<<

стр. 3
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

h(˜ , r?i ) > h(r ) . ?
ri
Рассмотрим теперь свойства СГВ, определяемой
соответствующим прямым механизмом для механизма активной
экспертизы.
Лемма 2.3.6. Для механизма активной экспертизы свойство ММ
выполнено. ?
Лемма 2.3.7. Для механизма активной экспертизы свойство НСМ
выполнено. ?
Лемма 2.3.8. Для механизма активной экспертизы свойство ОПВ
выполнено. ?
Лемма 2.3.9. Для механизма активной экспертизы свойство ПО
выполнено. ?
Приведем без доказательств следующие утверждения.
Теорема 2.3.4. Для механизма активной экспертизы,
определяемого (2.3.1), не выполнены условия теорем 1.2.6.-1.2.8 и
выполнены условия теоремы 1.2.5.
Теорема 2.3.5. Для механизма активной экспертизы,
определяемого (2.3.1), выполнены условия теоремы 1.3.1, и такой
механизм распределения ресурса достоверно реализуем.
Теорема 2.3.6. Для механизма активной экспертизы,
определяемого (2.1.1), выполнены предположение А.2.1.1 и условия
теоремы 2.1.1, и такой механизм неманипулируем. ?
68
Сводка результатов лемм 2.3.1-2.3.9 приведена в таблице 2.1.
Использованы следующие обозначения: символ «+» означает, что для
данного механизма свойство выполнено; символ «-» означает, что для
данного механизма свойство не выполнено.
Свойство Соответствующий Соответствующий
прямой механизм для прямой механизм для
МРР МАЭ
ММ + +
НСМ + +
ОПВ - -
ПО + +

Таблица 2.1. Свойства соответствующих прямых
механизмов распределения ресурса и механизмов
активной экспертизы

Следующая теорема устанавливает связь между результатами работ
[89,90] и результатами параграфа 1 настоящей главы.
Теорема 2.3.7. Пусть прямой механизм H = (?, h) удовлетворяет
условиям условию А.2.1.1 и для него D = D 0 , тогда для этого механизма
выполнены А.1.2.1, А.1.2.2. ?
Таким образом, условия параграфа 1 главы 2 на структуру
множеств диктаторства являются более сильными, чем условия А.1.2.1,
А.1.2.2.
Связь между результатами по неманипулируемости механизмов
планирования можно отразить следующим образом:

Теорема 2.1.1
0
A.2.1.1., D=D
Неманипу-
лируемость
[112]
Теорема 2.3.7 А.1.2.1, А.1.2.2


Таким образом, наиболее слабым условием неманипулируемости
является НСМ, а наиболее сильным – условия параграфа 1 главы 2.
Настоящий параграф устанавливает связь между условиями
неманипулируемости механизмов планирования работ [54,89,111,112],
обсуждавшихся в § 2-5 главы I, и результатами § 1 главы 2. Кроме этого,
показана трудоемкость проверки свойств ММ, НСМ и ОПВ (леммы 2.3.1-
69
2.3.9) для механизмов планирования. При этом оказывается, что только
НСМ гарантирует неманипулируемость (Т.2.3.2, Т.2.3.5) рассмотренных
механизмов планирования. Условия остальных теорем о реализуемости
оказываются невыполенными (Т.2.3.1, Т.2.3.3), что указывает на
неэффективность использования аппарата теории реализуемости для
исследования механизмов планирования.
Таким образом, в настоящей главе были получены достаточные
условия неманипулируемости прямых механизмов планирования а также
необходимые и достаточные условия коалиционной неманипулируемости
прямых механизмов планирования в терминах множеств диктаторства.
Показана эффективность и наглядность применения метода анализа
множеств диктаторства для исследования неманипулируемости прямых
механизмов.




70
Глава III. Существование эквивалентных прямых механизмов

При построении механизмов функционирования АС центр может
иметь некоторый исходный механизм планирования, в котором
сообщение достоверной информации не является равновесием. В таком
случае центр может попытаться определить для каждого возможного
профиля предпочтений одно из равновесий Нэша и на его основе
построить соответствующий исходному прямой механизм. В настоящей
главе приводятся условия, гарантирующие существование эквивалентных
прямых механизмов для непрямых механизмов планирования и
конструктивно определяется вид эквивалентного прямого механизма.
В § 1 настоящей главы определяется формализм метода множеств
диктаторства по отношению к непрямым механизмам. В § 2 приводятся
условия существования равновесия Нэша. В § 3 приводятся общие
условия существования эквивалентных прямых механизмов, на основании
которых в § 4 строятся конструктивные условия существования
эквивалентных прямых механизмов для линейных и дифференцируемых
механизмов планирования.

§1. Прямые и непрямые механизмы планирования

Пусть механизм g : S > R n не является прямым и для каждого
профиля предпочтений ? ? ? ? SP n мы знаем одно из положений
равновесия s? (? ) которое зависит только от положения точек пиков
элементов r ? R n . Такие равновесия будем записывать следующим
образом: s ? (r ) .
Для непрямого механизма g : S > R n построим соответствующий
ему прямой механизм. Элементы сообщают информацию ˜ ? R1 , i ? I о
ri
своих точках пика, центр по ним находит вектор равновесных заявок
? ?
s (r ) для механизма g : S > R и назначает планы x = g (s (r )) .
n


Получим новый механизм h(r ) = g ( s ? (r )) . Если соответствующий прямой
механизм h(r ) удовлетворяет условиям теоремы 2.1.1, то он
неманипулируем и, следовательно, для непрямого механизма g : S > R n
существует эквивалентный прямой механизм (см. § 1 главы I)
h(r ) = g ( s? (r )) .


71
В настоящей главе будем рассматривать непрямые механизмы
следующего вида. Пусть планы элементам назначаются по заявкам
si ? Si = [0, 1] в соответствии с процедурой планирования
x = g ( s), x ? R n , s = ( s1 , ..., s n ) ? S = [0, 1]n . Будем предполагать, что
процедура планирования непрерывна в S и частично монотонна, то есть
gi (s ) не убывает по si при любых s ? S .
В настоящей главе мы получим условия на механизм g : S > R n ,
которые достаточны для того, чтобы соответствующий прямой механизм
удовлетворял теореме 2.1.1, которая гарантирует его
h(r )
неманипулируемость.
Для того, чтобы получить такие условия существования
эквивалентного прямого механизма, для каждого возможного профиля
предпочтений необходимо найти хотя бы одно равновесное сообщение.
Поэтому в следующем параграфе мы докажем теорему о существовании
равновесия Нэша для непрямых механизмов планирования.




