<<

. 2
( 6)



>>

4.1.4 Beschr¤nkte Folgen:
Eine Folge heißt beschr¤nkt, wenn es eine positive reelle Zahl gibt, die gegenüber dem einzelnen
Absolutbetrag jedes einzelnen Folgengliedes immer größer (oder gleich) ist. Sie ist nach unten
beschr¤nkt, wenn der Absolutbetrag |a| = ’a ist und nach oben beschr¤nkt, wenn |a| = a ist. Eine
Vektorfolge heißt beschr¤nkt, wenn der Betrag der Folgenvektoren beschr¤nkt ist. Dies wiederum
ist der Fall, wenn jede Kompnentenfolge beschr¤nkt ist.


4.1.5 Monotonie:
Wenn alle k ∈ Á sind, kann für Folgen formuliert werden:
Monoton wachsend: a k +1 ≥ a k
Streng monoton wachsend: a k +1 > a k
Monoton fallend: a k +1 ¤ a k
Streng monoton fallend: a k +1 < ak

4.1.6 Eulersche Zahl:
Die Eulersche Zahl e ist der Grenzwert einer Folge:
k
« 1
e = lim a k = lim¬1 + · ≈ 2,71828...
 k
k ’∞ k ’∞



4.1.7 Konvergenzkriterium von Cauchy:
Satz und Definition: Eine reelle oder komplexe Folge bzw. Vektorfolge ist genau dann
konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist, d.h. es gibt zum µ > 0 eine Zahl N (µ ) , für die existiert

n, m ≥ N (µ )
an ’ am ¤ µ


Seite 25
4. Folgen und Reihen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




4.1.8 Rekursiv definierte Folgen:
Die Folgenglieder werden mit Hilfe des vorherigen bestimmt, z.B.:
1
, n ∈Á
a1 = 1 , an+1 = an +
an

4.1.9 Regeln bei Grenzwertbestimmungen:

lim ± k = ∞ lim β k = ∞
lim a k = a lim bk = b
Seien gegeben :
k ’∞ k ’∞ k ’∞ k ’∞

Daraus folgt : lim(ak + bk ) = a + b
k ’∞

lim(± k + β k ) = ∞
k ’∞

lim(bk + β k ) = ∞
k ’∞

lim(c … bk ) = c … lim(bk ) = c … b
k ’∞ k ’∞

± ∞ wenn c > 0
lim(c … β k ) = c … lim(β k ) = 
’ ∞ wenn c < 0
k ’∞ k ’∞


lim(ak … bk ) = a … b
k ’∞

lim(± k … β k ) = ∞
k ’∞

«a a
· b wenn bk ≠ 0 ∀ k ∈ [1, ∞ )
lim¬ k ·=
k ’∞ ¬ b
k 
«a 
· = 0 wenn β k ≠ 0 ∀ k ∈ [1, ∞ )
lim¬ k
k ’∞ ¬ β ·
k 

4.1.10 Alternierende Folgen:
Folgen, die mit jedem Folgenglied zwischen positiven und negativen Werten schwanken, heißen
alternierende Folgen.
Beispiel: a k = (’ 1)
k ’5




4.2 Unendliche Reihen
Wird einer unendlichen Folge von Zahlen eine Summe zugeordnet, die als Summanden die
Folgenglieder haben, so heißt diese Summe unendliche Reihe. Werden nur die Folgenglieder bis
zur Stelle k addiert, so spricht man von der k-ten Partialsumme der Reihe. Die Konvergenz,
Divergenz und Monotonie wird definiert wie bei Folgen.


4.2.1 Cauchy-Kriterium für Reihen:
Es besagt analog zum Cauchy-Kriterium für Folgen, daß es zu jeder Differenz zweier
Partialsummen m und n, welche kleiner als ein µ > 0 ist, ein N (µ ) gibt, für das gilt: m ≥ n ≥ N (µ ) .
Allgemein muß gelten, daß die Folge der Partialsummen konvergiert.
1
Beispiel: Die harmonische Reihe ‘ ist divergent.
k
‘a konvergent ” lim a k = 0
Erfüllt eine Reihe das Cauchy-Kriterium, so gilt:
k ’∞
k



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4. Folgen und Reihen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




4.2.2 Majoranten- und Minorantenkriterium:

‘ ak , ak ∈¶ , l¤ßt sich sagen:
Mit der Reihe


‘b , ‘ ak , wenn ab
bk ∈… + heißt Majorantenreihe von
4.2.2.1 Die konvergente Reihe k

einer bestimmten Stelle N0 das Reihenglied bk st¤ndig größer ist als |ak|. Dann ist die Reihe ‘ a
k
absolut konvergent.


