<<

. 3
( 6)



>>


8.2.2 Taylorreihe, MacLaurin-Reihe:
Ist die Funktion f(x) beliebig oft differenzierbar, so konvergiert deren Taylorreihe, welche
folgendermaßen lautet:
f ( x0 )
(k )

f (x ) = ‘ … (x ’ x0 )
k

k!
k =0


Für x0 = 0 heißt sie MacLaurin-Reihe.


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8. Anwendung der Differentialrechnung Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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Beispiel: Die MacLaurin-Reihenentwicklung der folgenden Funktion f(x):

f ( x ) = (1 + x )
±


± … (± ’ 1) 2 ± … (± ’ 1) … (± ’ 2)L (± ’ k + 1) k
… x +K+ x +K
= 1+± … x +
2! k!
± … (± ’ 1) … (± ’ 2)L (± ’ k + 1) k
n
x + Rn ( x )
=‘
k!
k =0

«± 
±
= ‘ ¬ ·x k
¬·
k =0  k 




8.3 Kurvendiskussion

Vorgehensweise:
Erstens: Bestimmung des Definitionsbereiches
Zweitens: Bestimmung der Nullstellen (mit der x-Achse)
Drittens: Bestimmung der Unstetigkeitsstellen bzw. der
Grenzwerte der Funktion (falls möglich) an den
R¤ndern des Definitionsbereiches
Viertens: Bestimmung der Ableitung an den R¤ndern des
Definitionsbereiches
Fünftens: Bestimmung des qualitativen Verlaufs des Graphen mit
relativen Extremwerten ( Nullstellenmenge von f'(x) )
Sechstens: Bestimmung der Wendepunkte ( Nullstellenmenge von f''(x) )
Siebtens: Bestimmung von Monotonieintervallen ( einheitlich in den
Bereichen zwischen den Nullstellen von f'(x) )
Achtens: Bestimmung von Konvexit¤ts- und Konkavit¤tsbereichen


8.3.1 Asymptote:
Eine Asymptote an eine Funktion f(x) ist diejenige Gerade g(x) = ax + b, für die gilt:

lim [ f ( x ) ’ g ( x )] = 0
x ’ +∞



Bestimmung von g(x):

f (x )
=a
lim
x ’ ±∞ x
lim [ f ( x ) ’ ax ] = b
x ’ ±∞



Die Funktion f(x) hat eine senkrechte Asymptote an der Stelle x0, falls sie dort einen uneigent-
lichen Grenzwert besitzt.




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Beispiel: (Graph s. rechts) Asymptoten an die Funktion f(x):
12


f (x ) = 2 x + + 3
y
1
10
x y = f (x )


g (x ) = 2 x + 3 (schr¤ge Asymptote) 8

(senkrechte Asymptote)
x0 = 0 y = g (x )
6



4



2



0
x
-3 -2 -1 0 1 2 3

-2



-4



-6

8.3.2 Konvexit¤t, Konkavit¤t:

8.3.2.1 Konvexit¤tskriterium: Ist die erste Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) in einem
Intervall [a,b] monoton steigend, d.h. die zweite Ableitung
f''(x) > 0, so heißt die Funktion f(x) konvex auf [a,b].
8.3.2.2 Konkavit¤t: Eine Funktion f(x) heißt konkav auf [a,b], wenn ’f(x) dort konvex ist.


Beispiel: Graph der Funktion f(x) = sin(x) + 0,5
2

f (x )
relatives Maximum relatives Maximum
1,5




Konkaver Bereich
1

Wendepunkt
Wendepunkt
Konkaver
Bereich
0,5
y-Achsenabschnitt



Nullstelle Nullstelle
0
0 π 2π
Konvexer Bereich x



’0,5
relatives Minimum

f (x ) = sin(x ) + 0,5

’1

Abbildung 8: Bezeichnungen am Funktionsgraphen



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8.4 Satz von Taylor für Funktionen mehrerer Ver¤nderlicher,
Anwendungen auf Extremwertaufgaben

8.4.1 Taylorsche Reihe für Funktionen zweier Ver¤nderlicher:
8.4.1.1 Erste Form der Darstellung:
‚f ( x, y )
( x ’ a ) + ‚f ( x, y )
f ( x, y ) = f (a, b ) + ( y ’ b) +
‚x ( x , y ) = ( a , b ) ‚y ( x , y ) = ( a , b )