72
§2. Существование равновесия Нэша

g : [0, 1]n > R n .
Рассмотрим непрямой механизм Пусть для
некоторого r ? R n существует положение равновесия s ? (r ) . При этом
данному r можно сопоставить вектор состояний ? такой, что
gC ( ? ) (s ? (r )) = rC ( ? ) , g M ( ? ) ( s? (r )) < rM ( ? ) , g A( ? ) (s ? (r )) > rA( ? ) . В силу того,
что s ? (r ) - равновесие Нэша, элементы i ? M (? ) будут сообщать заявки
? ?
s i? ? Arg max gi (si?, s?i ) , элементы i ? A(? ) , s ? ? Arg min gi ( si?, s?i ) и
i
? ?
si ?[ 0,1] si ?[ 0,1]
?
s i ? [0,1] , i ? C (A) .
В силу частичной монотонности {si = 1} ? Arg max gi ( si?, s?i ) и
?
si ?[ 0,1]

{si = 0} ? Arg min gi ( si? , s?i ) . Далее будет доказано, что в равновесии
?
si ?[ 0,1]

si? = 1, i ? M ( A) ; si? = 0, i ? A( A) и si? ? [0,1], i ? C ( A) .
Найдем положения равновесия для механизма примера 2.1.1.
Пример 3.2.1. Для механизма g1 (s ) = s1 + 2 ? s2 , g 2 ( s) = s1 + s2 ,
si ? [0, 1], i = 1, 2 , (r1 , r2 ) ? R 2 найдем одно из возможных равновесий для
всех профилей ? ? SP n . Очевидно для всех функций полезности с точкой
пика r ? D( m, m) вектор сообщений s ? = (1, 1) будет равновесием Нэша.
Действительно, пусть r ? D( m, m) , например r = (4, 3) . g (s ? ) = (3, 2) и,
изменяя свое сообщение, первый АЭ не может получить план больший
?
трех, поскольку при g ( s1 , s2 ) < 3 для всех si ? [0, 1] . Поскольку
функция полезности ?1 строго возрастает до точки пика r1 = 4 , то
?1 ( g1 (s ? )) > ?1 ( g1 ( s1, s2 )) .
?
?s2 ? [0, 1] ,
Аналогично
? 2 ( g 2 (s? )) > ? 2 ( g2 ( s1 , s2 )) . Тогда s ? = (1, 1) является равновесием Нэша
?

для всех профилей предпочтений, задаваемых однопиковыми функциями
полезности таких, что их точки пика r1 = 4, r2 = 3 .
Аналогично, для любого профиля предпочтений ? ? SP n , такого,
вектор точек пиков профиля r ? D( c, m) , равновесие Нэша
что
определяется выражением s ? (r ) = (r1 ? 2, 1) . Например, для профиля с
точками пиков r1 = 2,5 и r2 = 2 . Положение равновесия s ? (r ) = (0,5; 1) .

73
Действительно, при s1 = 0,5 , s 2 = 1 , g1 ( s? ) = 2,5 , g2 (s ? ) = 1,5 . Как видим
? ?

при таком векторе сообщений первый активный элемент получает
максимально возможную полезность и меняя своё сообщение ?s1 ? [0, 1] ,
?1 ( g ( s? )) > ? 2 ( g ( s1, s2 )) . Аналогично невыгодно менять своё сообщение
?


g2 ( s? ) > g2 (s1 , s2 ) . Значит
?
?s2 ? [0, 1)
второму элементу, так как
s ? (r ) = (0,5; 1) является равновесием Нэша при r = (2,5; 2) .
Приведем выражения для векторов равновесных сообщений, если
r ? D( m, m) , s ? (r ) = (1, 1) ;
r ? D( m, c) , s ? (r ) = (1, r2 ? 1) ;
r ? D( m, a ) , s ? (r ) = (1, 0) ;
r ? D( c, a ) , s ? (r ) = (r1 , 1) ;
r ? D( a , a ) , s ? (r ) = (0, 0) ;
r ? D( a , c ) , s ? (r ) = (0, r2 ) ;
r ? D( a , m) , s ? (r ) = (0, 1) ;
r ? D( c, m) , s ? (r ) = (r1 ? 2, 1) .?
В записи s? J индекс " ? J ", где J - подмножество I , обозначает
по аналогии с индексом " ?i " все компоненты вектора s , которые не
принадлежат J .
?
Для каждого вектора состояний ? ??n определим вектор s? C ( ? )
размерности I \ C ( ? ) , с компонентами si? , i ? I \ C ( ? ) :
?0, i ? A( ? );
si? = ?
?1, i ? M ( ? ).
Так же, для каждого вектора состояний определим множества
C(? )
? ?
S ? = {s ? R n : sM ( ? ) > s M ( ? ) , s A ( ? ) < s A( ? ) , sC ( ? ) ? [0, 1] }, ? ??n .
Для случая двух элементов, разбиение {S ? } изображено на рис. 3.1.
Далее нам потребуется некоторые очевидные из геометрических
соображений свойства множеств S ? , ? ??n , доказательства которых
приводятся в приложении.



74
Утверждение 3.2.1. Совокупность множеств {S ? }? ??n есть разбиение

Rn . ?
Следующим утверждением устанавливается свойство малых
окрестностей точек в R n по отношению к разбиению {S ? }? ??n : для

каждой точки s ? R n существует набор

s2


S (m , m )
S (c, m ) S (c, m )



1



S (a, c) S (c, c) S (m , c )



s1
0 1
S (m, a)
S (c , a )
S ( a, a )




Рис. 3.1


множеств разбиения {S ? }? ??n , определяемый множеством их векторов
состояний ?0 (s ) такой, что все достаточно малые окрестности точки s
пересекаются только с множествами S ? , ? ??0 (s ) .
Утверждение 3.2.2. Для любого s ? R n существует множество
векторов состояний ? ? ?0 ? ? и число ? 0 > 0 такие, что
?? ? (0, ? 0 ), ?? ??0 , U ? ( s) I S ? ? ? и ?? ??0 , U ? (s ) I S ? ? ? . ?



