<<

стр. 4
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

Theory. 1972. Vol. 4. N 2. P. 415 - 441.
Hammond P.J. Straightforward individual incentive compatibility in large
37
economics // Review of Economic Studies. 1979. Vol. 46. N 2. P. 263 - 282.
Harris M., Townsend R. Resource allocation under asymmetric information //
38
Econometrica. 1981. Vol. 49. N 1. P. 33 - 64.
Harsanyi J.C. Games with incomplete information played by "Bayesian"
39
players // Management Science. Part I: 1967. Vol. 14. N 3. P. 159 - 182; Part
II: 1968. Vol. 14. N 5. P. 320 - 334; Part III: 1968. Vol. 14. N 7. P. 486 - 502.
Holmstrom B. Moral hazard and observability // Bell J. of Economics. 1979.
40
Vol. 10. N 1. P. 74 - 91.
Hurwicz L. On informationally decentralized systems // Decision and
41
organization. Amsterdam: North-Holland Press, 1972. P. 297 - 336.
Jackson M., Palfrey T., Srivastava S. Undominated Nash Implementation in
42
Bounded Mechanisms. Mimeo, Northwestern University, 1991. To appear and
Game and Economic Behavior.
Jackson M.O. Bayesian implementation // Econometrica. 1991. Vol. 59. N 2.
43
P. 461 - 477.
Jackson, M. Implementation in Undominated Strategies: A Look at Bounded
44
Mechanisms. Forthcoming in Review of Economic Studies.
Kirman A., Sonderman D. Arrow’s therem, many agents and invisible
45
dictators. J Econ Theory, 5, 1972. P. 267-277
Kim S.K. Efficiency of an information system in an agency model //
46
Econometrica. 1995. Vol. 63. N 1. P. 89 - 101.
Laffont J.-J., Maskin E. Nash and dominant strategy implementation in
47
economic environment // J. of Mathematical Economy. 1982. Vol. 10. N 1. P.
17 - 47.
Marchak J., Radner R. Economic theory of teams. New Haven -London: Yale
48
Univ. Press, 1976. - 345 p.
Mas-Collel A., Vives X., Implementation in economies with a continuum of
49
agents // Review of Economic Studies. 1993. Vol. 60. N 3. P. 613 - 629.
McCelvey R. D. Game Forms for Nash Implementation of General Social
50
Choice Correspondences. Social Choice and Welfare, 1989. № 6. P. 139-156.
Moore J. Implementation, Contracts and Renegotiation in Environment with
51
Complete Information. Advances in Economic Theory. Vol.1. Cambridge:
Cambridge Univ. Press, 1992. P.182-281.



98
Moore, J., Repulo R. Subgame Perfect Implementation, Econometrica, 1988.
52
Vol. 46. P. 1191-220.
Moulin H. Generalized Condorcet-Winners for Single Peaked and Single
53
Plateau Preferences. Social Choice Welfare, 1984. P. 127-147.
Moulin H. Serial cost-sharing of excludable public goods // Review of
54
Economic Studies. 1994. Vol. 61. N 207. P. 305 - 325.
Moulin H., Shenker S. Serial cost sharing // Econometrica. 1992. Vol. 60. N 5.
55
P. 1009 - 1037.
Myerson R. Incentive compatibility and the bargaining problem //
56
Econometrica. 1979. Vol. 47. N 1. P. 61 - 74.
Myerson R. Optimal coordination mechanisms in generalized principal - agent
57
problems // J. of Mathematical Economy. 1982. Vol. 10. N 1. P. 67 - 81.
Palfrey T. Implementation theory / Handbook of Game theory. Vol.3.
58
(forthcoming).
Palfrey T., Srivastava S. Nash Implementation Using Undominated Strategies.
59
Econometrica, 1991. Vol. 59. P. 479-501.
Rasmussen H. Strategy-proofness of continuous aggregation maps. Social
60
Choice and Welfare, 14, 1997. P. 249-257
Repullo R. The Revelation principle under complete and incomplete
61
information. Economic Organizations as Games. Oxford: Basil
Blackwell,1986. P. 179 - 195.
Roberts K. The Characterization of Implementable Choice Rules. Aggregation
62
and Revelation of Preferences. Amsterdam: North-Holland, 1979. P. 321-48.
Saari D. Informational geometry of social choice. Social Choice and Welfare,
63
14, 1997. P. 211-232.
Saijo T. Strategy space reduction in Maskin's Theorem: sufficient conditions
64
for Nash implementation. Econometrica, 56. P. 693-700.
Saterthwaite M. Strategy - Proofness and Arrow's Conditions: Existence and
65
Correspondence Theorems for Voting Procedures and Social Welfare
Functions. Journal of Economic Theory, 1975. Vol. 10. № 2.P. 187-217.
Satterthwait M., Sonnenhschein H. Strategy - Proof Allocation Mechanisms at
66
Differential Points. Review of Economic Studies, 1981. Vol. XLVIII. P. 587-
597.
Sen A. Collective choice and social welfare. London: Holden - Day, 1970. -
67
254 p.
Sen A. Social choice theory / Handbook on mathematical economics. Vol. 3.
68
Amsterdam: North-Holland, 1986. P. 1073-1181.
Sprumont Y. The division problem with single-peaked preferences: a
69
characterization of the uniform allocation rules // Econometrica. 1991. Vol.
59. N 2. P. 509 - 519.

99
Tatamatani (1991)
70
Thomson W. The manipulability of resource allocation mechanisms//Review
71
of Economic Studies. 1984.Vol.51.N3.P.447-460.
Yamato (1993)
72
Zhou Y. A note on continuous social choice. Social Choice and Welfare, 14,
73
1997. P. 245-248
Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Выбор вариантов: основы теории. М.:
74
Наука, 1990. - 236 с.
Акофф Р., Эмери Ф. О целеустремленных системах. М.: Сов.радио, 1974.
75
- 272 с.
Ашимов А.А., Бурков В.Н., Джапаров Б.А., Кондратьев В.В.
76
Согласованное управление активными производственными системами.
М.: Наука, 1986. - 248 с.
Березовский Б.А., Барышников Р.М., Борзенко В.И., Кемпнер Л.М.
77
Многокритериальная оптимизация: математические аспекты. М.: Наука,
1989. - 128 с.
Бурков В.Н. Основы математической теории активных систем. М.:
78
Наука, 1977. - 255 с.
Бурков В.Н., Горгидзе И.И., Новиков Д.А., Юсупов Б.С. Механизмы
79
распределения ресурса и затрат в рыночной экономике. М.: ИПУ РАН,
1997. - 50 с.
Бурков В.Н., Данев Б.И др. Большие системы: Моделирование
80
организационных механизмов. М.: Наука, 1989.
Бурков В.Н., Еналеев А.К., Новиков Д.А. Механизмы
81
функционирования социально-экономических систем с сообщением
информации // А и Т. 1996. N 3. С. 3 - 25.
Бурков В.Н., Еналеев А.К. Оптимальность принципа открытого
82
управления. Автоматика и телемеханика, 1985. № 3. C. 73-80.
Бурков В.Н., Еналеев А.К., Каленчук В.Ф. Оптимальность принципа
83
открытого управления. Вычислительные процедуры планирования и их
свойства // А и Т. 1986. N 9. С. 81 - 87.
Бурков В.Н., Еналеев А.К., Новиков Д.А. Механизмы функционирования
84
социально - экономических систем с сообщением информации.
Автоматика и телемеханика, 1996 . № 3, с. 3-25.
Бурков В.Н., Еналиев А.К., Лавров Ю.Г. Синтез оптимальных
85
механизмов планирования и стимулирования в активных системах.
Автоматика и телемеханика, 1992 . № 10. С. 113-120.
Бурков В.Н., Ириков В.А. Модели и методы управления
86
организационными системами. М.: Наука, 1994. - 270 с.