1 ± ‚ 2 f ( x, y ) ‚f ( x, y ) ‚ 2 f ( x, y ) 
 2
(x ’ a ) + 2 (x ’ a )( y ’ b ) + (x ’ b)  +
+
2

2  ‚ x ( x , y ) =( a , b ) ‚x‚y ( x , y )=( a ,b ) ‚ y ( x , y ) = ( a ,b )
2 2

 
{K} + K + 1 {K} + Rn
1
+
6 n!
8.4.1.2 Zweite Form der Darstellung:
2
1« ‚ ‚ 1«‚ ‚
f ( x + h, y + k ) = f ( x, y ) + ¬ h + k · f ( x, y ) + ¬ h + k · f (x, y ) +
1! ¬ ‚x ‚y · 2! ¬ ‚x ‚y ·
   
3 n
1«‚ ‚ 1«‚ ‚
+ ¬ h + k · f ( x, y ) + K + ¬ h + k · f ( x, y ) + Rn
3! ¬ ‚x ‚y · n! ¬ ‚x ‚y ·
   
8.4.1.3 Das Restglied lautet:
n +1
1 «‚ ‚
f (x + ˜h, y + ˜k ) (0 < ˜ < 1)
¬ h + k·
Rn =
(n + 1)! ¬ ‚x ‚y ·
 

8.4.2 Taylorsche Reihe für Funktionen von m Ver¤nderlichen:
Die Darstellung erfolgt analog mit Differentialoperatoren.

8.4.2.1 Taylor-Reihe:
f ( x1 + h1 , x2 + h2 , K , xm + hm ) = f ( x1 , x2 , K , xm ) +
i
1« ‚ 
‚ ‚
n
hm · f ( x1 , x2 , K , xm ) +
+‘ ¬ h2 + K +
h1 +
¬ ‚x m ·
i =1 i!  ‚x1 ‚x 2 
+ Rn
8.4.2.2 Restglied:
n +1
1 «‚ 
‚ ‚
f ( x1 + ˜1h1 , x2 + ˜ 2 h2 ,K, xm + ˜ m hm )
h2 + K +
¬ hm ·
Rn = h1 +
(n + 1)! ¬ ‚x1 ‚x m ·
‚x 2
 
(0 < ˜i < 1)
8.4.3 Relative und absolute Extrema:
8.4.3.1 Eine Funktion f besitzt im Punkt x0 ein strenges relatives Maximum, wenn die
Funktionswerte der Punkte des n¤chsten Umkreises (δ > 0) um f(x0) vom Betrag kleiner sind als
f(x0). Bei relativen Maxima ist die Gleichheit der Funktionswerte zugelassen. f(x0) ist ein
entsprechendes Minimum, wenn ’f(x0) ein entsprechendes Maximum ist.
8.4.3.2 Eine Funktion f besitzt im Punkt x0 ein strenges absolutes Maximum, wenn die
Funktionswerte aller anderen Punkte im Definitionsbereich von f vom Betrag kleiner sind als f(x0).
Bei absoluten Maxima ist die Gleichheit der Funktionswerte zugelassen. f(x0) ist ein
entsprechendes Minimum, wenn ’f(x0) ein entsprechendes Maximum ist.


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8.4.3.3 Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn eine Funktion f an der Stelle x0 zwar nur Ableitungen
vom Betrag Null hat, die obenstehenden Bedingungen aber nicht erfüllt sind.

Beispiel: Der Punkt (0,0) der folgenden Funktion ist ein Sattelpunkt.
f ( x, y ) = x 2 ’ y 2
f x = 2 x, f y = ’2 y, f x (0,0) = f y (0,0) = 0

8.4.4 Hinreichende Bedingung für strenge relative Extrema:
Eine Funktion f sei im Intervall I = (a, b ) — (c, d ) 2-fach differenzierbar und bilde … 2 auf … ab.
Es sei der Vektor ( x0 , y0 ) ∈ I .

8.4.4.1 Strenge relative Maxima:
Wenn nun f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0 und f xx ( x0 , y0 ) … f yy ( x0 , y0 ) ’ f xy ( x0 , y0 ) > 0 w¤hrend
2


f yy ( x 0 , y 0 ) < 0 ist, dann liegt in (x0,y0) ein strenges relatives Maximum vor.