75
Пример 3.2.2. Поясним это утверждение на следующем примере
(см. рис. 3.2). Рассмотрим точку s ? R 2 , s = (0, 0,9) и окрестность радиуса
1,5 . Эта окрестность будет пересекаться со всеми множествами разбиения
{S ? }? ??n . Окрестность радиуса 1 будет пересекаться только со
множествами S( a , a ) , S( c, a ) , S( a , c ) , S( c, c) , S( a , m ) , S( c , m ) . Окрестность радиуса
0,5 будет пересекать только множества S( a , c) , S( c, c ) , S( a , m) , S( c, m) . А все
окрестности радиуса меньше 0,1 пересекаются только с двумя
множествами S( a , c ) , S(c , c) . Поэтому множество ?0 для точки s = (0, 0,9)
будет состоять из элементов ?0 = {(a, c), (c, c )} .?
Далее докажем, что любой отрезок с началом не в S( c, ..., c )
пересекается с внутренностью некоторого множества где
S? ,
? ? {c, ..., c} .
s2


S (m, m)
S (c, m ) S (c , m )
1

s = ( 0 , 0,9)




S (a , c ) S (c, c) S (m, c)




s1
0 1
S (m , a )
S (a , a ) S (c , a )




Рис. 3.2




76
Утверждение 3.2.3. Пусть s1 ? s 2 ? R n . s1 ? S ?1 и s 2 ? S ? 2 и

? 1 ? {c, ..., c} , тогда ?? > 0 и ?? ? ?? : ?t ? (0, ? ) s(t ) = s1 (1 ? t ) + s 2 t ? S ? ?
и ? ? ? {c, ..., c} . ?
C(? ) ?
Определим множества Q? = {s ? R n : sC ( ? ) ? R , s?C ( ? ) = s?C ( ? ) } и
s1 , s 2 ? R n
произвольные такие, что они принадлежат разным
множествам разбиения {S ? } , то есть можно указать такие вектора ? 1 , ? 2 ,
?1 ? ? 2 что s1 ? S ?1 и s 2 ? S ? 2 .

Рассмотрим отрезок [ s1 , s 2 ] = {s(t ) = s1t + s 2 (1 ? t ), t ? [0, 1]} . При
˜
? = {c, ..., c} , [ s1 , s 2 ] ? Q? = R n . Найдем множество ? всех векторов из
˜
?n [ s1 , s 2 ] ? Q , ? ?? .
таких, что Обозначим
?

??( s1 , s 2 ) = Argmax I \ C ( ? ) .
˜
? ??
Поясним введенные определения на следующем примере.
Пример 3.2.3. Рассмотрим разбиение {S ? } n и отрезок [ s1 , s 2 ] ,
? ??

где s1 = (?0,3, 1) , s1 = (0,5, 1) . Множества Q? будут следующими (см. рис.
3.3)
Q( c, c ) = R 2 ;
Q( m, m ) = (1, 1) ;




77
s2

S (m, m)
S ( c, m ) S (c, m)


1



S (a , c) S (c , c) S ( m, c )



s1
0 1
S ( m, a )
S(a, a) S (c, a)



Рис. 3.3

Q( a , m ) = (0, 1) ;
Q( m, a ) = (1, 0) ;
Q( a , a ) = (0, 0) ;
Q( c, a ) = {r ? R 2 : s1 ? (??, + ?), s2 = 0} ;
Q( a , c) = {r ? R 2 : s1 ? (??, + ?), s 2 = 1} ;
Q( c, m) = {r ? R 2 : s2 = 0, s2 ? (??, + ?)} ;
Q( m, c) = {r ? R 2 : s1 = 1, s 2 = (??, + ?)} .
1 2
Тогда будет принадлежать и
[s , s ] Q( c, c) Q( c, m ) .
˜
?( s1 , s 2 ) = {(c, c ), (c, m)} . При этом
??( s1 , s 2 ) = Arg max I \ C ( ? ) = {(c, m)} .?
Утверждение 3.2.4. ?s1 , s 2 ? R 2 множество ??(s1 , s 2 ) состоит из
одного элемента.
78
Единственный элемент ? ??? обозначим ? . ?
˜

Поскольку для каждого s ? R существует единственный ? ??n
n

такой, что s ? S ? , то однозначным будет следующее доопределение
отображения g : S > R n на все R n . Рассмотрим произвольный s ? R ,
n


существует единственный ? ??n такой, что s ? S ? . В точке s определим
?
таким образом, что GC ( ? ) ( s) = gC ( ? ) (s?C ( ? ) , sC ( ? ) )
функцию G (s ) и
? ?
G? C ( ? ) (s ) = g ?C ( ? ) ( s?C ( ? ) , sC ( ? ) ) + ( s?C ( ? ) ? s? C ( ? ) ) . Очевидно, если
s ? S = [0, 1]n то G ( s) = g (s ) .
Пример 3.2.4. Рассмотрим доопределение функции g : S > R n для
механизма примера 2.1.1.
Если s ? S( c, c ) , то g (s ) = G (s ) .
Если ? = (c, m ) , то C ( ? ) = {1} и I \ C ( ? ) = {2} , и s?c, m)) = s2c, m) = 1 .
( (
C (?

При этом G ( s) для всех s ? S( c, m) определится следующим образом:
? ? s1 + 2 ? ? s1 + 2 ?
? G ( s) ? ? g ( s , 1) ? ? 0
G(s) = ? 1 ? = ? 1 1 ? + ?
? G ( s ) ? ? g (s , 1) ? ? s ? 1? = ? s + 1 + s ? 1? = ? s + s ? .
?? ?? ?
? 2 ? ? 2 1 ? ?2 ? ?1 ? ? 1 2?
2

?1?
Если ? = (c, m ) , то C (? ) = ? и s ( m, m) = ? ? , а G (s ) для всех
?1?
??
s ? S ( m, m) определится следующим образом:
? G ( s ) ? ? g (1, 1) ? ? s1 ? 1 ? ? s1 + 2 ?
G(s) = ? 1 ? = ? 1
? G (s ) ? ? g (1, 1) ? + ? s ? 1? = ? s + 1 ? .
?? ?? ?
?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
При s ? S( m, c) , аналогично получаем:
? G ( s) ? ? g (1, s2 ) ? ? s1 ? 1? ? s1 + 2s2 ?
G ( s) = ? 1 ? = ? 1
? G ( s ) ? ? g (1, s ) ? + ? 0 ?=?
? ? s +1 ? .
?? ?
?2 ??2 2? ? ? ?2 ?
? G (s ) ? ? s ?
При s ? S( m, a ) , G ( s ) = ? 1 ? = ? 1
? G ( s) ? ? s + 1? .
?
? 2 ? ?2 ?
? G ( s) ? ? s ?
При s ? S ( c , a ) , G ( s) = ? 1 ? = ? 1
? G (s ) ? ? s + s ? .
?
? 2 ? ? 1 2?
? G (s ) ? ? s ?
При s ? S( a , a ) , G ( s ) = ? 1 ? = ? 1 ? .
? G ( s) ? ? s ?
? 2 ? ? 2?