‘c , ‘ ak
ck ∈… + heißt Minorantenreihe von
4.2.2.2 Die divergente Reihe , wenn ab einer
k



‘ ak
bestimmten Stelle N0 das Reihenglied ck st¤ndig kleiner ist als |ak|. Dann ist die Reihe
k =1

‘ ak
divergent (die Reihe nicht absolut konvergent).

4.2.3 Die geometrische Reihe:


‘q q ∈¶
k
Allgemein lautet sie: ,
k =0
p
1
lim ‘ q k =
Bedingung für Konvergenz: |q| < 1:
1’ q
p ’∞
k =0
p
lim ‘ q k = ∞
Bedingung für Divergenz: |q| ≥ 1:
p ’∞
k =0



4.2.4 Das Quotientenkriterium:
Es sei ‘ a , ak ∈¶ eine beliebige Reihe. Es gilt für diese Reihe:
k
a
Für g = lim k +1 gilt :
k ’∞ a
k

g < 1 ’ ‘ ak konvergiert absolut
g > 1 ’ ‘ ak divergiert
g = 1 ’ keine Aussage über das Konvergenzverhalten möglich

4.2.5 Wurzelkriterium:
Die Reihe ‘ a , ak ∈¶ ist gegeben.
k
Für g = lim k ak gilt :
k ’∞

g < 1 ’ ‘ a k konvergiert absolut
g > 1 ’ ‘ ak divergiert
g = 1 ’ keine allgemeine Aussage über das Konvergenzverhalten möglich




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4. Folgen und Reihen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




4.2.6 Konvergenzkriterium von Leibniz für alternierende Reihen:
Ist die Folge der Reihenglieder monoton fallend und deren Grenzwert null, so ist die Reihe
konvergent.

4.2.7 Cauchy-Produkt, Satz von Mertens:
Das Cauchy-Produkt zweier Reihen wird definiert als:
∞ n

‘c mit cn = a0bn + a1bn’1 + ... + an b0 = ‘ ak … bn’ k
k
k =0 k =0


Satz von Mertens: Konvergiert eine Reihe gegen A und eine andere gegen B, so konvergiert ihr
Cauchy-Produkt gegen AB.




Seite 28
5. Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




5. Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit
5.0.1 n-dimensionale Funktionen:
Eine Funktion mit n reellwertigen Ver¤nderlichen erzeugt einen Graphen der Dimension n+1.

5.0.2 Darstellung einer n-dimensionalen Funktion:

f : z a f (z ) z ∈ A ⊆ …n
{ }
G f = f ( z ) ∈… n+1 z = ( x1 , x2 ,..., xn , f ( x1 , x2 ,..., xn ))



5.1 Grenzwerte

5.1.1 Übertragungsprinzip für Grenzwerte von Funktionen:
Der Limes einer Funktion f(x) an der Stelle x0 lautet analog zum Grenzwert von Folgen und
Reihen:
lim f ( x ) = a
x’ x 0

” für ein µ > 0 existiert ein δ (µ , x 0 ), für das gilt :
f ( x ) ’ a ¤ µ falls x ’ x 0 ¤ δ (µ , x 0 )


5.1.2 Linksseitiger Grenzwert, rechtsseitiger Grenzwert:
Man unterscheidet die Grenzwerte, die ermittelt werden, wenn man sich von links oder von
rechts an die Stelle x0 n¤hert, denn bei vielen Funktionen sind sie an bestimmten Stellen
unterschiedlich.

5.1.3 Uneigentlicher Grenzwert:
Als uneigentlichen Grenzwert bezeichnet man den Grenzwert lim f ( x ) = ±∞ .
x’ x 0



5.1.4 Stetigkeit von Funktionen:
Eine Funktion heißt stetig in x0, wenn ihr rechts- und linksseitiger Grenzwert (und
gegebenenfalls der Funktionswert) bei x0 gleich sind.


