<<

. 5
( 6)



>>

Daraus folgt dann, daß auch die zugehörigen Lösungsvektoren konjugiert-komplex sind.
ν 1 … e »1x = ν 2 … e »2 x
y1 = y 2 ”
Diese beiden komplexen Lösungen können durch zwei reelle Lösungsvektoren ersetzt werden.
Sie lauten folgendermaßen:
˜ = Re y = y 1 + y 2
()
y1 1
2
˜ = Im y = y 1 ’ y 2
()
y2 1
2i

Die beiden Vektoren entsprechen dem Real- bzw. dem Imagin¤rteil von y1.




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12. Gewöhnliche Differentialgleichungen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




Beispiel: Gesucht wird die allgemeine Lösung des folgenden DGL-Systems.

′ «1 1
y =¬ ¬ ’ 2 ’ 1· … y
·
 4 4
123
A
1’ » 1
” = »2 + 1 = 0 ” »1,2 = ± i
’2 ’1 ’ »
«1 «1
( A ’ »1 E ) …ν 1 = 0 ( A ’ » 2 E ) …ν 2 = 0 ν1 = ¬ · und ν 2 = ¬ ¬ ’1 ’ i ·

bzw. ¬ ’1+ i · ·
   
« 1  ix « 1  ’ix
y1 = ¬ ·…e und y 2 = ¬ ¬ ’1’ i· …e
’ ¬ ’1+ i· ·
   

() ()
˜ = Re y = «  « 
cos x sin x
· und ˜ 2 = Im y 1 = ¬
¬ ¬ ’ sin x + cos x ·
’ y1 y
¬ ’ cos x ’ sin x · ·
   
1


cos x sin x
=1
det
’ cos x ’ sin x ’ sin x + cos x
«  « 
cos x sin x
’ y ( x ) = C1 … ¬ · + C2 … ¬
¬ ’ sin x + cos x ·
¬ ’ cos x ’ sin x · ·
   

2. Fall: Mehrfache Wurzeln »i
Die Wurzel »i trete r-mal auf. Die Lösungen, die der r-fachen Wurzel »i im Fundamentalsystem
entsprechen, erh¤lt man mit dem Ansatz
( )
y i = u 0 + u 1 x + K + u r ’1 x r ’1 … e »i x .
Das auftretende Polynom ist vom Grad r’1. Die Vektoren ui sind unbestimmt. Setzt man nun yi in
das DGL-System ein, so entsteht ein lineares Gleichungssystem für die Vektorkoordinaten, von
denen r entsprechend der Vielfachheiten der Wurzel »i beliebig w¤hlbar sind.

Beispiel: Gesucht wird die allgemeine Lösung des folgenden DGL-Systems.
« 0 1 0
′¬ ·
y = ¬0 0 1· … y
¬ 0 ’ 1 2·
 4243 
1
A
’ A ’ »E = ’» … (» ’ 1) = 0 ’ »1 = 0, »2 ,3 = 1
2




« c1 
¬·
Der einfachen Wurzel »1 = 0 entspricht der Lösungsansatz: y1 = ¬ c2 · .
¬c ·
 3

« c1 
¬·
Einsetzen in das DGL-System ergibt y1 = ¬ 0 · .
¬0·




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Die Vielfachheit der Wurzel »2,3 ist zwei, der zu benutzende Ansatz lautet dann:
« « a1  « b1  
¬¬ · ¬ · ·
y 2 , 3 = ¬ ¬ a 2 · + ¬ b2 · … x · … e x
¬¬ a · ¬b · ·
 3   3  
Einsetzen in das DGL-System und Auflösen des linearen Gleichungssystems führt auf:
« ’ 1
« b1  «1 « a1  « 1
¬· ¬· ¬· ¬· ¬·
b2 · = b2 … ¬ 1 · ’ ¬ a 2 · = a 2 ¬ 1 · + b2 … ¬ 0 ·
¬
¬b · ¬1· ¬a · ¬ 1· ¬1·
 3   3  
Die Fundamentallösungen zu »2,3 = 1 lauten dann:
« ’1 + x
«1
¬· x ¬ ·x
y 2 ( x ) = ¬1· … e , y 3 (x ) = ¬ x · … e
¬1· ¬ 1+ x ·
  
Sie bilden zusammen mit y1 ein Fundamentalsystem. Die allgemeine Lösung lautet:
« ’1 + x
« 1 «1
¬· ¬· x ¬ ·
y( x ) = C1 … ¬ 0 · + C 2 … ¬1· … e + C3 … ¬ x · … e x
¬ 0· ¬1· ¬ 1+ x ·
   
Im allgemeinen Fall, d.h. unabh¤ngig von der Vielfachheit der Eigenwerte der Matrix A ist das
folgende Lösungsprinzip anwendbar. Es ist dem hier schon beschriebenen Verfahren ¤quivalent.

Lösungsprinzip unter Verwendung der Übertragungsmatrix:

Nach der Bestimmung der Übertragungsmatrix aus dem Fundamentalsystem gem¤ß der Formel
Y ( x ) = Y ( x ) … Y (0 )
’1
ˆ
ergibt sich die homogene, reelle Lösung des vorgegebenen Anfangswertproblems zu Folgendem:
y H (x ) = Y (x ) … x 0 mit x 0 ∈… n
ˆ


Mehr zu den Eigenschaften der Übertragungsmatrix befindet sich unter Punkt 12.5.4.3 .