100
Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования
87
организационных систем. М.: Наука, 1981.
Бурков В.Н., Кондратьев В.В., Цыганов В.В., Черкашин А.М. Теория
88
активных систем и совершенствование хозяйственного механизма. М.:
Наука, 1984. - 272 с.
Бурков В.Н., Новиков Д.А. Введение в теорию активных систем. М.:
89
ИПУ РАН, 1996.
Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять проектами. М.: Синтег, 1997. -
90
188 с.
Бурков В.Н., Новиков Д.А. Модели и механизмы теории активных
91
систем в управлении качеством подготовки специалистов. М.: ИЦ, 1997.
- 158 с.
Бурков В.Н., Новиков Д.А. Управление организационными системами:
92
механизмы, модели, методы // Приборы и системы управления. 1997. N
4. С. 55 - 57.
Бурков В.Н., Опойцев В.И. Метаигровой подход к управлению
93
иерархическими системами // А и Т. 1974. N 1. С. 103 - 114.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.
94
Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука,
95
1971. - 384 с.
Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука,
96
1976. - 328 с.
Гермейер Ю.Б., Моисеев Н.Н. О некоторых задачах теории
97
иерархических систем управления / Проблемы прикладной математики и
механики. М.: Наука, 1971. С.30-52.
Глотов В.А., Павельев В.В. Векторная стратификация. М.: Наука, 1984. -
98
132 с.
Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико - игровые модели принятия
99
решений в эколого-экономических системах. М. : Радио и связь, 1982. -
144 с.
Данилов В.И. Модели группового выбора (обзор) // Изв. АН СССР. Техн.
100
кибернетика. 1983. N 1. С. 143 - 164.
Данилов В.И., Сотсков А.И. Механизмы группового выбора. М.: Наука,
101
1991.
Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и
102
экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. - 606 с.
Каленчук В.Ф. Разработка и исследование оптимальных процедур
103
планирования в активных системах в условиях неопределенности. М.:
ИПУ РАН, 1990. - 22 с.
Клейнер Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение.
104
М.: Финансы и статистика, 1986. - 238 с.

101
105 Левченков В.С. Элементы эргодической теории с приложениями к
проблемам выбора. М.: Изд-во факультета ВМиК МГУ. 1997
106 Лезина З.М. Манипулирование выбором вариантов: теория агенды // А и
Т. 1985. N 4. С.5 - 22.
107 Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических
многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. - 342 с.
108 Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М.:
Мир, 1991.
109 Нейман Д., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение.
М.: Наука, 1970. - 707 с.
110 Новиков Д.А. Механизмы стимулирования в динамических и
многоэлементных социально-экономических системах // А и Т. 1997. N 6.
С. 3 - 26. 5
111 Новиков Д.А. Оптимальность правильных механизмов управления
активными системами. I. механизмы планирования, II. Механизмы
стимулирования. Автоматика и телемеханика, 1997, № 2-3.
112 Новиков Д.А. Оптимальность правильных механизмов управления
активными системами. II. Механизмы стимулирования // А и Т. 1997. N
3. С. 161 - 167.
113 Новиков Д.А., Петраков С.Н. Реализуемость механизмов активной
экспертизы и механизмов распределения ресурсов, XXXIX юбилейная
научная конференция МФТИ. Тезисы докладов, 1996.
114 Опойцев В.И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного
поведения. М.: Наука, 1977.
115 Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М.:
Наука, 1979. - 124 с.
116 Петраков С.Н. Достаточные условия существования эквивалентного
прямого механизма открытого управления для дифференцируемых
процедур планирования, XL юбилейная научная конференция МФТИ.
Тезисы докладов. Выпуск 1. 28-29 ноября 1997. С.36
117 Петраков С.Н. Необходимые условия неманипулируемости механизмов
планирования, сформулмрованные в терминах "множеств диктаторства",
XLI юбилейная научная конференция МФТИ. Тезисы докладов. Часть II.
27-28 ноября 1998. С.40
118 Петраков С.Н. Эквивалентные прямые механизмы в теории активных
систем // Управление большими системами: материалы научно
практической конферении. М. СИНТЕГ, 1997. С. 57
119 Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978.
- 352 с.


102
120 Фокин С.Н. Разработка, исследование и применение процедур
распределения моноресурса в социально-экономических системах в
условиях неопределенности с учетом приоритетов потребителей (на
примере распределения машинного времени на ВЦ в отраслевых НИИ и
КБ) / Диссертация на соискание ученой степени канд. техн. наук. М:
ИПУ РАН, 1988. - 166 с.
121 Цыганов В.В. Адаптивные механизмы в отраслевом управлении. М.:
Наука, 1991. - 166 с.
122 Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971. - 254 с.
123 Малишевский А.В. Качественные модели в теории сложных систем. - М.:
Наука, 1998. С.124-159




103
Приложение
0
Лемма 2.1.1. Рассмотрим произвольный r? D ? , тогда:
a) ?i?M(?) { (˜ , r?i ) ? D ? } ? {ri > xi? ( rC ( ? ) ) },
˜
0
ri (П.1)
б) ?i?R(?) {(˜ , r?i ) ? D ? } ? {ri < x i? ( rC ( ? ) )} .
˜
0
ri (П.2)

Доказательство. Пусть ri > x i? ( rC ( ? ) ) . Тогда по определению П.1
˜

(П.3)
D ? = {r ? R n : rC ( ? ) ? Proj C ( ? ) D ? ,
0

(П.4)
?
rM ( ? ) > x M ( ? ) ( rC ( ? ) ),
(П.5)
?
r A( ? ) < x A( ? ) ( rC ( ? ) )}.

Taк как r? D ? , то rC(?)?ProjC(?)D?. Обозначим ˜ = (˜ , r?i ) . Так как i?M(?),
0
r ri
то rC ( ? ) = ˜ ( ? ) , rA( ? ) = rA( ? ) и (П.3), (П.5) выполнены. Из ˜ i = r?i
˜
rC r?
следует, что rM ( ? ) \{i} > x M ( ? ) \{i}) ( rC ( ? ) ) , а так как ri > x i? ( rC ( ? ) ) , то
? ˜ ˜ ˜

˜ > x ? ( ˜ ) . Поэтому справедливо (П.4) и по определению D 0
rM ( ? ) M ( ? ) rC ( ? ) ?

