, z ) ( R3


(x,y, z) * (x',y',z') =
= (x + x' cos 2nz + y' sin 2nz, y — x' sin 2nz + y' cos 2nz, z + z').
Дискретная кокомпактная подгруппа Г группы S2 порождают­ся образующими (0,0, |), (жьуь0) и (ж2,у2,0), где п G N, р = 2, 3,4 или 6, либо Г порождается образующими (xi,yi, 0), (x2,y2,0) и (x, y, n), где n G N.
СЛУЧАЙ 3. Группа SL(2,R). Это группа квадратных матриц по­рядка 2 с определителем равным 1. Основные результаты, относя­щиеся к описанию дискретных подгрупп, изложены в [3].
Для описания левоинвариантных метрик будет достаточно найти базис левоинвариантных 1-форм (а, в, 7)) тогда любую левоинвари-антную метрику можно записать в виде

ds2 = ana <g> a + ai2« <g> в + a22e ® в + a23e ® 7 + a337 <8> 7 + ai3« <g> 7.

Левоинвариантные метрики для случаев 1 и 2 представляются в виде

ds2 = aiie_2z dx2 + ai2dxdy + a22e2z dy2 + a23ez dydz+ + a33dz2 + ai3e_zdxdz - случай 1

86
ds2 = (aii cos2 2nz + ai2 cos 2nz sin 2nz + a22 sin2 2nz)dx2 + + (2aii cos 2nz sin 2nz + ai2 cos2 2nz — ai2 sin2 2nz+ + 2a22 cos 2nz sin 2nz)dxdy+
+ (aii sin2 2nz — ai2 cos 2nz sin 2nz + a22 cos2 2nz)dy2 +
+ (a23 cos 2nz — ai3 sin 2nz)dydz+
+ a33dz2 + (a23 sin 2nz + ai3 cos 2nz)dxdz - случай 2
Первыми интегралами на T*G являются
Ii = Px; I2 = PxPy; I3 = H - случай 1 Ii = Px; I2 = pX + P2; I3 = H - случай 2
эти наборы инволютивны, однако не все интегралы инвариантны
Г
нельзя рассматривать как полный набор интегралов на T*T\G. Рассмотрим
h = fipxPy) sin (2тгIn ^f^); h=h=PxPy\ h = h = H; h=P1x(pl-\(plAP1y)?\ h=h=pl+P2y] I3 = h = H,
где f(x) = exp—^y. Тогда I\, /2, I3 являются первыми интегралами гамильтоновых систем для случаев 1 и 2, соответственно, и инвари-
Г
Множество критических точек, на котором нарушаются условия интегрируемости, для первых интегралов г/> = /2, /3), есть
crit(^) ={pxPy = 0} u |6i3ezpx + &23e_zPy + 2633PZ = 0}u U {cos(2тгIn —-у-) = 0} - случай 1;
k
crit(ti) ={Py = 0} u {px = 0} u {pX = 3p;;} u {pX = 3p;;}u
u {b23(sin2nzpx + cos2nzpy) + bi3(cos 2nzpx — sin2nzpy)+ + 2b33pz = 0} - случай 2.
Дополнение к указанным множествам всюду плотно, таким образом установлена интегрируемость гамильтоновых систем на T*r\G для случаев 1 и 2.
На множестве {Ii = ci, -/"2 = С2, -/3 = С3}, за исключением множе­ства критических точек, поток представляет собой линейный поток

87
на торе, энтропия которого равна 0. Так как топологическая энтро­пия на инвариантных множествах нулевая, то и на их объединении она равна нулю (см. [5]). Получаем, что топологическая энтропия вне множества критических точек равна нулю.
Предложение 1. Для каждой левоинвариантной римановой мет­рики на Si и произвольной кокомпактной дискретной подгруппы Г С Si соответствующий геодезический поток на S(r\Si) вполне интегрируем н имеет положительную топологическую энтропию.
Доказательство. Так как функция Гамильтона соответствует метрике, то 633 = 0. Тогда рассмотрим множество L = {px = 0, py = 0, pz = Д^-, (x,y,z) ? T\G}. Это множество содержится в множе­стве критических точек и инвариантно относительно потока </>*. За время t = 1 преобразование вдоль траекторий геодезического потока ф* на подмножестве L П {z = const} является комбинацией сдвига на торе и гиперболического автоморфизма, а его топологи­ческая энтропия положительна. Далее воспользовавшись формулой h*op(^*) = |t| h*op(^i) получаем, что на инвариантном подмножестве топологическая энтропия потока положительна, а, следовательно, топологическая энтропия потока положительна на всем однородном пространстве.
Предложение 2. Для каждой левоинвариантной рнмановой мет-S2
Г С ?2 соответствующий геодезический поток на S(r\S2) вполне интегрируем и имеет нулевую топологическую энтропию.
Доказательство. Заметим, что наше множество критических то­чек состоит из множества


K = {b23(sin 2nzpx + cos 2nzpy)+
+ 6i3(cos2nzpx — sin2nzpy) + 2633pz = 0}
и прямых в плоскости (px,py), выходящих из начала координат под углами j^k, где к = 0,1,..., 11. Последнее множество мы рассмотрим ниже. Из условия

b23(sin 2nzpx + cos 2nzpy)+
+ 6i3(cos 2nzpx — sin 2nzpy) + 2633pz = 0
и уравнений Гамильтона следует, что z = const. Тогда нам нужно рассмотреть что происходит на множестве K П {z = const}. А поток

88 на этом множестве представляет из себя линейный поток на торе, энтропия которого равна 0.
Осталось рассмотреть множество

{Px = 0} и {py = 0} и {pX = 3py} и {py = 3pX}.
В интегралах Ii, /2 сделаем другую замену px — cos apx + sin apy и py — — sin apx + cos apy. Таким образом, при фиксированном а мы опять получим первый интеграл инвариантный относительно Г
поворот, а его множество особых точек будет представлять собой множество критических точек повернутое на угол а в плоскости (рх,ру). Рассмотрим а = ^щ, таким образом множество особых то­чек (где возможна ненулевая энтропия) будет состоять из множества {px = 0} П {py = 0}, а поток на этом множестве имеет нулевую топо­логическую энтропию.
Предложение 3. Для каждой левоинвариантной метрики на G = SL(2, R), имеющей однопараметрическую группу присоеди­ненных симметрии, и каждой дискретной кокомпактной подгруппы Г С G соответствующий геодезический поток на S(r\G) не интегри­руем и имеет положительную топологическую энтропию.
Доказательство. Метрики на r\SL(2, R) имеющие однопара­метрическую группу присоединенных симметрии, состоят из метрик инвариантных относительно правых сдвигов на элементы подгруп­пы сопряженной с в1, следовательно гамильтонова система обладает симметрией. Рассмотрим редукцию системы по действию в1, оно не имеет неподвижных точек. Обозначим приведенное фазовое про­странство Mred, соответствующее нулевому уровню момента. Оно будет симплектически диффеоморфно кокасательному расслое­нию профакторизованного по S1 конфигурационного пространства r\SL(2, R) обозначим его Mi = r\SL(2, R)/S1.
Так как плоскость Лобачевского H = SL(2, R)/S1, то простран­ство M1 есть не что иное, как T*(Г\Н). Конфигурационное простран­ство Г\Н будет компактным.
Допустим, что гамильтонов поток интегрируем на Tто­гда и на T*(Г\Н) поток будет интегрируем. Метрика dsH2 и функ­ция Гамильтона йя на Г\Н и T*(Г\Н) соответственно получаются из метрики и функции Гамильтона на P\SL(2, R) и T*(Г\SL(2, R)). Воспользуемся фактом, утверждающим, что метрическая энтропия геодезического потока на S(Г\Н) относительно гладкой инвариант­ной меры Лиувилля положительна, а следовательно (например, см.

