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Mathematik




Formelsammlung
Bruno Gnörich
19. August 2001
Inhaltsverzeichnis Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




Inhaltsverzeichnis

1. Zahlbereiche und ihre Eigenschaften ........................................................................ 13

1.1 Natürliche Zahlen: ................................................................................................................ 13

1.2 Ganze Zahlen:........................................................................................................................ 13

1.3 Rationale Zahlen: .................................................................................................................. 13

1.4 Reelle Zahlen: ........................................................................................................................ 13
1.4.1 Axiome der Addition: ....................................................................................................... 13
1.4.2 Axiome der Multiplikation: .............................................................................................. 13
1.4.3 Axiome der Ordnung: ....................................................................................................... 13
1.4.4 Archimedisches Axiom:.................................................................................................... 13
1.4.5 Axiom der Vollst¤ndigkeit:............................................................................................... 13
1.4.6 Bemerkung:....................................................................................................................... 13

1.5 Komplexe Zahlen: ................................................................................................................. 13
1.5.1 Schreibweisen: .................................................................................................................. 14
1.5.2 Die Moivre'sche Formel:................................................................................................... 14

1.6 Das Prinzip der vollst¤ndigen Induktion ............................................................................ 14
1.6.1 Induktionsanfang:.............................................................................................................. 14
1.6.2 Induktionsvoraussetzung:.................................................................................................. 14
1.6.3 Induktionsschluß:.............................................................................................................. 14
1.6.4 Beispiel: Bernoullische Ungleichung: .............................................................................. 14

1.7 Fakult¤t, Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz ....................................................... 15
1.7.1 Die Fakult¤t:...................................................................................................................... 15
1.7.2 Der Binomialkoeffizient: .................................................................................................. 15
1.7.3 Der Binomische Lehrsatz:................................................................................................. 15
1.7.4 Pascal™sches Dreieck:........................................................................................................ 15

1.8 Der Fundamentalsatz der Algebra ...................................................................................... 16

2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme................. 17

2.1 Vektorrechnung, analytische Geometrie............................................................................. 17
2.1.1 Vektorielle Addition: ........................................................................................................ 17
2.1.2 Skalarprodukt:................................................................................................................... 17
2.1.3 L¤nge des Vektors a:......................................................................................................... 17
2.1.4 Schwarzsche Ungleichung: ............................................................................................... 17
2.1.5 Orthogonale Projektion von a auf b:................................................................................. 17
2.1.6 Winkel zwischen zwei Vektoren a und b: ........................................................................ 17
2.1.7 Raumprodukt (Spatprodukt): ............................................................................................ 17
2.1.8 Vektorprodukt (Kreuzprodukt): ........................................................................................ 18
2.1.9 Vektorielle Darstellung einer Gerade in Punkt-Richtungsform:....................................... 18
2.1.10 Vektorielle Darstellung einer Gerade in Hesseform: ...................................................... 18
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2.1.11 Vektorielle Darstellung einer Gerade in Hesse-Normalenform:..................................... 18
2.1.12 Plückerform einer Gerade im dreidimensionalen Vektorraum: ...................................... 18
2.1.13 Darstellung einer Ebene in Punkt-Richtungsform: ......................................................... 18
2.1.14 Darstellung einer Ebene in Hesseform: .......................................................................... 18
2.1.15 Darstellung einer Ebene in Hesse-Normalenform: ......................................................... 18
2.1.16 Umrechnungsformeln der Ebenenformen:...................................................................... 18
2.1.17 Identit¤t von Lagrange: ................................................................................................... 18

2.2 Lineare Gleichungssysteme .................................................................................................. 19
2.2.1 Allgemeines Lösungsverfahren:........................................................................................ 19
2.2.2 Der Gauß'sche Algorithmus:............................................................................................. 19
2.2.3 Die Cramer'sche Regel:..................................................................................................... 21

3. Matrizen, Matrixalgebra............................................................................................... 22

3.1 Beispiele für (m,n)-Matrizen ................................................................................................ 22
3.1.1 (n,n)-Einheitsmatrix:......................................................................................................... 22
3.1.2 (m,n)-Matrix:..................................................................................................................... 22

3.2 Rechnen mit Matrizen........................................................................................................... 22
3.2.1 Addition zweier (m,n)-Matrizen A und B, Multiplikation mit einer Konstanten k: .......... 22
3.2.2 Transponieren einer (m,n)-Matrix A: ................................................................................ 22
3.2.3 Verkettung von Matrizen, Matrixmultiplikation: ............................................................. 23
3.2.4 Matrixinversion quadratischer Matrizen:.......................................................................... 23
3.2.5 Rang einer Matrix: ............................................................................................................ 23
3.2.6 Lösung einfacher Matrixgleichungen: .............................................................................. 23
3.2.7 Rechenregeln für Determinanten: ..................................................................................... 23

3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren ............................................................................................ 24

4. Folgen und Reihen ...................................................................................................... 25

4.1 Folgen ..................................................................................................................................... 25
4.1.1 Teilfolge:........................................................................................................................... 25
4.1.2 Konvergenz:...................................................................................................................... 25
4.1.3 Divergenz:......................................................................................................................... 25
4.1.4 Beschr¤nkte Folgen:.......................................................................................................... 25
4.1.5 Monotonie:........................................................................................................................ 25
4.1.6 Eulersche Zahl: ................................................................................................................. 25
4.1.7 Konvergenzkriterium von Cauchy: ................................................................................... 25
4.1.8 Rekursiv definierte Folgen:............................................................................................... 26
4.1.9 Regeln bei Grenzwertbestimmungen:............................................................................... 26
4.1.10 Alternierende Folgen: ..................................................................................................... 26

4.2 Unendliche Reihen................................................................................................................. 26
4.2.1 Cauchy-Kriterium für Reihen: .......................................................................................... 26
4.2.2 Majoranten- und Minorantenkriterium: ............................................................................ 27
4.2.3 Die geometrische Reihe: ................................................................................................... 27
4.2.4 Das Quotientenkriterium:.................................................................................................. 27
4.2.5 Wurzelkriterium:............................................................................................................... 27
4.2.6 Konvergenzkriterium von Leibniz für alternierende Reihen: ........................................... 28
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4.2.7 Cauchy-Produkt, Satz von Mertens: ................................................................................. 28

5. Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit ..................................................................... 29
5.0.1 n-dimensionale Funktionen:.............................................................................................. 29
5.0.2 Darstellung einer n-dimensionalen Funktion:................................................................... 29

5.1 Grenzwerte............................................................................................................................. 29
5.1.1 Übertragungsprinzip für Grenzwerte von Funktionen: ..................................................... 29
5.1.2 Linksseitiger Grenzwert, rechtsseitiger Grenzwert:.......................................................... 29
5.1.3 Uneigentlicher Grenzwert:................................................................................................ 29
5.1.4 Stetigkeit von Funktionen:................................................................................................ 29

5.2 Eigenschaften stetiger Funktionen ...................................................................................... 29
5.2.1 Extremwertsatz von Weierstraß:....................................................................................... 29
5.2.2 Monotonie stetiger Funktionen:........................................................................................ 29