получаем (П.1).
Обратно, предположение, что при некотором ˜ ? xi? (rC (? ) ) верно
ri
(˜ , r?i ) ? D A входит в противоречие с определением D0 .
0
ri ?
Аналогично доказывается, что имеет место второе утверждение
леммы.
Q. E. D.
Теорема 2.1.1. Пусть I - множество активных элементов, функции
полезности элементов обобщенно однопиковые. Пусть механизм
h : R n > R n удовлетворяет А.2.1.1 и D=D0 , тогда он неманипулируем.
Доказательство: Рассмотрим произвольный профиль ? ? GSP n . В силу
теоремы 1.2.1 для неманипулируемости достаточно показать, что
сообщение достоверной информации является равновесием Нэша, то есть
?i ? I , ?˜ ? R1 , ? i (hi (r )) ? ? i (hi (˜ , r?i )) .
ri ri
Допустим, что существуют элемент i?I и ˜ ? R1 такие, что
ri
? (h (r )) < ? (h (˜ , r )) .
r (П.6)
?i
i i i i i
Так как B - разбиение, то существует единственный вектор ???n, такой,
что r?D?. Возможны три случая: i может принадлежать либо M(?), либо
C(?), либо A(?). Рассмотрим последовательно три этиx случая.


104
i ? C (? ) ,
1) Пусть тогда
?˜ ? R1 , ? i (hi (r )) = ? i (ri ) ? ? i (hi (˜ , r?i )) так как единственный
ri ri ri
максимум ? i ( xi ) по xi.
2) Если i ? M (? ) , то из определения D? и A.2.1.1, ri > hi (r ) = xi? (rC ( ? ) ) .
D? = D ? ,
0
Так как то по лемме для любого
2.1.1
˜ > x ? (r ˜˜ ˜
C ( ? ) ), r = ( ri , r?i ) ? D? = D? и ? i ( hi ( r )) = ? i ( hi ( r )).
0
ri i

Если ri ? xi? (rC (? ) ) , то (ri , r?i ) ? D ? = D?
˜ ˜ 0
и существует
единственный вектор ? ??n такой, что ˜ ? D ˜ . Если верно (П.6), то из
˜ r ?
˜
того, что ?i (xi ) не убывает по xi при xi <r следует, что при сообщении ri ,
i?ый активный элемент должен получать hi (˜ ) > hi (r ) . Поэтому r
˜ ˜
xi? (˜ ( ? ) ) > xi? (rC ( ? ) ) , xi? (˜ ( ? ) ) > ˜ и i ? A(? ) .
˜
rC ˜ rC ˜ ri
˜
В силу того, что xi? (rC ( ? ) ) > xi? (rC ( ? ) ) существует ri ? R1 такой,
?
˜
˜ ˜
что xi? (rC ( ? ) ) > ri > xi? (rC ( ? ) ) . Из xi? (rC ( ? ) ) > ri и леммы 2.1.1 вытекает,
? ?
что r ? D ? . Аналогично r ? D? и r ? D? I D? . Но так как D=D0 то
? ? ?
0 0 0 0
˜ ˜

D? I D ? = ? . Получили противоречие и (П.6) не выполнено.
0 0
˜

3) Случай, когда i ? A(? ) рассматривается аналогично случаю 2).
Q.E.D.
h: R > R n n
Лемма Пусть механизм удовлетворяет
2.2.1.
предположениям А.2.1.1, А.2.2.1 и для него D = D , тогда этот
0

механизм коалиционно неманипулируем.
Доказательство: Допустим, выполнены условия теоремы и механизм
˜
h(r ) коалиционно манипулируем, тогда ?r ? R n , ?J ? I , ?˜ ? R
J
r J
такие, что
?j ? J > ? j (h j (˜J , r? J )) ? ? j (h j (rJ , r? J )) и
r
?i ? J > ? (h (˜ , r )) > ? (h (r , r )) .
r ?J ?J
i i J i i J
Из определения однопиковых функций полезности получаем
?r ? R n , ?J ? I , ?˜J ? R J такие, что
r
hJ (˜J , r? J ) < ? > J hJ (rJ , r? J )) и (П.7)
r
?j ? ? J I ( A( ? ) U M ( ? )) : h j (˜J , r? J )) < ? > j h j (rJ , r? J ) . (П.8)
r


105
Рассмотрим ? ??n такой, что ˜ = (˜J , r? J ) ? D? и ? ? ? .
˜ ˜
r r ˜

Тогда найдется из (П.8) множество ? ? K ? J \ { j * } , такое, что
hK (˜ ) = hK (r ) и hJ \ K (˜ ) < ? > J \ K hJ \ K (r ) .
r r
˜
˜ ˜
Рассмотрим вектор r = (hJ (r ), r? J ) . Из определения следует, что
˜
r = (hJ (˜ ), r? J ) ? D 0 ( ? , J ) так как ˜ = (˜J , r? J ) ? D? .
˜
˜ r r r ˜

С другой стороны r = (rJ , r? J ) ? D? и выполнено (П.7), тогда
˜
˜ = (h (˜ ), r ) ? D 0 ( ? , K ) так как r = (r , r ) ? D .
r Jr J ?J ?
?J

Тогда Dc( ? , K ) I Dc ( ? , J ) ? ? . При этом, c j? ( ? , K ) ?' c ' в силу
0 0
˜


j? ? J ,
˜
c j? ( ? , J ) =' c ' ,
а поскольку откуда следует, что
(П.8),
˜
˜
c j? ( ? , K ) ? c j? ( ? , J ) и ?? , ? : D? I D ? ? ? . Получили противоречие.
˜

Q.E.D.
Лемма 2.2.2. Пусть механизм h : R n > R n удовлетворяет А.2.1.1 и
неманипулируем, тогда D = D .
0

Доказательство: Допустим, ?? 1 , ? 2 ??n такие, что ? 1 ? ? 2 и
D?1 I D ? 2 ? ? . Тогда существуют ˜ ? D?1 I D? 2 и r ? D ?1 такие, что
0 0
r
˜ =r .
rC ( ?1 ) C ( ?1 )

K = {i ? I ri ? ˜ } , K I C( ? 1 ) = ? .
Рассмотрим множество ri
i k ? K , k = 1, K .
Рассмотрим возрастающую последовательность
Определим последовательность точек r , k = 0, K таких, что r = r ,
k 0


r k +1 = (r?kik , ˜k ) . При таком определении r = ˜ .
K
ri r
Lk = [r k ?1 , r k ] ,
Определим последовательность отрезков
k = 1, K . Все отрезки Lk ? D ?1 по лемме 2.1.1. Так как r 0 = r ? D?1 , а
0


= ˜ ? D? 2 , k ? {0, ..., K }
K
то найдется номер такой, что
r r

r k ?1 ? D?1 , r k ? D? , где ? ? ? 1 .
˜
˜


h : Rn > Rn
В силу того, что механизм неманипулируем,
hik ?1 (r k ?1 ) = hik ?1 (r k ) . j?I
Пусть существует такой, что

106
h j (r k ?1 ) ? h j (r k ) , тогда либо ? 1 ? c , либо ? j ? c , например, ? 1 ? c .
˜
j j

Рассматривая коалицию { j , ik ?1} , при положении истинной точки пиков -
r k ?1 получаем, что ей выгодно сообщать r k . Аналогично, если ? ? c .
˜
j