8.4.4.2 Strenge relative Minima:
Wenn nun f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0 und f xx ( x0 , y0 ) … f yy ( x0 , y0 ) ’ f xy ( x0 , y0 ) > 0 w¤hrend
2


f yy ( x0 , y0 ) > 0 ist, dann liegt in (x0,y0) ein strenges relatives Minimum vor.

8.4.5 Satz über implizite Funktionen:
{( ) }
Es sei n,m∈Á mit n>m und … n = … n’ m — … m = x, y x ∈… n’ m , y ∈… m , D ‚ … n offen,
(x , y )∈ D , es gelte ferner:
0 0



1.) F : D ’ … m ist k-fach stetig partiell differenzierbar,

( )
2.) F x 0 , y 0 = 0 und

( )
3.) D y F x 0 , y 0 ist nichtsingul¤r, der Betrag der Determinante der Ableitungmatrix also ungleich Null.


Dann gibt es eine offene Umgebung U ‚ … n’ m von x0 und eine offene Umgebung V ‚ … m von y0
mit U — V ‚ D und es existiert eine k-fach partiell differenzierbare implizite Funktion f : U ’ V .
Sie hat folgende Eigenschaften:

()
F x, y = 0 ” y = f ( x ), für alle x ∈ U und für alle y ∈ V
a)
Insbesondere: y 0 = f (x 0 ) .

( ) ( )
Dx F x, f (x ) + D y F x, f ( x ) … D f ( x ) = 0, für alle x ∈ U
b)
[( )] ( )
Insbesondere: D f ( x 0 ) = ’ D y F x 0 , y 0
’1
… Dx F x 0 , y 0 .

Angewendet werden kann dieser Satz beispielsweise auf nichtlineare Gleichungssysteme, deren
Variablen in Abh¤ngigkeit einer anderen dargestellt werden sollen.



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Beispiel:
Gegeben ist das folgende nichtlinare Gleichungssystem:
± e x … cos( y ) … sin ( z ) + y 2 = 0


2 x … cos( y 2 z ) + sin ( y + x 2 ) = 0


Geschrieben im Format nach dem Satz über impliziten Funktionen:
« F1 ( x, y, z )  « e x … cos( y ) … sin ( z ) + y 2 
F ( x, y , z ) = ¬
¬ F ( x, y, z )· = ¬ 2 x … cos y 2 z + sin y + x 2 ·
() ( )
·¬ ·
2  

Es ist F (0,0,0) = 0.

Gesucht sind nun y(x) und z(x).

Die Voraussetzungen 1.) bis 3.) sind erfüllt. Es ist
« DF1  « F1x F1 y F1z 
¬ DF · = ¬ F ·
DF = ¬ ·¬ ·
 2   2 x F2 y F2 z 
e x … cos( y ) … sin ( z ) ’ e x … sin ( y ) … sin ( z ) + 2 y e x … cos( y ) … cos( z ) 
«
=¬ ·
() ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))
¬ 2 … cos y 2 z + cos y + x 2 … 2 x 2 x … ’ sin y 2 z … 2 yz + cos y + x 2 2·
2 x … ’ sin y z … y 
2

« 0 0 1
’ D F (0,0,0 ) = ¬ ¬ 2 1 0· ·
 
« 0 1
’ D( y , z )T F (0,0,0 ) = ¬ ¬1 0· ·
 
« 0 1
’ D( x , z )T F (0,0,0 ) = ¬ ¬ 2 0· ·
 

(0,0,0) = «
0 0
¬
¬ 2 1·
’ D( x , y )T F ·
 

Aus den Betr¤gen der jeweiligen Determinanten wird sofort ersichtlich, daß nach y(x) und z(x)
sowie nach x(y) und z(y) aufgelöst werden kann. Dagegen ist für die Auflösung nach x(z) und y(z)
die Anwendung des Satzes über Implizite Funktionen für die nicht möglich.