6. Differentialrechnung.................................................................................................... 30
6.0.1 Tangente:........................................................................................................................... 30
6.0.2 Limes des Differenzenquotienten, Ableitung der Funktion f an der Stelle x: ................... 30
6.0.3 Differenzierbarkeit:........................................................................................................... 30

6.1 Ableitungsregeln.................................................................................................................... 30
6.1.1 Faktorsatz:......................................................................................................................... 30
6.1.2 Summenregel: ................................................................................................................... 30
6.1.3 Produktregel:..................................................................................................................... 30
6.1.4 Quotientenregel:................................................................................................................ 30
6.1.5 Kettenregel:....................................................................................................................... 30

6.2 Ableitungen von reellwertigen Funktionen mehrerer Ver¤nderlicher und von
vektorwertigen Funktionen............................................................................................................. 30
6.2.1 Vektorwertige Funktionen und deren Ableitung: ............................................................. 30
6.2.2 Partielle Ableitung einer reellwertigen Funktion f:........................................................... 31
6.2.3 Totale Ableitung bei einer Funktion f(x,y,z) im … 3 : ........................................................ 31
6.2.4 Gradient: ........................................................................................................................... 31
6.2.5 Partielle Ableitung einer vektorwertigen Funktion:.......................................................... 31
6.2.6 Ableitungsregeln für vektorwertige Funktionen: .............................................................. 32

7. Potenzreihen und elementare Funktionen ................................................................ 33

7.1 Exponentialfunktion und Logarithmus .............................................................................. 33
7.1.1 (Komplexe) Exponentialfunktion: .................................................................................... 33
7.1.2 Reelle Exponentialfunktion: ............................................................................................. 33
7.1.3 Umkehrfunktion ln(x): ...................................................................................................... 33
7.1.4 Reelle Exponentialfunktion zur Basis a:........................................................................... 33
7.1.5 Logarithmus zur Basis a: .................................................................................................. 33
7.1.6 Ableitungen von Exponentialfunktionen: ......................................................................... 33
7.1.7 Ableitungen von Logarithmusfunktionen: ........................................................................ 33
7.1.8 Wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktion: ........................................................... 33
7.1.9 Wichtige Eigenschaften der Logarithmusfunktion: .......................................................... 34
7.1.10 Die Graphen von ex und ln(x):........................................................................................ 34

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7.2 Trigonometrische Funktionen.............................................................................................. 34
7.2.1 Sinusfunktion: ................................................................................................................... 34
7.2.2 Cosinusfunktion: ............................................................................................................... 34
7.2.3 Wichtige Eigenschaften der Sinus- und Cosinus-Funktionen: ......................................... 35
7.2.4 Die Graphen von sin(x), cos(x), Arcsin(x) und Arccos(x): ............................................... 36
7.2.5 Reelle Tangensfunktion, reelle Cotangensfunktion:......................................................... 36
7.2.6 Die Graphen von tan(x), cot(x), Arctan(x) und Arccot(x):................................................ 37
7.2.7 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen:.................................................... 38

7.3 Hyperbolische Funktionen ................................................................................................... 39
7.3.1 Sinus hyperbolicus: ........................................................................................................... 39
7.3.2 Cosinus hyperbolicus: ....................................................................................................... 39
7.3.3 Schreibweise mit Exponentialfunktionen: ........................................................................ 39
7.3.4 Symmetrie-Eigenschaften: ................................................................................................ 39
7.3.5 Additionstheoreme:........................................................................................................... 39
7.3.6 Zusammenhang mit der sin- bzw. cos-Funktion:.............................................................. 39
7.3.7 Moivresche Formel: .......................................................................................................... 39
7.3.8 Ableitungen:...................................................................................................................... 40
7.3.9 Grenzwerte:....................................................................................................................... 40
7.3.10 Umkehrfunktionen: ......................................................................................................... 40
7.3.11 Die Graphen von sinh(x), cosh(x), arsinh(x) und arcosh(x): ........................................... 41
7.3.12 Reeller Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus:.......................................... 41
7.3.13 Umkehrfunktionen: ......................................................................................................... 42
7.3.14 Die Graphen von tanh(x), coth(x), artanh(x) und arcoth(x):............................................ 43

8. Anwendung der Differentialrechnung........................................................................ 44

8.1 Der Mittelwertsatz und einfache Anwendungen ................................................................ 44
8.1.1 Satz von Rolle:.................................................................................................................. 44
8.1.2 Erster Mittelwertsatz der Differentialrechnung: ............................................................... 44
8.1.3 Addition einer Konstanten: ............................................................................................... 44
0
8.1.4 Regel von l'Hospital für den Fall :.................................................................................. 44
0

8.1.5 Regel von l'Hospital für den Fall :................................................................................. 44

8.1.6 Grenzwerte anderer Formen: ............................................................................................ 44

8.2 Taylorformel und Taylorreihe bei Funktionen einer Ver¤nderlichen ............................. 44
8.2.1 Taylorformel: .................................................................................................................... 45
8.2.2 Taylorreihe, MacLaurin-Reihe:......................................................................................... 45

8.3 Kurvendiskussion .................................................................................................................. 46
Vorgehensweise: ........................................................................................................................ 46
8.3.1 Asymptote: ........................................................................................................................ 46
8.3.2 Konvexit¤t, Konkavit¤t:.................................................................................................... 47

8.4 Satz von Taylor für Funktionen mehrerer Ver¤nderlicher, Anwendungen auf
Extremwertaufgaben ....................................................................................................................... 48
8.4.1 Taylorsche Reihe für Funktionen zweier Ver¤nderlicher: ................................................ 48
8.4.2 Taylorsche Reihe für Funktionen von m Ver¤nderlichen: ................................................ 48
8.4.3 Relative und absolute Extrema: ........................................................................................ 48
8.4.4 Hinreichende Bedingung für strenge relative Extrema:.................................................... 49
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8.4.5 Satz über implizite Funktionen: ........................................................................................ 49
8.4.6 Die Lagrangesche Multiplikatorregel: .............................................................................. 50

8.5 Fehler- und Ausgleichungsrechnung................................................................................... 51
8.5.1 Das Fehlerfortpflanzungsgesetz:....................................................................................... 52
8.5.2 Arithmetischer Mittelwert, Streuung: ............................................................................... 52

9. Integralrechnung ......................................................................................................... 53

9.1 Definition der Stammfunktion ............................................................................................. 53
9.1.1 Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x):.......................................................................... 53
9.1.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: ........................................................... 53

9.2 Eigenschaften und Anwendungen von Integralen ............................................................. 53
9.2.1 Bogenl¤nge einer Raumkurve K im Intervall [a,b]:.......................................................... 53
9.2.2 Wichtige Eigenschaften von Riemann-Integralen: ........................................................... 54