12.5.6.2 Bestimmung des partikul¤ren Lösungsanteils:


1. Schritt: Für das Störglied f(x) des DGL-Systems y = A … y + f ( x ) wird folgender Ansatz
gemacht:
[ ]
f ( x ) = e βx … q1 ( x ) … cos(„¦ … x ) ’ q 2 ( x ) … sin („¦ … x )

Die Zahlen β und „¦ müssen reell sein, µ = β + i „¦ darf kein Eigenwert von A sein.
q1(x) und q2(x) sind reelle Vektorpolynome.
Ist µ ein Eigenwert, so wird im 3. Schritt eine kleine „nderung vorgenommen.

2. Schritt: Man bildet dann die sogenannte komplexe Störfunktion:
f (x ) = q (x ) … e µx mit q (x ) = q 1 (x ) + i … q 2 ( x )
˜


3. Schritt: Der n¤chste Ansatz lautet:
() ()
˜ (x ) = p (x ) … e µx grad p = grad q
yP mit

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Falls µ ein Eigenwert ist, so wird dieser Ansatz gemacht:

grad ( p ) = grad (q ) + 2
˜ (x ) = p (x ) … e µx
yP mit

Dies erzeugt zwar sp¤ter ein Gleichungssystem höherer Ordnung, sonst müßte aber eine
Fallunterscheidung für die Funktionswerte von µ im charakteristischen Polynom vorgenommen
werden, die etwas mehr Zeit beansprucht.

4. Schritt: Dieser Ansatz für die partikul¤re Lösung wird in das DGL-System eingesetzt.
′ ′
A … ˜ P ( x ) + f ( x ) = ˜ P ( x ) = µ … e µx … p ( x ) + e µx … p ( x )
˜
y y

q(x ) = p (x ) ’ ( A ’ µ … E ) … p(x )


Die letzte Gleichung lassen sich die Koeffizienten von p(x) ermitteln.
˜ (x ) = p (x ) … e µx .
Damit erh¤lt man die partikul¤re Lösung yP

Beispiel: Gesucht ist eine partikul¤re Lösung des folgenden DGL-Systems.

« 0 ’ 2 « 3
x(t ) = ¬ · … x(t ) + ¬ · … e ’t
& ¬2 0 · ¬ 1·
  

Nach dem ersten Ansatz folgt:

β = ’ 1
„¦ = 0 
µ = ’1 
 «a 
 « a1   x P (t ) = p (t ) … e µ t = ¬ 1 · … e ’ t
’ ’
 p (t ) = ¬ ·  ¬a ·
« 3  ¬ a ·  1
q 1 (t ) = ¬ ·  
¬ 1 · ’ q (t ) = « 3    1 
¬·
  ¬ 1 ·


q 2 (t ) = 0  


Im n¤chsten Schritt wird nun dieser Lösungsansatz in das DGL-System eingesetzt und die
unbekannten Koeffizienten ermittelt.

x P (t ) = A … x P (t ) + f (t )
&
« 3  ’t ® « a1  « 0 ’ 2  « a1  ’t
’ ¬ · … e = ’ ¬ · ’ ¬
¬ a · ¬ 2 0 · … ¬ a · … e
¬1· ·¬ ·
 °  2    2 »
±’ a1 + 2a 2 = 3 « ’ 1
”a=¬ ·
” ¬1·
’ 2a1 ’ a 2 = 1 
« ’ 1
’ x P (t ) = ¬ · … e ’t
¬1·





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Lösungsprinzip unter Verwendung der Übertragungsmatrix:

Auch die partikul¤re Lösung l¤ßt sich mit Hilfe der Übertragungsmatrix ermitteln. Sie lautet
allgemein:
y P ( x ) = Y ( x ) … c (x )
ˆ

c (x ) = « Yˆ (’ s ) … f (s ) … ds
x
mit
Zur Berechnung des Vektors c(x) sind in der Regel etwas ausgefallenere Integrale zu lösen.

Beispiel: Gesucht wird eine partikul¤re Lösung zum folgenden DGL-System, dessen Übertra-
gungsmatrix bereits bestimmt wurde.
« 0 1 « sin t  « cos t sin t 
x (t ) = ¬ · … x (t ) + ¬ ’t · Y (t ) = ¬
& ¬ ’ sin t cos t ·
ˆ
¬ ’ 1 0· ¬e · ·
     
Nach der obenstehenden Formel ergibt sich dann:
t « cos (’ s ) sin (’ s )  « sin s 
c(t ) = « Y (s ) … f (s ) … ds = « ¬
t
¬ ’ sin (’ s ) cos(’ s )· … ¬ e ’ s · … ds
ˆ
·¬ ·
  
« cos s ’ sin s  « sin s  t « cos s … sin s ’ e … sin s 
’s
=«¬ · … ¬ ’ s · … ds = « ¬
t
·
¬ sin 2 s + e ’ s … cos s · … ds
¬ sin s cos s · ¬ e ·
    
« 
… sin 2 t + … e ’t … (sin t + cos t )
1 1
¬ ·
=¬ ·
2 2
¬ … (t ’ sin t … cos t ) + … e … (’ cos t + sin t )·
1 1 ’t
¬ ·
2 
2
Die partikul¤re Lösung lautet:
ˆ (t ) … c (t ) = 1 … « 
e ’ t + t … sin t
(t ) = Y ¬ ·
xP ¬ ’ sin t ’ e ’t + t … cos t ·
2 

12.5.7 Allgemeine Lösung eines gegebenen Anfangswertproblems:
Faßt man alle bis hierher gewonnenen Erkenntnisse zusammen, so ergibt sich folgende Formel:
y ( x ) = Y ( x ) … c + Y ( x )« Y (µ ) … f (µ ) … d µ
x

x0



Ausgedrückt mit der Übertragungmatrix:
y ( x ) = Y ( x ’ x 0 ) … y 0 + « Y ( x ’ µ ) … f (µ ) … d µ
x
ˆ ˆ
x0




12.6 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

12.6.1 Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung:
Unter einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung versteht man eine Differentialgleichung
der Form
y ( n ) + a n ’1 ( x ) … y (n ’1 ) + a n ’ 2 ( x ) … y (n ’ 2 ) + K + a1 ( x ) … y ′ + a 0 ( x ) … y = f ( x ) .