8.4.6 Die Lagrangesche Multiplikatorregel:

8.4.6.1 Es seien die Funktionen f , g : … n ’ … stetig partiell differenzierbar. Ferner liege an der
{ }
Stelle x0 ein relatives Extremum von f eingeschr¤nkt auf die Menge x ∈ … n g ( x ) = 0 vor.
( ) ≠ 0 . Dann gibt es ein » ∈… mit Df (x ) = » … Dg (x ) .
0 0 0
Außerdem gelte Dg x

L( x ) = f ( x ) ’ » … g ( x )
8.4.6.2 Lagrangesche Funktion L:
()0
f xn x
8.4.6.3 Lagrangescher Multiplikator »: » =
(x )
0
g xn


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Beispiel:
Gesucht werden die Scheitelpunkte der Ellipse gegeben durch x 2 + xy + y 2 ’ 3 = 0 .
Formuliert man die Aufgabenstellung gem¤ß der Lagrangeschen Multiplikatorregel um, so ergibt
sich f ( x, y ) = x 2 + y 2 (Kreisgleichung) unter der Bedingung, daß g ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 ’ 3 = 0 .
Die entsprechende Lagrangesche Funktion lautet dann:

DL( x, y ) = 0 ” D[ f ( x, y ) ’ » … g ( x, y )] = 0
± f x ’ » … g x = 2 x ’ » … (2 x + y ) = 0

 f y ’ » … g y = 2 y ’ » … (2 y + x ) = 0
2x
Mit » = , 2x + y ≠ 0
2x + y

Daraus folgt dann
x = ±y
±3 y 2 ’ 3 = 0

’ g (± y, y ) = y ± y + y ’ 3 =  2
2 2 2

y ’ 3 = 0

’ y1, 2 = ±1
y 3, 4 = ± 3
Extremstellen :
( ) (’ )
(1,1) (’ 1,’1) 3 ,’ 3 3, 3


8.5 Fehler- und Ausgleichungsrechnung

Physikalisch ermittelte (gemessene) Zusammenh¤nge und deren entsprechend beschreibende
Funktion stimmen nie genau überein. Es bleibt immer eine Differenz zwischen der Folge der gemes-
senen Werte und der eigentlichen Funktion. Man kann diese Funktion den gemessenen Werten
anpassen, indem sie so zwischen die Folge der Meßwerte gelegt wird, daß die Summe der Quadrate
der jeweiligen Differenz minimal wird.

Geht man aus von der Funktion
f : … n+1 ’ …
(x, a1 , a 2 , K, a n ) a f (x, a1 , a 2 ,K, a n ) ,
bei der ai Parameter sind, die bei einer Vorgabe von k Meßpunkten ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ),K , (x k , y k )
so bestimmt werden sollen, daß die quadratische Fehler-Funktion ¦: … n ’ … definiert durch
k
¦(a1 , K , an ) = ‘ [ yi ’ f ( xi , a1 , K , an )]
2

i =1

in (a , K , a ) ein Minimum hat. Im linearen Fall bestimmt man anhand der Meßpunkte die
0 0
1 n

Ausgleichsgerade f(x,a,b) = ax + b.




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8. Anwendung der Differentialrechnung Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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8.5.1 Das Fehlerfortpflanzungsgesetz:

8.5.1.1 Systematische Fehler entstehen durch meßtechnische M¤ngel und können nur durch
Verbesserung der jeweiligen Meßapparatur minimiert werden.

8.5.1.2 Statistische Fehler sind auf Meßungenauigkeit beeintr¤chtigende Vorkommnisse
zurückzuführen, wie beispielsweise Ablesefehler, Luftfeuchtigkeit,... Verbessert werden
sie durch h¤ufige Wiederholung derselben Messung.

8.5.2 Arithmetischer Mittelwert, Streuung:

Für sie gilt:

1n
Arithmetischer Mittelwert: x = ‘ xi
n i =1

( )
1n
‘ xi ’ x
2
Streuung: s =
n i =1




Seite 52
9. Integralrechnung Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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9. Integralrechnung


9.1 Definition der Stammfunktion


9.1.1 Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x):

Es gilt Folgendes:
F ( x ) = « f ( x ) … dx
F ′( x ) = f (x )
bzw.
b

« f (x ) … dx
Wenn eine solche Funktion F(x) existiert, so heißt f(x) integrierbar und das
a

(bestimmte) Riemann - Integral von f in den Grenzen x1 = a (untere Grenze) und x2 = b (obere
Grenze).