9.3 Integrationsmethoden ........................................................................................................... 54
9.3.1 Addition der Null: ............................................................................................................. 54
9.3.2 Die Ableitung der Funktion tritt im Integranden auf: ....................................................... 54
9.3.3 Die Substitutionsmethode: ................................................................................................ 55
9.3.4 Partielle Integration:.......................................................................................................... 55
9.3.5 Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung):.............................................. 56
9.3.6 Integration rationaler Funktionen von sin und cos:........................................................... 58
9.3.7 Integration rationaler Funktionen von sinh und cosh:....................................................... 58
9.3.8 Integration von Potenzreihen: ........................................................................................... 58
9.3.9 Rotationskörper:................................................................................................................ 58

9.4 Integrale bei Funktionen mehrerer Ver¤nderlicher .......................................................... 58
9.4.1 Zweidimensionale Integrale:............................................................................................. 58
9.4.2 Dreidimensionale Integrale: .............................................................................................. 59
9.4.3 Masse m und Schwerpunkt eines Körpers: ....................................................................... 60

9.5 Uneigentliche Integrale ......................................................................................................... 60
9.5.1 Konvergentes uneigentliches Integral: .............................................................................. 60
9.5.2 Vergleichskriterium für uneigentliche Integrale: .............................................................. 60
9.5.3 Integralkriterium: .............................................................................................................. 60

9.6 Parameterabh¤ngige Integrale............................................................................................. 61
9.6.1 Stetigkeit von Parameterintegralen: .................................................................................. 61
9.6.2 Leibniz-Regel:................................................................................................................... 61

9.7 Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare Funktionen ............... 61
9.7.1 Die Gammafunktion “( x ) oder das Eulersches Integral zweiter Gattung:....................... 61
9.7.2 Eulersche Konstante C:..................................................................................................... 62
9.7.3 Integralsinus:..................................................................................................................... 62
9.7.4 Integralcosinus: ................................................................................................................. 62
9.7.5 Integralexponentialfunktion:............................................................................................. 62
9.7.6 Integrallogarithmus: .......................................................................................................... 62
9.7.7 Gauߙsches Fehlerintegral: ............................................................................................... 62


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10. Tensoren, Quadratische Formen.............................................................................. 63

10.0 Allgemeine Grundlagen ...................................................................................................... 63
10.0.1 Linearit¤tseigenschaft einer Abbildung: ......................................................................... 63
10.0.2 Eigenwerte und Eigenvektoren: ...................................................................................... 63

10.1 Tensoren, Koordinatendarstellungen................................................................................ 64
10.1.1 Geometrischer Tensor:.................................................................................................... 64
10.1.2 Tensor: ............................................................................................................................ 64
10.1.3 Vektorprodukt:................................................................................................................ 64
10.1.4 Projektionstensor: ........................................................................................................... 64
10.1.5 Dyadisches Produkt zweier Vektoren: ............................................................................ 64
10.1.6 Spiegelungstensor: .......................................................................................................... 64
10.1.7 Drehtensor (Drehung im Raum …3 um eine feste Drehachse): ...................................... 65
10.1.8 Eulersche Drehmatrizen:................................................................................................. 65
10.1.9 Verkettung der Eulerschen Drehmatrizen:...................................................................... 65
10.1.10 Beispiele für Tensoren in Physik und Technik: ............................................................ 66
10.1.11 Koordinatendarstellung der Translation von Vektoren:................................................ 66
10.1.12 Orthogonale Transformationen:.................................................................................... 66

10.2 Das Normalformenproblem von Bilinearformen ............................................................. 67
10.2.1 Hyperfl¤che 2. Grades oder Quadrik: ............................................................................. 67
10.2.2 Mittelpunkt einer Quadrik: ............................................................................................. 67
10.2.3 Normalform einer Quadrik: ............................................................................................ 67
10.2.4 Allgemeine Vorgehensweise bei der Klassifikation von Quadriken: ............................. 68

11. Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel................................................ 72

11.1 Krummlinige Koordinaten, Jacobideterminante ............................................................. 72
11.1.1 Krummlinige Koordinaten:............................................................................................. 72
11.1.2 Jacobideterminante: ........................................................................................................ 72

11.2 Transformationsformeln .................................................................................................... 72
11.2.1 Polarkoordinaten:............................................................................................................ 72
11.2.2 Zylinderkoordinaten:....................................................................................................... 73
11.2.3 Kugelkoordinaten:........................................................................................................... 73
11.2.4 Laplace-Operator ∆: ........................................................................................................ 73
11.2.5 Transformationsformel: .................................................................................................. 73

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen...................................................................... 75

12.1 Bezeichnungen, Richtungsfeld ........................................................................................... 75
12.1.1 Gewöhnliche Differentialgleichung:............................................................................... 75
12.1.2 Richtungsfeld, Isokline: .................................................................................................. 75
12.1.3 Lösungen:........................................................................................................................ 75
12.1.4 Anfangswertproblem (AWP): ......................................................................................... 75
12.1.5 Satz von Picard-Lindelöf: ............................................................................................... 75

12.2 Differentialgleichungen erster Ordnung........................................................................... 76
12.2.1 Form, Anfangsbedingung: .............................................................................................. 76
12.2.2 Homogene Differentialgleichung:................................................................................... 76
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12.2.3 Inhomogene Differentialgleichung: ................................................................................ 76
12.2.4 Allgemeine Lösung: ........................................................................................................ 76
12.2.5 Trennung der Variablen: ................................................................................................. 76

12.3 Bernoulli™sche Differentialgleichungen ............................................................................. 77
12.3.1 Form:............................................................................................................................... 77
12.3.2 Lösungsansatz: ................................................................................................................ 77

12.4 Differentialgleichungen n-ter Ordnung und Systeme erster Ordnung .......................... 77
12.4.1 Form von Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung: ................................ 77
12.4.2 Form von Differentialgleichungen n-ter Ordnung: ......................................................... 77
12.4.3 Lösungsansatz: ................................................................................................................ 78
12.4.4 Allgemeine Lösung: ........................................................................................................ 78

12.5 Lineare Differentialgleichungs-Systeme erster Ordnung................................................ 79
12.5.1 Lineares Differentialgleichungs-System erster Ordnung: ............................................... 79
12.5.2 Lineare Abh¤ngigkeit, lineare Unabh¤ngigkeit von Lösungen:...................................... 80
12.5.3 Anzahl linear unabh¤ngiger Lösungen: .......................................................................... 80
12.5.4 Fundamentalsystem (FS), Fundamentalmatrix, Übertragungsmatrix: ............................ 80
12.5.5 Wronski-Determinante eines homogenen linearen DGL-Systems: ................................ 80
12.5.6 Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichungs-Systeme erster Ordnung:............. 81
12.5.7 Allgemeine Lösung eines gegebenen Anfangswertproblems: ........................................ 85

12.6 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung .............................................................. 85
12.6.1 Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung: ................................................................ 85
12.6.2 Umformung in DGL-System erster Ordnung: ................................................................ 86
12.6.3 Fundamentalsystem:........................................................................................................ 86
12.6.4 Aufstellen eines Fundamentalsystems: ........................................................................... 86
12.6.5 Fundamentalmatrix, Übertragungsmatrix:...................................................................... 87
12.6.6 Wronski-Determinante:................................................................................................... 87
12.6.7 Allgemeines Lösungsverfahren:...................................................................................... 87
12.6.8 Tabelle zur Lösungsbasis von linearen homogenen Differentialgleichungen 2. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten:......................................................................................................... 89