5.2 Eigenschaften stetiger Funktionen

5.2.1 Extremwertsatz von Weierstraß:
Gilt für ein gegebenes Intervall [a,b] für ein x aus diesem Intervall
f ( x1 ) ¤ f ( x ) ¤ f ( x2 )
f ( x2 ) = sup{ f ( x ) x ∈ [a, b ]}
f ( x1 ) = inf { f ( x ) x ∈ [a, b ]}
so, heißt x1 Minimum von f auf [a,b] und x2 Maximum von f auf [a,b].

5.2.2 Monotonie stetiger Funktionen:
Die Monotoniebegriffe werden ebenso definiert wie für Folgen und Reihen.

Seite 29
6. Differentialrechnung Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




6. Differentialrechnung
6.0.1 Tangente:
Die Tangente einer Funktion f an der Stelle x ist eine Gerade, die die Funktion f an der Stelle x
berührt bzw. unter dem Winkel ± = 0 schneidet.

6.0.2 Limes des Differenzenquotienten, Ableitung der Funktion f an der Stelle x:
f ( x ) ’ f ( x0 ) df
f ′( x0 ) = lim = ( x0 ) = = Df ( x0 )
df
x ’ x0
x ’ x0 dx dx x = x0

6.0.3 Differenzierbarkeit:
Die Differenzierbarkeit kann eingeschr¤nkt sein (s. Stetigkeit). Man unterscheidet deshalb
linksseitige und rechtsseitige Differenzierbarkeit.

6.1 Ableitungsregeln

6.1.1 Faktorsatz:
(c … f )′(x ) = c … f ′(x )
6.1.2 Summenregel:
( f + g )(x ) = f ′(x ) + g ′(x )

6.1.3 Produktregel:
( f … g )(x ) = f ′(x ) … g (x ) + f (x ) … g ′(x )

6.1.4 Quotientenregel:
f ′( x ) … g ( x ) ’ f ( x ) … g ′(x )
«f
¬ ·′( x ) =
¬g· g 2 (x )

6.1.5 Kettenregel:
(g o f )(x ) = g ′( f (x )) … f ′(x )


Ist die Ableitung an der Stelle x positiv, so ist die Funktion dort monoton steigend, ist die
Ableitung negativ, so ist sie dort monoton fallend. Ist sie null, so liegt ein Extrempunkt oder
Terrassenpunkt vor.

6.2 Ableitungen von reellwertigen Funktionen mehrerer Ver¤nderlicher und
von vektorwertigen Funktionen

6.2.1 Vektorwertige Funktionen und deren Ableitung:
« f1 ( x ) 
¬ ·
f 2 (x ) ·
¬
Funktion f : D a … m : f ( x ) = ¬

¬ ·
¬ f ( x )·
m 
« f1 ' ( x ) 
¬ ·
¬ f ' (x ) ·
Ableitung f ' ( x ) von f ( x ) : f ' (x ) = ¬ 2

¬ ·
¬ f ' ( x )·
m 
f'(x) ist der Richtungsvektor der Tangente an die Kurve f im Punkt (x, f(x)).

Seite 30
6. Differentialrechnung Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




6.2.2 Partielle Ableitung einer reellwertigen Funktion f:
Die partielle Ableitung einer Funktion f(x) nach xj in x0 lautet:

‚f
( x 0 ) = ‚f = f x j (x 0 )
‚x j ‚x j
x = x0



Dabei werden außer xj alle Ver¤nderlichen als Konstanten angenommen und entsprechend
behandelt.

6.2.3 Totale Ableitung bei einer Funktion f(x,y,z) im … 3 :
Geometrisch stellt die totale Ableitung f'(x) in … 3 die Tangentialebene an f(x) in x0 dar.

« 
« ¬ ·
« x « ¬ ·
x0 1 0
¬· ¬ ·¬ · + s¬ ·
¬ y· = ¬ · + t¬
ET : y0 0 1
·¬ ·
¬ z · ¬ f ( x , y )· ¬ ‚f ( x , y , f ( x , y ))· ¬ ‚f ( x , y , f ( x , y ))·
  0
 ¬ ‚y

