<<

. 6
( 6)



x π 4« 
+ K·
= ’ … ¬ cos x + +
2 π 
32 52

4 ∞ sin[(2n ’ 1)x]
f (x ) = … ‘
±’ 1 ’π < x < 0 π n =1 2n ’ 1
f (x ) = 
sin (3 x ) sin (5 x )
0¤ x ¤π
1 4« 
+ K· x ≠ nπ
= … ¬ sin x + +
π 
3 5

n cos (nx )
π2 ∞
f (x ) = + 4 … ‘ (’ 1) …
f (x ) = x 2 ’π ¤ x ¤ π n2
3 n =1

cos(2 x ) cos(3 x )
π2 « 
’ + K·
= ’ 4 … ¬ cos x ’ +
 
22 32
3

sin (nx )

f (x ) = π ’ 2 … ‘ x ≠ 2 nπ
0 ¤ x < 2π
±x
f (x ) =  n
n =1

sin (2 x ) sin (3 x )
x = 2π
0 « 
+ K·
= π ’ 2 … ¬ sin x + +
 
2 3
Tabelle 4: Fourierreihenentwicklungen einiger 2π-periodischer Funktionen




Seite 101
13. Fourierreihen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




13.2 Eine Anwendung auf die Saitenschwingung

Gegeben sei eine Saite der L¤nge π, die an beiden Enden eingespannt sei und auf die keine
¤ußeren Kr¤fte einwirke.

13.2.1 Zugehöriges Randwertproblem:

y (0, t ) = y (π , t ) = 0 für alle t
y ( x,0 ) = f ( x )
yt ( x,0) = g ( x )


y ( x, t ) = X ( x ) … T (t )


13.2.2 Separierte Differentialgleichungen:
Man erh¤lt als Ansatz:

T&(t ) ’ » … T (t ) = 0
&
»
X ′′( x ) ’ … X (x ) = 0
c2


13.2.3 Ermittlung der Eigenfunktionen:
Unter Berücksichtigung der Anfangs- und Randwerte ergibt sich:

X k ( x ) = C … sin (k … x )
Tk (t ) = d1, k … cos(c … k … t ) + d 2, k … sin (c … k … t )

13.2.4 Lösung der Differentialgleichung:

y k ( x, t ) = X k ( x ) … Tk (t )
n

‘ y ( x, t ) n ∈Á
k
k =1



13.2.5 Fourierreihen von f bzw. g:
n

‘ y (x, t ) existiert und Differentiation und Summation vertauschbar sind, so folgt:
Falls k
k =1

f ( x ) = ‘ d 1,k … sin (k … x )
k =1

g ( x ) = ‘ d 2,k … c … k … sin (k … x )
k =1



Dies sind die Fourierreihen von f bzw. g.



Seite 102
14. Kurven und Fl¤chen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




14. Kurven und Fl¤chen

14.1 Kurven im …² und …³

14.1.1 Parameterdarstellung eines Kurvenbogens, Parametertransformation:
x : [a, b ] a … n , n ∈ {2,3}
heißt Parameterdarstellung eines Kurvenbogens, wenn x(t) stetig und differenzierbar ist, sowie
die Ableitung nach t im Intervall [a,b] nicht null ist.
Eine Parametertransformation heißt „zul¤ssig“, wenn sie bijektiv und stetig ist, sowie überall
eine positive Ableitung besitzt. Bei zul¤ssigen Parametertransformationen ¤ndert sich die Richtung
einer Tangente nicht.

14.1.2 Spezielle zul¤ssige Parametertransformation auf „Bogenl¤nge“:
Die L¤nge einer allgemeinen Kurve lautet:
l (K ) = « x(„ ) … d„
&
b 2
a


s (t ) = « x(„ ) … d„
&
t 2
a
Dies ist eine zul¤ssige Parametertransformation.