12.7 Eulersche Differentialgleichungen..................................................................................... 90
12.7.1 Form Eulerscher Differentialgleichungen....................................................................... 90
12.7.2 Allgemeines Löungsverfahren: ....................................................................................... 90
12.7.3 Spezielle Eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung:......................................... 90

12.8 Rand- und Eigenwertprobleme.......................................................................................... 90
12.8.1 Begriff des Randwertproblems (RWP):.......................................................................... 90
12.8.2 Begriff des Eigenwertproblems bei Differentialgleichungen: ........................................ 90

12.9 Autonome Differentialgleichungen 2. Ordnung ............................................................... 91
12.9.1 Form, Anfangswerte: ...................................................................................................... 91
12.9.2 „quivalentes DGL-System erster Ordnung: ................................................................... 91
12.9.3 Singul¤re Punkte: ............................................................................................................ 92
12.9.4 Phasenkurve (PK): .......................................................................................................... 92
12.9.5 Bestimmung der Phasenkurve, Lösen von Anfangswertproblemen: .............................. 92
12.9.6 Spezielle autonome Differentialgleichungen 2. Ordnung:.............................................. 93
12.9.7 Lösungsverfahren der speziellen Differentialgleichung: ................................................ 94

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12.9.8 Autonome Differentialgleichungs-Systeme: ................................................................... 94
12.9.9 Klassifizierung von singul¤ren Punkten, Phasenportraits:.............................................. 95

13. Fourierreihen.............................................................................................................. 99

13.1 Trigonometrische Polynome und minimale Integralmittel ............................................. 99
13.1.1 Periodizit¤t:..................................................................................................................... 99
13.1.2 Trigonometrisches Polynom n-ten Grades:..................................................................... 99
13.1.3 Prim¤re Problemstellung:................................................................................................ 99
13.1.4 Integralmittel:.................................................................................................................. 99
13.1.5 Fourierkoeffizienten (FK):.............................................................................................. 99
13.1.6 Unterscheidung bei geraden und ungeraden Funktionen: ............................................. 100
13.1.7 Konvergenz:.................................................................................................................. 100
13.1.8 Fourierreihe:.................................................................................................................. 100
13.1.9 Dirichlet-Term: ............................................................................................................. 100
13.1.10 Fourierreihenentwicklungen einiger 2π-periodischer Funktionen:............................. 101

13.2 Eine Anwendung auf die Saitenschwingung................................................................... 102
13.2.1 Zugehöriges Randwertproblem:.................................................................................... 102
13.2.2 Separierte Differentialgleichungen: .............................................................................. 102
13.2.3 Ermittlung der Eigenfunktionen: .................................................................................. 102
13.2.4 Lösung der Differentialgleichung: ................................................................................ 102
13.2.5 Fourierreihen von f bzw. g: ........................................................................................... 102

14. Kurven und Fl¤chen ................................................................................................ 103

14.1 Kurven im …² und …³ ........................................................................................................ 103
14.1.1 Parameterdarstellung eines Kurvenbogens, Parametertransformation: ........................ 103
14.1.2 Spezielle zul¤ssige Parametertransformation auf „Bogenl¤nge“:................................. 103
14.1.3 Tangentenvektor, Normalenvektor und Krümmung einer Kurve im …²: ..................... 103
14.1.4 Begleitendes Dreibein einer Kurve im …³: ................................................................... 103
14.1.5 Frenetsche Formeln:...................................................................................................... 104
14.1.6 Bezüglich der Zeit parametrisierte Kurven im …³: ....................................................... 104

14.2 Einführung in die lokale Theorie der Fl¤chen im …³..................................................... 104
14.2.1 Parameterdarstellung eines Fl¤chenstückes, Parametertransformation: ....................... 104
14.2.2 Kurven auf Fl¤chen:...................................................................................................... 105
14.2.3 Koeffizienten der 1. Fundamentalform:....................................................................... 105
14.2.4 Eigenschaften, Anwendungen:...................................................................................... 105
14.2.5 Fl¤chen in expliziter Form:........................................................................................... 106

15. Kurven- und Oberfl¤chenintegrale......................................................................... 107

15.1 Orientierte und nicht orientierte Kurvenintegrale ........................................................ 107
15.1.1 Orientiertes Kurvenintegral: ......................................................................................... 107
15.1.2 Nicht orientiertes Kurvenintergal: ................................................................................ 107
15.1.3 Eigenschaften von Kurvenintegralen, Rechenregeln: ................................................... 107
15.1.4 Potential eines Vektorfeldes: ........................................................................................ 108
15.1.5 Sternformiges Gebiet: ................................................................................................... 108

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Bruno Gnörich, RWTH Aachen




15.2 Orientierte und nicht orientierte Oberfl¤chenintegrale ................................................ 108
15.2.1 Orientiertes Oberfl¤chenintegral:.................................................................................. 108
15.2.2 Nicht orientiertes Oberfl¤chenintegral:......................................................................... 109
15.2.3 Rechenregeln:................................................................................................................ 109
15.3.3 Explizit gegebene Funktionen: ..................................................................................... 109

16. Integrals¤tze und Vektoranalysis ........................................................................... 110

16.1 Satz von Gauß in Ebene und Raum................................................................................. 110
16.1.1 Divergenz eines Vektorfeldes: ...................................................................................... 110
16.1.2 Satz von Gauß in der Ebene:......................................................................................... 110
16.1.3 Satz von Gauß im Raum: .............................................................................................. 110
16.1.4 Fluß von v durch ‚G: .................................................................................................... 110
16.1.5 Zirkulation von Vektorfeldern: ..................................................................................... 110

16.2 Satz von Stokes .................................................................................................................. 111
16.2.1 Rotation eines Vektorfeldes:......................................................................................... 111
16.2.2 Satz von Stokes:............................................................................................................ 111
16.2.3 Vektorpotential: ............................................................................................................ 111

16.3 X-Rechnung (Nablarechnung) ....................................................................................... 111
16.3.1 X-Operator: .................................................................................................................. 111
16.3.2 Rechenregeln:................................................................................................................ 112

16.4 Der Green™sche Integralsatz............................................................................................. 112
16.4.1 Green™scher Integralsatz: .............................................................................................. 112
16.4.2 Anwendung: .................................................................................................................. 112

16.5 Exakte Differentialgleichungen........................................................................................ 113
16.5.1 Exakte Differentialgleichungnen: ................................................................................. 113
16.5.2 Exakte Differentialgleichungen in sternförmigen Gebieten: ........................................ 113
16.5.3 Spezielle Vektorpotentiale:........................................................................................... 113
16.5.4 Singul¤re Punkte von exakten Differentialgleichungen:............................................... 113
16.5.5 Integrierender Faktor m(x,y):......................................................................................... 113
16.5.6 Bestimmung von integrierenden Faktoren für bestimmte Differentialgleichungen: .... 114
16.5.7 Implizite Lösungen von nicht exakten Differentialgleichungen:.................................. 114

A. Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen................................................................... 115

A.1 Trigonometrische Funktionswerte an besonderen Winkeln .......................................... 115

A.2 Zusammenh¤nge der trigonometrischen Funktionen ..................................................... 115

A.3 Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen.................................................. 116
A.3.1 Summe und Differenz: ................................................................................................... 116
A.3.2 Vielfache: ....................................................................................................................... 116
A.3.3 Potenzen:........................................................................................................................ 116

A.4 Einheitskreis........................................................................................................................ 117



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Verzeichnis der Abbildungen und Tabellen
Abbildungen

Abbildung 1: Pascal'sches Dreieck .................................................................................................. 15
Abbildung 2: Die Graphen von ex und ln(x) .................................................................................... 34
Abbildung 3: Die Graphen von sin(x), cos(x), Arcsin(x) und Arccos(x) ......................................... 36
Abbildung 4: Die Graphen von tan(x), cot(x), Arctan(x) und Arccot(x).......................................... 37
Abbildung 5: Die Graphen von sinh(x), cosh(x), arsinh(x) und arcosh(x) ....................................... 41
Abbildung 6: Die Graphen von tanh(x), coth(x), artanh(x) und arcoth(x)........................................ 43
Abbildung 7: Exponentialfunktion angen¤hert durch Taylorpolynome........................................... 45
Abbildung 8: Bezeichnungen am Funktionsgraphen ....................................................................... 47
Abbildung 9: Ellipsoid ..................................................................................................................... 69
Abbildung 10: Zweischaliges Hyperboloid...................................................................................... 69
Abbildung 11: Einschaliges Hyperboloid ........................................................................................ 70
Abbildung 12: Kegel mit Spitze in m .............................................................................................. 70
Abbildung 13: Elliptischer Zylinder ................................................................................................ 70
Abbildung 14: Hyperbolischer Zylinder .......................................................................................... 70
Abbildung 15: Elliptisches Paraboloid ............................................................................................ 70
Abbildung 16: Hyperbolisches Paraboloid ...................................................................................... 70
Abbildung 17: Parabolischer Zylinder ............................................................................................. 70
Abbildung 18: Knoten 1. Art ........................................................................................................... 95
Abbildung 19: Knoten 2. Art ........................................................................................................... 95
Abbildung 20: Sternpunkt................................................................................................................ 95
Abbildung 21: Sattelpunkt ............................................................................................................... 96
Abbildung 22: Strudelpunkt............................................................................................................. 96
Abbildung 23: Wirbelpunkt ............................................................................................................. 96
Abbildung 24: Stabilit¤tskarte für lineare autonome DGL-Systeme im …²..................................... 98
Abbildung 25: Sternförmiges Gebiet ............................................................................................. 108


Tabellen

Tabelle 1: Klassifikation von Zentrumsquadriken........................................................................... 68
Tabelle 2: Klassifikation von Quadriken mit leerem Zentrum ........................................................ 69
Tabelle 3: Lösungsbasis von linearen homogenen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit
konstanten Koeffizienten ......................................................................................................... 89
Tabelle 4: Fourierreihenentwicklungen einiger 2π-periodischer Funktionen ................................ 101
Tabelle 5: Trigonometrische Funktionswerte an besonderen Winkeln.......................................... 115
Tabelle 6: Zusammenh¤nge der trigonometrischen Funktionen .................................................... 115




Titelgrafik erstellt mit Maple V Release 4 von Waterloo Maple Inc.

« ’ 10 … cos(t ) ’ 2 … cos(5t ) + 15 … sin (2t )
¬ ·
v
Funktion: x (t ) = ¬ 10 … sin (t ) ’ 2 … sin (5t ) ’ 15 … sin (2t ) ·
¬ ·
10 … cos(3t )
 


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So kann also die Mathematik definiert werden
als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen,
worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das,
was wir sagen, wahr ist. Bertrand Russell




Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Nur für den Privatgebrauch bestimmt.


Bruno Gnörich
formelsammlung@gnoerich.de



Diese Formelsammlung ist auch im Internet abrufbar. Es stehen die Formate HTML (Hyper Text Markup
Language) und PDF (Portable Document Format) zur Verfügung. Besuchen Sie hierfür
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1. Zahlbereiche und ihre Eigenschaften Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




1. Zahlbereiche und ihre Eigenschaften
1.1 Natürliche Zahlen:
Symbol: Á = {0,1,2,3,4,...}

1.2 Ganze Zahlen:
Symbol: Í = {...,-2,-1,0,1,2,...}

1.3 Rationale Zahlen:
±p 
Symbol: „ =  p, q ∈Ü und q ≠ 0
q 

1.4 Reelle Zahlen:
Symbol: …

1.4.1 Axiome der Addition:
1.4.1.1 a+b=b+a
1.4.1.2 (a + b) + c = a + (b + c)
1.4.1.3 Die Gleichung a + x = b ist immer eindeutig lösbar.
’ (’a) = a
1.4.1.4

1.4.2 Axiome der Multiplikation:
a…b=b…a
1.4.2.1
(a … b) … c = a … (b … c)
1.4.2.2
a … (b + c) = a … b + a … c
1.4.2.3
Die Gleichung a … x = b ist für alle a ≠ 0 eindeutig lösbar.
1.4.2.4

1.4.3 Axiome der Ordnung:
a < b und b < c ’ a < c
1.4.3.1
a < b; c beliebig ’ a + c < b + c
1.4.3.2
a < b; c > 0 ’ a … c < b … c
1.4.3.3

1.4.4 Archimedisches Axiom:
Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine natürliche Zahl n, für die gilt: n > |x|
Zu jeder reellen Zahl x > 0 gibt es eine natürliche Zahl n, für die gilt: n’1 < x

1.4.5 Axiom der Vollst¤ndigkeit:
Jede Verknüpfung zweier reeller Zahlen gem¤ß dieser Axiome ergibt wieder eine reelle Zahl.

1.4.6 Bemerkung:

a ’ b ¤ a +b ¤ a + b
Dreiecksungleichung:

1.5 Komplexe Zahlen:
Symbol: ¶ = {z z = ( x, y ) mit x, y ∈…}
Die Menge der komplexen Zahlen ist ein algebraischer Körper bezüglich Addition und Multiplikation.
Imagin¤re Einheit: i 2 = ’1

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1. Zahlbereiche und ihre Eigenschaften Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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1.5.1 Schreibweisen:
Schreibweise einer komplexen Zahl z:
z = x+i… y
y
x 2 + y 2 und • = arctan
Mit r = wird daraus :
x
z = r … [cos(• ) + i … sin (• )]
= r … cis(• )
= r … e i…•
Es gilt die Dreiecksungleichung.

1.5.2 Die Moivre'sche Formel:
z n = [r … cis(• )]
n


= r n … cis(n … • )
= r n … e i…n…•
Die Exponentialschreibweise von z wird als Polarform von z bezeichnet.