79
? G ( s ) ? ? s + 2 s2 ?
При s ? S( a , c ) , G ( s ) = ? 1 ? = ? 1 ?.
? G (s ) ? ? s ?
? 2 ? ?2 ?
? G (s) ? ? s + 2 ?
При s ? S( a , m) , G ( s ) = ? 1 ? = ? 1 ? .l
? G (s ) ? ? s ?
? 2 ? ?2 ?
Приведем некоторые свойства функции G , доказательства
которых можно найти в приложении.
Лемма 3.2.1. Gi (s ) не убывает по si для любых s ? R n . ?
Лемма 3.2.2. G (s ) непрерывна в R n . ?
Лемма 3.2.3. Если g(s) непрерывна и частично монотонна, то для
любого r ? R n существует s ? R n такой, что G ( s) = r . ?
Лемма 3.2.3 позволяет доказать справедливость следующего
утверждения о существовании и структуре равновесия.
Теорема 3.2.1. Пусть процедура планирования g : S > R n
непрерывна в S и частично монотонна в S. Тогда для любого ? ? GSP n с
вектором точек пиков r ? R n существуют равновесие Нэша s ? (r ) и
s ? (r ) = (s?C ( ? ) , sC ( ? ) ) ,
?
? ??n
вектор состояний такие, что где
C(? )
. При этом gC ( ? ) (s ? (r )) = rC ( ? ) , g M ( ? ) ( s? ( r )) < rM ( ? ) и
sC ( ? ) ? [0, 1]
g A( ? ) (s ? (r )) > rA( ? ) . ?
Как видно из теоремы 3.1.1, положение равновесия для каждого
профиля зависит только от вектора точек пиков и не зависит от
конкретного вида функций полезности.
n
Таким образом, мы ввели разбиение пространства R на
множества S ? и, используя это разбиение, доопределили процедуру
планирования g (s ), s ? [0, 1]n на все R n .
Это доопределение позволило нам доказать теорему 3.2.1 о
существовании и структуре равновесия Нэша в механизме ( S , g ) . В
дальнейшем свойства, устанавливаемые утверждениями 3.2.1-3.2.3 и
теоремой 3.2.1 понадобятся при построении достаточных условий
существования эквивалентного прямого механизма.




80
§3. Существование эквивалентного прямого механизма

Перейдем к построению достаточных условий существования
эквивалентных прямых механизмов.
Если задано отображение f : A > B , то под записью f ?1 будем
f ?1 : B > 2 A , такое, что ?a ? B выполняется
понимать соответствие
f ( f ?1 (a)) = a .
g : S > Rn
Наложим на отображение и связанное с ним
отображение G : R n > R n , определенное выше дополнительные условия.
А.3.3.1. Для любых r ? R n и для любых ? ??n таких, что
C(?)
? ?
rC ( ? ) ? gC ( ? ) ( s?C ( ? ) , [0, 1] g (s?C ( ? ) , g -1 (rC ( ? ) ))
соответствие
), ?
однозначно.
?
g ?1 (?)
Здесь обозначает обратное соответствие
C( ?) C(?)
?
?
) > [0, 1] ? ??n : C ( ? ) ? ? .
g ?1 : gC ( ? ) (s?C ( ? ) , [0, 1] для Для

? ??n таких, что C (? ) = ? и C (? ) = I будем считать соответствие
?
g (s?C ( ? ) , g -1 (rC ( ? ) )) однозначным по определению.
?

x ? ( rC (? ) )
Условие А.3.3.1 гарантирует наличие функции
определенной в § 1 главы II для соответствующего прямого механизма
?
x ? (rC ( ? ) ) = g (s?C ( ? ) , g -1(rC ( ? ) )) .
?
Пример 3.3.1. Для механизма примера 2.1.1 проверим
? = (c , m ) .
выполнение предположения А.3.1.1. Рассмотрим
? s + 2?
?
gC ( ? ) ( s?C ( ? ) , sC ( ? ) ) = g ( s1, 1) = ? 1 ? . Обратное соответствие
? s +1 ?
?1 ?
? ?
r1 ? g1 (1, [0, 1]) = [2, 3]
g ?1 ( rC ( ? ) ) = g (c1 m) ( r1 ) для всех задается
,

выражением g (?1 m) ( r1 ) = r1 ? 2 . Очевидно, что оно однозначно. Если
c,
? = (m, m) , то C (? ) = ? и А.3.3.1 выполнено по определению. ?
Определим вектор состояния M i ??n для любого i ? I таким
образом, что C ( M i ) = I \ {i} и M ( M i ) = {i} . Аналогично определим
Ai ??n так, что C ( Ai ) = I \ {i}, A( Ai ) = {i} .
81
i ? I , r?i ? R n ?1
А.3.2.2. Для любых соответствие
i?1
?i ? I , ?r?i ? R n ?1
G ( s M , GM i (r?i )) однозначно и соответствие
i ?
G ( s A , GA1 (r?i )) однозначно, где G ?1 : R n ?1 > R n ?1 и G ?1 : R n ?1 > R n ?1
i i i
A A
i i
обозначают обратные соответствия для G?i (siM , s?i ) и G?i ( siA , s? i ) .
G A1 : R n ?1 > R n
?
G A1 : R n ?1 > R n
?
То, что соответствия и
i i


определены на всем R n ?1 доказывается аналогично лемме 3.2.3.
Условие А.3.3.2 и определяемое ниже условие А.3.3.3 позволяют
гарантировать совпадение совокупностей D и D 0 .
Пример 3.3.2. Для механизма примера 2.1.1 проверим выполнение
M 1 = (m, c ) , M 2 = (c , m ) , A1 = (a, c ) ,
предположения А.3.3.2.
A 2 = (c , a ) .
?? 3 ?
??
? s + 1?, s2 > 1;
?
?? 2 ?
?? 2s + 1?
?2
M1
G ( s1 , s2 ) = ??
?1 + s ?, s2 ? [0, 1];
?
?? 2?
??1 ?
?? ?, s < 0.
?? s2 + 1? 2
?? ?
?? 0 ?
?? ? , s2 < 0;
?? s2 ?
?? 2 s2 ?
?
A1
G ( s1 , s2 ) = ?? ? , s2 ?[0, 1];
?? s2 ?
?? 2 ?
?? ? , s2 > 1.
?? s2 ?
?
G ?1 : R1 > R1
G ?11 : R1 > R1 1
Обратные соответствия и будут
A
M

