<<

. 4
( 6)



>>

Si ( x ) = «
x
… dt = ’ «
Für |x| < ∞ gilt:
n =0 ( 2 n + 1) … ( 2 n + 1) !
t 2xt
0




9.7.4 Integralcosinus:
(’ 1) … x 2n
x 1 ’ cos t ∞ n
Für 0 < x < ∞ gilt: Ci( x ) = «
∞ cos t
… dt = C + ln x + ‘
… dt = C + ln x ’ «
n =1 2n … (2 n )
t t !
x 0



9.7.5 Integralexponentialfunktion:

et xn
Ei(x ) = « … dt = C + ln x + ‘
x
Für ’ ∞ < x < 0 und 0 < x < ∞ gilt:
n =1 n … n!
’∞ t

Ist 0 < x < ∞ , so spricht man vom Cauchyschen Hauptwert.


9.7.6 Integrallogarithmus:
(ln x ) = Ei(ln x )
∞ n
Für 0 < x < 1 und 1 < x < ∞ gilt: Li( x ) = «
dt
= C + ln ln x + ‘
x

n =1 n … n!
0 ln t

Ist 1 < x < ∞ , so spricht man vom Cauchyschen Hauptwert.

9.7.7 Gauߙsches Fehlerintegral:
2 ∞ (’ 1) … x 2 n+1
( )
n
erf ( x ) = ¦ 2 … x =
2
…‘
… « e … dt =
x
’t 2
Für |x| < ∞ gilt:
π n=0 n!…(2n + 1)
π 0

Eigenschaften:
lim erf ( x ) = 1
x ’∞


( )
erf (t ) … dt = x … erf ( x ) +
1
«
x
… e’x ’ 1
2


π
0

d erf ( x )
= • (x ) =
2
… e ’x
2


π
dx




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10. Tensoren, Quadratische Formen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




10. Tensoren, Quadratische Formen

10.0 Allgemeine Grundlagen

10.0.1 Linearit¤tseigenschaft einer Abbildung:
Gegeben seien Vn als ein n-dimensionaler Raum sowie die Abbildung A: V n ’ V n .
A heißt lineare Abbildung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
A(a + b ) = A(a ) + A(b ) a, b ∈ V n
A(» … a ) = » … A(a ) » ∈…, a ∈V n

10.0.2 Eigenwerte und Eigenvektoren:
Allgemeine Definition siehe Kapitel 3.3.
Beispiel: Gesucht werden die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A:
« 3 0 ’ 1
¬ ·
A = ¬ 1 4 ’ 1·
¬’1 0 3 ·
 
3’» ’1
0
det ( A ’ » … E ) = 4’» ’ 1 = ’»3 + 10»2 ’ 32» + 32 = 0
1
’1 3’»
0
»1 = 2, »2 = »3 = 4
Die Eigenvektoren werden dann nach bekanntem Prinzip berechnet:

« ’ 1
«1 « 0
¬· ¬· ¬·
ν 1 = C1 … ¬ ’ 1· ν 2 = C2 … ¬ 1 · ν 3 = C3 … ¬ 0 ·
¬1· ¬ 0· ¬1·
  

Es sei bemerkt, daß die Eigenvektoren einer Matrix eine Orthogonalbasis darstellen, falls die
Matrix symmetrisch ist. Es gilt dann:
v 3 = v1 — v 2

2. Beispiel: Eigenvektoren als Orthogonalbasis zur folgenden Matrix A
« 3 0 ’ 1
¬ ·
A=¬ 0 0 0 ·
¬’1 0 3 ·
 
” det ( A ’ »E ) = ’» … (3 ’ » ) + » = 0
2


” »1 = 0 »1 = 2 »3 = 4
« 0 « 1 «1
¬· 1¬· 1¬ ·
’ v1 = ¬ 1 · v 2 = v 3 = v1 — v 2 =
¬ 0· ¬0·
¬ 0· 2¬ · 2¬ ·
 ’ 1
  1

Bei der Aufstellung einer solchen Basis ist allerdings darauf zu achten, daß »1 < »2 < »3 ist.

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10.1 Tensoren, Koordinatendarstellungen

10.1.1 Geometrischer Tensor:
Als erste Etappe zur Definition allgemeiner Tensoren werden an dieser Stelle Tensoren als
geometrische Objekte eingeführt. Gilt beispielsweise für die Verzerrung f der vier Punkte P, Q, R, S
eines Parallelogramms die Vorschrift
«’  «’ «’

f ¬ PQ + PR · = f ¬ PQ · + f ¬ PR ·
    
«  «’

f ¬ » … PQ · = » … f ¬ PQ ·
   
so spricht man bei f von einem geometrischen Tensor 2. Stufe.