14.1.3 Tangentenvektor, Normalenvektor und Krümmung einer Kurve im …²:
&
«x 
Tangentenvektor: t (t ) =
1
…¬ 1 ·
¬& ·
& &
x 2 + x 2  x2 
1 1



&
«’ x 
n(t ) =
1
…¬ 2 ·
Normalenvektor: ¬& ·
& &
x12 + x12  x1 

&
x … &&
&⊥ x «’ x 
κ (t ) = &⊥ ¬
mit x = ¬ 2 ·
Krümmung:

&
3
 x1 
x

14.1.4 Begleitendes Dreibein einer Kurve im …³:
Sei x(s) eine Parameterdarstellung einer Kurve im …³ parametrisiert nach der Bogenl¤nge.


t (s ) = x (s )
Dann heißen Tangentenvektor,


t (s ) ′
n (s ) = für t (s ) ≠ 0 Hauptnormalenvektor

t (s )


b(s ) = t (s ) — n(s )
und Binormalenvektor.

{t (s ), n(s ), b(s )} heißt begleitendes Dreibein der Kurve. Es bildet eine Orthogonalbasis des …³.
Seite 103
14. Kurven und Fl¤chen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




14.1.5 Frenetsche Formeln:
Sei x(s) eine Parameterdarstellung einer Kurve im …³ parametrisiert nach der Bogenl¤nge.
{t (s ), n(s ), b(s )} sei das begleitende Dreibein.

Man nennt dann κ (s ) = t (s ) Krümmung und



„ (s ) = ’b (s ) … n(s ) Torsion oder Windung.

Daraus folgt dieses Differentialgleichungs-System:

t =κ …n
′ ′
n = ’κ … t + „ … b

b = ’„ … n
Mit x™ = t ist x(s) dann bis auf eine Translation eindeutig bestimmt.


14.1.6 Bezüglich der Zeit parametrisierte Kurven im …³:
&
x
t=
Tangentenvektor:
&
x

x — &&
&x
b=
Binormalenvektor:
x — &&
&x

n = b—t
Hauptnormalenvektor:

x — &&
&x
κ=
Krümmung:
&
3
x

(x — &&) … &x&
&x&
„=
Torsion / Windung:
(x — &&)2
&x


14.2 Einführung in die lokale Theorie der Fl¤chen im …³

14.2.1 Parameterdarstellung eines Fl¤chenstückes, Parametertransformation:
14… a …
x : G ‚4 2 44 3 heißt Parameterdarstellung eines Fl¤chenstücks x(G) im …³, falls x in G stetig
23
(u ,v )a x (u , v )
differenzierbar ist und für alle (u,v) aus G gilt: x u — x v ≠ 0

˜
a G ‚…
Eine Parametertransformation φ : G ‚ …4 444 2 heißt zul¤ssig, falls φ bijektiv und stetig
2
144 2 3
« φ1 (u ,v ) 
(u ,v )aφ (u ,v )=¬ ·
¬ ·
 φ 2 (u , v ) 

differenzierbar ist. Darüber hinaus muß die Jacobideterminante positiv sein. J φ (u , v ) > 0 für alle
(u,v) aus G.
Seite 104
14. Kurven und Fl¤chen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




Ist φ eine zul¤ssige Parametertransformation, dann ¤ndert sich die Richtung von x u — x v unter φ
nicht.

xu — xv
n=
Normalenvektor der Fl¤che x(G):
xu — xv


14.2.2 Kurven auf Fl¤chen:
Sei γ : [a, b] ‚ … a G ‚ … 2 die Parameterdarstellung einer ebenen Kurve in G. Dann ist
x o γ : [a, b] ‚ … a … 3 die Parameterdarstellung einer Kurve auf der Fl¤che x(G).