89
[4]) поток не интегрируем на T*(Г\Н). Получено противоречие.
Из положительности метрической энтропии и вариационного принципа, следует положительность топологической энтропии на ?(Г\Н), а следовательно, учитывая редукцию, топологическая эн­тропия геодезического потока на S^\SL(2, R)) положительна.
Предложения 1 и 2 об интегрируемых геодезических потоках с
G
G
тезой о связи топологической энтропии таких потоков с существо­ванием гиперболической компоненты в присоединенном представле­нии.
В случае интегрируемых гамильтоновых систем указанная связь может нарушаться. Так, например, на T"(F^i) существует гамиль-тонова система с квадратичной по импульсам левоинвариантной функцией Гамильтона, обладающая нулевой топологической эн­тропией. В качестве примера такой системы можно рассмотреть систему, порожденную функцией Гамильтона H = pxpy.
[1] Л. Ауслендер, Л. Грин, Ф. Хан Потоки на однородных простран­ствах. — М.: Мир, 1966.
[2] А.В. В олеинов, И.А. Тайманов Интегрируемые геодезические по­токи на надстройках автоморфизмов торов. Труды, Мат,, институ­та им. В. А. Стеклова. 2000. 231. 46НЗЗ.
[3] М. Рагунатан Дискретные подгруппы групп Ли. — М.: Мир, 1977.
[4] А. V. Bolsinov and I. A. Taimanov Integrable geodesic flow with positive topological entropy. Invent. Math. 2000. 140. 639H350.
[5] R. Bowen Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces. Trans. AMS. - 1971. - 153. - 401^414.
[6] L. Butler A new class of homogeneous manifolds with Liouville-integrable geodesic flows. C. R. Math. Acad. Set. Soc. R. Can. 1999. — 21(4). — 127-131.












90
УДК 531.8
Изучение бифуркации, приводящей к хаотическим движениям в динамических системах с ударными взаимодействиями
А. В. Меньшенина, С. П. Горбиков
Нижегородский государственный архитектурно - строительный
университет
В данной работе рассматривается бифуркация, которая происхо­дит в динамических системах с ударными взаимодействиями и мо­жет приводить [1, 2, 3] к возникновению хаотических движений.
Для механических систем с ударными взаимодействиями воз­можно следующее математическое описание. Мгновенное ударное взаимодействие происходит на гиперповерхности xn = 0, по дости­жении которой фазовые переменные xi,..., xn-i меняются скачко­образно согласно формулам
Х+ = Hl(Xl ; • • • ; Xn-1' М) = Xl H1l(Xl ; • • • ; X--1J A4) J
x+ = Hi(Xi j ^ ^ ^ j X„_1, м) = X- + X- Hli(Xi j ^ ^ ^ j X„_1, м), (1)
1 = 2, П — 1,
а при xn > 0 изменение фазовых переменных подчиняется диффе­ренциальным уравнениям
dxi/dt = Xi = Ф$(ж1,. .., хп, р), г = 1, п — 1,
dxn/dt = X n = $n(x1, •••,Xn,A)= ^
= XlФnl(xl, • • • , Xn, A) + Xn$nn(
Здесь: x-, • • •, x-_ 1 и x+, • • •, x+_l - соответственно доударные и послеударные значения переменных; р ˜ параметр системы; t -время; -1 < hii(°,x-, ^ ^ ^ ,x-_i,a) < °; Hu(x-, x-, ^ ^ ^, x-_i) < 0; Фга^!, xn-l, 0, м) > 0- Все указанные функции предполагают­ся достаточно гладкими. Фазовое пространство системы составляют точки (xl, • • •, xn-l, xn > 0) пространства Дп-
Проводимое ниже рассмотрение справедливо в случае существо­вания в системе (1), (2) следующих локальных особенностей.
Точки, в которых выполняются условия xn = 0, Xn = 0, Xn = 0,

x'n =]C^0C a^f*fc)*j >0' («*« *»'<<>),
j= 1 j k= 1

91
называются локальными особенностями пятого (или шестого) ти­па. Они образуют многообразия в фазовом пространстве системы.
Для дальнейшего описания поведения фазовых траекторий вво­дится точечное отображение T = T2T1 части многообразия xn = 0, Xn ^ 0 в себя. Здесь: Tl — отображение, переводящее точку


(xi > 0, X2, • • • ,Xn-l, 0) в точку (x- < 0, x-, • • • ,x--l, 0),


оно осуществляется траекториями системы (2); T2 — отображение, задаваемое формулами (1) ударных взаимодействий.
На многообразии xn =0, Xn ^ 0 существует бесконечное число множеств DN, N = 1, 2, • • •, которые обладают следующим свой­ством: фазовые траектории, выходящие из точек множества DN, по-
N
поверхности удара.
В состав границы множества -Одг входят части множеств yn и Yn +1- Множества yn являются образами многообразия = 0, Xn ^ 0, находящегося в малой окрестности локальных особенно­стей пятого типа, при действии отображений T-N. При стремлении N к +оо предельным для последовательное!и множеств yn являет­ся множество y* ¦, которое составляет границу области существова­ния бесконечноударных движений. Под бесконечноударным движе­нием понимается движение с бесконечным числом ударных взаимо­действий, происходящих за конечный промежуток времени.
Изучаемая бифуркация происходит в системе (1), (2) при попа­дании периодического движения Г, которое выходит из некоторой локальной особенности пятого типа M*, на границу области суще­ствования бесконечноударных движений y* • Это означает, что суще­ствует такое k > 0, что TkM* = Mr, Mr G y*, Mr G Г, M* g Г. После бифуркации данное периодическое движение может исчезать, а вместо него могут возникать хаотические движения.
После бифуркации в динамических системах вида (1), (2) могут образовываться множества, которые для гиперболических систем по­лучили название "подковы Смейла". Рассматриваемые в работе си­стемы не обязательно обладают свойством гиперболичности, поэто­му здесь термин "подкова Смейла" используется для обозначения

92 ситуации, в которой выполняются следующие соотношения:
Dn П TN+kDN = Pi U р2; Pl П P2 = 0, P = 0;
р*П yn = 0,Pif| yn +1 = 0;
tN+kp p Pj = 0, (TN+kp p Dn) с (Pl U P2); (3)
tN+kP p yn = 0; tN+kP p yn +1 = 0; ij = 1,2;
Dn p E = 0,

где E = TN +k+l(DN П Yn +1) U TN+k(DN П Yn)•
В системах (1), (2) могут также возникать подковы Смейла раз­личной кратности. Множества DN и Ta(N+k)DN, где а ^ 2, образуют подкову Смейла кратности r ^ 2, если выполняются соотношения:

Dn pTa(N+k)DN = U
i=l
Pi = 0; Pi p| yn = 0, Pi p| yn+i = 0;
PipPj = 0, i = j, i,j = 1, 2,^,г; (4)
Pi P YN и Pi P YN +1 — односвязные множества;
Pi p TN+k(yn p Dn) = 0, Pi p TN +k+1 (yn +l p Dn) = 0; Pip bB(Dn ) = 0,

где -B(DN) = B(DN)\(yn U YN P(Dn) - граница множества DN.
Наличие подков Смейла различной кратности влечет [4] возник­новение в рассматриваемой системе хаотических движений. Под ха­отическими движениями понимаются движения, обладающие свой­ствами существенной зависимости от начальных условий и нерегу­лярности эволюционного поведения.
Численно бифуркация изучается на примере динамической си­стемы, описывающей движение виброударного механизма с зазором
q + A2q = V sin t + 1, при q> 0,
q+ = —Rq-, при q = 0^
Здесь А> 0; V> 1; 0 <R< 1- коэффициент восстановления скорости.