9.1.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Eine im Intervall [a,b] stetige Funktion f(x) mit der Stammfunktion F(x) schließt mit der x-Achse
b

« f (x ) … dx = F (b ) ’ F (a ) ein.
die Fl¤che
a




9.2 Eigenschaften und Anwendungen von Integralen

9.2.1 Bogenl¤nge einer Raumkurve K im Intervall [a,b]:

Für sie gilt allgemein:

′2 ′2 ′2
l (K ) = « f1 ( x ) + f 2 ( x ) + f 3 ( x ) … dx = « f ' ( x ) … dx
b b

a a



Der letzte Term gilt auch für Kurven im … n .




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9. Integralrechnung Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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9.2.2 Wichtige Eigenschaften von Riemann-Integralen:

b a

« f (x ) … dx = ’ « f (x ) … dx
a b
a

« f (x ) … dx = 0
a
b b b

« [ f (x ) + g (x )] … dx = « f (x ) … dx + « g (x ) … dx
a a a
b b

« γ … f (x ) … dx = γ … « f (x ) … dx
a a
b c b
mit c ∈ [a, b]
« f (x ) … dx = « f (x ) … dx + « f (x ) … dx
a a c
b b

« f (x ) … dx ¤ « f (x ) … dx
a a




9.3 Integrationsmethoden

Prinzip: Im Allgemeinen eine Umformung und Rückfühung von Integralen auf
Grundintegrale.


9.3.1 Addition der Null:

1 + x2 ’ 1
x2 1
« 1 + x2 … dx = « … dx = « 1 … dx ’ « … dx = x ’ arctan x
Beispiel:
1 + x2 1 + x2


9.3.2 Die Ableitung der Funktion tritt im Integranden auf:

f n+1
« f … f ′ … dx = n ≠ ’1 und rational
n
1. Beispiel:
n +1

f′
« … dx = ln f für Intervalle mit f ≠ 0
2. Beispiel:
f
(cosh x )′ … dx = ln cosh x = ln cosh x
sinh x
« tanh x … dx = « cosh x … dx = « cosh x




Seite 54
9. Integralrechnung Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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9.3.3 Die Substitutionsmethode:
g (b )
b

« f (g (x )) … g ′(x ) … dx = « )f ( y ) … dy
Allgemein gilt:
(
a ga



1. Beispiel:
647)48 g (x
g (1)

( )
1
(x23) … sin4424 x 46 … dx = … « sin y … dy = ’ 1 … cos y g ((10)) = ’ 1 [cos(’ 1) ’ cos(’ 6 )]
1
« 1+ 2 1 x + 4 ’3
2
g
2 g (0 ) 2 2
g′( x ) f ( g ( x ))
0



2. Beispiel:
} 64g ( x4
f(
7 )) 8
g′( x ) b

«b «a
b b 2
1 1 1 1 b


« … dx = « … dx = «
… … dy = arcsin y a = arcsin¬ · ’ arcsin¬ ·
2

 2 2
4’x 1’ y2
2
2 2
« x 2
a
a a
1’ ¬ · 2
 2
{
g (x)



9.3.4 Partielle Integration:
b b

« f ′ … g … dx = f … g ’ « f … g ′ … dx
b
Allgemein gilt: a
a a


4 4 4
… dx = ( x ln x ’ x ) 1 = 8 … ln 2 ’ 3
x
« ln x … dx = « 1 … ln x … dx = x … ln x 1 ’ «
4 4
1. Beispiel:
x
1 1 1


2. Beispiel:

π
π π
β
1
I = « cos±x … cos βx … dx = … sin ±x … cos βx ’ « sin ±x … sin βx … dx
± ±
’π
’π ’π

β® 1 
π π π
β
1
«
= … sin ±x … cos βx ’ ’ … cos±x … sin βx + cos±x … cos βx … dx 
± ± ± ± 
° »
’π ’π ’π
π π
« β2  1 β
I ¬1 ’ 2 · = … sin ±x … cos βx ’ 2 … cos±x … sin βx
” ¬ ±·± ±
  ’π ’π



Für ± , β ∈Á gilt:

± 0 falls ± ≠ β
π

« cos±x … cos βx … dx = 
π falls ± = β
’π

± 0 falls ± ≠ β
π

« sin ±x … sin βx … dx = 
π falls ± = β
’π
π

« sin ±x … cos βx … dx = 0
’π



Hieraus folgt dann: I = 0.