Q.E.D
Лемма 2.2.3. Пусть механизм h : R > R удовлетворяет А.2.1.1 и
n n

коалиционно неманипулируем, тогда выполнено А.2.2.1.
Доказательство: Из условий леммы леммы 3.2.1 следует, что D = D 0 .
Рассмотрим произвольный ? ??n и произвольное подмножество
J ? I . Обозначим K = J I ( A( ? ) U M ( ? )) .
Рассмотрим возрастающую последовательность i k ? K , k = 1, K .
?r ? D( ? , k1 ) ?r ? ? D?
D( ? , k1 ) .
Рассмотрим такой, что
?
r?k1 = r?k1 . Тогда из коалиционной манипулируемости следует, что
hk1 (r ?) = hk1 (r ) . Докажем, что h(r ?) = h(r ) .
Допустим, что h(r ?) ? h(r ) и ?j ? I такой, что h j (r ?) ? h j (r ) .
Рассмотрим два случая: (1) ? j ? c и (2) ? j = c .
Пусть ? j ? c и r j < ? > j h j (r ) . Если h j (r ) < ? > j h j (r ?) , то при
1.
истинной точке пиков r ? и функции полезности
?? 2 x ? r? , r? < ? > j x j ;
? h (r ?) ? r ? j j j
? j j
? j (x j ) = ?
1 x j ? r? , x j < ? > j r?.
?? j j
?
? h j (r ) ? r j
?
выгодно образование коалиции { j , k1} и сообщение r .
Если h j (r ?) < ? > j h j (r ) , то аналогично получаем, что при точке
пиков r и функции полезности
?? 2 x ? r , r < ? > j xj;
? h (r ) ? r ? j j j
? j j
? j (x j ) = ?
1
?? x j ? rj , x j < ? > j rj .
? h j (r ?) ? r ?
? j

выгодно образование коалиции { j , k1} и сообщение r ? .
Тогда h j (r ?) = h j (r ) .


107
Если ? j = c , то h j (r ?) ? r j = r j? и при истинной точке пиков
2.
выгодно образование коалиции { j , k1} и сообщение r .
Таким образом, h(r ) = h(r ?) при любых r ? D( ? , k1 ) , r ? ? D?
?
таких, что r?k1 = r?k1 . Тогда r?k1 < ? > ?k1 h?k1 (r ) и rk1 = hk1 (r ) , откуда
следует, что r ? Dc( ? , k1 ) и D( ? , k1 ) ? Dc ( ? , k1 ) .
c (c( ? , {k1}), {k 2 }) = c( ? , {k1 , k 2 }) ,
Так как а
D(c ( ? , {k1}),{k 2 }) = D( ? , {k1 , k 2 }) , то аналогично предыдущему случаю
получаем:
Dc ( ? , {k1 , k2 }) ? D( ? , {k1 , k 2 }) .
Продолжая по индукции, получаем
?J ? I > D( ? , J ) ? Dc ( ? , J ) .
Q.E.D.
Лемма 2.3.1. Пусть функция полезности активного элемента i ? I
однопиковая и сепарабельная, тогда любой элементарный механизм
e : R J i > R Ji неманипулируем.
Доказательство: Допустим механизм e(r ) манипулируем, тогда
найдутся точки пика r i ? R Ji и ˜ i ? R Ji такие, что ? i (e(r i )) > ? i (e(r i )) .
˜
r
r i ? D i , где ? i ??Ji . Тогда в силу определения
Пусть
?

и того, что e(r i ) ? e(˜ i ) выполняется
элементарного механизма r
e ?C ( ? i ) (r i ) < ? i > ?C ( ? i ) e ?C ( ? i ) (˜ i ) и найдется компонента плана j ? J i
r

такая, что e j (r i ) ? e j (˜ i ) .
r
Обозначим e K = e(˜ i , rJii \ K ) , ? ? K ? J i . В силу того, что
rK
< ? i > ?C ( ? i ) e ?C ( ? i ) (r i ) < ? i > ?C ( ? i ) e?C ( ? i ) (˜ i ) и сепарабельности
i
r?C ( ? i ) r

функции полезности ? i ( x i ) , для любого j1 ? J i \ C ( ? i ) выполняется
i
? i (e ? ) ? ? i (e{ j1} ) . По индукции получаем, что ? i (e ? ) ? ? i ( e J i \C ( ? ) ) и
далее ? i (e ? ) ? ? i (e Ji ) = ? i (e(˜ )) . Получили противоречие.
r
Таким образом утверждение леммы верно.
Q.E.D.
Теорема 2.3.1. Пусть функции полезности активных элементов
однопиковые и сепарабельные, прямой механизм h : R J > R J ограничен

108
и удовлетворяет условию А.2.3.1, тогда механизм h(r ) , r ? R J является
неманипулируемым.
Доказательство: Докажем, что при каждом фиксированном r ?i ? R J ? i
механизм h i (r i , r ?i ) является неманипулируемым для i - го активного
элемента.
Рассмотрим произвольный вектор rJ ?i ? R J ? i и произвольный
rJi ? R J i . Пусть r = (rJi , rJ ?i ) принадлежит некоторому множеству D ? и
˜ ˜˜
˜ ˜
рассмотрим ?( ? ) = {? ??J ? ? Ji = ? ? Ji } . Для каждого ? ??( ? )
?
&&&
определены функции принимающие постоянные
x ?C ( ? (rC ( ? J )) ,
˜
˜
Ji ) ?i

значения при заданном rJ ?i ? R J ? i , поэтому будем считать, что для
?
˜˜ &&&
каждого ? ??( ? ) определены числа x . ˜
?C ( ? J i )

Поскольку верно D = D 0 и из А.3 для любого ? ??J , ?i ? I ,
˜
?˜ ? Dc ( ? , J )
?J ? J i r ? D?
и найдется такой, что
r
˜
x c ( ? , J ) (˜ ( c ( ? , J )) ) = x ? (rC ( ? ) ) верно, что для всех j ? J i существуют
rC ˜

? ?
числа x j j ? R { j} такие, что для любого r i ? R Ji такого, что r ji < ? j > x j j
?
h j (r ) = x j j . Из односвязности множеств
выполняется ProjC ( ? ) D?
?
следует, что для всех r j таких, что x j j < ? j > r ji для любого ? j ??
выполнено h j (r ) = r j .
Таким образом, механизм hi (ri , r?i ) является элементарным для
i -го элемента и в силу произвольности i , механизм h(r ) является
неманипулируемым.
Q.E.D.
Лемма 2.3.1. ММ выполнено.
Доказательство: очевидно из свойств 2.3.1-2.3.3 Q.E.D.
Лемма 2.3.2. НСМ выполнено.
Доказательство: очевидно из свойств 2.3.1-2.3.3.
Q.E.D.
Лемма 2.3.3. Если d = 0 и ? D > R , то ОПВ не выполнено. В
j?I
противном случае ОПВ выполнено.