определяться следующими выражениями G ?11 (r2 ) = r2 ? 1 и G ?1 (r2 ) = r2
1
M A
1
G ( s1 , G ?11 (r2 ))
r2 ? R1 . M
для всех Графики соответствий и
M


82
1
G ( s1A , G ?1 (r2 )) изображены на рис. 3.4 с обозначениями M 1 и A1
1
A
соответственно, а сами соответствия определяются выражениями:
?? 3 ?
?? ?, r2 > 2;
??
?? r2 ?
?? 2r ? 1?
?2
M1 ?1
G ( s1 , G 1 (r2 )) = ?? ?, r2 ? [1, 2];
?r ?
?2 ?
?
M
??1 ?
?? ?, r2 < 1;
?? r2 ?
?? ?
s2


1 1
A M

2



G(s0 )

1




s1
1 2 3

0
G ( s 1A , G ? 1 ( r 2 ))
1
?
1
G ( s1M , G M11 ( r2 )) A1




?1 ?1
1 1
A M
Рис. 3.4. Соответствия G ( s 1 , G A ( r 2 )) и G ( s 1 , G M ( r 2 )) для примера 3.3.2
1 1




?? 0 ?
?? ?, r2 < 0;
??
?? r2 ?
?? 2r ?
?
A1 ?1
G (s1 , G 1 (r2 )) = ?? 2 ?, r2 ? [0, 1];
? ?
?? r2 ?
A
?? 2 ?
?? ?, r2 > 1.
?? r2 ?
?? ?

83
2 2
G ( s2 , G ?12 (r2 )) G ( s2 , G ?1 (r1 ))
M A
Аналогично соответствия и 2
M A
изображены на рис. 3.5 с обозначениями M 2 и A2 и задаются
выражениями
?? r1 ?
?? ?, r2 > 3;
??
?? 2 ?
?? r
?1 ?
M1 ?1
G ( s1 , G 1 (r2 )) = ??
? r ? 1?, r2 ? [2, 3];
?
?? 1 ?
M
?? r ?
?? 1 ?, r2 < 2;
??1 ?
?? ?

s2




M2
2
?
2
G ( s 2M , G M12 ( r1 ))


G(s0 )
2
A2
M 1
G ( s 2A , G ? 1 ( r1 ))
2

A2




A2 s1
1 2 3

0



?1 ?1
2 2
M A
Рис. 3.5. Соответствия G ( s 2 , G M ( r1 )) и G ( s 2 , G A ( r1 )) для примера 3.2.2
2 2




84
?? r1 ?
?? ?, r2 > 1;
??
??1 ?
?? r ?
?
A2 ?1
G ( s2 , G 2 (r1 )) = ?? 1 ?, r2 ? [0, 1]; l
??
?? r1 ?
A
?? r ?
?? 1 ?, r2 < 0.
?? 0 ?
?? ?
А.3.3.3. для любых i ? I и для любых s : si ? [0, 1] выполняется
? ?
i i
Gi ( siM , GM1i (GC ( M i ) (s ))) ? Gi (s ) ? Gi (siA , GA1 (GC ( Ai ) ( s))) .
i

Условия А.3.3.2 и А.3.3.3 позволяют гарантировать совпадение
совокупностей D и D 0 .
Пример 3.3.3. Очевидно, оба неравенства:
2 2
G2 ( s2 , G ?12 (G ? G2 (s ) ? G2 ( s2 , G ?1 (G
M A
( s))) и
( s)))
C (M 2 ) C ( A2 )
2
M A
1 A1
G1 (s1 , G ?11 (G ?1
1 ) ( s))) ? G1 ( s) ? G1 ( s1 , G A1 (GC ( A1 ) ( s)))
M
M C (M
не выполняются, например, в точке s = (0.5, 0.75) , G ( s ) = (1.75, 1.25) . Так
1
G1 ( s1 , G ?11 (G ( s ))) = 1.5 < G1 ( s ) = 1.75
M
и
C ( M 1)
M
1
G1 (s ) = 1.75 < G1 ( s1A , G ?1i (G ( s))) = 2;
1 C ( A1i )
A
2
G2 ( s2 , G ?12 (G ( s ))) = 1 < G2 (s ) = 1.25 (см. рис. 3.6 и 3.7).h
M
C (M 2 )
M
Далее покажем, что введенные условия А.3.3.1 - А.3.3.3 достаточны
для существования эквивалентного прямого механизма.
Соответствующий прямой механизм будет характеризоваться своими B -
разбиением и B 0 совокупностью. Теорема 3.2.1 позволяет для
соответствующего g (s) прямого механизма определить совокупность B0
множеств D? ? R n , ?? ??n таких, что
0

C(?)
?
D? = {r ? R n : rC ( ? ) = gC ( ? ) ( s?C ( ? ) , [0, 1]
0
),
? ?
rM ( ? ) > xM ( ? ) (rC ( ? ) ), rA( ? ) < x A( ? ) (rC ( ? ) )} .

?? ??n ,
Лемма 3.3.1. Пусть выполнено А.3.3.1, тогда
D? = G ( S ? ) . ?
0


85
Приведенная лемма 3.3.1 показывает, что при условии А.3.3.1
0
множества совокупности D? являются образами множеств совокупности
S ? при отображении G : R n > R n .
Лемма 3.3.2. Пусть выполнены условия 3.3.1-3.3.3, тогда для
любого i ? I справедливы
?1 i
а) ?? ??n : i ? M ( ? ), ?r ? D? выполняется ri > Gi ( siM , GM i (r?i )) ,
0


?? ??n : i ? C ( ? ), ?r ? D ?
0
б) выполняется
? ?
i i
Gi (siM , GM1i (r?i )) ? ri ? Gi (siA , G A1 (r?i )) ,
i

? i
в) ?? ??n : i ? A( ? ), ?r ? D? выполняется Gi (siA , GA1 (r?i )) > ri . ?
0
i