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9. Integralrechnung Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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9.3.5 Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung):

P (x )
b

« Q(x ) … dx mit Grad(P) > Grad(Q) werden mit Hilfe von
9.3.5.1 Integrale der Form
a

Polynomdivision vereinfacht und - wenn kein Rest bleibt - sofort integriert. Andernfalls benötigt
man die Methode der Partialbruchzerlegung.

R (x )
b

« Q(x ) … dx mit Grad (R) < Grad(Q) kommt
9.3.5.2 Bei der Betrachtung von Integralen der Form
a

der Fundamentalsatz der Algebra zur Anwendung (s. S. 3; 1.8). Dabei wird Q(x) in Faktoren reeller
Nullstellen und ggf. Polynome der nicht-reellen Nullstellen zerlegt.
Q( x ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + K + a n x n = C … ( x ’ z1 ) … (x ’ z 2 ) … K … ( x ’ z n )


) auf.
(
( )
Nicht-reelle Nullstellen treten als (x ’ z j ) … x ’ z j = x 2 ’ 2 x … Re z j + z j
2




Im weiteren Lösungsverlauf werden auch die Vielfachheiten kn der reellen Nullstellen xn und die
Vielfachheiten lt der nicht-reellen Nullstellen zt berücksichtigt.
R
Die Partialbruchzerlegung von ist dann eindeutig bestimmt durch:
Q
A1k1
R A A12
+K+
= 11 + +
Q x ’ x1 (x ’ x1 ) (x ’ x1 )
2 k1


A2 k2
A21 A22
+K+
+ + +
x ’ x2 ( x ’ x2 )2 (x ’ x2 )k2
K
Ankn
An1 An 2
+K+
+ + +
x ’ xn ( x ’ xn )2 (x ’ xn )kn
B1l1 x + C1l1
B11 x + C11 B12 x + C12
+K+
+ + +
( ) (x )
x 2 + β1 x + γ 1 2 l1
x 2 + β1 x + γ 1 + β1 x + γ 1
2


K
Btlt x + Ctlt
Bt1 x + Ct1 Bt 2 x + Ct 2
+K+
+ +
( ) (x )
x2 + βt x + γ t 2 lt
x2 + βt x + γ t + βt x + γ t
2




Es gibt dann die Möglichkeit, für die Lösung einen Koeffizientenvergleich mit der
ursprünglichen Funktion durchzuführen, indem man beide Seiten der obenstehenden Gleichung mit
Q(x) multipliziert und das dann aus der Gleichheit der Koeffizienten erhaltene lineare
Gleichungssystem nach den unbekannten Koeffizienten auflöst und integriert.

Eine andere Möglichkeit ist das „Zuhalte-Verfahren“ (Zitat eines Mathematikers) zur
Bestimmung eines Koeffizienten Apq: In Gedanken wird die Gleichung auf beiden Seiten mit
Nenner des Bruchs bei Apq erweitert und die Nullstelle xp des ursprünglichen Integranden eingesetzt.
Für die Bestimmung der anderen Koeffizienten wird dieses Verfahren wiederholt, unter Umst¤nden
muß man die dann vorliegende Gleichung mit Polynomdivision vereinfachen, bevor man fortf¤hrt.



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Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral der folgenden Funktion:

x 5 + 3x 4 + 5 x 3 + 8 x 2 + 4 x + 3 Ax + B Cx + D
f (x ) =
E F
= + + +
(x )( ) ( ) x + 1 ( x + 1)2
x2 + 1
2 2
+ 1 … 142x + 1
x 2 + 2 43 x2 + 1
2


=( x +1)2



Zuhalte-Verfahren zur Bestimmung von F: Mit ( x + 1) multiplizieren und dann x = ’1
2


einsetzen:

Ax + B Cx + D
(Lösung : F = 1) E
’ + +
( )
x +1
x2 +1 2
x2 +1

= f (x ) ’
1
(x + 1)2
( )
2
x 5 + 3x 4 + 5 x 3 + 8 x 2 + 4 x + 3 ’ x 2 + 1
=
(x ) (x + 1)
2
+1
2
2


( Polynomdivision )



x4 + x3 + 4x2 + 2x + 2
=
(x ) (x + 1)
2
+1
2


( Zuhalte- Verfahren für E liefert E =1 )


Ax + B Cx + D
’ +
( )
x +1
2 2
x2 +1
x4 + x3 + 4x2 + 2x + 2 1
= ’
(x ) (x + 1) x +1
2
+1
2