10.1.2 Tensor:
Ist eine allgemeine Abbildung A aus Vn linear, so spricht man von einem Tensor 2. Stufe.

10.1.3 Vektorprodukt:
Vektor a ∈ V 3 fest:
« a1  « ν 1  « 0 ’ a3 a 2  «ν 1 
¬ ·¬ ·¬ ·¬ ·
A(ν ) = a — ν = ¬ a 2 · — ¬ν 2 · = ¬ a3 ’ a1 · … ¬ν 2 ·
0
¬ a · ¬ν · ¬ ’ a 0 · ¬ν 3 ·
 3  3  2  
a1

10.1.4 Projektionstensor:
Der Vektor b ∈ V n sei fest. Dann ist die Projektionsabbildung ein Tensor:
x…b
Projektionsabbildung : P( x ) = Projb x = 2 … b
b
bi … b j
ei … b
Pji = P(e i ) … e j = …b …e j =
Koordinatendarstellung von P : 2 2
b b

10.1.5 Dyadisches Produkt zweier Vektoren:
Die Vektoren u , v ∈V n seien fest. Dann ist folgende Abbildung D ein Tensor:

D(w) = Du v (w) = u … (v … w) w ∈V n
d ij = D(e i ) … e j = u j … vi
Koordinatendarstellung :
L u1 v n 
« u1v1 u1v 2
¬ ·
L u 2vn ·
¬ u v u 2v2
’D=¬ 2 1 = u…v
T


M M O
¬ ·
¬u v u v L u n vn ·
n1 
n2



10.1.6 Spiegelungstensor:
Es sei der Vektor u ∈V n mit ||u||=1. Dann stellt S u = 1 ’ 2 Du u ( x ) (siehe oben) eine Spiegelung
an der Ebene E : u … x = 0 dar. Su heißt Spiegelungstensor.



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Die Koordinatendarstellung dieser Spiegelung lautet:
L u1u n 
«1 ’ 2u12 u1u 2
¬ ·
L u2un ·
¬ u 2 u1 1 ’ 2u 22
Su = E ’ 2 … u … u = ¬
T


¬M M O ·
¬ uu 2·
L 1 ’ 2u n 
 n1 unu2

Es folgt daraus:
1. Su ist eine symmetrische Matrix.
2. Su ist orthogonal.
3. Su ist zu sich selbst invers: Su = E
2




10.1.7 Drehtensor (Drehung im Raum …3 um eine feste Drehachse):
Es sei der Vektor a ≠ 0 ∈ V 3 , (Voraussetzung: ||a||=1).
Die Drehung Da(•) aller Vektoren um den Winkel • gegen den Uhrzeigersinn um eine
Drehachse der Richtung a ist ein Tensor. Es gilt:

« a12 a1 a 3  ’ a3
«1 0 0 «0 a2 
a1 a 2
¬ ·
¬ · ¬ ·
Da (• ) = cos • … ¬ 0 1 0 · + (1 ’ cos • ) … ¬ a 2 a1 a 2 a 3 · + sin • … ¬ a 3 ’ a1 ·
2
a2 0
¬a a a3 ·
¬0 0 1· ¬’ a 0·
2
  2 
a3 a 2 a1
31 

Die Determinante det(D) eines Drehtensors betr¤gt immer +1.

10.1.8 Eulersche Drehmatrizen:
Die drei Spezialf¤lle der allgemeinen Dretensoren ergeben sich durch Einsetzen der drei
Basisvektoren e1, e2 und e3 für a. Es enstehen dabei Drehtensoren um die drei Achsen des
Koordinatensystems.
« cos • ’ sin • 0 
¬ ·
E3 (• ) = De3 (• ) = ¬ sin • cos • 0 ·
Drehung um die e3-Achse (z-Achse):
¬0 1·
 
0

« cos • 0 sin • 
¬ ·
E 2 (• ) = De 2 (• ) = ¬ 0 0·
Drehung um die e2-Achse (y-Achse): 1
¬ ’ sin • 0 cos • ·
 

«1 
0 0
¬ ·
E1 (• ) = De1 (• ) = ¬ 0 cos • ’ sin • ·
Drehung um die e1-Achse (x-Achse):
¬ 0 sin • cos • ·
 


10.1.9 Verkettung der Eulerschen Drehmatrizen:
Ist D eine Drehmatrix, dann gibt es drei Winkel ±, β, γ, so daß Folgendes gilt:

D = E1 (± ) … E 2 (β ) … E3 (γ )

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Allgemein ausgedrückt lautet diese Drehmatrix so:
D = E1 (± ) … E 2 (β ) … E 3 (γ )
 « cos β 0 sin β  « cos γ ’ sin γ
«1 0
0 0
¬ ·¬ ·¬ ·
= ¬ 0 cos ± ’ sin ± · … ¬ 0 0 · … ¬ sin γ cos γ 0·
1
¬ 0 sin ± cos ± · ¬ ’ sin β 0 cos β · ¬ 0 1·
   
0
« cos γ … cos ± ’ sin γ … sin ± … cos β ’ sin γ … cos ± ’ cos γ … sin ± … cos β sin ± … sin β 
¬ ·
= ¬ cos γ … sin ± ’ sin γ … cos ± … cos β ’ sin γ … sin ± ’ cos γ … cos ± … cos β ’ cos ± … sin β ·
¬ ·
sin γ … sin β cos γ … sin β cos β
 

10.1.10 Beispiele für Tensoren in Physik und Technik:
Dielektrischer Tensor, Polarisationstensor, Tr¤gheitstensor, Deformationstensor, Spannungs-
tensor,...

10.1.11 Koordinatendarstellung der Translation von Vektoren:
%
Es sei der Vektor a ∈ V 3 ein fester Vektor. Dann ist die Abbildung T : x a x ’ a , x ∈V 3 eine
Translation (kein Tensor). Ist nun T die Koordinatendarstellung eines Tensors in der Basis (e1, e2,
e3) und T' die Koordinatendarstellung desselben Tensors in der Basis (e1', e2', e3'), so gilt T = T'.
Dies liegt an der Invarianz der Basisvektoren bei Translation.