109
Доказательство: очевидно из свойств 2.3.1-2.3.3.
Q.E.D.
Лемма 2.3.4. ПО выполнено.
Доказательство: очевидно из свойств 2.3.1-2.3.3.
Q.E.D.
Лемма 2.1.13. Для любого r ? [d , D]n , верны следующие утверждения:
1) если ri > h(r ) , то ?˜ ? h(r ) , h(˜i , r?i ) = h(r ) и ?˜ < h(r ) ,
ri r ri
h(˜ , r?i ) < h(r ) ;
ri
2) если ri < h(r ) , то ?˜ ? h(r ) , h(˜i , r?i ) = h(r ) и ?ri > h(r ) ,
˜
ri r
h(˜ , r ) > h(r ) .
r ?i
i
Доказательство: докажем эту лемму следующим способом: будем
рассматривать последовательное изменение сообщения ˜ ?[d , D ]ri
некоторого активного элемента с номером i ? I . При этом возможны три
варианта: активный элемент выходит из некоторого множества El
разбиения E и возможно переходит в множество El ?1 , либо в множество
E , то есть, если i ? E и k ? E , а j ? E , то либо r ? ˜ ? r , либо
r
l +1 l ?1 l +1 il ?1 i i
l

ri ? ˜ ? ril +1 . Если элемент i находится между двумя множествами
ri
разбиения, то этот случай сводится к предыдущему, поскольку он задает
еще одно множество El разбиения E , состоящее из одного элемента
El = {i} . При этом, возможно, что номер i лежит либо выше, либо ниже
множества ? (r ) в упорядочении, задаваемом t ? T E . Также, возможно
два варианта: ˜ > ri и ˜ < ri .
ri ri
? = max ? , ? = min ? .
Обозначим Обозначим
? ?? (r )
? ?? (r )
? = {? ? ? : ? > ? } и ? = {? ? ? : ? > ?} . Все возможные варианты сведем
в следующую таблицу

˜ >r ˜ <r
ri ri
i i

i?? 3 2
i ?? 1 1
i?? 2 3
где одинаковыми числами обозначены симметричные ситуации. Таким
образом, достаточно рассмотреть три случая:
˜
1) i ? ? , ri < ri ;

110
2) i ? ? , ˜i < ri ;
r
3) i ? ? , ˜i < ri .
r
1) Рассмотрим первый случай. Возможны два варианта: есть явные
диктаторы, такие, что ?j ? E? (r ) , r j ? [Wtt(, jE , Wtt(,jE?1 ] и h(r ) = r j ; (б)
) )

явных диктаторов нет, то есть ?j ? E? (r ) , r j > Wtt(,jE?1 и h(r ) = Wtt(, jE?1 .
) )

а) Пусть ?(r ) = ? ? ( r ) , тогда для рассматриваемого случая выполнены
следующие соотношения:
?? ? ?(r ) , min (W?t ,?E , rt ?1 ( ) ) = W?t ,?E = W?t ?1 , и r ?1 > W?t ?1 , (П.9)
? t (? )
1 1

где ? = min ? ;
??? (r )

max min (rt ?1 ( ? ) , W ?,?E ) = rt ?1 ( ? ) ? W?t ?1 ;
t
(П.10)
1
? ??

max min (rt ?1 ( ? ) , W?,?E ) = W?,?E ? W?t ?1 .
t t
(П.11)
1 1
? ??
Без потери общности предполагаем, что меняется сообщение
активного элемента ?(r ) с наименьшим номером t ?1 (? ) , то есть
?˜ ? [W t , W t ] .
?r . Для случая (а) верно, что r
r r ? ? ?1
t ?1 ( ? ?1) t ?1 ( ? ) t ?1 ( ? ) t ?1 ( ? )
I) Считаем сначала, что rt ?1 ? < ˜? . При этом порядок активных
r
( ?1)
˜
элементов будет задаваться той же перестановкой t , а разбиение E , для
нового вектора ˜ = (˜ ) будет задаваться следующими
r r ,r t ?1 ( ? ) ? t ?1 ( ? )
˜ ˜ ˜
соотношениями: ? l = ? l , l = 1, ? (r ) ? 1 , ? ? ( r ) = {?} , ? ? ( r ) +1 = ?(r ) \ {?} и
˜
? l +1 = ? l , l = ? (r ) + 1, E . Тогда отрезки диктаторства для всех элементов
из множеств ? l , l ? {? (r ), ? (r ) + 1} не изменятся, для элемента с номером
˜ ˜
t ?1 (? ) отрезок диктаторства [W?t , E , W?t ,?E ] = [W?t , W?t ?1 ] , а для элементов с
1
j : t ( j ) ? ? \ {?}
номерами отрезок диктаторства
˜ ˜
[Wtt(,jE , Wtt(,jE?1 ] = [W?t , W?t ] .
) )

Если r ?1 ? W?t , то ˜ ?1
˜ ? [W?t , W?t ?1 ] и
rt
(? ) (? )
t

h(r ) = ˜ ?1 ( ? ) < h(r ) = rt ?1 ( ? ) .
˜r
t
˜ min (˜ ?1 (? ) , W? ?1 ) = ˜ ?1 ( ? ) < W?t
rt ?1 ( ? ) < W?t ,
Если то и,
rt rt
следовательно,

111
˜
max min (rt ?1 ( ? ) , W? ,?E ) = max rt ?1 ( ? ) ? rt ?1 ( ? ) ,
t
1
? ?? ? ??
˜ ˜
= max W? ,?E ? rt ?1 ( ? ) ,
max min (rt ?1 ( ? ) , W ?,?E )
t t
1 1
? ?? ? ??
˜
min (r ?1 ( ) , W? ,?E ) = W?t < rt ?1 ( ? ) ,
t
max
t? 1
? ?? (r) \{? }

min (˜ ?1 , W?t ?1 ) = ˜ ?1 ? < W?t < rt ?1 ? .
rt rt
(? ) () ()
Тогда
h(˜ ) ? rt ?1 ( ? ) = h(r ) .
r
˜
II) Рассмотрим теперь случай, когда rt ?1 (? ?1) = rt ?1 (? ) < rt ?1 (? ) . Новое
˜ ˜
˜
? l = ? l , l = 1, ? (r ) ? 2 , ? ? ( r ) ?1 = {?} U ? ? ( r ) ?1 ,
разбиение E таково, что
˜ ˜
? ? ( r ) = ?(r ) \ {?} ? l = ? l , l = ? (r ) + 1, E .
и Новые отрезки
диктаторства определятся следующим образом
˜ ˜
˜
?? ? ? l , l = 1, ? (r ) ? 2 , [W? , E , W?,?E ] = [W? , E , W? ,?E ] ,
t t t t
1 1
˜ ˜
˜
?? ? ? ? ( r ) ?1 , [W? , E , W? ,?E ] = [W? , W? ?2 ] ,
t t t t
1
˜ ˜
˜
?? ? ? ? ( r ) , [W? , E , W?,?E ] = [W?t , W?t ] ,
t t
1
˜ ˜
˜
?? ? ? l , l = ? (r ) + 1, E , [W? , E , W?,?E ] = [W? , E , W? ,?E ] .
t t t t
1 1
Таким образом, для всех ? ? {? ( r ), ? ( r ) ? 1} отрезки диктаторства
останутся без изменений. Тогда будут верны следующие утверждения:
˜
max min (˜ , W t, E ) = ˜ =r ?r
r r , (П.12)
t ?1 ( ? ) t ?1 ( ? ) t ?1 ( ? ) t ?1 ( ? )
? ?1
? ?? \ ?? ( r ) ?1
˜ ˜
˜
max min (r ?1 ( ? ) , W ? ?1 ) = W? ?1 = W?,?E ? r ?1 ( ? ) .
t, E t, E t
(П.13)
1
? ?? t t