93
В системе (5) численно определены значения параметров, при ко­торых происходит изучаемая бифуркация, а после нее наблюдаются подковы Смейла различной кратности и порождаемые последними хаотические движения. Например, при фиксированных значениях параметров V = 4, R = 0^68 для 2,549 < А < 2,551 образуются подковы Смейла кратности r = 3 множествами Dn и T2(N+k)Dn при N = 11; для 2, 551 < А < 2, 5517 образуются подковы Смей­ла кратности r = 4 множествами DN и T2(N+k)DN при N = 12. Для V = 4, R = 0, 75 2,578 < А < 2, 585 подковы Смейла обра-Dn TN+kDn
2, 56 ^ А < 2, 578 - при N = 6; для значений 2, 538 ^ А < 2, 56 - при N = 5.
Численные расчеты также показали, что после бифуркации хао­тические движения имеют [5, 6] предельным необычное множество S. Предельное множество обладает следующими свойствами:
- в окрестности множества S существуют хаотические движения; S
хаотическими движениями;
S
ются в ней в течение всего остального наблюдавшегося промежутка времени.
В работе также численно определены статистические характери-
S
S
нее по ансамблю совпадает со средним по времени, т.е. выполняется следствие из эргодической теоремы Биркгофа - Хинчина.

[1] Горбиков СП., Меньшенина А. В. Бифуркация, приводящая к хаотическим движениям в динамических системах с ударными вза­имодействиями. Дифференциальные уравнения. 2004. 40, №8. 1143-1144.
[2] Gorbikov S. P., Menshenina А. V. A new road to chaos in dynamical systems with impact interactions. XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics: Abstracts. Warsaw. Poland. 2004. — 392^393.
[3] Горбиков С. П. Меньшенина А. В. Об одной бифуркации, приводя­щей к хаотическим движениям в системах с ударными взаимодействи­ями. - Н. Новгород, 2003. 11 С. ^Деп. в ВИНИТИ 23.12.03. №2242-В2003.

94
[4] Горбиков СП., Меньшенина А. В. Возникновение хаотических движений в случае существования кратных подков Смейла в динами­ческих системах с ударными взаимодействиями. Вести. Нижегород. гос. ун-та. Мат. моделирование и опт. упр-е. 2004. №1(27). 14^24.
[5] Горбиков СП., Меньшенина А. В. О предельном множестве од­ной виброударной системы после бифуркации, приводящей к хаотиче­ским движениям. Вестн. Нижегород. гос. ун-та. Мат. моделирование и опт. упр-е. — 2004. - №1(27). - 25^27.
[6] Gorbikov S.P., Menshenina A.V. Computational investigation of strange attractor of one piecewise smooth system. VI International Congress of Mathematical Modeling: Abstracts. N.Novgorod, University of N.Novgorod. - 2004. - 290-291.


УДК 517.983
Представление оператора обобщенного дифференцирования в классе ограниченных звездных областей, содержащих начало координат
А. В. Мор'лсакое
Донской государственный технический университет

Классическое определение оператора ободенного дифференциро­вания (ООД) Гельфонда - Леонтьева дается для функций, аналити­ческих в начале координат [1]. Там же получено представление ООД в случае круга с центром в нуле.
Пусть G — звездная относительно нуля ограниченная область ком­плексной плоскости С Далее пусть {dn} - последовательность ком­плексных чисел, H(G) - пространство голоморфных в G функций с топологией равномерной сходимости на компактах. Несколько обоб-
H( G)
D
обладает свойством : Dzn = d„_iz"-1, n G N D1 = 0. Такой опера­тор единственен в силу полноты {zn} в H(G). G
область в С D - линейный оператор, определенный на пространстве многочленов по правилу :
Dzn = dn_1zn"1, n G N, D1 = 0

95
Оператор D расширяется до непрерывного на H (G) операто­ра обобщенного дифференцирования тогда и только тогда, ко­гда ряд 5^^L1 dnzn сходится в окрестности начала координат и его сумма d(z) аналитически продолжается в звёздную область G ¦ G'-1 = {Zl ¦ z2 : Z! G G, г2еС\G}.
Замечание. Если G = {z : |z — z0| < Д, |z0| < Д}, то порождающая оператор функция d(z) = Y2dnzn аналитически продолжается в GG'-1 = (M(G))'_\rAeM(G) = {z : |z — 1| + Д < R|z|} - множество, ограниченное овалом Декарта.
[1] Леонтьев А. Ф. Обобщенные ряды экспонент. — М.: Наука, 1981. УДК 517.928
Асимптотическое поведение решений одномерного уравнения Шредингера с быстро осциллирующим
потенциалом
П. Н. Нестеров
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова

Рассмотрим одномерное уравнение Шредингера
—у'' + = 0 (1)
на положительной полуоси x > Ос осциллирующим потенциалом q(x) = xeP(x1+a) + cx_2. Здесь c - произвольная действительная постоянная, а действительные параметры а и в удовлетворяют сле­дующим неравенствам:

в — а > —1, 2а — в> 0. (2)
Эта задача исследовалась в работе [2] в предположении, что P(x) -гладкая периодическая функция с нулевым средним значением. Мы
P( x)
ской функцией с периодом T, или представляет собой тригонометри-
n
ческий многочлен вида P(x) = pjeiAjx, где Aj - произвольные дей­ствительные числа, a pj - комплексные числа. Мы также будем счи-P( x)
будем говорить, что функция P ^принадлежит классу ?, если она

96
является периодической функцией или тригонометрическим много­членом. Кроме того, мы будем предполагать, что функция P(x) име­ет нулевое среднее значение, т.е.
т
hm ^ J P(x)dx = М(Р(х)) = 0.
о
Здесь и везде далее M(P(x)) обозначает среднее периодической или
P( x)
жим
а В-2а 1
1 + а 1 + а (1 + а)2
Заметим, что из (2) и (3) непосредственно следует, что —1 ^ 5 < 0. Серией замен от уравнения (1) мы можем перейти к исследованию следующей системы (см. [4]):
Yi = (V A(t)+ t-1B(t) + t-2-5 C + R(t)) Y1. (4)
Здесь



Функция P1(t), принадлежащая классу Е и имеющая нулевое сред-
нее значение, является решением следующего уравнения: Pi(t) =
P( t) R( t)
особого значения, главное, что о ней надо знать, это то, что R(t) = O^t5-1), t — +оо. Заметим также, что элементы матриц A(t) и B(t) принадлежат классу Е Для дальнейшего анализа системы (4) мы будем использовать метод, предложенный в работе [1]. Кратко изло­жим его суть. Рассмотрим систему
f = \^^A3{t)}x + mBit)x + 0{t-^)x. (5)
Здесь матрицы A1(t), A2(t),..., Ak(t) суть матрицы с элементами из класса Е Вещественное число а и натуральное число к удовлетво­ряют неравенствам 0 < ка < 1 < (к + 1)а, р1 > 1. Матрица B(t) ограничена, т.е. ||B(t)|| < C < ^ щ)и t > t0, функция Ј(t) = O(t-e)

97
где Vo(t) = i" - единичная матрица, а элементами матриц Vj (t), j = 1,..., k являются функции из класса ? с нулевым средним значени­ем, преобразуется в систему
f = {е^^ ^+ews(t)y + orv2)y, (в)
где {Aj } — постоянные матрицы. Значение константы f 2 определяет­ся следующим образом: f 2 = min{(1+k)a, а+в, <fii}. Матрицы Vj(t) с нулевым средним значением определяются как решения следующих дифференциальных уравнений:

= 5>,_«(*)вд -е^(<)^_«. (?)