( Vereinfachung und Polynomdivision )



x2 + x +1
=
(x )
2
+1
2


( Koeffizientenvergleich liefert A = 0, B =1, C =1, D = 0 )




f (x ) =
1 x 1 1
+ + +
Lösung :
( )
x 2 + 1 x 2 + 1 2 x + 1 ( x + 1)2




Für das Integral ergibt sich dann Folgendes:
®1 1
« f (x ) … dx = «  x 2 + 1 + x 2 + 1 2 + x + 1 + (x + 1)2  … dx
x 1
( )
 
° »
1 1 1
= arctan x ’ … 2 + ln x + 1 ’
2 x +1 x +1




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9.3.6 Integration rationaler Funktionen von sin und cos:
Zun¤chst wird substituiert:
« x y
y = tan¬ · ’ sin x = 2 …
1+ y2
2
1’ y2
cos x =
1+ y2
2
dx = … dy
1+ y2
Danach wird integriert, ggf. muß noch eine Partialbruchzerlegung durchgeführt werden.

9.3.7 Integration rationaler Funktionen von sinh und cosh:
Substitution:
« x y
y = tanh¬ · ’ sinh x = 2 …
1’ y2
2
1+ y2
cosh x =
1’ y2
2
dx = … dy
1’ y2

9.3.8 Integration von Potenzreihen:
[« (a )]
( )
®∞ k
∞ ∞
®a k +1 
« ‘ ak … (x ’ x0 )  … dx = ‘ … ( x ’ x0 ) … dx = ‘  k … ( x ’ x0 ) 
k
Es gilt:
k =0 ° k + 1
k
»
° k =0 » k =0



9.3.9 Rotationskörper:
Für das Volumen V eines um die x-Achse rotationssymmetrischen Körpers mit f(x) als Funktion
der Berandung gilt im Intervall [a,b]:
V = π … « [ f ( x )] … dx
b 2
a




9.4 Integrale bei Funktionen mehrerer Ver¤nderlicher

9.4.1 Zweidimensionale Integrale:
Das Volumen V zwischen der Funktion f(x,y) und der x-y-Ebene im Bereich x — y ’ a , b — c, d
betr¤gt:
« 
V = «« f ( x, y ) … dA = «« f ( x, y ) … dx … dy = « ¬ « f ( x, y ) … dy · … dx
¬ ·
xy 
A A




Beispiel: Gesucht ist das Volumen des Tetraeders, dessen Ecken in (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0) und
(0,0,c) sind. Die Gleichung der entsprechenden Ebene liefert den gesuchten Inhalt:

« x y
+ + = 1 ” z = f ( x , y ) = c … ¬1 ’ ’ ·
xyz
 a b
abc


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® y =b «1’ a  
x « x
¬ · y =b ¬ 1’ ·
x= a x= a
  ®« y
 
« x y x  a
2
f (x, y ) … dA = «  « c … ¬1 ’ ’ · … dy  … dx =
V = «« « ° a  2b »
c … ¬1 ’ · … y ’  … dx
 a b
x =0  
y =0 x =0 y =0
A
° »
2
bc « x
a
abc
2 « a
= ¬1 ’ · … dx =
6
0




9.4.2 Dreidimensionale Integrale:
Analog zu zweidimensionalen Integralen gilt:

®® 

I = ««« f ( x, y, z ) … dx … dy … dz = «  «  « f (x, y, z ) … dz  … dy  … dx
x y °z 
»
° »
Q =[ x— y— z ]




Beispiel: Gesucht ist das Volumen V einer (zentrosymmetrischen) Kugel mit Radius R.

x 2 + y 2 + z2 = R2 ’ z = R2 ’ x2 ’ y 2

Es gilt gem¤ß der obenstehenden Gleichung:

R ® R 2 ’ x2 « R ’ x ’ y  
2 2 2

¬ · … dy  … dx
1
…V = «  «
0¬ « · 
dz
8
 »
°
0 0


R ® R 2 ’ x2 
= « « R ’ x ’ y … dy  … dx
2 2 2

0 
°0 »
R ® R 2 ’ x2 
( )
= « « a ’ y … dy  … dx Substitution : R 2 ’ x 2 = a 2
2 2