10.1.12 Orthogonale Transformationen:
Es sei P eine orthogonale Transformation des … 3 . Aus dem Basisvektor ej wird damit der
Basisvektor ej':
P : (e1 , e 2 , e 3 ) a (e1 ' , e 2 ' , e 3 ')
e j '= P … e j
Das entstehende Koordinatensystem ist wieder orthogonal. Es gilt des weiteren:
P T P = E ’ P T e j ' = P T Pe j = e j
Wenn det(P) = +1 (d.h. Drehung), dann ist (e1', e2', e3') wieder ein Rechtssystem.

10.1.12.1 Transformationsverhalten eines Vektors:
Der Vektor a bezüglich der ursprünglichen Basis (e1, e2, e3) wird nach der Transformation P zu
a' = P … a
3
” a j ' = ‘ ai pij
i =1
Hierbei ist pij eine Komponente der Transformationmatrix P.

10.1.12.2 Transformationsverhalten von Tensoren:
Ist T ein Tensor mit den Matrixkomponenten tji und P eine orthogonale Transformation des … 3
(siehe oben), ergibt sich Folgendes:
3 3
Matrixkomponente von T ' : t ji ' = T (e i ') … e j ' = ‘ ‘ plj pki tlk
k =1 l =1

Matrix T ' : T ' = P ’1 … T … P = P T … T … P

Erzeugt der Basiswechsel nicht-orthogonale Basisvektoren, so werden die Transformations-
formeln „etwas“ komplizierter. ;-)

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10.2 Das Normalformenproblem von Bilinearformen

10.2.1 Hyperfl¤che 2. Grades oder Quadrik:
Man definiert folgende Funktion Q( x ) : … n a … :
n n n
Q( x ) = ‘‘ aik xi xk + 2 … ‘ bk xk + c aik , bk , c ∈…
i =1 k =1 k =1

= x A x + 2b x + c
T T




Die hier auftretende Matrix A muß symmetrisch sein.


Die Menge der Punkte P mit OP = x = ( x1 , x 2 , K , x n ) , welche die Gleichung Q( x ) = 0 erfüllt,
T


heißt Hyperfl¤che 2. Grades oder eine Quadrik im … n .

Beispiel:
36 x12 ’ 24 x1 x 2 + 29 x 2 + 96 x1 ’ 22 x 2 ’ 115 = 0
2


« 36 ’ 12  1 « 96 
A=¬
¬ ’ 12 29 ·, b= ¬¬ ’ 22 ·,
” c = ’115
· ·
  2 


10.2.2 Mittelpunkt einer Quadrik:
Betrachtet man die Translation x = x' + p der Quadrik um p, so gilt:

( )
( ) ()
Q x'+ p = x'T A x'+2 p A + b x'+Q p
T T




Ist nun die Gleichung Ap = ’b lösbar, so besitzt Q(x) ein Zentrum, für das gilt:

{ } = {m}
Z = p A p = ’b
(falls ein -
deutig lösbar)




m heißt Mittelpunkt der Quadrik.


10.2.3 Normalform einer Quadrik:
Mit Hilfe geeigneter Koordinatentransformationen l¤ßt sich jede Quadrik auf eine der beiden
folgenden Normalformen bringen:

Z ≠ … : »1 y12 + »2 y 2 + K + »r y r2 + γ = 0
2
1. Fall:
r = Rang(A),
mit
»1 , »2 , »3 ,..., »r Eigenwerte von A, die ungleich Null sind.

»1 y12 + »2 y 2 + K + »r y r2 + 2γ … y n = 0
Z =…: 2
2. Fall:
r = Rang(A) < n,
mit
γ > 0,
»i ∈… \ {0} für i = 1, ..., r


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10.2.4 Allgemeine Vorgehensweise bei der Klassifikation von Quadriken:
10.2.4.1 Umformungen zu Q(x):
Gegeben:
Q( x ) = x A x + 2b x + c
T T




Umformungen:
Q( x + m ) = x A x + 2( Am + x ) x + Q(m )
T T


Q(m ) = b m + c
T


L
« » A1 0
0
¬ ·
L 0·
» A2
¬0
P T AP = ¬
O M·
M M
¬ ·
¬0 L » An ·
 
0
Q(P x ) = x P T AP x + b P x + c
T T


Q(P x + m ) = x P T AP x + 2( Am + b ) P x + Q(m )
T T




10.2.4.2 Vorgehensweise:
1. Fall: Am = ’b ist lösbar. Es liegt eine Zentrumsquadrik vor.

1.) Bestimmen von m und Q(m).
2.) Bestimmen der Eigenwerte und Eigenvektoren von A. (u.U. Bestimmung des Typs)
3.) Bestimmen der Drehmatrix P aus den Eigenvektoren von A.
Setze die neuen Koordinaten: u = P T ( x ’ m ) ” x = Pu + m
4.)
« » A1 L 0 
T¬ ·
Daraus folgt Q( x ) = u ¬ M O M ·u + Q(m )
¬0 L » ·
 An 