1.6 Das Prinzip der vollst¤ndigen Induktion

Es sei n0 eine natürliche Zahl und A(n) für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 eine Aussage. Es gelte:

1.6.1 Induktionsanfang:
A(n0) ist eine wahre Aussage.

1.6.2 Induktionsvoraussetzung:
Die Annahme der Gültigkeit dieser Aussage für alle n ≥ n0

1.6.3 Induktionsschluß:
[A(n) ’ A(n+1)] ist wahr für alle n ≥ n0

Damit ist die Gültigkeit der Aussage A(n) bewiesen.


1.6.4 Beispiel: Bernoullische Ungleichung:

Es sei x eine reelle Zahl mit ’ 1 ¤ x . Ferner sei n eine natürliche Zahl. Dann gilt für alle n die
Bernoullische Ungleichung: A(n ) : 1 + n … x ¤ (1 + x )
n




Beweis unter Verwendung vollst¤ndiger Induktion:

n0 = 1 : 1 + x ¤ (1 + x ) = 1 + x (gilt insbesondere für ’ 1 ¤ x )
1
Induktionsanfang:

Die Behauptung gelte für ein n ∈ Í , also 1 + n … x ¤ (1 + x ) .
n
Induktionsannahme:


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1. Zahlbereiche und ihre Eigenschaften Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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Zu zeigen ist, daß die Behauptung dann auch für n + 1 gilt, also
Induktionsschluß:
1 + (n + 1) … x ¤ (1 + x ) . Außerdem gilt: Da ’ 1 ¤ x ist, ist 1 + x ≥ 0 .
n +1


Daraus folgt:
(1 + x )n+1 = (1 + x )n … (1 + x )
≥ (1 + n … x ) … (1 + x )
= 1 + (n + 1) … x + n … x 2
≥ 1 + (n + 1) … x
Damit ist die Gültigkeit der Bernoullischen Ungleichung bewiesen.


1.7 Fakult¤t, Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz

1.7.1 Die Fakult¤t:
n
n! = 1 … 2 … 3 … ... … n = ∏ k
k =1



1.7.2 Der Binomialkoeffizient:
± n!
wenn 0 ¤ k ¤ n
« n   k!…(n ’ k )!

¬ ·=
¬k ·
 
0
 wenn k > n

1.7.3 Der Binomische Lehrsatz:
(a + b ) = ‘ «  … a n’ k … b k (siehe Pascalsches Dreieck)
n n
¬·
n
¬·
k =0  k 

Der binomische Lehrsatz kann mittels vollst¤ndiger Induktion bewiesen werden.


1.7.4 Pascal™sches Dreieck:
k=0
k=1
n=0 1 k=2
n=1 1 1 k=3
n=2 1 2 1 k=4
n=3 1 3 3 1 k=5
n=4 1 4 6 4 1 k=6
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
1444444444442444444444443
4 4
« n
=¬ ·
¬k·

Abbildung 1: Pascal'sches Dreieck


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1.8 Der Fundamentalsatz der Algebra

Ein Polynom n-ten Grades kann immer folgendermaßen umgeformt werden:
P( z ) = a 0 + a1 … z + ... + a n … z n
= a n … ( z ’ z1 ) … (z ’ z 2 ) … ... … ( z ’ z n )
Mit a n ≠ 0 § a i ∈¶

Die Zahlen zi heißen Nullstellen des Polynoms P.
Jedes Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine reelle Nullstelle.




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2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare
Gleichungssysteme
2.1 Vektorrechnung, analytische Geometrie

2.1.1 Vektorielle Addition:

« a1  « b1  « a1 + b1 
¬·¬·¬ ·
a+b =¬ M ·+¬ M · =¬ M ·
¬ a · ¬b · ¬ a + b ·
 n  n  n n



2.1.2 Skalarprodukt:

n
a … b = a1 … b1 + a 2 … b2 + K + a n … bn = ‘ a j … b j ∈ …
j =1

Zus¤tzlich gilt: a … b = 0 ” a ⊥ b

2.1.3 L¤nge des Vektors a:

a = a … a = a2

2.1.4 Schwarzsche Ungleichung:

a …b ¤ a … b

Ferner gilt die Dreiecksungleichung

2.1.5 Orthogonale Projektion von a auf b:

a …b
Projb a = …b = » …b
2
b
2.1.6 Winkel zwischen zwei Vektoren a und b:

a …b
cos± =
a…b

2.1.7 Raumprodukt (Spatprodukt):

a, b, c = (a — b ) … c

Es erzeugt es ein Rechtssystem, falls es positiv ist, und ein Linkssystem, falls es negativ ist.
Das Vektortripel heißt ausgeartet (linear abh¤ngig), falls das Spatprodukt null ist.




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2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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2.1.8 Vektorprodukt (Kreuzprodukt):
« a1  « b1  « a 2 … b3 ’ a3 … b2 
¬ ·¬ ·¬ ·
a — b = ¬ a 2 · — ¬ b2 · = ¬ a3 … b1 ’ a1 … b3 ·
¬a · ¬b · ¬ a …b ’ a …b ·
 3  3  1 2 1
2

Ist das Kreuzprodukt null, so sind die beiden Vektoren linear abh¤ngig.

2.1.9 Vektorielle Darstellung einer Gerade in Punkt-Richtungsform:
rr
g: x = p + t … a

2.1.10 Vektorielle Darstellung einer Gerade in Hesseform:
r
g: x … · = d

2.1.11 Vektorielle Darstellung einer Gerade in Hesse-Normalenform:
1r d
…x…· =
g:
· ·
Die Darstellungsarten in Hesseform sind nur im zweidimensionalen Vektorraum möglich, im
dreidimensionalen Raum repr¤sentieren sie Ebenen.

2.1.12 Plückerform einer Gerade im dreidimensionalen Vektorraum:
r
g :x—a = m

2.1.13 Darstellung einer Ebene in Punkt-Richtungsform:
vv
E : x = p + » … a1 + µ … a 2


2.1.14 Darstellung einer Ebene in Hesseform:
r
E : … x …· = d

2.1.15 Darstellung einer Ebene in Hesse-Normalenform:

1r d
… x …· =
E:
· ·

2.1.16 Umrechnungsformeln der Ebenenformen:

· = a1 — a 2
r r
d = p … · = p … (a 1 — a 2 )

2.1.17 Identit¤t von Lagrange:

(a — b ) … (c — d ) = (a … c ) … (b … d ) ’ (a … d ) … (b … c )

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2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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2.2 Lineare Gleichungssysteme

Eine Linearkombination aus n Vektoren des Grades n bildet ein lineares Gleichungssystem, wenn
ein bestimmter Vektor als Ergebnis der Linearkombination gefordert wird. Ist dieser Vektor der
Nullvektor, so spricht man von einem homogenen Gleichungssystem, andernfalls von einem
inhomogenen Gleichungssystem.

x1 … a 1 + x2 … a 2 + x3 … a 3 + K + xn … a n = b
n

‘x
” …a j = b
j
j =1



Ein LGS ist lösbar, falls genügend linear unabh¤ngige Gleichungen vorhanden sind. Sind bei
einem LGS vom Rang n (d.h. mit n Unbekannten) nur r linear unabh¤ngige Gleichungen gegeben,
so betr¤gt der Defekt d des Gleichungssystems: d = n - r.