? ? (r ) ? ? ( r ) ?1 ,
Чтобы определить подобные соотношения для и
рассмотрим два случая:
˜
˜
- если ˜ ?1 ( ? ) < W?t , то ?? ? ? ? ( r ) ?1 , min (rt ?1 ( ? ) , W ?,?E ) = rt ?1 ( ? ) =
˜ ˜
t
rt 1
˜
˜
= rt ?1 ( ? ) < rt ?1 ( ? ) и ?? ? ? ? ( r ) , min (˜t ?1 ( ? ) , W?t ,?E ) = ˜t ?1 (? ) . При этом из
r r
1

(П.12)
h(˜ ) ? rt ?1 ( ? ) = h(r ) ;
r



112
˜ ˜
- если W?t ?1 ? ˜ ?1 ( ? ) ? W?t , то ˜ ?1 ( ? ) ? [W?t , W?t ,?E ] и ?? ? ? ? ( r ) ?1 ,
r rt 1
t
˜
˜
min (rt ?1 ( ? ) , W ? ?1 ) = rt ?1 ( ? ) < rt ?1 ( ? ) , ?? ? ? ? ( r ) ,
t
а
˜
min (˜ ?1 , W? ,?E ) = ˜ ?1
t
. Тогда из (*),
r r
(? ) (? )
1
t t

h(˜ ) = ˜ ?1 ( ? ) = h(r ) .
r rt

rt ?1 ( ? ) = h(r ) ,
Таким образом, если для всех
? ˜ ?1 ( ? ) ? rt ?1 ( ? ) , h(˜ ) ? h(r ) .
r
rt ?1 ( ? ?1) rt
б) Теперь рассмотрим случай, когда явных диктаторов нет, то есть
?j ? E? (r ) , r j > Wtt(,jE?1 и h(r ) = Wtt(, jE?1 . Тогда выполнены следующие
) )
соотношения
?? ? ?(r ) , min (W?t ,?E , r ?1 ) = W?t ,?E = W?t ?1 , rt ?1 (? ) > W?t ?1 ,
и где
t (? )
1 1

? = min ? , (П.14)
??? (r )

max min (rt ?1 ( ? ) , W ?,?E ) = rt ?1 ( ? ) ? W?t ?1 ,
t
(П.15)
1
? ??

max min (rt ?1 ( ? ) , W?,?E ) = W?,?E ? W?t ?1 .
t t
(П.16)
1 1
? ??
rt ?1 ( ? ) < ˜ ?1 ( ? ) ? r? . При этом,
Рассмотрим сначала случай, rt

rt ?1 ( ? ?1) < W?t ?1 . Иначе, если rt ?1 ( ? ?1) ? W?t ?1 , то min (rt ?1 ( ? ) , W?t ?1 ) ? W?t ?1 и

?(r ) ? Argmax min (rt ?1 (? ) , W?t ,?E ) .
1
???

< ˜ ?1 (? ) , то min (rt ?1 ( ? ) , W?t ?1 ) = W?t ?1 и при новом разбиении
W?t ?1
I) Если rt
˜ ˜
E перестановка t сохранится. Новое разбиение E будет таким, что
˜ ˜ ˜
? l = ? l , l = 1, ? ? 1 , ? ? ( r ) = {?} , ? ? ( r ) +1 = ?(r ) \ {?} ,
˜ ˜
? l +1 = ? l , l = ? (r ) + 1, E . Для элементов из множества ? ? ( r ) +1 отрезок
˜ ˜
диктаторства [W?t , E , W?t ,?E ] = [W?t , W?t ] . Так как W?t ? W?t ?1 , то
1
˜
max min (rt ?1 ? , W?t ,?E ) ? W?t ?1
1
??? ()
˜
max min (rt ?1 (? ) , W?t ,?E ) ? W?t ?1
1
???
˜
max min (rt ?1 (? ) , W?t ,?E ) ? W?t ?1
1
??? \{? }

113
˜
max min (r ?1 ? , W?t ,?E ) < W?t = W?t ?1 .
1
??{? } t ()

Поэтому
h(˜ ) = W?t ?1 = h(r ) .
r
II) Если W?t ?1 ? ˜? ? W?t , то
r
h(˜ ) = ˜ ?1 ( ? ) ? W?t ?1 = h(r ) .
r rt

III) Если r < W?t , то min (r? , W?t ) = ˜ < W?t ? W?t ?1 и верны следующие
˜ r?
соотношения:
˜
, W?t ,?E ) ? W?t ?1
max min (rt ?1
(? ) 1
???
˜
max min (r ?1 ( ) , W?t ,?E ) ? W?t ?1
? 1
??? t
˜
max min (r ?1 ( ) , W?t ,?E ) ? W?t ?1
?
1
??? \{? } t
˜
max min (r ?1 ( ) , W?t ,?E ) < W?t ? W?t ?1 .
? 1
??{? } t

Тогда
h(˜ ) ? W?t ?1 = h(r ) .
r
Резюмируя случай 1), получаем, что если t (i ) ? ?(r ) , то при
? ˜ ? h(r ) , h(˜ ) ? h(r ) . Симметричный случай: ri? ( r )+1 ? ˜ ? h(r ) ,
ri? ( r )?1ri r ri
h(˜ ) ? h(r ) .
r
? ˜ ?1 (? ) ? rt ?1 (? ) .
2) Рассмотрим случай, когда ? ? ? l ? ? и rt ?1 (i rt
l ?1 )

< ˜ ?1 (? ) ? rt ?1 (? ) . При этом, отрезок диктаторства при
а) Пусть r ?1 ( rt
ti l ?1 )

W?t ?1 ? W?t
[W?t , W?t ?1 ]
новом разбиении определяется как и и
min (r? , W?t ?1 ) = W?t ?1 ? W?t ? h(r ) . Тогда
h(˜ ) = h(r )
r .
= ˜ ?1 (? ) ? rt ?1 (? ) , то новое разбиение будет таким, что
б) Если rt ?1 ( i rt
l ?1 )

? l = ? l , l = 1, (? (r ) - 1) ;
?? ? ( r ) U {? }, ? ? ? ? ( r ) +1 ;
?
˜
? ? (r ) = ?
?? ? ( r ) , ? ? ? ? ( r ) +1 .
?