0 
°0 »
® 
 
R 0
(Substitution : y = a … cos u, dy = ’a … sin u … du )
= « ’ a 2 « sin 2 u … du  … dx
0 
π
° »
2

®π
( ) … dx
R
(Resubstitution )
= «  … R2 ’ x2 
0° »
4
R 3 …π
=
6
4 … π … R3
Das Kugelvolumen betr¤gt dann V = .
3




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9.4.3 Masse m und Schwerpunkt eines Körpers:
Für sie gilt:
m = ««« ρ ( x, y, z ) … d ( x, y, z )
[ x— y— z ]

««« ]x … d (x, y, z )
xs =
[ x— y— z


««« ]y … d (x, y, z )
ys =
[ x— y— z


««« ]z … d (x, y, z )
zs =
[ x— y— z




9.5 Uneigentliche Integrale

9.5.1 Konvergentes uneigentliches Integral:

Für alle reellen ±,β aus dem Definitionsbereich (a,b) [z.B. (’ ∞, ∞ ) ] der
1. Bedingung:
gegebenen Funktion f ist f integrierbar.
2. Bedingung: Es gibt ein c aus (a,b), so daß folgende Integrale existieren:
y
c

« f … dx « f … dx
I1 = lim I 2 = lim
y ’a + y ’b ’
( y ’’∞ ) y ( y ’∞ ) c

y
c

« f … dx + lim « f … dx
I = I1 + I 2 = lim
Uneigentliches Integral:
y’a + y ’b ’
( y ’’∞ ) y ( y ’∞ ) c


9.5.2 Vergleichskriterium für uneigentliche Integrale:

b b

« g (x ) … dx und ist f (x ) ¤ g (x ) , so konvergiert auch « f (x ) … dx .
9.5.2.1 Konvergiert
a a
b b

« g (x ) … dx , w¤hrend 0 ¤ g (x ) ¤ f (x ) ist, so divergiert auch « f (x ) … dx .
9.5.2.2 Divergiert
a a




9.5.3 Integralkriterium:

Ist die Funktion f ( x ) : [n0 , ∞ ) ’ … monoton fallend und gilt st¤ndig f ( x ) ≥ 0 , so kann man
sagen:



‘ f (n) , wenn « f (x ) … dx konvergiert.
Es konvergiert
n = n0 n0




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9.6 Parameterabh¤ngige Integrale

9.6.1 Stetigkeit von Parameterintegralen:
Das folgende Parameterintegral ist im Definitionsbereich von f(x,t) stetig:
ψ (t )

F (t ) = « )f (x, t ) … dx
(
•t



9.6.2 Leibniz-Regel:
Ist im Parameterintegral auch ft(x,t) stetig, dann gilt für die Ableitung F'(t):
ψ (t )

F ′(t ) = « )f (x, t ) … dx + f (ψ (t ), t ) …ψ ′(t ) ’ f (• (t ), t ) … • ′(t )
t
(
•t




9.7 Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare
Funktionen


9.7.1 Die Gammafunktion “( x ) oder das Eulersches Integral zweiter Gattung:
Als Gammafunktion wird folgendes uneigentliche Integral definiert:


“(x ) = « e ’t … t x ’1 … dt x>0
0

n x … n!
= lim n
n ’∞
∏ (x + k )
k =0



Die Gammafunktion hat folgende Eigenschaften:

“( x + 1) = x … “( x )
π
“( x ) … “(1 ’ x ) =
sin (πx )
1  (2n )!… π
«
“¬ n + · =
n!…2 2 n
 2
“(n + 1) = n!

Letztere Eigenschaft erlaubt die Erweiterung des Begriffs der Fakult¤t auf beliebige reelle
Zahlen:
π ( x ) = x!= “( x + 1)
π
«1 «1 «3
1
x= ’ π ¬ · = ¬ ·!= “¬ · =
z.B.
2 2  2
2 2
« 1 « 1 «1
1
x = ’ ’ π ¬ ’ · = ¬ ’ ·!= “¬ · = π
 2  2  2
2



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9.7.2 Eulersche Konstante C:

C = ’ « e ’t … ln t … dt = 0,577215665
Sie wird definiert als:
0




9.7.3 Integralsinus:
( ’1) … x 2n+1
n

π ∞ sin t
sin t
… dt = ‘

<<

. 3
( 6)



>>