Diese heißt homogen, falls f(x) = 0 ist, sie heißt inhomogen, falls f(x) ≠ 0 ist.

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12.6.1.1 Lösbarkeit:
Sind die Koeffizienten ak(x) und f(x) stetig in einem gegebenen Intervall, so hat für ein x0 aus
diesem Intervall das Anfangswertproblem

y ( n ) + a n ’1 ( x ) … y (n ’1 ) + K + a 0 ( x ) … y = f ( x )
y ( x 0 ) = y1
y ′( x 0 ) = y 2
M
y (n ’1 ) ( x 0 ) = y n

mit reellen yk genau eine Lösung im gegebenen Intervall.

Im Folgenden sollen nur Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten betrachtet
werden.

12.5.1.2 Linearkombinationen von Lösungen einer linearen DGL n-ter Ordnung:
Sind y1,...,yk Lösungen einer homogenen linearen DGL n-ter Ordnung, dann ist auch jede beliebige
y = c1 … y1 + K + c k … y k c1 , K , c k ∈ … von Lösungen wieder eine
Linearkombination mit
neue Lösung.

12.6.2 Umformung in DGL-System erster Ordnung:
Es werden Substitutionen durchgeführt:

′ L
« y «0 0 « y  « 
y1 = y  1 0 0
¬ · ¬ ·
¬ · 0 · ¬ y′ · ¬
y2 = y′  L
¬ y′ · ¬ ·
0 0 1 0
¬ ·
 ¬M ·…¬ M · + ¬ ·
M ¬ M ·= M M O M M
’ ¬ ·¬ ·¬ ·
¬ ·

M M · ¬0 M·¬
L M
1 ·¬ ·
0 0
¬ (n ’1 ) ·
 ¬y ¬ (n ’1 ) · ¬
 ¬ ’ a 0 ’ a1 ’ a 3 L ’ a n ’1 ·  y
y n = y (n ’1 )  f ( x )·
  
 4 4 4 4 42 4 4 4 4 43 
1
=A
(n — n )’ Matrix

12.6.3 Fundamentalsystem:
Die Darstellung des Fundamentalsystems von Lösungen sieht folgendermaßen aus:
« yn 
« y1 
¬ ·
¬ ·
y′ ·

¬ y1 · ¬
y1 (x ) = ¬ , K , y n (x ) = ¬ n ·
M· M
¬ (n’1) · ¬ (n’1) ·
¬y · ¬y ·
1  n 


12.6.4 Aufstellen eines Fundamentalsystems:
Gegeben ist die homogene lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
y (n ) + a n ’1 … y (n ’1) + a n ’ 2 … y (n ’ 2 ) + K + a1 … y ′ + a 0 … y = 0


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Man erh¤lt ein Fundamentalsystem, wenn man zu jeder r-fachen Nullstelle »k die rk Lösungen
e »k x , x … e »k x , K , x r ’1 … e »k x
und zu jedem Paar konjugiert-komplexer Nullstellen »k , »k (r-fach) die 2r Lösungen
eσ k x … cos(„ k x ), K , x r ’1 … eσ k x … cos(„ k x )
eσ k x … sin („ k x ), K , x r ’1 … eσ k x … sin („ k x ) mit σ k = Re(»k )
und „ k = Im(»k )
zusammenfaßt.

12.6.5 Fundamentalmatrix, Übertragungsmatrix:
Sie wird ebenso aufgestellt wie bei normalen DGL-Systemen:

L yn 
« y1 y1
¬ ·
L y′ ·
¬ y′ y′
Y (x ) = ¬ 1 2 n


M M O
¬ (n’1) ·
¬y ( n’1) ·
y2n’1)
(
L yn 
1

Sie besitzt alle bereits bei DGL-Systemen beschriebenen Eigenschaften (s. Punkt 12.5.4.3).
Das Aufstellen der Übertragungsmatrix erfolgt entsprechend.


12.6.6 Wronski-Determinante:
Analog zu DGL-Systemen lautet sie:
y1 L yn
y1
L yn
y′ y′ ′
W (x ) = 1 2

M M O M
y1(n’1) y2n’1) L ynn’1)
( (

Ist der Betrag der Wronski-Determinante nicht null, so bilden die Spaltenvektoren ein
Fundamentalsystem zur gegebenen Differentialgleichung.


12.6.7 Allgemeines Lösungsverfahren:

12.6.7.1 Charakteristisches Polynom:
Zur Differentialgleichung y ( n ) + a n ’1 … y ( n ’1) + a n ’ 2 … y ( n ’ 2 ) + K + a1 … y ′ + a 0 … y = f ( x ) wird das
charakteristische Polynom oder charakteristische Gleichung folgendermaßen definiert:
P (» ) = » n + a n ’1 … » n ’1 + a n ’ 2 … » n ’ 2 + K + a1 … » + a 0

12.6.7.2 Bestimmung des homogenen Lösungsanteils:

1.Schritt: Zuerst werden die Nullstellen der charakteristischen Gleichung ermittelt.
2. Schritt: Danach wird das reelle Fundamentalsystem aufgestellt.
3. Schritt: Die Lösung des homogenen DGL-Anteils lautet dann:
y H ( x ) = c1 … y1 ( x ) + c2 … y 2 ( x ) + K + cn … y n ( x )