Normalform (im … 3 ): »1 … u12 + »2 … u 2 + »3 … u3 + γ = 0
2 2
5.)
Typ: siehe Tabelle 1
Lage: Koordinatentransformation: u = P T ( x ’ m )

»1 »2 »3 γ Typ
+ + + ’ Ellipsoid
+ + ’ + zweischaliges Hyperboloid
+ + ’ ’ einschaliges Hyperboloid
+ + ’ 0 Kegel mit Spitze in m
+ + 0 ’ elliptischer Zylinder
+ ’ 0 ± hyperbolischer Zylinder
+ + 0 0 1 Gerade
+ ’ 0 0 2 Ebenen mit Schnitt
+ 0 0 ’ 2 parallele Ebenen
+ 0 0 0 Doppelebene
Tabelle 1: Klassifikation von Zentrumsquadriken




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2. Fall: Am = ’b ist nicht lösbar. Es liegt keine Zentrumsquadrik vor.

Es folgt daraus, daß 0 ein Eigenwert von A ist, denn det(A) = det(A ’ 0…E) = 0

1.) Bestimmen der Eigenwerte von A.

Bestimmen der Eigenvektoren v1, ..., vr zu den »i ≠ 0
2.)

Bestimmen der Eigenvektoren vi zu den »r+1, ..., »n’1 = 0 mit ν i ⊥ b
3.)

4.) Bestimmen von vn

5.) Quadratische Erg¤nzung

Normalform (im … 3 ): »1u12 + »2u 2 + 2γu3 = 0
2
6.)
Typ: siehe Tabelle 2

»1 »2 »3 γ Typ
+ + 0 ± elliptisches Paraboloid
+ ’ 0 ± hyperbolisches Paraboloid
+ 0 0 ± parabolischer Zylinder
Tabelle 2: Klassifikation von Quadriken mit leerem Zentrum




10.2.4.3 Darstellung:
Die folgenden Abbildungen zeigen nur die ersten sechs Typen von Zentrumsquadriken aus der
Tabelle 1 und die Typen von Quadriken mit leerem Zentrum aus der Tabelle 2.




Abbildung 10: Zweischaliges Hyperboloid
Abbildung 9: Ellipsoid




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Abbildung 11: Einschaliges Hyperboloid Abbildung 12: Kegel mit Spitze in m




Abbildung 13: Elliptischer Zylinder Abbildung 14: Hyperbolischer Zylinder




Abbildung 15: Elliptisches Paraboloid Abbildung 16: Hyperbolisches Paraboloid




Abbildung 17: Parabolischer Zylinder


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Beispiel: Gesucht wird die Normalform der folgenden Quadrik.

x 2 + 2 xy + y 2 ’ x + y + 4 = 0
1 « ’ 1
«1 1
A=¬
¬1 1·, ¬ ·,
b= c=4
· 2¬ 1 ·
  

Die Eigenwerte, die normierten Eigenvektoren und der Rang von A ergeben sich zu:

»1 = 2, »2 = 0 ’ r = 1
’ Eigenvektoren :
1 «1 1 «1
¬ ·, ¬·
x1 = x2 =
¬· ¬·
2  ’ 1
2 1


Normierte Matrix P:
«1 1

¬ ·
2 2·
det ( P ) = 1
P=¬ ,
¬1 1·
¬ ·
2 2
Die Gleichung x Ax + 2b x + 4 = 0 wird mit x = Pu zu
T T




« 1
1

1 « ’1  ¬ 2 · « u1 
T
2
2u1 + 2 … ¬ · ¬ ·¬ · + 4 = 0
2
2 1  ¬ 1 ·  u2 
1
¬ ·
 2
2
” 2u1 + 2 … u2 + 4 = 0
2



und nach Resubstitution y1 = u1 , y2 = u2 + 8 ergibt sich die gesuchte Normalform der Quadrik
zu 2 … y12 + 2 … y2 = 0, was eine Parabel ist.




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11. Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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11. Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel
11.1 Krummlinige Koordinaten, Jacobideterminante

11.1.1 Krummlinige Koordinaten:
Gegeben seien drei Eckpunkte eines zu den Koordinatenachsen parallelen Rechtecks im … 2
durch deren Ortvektoren:
«1 « 0
x 0 , x1 = x 0 + ∆x1 … ¬ ·, x 2 = x 0 + ∆x2 … ¬ ·
¬ 0· ¬1·
 
Die Verzerrung des Rechtecks mit dem Fl¤cheninhalt FQ = ∆x1 … ∆x2 in ein Parallelogramm,
dargestellt durch die neuen Eckpunkte
f ( x 0 ), f ( x1 ), f (x 2 ) ,
mit der Funktion f ergibt für den Grenzwert der Verh¤ltnisse zwischen dem ursprünglichen
Fl¤cheninhalt FQ und dem neuen Fl¤cheninhalt FP Folgendes:
( )
lim P = det D f ( x 0 )
F
∆xi ’0 F
Q

Diese Fl¤chenverzerrung im zweidimensionalen Raum l¤ßt sich analog übertragen auf Gebilde
im … . Dort stellt sie die Volumenverzerrung im dreidimensionalen Raum dar.
3