2.2.1 Allgemeines Lösungsverfahren:
Zun¤chst wird die Hauptdeterminante D berechnet, was bis Rang n = 3 ohne weitere
Umformungen möglich ist. Ist der Rang n > 3, ist meistens der Gauß™sche Algorithmus am
günstigsten.

D = 0: keine eindeutige Lösung ’ Gauß'scher Algorithmus (Lösungsmenge ist
1. Fall:
eine Ebene oder eine Gerade)
D ≠ 0: eindeutige Lösung ’ Cramer'sche Regel (Determinantenverfahren)
2. Fall:

Zum Schluß wird die Lösungsmenge als Vektor oder Zahlentupel aufgeschrieben.




2.2.2 Der Gauß'sche Algorithmus:

Das Prinzip besteht darin, eine Gleichung dazu zu benutzen, aus den restlichen eine Unbekannte
zu eliminieren. Dies wird dann so lange fortgesetzt, bis nur noch eine Gleichung mit einer
Unbekannten vorhanden ist. Danach wird rückw¤rts in alle Gleichungen eingesetzt, womit man alle
Unbekannten erh¤lt und das LGS löst.
Die folgenden zwei Beispiele zeigen ein eindeutig lösbares und ein nicht eindeutig lösbares LGS.



1. Beispiel:
Folgendes LGS ist gegeben. Gesucht ist dessen Lösungsmenge.

x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = ’2
2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + x4 =2
3 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 =2
4 x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = ’2

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2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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Durch rückw¤rtiges Lösen der Gleichungen Operation
x1 x2 x3 x4
XVI bis XIII erh¤lt man:
I 1 2 3 4 -2
x1 = 0
II 2 3 4 1 2
x2 = 1
III 3 4 1 2 2
x3 = 0
IV 4 1 2 3 -2
x4 = ’1
V 1 2 3 4 -2
VI 0 -1 -2 -7 6 =II-2I
Die Probe durch Einsetzen best¤tigt dieses
VII 0 -2 -8 -10 8 =III-3I
Ergebnis.
VIII 0 -7 -10 -13 6 =IV-4I
IX 1 2 3 4 -2
X 0 -1 -2 -7 6
XI 0 0 -4 4 -4 =VII-2VI
XII 0 0 4 36 -36 =VIII-7VI
XIII 1 2 3 4 -2
XIV 0 -1 -2 -7 6
XV 0 0 -4 4 -4
XVI 0 0 0 40 -40 =XI+XII


2. Beispiel:
Folgendes LGS ist gegeben. Es enth¤lt mehr Gleichungen als Unbekannte.
Operation
x1 x2 x3
’ x1 ’ 3x2 ’ 12 x3 = ’5
I -1 -3 -12 -5
’ x1 + 2 x2 + 5x3 = 2 II -1 2 5 2
5x2 + 17 x3 = 7 III 0 5 17 7
3 x1 ’ x2 + 2 x3 = 1 IV 3 -1 2 1
V 7 -4 -1 0
7 x1 ’ 4 x2 ’ x3 = 0
VI -1 -3 -12 -5
VII 0 -5 -17 -7 =I-II
Eine Lösung existiert, sie ist aber nicht eindeutig. Es
VIII 0 5 17 7 =III
kann eine Unbekannte als Parameter w¤hlen, z.B. x3.
IX 0 -10 -34 -14 =3I+I
Die Lösung lautet dann:
t ∈ (’ ∞; ∞ ) V
X 0 -25 -85 -35 =7I+V
49
x1 = ’ t XI -1 -3 -12 -5
55
XII 0 -5 -17 -7
7 17
x2 = ’ t XIII 0 0 0 0
55 XIV 0 0 0 0
x3 = t XV 0 0 0 0

Die geometrische Deutung der Lösungsmenge eines LGS mit drei Unbekannten ist die
Bestimmung der Schnittmenge der durch die drei Gleichungen des LGS gegebenen Ebenen. In
diesem Beispiel ist die Lösungsmenge eine Gerade:

« ’ 9
« 4
r 1¬ · 1 ¬ ·
g : x = ¬ 7 · + t¬ ’ 5 ·
5¬ · 5 ¬ ·
 0 5


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2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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2.2.3 Die Cramer'sche Regel:

Ist die Determinante der Koeffizientenmatrix eines LGS nicht null, dann lassen sich die
Unbekannten xk sofort berechnen. Man berechnet dabei zur Bestimmung z.B. der Unbekannten x3
Die Determinante D3, die sich durch Vertauschen des 3.Spaltenvektors der
Koeffizientendeterminan-te mit dem Vektor der absoluten Glieder ergibt. Aus diesen beiden
Determinanten berechnet sich die Unbekannte x3 als deren Quotient.

Dn
Allgemein: xn =
D

Die mit der Cramer'schen Regel berechneten Lösungen sind immer eindeutig.




Seite 21
3. Matrizen, Matrixalgebra Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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3. Matrizen, Matrixalgebra
3.1 Beispiele für (m,n)-Matrizen

3.1.1 (n,n)-Einheitsmatrix:
L
«1 0 0 0
¬ ·
L
¬0 1 0 0·
En = ¬ 0 0 1 0·
L
¬ ·
¬M M M O M·
¬ ·
L
0 0 0 1

3.1.2 (m,n)-Matrix:
L
« a11 a1n 
a12 a13
¬ ·
L
¬ a 21 a 2n ·
a 22 a 23
A = ¬ a31 a 3n ·
L
a32 a 33
¬ ·
¬M M M O M·
¬a a mn ·
L
 m1 
am2 am3

Der erste Index bei den Eintr¤gen aij heißt Zeilenindex und gibt die Zeile an, in der der Eintrag
steht, der zweite ist der Spaltenindex und gibt die Spalte der Matrix an, in der der Eintrag steht.