На каждом шаге j = 1,k матрица Aj определяется из условия, что правая часть системы (7) имеет нулевое среднее значение:

Aj = M(ЈAj_, (t)V (t)).
1=0
На следующем этапе для получения асимптотики используется теорема Левинсона (см., например, [3]). Приведем ее формулировку применительно к системе вида
| = |Е^л|у + 0(^1)^ (8)
где 0 ^ ai < а2 < ... < ^ 1, {Aj} — постоянные матрицы и f 1 > 1.
Aj
матрица A\. Пусть матрица A\ имеет различные собственные значе­ния. Тогда фундаментальная матрица системы (8) имеет вид
t
Ф^) = (П + o(1)) exp^J A(s)ds}, t > t*, t ^ oo,


98
П
матрицы A\, и A(t) - диагональная матрица, элементами которой
k
являются собственные значения матрицы ^ t-ajAj.
j=\
Замена Yx = (I+\V(t))Y2, где V(t) матрица с нулевым средним значением и с элементами из класса ?, приводит систему (4) к виду

Y2 = (ГA(t) + t-1B + t-2-bC + O(ib-i) )Y2
(9)



0
0
где В = M(B(t)) = ' 2
2 '
Поскольку при различных 6

асимптотика решений будет существенным образом отличаться, нам следует рассмотреть несколько случаев.
I. 6 = -1 (в - а = -1). Заменой Y2 = (I + jV(t))Y мы перейдем от (9) к системе

Y= (^-(A1+B + C)+0(t-2))y,
(10)



= M (A(t)) = (-c02a 0)
Здесь и далее



a = M(P2(t)) = P(s)ds
o
Вычислим собственные числа матрицы
Ml J P(s)ds
o
> 0.



Ai + B + C
<2a + Zc
¦7

В зависимости от знака дискриминанта характеристического много­члена рассмотрим два варианта. 1. a > (с+ + о.)2. Тогда
Ai,2 = ˜\± C^a-(c+i)(l + a)2.
Используя теорему 1 для построения асимптотики фундаментальной матрицы системы (10) и затем возвращаясь к уравнению (1), полу­чаем следующую асимптотику для линейно независимых решений yi,2(x) при x — +оо:
У1,2(х) = х? exp{±iw(l + а)-11пж}(1 + о(1)),

99 где to = у а — (с + |)(1 + а)2. Пусть теперь
2. а < (с+ j)(l + а)2. Тогда
Ai,2 = -| ± СУ-[а-(с+^)(1 + а)2].
Несложно установить, что в этом случае решения yi,2(x) имеют при x — +о
У1,2(х)=х5±^(1+°)" (1 + о(1)). где = ^- [а-(с+ |)(1 + а)2].
п. -кк-|
Заменой Y2 = (i + t5V(t))Y мы преобразуем (9) в систему
У = (V Ai + t-iB + O(t-V2 ^ Y, где f 2 = min{-26,1-6, 6+2}. Вычислим собственные числа матрицы



где для сокращения записи принято обозначение р = Z2 a > 0. Обо­значим также величину Q\fa через v. Собственные значения имеют вид



= -|^±гК + оГ2-й)),
t — +о
ем для а/1 + х при х —> 0. Линейно независимые решения уравнения
x — +о
г/1,2 (ж) = ж^ ехр{±г5(ж)} (l + о(1)),
где 5(ж) = л/а(1 + а0_1(/? - « + 1)" V"a+1.
Ш.-1<<5<-1. С помощью замены Y2 = (/ +1 Vi(t) +1 V2(t))Y от системы (9) мы переходим к системе
У= (tsAi +t25 A2 + t-iB + O(t-V2 )) Y.

100

Здесь

A2 = M{A1(t)V1(t)) =
0 0
-p 0

где

p = 2(dM
P1(s)d^Pl(t) - a)


и p2 = — 36. Вычисляя собственные числа матрицы tsAi + t2SA2 + t-1B и раскладывая их по формуле Тейлора, строим асимптотиче­ское представление линейно независимых решений 3/1,2 (x) уравнения (1) при x — +00. Имеем,
6 =
Уг,2{х) = х 2Э ехр{±г5(ж)}(1 + о(1)), х —> +00. Функция S(x) выглядит следующим образом:
Minx
S(x) = л/а(1 + а)-г(р - а + l)"^""^
лА(1 + а)3'


S(x) = л/а(1 + а)-\(3 - а + 1)-1хр-°1+1 +

M
„-3а+2/3+1
л/а(1 + а)3 (-За + 2/3+1)'
6 >

где

M=M
P1(s)d^Pl(t) — a)


IV. ˜l < S < к > 2, к - целое.
Для построения асимптотики в общем случае нам потребуется сле­дующее утверждение:
Утверждение 1. Пусть для всех матриц Aj (t) в (5) выполнено усло­вие M(trAj (t)) = 0, j = 1,... ,k . Тогда матрицы Aj, j = 1,... ,k в (6) имеют нулевой след.
Доказательство, (см. [4]).
Итак, заменой Y2 = (I + t5V1(t) + ... + tkSVk(t))Y от системы (9) мы переходим к системе

Y = [td A1 + ... + tkd Ak + t-1B + O^-1*2) )Y,

101

где (f2 = — (1 + k)S. Действуя также как и в предыдущих случаях, мы получаем асимптотику для линейно независимых решений 1/1,2 (x) уравнения (1):

//1,2 (x)
х 2
Aexp{±iS(x)}(l + o(l)),
x
+оо.

Функция S(x) имеет вид

S(x) = лД(1 + a)˜l(f3
а +1) x'
+


у/а(

+
M x-3a+2e+1
а(1 + а)3 (-За + 2/3+1)

)

Если —5а + 3/3 + 1 = 0 (˜ 6 = — ^), то вместо 0(х 5а+3/3+1) следует писать O(lnx).
[1] Вурд В.Ш., Каракулин В. А. Асимптотическое интегрирование си­стем линейных дифференциальных уравнений с колебательно убыва­ющими коэффициентами. Матем. заметки. 1998. 64, № 5. 658
666.
[2] Итс А. Р. Асимптотическое поведение решений радиального уравне­ния Шредингера с осциллирующим потенциалом при нулевой энергии. В кн.: Проблемы математической физики. №9. Сборник статей. — Л.: изд-во Ленинградского ун-та, 1979. — 30^41.
[3] Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифферен­циальных уравнений. — М.: ИЛ, 1958.
[4] Нестеров П. Н. Асимптотическое поведение решений одномерного уравнения Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом. Рук.
деп. в ВИНИТИ РАН 29.04.2005, Л»640-В 2005.