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12.6.7.3 Bestimmung des partikul¤ren Lösungsanteils:

1. Schritt: Für das Störglied f(x) der DGL wird folgender Ansatz gemacht:
f ( x ) = e βx … [q1 ( x ) … cos(„¦ … x ) ’ q 2 ( x ) … sin („¦ … x )]

Die Zahlen β und „¦ müssen reell sein. q1(x) und q2(x) sind reelle Polynome.
2. Schritt: Man bildet dann die sogenannte komplexe Störfunktion:
f (x ) = q ( x ) … e µx mit q (x ) = q1 (x ) + i … q 2 ( x )
˜

µ = β + i…„¦
und

3. Schritt: Der n¤chste Ansatz lautet:
• ( x ) = (u 0 + u1 x + K + u r x r ) grad (• ) = grad (q ) + 2
mit
Die partikul¤re (komplexe) Lösung wird wie folgt angesetzt:
˜ (x ) = • ( x ) … e µ x
yP
n
Daraus folgt dann: q ( x ) = ‘ … P (k ) (µ ) … • (k ) ( x )
1
k =0 k!
Im Falle, daß die Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, gilt vereinfacht:
• ′′( x ) + P ′(µ ) … • ′( x ) + P (µ ) … • ( x ) = q ( x ) mit µ = β + i … „¦

4. Schritt: Aus der obenstehenden Formel werden schrittweise alle Koeffizienten bestimmt. Dazu
kann der Koeffizientenvergleich ” d.h. Vergleich von Real- bzw. Imagin¤rteilen auf beiden
Seiten der Gleichung ” angewandt werden.
• 1 ( x ) = Re [• ( x )]
• 2 (x ) = Im [• ( x )]

Daraus folgt schließlich für die partikul¤re Lösung:
y P ( x ) = Re [˜P (x )] = e βx … [• 1 ( x ) … cos („¦ … x ) ’ • 2 ( x ) … sin („¦ … x )]
y

Beispiel: Gesucht wird die allgemeine Lösung der folgenden linearen Differentialgleichung.

&& + 2 x + 5 x = 5t 23 + 4 e ’2 t …43
& 1 ’ 13 1 42 sin t
x
f 1 (t ) f 2 (t )

Eine solche Aufteilung des Störgliedes in zwei (oder mehr) Teile wird dann notwendig, wenn es
offensichtlich nicht die allgemeine Form f ( x ) = e βx … [q1 ( x ) … cos(„¦ … x ) ’ q2 ( x ) … sin („¦ … x )] von
Störgliedern besitzt.

Homogene Lösung:
Es werden die Nullstellen des charakteristischen Polynoms P(») bestimmt.
» 2 + 2 » + 5 = 0 ” »1 = ’ 1 + 2 i » 2 = ’ 1 ’ 2i

Die allgemeine, reelle Lösung der homogenen Differentialgleichung lautet dann:
x H (t ) = e ’ t … (c1 … cos 2 t + c 2 … sin 2 t )



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Partikul¤re Lösung:
Zu f1(t):
f1 (t ) = 5t ’ 13 = f 1 (t )
˜

x P1 (t ) = a 0 + a1t + a 2 t 2 + a 3 t 3
Koeffizentenvergleich liefert: x P1 (t ) = t ’ 3
Zu f2(t):
f 2 (t ) = 4e ’2t … sin t = e βt … [q1 (t ) … cos(„¦t ) ’ q2 (t ) … sin („¦t )]
˜

q1 (t ) = 0 q2 (t ) = ’4
β = ’2 „¦ =1
mit
q (t ) = ’4i
’ µ = ’2 + i
( )
’ ˜P 2 (t ) = e µt … • (t ) = e (’2+i )t … a0 + a1t + a2t 2
x

Als n¤chstes wird der Ansatz • ′′(t ) + P ′(µ ) … • ′(t ) + P (µ ) … • (t ) = q (t ) benutzt, um die
unbekannten Koeffizienten von •(t) zu bestimmen. Diese ergeben sich zu Folgendem:
24
a2 = a1 = 0 , a0 = ’ i
55

Die allgemeine Lösung des zweiten Teils vom Störglied lautet dann:
® « 2 4  «2 
xP 2 (t ) = Re[˜P 2 (t )] = Re e (’2+i )t … ¬ ’ i · = e ’2t … ¬ cos t + sin t ·
4
x
 5 5 » 5 
° 5

Die allgemeine Lösung der gesamten Differentialgleichung ergibt sich somit zu:
x (t ) = x H (t ) + x P1 (t ) + x P 2 (t )

= e ’ t … (c1 … cos 2 t + c 2 … sin 2 t ) + … e … (2 … sin t + cos t ) + t ’ 3
2 ’2t
5


12.6.8 Tabelle zur Lösungsbasis von linearen homogenen Differentialgleichungen
2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

y H ( x ) = c1 … y1 ( x ) + c2 … y 2 ( x ) mit y1(x) und y2(x) aus der
Die homogene Lösung lautet
untenstehenden Tabelle.