11.1.1.1 Wird bei solchen Verzerrungen kein begrenztes Objekt betrachtet, sondern eine offene
Menge U in eine offene Menge V verzerrt, so spricht man bei f von der Koordinatentransformation
von U auf V.
11.1.1.2 Zur Umkehrung einer solchen Koordinatentransformation l¤ßt sich unter der
Voraussetzung, daß x ∈ U und y = f (x ) , Folgendes sagen:

( (y )) = det(D f (x ))
1
’1
det D f


11.1.2 Jacobideterminante:
In diesem Zusammenhang wird der Begriff der Funktionaldeterminante oder Jacobideterminante
eingeführt.
( )
J f ( x ) = det D f ( x )


11.2 Transformationsformeln

11.2.1 Polarkoordinaten:
Koordinatentransformation:
« r  « r cos •  « f1 (r ,• )  « x 
f : ¬ ·a¬
¬ • · ¬ r sin • · = ¬ f (r ,• )· = ¬ y ·
·¬ ·¬·
   2 
«2 2
« x  ¬ x + y · « f1’1 ( x, y ) « r 
f : ¬ ·a¬
’1
y · = ¬ ’1 ·¬·
¬ f ( x, y )· = ¬ • ·
¬ y·
  ¬ arctan ·  2 
 x
Jacobideterminante von f:
( )
det D f (r ,• ) = r cos 2 • + r sin 2 • = r



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11. Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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11.2.2 Zylinderkoordinaten:
Koordinatentransformation:
« r  « r cos •  « f1 (r ,• , z )  « x 
¬· ¬ ·¬ ·¬·
f : ¬ • · a ¬ r sin • · = ¬ f 2 (r ,• , z )· = ¬ y ·
¬ z · ¬ z · ¬ f (r ,• , z )· ¬ z ·
   3 
« x2 + y2 + z 2 
· « f 1 ( x, y , z )  « r 
« x ¬
¬· ¬ y ·¬ ·¬·
= ¬ f 2 ( x, y, z )· = ¬ • ·
f : ¬ y · a ¬ arctan
’1

x ·¬
¬ z· ¬ ·  f 3 ( x, y , z ) · ¬ z ·
 ¬ 
·
z
 

Jacobideterminante von f:
( ) ( )
det D f (r ,• , z ) = 1… r cos 2 • + r sin 2 • = r

11.2.3 Kugelkoordinaten:
Koordinatentransformation:
« r  « r cos • sin θ  « f1 (r ,• ,θ )  « x 
¬· ¬ ·¬ ·¬·
f : ¬ • · a ¬ r sin • sin θ · = ¬ f 2 (r ,• ,θ )· = ¬ y ·
¬ θ · ¬ r cosθ · ¬ f (r , • ,θ )· ¬ z ·
   3 
« 
¬ ·
x ¬ x + y + z · « f 1 ( x, y , z )  « r 
2 2 2
«
¬· ¬ ·¬ ·¬·
= ¬ f 2 ( x, y, z )· = ¬ • ·
y
f : ¬ y· a ¬
’1
arctan ·
x
¬ z· ¬ · ¬ f 3 ( x, y , z ) · ¬ θ ·
 ¬ · 
x + y2
2

¬ arctan ·
 
z

Hierbei liegt der Winkel • zwischen der x-Achse und dem in die x-y-Ebene projizierten
Ortsvektor des Punktes. Der Winkel θ liegt zwischen der z-Achse und dem Ortsvektor des Punktes.

Jacobideterminante von f:
( ) ( )
det D f (r , • ,θ ) = r 2 sin θ … cos 2 θ + sin 2 θ = r 2 sin θ


11.2.4 Laplace-Operator ∆:
Für eine zweifach differenzierbare Funktion g : ( x, y, z ) a g ( x, y, z ) von …³ auf … l¤ßt sich der
sog. Laplace-Operator ∆ definieren: ∆g = g xx + g yy + g zz


11.2.5 Transformationsformel:
Bei Koordinatentransformationen ¦ : U a V zwischen offenen, nichtleeren Mengen U und V,
mit meßbarem U und stetigem g : V a … gilt die Transformationsformel.


«K« g (x )… dx Ldx = «K« g (¦(u ))… det (D¦(u )) … du Ldu
1 n 1 n
V U




Seite 73
11. Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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Beispiel: Gesucht wird das neue Volumen Vol(B) eines Parallelepipeds B, das durch eine affin-
lineare Abbildung u = Ax + b eines Einheitswürfels W entstanden ist.


Aus ¦ : u a x = A’1 u ’ A’1 b , det (D¦ (u )) =
1
und der Transformationsformel
det ( A)
644 ( B ) 4
74 8
= Vol


« K« 1 … dx1 L dxn = « K« 1 … det (D¦(u )) … du1 L du n = det ( A) « K« … du1 L du n folgt dann:
1

1442443
W B B

= Vol (W )=1

Vol(B ) = det ( A)




Seite 74
12. Gewöhnliche Differentialgleichungen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

12.1 Bezeichnungen, Richtungsfeld


12.1.1 Gewöhnliche Differentialgleichung:
F sei eine Funktion der Form F : … n + 2 a … , n ∈ Á . Dann heißt
( )
F x , y ( x ), K , y (n ) ( x ) = 0
gewöhnliche Differentialgleichung.