102
УДК 517.987.4
Спектральные свойства лапласиана Леви О. О. Обрезков
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Доклад посвящен проблеме собственных значений для лапласи­ана Леви. Действительные собственные значения лапласиана Леви были найдены в работе Л. Аккарди и О. Г. Смолянова [2] — при этом соответствующие собственные функции были представлены с помощью преобразований Фурье и Лапласа подходящих счетно-аддитивных мер. Мы вводим обобщение этих преобразований (на­зываемое далее а—преобразованием Фурье меры для произвольного а G C) и показываем, что спектр оператора Леви-Лапласа совпа­дает со всем множеством комплексных чисел, а соответствующие
а—
Фурье мер. Этот неожиданный результат связан с тем, что ла­пласиан Леви определен на пространстве функций, заданных на оснащенном гильбертовом пространстве, и допускает различные несамосопряженные расширения.
Более ранние результаты о лапласианах Леви содержатся в ста­тьях Л. Аккарди и О. Г. Смолянова [4], [1], [2]. Заметим также, что возросший в последнее время интерес к анализу лапласианов Леви в значительной степени связан с появлением работы Л. Аккарди, П. Джибилиско и И. В. Воловича [5] (см. также [3]), в которой по­казано, что выполнение евклидовых уравнений Янга — Миллса для 1
ный перенос является гармонической функцией лапласиана Леви.
Определение 1. Пусть E, G — это вещественные локально выпук­лые пространства (ЛВП). Всюду ниже L(E, G) обозначает простран­ство всех непрерывных линейных операторов, действующих из E в G Функция / : E — G называется дифференцируемой по Гато в точке x G E, если для всякого h G E найдется — обозначаемый сим­волом /'(x) — оператор из L(E, G), такой что если
r(z) = /(x + z) — /(x) — /'(x)z для каждого z G E,
то lim -Щ^ = 0.
Определение 2. (ср. Щ) Пусть T является вещественнозначным линейным функционалом, определенным на некотором подпростран­стве domT пространства L(E, E*). Линейным дифференциальным

103
оператором второго порядка (AT, domAT), задаваемым функциона-T
domAT = {/ G C2(E) : Vx G E /''(x) G domT}
в C(E), определяемое так: (Дт/) (x) = T(/''(x)) для / G domAT.
E
ным подпространством вещественного сепарабельного гильбертова пространства H и вложение E — H непрерывно. Пусть еще век­торное пространство E* = L(E, R) наделено некоторой локально выпуклой топологией, согласующейся с канонической двойственно­стью (•, •} между E и E*. Таким образом, имеется следующая тройка векторных пространств: E С H = H* С E*. Эта тройка называет­ся оснащённым гильбертовым пространством. Кроме этого, пусть (e")neN — это ортонормированный базис в H, состоящий из элемен-E
Определение 3. (ср. Щ) Оператором Лапласа-Леви называет­ся отображение из пространства domДL С C2(E) в C(E), определя­емое равенством
1 п n z—'
k=1
для / G dow^L-
Далее рассматривается проблема собственных значений для опе­ратора Лапласа-Леви. Пусть u : E — C обозначает дважды диф­ференцируемую по Гато функцию. Для каждого числа 7 G C мы
u
(Alu)(x) = 7u(x), x G E (1)
а—
ры v на E* называется — обозначаемая символом Fav — комплекс-нозначная функция, определяемая равенством
(Fav)(x)=l eaf'xK(d/), x G E. (2)
Je*
Пусть Br = {/ G E* : (/, /)L = r2} обозначает сферу pадиуса r, соответствующую скалярному произведению Леви.
Теорема 1. Пусть 7 G Си v — это счетно-аддитивная мера на E* с носителем в Br для некоторого r > 0, такая что ее а—преобразование

104
является собственной функцией оператора Лапласа-Леви, соответ-
7
Следующая теорема является естественным обобщением предло­жения 3 из работы [2] на случай комплексных собственных значений (как уже отмечалось, в [2], [1] рассматривались только классические преобразования Фурье и Лапласа):
Теорема 2. (О несамосопряженных расширениях Д&) Для каж­дого 9 G (—п, п] существует подпространство Le векторного про­странства E, такое что сужение оператора е-гв на Le определя­ет существенно самосопряженный положительно определенный опе­ратор. Пространство Le может быть определено как непрерывная гильбертова сумма гильбертовых пространств L®(a), где Ler(а) обо­значает пространство е1в/2 —преобразований Фурье мер, являющихся произведениями комплекснозначных функций из подходящего клас-
а
Br
Замечание 1. Наличие несамосопряженных расширений операто­ра Лапласа-Леви может показаться неожиданным. Однако, следу­ет отметить, что мы ищем собственные функции лапласиана Ле­ви среди функций, определенных на оснащенном гильбертовом про-E
используемый в случае обычного гильбертовых пространства, непри­меним. В действительности, именно структура оснащенного гильбер­това пространства и приводит к появлению произвольных комплекс­ным значений. Заметим, что если выполняется E = H = E* (т. е. оператор Лапласа-Леви определен на гильбертовом пространстве), то возможны только действительные собственные значения лапла­сиана Леви.
[1] Аккарди Л., Смолянов О. Г. Операторы Лапласа - Леви в простран­ствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах. Матема­тические заметки. 2002. 72. 145^150.
[2] Аккарди Л., Смолянов О. Г. Представления лапласианов Леви и связанных с ними полугрупп и гармонических функций. ДАН. — 2002. - 384. - 295-301.
[3] Арефьева И. Я. Неабелева формула Стокса. Теоретическая и мате­матическая физика. 43. 353^356.

105
[4] Accardi L., Smolyanov O. G. On Laplacians and Traces. Confer. Sem.
Univ. Ban. - 1993. - 250. - 1-25. [5] Accardi L., Gibilisco P., Volovich I. V. Yang - Mills Gauge Fields
as Harmonic Functions for the Levy Laplacians. Russian Journal of Math.
Physics. - 1994. - 2. - 235^250.

УДК 514.76
Формы Киллинга на касательном и кокасательном расслоениях
Н. А. Опокина
Казанский государственный университет

Пусть G — группа Ли и g — ее алгебра Ли. Форма Киллинга на группе Ли G имеет вид:
B(u,v)= gij uV, gij = Cm C]m, (1)
где u, v — левоинвариантные векторные поля на G, Cj — структур­ные константы алгебры Ли g [1].
Известно [2], что касательное расслоение TG — группа Ли. Пусть U, V G go левоинвариантные векторные поля на TG. В некотором ба­зисе левоинвариантных векторных полей найдена форма Киллинга
TG
B(U,V ) = Gab U aV b ,

где
Gij =2gij ,Gfj <>.G;; =0. (2)
Она всегда вырожденная ранга r ^ и. Из вида формы Киллинга (2)
вытекают следующие признаки типов алгебр Ли g°.
g o
g
g o
g
Нами показано, что кокасательное расслоение T*G является U, V G go
на T*G. В некотором базисе соответствующей алгебры Ли g0 фор­ма Киллинга имеет аналогичный вид. Эта форма также всегда вырожденная ранга r ^ и.

106
Доказано, что теоремы 1 и 2 верны и для алгебры Ли g0 группы Ли T*G.

[1] Шапуков В. Н. Задачи по группам Ли и их приложениям. — М.: НИЦ "РХД". - 2002.
[2] Мошмото A. Prolongations of G-structures to tungent bundles. Nagoya Math. J. - 1968. - 32. - 67^108.

УДК 533.95, 537.84
Схемы высокого порядка точности для решений трехмерных МГД уравнений методом Годунова
К. Н. Печерских
Московский физико-технический институт и Институт космических исследований РАН

Введение. С помощью конечно-объемных методов годуновского типа [1, 2] с высокий точностью решаются такие магнитогидродина-мические задачи, как моделирование межзвездных облаков, аккре-ационных дисков, различных плазменных струй. Большинство этих явлений нестационарны и связанны со сложными течениями, в кото­рых, наряду с частными непрерывными решениями, присутствуют ударные волны и разрывы. При использовании неподвижной сетки, методы Годунова не допускают корректного обобщения на второй порядок точности по пространству, и, как одно из следствий, мето­ды размывают разрывные решения. Многие исследователи [1] для устранения размывания разрывов успешно использовали вместе с обычными методами сквозного счета динамическое выделение раз­рывов и подвижные сетки [6] . К сожалению, такие вычислительные алгоритмы значительно более громоздки и сложны, и, как правило, подразумевают, что общий вид решения известен заранее. Несмотря на возможность использования подвижных и адаптивных сеток, ак­туален вопрос о получении регулярной схемы со вторым порядком точности.
1. Содержание работы. В данной работе представлены два оригинальных метода заострения разрывов в МГД течениях на осно­ве существующих методов реконструкции МГД параметров на гра­нях ячеек, реализованные для коррекции размытых альфвеновских особенностей. Предложен простой и экономичный критерий выявле­ния размытых, требующих коррекции, решений, работающий за счет