114
?? l U {? }, ? ? ? l +1 ;
?
˜
?? ( r ) = ?
?? l , ? ? ? l +1 , l = ? (r ), E .
?
˜
Рассмотрим l такой, что ? ? ? l ?1
˜
max min (˜ ?1 ( ) , W?t ,?E ) = max min (rt ?1 (? ) , W?t ,?E ) .
rt
?
1 1
??? ???
I) Если l ? 1 = ? ( r ) , то новый отрезок диктаторства для элементов из
˜
множества ? ? ( r ) будет следующим:
˜ ˜
[W?t , E , W?t ,?E ] = [W?t , W?t ?1 ] .
1
Тогда
˜
˜
max min (rt ?1 (? ) , W?t ,?E ) = max min (rt ?1 (? ) , W?t ,?E ) .
˜ 1 1
???? ( r ) ???? ( r )

Так как множество ? \ {?} беднее множества ? , то
˜
˜
max min (r ?1 ( ) , W? ,?E ) ? max min (r ?1 ( ) , W?,?E ) .
t t
? ?
1 1
??? \{? } ? ?? \{? }
t t

Тогда
h(˜ ) = h(r ) .
r
l ? 1 > ? (r ) ,
II) Если значит меняется нижняя граница отрезка
диктаторства для элементов из ? l ?1 и верхняя граница диктаторства для
элементов из множества ? l ? 2 . Так как при этом ? l ?1 , ? l ?2 ? ? и
˜ ˜
˜
rt ?1 (? ) > min (r? , W?t ,?E ) ? W?t ,?E , то
1 1

h(˜ ) = h(r ) .
r
Резюмируя случай два и симметричный ему случай, получаем: если ? ? ?
rt ?1 ( i ) ? ˜ ?1 (? ) ? rt ?1 (? ) , то h(˜ ) = h(r ) и если ? ? ? и
и r
rt
l ?1

?˜ , то h(˜ ) = h(r ) .
?r r
r r
t ?1 ( il +1 ) t ?1 (? ) t ?1 (? )

3) Рассматривается аналогично случаю 2). Если если ? ? ? и
? ˜ ?1 (? ) ? rt ?1 (? ) , h(˜ ) = h(r ) ? ??
то и если и
r
rt ?1 ( i rt
l +1 )

? ˜ ?1 (? ) ? rt ?1 (? ) , то h(˜ ) = h(r ) .
r
rt ?1 ( i rt
l ?1 )
˜
Пусть необходимо показать, что если ri > h(r ) , то ?ri ? h(r ) ,
˜
и ? ri < h( r ) , h(˜ , r?i ) < h(r ) . Если ri > h(r ) ,
h(˜ , r?i ) = h(r )
ri ri
рассмотрим произвольный ˜ ? h(r ) . Пусть m = {l ? {1, ..., E } : t(i) ? ? } .
r l
i
Тогда m > ? (r ) .

115
Если ? (r ) = m ? 1 , то из случая 2) получаем утверждение. Если
? (r ) < m ? 1 , то рассматриваем r 1 = r , по случаю 2) ?r 1 ? ˜ ? r ,
r
i im ?1 i i i

h(˜ , r?i ) = h(r ) . Далее, если ? (r ) < m ? 2 , рассмотрим ri2 = rim ? 2 . Из 2),
ri
?r 2 ? ˜ ? r 1 , будет выполнено h(˜ , r ) = h(r ) и т.д., пока ? (r ) = m ? k , и
r r ?i
i i i i

?ri ? ˜ ? rik ?1 , h(˜ , r?i ) = h(r ) . Таким образом доказано утверждение:
k
ri ri
если ri > h(r ) , то ?ri ? h(r ) , h(˜ , r?i ) = h(r ) .
˜ ri
Аналогично доказываются остальные утверждения леммы.

Q. E. D.
Лемма 2.1.14. ММ выполнено.
Доказательство. Следует из определения ММ, при условии, что
функции полезности элементов являются однопиковыми и леммы 2.1.13.

Q. E. D.
Лемма 2.1.15. НСМ выполнено.
Доказательство: очевидно из определения ММ, при условии, что
функции полезности элементов являются однопиковыми и леммы 2.1.13.

Q. E. D.
Лемма 2.1.16. ОПВ выполнено.
Доказательство: Рассмотрим тождественную перестановку t ? T , то есть
такую, что t (i ) = i и разбиение E такое, что E1 = {1, ..., n ? 1} и E 2 = {n} .
При этом отрезки диктаторства определятся следующим образом:
[W jt , E , W jt?1 ] = [Wnt?1 , 1] и [Wnt , E , Wnt?1 ] = [0, Wnt?1 ] .
,E ,E


При этом либо (а) Wnt?1 > 0 , либо (б) Wnt?1 < 1 . Рассмотрим случай
а). Положим ri = 0, i = 1, n ? 1 и rn = Wnt?1 . Тогда rn ? [Wnt , E , Wnt?1 ] и
,E


h(r ) = rn ? ri , i = 1, n ? 1 .
Аналогично рассматривается случай (б). ОПВ не выполнено.

Q. E. D.
Лемма 2.1.17. ПО выполнено.
Доказательство: Очевидно ПО эквивалентно утверждению, что
h(r ) ?[min ri , max ri ] .
i?I i?I




116
Допустим, ПО не выполнено, тогда без потери общности предполагаем,
что h( r ) < min ri , тогда рассмотрим ˜ ? [d , D]n r ? [d , D]n такой, что
˜
r
i?I
r j = min ri . Из леммы III.1.13 получаем, что h(˜ ) = h(r ) < ˜j , ?j ? I . С
r r
i?I
˜ ˜
другой стороны, [W jt , E , W jt?1 ] = [0, 1] и h(˜ ) = ˜j , ?j ? I . Получили
,E
r r
противоречие, ПО выполнено. Q. E. D.
Утверждение 3.2.1. Совокупность множеств {S ? }? ??n есть разбиение

Rn .
Необходимо доказать, что ?s ? R n существует
Доказательство:
единственный вектор ? ??n такой, что s ? S ? и ?? ? ? ? s ? S ? ? .
Пусть ?s ? R n . Для каждого i = 1, n определим ?i , i ? I по
следующей процедуре. Возможны три взаимоисключающих случая: (1)
si < 0 ; (2) si ? [0; 1] ; (3) si > 1 . В первом случае положим ?i = a , во
втором - ?i = c , в третьем - ?i = m .




117
Эта процедура однозначно определяет ? ??n . Из определения
C(? )
? ?
вектора ? следует, что s A( ? ) < s A( ? ) , sM ( ? ) > s M ( ? ) и sC ( ? ) ? [0, 1] .

Значит s ? S ? . Пусть существует два различных вектора ?1 , ? 2 ??n
такие, что s ? S ? 1 , s ? S ? 2 . Вектора ?1 , ? 2 отличаются хотя бы в одной

так что ? 1 ? ? 2 . С точностью до перестановки
j?I
компоненте j j

номеров векторов возможны лишь три случая: (1) ? 1 = a, ? 2 = c ; (2)
j j

? 1 = a , ? 2 = m ; (3) ? 1 = c, ? 2 = m . В первом случае из значений ?1 , ? 2
j j j j
следует, что s j < 0, s j ? [0, 1] . Аналогично получаем противоречия во
втором и третьем случаях.
Q. E. D.
Утверждение 3.2.2. Для любого s ? R n существует множество векторов
? ? ?0 ? ? ?0 > 0
состояний и число такие, что
?? ? (0, ? 0 ), ?? ??0 , U ? ( s) I S ? ? ? и ?? ??0 , U ? (s ) I S ? ? ? .
Доказательство: Рассмотрим произвольную точку s ? R n и произвольное
? > 0 . Обозначим U ? (s ) - ? - окрестность точки s .
Для каждой точки ˜ ? U ? (s ) найдется единственный вектор
s
? (˜ ) ??n такой, что ˜ ? S ˜ . Обозначим через ? совокупность
s s ?(s ) ?