 ‚x
0 0 0 0
0 0 0 0
 
« ‚f « ‚f
 
¬ ’ (x 0 , y 0 , f ( x0 , y 0 ))· ¬ ’ ( x0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ))·
¬ ‚x · « x  ¬ ‚x ·« 
x0
¬ · ¬ ‚f ¬ ·
¬ ’ ‚f (x , y , f ( x , y ))· … y = ’ ( x , y , f ( x , y ))· …
· ¬ · ¬ ‚y 0 0 ·¬ ·
bzw. ET : y0
¬ ‚y 0 0 0 0 0 0

· ¬z· ¬ · ¬ f ( x 0 , y 0 )·
¬   
1 1
¬ · ¬ ·
   

6.2.4 Gradient:
Als Gradient der Funktion f in x0 wird dieser (transponierte)Vektor a bezeichnet:

a = (grad f )( x 0 ) = (X )( x 0 ) = ( f ' ( x 0 ))
T
f

Hierbei ist X der Nabla-Operator, der in Kapitel 16.3 n¤her beschrieben wird.

grad f = X = f xT = ( f ')
T
Als Gradient oder Gradientenfeld von f bezeichnet man: f

6.2.5 Partielle Ableitung einer vektorwertigen Funktion:
Die partiellen Ableitungen einer solchen Funktion werden nur komponentenweise erkl¤rt. Es gilt:

«‚ 
f1 (x ) ·
¬
f 1 ( x )  ¬ ‚x j ·
«
¬ ·¬ ·
f 2 ( x )· ¬ ‚ f 2 ( x )·
‚ ‚¬
f (x ) = · = ¬ ‚x j
‚x j ¬ ·
M
‚x j
M
¬ ·¬ ·
¬ f n ( x )· ¬ ‚
  ·
f n ( x )·
¬ ‚x
j 




Seite 31
6. Differentialrechnung Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




Die totale Ableitung an einer Stelle x0 ergibt eine Matrix. Für sie gilt:

« ‚f 1 ‚f 1 ‚f 1
( x 0 )
(x 0 ) (x 0 ) L
¬ ·
‚x1 ‚x 2 ‚x n
¬ ·
¬ ‚f 2 ‚f 2 ‚f 2
( x 0 )·
(x ) (x 0 ) L
A = f x ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) = ¬ ‚x1 0 ·
‚x 2 ‚x n
¬ ·
M M O M
¬ ·
¬ ‚f m ( x ) ‚f m ‚f m
( x 0 )·
(x 0 ) L
¬ ‚x ·
‚x 2 ‚x n
0
1 
Dies ist eine (m,n)-Matrix.

Wird ein weiteres Mal abgeleitet, so entsteht die sogenannte Hessesche Matrix.


Beispiel zu vektorwertigen Funktionen:
Gegeben als Funktion ist das Vektorprodukt. Gesucht ist die erste Ableitung.

« a1  « x1  « a 2 x3 ’ a 3 x 2 
¬ ·¬ ·¬ ·
f ( x ) = a — x = ¬ a 2 · — ¬ x 2 · = ¬ a 3 x1 ’ a1 x3 ·
¬a · ¬ x · ¬ a x ’ a x ·
 3  3  1 2 2 1

’ a3
«0 a2 
¬ ·
f ' ( x ) = ¬ a3 ’ a1 ·
0
¬’ a 0·
2 
a1

6.2.6 Ableitungsregeln für vektorwertige Funktionen:
Analog zu reellwertigen Funktionen einer Ver¤nderlichen gelten der Faktorsatz und die
Summenregel.
« ( f … g ) x1 
¬ ·
X( f … g ) = ¬ M · = g …X + f …X
Die Produktregel für m = 1: f g
¬
( f … g ) xn ·
 
Es handelt sich also um eine (n,1)-Matrix.
Für weiteres zum Nabla-Operator X siehe Kapitel 16.3 .

(g o f ) (x ) = g ( f (x ))… f (x )
Die Kettenregel mit y 0 = f ( x 0 ) : 0 0 0
x y x




Seite 32
7. Potenzreihen und elementare Funktionen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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7. Potenzreihen und elementare Funktionen

7.1 Exponentialfunktion und Logarithmus

7.1.1 (Komplexe) Exponentialfunktion:

zk
exp( z ) = ‘
Sie lautet:
k = 0 k!



7.1.2 Reelle Exponentialfunktion:

xk
exp( x ) = e = ‘x
Sie lautet:
k = 0 k!