12.1.2 Richtungsfeld, Isokline:
Wenn durch den Punkt M die Lösungskurve y=φ(x) der Differentialgleichung y ′ = f ( x , y ) geht,
so kann die Richtung der Tangente in diesem Punkt unmittelbar ermittelt werden. Damit definiert
die Differentialgleichung in jedem Punkt eine Richtung der Tangente an eine Lösungskurve. Die
Gesamtheit dieser Richtungen bildet das Richtungsfeld. Verbindungslinien von Punkten gleicher
Richtung der Tangente heißen Isoklinen.


12.1.3 Lösungen:
Die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichung mit einer Anfangsbedingung setzen sich
in der Regel aus der Summe von mindestens zwei Einzellösungen zusammen. Die Lösung einer
allgemeinen Differentialgleichung ist dann die Summe der homogenen Löung und der
inhomogenen oder partikul¤ren Lösung.
Erh¤lt man aus einer Differentialgleichung eine Lösungsmenge, so ist jede Linearkombination
von Einzellösungen wieder eine Lösung. Dies ist mit dem Faktorsatz und der Summenregel aus der
Differentialrechnung erkl¤rbar (s. Kapitel 6.1).


12.1.4 Anfangswertproblem (AWP):
Als Anfangswertproblem bezeichnet man eine Differentialgleichung zusammen mit ihren
zugehörigen Anfangsbedingungen.


12.1.5 Satz von Picard-Lindelöf:
Es sei ein Anfangswertproblem y ′ = f ( x , y ) , y0 = y(x0) gegeben. Ferner sei ein Rechteck
R = {( x, y ) x ’ x0 ¤ a; y ’ y 0 ¤ b}
gegeben, auf dem die Funktion f(x,y) stetig und partiell nach y differenzierbar sei.

± 
b
Eine Zahl µ sei durch µ = min  a ,
{ f (x , y )}
bestimmt.
 max 
Es gibt dann im Abstand µ von x0 genau eine Lösung zum gegebenen Anfangswertproblem.




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12.2 Differentialgleichungen erster Ordnung

12.2.1 Form, Anfangsbedingung:
Differentialgleichungen erster Ordnung besitzen die Form y ′( x ) = A ( x ) + B (x ) … y ( x ) .
Es seien hier A(x) und B(x) im Intervall [a,b] stetig. Des weiteren sollen ein x0 aus dem
gegebenen Intervall und ein (reelles) y0 existieren, die die Anfangsbedingung y(x0)=y0 bilden.

12.2.2 Homogene Differentialgleichung:
Ist A(x)=0, also y ′(x ) = B ( x ) … y ( x ) , so hat diese als homogen bezeichnete Differentialgleichung
genau eine Lösung der allgemeinen Form
«x 0 B (t )dt
x


y 1 (x ) = y 0 … e .
Diese Lösungsfunktion ist immer positiv.

12.2.3 Inhomogene Differentialgleichung:
Differentialgleichungen erster Ordnung in der allgemeinen Form und allgemeinen Anfangs-
bedingungen (s.o., 12.2.1) haben die partikul¤re Lösung in der Form
y (t )
x A (t ) «x0 B (t )dt
x


y 2 ( x ) = « * dt … e mit y1 (t ) = 1
*
.
x 0 y (t ) y0
1




12.2.4 Allgemeine Lösung:
A (t )  «xx0 B (t )dt
®
Die allgemeine Lösung lautet: y ( x ) = y1 + y 2 =  y 0 +
x
« dt … e
y1* (t ) 
° »
x0




12.2.5 Trennung der Variablen:
Ein wichtiges Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung ist das der
Trennung der Variablen. Dabei wird die Differentialgleichung auf eine Form gebracht, bei der die
Variablen x und y nur noch in voneinander getrennten Termen auftreten. Die entstehende Gleichung
kann dann sofort integriert werden.

M ( x ) … N ( y ) … dx + P ( x ) … Q ( y ) … dy = 0
M (x ) Q(y )
” … dx + … dy = 0
P (x ) N (y )
M (x ) Q(y )
”« … dx + « … dy = C
P (x ) N (y )


Beispiel:
x … dy + y … dx = 0
1 1
« … dy + « … dx = C = ln c

y x
” x… y = c




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12.3 Bernoulli™sche Differentialgleichungen

12.3.1 Form:
Bernoulli™sche Differentialgleichungen haben die Form
y ′( x ) = A ( x ) … y ( x ) + B ( x ) … [ y (x )] ± ∈ … \ { }, y ( x ) ≥ 0 .
±
1

12.3.2 Lösungsansatz:
Ziel dieses Ansatzes ist die Rückführung der Differentialgleichung auf eine Differential-
gleichung erster Ordnung. Es wird zun¤chst durch durch [ y ( x )] geteilt.
±


y′( x ) … [ y (x )] = A( x ) … [ y ( x )] + B( x )
’± 1’±


Danach wird die neue Variable z ( x ) = [ y ( x )]
1’±
eingeführt.
Deren Ableitung lautet z ′( x ) = (1 ’ ± ) … [ y ( x )] … y ′( x ) . Es ergibt sich daraus eine Differential-
’±


leichung erster Ordnung für z(x):
z ′( x ) = (1 ’ ± ) … A( x ) … z (x ) + (1 ’ ± ) … B ( x )
Diese DGL l¤ßt sich mit dem in Kapitel 12.2 beschriebenen Verfahren lösen. Anschließend wird
mit y ( x ) = [z ( x )]1’± resubstituiert.
1