( ) () ()
x o γ = x u γ (t ) … u (t ) + x v γ (t ) … v(t )
d
& &
Deren Tangentenvektor ist gegeben durch:
dt
( )
x o γ ⊥( x u — x v )
d
Die Tangente liegt in der von xu und xv aufgespannten Ebene.
dt

14.2.3 Koeffizienten der 1. Fundamentalform:
Die Bogenl¤nge wird bestimmt durch


( )
2 2
« ds  d
& &
x o γ = xuu + xvv
¬ ·=
2

 dt  dt
& && &
= x u x u u 2 + 2 x u x v uv + x v x v v 2
{ {
13
2
F G
E

E, F, G heißen Koeffizienten der 1. Fundamentalform.

ds 2 = E … du 2 + 2 F … du … dv + G … dv 2
Schreibweise:

14.2.4 Eigenschaften, Anwendungen:
14… a …
Sei x : G ‚4 2 44 3 die Parameterdarstellung der Fl¤che x(G) und E, F, G die Koeffizienten
23
(u ,v )a x (u , v )
der 1. Fundamentalform. Dann kann Folgendes formuliert werden:

« u (t )
14.2.4.1 Ist t a γ (t ) = ¬
¬ v(t ) · die Parameterdarstellung einer Kurve in G, und die Verkettung von
·
 
x und γ verbinde auf G die Punkte a und b. Dann gilt für die Bogenl¤nge s der Fl¤chenkurve:

& && &
b
s=« Eu 2 + 2 Fuv + Gv 2 … dt
a



14.2.4.2 Seien γ1 und γ2 die Parameterdarstellungen zweier Kurven in G, die sich für ein t
schneiden. Dann schneiden sie sich unter dem Winkel ± mit
Eu1u 2 + F (u1v 2 + u 2 v1 ) + Gv1v 2
&& && && &&
cos ± =
Eu1u 2 + F (u1v 2 + u 2 v1 ) + Gv1v 2
&& && && &&


14.2.4.3 Durch x u — x v = EG ’ F 2 wird der Fl¤cheninhalt des von xu und xv aufgespannten
Parallelogramms bestimmt.

Seite 105
14. Kurven und Fl¤chen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




14.2.5 Fl¤chen in expliziter Form:
Es gilt allgemein:
± «1
¬·

xu = ¬ 0 ·
 ± E = 1 + f u2
«u ¬f ·

¬ · 
  u
x(u, v ) = ¬ v · ’  ’ F = f u … f v
«0
¬ f (u, v )·  
¬·
G = 1 + f v
 
2
 xv = ¬ 1 ·
 ¬f ·
  v

« ’ fu 
¬ ·
n = xu — xu = ¬ ’ fv ·
Normalenvektor auf die Tangentialebene:
¬1·
 




Seite 106
15. Kurven- und Oberfl¤chenintegrale Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




15. Kurven- und Oberfl¤chenintegrale

15.1 Orientierte und nicht orientierte Kurvenintegrale

15.1.1 Orientiertes Kurvenintegral:
()
()
Sei x : [a, b] a G ‚ … 2 … 3 eine Parameterdarstellung der Kurve C. Es sei f : G a … 2 … 3
eine stetige Funktion. Dann heißt
( )
« f … d x = « f (x(t )) … x(t ) … dt
&
C C

orientiertes Kurvenintegral von f l¤ngs C.
Andere Schreibweise:
« f … d x = « f1 … dx1 + f 2 … dx2 + f 3 … dx3
C C

f … n … ds = « f … d x = « f ( x(t )) … x … dt
&
«
b
⊥ ⊥
bzw.
a
C C



15.1.2 Nicht orientiertes Kurvenintergal:
Ist • : G a … stetig, so heißt

« • … d x = « • … ds = « • (x(t )) … x(t ) … dt
&
b

a
C C

nicht orientiertes Kurvenintegral von • l¤ngs C.

15.1.3 Eigenschaften von Kurvenintegralen, Rechenregeln:
15.1.3.1 Bei zul¤ssigen Parametertransformationen ver¤ndern orientierte und nicht orientierte
Kurvenintegrale ihren Wert nicht.