Lösungsbasis der Differentialgleichung
Nullstellen von P(»)
y1 ( x ) = e »1x
»1 , »2 ∈…, »1 ≠ »2
y 2 ( x ) = e »2 x
y1 ( x ) = e »1x
»1 = »2
y 2 ( x ) = x … e »1x
y1 ( x ) = e± …x … cos(ω … x )
»1, 2 = ± ± i … ω mit ω > 0
y 2 ( x ) = e± …x … sin (ω … x )
Tabelle 3: Lösungsbasis von linearen homogenen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten


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12. Gewöhnliche Differentialgleichungen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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12.7 Eulersche Differentialgleichungen

12.7.1 Form Eulerscher Differentialgleichungen
Allgemein sehen diese Differentialgleichung folgendermaßen aus:
(bx + c )n … y (n ) (x ) + an’1 … (bx + c )n’1 … y (n’1) (x ) + K + a1 … (bx + c ) … y′(x ) + a0 … y(x ) = F (x ) ak , b, c ∈…

12.7.2 Allgemeines Löungsverfahren:
Es wird eine Substitution durchgeführt, die aus dieser speziellen Differentialgleichung eine
lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten macht.
()
bx + c = e u ’ ˜ (k ) (u ) = y (k ) e u
y
123
mit Ketten - und
Produktregel zu berechnen


Die Resubstitution lautet dann: u = ln (bx + c )


12.7.3 Spezielle Eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung:
In der Form
x 2 … y ′′( x ) + a … x … y ′( x ) + b … y ( x ) = F ( x ) a, b ∈…
vereinfacht sich die Substitution auf
x = eu ” u = ln x
und die neue Differentialgleichung lautet:
() ()
˜′′(u ) + (a ’ 1) … ˜′(u ) + b … ˜ (u ) = F e u ˜ (u ) = y e u
y y y mit y


12.8 Rand- und Eigenwertprobleme

12.8.1 Begriff des Randwertproblems (RWP):
Unter Randwertproblemen versteht man Probleme, bei denen die gesuchte Lösung einer
Differentialgleichung (eines DGL-Systems) in den Endpunkten eines Intervalls der unabh¤nigen
Variable(n) bei vorgegebenen Bedingungen genügen muß. Randwertprobleme treten in der Pysik
sehr h¤ufig auf.

Gegeben sei L[y] = f(x), eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit auf [a,b] stetigen
Koeffizienten. f(x) sei ebenfalls stetig. Die Randbedingungen seien
( )
n ’1
U µ [ y ] = ‘ ± µ ,ν … y (ν ) (a ) + β µ ,ν … y (ν ) (b ) µ = 1, K , m
ν =0

und γ1, ..., γm reell.
Dann bestimmen die Gleichungen
L[ y ] = f ( x )
U µ [y ] = γ µ µ = 1, K , m
ein Randwertproblem (RWP).

12.8.2 Begriff des Eigenwertproblems bei Differentialgleichungen:
Analog zur Definition des Eigenwertproblems bei Matrizen wird festgelegt:
L[ y ] = » … y
heißt Eigenwertproblem der Differentialgleichung L[y]. » heißt Eigenwert zur Eigenfunktion y,
die diese Gleichung unter gegebenen Randbedingungen erfüllt.
In den meisten F¤llen muß für » eine Fallunterscheidung durchgeführt werden.
Seite 90
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Beispiel: Bestimmt werden sollen die Eigenwerte und die Eigenfunktionen des Randwert-
problems
w′′( x ) = » … w( x ) für 0 ¤ x ¤ π
» ∈…
w′′(0) = w′′(π ) = 0

1. Fall: » > 0: Die allgemeine Lösung der DGL lautet dann w( x ) = c1 … e » …x
+ c2 … e ’ » …x
.
Koeffizientenvergleich nach Einsetzen in die DGL liefert:
0 = w′′(0 ) = » … (c1 + c2 )
!
’ c1 = ’c2

( )
0 = w′′(π ) = » … c1 … e » …π ’ e ’ » …π
!
’ c1 = 0 ’ c2 = 0
14 244
4 3
≠0
Die erhaltene Lösung für » > 0 ist also die triviale Lösung w(x) ≡ 0.

2. Fall: » = 0: Die Lösung der entstehenden DGL w′′( x ) = 0 lautet w( x ) = c1 x + c2 ,
d.h., Eigenfunktionen zum Eigenwert » = 0 sind w(x) = x und w(x) = 1.

3. Fall: » < 0: In diesem Fall lautet die allgemeine Lösung:
( ) ( )
w( x ) = c1 … sin ’ » … x + c2 … cos ’ » … x
( ) ( )
w′′( x ) = » … c1 … sin ’ » … x + » … c2 … cos ’ » … x

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
0 = w′′(0 ) = » … c2
!
’ c2 = 0

( )
0 = w′′(π ) = » … c1 … sin ’ » … π
!




Da » ≠ 0 ist, muß entweder c1 = 0 (triviale Lösung) oder » = ’n² sein (n ganzzahlig). Zugehörige
Eigenfunktionen sind wn ( x ) = c1 … sin (nx ) für n ∈Á .


12.9 Autonome Differentialgleichungen 2. Ordnung

12.9.1 Form, Anfangswerte:
In der allgemeinen Form lauten sie:

&& = f (x, x )
&
x

Die unabh¤ngige Variable t kommt nicht explizit vor.
x(t 0 ) = x0 , x(t 0 ) = p0 ≠ 0
&
Anfangswerte:

12.9.2 „quivalentes DGL-System erster Ordnung:
Es wird geschieben in der Form:
&
x= p
p = f ( x, p )
&
Die Anfangswerte lauten dann: x(t 0 ) = x0 , p (t 0 ) = p0 ≠ 0

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12. Gewöhnliche Differentialgleichungen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




In Anlehnung an die Physik wird p als Impuls bezeichnet, f sei ein Kraftfeld in einem bestimmten
Gebiet der (x,p)-Phasenebene (Orts-Impuls-Ebene).