7.1.3 Umkehrfunktion ln(x):
Sie heißt natürlicher Logarithmus. e ln ( x ) = x

7.1.4 Reelle Exponentialfunktion zur Basis a:
a x = e x…ln (a )
Sie lautet:

7.1.5 Logarithmus zur Basis a:
ln ( x )
log a ( x ) =
Er lautet:
ln (a )

7.1.6 Ableitungen von Exponentialfunktionen:

(e )′ = e
x x



(a )′ = a … ln (a )
x x




7.1.7 Ableitungen von Logarithmusfunktionen:
(ln(x ))′ = 1
x
(log a (x ))′ = 1
ln (a ) … x

7.1.8 Wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktion:
Für a > 0 gilt:
1
a ’x = x
a
a x1 … a x2 = a x1 + x2
(a ) ()
x1 x2 x1
= a x1…x2 = a x2
(a … b )x = a x … b x
a0 = 1


Seite 33
7. Potenzreihen und elementare Funktionen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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7.1.9 Wichtige Eigenschaften der Logarithmusfunktion:
log a ( x … y ) = log a x + log a y
()
log a x y = y … log a x
1
1’ ¤ ln x ¤ x ’ 1 alles gültig für a > 0 , a ≠ 1 und x, y > 0
x


7.1.10 Die Graphen von ex und ln(x):
4

y

3

y = ex

2



1 y = ln(x )



0
’4 ’3 ’2 ’1 0 1 2 3 4
x


’1



’2



’3
Exponential- und
Logarithmus-Funktion
’4


Abbildung 2: Die Graphen von ex und ln(x)




7.2 Trigonometrische Funktionen

7.2.1 Sinusfunktion:
(’ 1)k … z 2k +1

sin (z ) = ‘
k =0 (2k + 1)!


7.2.2 Cosinusfunktion:
(’ 1)k … z 2k

cos( z ) = ‘
k =0 (2k )!




Seite 34
7. Potenzreihen und elementare Funktionen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




7.2.3 Wichtige Eigenschaften der Sinus- und Cosinus-Funktionen:

7.2.3.1 Symmetrie:

cos(’ z ) = cos( z )
sin (’ z ) = ’ sin ( z )

7.2.3.2 Eulersche Formeln:


( )
sin ( z ) =
1 iz
e ’ e ’iz
2i
( )
cos( z ) = e iz + e ’iz
1
2

cos 2 ( z ) + sin 2 ( z ) = 1
7.2.3.3 Pythagoras:

7.2.3.4 Additionstheoreme:

sin ( z + w) = sin ( z ) … cos(w) + cos( z ) … sin (w)
cos( z + w) = cos( z ) … cos(w) ’ sin ( z ) … sin (w)

7.2.3.5 Periodizit¤t:

π
«
sin ¬ z + · = cos( z )
 2
π
«
cos¬ z + · = ’ sin ( z )
 2
sin (z + π ) = ’ sin ( z )
cos(z + π ) = ’ cos( z )
sin ( z + 2π ) = sin ( z )
cos( z + 2π ) = cos( z )

7.2.3.6 Ableitungen der reellwertigen Funktionen:

sin ′( x ) = cos( x )
cos ′( x ) = ’ sin ( x )




Seite 35
7. Potenzreihen und elementare Funktionen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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7.2.4 Die Graphen von sin(x), cos(x), Arcsin(x) und Arccos(x)1:

3
y

2,5

y=
Arccos(x )
2

y = Arcsin(x )
1,5



1
y = sin(x )

y = cos(x )
0,5



0
’π ’π/2 0 π/2 π
x

’0,5



’1

Trigonometrische Funktionen
’1,5

Abbildung 3: Die Graphen von sin(x), cos(x), Arcsin(x) und Arccos(x)



7.2.5 Reelle Tangensfunktion, reelle Cotangensfunktion:

sin ( x )
tan ( x ) =
cos( x )
cos( x )
cot ( x ) =
sin ( x )

7.2.5.1 Wichtige Grenzwerte:
lim (tan ( x )) = ’∞
π
x’ ’ +
2

lim (tan ( x )) = ∞
π
x’ ’
2

lim (cot ( x )) = ∞
x ’0 +

lim (cot ( x )) = ’∞
x ’π ’