Beispiel: Gesucht wird die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung.
4y
y′ = +x y
x
1
’± = ’z= y
2
2z x
z′ = +
x2
2
«1  «1 
’ z = x 2 … ¬ ln x + C · ’ y = x 4 … ¬ ln x + C ·
2  2 

12.4 Differentialgleichungen n-ter Ordnung und Systeme erster Ordnung


12.4.1 Form von Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung:
± y ′ = f ( x, y ( x ), K , y ( x ))
 1′ 1 1 n

 y 2 = f 2 ( x, y1 ( x ), K , y n ( x ))

Komponentenschreibweise:
M

 y ′ = f ( x, y ( x ), K , y ( x ))
n n 1 n

()

y ( x ) = f x, y
Vektorschreibweise:
y ( x ) = f (x, y ),

y ( x0 ) = y 0
Anfangswertproblem:

12.4.2 Form von Differentialgleichungen n-ter Ordnung:
Differentialgleichungen n-ter Ordnung werden geschrieben in der Form
( )
y (n ) = f x, y, y′, K , y (n’1) .



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12.4.3 Lösungsansatz:
Es wird eine Substitution durchgeführt.
y1Ú y
y2 Ú y ′
M
yn’1Ú y (n’2 )
( )
yn Ú y (n’1) ’ y (n ) = y′ = f x, y, y′, K , y (n’1)
n



Daraus folgen das neue System von Differentialgleichungen und die neuen Anfangsbedingungen.


« y1  « y ′  « 
y2
¬· ¬·¬ ·
y2 · ¬ y ′′ · ¬
¬ ·
y3
¬ M · =¬ M ·=¬ ·
M
¬· ¬·¬ ·
¬M· ¬M· ¬ ·
yn
¬ y · ¬ y′ · ¬ ( ·
 n   n   f x, y1 , K , yn )
« y0  « y0,1 
¬ ·¬ ·

¬ y0 · ¬ y 0, 2 ·
y0 = ¬ =
M · ¬M·
¬ (n’1) · ¬ ·
· ¬y ·
¬y
 0   0 ,n 

12.4.4 Allgemeine Lösung:
( )
Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung der Form y (n ) = f x , y , y ′, K , y (n ’1 ) enth¤lt
n unabh¤ngige willkürliche Konstanten.
y = y (x , C1 , K , C n )

Das gleiche gilt für die allgemeine Lösung von Systemen von n Differentialgleichungen.

± y1 = F1 ( x , C1 , K , C n )
 y = F (x , C , K , C )
2 2 1 n

M

 y n = Fn ( x , C1 , K , C n )


Das Lösungsprinzip beruht darauf, daß versucht wird, die Ordnung mittels Substitution der
Variablen zu verringern, um einfachere Differentialgleichungen zu erhalten. Das Auffinden
passender Substitutionen wird erleichtert durch die Unterscheidung verschiedener F¤lle:



1. Die unabh¤ngige Variable x ist nicht explizit in der Differentialgleichung enthalten.
d2y
dy dp
=p ” = p…
Die Substitution lautet dann .
2
dx dx dy
Damit wird die Ordnung von n auf (n’1) verringert.


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2. Die abh¤ngige Variable y ist nicht explizit in der Differentialgleichung enthalten.
Die Substitution lautet y (k ) = p für die k-te als niedrigste in der Differentialgleichung
vorkommende Ableitung von y. Die Ordnung der DGL wird damit um eins verringert.

( )
f x, y, y′, y ′′, K , y (n ) = 0 ist eine homogene Funktion1 in
3. Die Differentialgleichung
y , y ′, y ′′, K , y (n ) .
y′
, d.h. y = e « .
z…dx
Die Substitution lautet z =
y
Die Ordnung wird um eins verringert.


4. Die Differentialgleichung ist eine Funktion nur von x.
Die allgemeine Lösung lautet dann folgendermaßen:
y = C 1+ + C 2 x + C 3 x 2 + K + C n x n ’1 + ψ ( x )

mit ψ ( x ) = «« L « f (x )(dx ) = … « f (t )( x ’ t ) dt
1 x n ’1
n

(n ’ 1)! x0
… y (x 0 )
1 k ’1
Ck =
und
(k ’ 1)!
Hilfreich kann bei der Lösung solcher Differentialgleichungen auch die folgende Beziehung sein:

()
1
… y′2 = y′′ … y′
2


12.5 Lineare Differentialgleichungs-Systeme erster Ordnung

Mit Ausnahme der Unterpunkte 12.5.1 bis 12.5.3 sollen nur DGL-Systeme mit konstanten
Matrizen behandelt werden.

12.5.1 Lineares Differentialgleichungs-System erster Ordnung:
Es hat die folgende Form:

y = A( x ) … y + f
« a11 (x ) L a1n ( x ) 
« f1  « y1 
¬· ¬· ¬ ·
A( x ) = ¬ M
f = ¬ M ·, y = ¬ M · und O M·
mit
¬f · ¬y · ¬ a ( x ) L a ( x )·
 n  n  n1 
nn



Ist f ≡ 0, so heißt das System homogen, sonst inhomogen.
Ist A eine konstante Matrix, so spricht man von einem System mit konstanten Koeffizienten.