15.1.3.2 Für reelle a, b , stetige Skalarfelder •, ψ , und stetige Vektorfelder f, g gilt:


« (a … f + b … g )… d x = a … « f … d x + b … « g … d x
C C C


« (a … • + b …ψ ) … d x = a … « • … d x + b … «ψ … d x
C C C



15.1.3.3 Weitere Eigenschaften sind:

« f … d x = ’« f … d x
’C C


«• … d x = «• … d x
’C C


« f …dx = « f …dx + « f …dx
C1 + C 2 C1 C2


«• … d x = «• … d x + «• … d x
C1 + C 2 C1 C2




Seite 107
15. Kurven- und Oberfl¤chenintegrale Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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15.1.3.4 Es gelten folgende Absch¤tzungen:


« f …dx ¤ « f … dx
C C



«• … d x ¤ « • … d x
C C




15.1.4 Potential eines Vektorfeldes:
Ist C eine geschlossene Kurve innerhalb
eines sternförmigen Gebietes, und existiert
ein skalares Feld •, so daß

grad • = f


« f …dx = 0
ist, dann gilt immer
C

• heißt Potential des Vektorfeldes f.




Abbildung 25: Sternförmiges Gebiet


15.1.5 Sternformiges Gebiet:
Unter einem sternförmigen Gebiet versteht man ein Gebiet im …³, in dem es mindestens einen
Punkt gibt, von dem aus es Geraden zu jedem anderen Punkt in dem Gebiet geben kann, die die
Grenzlinien des Gebietes nicht überschneiden. Von diesem Punkt ausgehende Strahlen
durchschneiden die Grenzlinien des Gebietes demnach genau einmal.


15.2 Orientierte und nicht orientierte Oberfl¤chenintegrale

Allgemein betrachtet man Oberfl¤chenintegrale ebenso wie Kurvenintegrale.

15.2.1 Orientiertes Oberfl¤chenintegral:
Sei x : G ‚ … 2 a … 3 eine Parameterdarstellung des Fl¤chenstückes F. Es sei
(F ‚ D ‚ … ) ein stetiges Vektorfeld. Dann heißt
f : D a …3 3



« f … d o = «« [ f … (x — x )]… d (u, v )
u v
F G

orientiertes Oberfl¤chenintegral von f auf F.

„hnlich setzt man das komponentenweise zu berechnende Integral
[ ]
« f — d o = «« f — (x u — x v ) … d (u, v ) .
F G


Seite 108
15. Kurven- und Oberfl¤chenintegrale Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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15.2.2 Nicht orientiertes Oberfl¤chenintegral:
( )
Ist • : D a … F ‚ D ‚ … 3 eine stetige skalare Funktion so heißt
« • … do = ««• (x(u, v )) … x — x v … d (u , v )
u
F G

nicht orientiertes Oberfl¤chenintegral von • auf F.


15.2.3 Rechenregeln:
15.2.3.1 Oberfl¤chenintegrale ver¤ndern ihren Wert nicht, falls eine zul¤ssige Parameter-
transformation durchgeführt wird.
15.2.3.2 Für reelle a, b , stetige Funktionen •, ψ , und stetige Vektorfelder f, g gilt:
( )
« a … f + b … g … do = a … « f … do + b … « g … do
F F F


« (a … • + b …ψ ) … do = a … « • … do + b … «ψ … do
F F F


15.2.3.3 Weitere Eigenschaften sind:
« f … d o = ’« f … d o
’F F


« • … do = « • … do
’F F


« f … do = « f … do + « f … do
F1 + F2 F1 F2


« • … do = « • … do + « • … do
F1 + F2 F1 F2

15.2.3.4 Es gelten folgende Absch¤tzungen:

« f … do ¤ « f … do
F F



« • … do ¤ « • … do
F F



15.3.3 Explizit gegebene Funktionen:
Ist F explizit gegeben durch eine Funktion z = f(x,y), dann l¤ßt sich sagen:
«x
¬ ·
X ( x, y ) = ¬ y ·
¬ f ( x, y )·
 