12.9.3 Singul¤re Punkte:
(xs,ps) heißt singul¤rer Punkt (SP) der Differentialgleichung && = f (x, x ) , wenn folgendes gilt:
&
x
f ( xs ,0 ) = 0
p s = 0 und
Die singul¤ren Punkte liegen auf der x-Achse. Andere Bezeichnungen für singul¤re Punkte sind
Gleichgewichtslage oder Ruhelage der Differentialgleichung.

12.9.4 Phasenkurve (PK):
Eine orientierte Kurve “ in der (x,p)-Ebene heißt Phasenkurve (PK) der Differentialgleichung
&& = f (x, x ) , wenn es eine Lösung
&
x
« x(t )
t a x(t ) = [x(t ), p (t )] = ¬
¬ x(t )·
T
·
& 
gibt, die eine Parameterdarstellung (PD) von “ ist.


Merkregel für die Pfeilrichtung in Phasenkurven:
Die Pfeile weisen nach rechts, wenn p positiv ist. Wenn p negativ ist, weisen die Pfeile nach
links.


12.9.5 Bestimmung der Phasenkurve, Lösen von Anfangswertproblemen:
Die Bestimmung erfolgt in mehreren Schritten.

1. Schritt: Ansatz für “ mit (x0,p0) ∈ “ :
p = • (x )
p 0 = • ( x0 )
Gesucht ist •(x).
Nach einigen Umformungen und Substitutionen ergibt sich:
• ′ = … f ( x, • )
1

und • ( x0 ) = p0 ≠ 0
Dies ist eine Differentialgleichung erster Ordnung für •(x).

2. Schritt: •(x) wird berechnet.
Man löst eine Differentialgleichung erster Ordnung für x(t), indem man
dx
= dt
• (x )
einsetzt. Es ergibt sich das Folgende:
x ds
t ’ t0 = «
x0 • ( s )

Daraus erh¤lt man t als Funktion von x. Aufgelöst nach x(t) hat man dann die
Parameterdarstellung der Phasenkurve durch (x0,p0).


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12. Gewöhnliche Differentialgleichungen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




Beispiel: Gesucht ist die Lösung des folgenden Anfangswertproblems:
( )
& &
x 3 + x2
2 xx 2
mit x(0 ) = 1 , x(0 ) = 2 und x > 0
&& = &

x
3 + x2 2x2

Substitution ergibt:
&
x= p 
( ) 
p 3 + x2
2 xp 2 
&
p= ’

3+ x 2 2
2x
’
” p = • (x ) 
( )
2
p 3+ x
2
p = • ′( x ) … p =
2 xp
& ’ 
3 + x2 2x2 
3 + x2 3 + x2
’ • ′( x ) = • (x ) ’ ’ • ′( x ) ’ • (x ) +
2x 2x
=0
3 + x2 3 + x2
2x2 2x2

Nach Lösungsformel für Differentialgleichungen erster Ordnung ergibt sich:
2s
® 
=’
}
3+ s 2
x x
«x0 B (s ) ds  «x0 B (s )ds  3 + x !
2
• (x ) = e …  • 0 ’ « {) … e
A(t
x
dt  = =p
{ 2x
x0
= p =2 
3+ t 2
0

° »
=
2
2t

Damit ist die Phasenkurve bestimmt. Weiter kann berechnet werden:
[ ] 3 + x2
ds
x
t ’ t0 = « 2x
= ln 3 + s = ln
{ x0 =1 • (s ) 4
1
=0



’ x(t ) = + 4e t ’ 3
3
mit t > ln
4
Dies ist die Lösung des angegebenen Anfangswertproblems.

12.9.6 Spezielle autonome Differentialgleichungen 2. Ordnung:
Wenn sich die Differentialgleichung schreiben l¤ßt als
&& = f ( x ) ,
x
dann lassen sich ein Potential (potentielle Energie), kinetische Energie und Gesamtenergie
einer Masse m = 1 definieren.

12.9.6.1 Potential (potentielle Energie):
Eine Funktion U(x) heißt Potential oder potentielle Energie, wenn U ′( x ) = ’ f ( x ) gilt.
U ( x ) = ’ « f (µ )dµ
x

x0

12.9.6.2 Kinetische Energie:
Sie wird definiert als Ekin ( p ) =
12 12
&
x = p.
2 2
12.9.6.3 Gesamtenergie:
Die Gesamte Energie eines Massenpunktes im Kraftfeld f am Ort x mit dem Impuls p ist die
Summe von kinetischer und potentieller Energie:
E ( x, p ) = p 2 + U ( x )
1
2


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12. Gewöhnliche Differentialgleichungen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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12.9.6.4 Energiesatz:
Für alle Punkte (x,p) einer Phasenkurve gilt der Energiesatz:
E ( x, p ) = E0 = konst.
’ U (x ) ¤ E0
Die Phasenkurven sind Niveaulinien der Energiefunktion bzw. Teile davon.

12.9.7 Lösungsverfahren der speziellen Differentialgleichung:
Es entfallen einige bei der allgemeinen autonomen Differentialgleichung notwendige Annahmen
bzw. Schritte. Es darf nun p0 = 0 sein.

1. Schritt: Das Potential wird aus U ( x ) = ’ « f (µ )dµ
x
berechnet.
x0

Die Phasenkurve folgt dann aus dem Energiesatz.