107 отслеживания особенностей с прямыми признаками МГД разрывов. При этом перепад МГД параметров на гранях ячеек сравнивается с собственными векторами линейных волн, рассчитанных с использо­ванием метода Роу, при решении соответствующей задачи Римана. Откуда определяется тип МГД волны производящей максимальный вклад в решение.
В области гладких решений кусочно-параболическая реконструк­ция или реконструкция более высокого порядка успешно повышает точность решений [2]. В случае гладких решений необходимо в пред­положении о непрерывности распределения МГД параметров, аде­кватно сглаживать решение, но на разрывных (размытых схемой) особенностях течений, очевидно, второму порядку точности должно соответствовать корректное заострение профилей разрывов. Разра­ботан метод сквозного счета с получением решения второго порядка точности, с откорректированными разрывными решениями, локали­зация которых повышена до максимально возможного для схемы Годуновского типа. При этом метод не теряет общей устойчивости.
Сравнение различных типов реконструкции. Разичия между используемыми типами сжимающей и сглаживающей рекон­струкции имеют второй порядок точности и проявляются только в процессе длительных вычислений. Тем не менее, они имеют прин­ципиальное значение, так как сглаживание разрывов реконструкци­ей второго порядка может происходить неограничено. А примене­ние сжимающей реконструкции на гладких решениях приводит к появлению осциляций и разрушению решений. На рисунке показан результат прохождения алфвеновского разрыва по расчетной обла­сти полученный двумя методами: с использованием реконструкции второго порядка точности (красные точки) [2, 5] и с использовани­ем сжимающей реконструкции Super-Bee (черные точки) [3]. Видно, что число красных точек на разрыве сильно возросло в то время как черных практически не изменилось. Так же видны осцилляции вызванные сжимающей реконструкцией. Благодаря разработанной процедуре выявления разрывов, удается избежать обеих недостатков метода. При этом нужный тип реконструкции используется строго на области соответствующего ему решения.
Метод выявления разрывов. Метод основан на свойстве решений второго порядка точности, а именно на том, что, при рас­четах такими методами разрывы могут размываться, но не может искажаться их тип [2]. Таким образом, размытый по сектке разрыв характеризует область соседних ячеек с одинаковым типом решения

108






т
black - S-bee red - ppm respectively 100,1000, 2000 and 5000 iterations



400
nam

X axis


задачи Римана. Также, зная свойства методов, можно рассуждать о характеной величине таких областей. Под такой критерий безуслов­но попадут случайные гладкие особенности течений. Но это не при­ведет к разрушению схемы. По тому, что из-за характерно малого размера они будут искажены также, как и разрывы, и, как все слу­чайные процессы, будут быстро терять схожесть своей конфигура­ции с разрывами.
4. Тестовые расчеты.
К сожалению, объем статьи не позволяет привести полный об­зор тестовых расчетов. Нами были проведены одно- и трехмерные расчеты течений [2, 4]. Проведенные одномерные тесты: сравнение с аналитическими решениями результатов распада разрыва с ярко выраженными всеми типами волн, прохождение линейных волн всех типов, длительная эволюция разрывов. Трехмерные: сферический взрыв, возмущения на фронтах волн, токовый слой, эволюция раз­рывов сложной пространственной конфигурации.
[1] Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой ди­намики. — М.: Наука, 1976.
[2] Куликовский А. Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математи­ческие вопросы численного решения гиперболических систем уравне-

109
ний. — М.: Физматлит, 2001. [3] Roe P. L. Some contributions to the modeling of discontinuous flows.
(Lectures in applied Mathematics.) AMS: Providence, 1985. [4] Gardinger T. A., Stone J. M. An Unsplit Godunov Method for Ideal
MHD via Constrained Transport. J. Gomput. Phys. 2005. 42, № 205.
509^539.
[5] Colella P., Woodward P. R. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations. J. Gomput. Phys. 1984. 42, № 54. 174-201.
[6] Lee S.S., Tanaka H. T. Parallel Image Segmentation with Adaptive Mesh. ICPR. — 2000. - 42, №1. - 1635.

УДК 532.5
Квазидвухслойная модель для потоков "мелкой воды" над ступенчатой границей
А. Г. Славин
Московский физико-технический институт и Институт космических исследований РАН
Введение. Уравнения мелкой воды представляют собой упро­щенную модель, описывающую течения несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в поле силы тяжести. Эти уравнения ши­роко используются для описания таких физических явлений, как волны цунами, распространение тяжелых примесей в атмосферах планет и многих других явлениях, в которых скорость движения в направлении поля консервативных сил много меньше скорости дви­жения в остальных направлениях. Большинство из этих явлений описываются моделью движения несжимаемой жидкости со свобод­ной поверхностью в поле силы тяжести — моделью "мелкой воды" [1]. Математически УМВ представляют собой нелинейную гиперболиче­скую систему уравнений в частных производных, во многом анало­гичную системе уравнений газовой динамики [2]. Указанная анало­гия, позволила, адаптируя газодинамические результаты, разрешить аналитически задачу Римана для случая распада произвольного раз­рыва на склоне [3,4], описываемую хорошо известными уравнениями Сен-Венана :


(1)


ПО

где g — гравитационная постоянная, h(x, t) — глубина жидкости, u(x, t) — осреднённая по глубине горизонтальная скорость жидкости.
Обобщение идей, заимствованных из газовой динамики, оказа­лось особенно плодотворным для класса линейных подстилающих поверхностей. В тоже время, актуальной задачей является разви­тие газодинамических аналогий на случай комплексных подстилаю­щих поверхностей, описываемых не дифференцируемыми функция­ми, как альтернативы решений полной системы гидродинамики. Это позволит разработать эффективные численные алгоритмы сквозного счета типа Годунова [5,6] для таких течений, основываясь на реше­нии задачи Римана.
Заметим, что в случае произвольной границы, аппроксимация профиля дна z(x) комбинацией кусочно-постоянных и кусочно-линейных функций сводит задачу к конечному числу систем вида (1), с начальными условиями:
, „ч Г щ, если x < 0, , , Г hi, если x < 0,
u(x, 0) = < h(x, 0) = < .
[ ur, если x > 0, I hr, если x > 0.
(2)
в области x ? (—те, +oo) и для t > 0. При этом для горизонтальных и наклонных границ задача Римана имеет строгое решение, не выхо­дящее за рамки приближений мелкой воды, в то время, как на сту­пенчатой границе становится принципиальным учет вертикальных ускорений вблизи уступа. В данной работе предложена приближен­ная теория разрывных течений мелкой воды вблизи уступа дна, осно­ванная на двухслойной аппроксимации уравнений Эйлера в непо­средственной близости от ступеньки. Показано, что при правильном разделения жидкости на два слоя физика процессов в окрестности ступеньки может быть приближенно описана решением классиче­ских уравнений мелкой воды со специально подобранными началь­ными условиями, описывающими взаимодействие слоев. Поскольку для каждой неоднородности вводится собственное двухслойное деле­ние, мы называем полученную систему уравнений квазидвухслойной моделью мелкой воды.
1. Квазидвухслойная модель. Суть предложенной модели со­стоит в следующем. Рассмотрим поток "мелкой воды" без трения над ступенькой высоты — а , без потери общности, повернутой налево. Если предположить, что высота жидкости была бы ниже ступень­ки, то ступенька играла бы для нижнего слоя роль непротекаемой границы. Таким образом, если высота жидкости больше высоты сту­пеньки, возможно, рассмотреть два слоя жидкости: нижний с пара-