«0 «’ fx 
«1
¬·
¬· ¬ ·
’ X x =¬ 0 ·, X y = ¬ 1 · ’ X x — X y = ¬’ fy ·
¬f ·
¬f · ¬1·
 x  
 y
do = X x — X y … d ( x, y ) = 1 + f x2 + f y2 … d ( x, y )




Seite 109
16. Integrals¤tze und Vektoranalysis Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




16. Integrals¤tze und Vektoranalysis

16.1 Satz von Gauß in Ebene und Raum

16.1.1 Divergenz eines Vektorfeldes:
Es gilt (übertragbar in Ebene und Raum):

«u
¬·
div v = div ¬ v · = u x + v y + wz
¬ w·


16.1.2 Satz von Gauß in der Ebene:
Sei G ein geeignetes Gebiet des …² (sternförmig). Sei weiter die Randkurve ‚G so parametrisiert,
daß G „links“ von ‚G liegt. Es sei v ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt:

= ’ «« div v( x ) … d ( x, y )
«v…dx


‚G G

« v1  « Q 
Mit v = ¬ · = ¬
¬ v · ¬ ’ P · folgt :
·
 2  
« P … dx + Q … dy = «« (Q ’ Py )… d ( x, y )
x
‚G G



16.1.3 Satz von Gauß im Raum:
Sei G ein geeignetes Gebiet des …³ (sternförmig). Die Randfl¤che sei durch x(u,v) so
parametrisiert, daß x u — x v nach „außen“ zeigt. Es sei v ein stetig differenzierbares Vektorfeld.
Dann gilt:

« v … d o = ««« div v(x ) … d (x, y, z )
‚G G



16.1.4 Fluß von v durch ‚G:
«« (v … n ) … do
Als Fluß von v durch ‚G wird das Integral bezeichnet.
‚G



16.1.5 Zirkulation von Vektorfeldern:
Sie ist für alle geschlossenen C definiert als
« f …dx = Z .
C



Ist Z = 0 bzw. grad • = f ,
dann heißt das Vektorfeld v zirkulationsfrei.




Seite 110
16. Integrals¤tze und Vektoranalysis Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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16.2 Satz von Stokes


16.2.1 Rotation eines Vektorfeldes:
Die Rotation rot v ist definiert als:

«‚ 
¬·
« u  ¬ ‚x · « u  « w y ’ v z 
¬·¬ ·
¬· ‚
rot v = rot ¬ v · = ¬ · — ¬ v · = ¬ u z ’ wx ·
¬·
¬ w · ¬ ‚y · ¬ w · ¬ v ’ u ·
  x y

¬·
 ‚z 

Ist rot v = 0, so handelt es sich um ein wirbelfreies Feld. v ist dann ein Potentialfeld im
entsprechenden Gebiet.


16.2.2 Satz von Stokes:
Es sei F ein Fl¤chenstück definiert auf einem Parameterbereich G ‚ … 2 . Dieser sei so
beschaffen, daß der Satz von Gauß anwendbar ist.

Außerdem sei die Abbildung x : G a … 2 , die F bestimmt, zweimal stetig differenzierbar. Ist nun
das Vektorfeld v auf einem Gebiet, das F enth¤lt, stetig differenzierbar, so gilt der

Satz von Stokes:

« rot v … d o = « v … d x
‚F
F




16.2.3 Vektorpotential:
Es sei v : G a … 3 stetig differenzierbar und G sternförmig. Es existiert ein „Vektorpotential“ a
als ein in G stetig differenzierbares Feld mit rot a = v ” X — a = v , wenn in G folgendes gilt:

div v = u x + v y + w z = 0




16.3 X-Rechnung (Nablarechnung)

16.3.1 X-Operator:
Er wird folgendermaßen definiert:

n
X = ‘ek … im … n
‚x k
k =1




Seite 111
16. Integrals¤tze und Vektoranalysis Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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16.3.2 Rechenregeln:
Für skalare Felder •, ψ und für Vektorfelder f, g gilt:

X … (• + ψ ) = X … • + X …ψ
()
X… f + g = X… f + X… g
X— ( f + g ) = X— f + X— g
X … (•ψ ) = • … X …ψ + ψ … X … •
()
X … • … f = f … X … • + • … X … f = f … grad • + • … div f
X … (• … f ) = ’ f — X … • + • … X — f
X … ( f — g ) = g … (X — f ) ’ f … (X — g )
X — ( f — g ) = f … g ’ g … (X … f ) + f … (X … g ) ’ g …f
{ {
x x
Matrix Matrix


X … (X … • ) = ∆• = • xx + • yy + • zz
( )
X… X— f = 0
X — (X … • ) = 0
( )
( ) ( ) ( )
X— X— f = X… X… f ’ ∆ f = X… X… f ’ f +f +f
xx yy zz




16.4 Der Green™sche Integralsatz

16.4.1 Green™scher Integralsatz:
Es sei G ein Gebiet im …³, so daß der Satz von Gauß gilt. Sind u, v auf zweimal stetig
differenzierbar, dann gilt mit dem nach außen gerichteten Normaleneinheitsvektor n von ‚G:


(v … ∆u ’ u∆v ) … d (x, y, z ) = «« « v … ‚u ‚v 
««« ¬ · … n … do
’u…
¬ ‚n·
‚n
 
‚G
G



Hierbei ist ∆ der Laplace-Operator.



16.4.2 Anwendung:
Es sei G ein Gebiet, so daß der Satz von Gauß gilt, und es sei U zweimal stetig differenzierbar in
G = G ∪ ‚G . Gilt ∆u = 0 auf G, so ist für x0 aus G:

‚u ( x ’ x 0 ) … n 
®1
U (x 0 ) =
1
4π ««  x ’ x 0 ‚ n
… … + … u  … do
x ’ x0
2

‚G ° »




Seite 112
16. Integrals¤tze und Vektoranalysis Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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16.5 Exakte Differentialgleichungen

16.5.1 Exakte Differentialgleichungnen:
Eine Differentialgleichung der Form
P ( x, y ) + Q ( x , y ) … y ′ = 0

mit stetigen Funktionen P, Q : G a … heißt in G exakt, wenn es eine stetig differenzierbare
Funktion F gibt die die folgende Bedingung erfüllt:
« P
grad F = ¬ ·
¬Q·

« P
F muß also das Potential des Vektorfeldes ¬ · sein.
¬Q·

H¤ufig schreibt man exakte Differentialgleichung in der Form
« P
P … dx + Q … dy = 0 ” ¬ · … d x = 0 .
¬Q·

(x, y )
F ( x, y ) = « P … dx + Q … dy
Für das Potential F gilt:
( x0 , y 0 )


16.5.2 Exakte Differentialgleichungen in sternförmigen Gebieten:
In sternförmigen Gebieten mit stetigen Funktionen P, Q : G a … gilt Folgendes:
P ( x, y ) + Q ( x , y ) … y ′ = 0
ist genau dann exakt, wenn
Qx = Py
gilt. Diese Bedingung heißt Integrabilit¤tsbedingung.

16.5.3 Spezielle Vektorpotentiale:
Hat das Potential F die Form
F ( x, f ( x )) = c [= F ( x0 , y 0 )] ,
dann ist f(x) Lösung der Differentialgleichung P( x, y ) + Q( x, y ) … y ′ = 0 .

16.5.4 Singul¤re Punkte von exakten Differentialgleichungen:
Diese ergeben sich aus diesem Gleichungssystem:
P( x 0 , y 0 ) = 0
Q( x 0 , y 0 ) = 0

16.5.5 Integrierender Faktor m(x,y):
Als integrierenden Faktor bezeichnet man den zweimal stetig differenzierbaren Term m(x,y), der
nicht null ist, welcher sich aus dieser Bedingung ergibt.
P … mx ’ Q … m y
= Qx ’ Py
m
Damit werden nicht exakte Differentialgleichungen zu exakten Differentialgleichungen.
m … P + m … Q … y′ = 0
( x, y )
Die Lösung erh¤lt man dann wieder aus F ( x, y ) = « m … P … dx + m … Q … dy .
( x0 , y 0 )