Теорема 3.3.1. Пусть для всех элементов функции предпочтений
? i ? GSP . Пусть g (s) непрерывна и частично монотонна в S и
выполнены предположения А.3.3.1-3.3.3, тогда верны следующие
утверждения:
1) Существует выбор равновесия s? : Rn > S такой, что для каждого
r ? R n , s? (r ) -равновесие Нэша в механизме g : S > R n и для любых
? ??n и r ? D? введенные в А.3.3.1 функции x ? ( rC ( ? ) ) = g ( s? ( r )) , где
D? = {r ? R n : rM ( ? ) < g M ( ? ) ( s? (r )), rC ( ? ) = g C ( ? ) ( s? (r )), rA( ? ) > g A( ? ) ( s? (r ))} .
2) Разбиения B и B0 совпадают и соответствующий g (s) прямой
механизм неманипулируем. ?
Таким образом, мы получили условия на непрямой механизм,
достаточные для существования эквивалентного прямого механизма
(Т.3.2.1). Несмотря на то, что эти условия накладываются на исходный
непрямой механизм, проверка их в общем случае затруднительна. В
следующем параграфе мы рассмотрим способы применения Т.3.2.1 для
доказательства существования эквивалентного прямого механизма для
частных случаев механизмов планирования.




86
§4. Существование эквивалентного прямого механизма для
дифференцируемых процедур планирования и линейных процедур
планирования

Условия А.3.3.1-3.3.3 существования эквивалентного прямого
механизма, хотя и являются достаточно общими, недостаточно
конструктивны и требуют упрощения. Особенно простой вид они
принимают для дифференцируемых и линейных процедур планирования.
Будем говорить, что функция n - переменных g (s) дважды
непрерывно дифференцируема на множестве S если в любой точке
s ? (0; 1) n определены и непрерывны производные функции g (s) до
второго порядка включительно и если s i = {0; 1} то определены и
непрерывны соответственно справа и слева правые и левые производные
до второго порядка включительно.
Теорема 3.4.1. Пусть функции полезности АЭ из множества I
обобщенно однопиковые, процедура планирования g : S > R n дважды
? ??n
непрерывно дифференцируема в для любых и
S,
?C ( ? )
˜ функции gC ( ? ) (sC ( ? ) , ˜? C ( ? ) ) глобально обратимы на
s? C ( ? ) ? [0, 1] s

?g i
C( ?)
sC ( ? ) ? [0, 1] J (s ) =
множестве , матрица Якоби имеет
( s)
?s j
s ? S . Тогда для
положительные диагональные миноры для всех
механизма, определяемого S = [0, 1]n и процедурой g : S > R n ,
существует эквивалентный прямой механизм. ?
Доказательства следующих следствий 3.4.1-3.4.3 очевидны при
использовании результатов о существовании обратной функции для
непрерывной функции одного переменного [7], разрешимости систем
линейных уравнений [1] и глобальной обратимости функций [4].
Рассмотрим дифференцируемые процедуры планирования.
Отметим, что дифференцируемость в замкнутом множестве предполагает,
n
что окрестность точки определяется как пересечение окрестности в R и
этого множества. Дифференцируемость в открытом множестве, например
R n , предполагает, что под окрестностью понимается, например, шар.
Поэтому, при переходе от g (s) , определенной на S , к G (s ) – ее
доопределению на все R n , на границе S функция G не будет
дифференцируемой.

87
Следствие 3.4.1. Пусть n = 2 , процедура планирования g (s) дважды
непрерывно дифференцируема и удовлетворяет следующим условиям:
?gi
( s) > 0 , ?s ? [0, 1]2 ;
?si
? ?g1 ?g1 ?
? ( s) ?
( s)
? ?s1 ?s2 ? > 0 , ?s ? [0, 1]2 .
det
? ?g 2 ?g 2 ?
? ?s ( s) ( s) ?
?s2
?1 ?
Тогда для механизма определяемого S = [0, 1]2 и процедурой
g : S > R 2 существует эквивалентный прямой механизм.
Следствие 3.4.2. Пусть задана числовая матрица A размерности n? n и
механизм планирования с процедурой планирования x = As + x0 ,
s ? [0, 1]n , x0 ? R n . Если все диагональные миноры матрицы A больше
S = [0, 1]n
нуля, то для механизма определяемого и процедурой
x = As + x0 , s ? [0, 1]n существует эквивалентный прямой механизм.
Следствие 3.4.3. Пусть процедура планирования g : S > R n дважды
?g i
непрерывно дифференцируема в S , и матрица Якоби J (s ) = ( s)
?s j
s ? S . Тогда для механизма,
положительно определена для всех
определяемого S = [0, 1]n и процедурой g : S > R n , существует
эквивалентный прямой механизм.
Данный результат накладывает достаточно сильные ограничения
на процедуру планирования, так как положительно определенная матрица
?g j
?g
должна быть симметричной, то есть ?i, j ? I , i = .
?s j ?si
Отметим, что условия натуральности системы [84] в применении
к механизмам планирования схожи с условиями теоремы 3.4.1.
Результаты настоящего параграфа дают удобные достаточные
условия существования эквивалентных прямых механизмов планирования
и значительно расширяют класс механизмов планирования, для которых
доказано существование эквивалентного прямого механизма.




88
В следующем параграфе мы используем условия теорем 3.4.1-
3.4.3 для анализа влияния множества возможных сообщений на
существование эквивалентного прямого механизма.




89
§5. Влияние множества возможных сообщений на существование
эквивалентного прямого механизма

Интересным представляется тот факт, что существование
эквивалентного прямого механизма зависит не только от процедуры
планирования, но и от множества возможных сообщений. Рассмотрим
следующий пример.
Пример 5.1. Пусть механизм планирования в системе с двумя элементами
выглядит следующим образом:
? 3? ?
x1 = g1 (s1, s2 ) = s1 + cos ? s2 ? ;
?2 ?
x2 = g 2 (s1, s2 ) = s1 + s2 , s1 , s1 ? [0, 1]2 .
Множества разбиения B приведены на рис. 3.6, а множества
совокупности B 0 на рис. 3.7. При этом видно, что соответствующий
прямой механизм манипулируем, а множества D(c, m) , D( m, c ) , D( a , c ) не
совпадают со множествами D(0c, m) , D(0m, c ) , D(0a , c ) соответственно.


D(0m , m )
D(0c , m )
D(c, m) D(m, m) 0
D (a, m)
D( a , m)

D(0m , c )
D(m, c )
1 1
D(0c , c )
D( c , c ) D(0a , c )
D(a , c ) D(0m , a )
D(0a , a ) 0
1
0 1 D0 2
D(c , a ) 2 D( m, a )
D(a , a ) (c, a)



Рис. 3.6. Рис. 3.7.