3.2 Rechnen mit Matrizen

3.2.1 Addition zweier (m,n)-Matrizen A und B, Multiplikation mit einer Konstanten k:
Alle Eintr¤ge werden einzeln addiert, d.h. C = A + B bzw. cij = aij + bij
Alle Eintr¤ge werden einzeln mit k multipliziert. C = kB bzw. cij = kbij

3.2.2 Transponieren einer (m,n)-Matrix A:
Es entsteht eine (n,m)-Matrix AT, für deren Eintr¤ge ajiA gilt: ajiA = aijA
T T


3.2.2.1 Zusatzeigenschaften bei (n,n)-Matrizen:
AT = A
Eine (n,n)-Matrix A heißt symmetrisch, wenn gilt:
AT = ’ A
Eine (n,n)-Matrix A heißt antisymmetrisch, wenn gilt:

Beispiel: Gegeben sind die Matrizen A und B.
«1 ’ 7 « 0 2
A=¬ · , B=¬ ¬ 2 6·
¬3 2 · ·
   
« 1 ’ 7  « 0 2  « 1 + 0 ’ 7 + 2  « 1 ’ 5
A+ B = ¬¬3 2 · + ¬ 2 6· = ¬3 + 2 2 + 6 · = ¬5 8 ·
·¬ ·¬ ·¬ ·
    
« 0 2  « 5 … 0 5 … 2  « 0 10 
5… B = 5…¬
¬ 2 6 · = ¬ 5 … 2 5 … 6 · = ¬10 30 ·
·¬ ·¬ ·
   
«1 ’ 7
T T
« 1 3 « 0 2 « 0 2
¬ · =¬
¬ ’ 7 2· , ¬ · =¬
¬ 2 6· = B
A =¬ B =¬
T T
· · · ·
3 2     2 6  

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3. Matrizen, Matrixalgebra Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




3.2.3 Verkettung von Matrizen, Matrixmultiplikation:
Generell ist dies nur möglich, wenn die erste Matrix (m,n) diesselbe Anzahl von Spalten hat
wie die zweite Matrix (p,q) Zeilen, d.h. wenn n = p.
Es entsteht eine (m,q)-Matrix.
n
cij = ‘ aik … bkj
Deren Eintr¤ge lauten dann allgemein:
k =1

«0 1 
¬ ·
« 1 0 2
Beispiel: Gegeben seien die beiden Matrizen A und B: A = ¬
¬ 2 1 0· B = ¬ 0 ’ 1·
·
  ¬2 0 ·
 
«0 1 
« 1 0 2 ¬ · « 4 1
Wird A mit B verkettet, so entsteht eine (2,2)-Matrix: AB = ¬ ·¬ 0 ’ 1· = ¬
¬ 0 1·
¬2 1 0· ·
 ¬ 2 0 ·  
 
«0 1  «2 1 0
¬ ·« 1 0 2  ¬ ·
Umgekehrt entsteht eine (3,3)-Matrix: BA = ¬ 0 ’ 1·¬ · = ¬ ’ 2 ’1 0·
¬ ·
¬ 2 0 · 2 1 0  ¬ 2 0 4·
   
Daraus folgt: Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ.
Aber: Multiplikation von (n,n)-Matrizen ist assoziativ, es gilt auch das Distributivgesetz.

3.2.3.1 Dyadisches Produkt:
So heißt das Produkt einer (n,1)-Matrix mit einer (1,n)-Matrix. Es ensteht eine (n,n)-Matrix.

3.2.4 Matrixinversion quadratischer Matrizen:
Es gilt für die zu A inverse Matrix A’1: A’1…A = A…A’1 = E
Bedingung für Invertierbarkeit: det(A) ≠ 0

3.2.5 Rang einer Matrix:
Unter dem Rang r(A) der (m,n)-Matrix A versteht man Folgendes: Die Maximalanzahl linear
unabh¤ngiger Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) heißt Zeilenrang (Spaltenrang) der Matrix A.
Zeilenregul¤r ist die Matrix A, wenn r(A) = m, spaltenregul¤r, wenn r(A) = n.
Eine (n,n)-Matrix heißt regul¤r, wenn r(A) = n und singul¤r, wenn r(A) < n.
Die Existenz der Inversen A’1 und die Regularit¤t von A sind ¤quivalent.
Zur Berechnung des Ranges einer (m,n)-Matrix werden die größtmöglichen Unterdeterminanten
gebildet. Ist eine von ihnen nicht null, so ist der Rang gleich der Ordnung (Anzahl der
Spaltenvektoren) dieser Unterdeterminante. Gegebenenfalls muß die Ordnung der Unterdeter-
minante verringert werden, bis eine von ihnen ungleich null ist.

3.2.6 Lösung einfacher Matrixgleichungen:
X = B…A’1.
Die Gleichung A…X = B hat die Lösung
Dies setzt die Existens der inversen Matrix A’1 voraus.

3.2.7 Rechenregeln für Determinanten:
det(A … B) = det(A) … det(B) (Produktregel)
det(AT) = det(A)
det(En) = 1
det(c … A) = cn … det(A) für (n,n)-Matrizen


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3. Matrizen, Matrixalgebra Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren

x a f (x ) = A … x
Gegeben sei eine lineare Abbildung

Unter den Eigenwerten » und den Eigenvektoren ν der Matrix A versteht man alle diejenigen
Konstanten bzw. Vektoren, für die gilt:
A… ν = » … ν
Aus dieser Definition folgt:
A …ν = » …ν ” ( A ’ » … E )ν = 0
für ν ≠ 0 (Nullvektor) folgt sofort :
det ( A ’ » … E ) = 0

In Determinantenschreibweise:
L
« a11 ’ » a1n 
a12 a13
¬ ·
L
a 22 ’ »
¬ a 21 a 2n ·
a 23
det ( A ’ » … E ) = det ¬ a31 a 3n · = 0
L
a33 ’ »
a32
¬ ·
¬M M M O M·
¬a L a nn ’ » ·
 n1 
an2 an3

Beispiel: Gesucht sind alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A:

« 2 ’3 1 
¬ ·
A=¬ 3 3·
1
¬ ’ 5 2 ’ 4·
 
2’» ’3 1
det ( A ’ » … E ) = 1’ » = ’ » 3 ’ » 2 + 2» = 0
3 3
’5 ’4’»
2
” »1 = 0; » 2 = 1; »3 = ’2

Die einzelnen Eigenwerte werden in das jeweilige (überbestimmte) homogene Gleichungssystem
eingesetzt und dessen Lösungsmenge nach bekannten Verfahren bestimmt. Diese ist dann der zum
einzelnen Eigenwert gehörende Eigenvektor. In der Regel werden die Eigenvektoren auf den Betrag
1 normiert.

Ein Spezialfall ergibt sich, wenn außer der Hauptdiagonalen der Matrix nur Nullen in ihr stehen.
Die Zahlen in der Hauptdiagonalen sind dann zugleich die Eigenwerte der Matrix.

L 0
« »1 0
¬ ·
L 0·
»2
¬0
B=¬
O M·
M M
¬ ·
¬0 L »n ·
 
0



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4. Folgen und Reihen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




4. Folgen und Reihen

4.1 Folgen

4.1.1 Teilfolge:
Unter einer Teilfolge versteht man eine Folge, die durch Wegstreichen von bestimmten Gliedern
aus einer anderen Folge, aber ohne Ver¤nderung der Reihenfolge, aus jener Folge entsteht.

4.1.2 Konvergenz:
Eine Folge oder Reihe konvergiert, wenn die Differenz zwischen einem Folgenglied (bzw. die
Folge der Partialsummen der Reihe) und dem zugehörigen Grenzwert jeden beliebigen reellen Wert
unterschreiten kann:
ak ’ a ¤ µ ” lim a k = a
k ’∞


4.1.3 Divergenz:
Eine nicht konvergente Folge (oder Reihe) heißt divergent. Sie heißt bestimmt divergent, wenn
gilt:
lim a k = ∞
k ’∞


. 1
( 6)



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