<<

стр. 3
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ

А

В

С

1

1





2

1





3

= Al + А2





начальных условий не одну ячейку, как раньше, а столько, сколько периодов запаздывания необходимо учесть.
Введение в модель случайных факторов. С помощью Excel легко моделировать поведение моделей, коэффициенты которых являются случайными величинами. Проще всего это сделать, вызвав в меню "Сервис" - пакет "Анализ данных". (Если в меню такой строки нет, пакет следует загрузить, выбрав в меню "Сервис" - Надстройки.) В открывшемся диалоге выберем альтернативу "Генерация случайных чисел". В открывшейся вкладке есть поле "Число переменных". Если нужен только один набор случайных чисел, то зададим в этом поле значение 1.
В поле "Число случайных чисел" введем количество временных интервалов вашей модели, например 20. В поле "Распределение" выберем из предлагаемого списка необходимый тип распределения - равномерное, нормальное, Пуассона и т.д. После этого появится вкладка, которая потребует задать необходимые параметры распределения. Теперь останется только указать границы столбца ячеек, куда будут выведены случайные числа, например $В $1 : $В $20. Получив случайные данные, можно приступать к дальнейшим экспериментам с моделью.
Освоение данного подхода дает в руки социолога эффективный инструмент исследования поведения систем. Парадоксально, но его эффективность увеличивается с ростом сложности системы! Традиционно считалось, что изучение поведения даже простых систем невозможно без овладения весьма сложным математическим аппаратом и приобретения необходимых навыков, что отпугивало гуманитарно ориентированных ученых. Данный подход ломает стену между построением модели и ее изучением. Сказанное, конечно, не означает, что математика совсем не нужна. Она станет необходимой, когда потребуется сделать выводы более убедительными, доказательными, обобщить их на широкий класс однотипных систем.
В последующем изложении иконологическое моделирование, делающее акцент на визуализации решений и экспериментировании с моделью, будет соседствовать с традиционными подхо-
227
дами к исследованию поведения систем. Некоторые математические результаты, полученные при изучении достаточно простых систем, могут оказаться полезными для углубления понимания качественных особенностей поведения более сложных систем, с которыми приходится иметь дело при решении практических проблем.
Предложенная методология может быть использована не только в научных исследованиях, но и в преподавании различных дисциплин на социологических факультетах. Учебное компьютерное моделирование дает возможность существенно углубить понимание таких сложных социальных процессов, как эволюция, кооперация, самоорганизация, конкуренция, обучение, подражание и т.д. Использование визуализации, игровых форм, безусловно, обогатит традиционные формы изложения материала. Отметим, что при данном подходе снимается проблема мотивации студентов - многие модели можно считать просто упражнениями по освоению современных электронных таблиц, а каждый студент становится создателем своего собственного знания.
Применение специализированных пакетов на данном этапе нецелесообразно, так как у пользователя снижается уровень доверия к результатам, получаемым из "черного ящика". К тому же специализированные пакеты не всегда могут обеспечить уровень гибкости, необходимый для исследования "мягких" моделей. Конечно, социолог может нуждаться в наборе дополнительных программных средств для решения конкретных задач, но они должна быть оформлены в виде системы общедоступных программных модулей (СПМ), состоящей из совокупности достаточно простых макросов.
Иконологическое моделирование не предполагает традиционных методов освоения математических знаний. Математические понятия и утверждения используются только как генеративные метафоры, позволяющие по новому увидеть изучаемые явления, сформулировать нетривиальные гипотезы о поведении рассматриваемых процессов.
Предложенный инструментарий должен постепенно стать органической частью социологического знания. Это создаст необходимые условия для синтеза социологии, информатики и математики, выводящего социальные науки на качественно новый уровень.
12.2. Приложения теории разностных уравнений к моделям мобилизации
В теории разностных уравнений предполагается, что переменные исследуемого процесса определены в дискретные моменты J1, t2, ..., tn. Интервал времени At = ti+l - tt, как правило, предполагается постоянным для любого i (i = 1,..., п,...). Целесообразность такого рассмотрения определяется исходными данными о социальном процессе, которые часто измеряются в дискретные моменты времени (официальная статистика, периодические опросы, переписи и т.д.). Интервал времени может равняться пятилетке, году, кварталу, месяцу, неделе и т.д. Если интервал становится бесконечно малым (Д? -> О), то процесс рассматривается как непрерывный и изучается с помощью теории дифференциальных уравнений.
Модель мобилизации. Под термином "политическая" или "социальная мобилизация" понимается вовлечение людей в партию или в число ее сторонников, обращение в какую-либо веру, участие в данном движении (борьба за мир, экология, здоровье и т.д.). Текущий уровень мобилизации тесно связан с прошлым уровнем, а будущая мобилизация зависит от сегодняшних успехов пропагандистской кампании. Используя простейшую динамическую модель, попытаемся отразить логику изменений уровня мобилизации между двумя соседними моментами времени [23].
Обозначим через М{ долю мобилизованного населения в момент t, тогда доля немобилизованного населения равна 1 - M1. Пусть ДМ( обозначает изменение уровня мобилизации за единицу времени (год, месяц и т.д.):
AM, = Mt+1 - M,
За время от t до t + 1 уровень мобилизации может измениться по двум причинам: 1) удалось дополнительно сагитировать часть населения g (1 - M ), где g - коэффициент агитируемости, константа, не зависящая от времени; 2) часть населения, выбывающая из числа членов, участников, сторонников, равна fMt, где / - постоянный коэффициент выбытия (g > О, / > О). Параметры g и / выражают пропорции, в которых соответствующие части населения меняют свое поведения на рассматриваемом отрезке времени.
Тогда уравнение процесса мобилизации можно записать следующим образом:
Mm-Mt-e(l-M,)-/Mt. (12.5)
Уравнение (12.5) может быть преобразовано следующим образом:
M1+1 = g + (l-f-g)Mt, (12-6)
т.е. приведено к виду
М<+Г "о + *, M1, (12'7)
который является стандартной формой линейного разностного уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.
Решением уравнения (12.7) называется такая функция M(t), что последовательность М( удовлетворяет этому уравнению для заданной области значений t.
Уравнение (12.7) является простейшим и легко может быть решено алгебраическими методами. В общем случае решение данного уравнения имеет вид