12.5.1.1 Lösbarkeit:
Sind die Elemente aik(x) der Matrix und die Funktion f stetig in einem gegebenen Intervall, so hat
das DGL-System genau eine Lösung in diesem Intervall.



1
Eine Funktion heißt homogen mit dem Homogenit¤tsgrad m, wenn sie die folgende Bedingung für beliebige » erfüllt:
f (»x1 , »x2 ,K, »xn ) = » … f ( x1 , x2 ,K, xn )
m


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12.5.1.2 Linearkombinationen von Lösungen eines homogenen linearen DGL-Systems:
Sind y1,...,yk Lösungen eines homogenen linearen DGL-Systems, dann ist auch jede beliebige
y = c1 … y1 + K + ck … y k mit c1 ,K, ck ∈…
Linearkombination von Lösungen wieder
eine neue Lösung.

12.5.2 Lineare Abh¤ngigkeit, lineare Unabh¤ngigkeit von Lösungen:
Die Funktionen y1,...,yk nennt man auf einem Intervall linear unabh¤ngig, falls für alle x aus
diesem Intervall aus ±1 … y1 ( x ) + K + ± k … y k ( x ) = 0 ±1 = K = ± k = 0 folgt.
Andernfalls heißen y1,...,yk linear abh¤ngig.

12.5.3 Anzahl linear unabh¤ngiger Lösungen:

Ist die Matrix A ( x ) ∈ … n — … n stetig in einem Intervall für x, dann hat das System y = A ( x ) … y
genau n linear unabh¤ngige Lösungen in diesem Intervall.

12.5.4 Fundamentalsystem (FS), Fundamentalmatrix, Übertragungsmatrix:

12.5.4.1 Fundamentalsystem:

Ein System y1,...,yn linear unabh¤ngiger Lösungen von y = A … y heißt Fundamentalsystem.

12.5.4.2 Fundamentalmatrix:
( )
Als Fundamentalmatrix bezeichnet man die Matrix Y (x ) = y 1 , K , y n .
Die reell gew¤hlte Fundamentalmatrix ermöglicht sp¤ter die direkte Berechnung eines
homogenen Lösungsanteils: y H ( x ) = Y ( x ) … c mit c ∈¶ n
Eigenschaften der Fundamentalmatrix:
1. Y ′( x ) = A … Y ( x )
2. c = Y (0 ) … x 0
’1


12.5.4.3 Übertragungsmatrix oder normierte Matrix:
Y ( x ) = Y ( x ) … Y (0 )
’1
ˆ
Die (stets reelle) Übertragungsmatrix lautet:
Homogener Lösungsanteil des DGL-Systems, berechnet mit der Übertragungsmatrix:
y H (x ) = Y (x ) … x 0 mit x 0 ∈… n
ˆ
Eigenschaften der Übertragungsmatrix:
1. Y ′( x ) = A … Y ( x )
ˆ ˆ
2. Y (0 ) = E
ˆ
3. Y ( x1 + x 2 ) = Y ( x1 ) … Y ( x 2 )
ˆ ˆ ˆ
4. Y (’ x ) = Y (x )
ˆ ’1
ˆ

12.5.5 Wronski-Determinante eines homogenen linearen DGL-Systems:
Haben die Lösungen y1,...,yn die Dimension n, so wird
( )
W ( x )Údet y 1 , y 2 , K , y n
1 4 2 44
4 3
( n— n )- Matrix
Wronski-Determinante genannt.
Ist die Wronski-Determinante W(x) ≠ 0 für alle x, so bilden die Lösungen y1,...,yn ein
Fundamental-system. Für lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung wird die Wronski-
Determinante etwas anders definiert.

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12.5.6 Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichungs-Systeme erster Ordnung:
Die allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus einem homogenen Lösungsanteil und einem
partikul¤ren Lösungsanteil.
y = yH + yP

12.5.6.1 Bestimmung des homogenen Lösungsanteils:


y = A… y
1. Schritt: Die homogenen linearen DGL-Systeme werden mit Hilfe der
Eigenvektoren und der Eigenwerte der Matrix A gelöst. Aus der Charakteristischen Gleichung
L
a11 ’ » a12 a1n
a22 ’ » L
a21 a2 n
det ( A ’ »E ) = =0
M M O M
L ann ’ »
an1 an 2
erh¤lt man ein vollst¤ndiges System von (komplexen) Wurzeln »1, »2, ..., »n (Eigenwerte von A).

2. Schritt: Danach sind zwei F¤lle zu unterscheiden.

1. Fall: Verschiedene Wurzeln »i
Mit der Gleichung
( A ’ »i E ) …ν = 0
erh¤lt man für jede der Wurzeln »i je einen Lösungsvektor νi , der nicht normiert werden muß.
Das (komplexe) Fundamentalsystem ergibt sich dann zu Folgendem:
± y = ν 1 … e »1x
1 »2 x
 y2 = ν 2 … e
FS: 
M

 y = ν n … e »n x
n
Tritt in dem vollst¤ndigen System der Wurzeln eine komplexe Wurzel auf (z.B. »1 = ± + i … β ),
dann kommt in dem System auch die konjugiert-komplexe Wurzel » 2 = » 1 = ± ’ i … β vor.

<<

. 4
( 6)



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