2. Schritt: Der Impuls l¤ßt sich berechnen mit

p = • ( x ) = ± 2 … (E0 ’ U ( x ))
E 0 = E ( x 0 , p0 )

ds
3. Schritt: Man gewinnt die Lösung mit der schon angegebenen Formel t ’ t 0 = «
x
.
x0 • ( s )




12.9.8 Autonome Differentialgleichungs-Systeme:
x = v(x )
&
Das allgemeine System lautet:
« x1,s 
mit v( x S ) = 0 .
Ein singul¤rer Punkt sei x S = ¬
¬x · ·
 2, s 

12.9.8.1 Linearisiertes System:
Ist v(x) in eine Taylorreihe entwickelbar, so heißt das System
« ‚v1 
‚v1
¬ ·
¬ ‚x1 x ‚x 2 ·
x = A … ( x ’ x S ) mit A = v x x = x = ¬
& xS
·
S


¬ ‚v 2 ‚v 2 ·
s


¬ ‚x1 ·
‚x 2
 xS 
xS

linearisiertes System.

Ermittelt man für das linearisierte System einen singul¤ren Punkt eines bestimmten Typs, so ist
er auch ein singul¤rer Punkt gleichen Typs für das nicht-linearisierte System.




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12. Gewöhnliche Differentialgleichungen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




12.9.9 Klassifizierung von singul¤ren Punkten, Phasenportraits:

12.9.9.1 Knotenpunkt:
Ein Knotenpunkt liegt vor, wenn die Wurzeln
der charakteristischen Gleichung reell sind und
gleiches Vorzeichen besitzen. In der Umgebung
des singul¤ren Punktes verlaufen alle
Phasenkurven durch ihn hindurch und haben hier,
falls keine Doppelwurzel vorliegt, eine
gemeinsame Tangente. Im Falle einer
Doppelwurzel haben die Phasenkurven entweder
eine gemeinsame Tangente, oder durch den
singul¤ren Punkt verl¤uft in jeder Richtung eine
eindeutige Kurve.

Handelt es sich um ein lineares autonomes
DGL-System, so werden noch Knotenpunkte 1.
Abbildung 18: Knoten 1. Art
Art und Knotenpunkte 2. Art unterschieden.




Abbildung 19: Knoten 2. Art



12.9.9.2 Strahlpunkt / Sternpunkt:
Als Strahlpunkt bezeichnet man einen
Knotenpunkt, durch den Phasenkurven der Form
y = C·x gehen.




Abbildung 20: Sternpunkt


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12. Gewöhnliche Differentialgleichungen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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12.9.9.3 Sattelpunkt:
Als Sattelpunkt bezeichnet man einen
singul¤ren Punkt, durch den genau zwei
Phasenkurven verlaufen. Die Wurzeln der
charakteristischen Gleichung sind dann reell
und besitzen verschiedenes Vorzeichen.
Sattelpunkte sind immer instabil.




Abbildung 21: Sattelpunkt

12.9.9.4 Strudelpunkt:
Sind die Wurzeln der charakteristischen
Gleichung konjugiert-komplex, dann ist der
singul¤re Punkt ein Strudelunkt, auf den sich die
Phasenkurven in unendlich vielen Windungen
aufwinden.




Abbildung 22: Strudelpunkt


12.9.9.5 Wirbelpunkt:
Ein singul¤rer Punkt, in dessen Umgebung
ausschließlich geschlossene Phasenkurven liegen,
heißt Wirbelpunkt. Die charakteristische
Gleichung muß rein imagin¤re Wurzeln haben.




Abbildung 23: Wirbelpunkt


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12. Gewöhnliche Differentialgleichungen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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12.9.9.6 Stabilit¤t von singul¤ren Punkten:
Gilt für einen singul¤ren Punkt (x0,0), daß zu jedem µ > 0 ein δ > 0 existiert, wobei für eine Wahl
des Anfangspunktes (x10, x20) mit dem Abstand δ1 < δ zum singul¤ren Punkt die zugehörige
Phasenkurve einen Abstand δ2 < µ zum singul¤ren Punkt hat, dann heißt der singul¤re Punkt stabil.
Die Pfeilrichtung der Phasenkurve weist auf den singul¤ren Punkt.

Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so heißt der singul¤re Punkt instabil.



12.9.9.7 Stabilit¤tskarte für lineare autonome DGL-Systeme im …²:

&
x = A… x
DGL-System:

Bezeichnungen:

«a b 
A=¬ ¬c d · ·
 
± = … Spur A = … (a + d )
1 1
2 2
γ = det A
β = ±2 ’γ
»1 , »2 : Eigenwerte von A


Es treten dann verschiedene F¤lle auf:

1. Fall: Sattelpunkt: γ < 0 ’ β > ± . Die Eigenwerte haben verschiedenes Vorzeichen.

2. Fall: Gerade von singul¤ren Punkten: γ = 0 und ± ≠ 0 ’ β = ± .
Ein Eigenwert ist null, der andere nicht.

3. Fall: Knoten 1. Art: 0 < γ < ± 2 ’ β < ± . Die Eigenwerte haben gleiches Vorzeichen.

4. Fall: γ = ± 2 ” β = 0 ” »1 = »2 = ± ∈… . Es gibt nur einen Eigenwert.
4.1: Sternpunkt: Die Eigenvektoren spannen den …² auf.
4.2: Knoten 2. Art: Die Eigenvektoren spannen den …² nicht auf.

5. Fall: Strudelpunkt: γ > ± 2 ” »1 ,»1 ∉… Die Eigenwerte sind konjugiert-komplex.




Seite 97
12. Gewöhnliche Differentialgleichungen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




Abbildung 24: Stabilit¤tskarte für lineare autonome DGL-Systeme im …²



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13. Fourierreihen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




13. Fourierreihen
13.1 Trigonometrische Polynome und minimale Integralmittel

13.1.1 Periodizit¤t:
Eine skalare Funktion f(x) heißt periodisch mit der Periode T > 0 oder auch T-periodisch, falls
f(x) = f(x + T) für alle reellen x gilt.