111
метрами потока hi и ui, для которого ступенька является непроте-каемой границей и верхнего с параметрами потока h2 и u2, для кото­рого отсутствует прямое влияние ступеньки, очевидно, hi = hi + h-2. Уравнения для двухслойной системы выглядят следующим образом:


№ + Ј(^2) = o,
\i(h1u1) + l(h1ul + ^ghl)+gh1^=0,

с соответствующим граничным условием ui = x = 0, t ^ 0
(ступенька влияет на высоту и скорость нижнего слоя у ступеньки)
t = 0

hi = h*, h-2 = hi — h*, ui = ui, 11,2 = x ^ 0,
h2 = hr, u2 = ur x > 0

Для того чтобы решить систему (3), расщепим её на две так, hi ui h2 u2
вание волновой картины в нижнем слое происходит много быстрее чем в верхнем, разделение на слои проведем, таким образом, чтобы нижний слой, взаимодействуя со ступенькой, приходил в состояние покоя и образовывал со ступенькой единую горизонтальную плос­кость. Это позволяет пренебречь членом fi^i^f в третьем уравне­нии системы (3). При этом будем считать, что верхний слой не ока­зывает существенного влияния на нижний, т.е. пренебрежем членом gh2 т^г • Тогда влияние нижнего слоя на верхний будет учтено за счет изменения начального условия h-2 = hi — h*, x ^ 0, определяемого изменением глубины нижнего слоя при торможении на ступеньке. hi ui h2 u2
h*
чтобы непосредственно на ступеньке высота нижнего слоя совпадала с высотой ступеньки
hilx=o = а.
h*
шению обратной задачи Дирихле. В зависимости от знака скорости u
u = 0 h* = а ципиально различных случая:

112
а) ui > 0, картина течения имеет вид отраженной влево ударной
волны, слева от которой параметры потока h* и ui > 0, а справа
h = а u = 0
б) ui < 0, картина течения имеет вид уходящей влево волны раз-
ряжения, слева от которой параметры потока h* и ui < 0, а справа
h = а u = 0
Таким образом, мы нашли h*, и теперь для x ^ 0 имеем: hi = h* h2 = h — h*
Численное моделирование. Для проверки качественной теории предложенной модели в работе проведено численное моде­лирование основанное на классических уравнениях мелкой воды во всей области исключая окрестность уступа, внутри которой реа­лизована квазидвухслойная модель. Показано, что предложенная модель реализует все аналитически допустимые конфигурации, воз­можные в рамках предположения об автомодельности и наличия стационарной зоны, при этом класс полученных решений расширен за счет качественного учета диссипации поступательной механи­ческой за счет турбулентности, как функции крупномасштабных характеристик потока.
Тестовые расчеты и их анализ. К сожалению, объем ста­тьи не позволяет привести полный набор тестовых расчетов. Огра­ничусь наиболее интересными и показательными на мой взгляд (Ри­сунок 1 и 2). Для каждой конфигурации будем строить 3 графика: сверху аналитически возможная конфигурация; по середине зави­симость высоты h потока от координаты х, полученная численно; снизу зависимость числа Фруда F от координаты х, полученная чис­ленно. Пунктирной линией на верхнем графике показан контактный разрыв, то есть разделение жидкости на левую и правую в нуле­вой момент времени. Пунктирная линия на графике высоты h от координаты х обозначает начальную глубину потока. В скобках под рисунками указаны начальные параметры потока.
Проведенный анализ полученных данных показал автомодель-ность полученных решений (что хорошо согласуется с эксперимен­тальными данными [7], моделирующими конфигурацию две ударных волны справа от ступеньки) и стационарность решения над ступен­чатой границей (что хорошо согласуется с разрабатываемым анали­тическим решением задачи [8]).
4. Заключение. В работе сформулирована и решена задача о
распаде произвольного разрыва для уравнений "мелкой воды" на сту-
пеньке. Предложена модель, позволяет воспроизводить сложную фи-
зику течения вблизи ступеньки. Были выявлены: автомодельность

113










114



полученных решении, стационарность решения над ступенчатой гра­ницей. Модель реализует все аналитически допустимые конфигура­ции, а также и невозможные аналитически, но возможные физи­чески (случаи, когда волна разряжения проходит через ступеньку, либо примыкает к ней слева). Предложенная квазидвухслойная мо­дель позволяет разработать численный метод для расчета течений мелкой воды над подстилающей поверхностью любой сложности.
Vreugdenhil G. В. Numerical method for shallow-water flow. — Kluwer, 1984.
Рождественский В. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. — М.: Наука, 1978.
Karelsky К. V., Papkov V. V., Petrosyan A.S. Particular solutions of shallow water equations over non-flat surface. J. Phys. Let. №271. 341^348.
Karelsky К. V., Papkov V. V. ,Petrosyan A. S., Tsygankov D. V. The initial discontinuity decay problem for shallow water equations on slopes. J. Phys. Let. .V'27l. - 349^357.
Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой ди­намики. — М.: Наука, 1976.
Куликовский А. Г., Погорелов Н.В., Семенов А. Ю. Математи­ческие вопросы численного решения гиперболических систем уравне­ний. — М.: Физматлит, 2001.
Вукреев В. И., Гусев А. В. Гравитационные волны при распаде раз­рыва над уступом дна открытого канала. — Новосибирск: ПМТФ, 2003.
Володкович А.Н., Карельский К. В., Петросян А. С. Задача о стационарном обтекании ступеньки в приближении мелкой воды. В кн.: Труды XLVII научной конференции МФТИ. Часть VIII. Физика и Энергетика. — М.: 2004.












116
УДК 681.32
Поверхностные меры на траекториях в римановых подмногообразиях евклидовых пространств, порождаемые броуновскими движениями
И. В. Телятников
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
В работе строятся поверхностные меры на пространстве непре­рывных функций C([0,1], M), определенных на отрезке [0,1] и при­нимающих значения в компактном римановом многообразии M, изо­метрически вложенном в евклидово пространство М", порожденные мерой Винера на пространстве C([0,1], М") непрерывных функций на [0,1], принимающих значения в М" (она описывает броуновское движение в М"). При этом основной целью работы является исследо­вание случая, когда корреляционный оператор броуновского движе­ния не является единичным. Показано, что полученные поверхност­ные меры эквивалентны мере Винера на C([0,1], M) (она описыва-
M
плотности Радона - Никодима, выражающиеся через корреляцион-
ный оператор K и тензор Риччи многообразия R. В частности, полу-
ченная внутренняя поверхностная мера имеет следующую плотность
относительно меры Винера на многообразии :
dW^
6

-lfTr(R(m)K)dt
dVM _ф _ е 0
У Tr{R{C{t))K)dt
e "о WliK (dZ)
C([0,1],M)
где? G C([0,1],M).
Если корреляционный оператор единичный, то введенные в дан­ной работе меры совпадают с введенными в [1] поверхностными ме­рами, плотности которых относительно меры Винера на многообра­зии с единичным корреляционным оператором выражаются через скалярную и среднюю кривизны многообразия.
[1] Smolyanov О. G., Weizsacker Н. v, Wittich О. Brownian motion on a manifold as limit of stepwise conditioned standard Brownian motions. Can. Math. Soc. Conference Proceedings. - 2000. - 29. - 589^602.