1
Umkehrfunktionen siehe Kapitel 7.2.7
Seite 36
7. Potenzreihen und elementare Funktionen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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7.2.5.2 Periodizit¤t:
π
«
tan¬ x + · = ’ cot ( x ) x ≠ nπ
 2
π 2n + 1
«
cot¬ x + · = ’ tan ( x ) x≠ π
 2 2

7.2.5.3 Additionstheoreme:

tan ( x ) + tan ( y ) 2n + 1
tan ( x + y ) = y ≠ ’x + π
1 ’ tan ( x ) … tan ( y ) 2
cot ( x ) … cot ( y ) ’ 1
cot ( x + y ) = y ≠ ’ x + nπ
cot ( x ) + cot ( y )

7.2.5.4 Ableitungen:

2n + 1
tan ′( x ) =
1
x≠ π
cos 2 ( x ) 2

cot ′( x ) = ’ 2
1
x ≠ nπ
sin ( x )


7.2.6 Die Graphen von tan(x), cot(x), Arctan(x) und Arccot(x)1:
4

y


y = cot(x ) y = tan(x )


2
y = Arccot(x )




0
’π ’π/2 0 π/2 π
x

y = Arctan(x )




’2




Tangens- und
Cotangens-Funktionen

’4


Abbildung 4: Die Graphen von tan(x), cot(x), Arctan(x) und Arccot(x)



1
Umkehrfunktionen siehe Kapitel 7.2.7
Seite 37
7. Potenzreihen und elementare Funktionen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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7.2.7 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen:
Weil bei trigonometrischen Funktionen immer nur ein Intervall von einer halben Periode
eineindeutig ist, werden die Umkehrfunktionen für einzelne Intervalle definiert. Diese tragen einen
Index n, der besagt, an der wievielten Periode die jeweilige Funktion umgekehrt wurde.
® 2 n ’ 1 2n + 1 
arcsin n : [’ 1,1] ’  π, π
° »
2 2
arccos n : [’ 1,1] ’ [nπ , (n + 1)π ]
® 2 n ’ 1 2n + 1 
arctan n : [’ ∞, ∞ ] ’  π, π
°2 »
2
arccot n : [’ ∞, ∞ ] ’ [nπ , (n + 1)π ]

n = 0 beschreibt die Hauptzweige der Umkehrfunktionen:
arcsin 0 ( x ) = Arcsin( x )
arccos 0 ( x ) = Arccos( x )
arctan 0 ( x ) = Arctan( x )
arccot 0 ( x ) = Arccot( x )

7.2.7.1 Symmetrie-Eigenschaften:
Mit x ∈ (’ ∞, ∞ ) gilt:
arctan n ( x ) = Arctan( x ) + nπ
arccot n ( x ) = Arccot( x ) + nπ
Mit x ∈ [’1,1] gilt:
Arcsin( x ) = ’ Arcsin(’ x )
arcsin 2 n ( x ) = Arcsin( x ) + 2n … π
arcsin 2 n+1 ( x ) = ’ Arcsin( x ) + (2n + 1) … π
π
Arcsin( x ) = ’ Arccos( x )
2
π
arccos n ( x ) = arcsin n+1 ( x ) ’
2

7.2.7.2 Ableitungen:
Mit x ∈ [’1,1] gilt:
(’ 1)n

arcsin n ( x ) =
1’ x2

Arcsin ′( x ) =
1
1’ x2
(’ 1)n

arccos n ( x ) = ’
1’ x2
Arccos ′( x ) = ’
1
1’ x2




Seite 38
7. Potenzreihen und elementare Funktionen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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Mit x ∈ (’ ∞, ∞ ) gilt:

arctan n ( x ) =
1
1+ x2

arccot n ( x ) = ’
1
1+ x2

Allgemein l¤ßt sich über diese Umkehrfunktionen sagen, daß sie durch Spiegelung der
ursprünglichen Funktion an der Geraden y = x erzeugt werden.



7.3 Hyperbolische Funktionen

7.3.1 Sinus hyperbolicus:
z 2 k +1

sinh ( z ) = ‘
k = 0 (2 k + 1) !