Ist eine solche Funktion f T-periodisch, so ist
« x …T 
g (x ) = f ¬ ·
2π 

2π-periodisch. Die folgenden Betrachtungen beziehen sich ausschließlich auf 2π-periodische
Funktionen.

13.1.2 Trigonometrisches Polynom n-ten Grades:
So bezeichnet man folgendes Polynom:
n
Tn ( x ) = a0 + ‘ (a k … cos kx + bk … sin kx ) mit a k , bk ∈…
k =1



13.1.3 Prim¤re Problemstellung:
Gegeben sei eine 2π-periodische Funktion f.

13.1.3.1 Kann f durch ein bestimmtes trigonometrisches Polynom besonders gut angen¤hert
werden ?
13.1.3.2 Was heißt „gute Ann¤herung“ überhaupt, wo f doch nicht einmal stetig sein muß, aber
jedes Tn stetig ist ?
13.1.3.3 Welche zus¤tzlichen Forderungen sind an f bzw. an die Koeffizienten ak, bk zu stellen so
daß die formale Reihe

S f ( x ) = lim Tk ( x ) = a0 + ‘ (ak … cos kx + bk … sin kx )
k ’∞
k =1
konvergiert ?
13.1.3.4 Wenn Sf (x) für ein reelles x existiert, gilt dann f(x) = Sf(x) ?

13.1.4 Integralmittel:
Als Maß der Ann¤herung w¤hlt man das sogenannte Integralmittel:
[ f (x ) ’ Tn (x )]2 … dx
µ n = µ n (a0 , K , an , b1 , K , bn ) = «
π

’π



13.1.5 Fourierkoeffizienten (FK):
Minimiert man das Integralmittel, so ergibt sich Folgendes:

… f ( x ) … dx
2π «’π
a0 =

a k = … « f ( x ) … cos kx … dx

π ’π
bk = … « f ( x ) … sin kx … dx

π ’π
Existieren diese Integrale, so heißen die Terme Fourierkoeffizienten (FK) von f.


Seite 99
13. Fourierreihen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




13.1.6 Unterscheidung bei geraden und ungeraden Funktionen:
Sei eine 2π-periodische Funktion f(x) gegeben, deren Fourierkoeffizienten für alle k existieren.
Dann gilt:
f ist eine gerade Funktion:

a0 = … « f (x ) … dx
π0

ak = … « f (x ) … cos kx … dx
π0
bk = 0
f ist eine ungerade Funktion:
a0 = a k = 0

… f ( x ) … sin kx … dx
π «0
bk =


13.1.7 Konvergenz:
Ist f stetig im Intervall [’π,π] und 2π-periodisch, dann gilt:
∞ > … « f ( x ) … dx ≥ 2a0 + ‘ (a k2 + bk2 )

1π 2 2

π ’π k =1
Die Fourierkoeffizienten streben gegen null, wenn k gegen unendlich geht.

13.1.8 Fourierreihe:
Ist f stetig und stückweise glatt im Intervall [’π,π] sowie 2π-periodisch, dann konvergiert die
Fourierreihe gleichm¤ßig und absolut, und es gilt:
S f ( x ) = … ®lim f « x  + lim f « x  
1
¬· ¬ ·
   »
° µ ’ x+ µ ’ x’
2
Betrachtet man eine allgemeine 2L-periodische Funktion f, so gilt für die Fourierreihe:
« « nπ  
« nπ 

S ( x ) = a0 + ‘ ¬ an … cos¬
1
x · + bn … sin ¬ x ··
¬ L ·
 L 
n =1  
2
« nπ 
… « f ( x ) … cos¬
1L
an = x · … dx
mit
 L
L ’L
« nπ 
bn = … « f ( x ) … sin ¬
1L
n = 0, 1, 2, K
x · … dx
 L
L ’L

13.1.9 Dirichlet-Term:
Dieser wird aus dem trigonometrischen Polynom gewonnen.
n
Tn ( x ) = a0 + ‘ (ak … cos kx + bk … sin kx )
k =1

® 
®
= …  « f (t ) …  + ‘ (cos kt … cos kx + sin kt … sin kx ) … dt 
1 π 1n
 2 k =1 14444 244444  
4 3
π ’π
=cos[k …( x ’t ) ]
 

° »»
°
®1 n 
= … « f (t ) …  + ‘ cos[k … ( x ’ t )] … dt

π ’π ° 244424443 »
1 k =1
= Dn ( x ’t )




Seite 100
13. Fourierreihen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




Der Dirichlet-Term hat folgende Eigenschaften:

®« 1 
sin ¬ n + · … u 
° 2 »
Dn (u ) =
u
2 … sin
2

… Dn (u ) … du = 1
π «’π

Daraus folgt für das trigonometrische Polynom:

Tn ( x ) = … « f ( x ’ u ) … Dn (u ) … du
π ’π

13.1.10 Fourierreihenentwicklungen einiger 2π-periodischer Funktionen:
Funktion Fourierreihe
2 4 ∞ cos(2nx )
f (x ) = ’ … ‘
±’ sin x ’ π ¤ x ¤ 0 π π n =1 4n 2 ’ 1
f ( x ) = sin x = 
2 4 « cos(2 x ) cos(4 x ) cos(6 x )
0 ¤ x ¤π
 sin x 
+ K·
= ’ …¬ + +
π π  1… 3 3…5 5…7 

π 4 ∞ cos[(2n ’ 1)x ]
f (x ) = ’ … ‘
2 π n =1 (2n ’ 1)2
±’ x ’π ¤ x ¤ 0
f (x ) = 
0¤ x ¤π cos(3 x ) cos(5 x )

<<

. 5
( 6)



>>