Seite 113
16. Integrals¤tze und Vektoranalysis Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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16.5.6 Bestimmung von integrierenden Faktoren für bestimmte Differentialgleichungen:
Py ’ Q x
16.5.6.1 Stellt • ( x ) = eine nur von x abh¤ngige Funktion dar, dann ist:
Q
«x • (t )…dt
x


m( x ) = e 0




Q x ’ Py
16.5.6.2 Stellt ψ ( y ) = eine nur von y abh¤ngige Funktion dar, dann ist:
P
«y ψ (t )…dt
y


m( y ) = e 0




16.5.7 Implizite Lösungen von nicht exakten Differentialgleichungen:
16.5.7.1 Wesentlich verschieden heißen zwei integrierende Faktoren m und n, wenn es keine
reelle
Zahl » gibt, so daß m = » …n

m ( x, y )
= c , c ∈…
16.5.7.2 Implizite Lösung:
n ( x, y )




Seite 114
A. Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
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A. Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen

A.1 Trigonometrische Funktionswerte an besonderen Winkeln

± sin ± cos ± tan ± cot ±
0 0 1 0 ±∞

π 1 1 1
3 3 3
6 2 2 3
π 1 1
1 1
2 2
4 2 2
π 1 1 1
3 3
3
3 2 2 3
π
1 0 0
±∞
2
π 0 ’1 0 ±∞


’1 0 0
±∞
2
2π 0 1 0 ±∞

Tabelle 5: Trigonometrische Funktionswerte an besonderen Winkeln




A.2 Zusammenh¤nge der trigonometrischen Funktionen

sin ± cos ± tan ± cot ±
tan ± 1
sin ± = 1’ cos 2 ±
1 + tan 2 ± 1 + cot 2 ±
cot ±
1
cos ± = 1’ sin 2 ±
1 + tan 2 ± 1 + cot 2 ±
sin ± 1
1 ’ cos 2 ±
tan ± =
cot ±
1 ’ sin 2 ± cos±
cos± 1
1 ’ sin 2 ±
cot ± =
tan ±
1 ’ cos 2 ±
sin ±
Tabelle 6: Zusammenh¤nge der trigonometrischen Funktionen


Hierbei liegt ± im 1. Quadranten.




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A. Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




A.3 Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen


A.3.1 Summe und Differenz:

sin (± ± β ) = sin ± … cos β ± cos± … sin β
cos(± ± β ) = cos± … cos β m sin ± … sin β
tan ± ± tan β
tan (± ± β ) =
1 m tan ± … tan β
cot ± … cot β m 1
cot (± ± β ) =
cot ± ± cot β


A.3.2 Vielfache:

sin 2± = 2 … sin ± … cos±
cos 2± = cos 2 ± ’ sin 2 ±
2 … tan ±
tan 2± =
1 ’ tan 2 ±
cot 2 ± ’ 1
cot 2± =
2 … cot ±

sin 3± = 3 … sin ± ’ 4 … sin 3 ±
cos 3± = 4 … cos 3 ± ’ 3 … cos±

sin 4± = 8 … sin ± … cos 3 ± ’ 4 … sin ± … cos±
cos 4± = 8 … cos 4 ± ’ 8 … cos 2 ± + 1

A.3.3 Potenzen:


… (1 ’ cos 2± )
1
sin 2 ± =
2
cos 2 ± = … (1 + cos 2± )
1
2


… (3 … sin ± ’ sin 3± )
1
sin 3 ± =
4
cos 3 ± = … (3 … cos± + cos 3± )
1
4




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A. Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen Alle Angaben sind ohne Gew¤hr.
Bruno Gnörich, RWTH Aachen




A.4 Einheitskreis

Am Einheitskreis lassen sich für einen gegebenen Winkel die trigonometrischen Funktionen
ablesen.




Abbildung 26: Einheitskreis




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