117

УДК 517.98
Гиперболический подход к исследованию обратимости функциональных операторов в Lp— пространствах
И. Ю. Трубников
Белорусский государственный университет

Рассмотрим локально тривиальное векторное расслоение E со слоем CN и базой (X, а, ц), где X — некоторое компактное простран­ство, а : X — X- гомеоморфизм, / - мера на X, квазиинвариантная относительно а, причем supp / = X. Подмножество K расслое­ния E называется векториальным, если для любого x множество Kx := K П p-1(x) является векторным подпространством в p-1(x). Векториальное множество, у которого подпространства Kx непре-x,
Будем считать, что задано отображение в : E — E, являющееся линейным расширением а и переводящее слой Ex в стой Ea(x) по правилу:

в : (x, С) — (а^), e(x)Ј), x G X, С G Ex = C
(1)

Если расслоение E тривиально, т.е. E = X х CN, то действие на
E

в :(x,C) — (a(x),С), x G X, С G E:
(2)

Ex
сящая от точки x. Пространство Lp(E) определим как пополнение пространства r(E) непрерывных сечений по норме

Пусть A ˜ HOM E- ^^^^^а гомоморфизмов расслоения E, т.е. таких непрерывных отображений а : E — E, при которых слой Ex линейно отображается в слой Ex. Каждому элементу а алгебры A ставится в соответствие ограниченный оператор а : Lp(E) — Lp(E), являющийся умножением на а, т.е. переводящий сечение u(x) в се­чение a(x)u(x), причем

118
||a|| = max ||а(ж)||ж. (3)
Оператор T зададим формулой:
(Ти)(х) = {-у{х))р вои(аГ1(х)), (4)
где 7 (ж) = —^ - производная Радона - Никодима меры ра по мере dp
р, а мера ра определяется следующим образом ра(Е) := р(а-1 (E)). Оператор T изометрически обратим в Lp(E), причем отображение
T : A — A, T : a — TaT-1 = в о a о в-1
является внутренним автоморфизмом алгебры A. В случае триви­альности расслоения E, T есть обычный оператор сдвига в простран­стве вектор-функций.
Пусть (E, X, p) - расслоение над компактным пространством Мд с фиксированной нормой в каждом слое, в : E — E непрерывное ли­нейное расширение гомеоморфизма а : X — X. Линейное расшире­ние в называется гиперболическим, если существуют инвариантные относительно в непрерывные подрасслоения Es и E "и постоянные cs, С" и Ys, Y" ОДе cs, С" > 0, 0 < Ys, Y" < 1, такт, что E = Es © E" и

||в"(?)|| < cs 7sn||Ј||, ? GE s,n =1, 2,..., (5)
||в"(?)|| > C"7-n||Ј||, ? G E", n =1, 2,... (6)
Es E"
слоением.
Теорема 1. Пусть A ˜ HOM E, группа Z действует на простран­стве Mд топологически свободно, а элемент a0 G A обратим. Опе­ратор b = a0 + a1T : Lp(E) — Lp(E) обратим тогда и только тогда, когда построенное по нему линейное расширение в = а-1 о ai о в а : X — X
Lp(E)
вается r(E) или LTO(E) носит классический характер и исследован в [2], [3]. Рассмотрен также случай, когда в качестве пространства сечений берется L2(E) (flj), но его доказательство опирается на существенные результаты теории С*-алгебр, в частности, на теоре­му об изоморфизме. Главная трудность заключается в том, что при p = 2 алгебра операторов в Lp(E) не является C* —алгеброй, и к ней нельзя применить стандартные конструкции этой теории.

119
Доказательство.
Достаточность. Оператор 6 можно представить в виде b = a0(I + D), где D = a-1aiT, поэтому достаточно установить обрати­мость оператора I + D. Пусть Es и Eu - сжимающееся и растягиваю­щееся подрасслоения расслоения E, а ps - гомоморфизм E, действую­щий на слое Ex как проекте р на Esx параллель но Инвариантность подрасслоений относительно в означает, что

ps о в = в ? Ps . (7)
Оператор Ps : Lp(E) — Lp(E), (Psu)(x) = ps(u(x)) является про­ектором и осуществляет разложение Lp(E) в прямую сумму под­пространств Lp = Lp(Es) и Lu = Lp(Eu). Из (2.10) следует, что PsD = VPS и D при разложении Lp(E) = Lp © Lu разлагается в прямую сумму операторов Ds и Du : D = Ds © Du. Из условия (2.8) следует, что ||Dn|| < csYn, n = 1, 2,откуда спектральный радиус r(Ds) < 1 и оператор I+Ds обратим. Аналогично r(D-1) < 1 и I+Du обратим. Значит, обратимы операторы I + D и b = a0(I + D).
Необходимость. Из обратимости оператора b = a0 + a1T следует обратимость оператора I + D.
Лемма 1 [4]. . Пусть А принадлежит спектру a(D) оператора D, а |(| = 1. Тогда (А е a(D), т.е. спектр оператора D инвариантен относительно вращений вокруг точки 0.
Из леммы 1.2 следует, что определен оператор

Р=— [ [\-V)-1d\ (8)
пг J
|А| = 1
являющийся проектором и осуществляющий разложение Рисса опе­ратора D в прямую сумму операторов Ds и Du таких, что спектр a(Ds) лежит внутри окружности |А| = 1, а спектр a(Du) вне этой окружности.
Лемма 2. Еслии е Lp(E) ир е LTO(M^, р),то pu е Lp(E), h = s, u.
Доказательство. Если u е Lp(E), то ||Dnu|| — n — оо.
Если u е Lu(E), u = 0, то ||Dnu|| — оо при n — оо. Поэтому Lp(E) = {u е Lp(E) : Dnu — оо}. Если р е L^Ma,/х), то ||Dnpu|| = ||f (p)Dnu|| < ||р|| • ||Dnu|| — 0, т.е. pu е Lp(E). Аналогично доказы­вается второе утверждение леммы.
Lp( E)
существует счетное, всюду плотное множество сечений {vj}|=1.

120
В этом случае векториальные множества Es и EU определяются так:
EX = {vs(x), 1 < j < ос},


Лемма 3. LP(ES) = Lsp(E), LP(EU) = L^E). Доказательство.
" D ". Пусть u G Lp(E). Существует последовательность vjn : ||u — Vjn||lp — 0. Из этой последовательности можно выделить под­последовательность Vj , сходящуюся к u для почти всех x G Мд. Значит, u(x) G EX для п.в. x, т.е. u G Lp(Es).
" С ".Пусть u G Lp(Es). Существует последовательность vin по­чти всюду сходящаяся к u(x). Покажем, что | |u—vin ||Lp — 0. По свой­ству абсолютной непрерывности интеграла Лебега выберем 6 > 0
так, чтобы выполнялось неравенство / \ \и(х) — Vin(x)\\pdp < —, если
A 2
p(A) < 6. Воспользуемся теоремой Егорова: по 6 > 0 найдем множе­ство Ms С Мд такое, что р(Мд\Mg) < 6 и на Ms последовательность vin сходится равномерно. Выберем номер ие так, чтобы для n > ne
Ј
sup \\и(х) -vin(x)\\x <
xEMs 2/4 Мд)
u(x) — vin(x)||pdp ^ ?.

Тогда для n > ne имеем
E
E = Es © EU в том ^^гсле, что Ex = EX © EX* для почти вcex x G Мд. Векториальные множества Es и EU инвариантны относительно линейного расширения f3.
Доказательство. Подпространства EX и EX* порождают Ex для
п.в. x G Мд. Покажем, что Es П EU = {0}. Предположим, что это
не так. Тогда существует сечение u = 0 такое, что u G Lp(Es) и
u G Lp(EU). u G Lsp(E) u G LpU(E).
Lp(E) П LU(E) = {0},
u( x) = 0
Инвариантность Es и EU относительно в следует из инвариант­ности Lp(E) и LU(E) относительно оператора D.

121
Из того, что спектральный радиус r(Ds) < 1 следует, что суще­ствует норма ||• ||о в Lp(E), эквивалентная исходной, причем ||Ds||о < 1. Тогда

<<

стр. 2
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ

>>