Изменяя множество возможных сообщений исходного механизма
? 2?
таким образом, что новое множество сообщений будет ST = [0, 1] ? ?0, ? ,
? 3?
получим, что для нового механизма, определяемого ST и процедурой
g (s) , выполнены условия А.3.3.1-3.3.3, которые гарантируют выполнение
теоремы 3.3.1. Тем самым, для нового механизма существует


90
эквивалентный прямой механизм. Множества разбиения B для
механизма, определяемого S T и g (s ) , изображены на рис. 3.8.•



D(m, m)
D(c, m)
D( a , m)

1 D(m, c )
D(c , c )
D(a , c )

0 1D 2 D( m, a )
D(a , a ) (c , a )

Рис. 3.8

Рассмотрим постановку следующей задачи о наибольшем
множестве возможных сообщений, для которого при заданной процедуре
планирования существует эквивалентный прямой механизм.
Пусть задан механизм планирования G = ( S , g ) , g : S > R n , где
S = ? [0, 1] . Функции полезности АЭ однопиковые с точками пика из
i?I
R . Функция полезности центра ?( x, r ) , где r - вектор точек пиков АЭ.
n

K = min max ?( g ( s* ), r ) .
Эффективность функционирования АС
r?R s ?EG ( r )
n *
N

)
? [di , Di ] ,
Обозначим S - множество всех подмножеств S вида где
i?I
˜)
0 ? di ? Di ? 1 . Определим подмножество S ?S
подмножеств вида
? [di , Di ] , где 0 ? di ? Di ? 1 таких, что для механизма G? = ( S ?, g ) , где
i?I
˜
S ? ? S существует эквивалентный прямой механизм. Решением задачи
)
будет множество S ? ? S такое, что S * ? Argmax min max ?( g (s* ), r ) .
˜ r? R n s * ? E G ? ( r )
N
S ??S
Таким образом, для построения механизма, эквивалентного
исходному необходимо решить задачу о наибольшем множестве
возможных сообщений таком, что для построенного механизма
существует эквивалентный прямой механизм. Для этого достаточно найти
91
множества возможных сообщений такие, что выполнены условия А.3.3.1-
3.3.3. При этом соответствующий G = ( S *, g ) прямой механизм будет
неманипулируемым, а множество S * максимально в смысле
эффективности механизма G .




92
Заключение

В настоящей работе рассмотрен ряд подходов к изучению
неманипулируемости механизмов управления в социально-экономических
системах и определен класс активных систем (нетрансферабельными,
обобщенно однопиковыми и сепарабельными функциями полезности АЭ)
в которых существуют недиктаторские механизмы планирования [2,7,53].
Для активных систем с нетрансферабельными, сепарабельными и
обобщенно однопиковыми функциями полезности АЭ предложен метод
исследования неманипулируемости механизмов планирования,
заключающийся в анализе множеств диктаторства и обобщающий
методы, предложенные в работах [7,12,13,14,17,53].
На основе предложенного подхода получены условия
неманипулируемости прямых механизмов планирования и условия
существования эквивалентных прямых механизмов.
Приведем краткий перечень основных результатов настоящей
работы и перспектив дальнейших исследований:
1. Получены достаточные условия неманипулируемости
прямых механизмов планирования (Т.2.1.1);
2. Получены необходимые и достаточные условия
коалиционной неманипулируемости прямых механизмов планирования
(Т.2.2.1);
3. Получены достаточные условия неманипулируемости
прямых механизмов планирования с векторными планами (Т.2.3.1);
4. Получены достаточные условия существования
эквивалентного прямого механизма для непрямых механизмов
планирования общего вида (Т.3.3.1);
5. Получены достаточные условия существования
эквивалентных прямых механизмов для непрямых механизмов
планирования, процедуры планирования которых дифференцируемы
(Т.3.4.1) и как следствия получены условия существования
эквивалентного прямого механизма для механизмов планирования
частного вида:
- для механизмов с двумя АЭ, процедуры планирования
которых дифференцируемы (Следствие 3.4.1);
- для механизмов, процедуры планирования которых линейны
(Следствие 3.4.2);
- для дифференцируемых механизмов планирования с
положительно определенной матрицей Якоби (Следствие
3.4.3).

93
6. Проанализировано влияние множества возможных
сообщений элементов на существование эквивалентного прямого
механизма.

На рис. 4.1 приведена схема результатов работы (доказанные
другими авторами результаты изображены жирными линиями и
затенением, оригинальные результаты – тонкими линиями). Так же на
рис. 4.1 приведены перспективные задачи будущих исследований
неанипулируемости механизмов планирования (изображены штриховыми
линиямии, которые пронумерованы согласно следующему списку):
1. Получение достаточных условий существования
эквивалентного прямого механизма, которые гарантируют
существование эквивалентного прямого механизма для
механизмов распределения ресурса и активной экспертизы;
2. Изучение возможности построения эквивалентного прямого
механизма (Т.3.3.1) для случая, когда допускается
коалиционное поведение;
3. Получение необходимости в связи результатов Т.2.1.1 и
Т.1.2.13;
4. Изучение манипулируемости и коалиционной
неманипулируемости для случаев, когда в качестве планов
выбирается вектор Евклидова пространства;
5. Другие конструктивные достаточные условия существования
эквивалентного прямого механизма;
6. Прикладные модели механизмов планирования.
7. Более общими по сравнению с исследованием
неманипулируемости (в рамках общей модели, описанной в
первой главе настоящей работы) являются задачи синтеза
оптимальных механизмов планирования в активных системах
и задачи реализуемости тех или иных соответствий
группового выбора.




94
Неманипулируемость Неманипулируемость
CW – функции выбора механизмов голосования
вида c : ( R m ) n > R m



4


Неманипулируемость Неманипулируемость Неманипулируемость
прямого механизма прямого механизма прямого механизма,
активной экспертизы распределения ресурса удовлетворяющего
А.1.2.1, 1.2.2. (Т.1.2.13)
(соотношение 1.4.1) (алгоритм 1.4.1)



3 3

Достаточные условия Необходимые условия
Достаточные условия
коалиционной коалиционной
неманипулируемости
неманипулируемости неманипулируемости
Т.2.1.1 и Т.2.3.1.
Л.2.2.1 Л.2.2.2.,2.2.3.