7.3.2 Cosinus hyperbolicus:

z 2k
cosh (z ) = ‘
k = 0 (2k ) !
7.3.3 Schreibweise mit Exponentialfunktionen:
sinh ( z ) = … (e z ’ e ’ z )
1
2
cosh ( z ) = … (e z + e ’ z )
1
2
’ cosh 2 ( z ) ’ sinh 2 ( z ) = 1

7.3.4 Symmetrie-Eigenschaften:

sinh (’ z ) = ’ sinh (z )
cosh (’ z ) = cosh ( z )

7.3.5 Additionstheoreme:
sinh ( z + w) = sinh z … cosh w + sinh w … cosh z
cosh ( z + w) = sinh z … sinh w + cosh z … cosh w

7.3.6 Zusammenhang mit der sin- bzw. cos-Funktion:

sin (iz ) = i … sinh z
sinh (iz ) = i … sin z
cos(iz ) = cosh z
cosh (iz ) = cos z

7.3.7 Moivresche Formel:
(cosh z + sinh z )n = cosh (nz ) + sinh (nz )

Seite 39
7. Potenzreihen und elementare Funktionen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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7.3.8 Ableitungen:

(sinh z )′ = cosh z
(cosh z )′ = sinh z
7.3.9 Grenzwerte:

lim sinh x = ±∞
x ’±∞

lim cosh x = ∞
x ’±∞


7.3.10 Umkehrfunktionen:

7.3.10.1 Area sinus hyperbolicus:

arsinh : … ’ …
” arsinh (sinh x ) = x
sinh (arsinh y ) = y

7.3.10.2 Area cosinus hyperbolicus:

arcosh + : [1, ∞ ) ’ [0, ∞ )
arcosh ’ : [1, ∞ ) ’ (’ ∞,0]

7.3.10.3 Schreibweise mit natürlichem Logarithmus:

)
(
Für x ∈… gilt : arsinh x = ln x + x 2 + 1
’ 1)
x = ln (x ±
Für x ∈ [1, ∞ ) gilt : x2
arcosh ±

7.3.10.4 Ableitungen der Umkehrfunktionen:

(arsinh x )′ = 1
x2 +1
(arcosh ± x )′ = für alle x ∈ (1, ∞ )
1
± x ’1 2




Seite 40
7. Potenzreihen und elementare Funktionen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




7.3.11 Die Graphen von sinh(x), cosh(x), arsinh(x) und arcosh(x):
3
y



2



y = cosh(x )
y = Arcosh+(x )
1




0
x
’3 ’2 ’1 0 1 2 3



’1 y = Arcosh-(x )
y = Arsinh(x )



’2
y = sinh(x )


Hyperbolische Sinus-
und Cosinus-Funktionen
’3


Abbildung 5: Die Graphen von sinh(x), cosh(x), arsinh(x) und arcosh(x)


7.3.12 Reeller Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus:

sinh x
tanh x =
cosh x
cosh x
coth x = für x ≠ 0
sinh x

7.3.12.1 Additionstheoreme:

tanh x1 + tanh x 2
tanh ( x1 + x 2 ) =
1 + tanh x1 … tanh x 2
1 + coth x1 … coth x 2
coth ( x1 + x 2 ) = für x1 ≠ 0, x 2 ≠ 0, x1 + x 2 ≠ 0
coth x1 + coth x 2



7.3.12.2 Grenzwerte:

lim tanh x = ±1
x ’±∞

lim coth x = ±1
x ’±∞

lim coth x = ±∞
x ’ 0±




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7. Potenzreihen und elementare Funktionen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




7.3.12.3 Ableitungen:


(tanh x )′ = 1
cosh 2 x
(coth x )′ = 1 2 x≠0
sinh x

7.3.13 Umkehrfunktionen:
Area tangens hyperbolicus und Area cotangens hyperbolicus:

(- 1,1) ’ …
artanh :
arcoth : {x x ∈ [- 1,1], x ∈ …} ’ {x x ≠ 0, x ∈ …}

Ferner gilt:
y für y ∈ [- 1,1]
tanh (artanh y ) =
artanh (tanh x ) = x für x ∈ …
y für y ∉ [- 1,1]
coth (arcoth y ) =
arcoth (coth x ) = x für x ≠ 0

7.3.13.1 Schreibweise mit natürlichem Logarithmus:

1 «1+ x 
· für x ∈ (’ 1,1)
artanh x = ln¬
2 1’ x 
1 «1+ x 
· für x ∉ (’ 1,1)
arcoth x = ln¬
2 1’ x 