{? (˜ )}˜?U . Множество ?n конечно и ?? ? ?n при любых ? > 0 .
ss
Поэтому, ?? конечно для любых ? > 0 .
Единственность вектора ? (s ) для каждого ˜ ? U ? (s ) позволяет
˜ s
записать ?? ??? , U ? (s ) I S ? ? ? и ?? ??? , U ? (s ) I S ? = ? .
?0 = I?? ?? 0 > 0
Обозначим Докажем, что такой, что
.
? >0
?? ? (0, ? 0 ), ?? ??0 , U ? ( s) I S ? ? ? ?? ??0 , U ? (s ) I S ? ? ? .
и Для
этого необходимо показать, что одновременно верны следующие
утверждения:
1) ?? 1 > 0 : ?? ? (0, ? 1 ), ?? ??0 U ? ( s) I S ? ? ? ;
0 0
2 2
2) ?? 0 > 0 : ?? ? (0, ? 0 ), ?? ??0 U ? (s ) I S ? = ? .


118
Из определения ?0 = I?? , любой ? ??0 принадлежит всем
? >0
?? , ? > 0 и поэтому ?? ??0 , ?? > 0 ? ? (0, ? 0) ?? ??0 : U ? ( s) I S ? ? ? .
Первое утверждение доказано.
Допустим не верно второе утверждение и
?? 0 > 0 ?? ? (0, ? 0 ) ?? ??0 : U ? ( s) I S ? ? ? . Это эквивалентно тому, что
?? 0 > 0, ?? ? (0, ? 0 ) такое, что ?0 строго принадлежит ?? .
1
Положим ? 0 (k ) = , k = 1, 2, ... Для любого ? 0 (k ) найдется
k
? (k ) ? (0, ? 0 (k )) такое, что найдется ? k ??? ( k ) \?0 . Так как ? k может

?n ,
принимать лишь конечное множество значений из
˜
последовательность ? k ? ??n
принимает некоторое значение
бесконечное число раз.
kj
{?
Существует подпоследовательность такая, что
}
kj ˜
= ? . Рассмотрим произвольный j ? N . Для ? 0 (k j ) найдется
?j ? N , ?
˜
? (k j ) ? (0, ? 0 (k j )) ? ??? ( k j ) \ ?0 .
такое, что Тогда
?j ? N , U ? ( k j ) ( s ) I S ? ? ? .
˜
˜ ˜
Так как ? ??0 = I?? , то найдется ? ? > 0 такое, что ? ??? ? .
e>0
? ? < ? (k j ) U ? ( k j ) ( s) ? U ? ? ( s)
Возможно лишь иначе, и из
˜
U ? (k j ) ( s) I S ? ? ? будет следовать, что U ? ? ( s) I S ? ? ? и ? ??? ? .
˜ ˜

1
В силу того, что стремится к нулю при j стремящемся к
kj
1
?? >
бесконечности, для данного ? ? найдем номер l такой, что .
kl
1 ˜
?= ? ??? ( k l ) U ? ( k l ) ( s) I S ? ? ? .
Обозначим Вектор и Из
. ˜
kl
неравенства ? ? > ? следует, что U? ( s) ? U ? ? (s ) . Поэтому из того, что
U ? (k l ) ( s) I S ? ? ? вытекает U ? ? ( s) I S ? ? ? . Получили противоречие.
˜ ˜

Вторая часть утверждения доказана и справедливо утверждение 3.2.2.
Q. E. D.

119
s1 ? s 2 ? R n . s1 ? S ? 1 s 2 ? S? 2
Утверждение Пусть и и
3.2.3.

? 1 ? {c, ..., c} , тогда ?? > 0 и ?? ? ?? : ?t ? ( 0, ? ) s (t ) = s1 (1 ? t ) + s 2t ? S ? ? и
? ? ? {c, ..., c} .
s1 , s 2 ? R n , s1 ? S ? 1 , ? 1 ? {c, ... , c}, s 2 ? S ? 2 .
Доказательство: Пусть

Найдем ? ? ??n и ? > 0 .
C ( ?1 )
s1 ? S ? 1 = {s ? R n : sM ( ? 1 ) = s ? , s A( ? 1 ) = s ?
1 1
, sC ( ? 1 ) ? [0, 1] }.
M ( ?1 ) A( ? 1 )

Компоненты si , i ? C ( ? 1 ) могут располагаться либо строго внутри
отрезка [ 0, 1] , либо на его концах. Введем обозначения: Z ? C ( ?1 ) –
i ? C ( ?1 ) s1 = 0 ;
множество всех АЭ таких, что аналогично
i
O = {i ? C ( ? 1 ) : s1 = 1} и K = {i ? C ( ? 1 ) : s1 ? (0, 1)} .
i i
Множество координат i таких, что si2 лежит левее s1 обозначим
i
через L . Для любого j ? L любая точка отрезка [ s1 , s 2 ] лежит левее
точки s1 по j - координате. Аналогично определим R = {i ? I : s1 < si2 } и
i
E = {i ? I : s1 = si2 } .
i
Пусть i ? I такова, что s1 ? {0, 1} , то есть i ? K U (?C ( ?1 )) , тогда
i
очевидно найдется ? > 0 такое, что ?i ? K U (?C ( ?1 )) U? ( s1 ) I {0, 1} = ? .
i
min(? , 1) ˜
Положим ? = и возьмем ? такой, что при малых t
max si ? si
1 2
i?I
˜
(0, 1), i ? C ( ? ) .
остается внутри То есть
si (t )
˜ ˜
C ( ? ) = ( Z I R) U (O I L) U K U ( Z I E ) U (O I E ) . M ( ? ) = (O I R) U M ( ?1 )
состоит из всех координат i таких, что либо i ? M ( ?1 ) либо si (t ) при
t > 0 уходит вправо от точки 1 и попадает в область si > 1 . Аналогично
˜ ˜
A( ? ) = (Z I L) U A( ?1 ) . Легко показать, что такое задание ?
соответствует некоторому возможному вектору состояний, то есть
˜ ˜ ˜
M ( ? ) U A( ? ) U C ( ? ) = I .




120
Пусть i таково, что s1 = 0 и s1 > si2 , то есть i ? ( Z I L ) , тогда при
i i
t ? (0, 1] , si (t ) < 0 .
любом Аналогично
?t ? (0, 1], ?i ? (O I R) > si (t ) > 1 .
Для всех t ? (0, ? ) верны следующие оценки
min(? , 1)
?i ? A( ?1 ) > si (t ) ? s1 + ? s1 ? si2 ? s1 + ? < 0 ,
i i i
max si ? si
1 2
i?I
?i ? M ( ?1 ) > si (t ) > si ? ? > 0 ,
1

<<

стр. 4
(всего 5)

СОДЕРЖАНИЕ

>>