Неманипулируемость
Существование механизмов
равновесия Нэша планирования вида 2
Т.3.2.1
c : ( R m )n > R m

Достаточные условия
существования
эквивалентного прямого
механизма Т.3.3.1




Достаточные условия Достаточные условия
Достаточные условия
существования существования 1, 5
существования
эквивалентного прямого эквивалентного прямого
эквивалентного
дифференцируемого дифференцируемого
прямого механизма для
линейных процедур двухэлементного многоэлементного
механизма планирования механизма планирования
планирования (Т.3.4.1)
(Т.3.4.2) (Т.3.4.3)




Существование Существование
эквивалентного прямого эквивалентного прямого
6 механизма для МРР механизма для МАЭ




Рис. 4.1. Схема результатов работы и задачи будущих исследований



95
Литература
Abreu D. and Sen A. Subgame perfect Implementation: A Necessary and
1
Sufficient Conditions. Review of Economic Theory, 1990. Vol. 50. P. 285-99.
Arrow K.J. Essays in the theory of risk-bearing. Amsterdam: North-Holland
2
Publishing company, 1974. - 178 p.
Arrow K.J. Social choice and individual values. Chicago: Univ. of Chicago,
3
1951. - 204 p.
Arrow K.J., Radner R. Allocation of resources in large teams // Econometrica.
4
1979. Vol. 47. N 2. P.361 - 386.
Baryshnicov Y. Unifying impossibility theorems: a topological approach.
5
Adv. Applied Math, 14, 1993. P. 404-415
Baryshnikov Y. Topological and discrete social choice: in search of a theory.
6
Social Choice and Welfare, 14, 1997. P. 199-209.
Border K. S., JordanJ. S. Straightforward Elections, Unanimity and Phantom
7
Voters. Review of Economic Studies, 1983, P. 153-170.
Border K., Sobel J. Samurai accountant: a theory of auditing and
8
plunder//Review of Economic Studies. 1987. Vol.54. P.525-540.
Burkov V.N., Enaleev A.K. Stimulation and decision-making in the active
9
systems theory: review of problems and new results // Mathematical Social
Sciences. 1994. Vol. 27. P. 271 - 291.
Burkov V.N., Lerner A.Ya. Fairplay in control of active systems / Differential
10
games and related topics. Amsterdam, London: North-Holland publishing
company, 1971. P. 325 - 344.
Burkov V.N., Novikov D.A., Petrakov S.N. Mechanism design in economies
11
with private goods:trthtelling and feasible message sets. XIII Conference on
system science, 1998. Vol.3 P.255-262
Chichilinsky G. Fixed point theorems and social choice paradoxes. Econ.
12
Letters 3, 1979. P. 347-351
Chichilinsky G. Interesting famiilies of sets and the topology of cones in
13
economics. Bill Am Math Society, 29(2), 1993. P. 189-207
Chichilinsky G., Heal G.M. The geometry of implementation: a necessary and
14
sufficient condition for staightforwardness. Social Choice and Welfare, 14,
1997. P. 259-294.
Chichilinsky G. Social diversity, arbitrage and gains from trade: a unified
15
perspective on resource allocation. American Economics Revive, 84 (2), 1994.
P. 427-434
Chichilinsky G. Limited arbitrage is necessary and sufficient condition for the
16
existence of a competitive equilibrium. Economical Theory, 5(1), 1995. P. 79-
108


96
Chichilinsky G. Social Choice and the topology of space of preferences. Adv
17
Math 37 (2), 1980. P. 165-176
Chichilnisky G. Market arbitrage, social choice and the core. Social Choice
18
and Welfare, 14, 1997. P. 161-198
Chichilinsky G., Heal G.M. A necessary and sufficient conditions for
19
resolution of social choice paradox. J Econ Theory, 31, 1983. P. 68-87
Chichilinsky G., Heal G.M. Social Choice with infinite populations:
20
construction of a rule and impossibility results. Social Choice and Welfare, 14,
1997. P. 303-318
Danilov V. Implementation via Nash Equilibria //Econometrica, Vol. 60.
21
1992. № 1, P. 43-56.
Dasgupta P., Hammond P., Maskin E. The implementation of social choice
22
rules: some general results on incentive compatibility. Review of Economic
Studies, 1979, The Symposium on Incentive Compatibility.
D'Aspermont C., Gerard-Varet L.A. Incentives and incomplete information// J.
23
of Public Economics. 1979. Vol. 11. N1. P.25-45.
Farmer R. Implicit contracts with asymmetric information and bankruptcy: the
24
effect of interest rates on layoffs // Review of Economic Studies. 1985. Vol.
52. N 3. P. 427 - 442.
Fishburn P.C. Arrow’s impossibility result, concise proof and infinite voters. J
25
Econ Theory, 2, 1970. P. 103-106
Gibbard A. Manipulation of Voting Schemes: A General Result.
26
Econometrica, 1973. Vol. 45. P. 595-641.
Gibbard A. Straightforwardness of game forms with lotteries as outcomes //
27
Econometrica. 1978. Vol. 46. N 3. P. 595 - 616.
Gjesdal F. Information and incentives: the agency information problem //
28
Review of Economic Studies. 1982. Vol. 49. N 2. P. 373 - 390.
Green J., Laffont J.-J. Partially verifiable information and mechanism design //
29
Review of Economic Studies. 1986. Vol. 53. N 4. P. 447 - 456.
Groves T. Efficient Collective Choice when Compensation is Possible.
30
Review of Economic Studies, 1979. Vol. 46. № 2. P. 227-241.
Groves T. Incentives in Teams. Econometrica, 1973. Vol. 43. № 4. P. 617-
31
631.
Groves T., Ledyard J. O. Optimal Allocation of Public Goods: A Solution to
32
the 'Free-Rider' Problem. Econometrica, 1977. Vol. 45. P. 783-809.
Groves T., Ledyard J. O. The Existence of Efficient and Incentive Compatible
33
Equilibria with Public Goods. Econometrica, 1980. Vol. 48. № 6. P. 1487-
1506.
Groves T., Loeb M. Incentives and public inputs // J. of Public Economy.
34
1975. Vol. 4. P. 211 - 226.

97
Groves T., Loeb M. Incentives in a divizionalised firm // Management
35
Science. 1979. Vol. 25. N 3. P. 221 - 226.
Groves T., Radner R. The allocation of resources in a team // J. of Economic
36

<<

стр. 3
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>