7.3.13.2 Ableitungen:


(artanh x )′ = für x ∈ (’ 1,1)
1
1’ x2
(arcoth x )′ = 1 2 für x ∉ (’ 1,1)
1’ x




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7. Potenzreihen und elementare Funktionen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




7.3.14 Die Graphen von tanh(x), coth(x), artanh(x) und arcoth(x):
3


y




y = coth(x )

1


y = tanh(x )


x
’3 ’1 1 3
y = arcoth(x )



’1
y = artanh(x )




Hyperbolische Tangens-
und Cotangens-Funktionen
’3


Abbildung 6: Die Graphen von tanh(x), coth(x), artanh(x) und arcoth(x)




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8. Anwendung der Differentialrechnung Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




8. Anwendung der Differentialrechnung
8.1 Der Mittelwertsatz und einfache Anwendungen

8.1.1 Satz von Rolle:
Ist eine stetige Funktion f(x) an den R¤ndern eines Intervalls [a,b] null ( d.h. f(a)=0 und f(b)=0 )
und innerhalb dieses Intervalls differenzierbar, so hat diese Funktion innnerhalb dieses Intervalls
mindestens ein Extremum mit f'(x)=0.

8.1.2 Erster Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
Im Intervall [a,b] sei f(x) stetig und differenzierbar. Dann gibt es in [a,b] mindestens ein x, für das gilt:

f (b ) ’ f (a )
= f ′( x )
b’a

8.1.3 Addition einer Konstanten:
Sind die Funktionen f und g differenzierbar im Intervall [a,b] und gilt f'(x) = g'(x) für alle x dieses
Intervalls, so gibt es eine Konstante C, für die gilt: f = g + C.

0
8.1.4 Regel von l'Hospital für den Fall :
0
Wenn lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 und g ′( x ) ≠ 0 ist, dann gilt :
x ’ x0 x ’ x0

f (x ) f ′( x )
= lim
lim
g ( x ) x’ x0 g ′( x )
x ’ x0




8.1.5 Regel von l'Hospital für den Fall :

Wenn lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ und g ′( x ) ≠ 0 ist, dann gilt :
x ’ x0 x ’ x0

f (x ) f ′(x )
= lim
lim
x ’ x0 g ( x ) x ’ x0 g ′( x )

f
Ggf. betrachtet man ’ .
’g

8.1.6 Grenzwerte anderer Formen:

0
Grenzwerte der Formen 0 … ∞ , ∞ ’ ∞ , 00 , 1∞ und ∞ 0 können auf die F¤lle oder

0
zurückgeführt werden.



8.2 Taylorformel und Taylorreihe bei Funktionen einer Ver¤nderlichen

f ( x ) = Tn ( x ) + Rn ( x ) . Hierbei ist
Jede Funktion f(x) l¤ßt durch ein Polynom Tn(x), für das gilt:
Rn(x) ein Restglied ist, das den vorhandenen Fehler ausgleicht.


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8. Anwendung der Differentialrechnung Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




8.2.1 Taylorformel:
Ist die Funktion f(x) (n+1)-fach differenzierbar, so gilt für deren Taylorpolynom:

644444444=Tn (4044 744ten Grades 44444444
4 x , x ) Taylorpolynom n - 444
4 8
f ′′(x 0 ) f ( x0 )
(n )
f (x ) = f (x 0 ) + f ′(x 0 ) … (x ’ x0 ) + … (x ’ x0 ) + K + … ( x ’ x 0 ) + Rn ( x , x 0 )
2 n
1 24
43
2! n! Lagrangesches Restglied


f (n +1) (ξ )
mit ξ ∈ [x, x0 ]
R n ( x, x 0 ) = … (x ’ x0 )
n +1

(n + 1)!
Beispiel: Taylorformel um x0 = 0 für die Funktion f(x) = ex innerhalb des Intervalls [’1,1].
x 2 x3 x 4 1
e = 1+ x + ++ +δ δ<
x

2 6 120 120
T 2( x ) = 1 + x
x 2 x3
T 4( x ) = 1 + x + +
2 6
3

y

2,5 y = exp(x )


y = T4(x )

2


y = T2(x )

1,5




1




0,5

Exponentialfunktion angen¤hert
durch Taylorpolynome
0
x
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0




Abbildung 7: Exponentialfunktion angen¤hert durch Taylorpolynome

<<

. 2
( 6)



>>