(12.8)

Таким образом, решение уравнения (12.7) однозначно определяется начальным значением M0.
Равновесие и устойчивость. Одно из присущих человеку качеств - стремление к стабильности - формализуется в теории динамических систем с помощью понятия равновесия.
Равновесие - состояние системы, в котором интересующие исследователя параметры остаются неизменными: M1+1 = M1, причем это не означает, что жизнь в системе вообще замирает. В рамках модели мобилизации предположение о постоянстве M1 не свидетельствует об отсутствия изменений среди сторонников данной партии (часть уезжает, умирает, других партии удается привлечь на свою сторону), но общее соотношение остается примерно постоянным.
Для определения точки равновесия системы M* подставим условие Mt+1 = Mt в уравнение (12.5), в результате чего получим

Следовательно,


Легко показать, что для уравнения (12.7) состояние равновесия вычисляется следующим образом:

Из соотношения (12.8) можно установить, что существуют только варианты поведения решения, изображенные на рис. 12.1 [23]. Вариант I описывает монотонную сходимость к состоянию равновесия (при O1 > 0 и | C11 < I); вариант II - осциллирующую сходимость к состоянию равновесия (при O1 < О и | C1 | < 1); вариант III - монотонную расходимость (при C1 > О и | C11 > 1); вариант IV - осциллирующую расходимость (при C1 < О и | O11 > 1).

Рис. 12.1. Качественное поведение решений уравнения (12.7)
По определению, варианты I и II характеризуют устойчивую систему - все решения сходятся к положению равновесия неза-
висимо от значений M0 и а0, а варианты III и IV - неустойчивую систему.
Оценка параметров динамической модели. Модель мобилизации использовалась для изучения динамики числа голосов, поданных за демократическую партию США в Лэйк Кантри (штат Индиана) в период 1920-1968 гг. [23].
Для оценки численных значений коэффициентов а0, аг моде- " ли применялся метод наименьших квадратов. Разностное урав- I нение (12.7) рассматривалось как линейное регрессионное урав- 1 нение у = т0 + ml х, где у = М(+1 - доля избирателей в Лэйк Кантри, голосующих за кандидатов от демократической партии в год t + 1 = 1924, 1928,..., 1968; х = Mt - доля голосующих за демократов в год t = 1920, 1924,..., 1964.
С помощью метода наименьших квадратов в [23] получены следующие значения коэффициентов: т0 - 0,14; Tn1 = 0,62. По формуле (12.10) вычисляем состояние равновесия:


На рис. 12.2,а изображен график наблюдаемых значений M1, а на рис. 12.2,6 - график решения разностного уравнения (12.7)
при M0 = M1920.

Рис. 12.2. Динамика голосующих за демократов на президентских выборах в Лэйк Кантри (1920-1968)
Сравнение графиков на рис. 12.2, а и б показывает, что разностное уравнение достаточно хорошо описывает качественные характеристики процесса мобилизации. Ясно, что данная модель является чрезвычайно упрощенной, реалистические модели требуют учета большого числа факторов и нелинейных соотношений, однако для понимания поведения систем иногда достаточно изучить простые варианты модели.
12.3. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения содержат не только функции, но и их производные. Запишем разностные уравнения, рассмотренные в предыдущем параграфе, в следующем виде:


Здесь At = 1. Уравнение (12.11) связывает состояние динамической системы в двух точках: t и (t + At). Перейдя в левой части этого уравнения к пределу при At -" О, получим


Уравнение (12.12) является дифференциальным, разрешенным относительно производной.
Будем рассматривать только функции времени M(t), хотя в общем случае это не обязательно. Отметим, что дифференциальное уравнение в отличие от разностного описывает динамику поведения системы в каждой точке t. Уравнение (12Л2) функционально связывает скорости изменения (производные по t) величин, характеризующих поведение системы, с самими величинами M(t).

Не отыскивая решения аналитически, в виде формулы, можно составить представление об общей картине этих решений на основе геометрического смысла уравнения (12.12). Напомним геометрический смысл производной dM/dt. B плоскости (M, t) для кривой M(t) величина dM/dt равна тангенсу угла наклона касательной к кривой. Следовательно, зная зависимость dM/dt от переменных M, t, выраженную уравнением (12.12), можно найти направление касательной к кривой, являющейся графиком решения данного уравнения.
Рис. 12.3. Геометрическая интерпретация решений дифференциального уравнения
Направление касательной можно показать на рисунке, проведя через любую точку (M,t) маленький отрезок прямой под углом ф так, что tgcp = /(M, t) (рис.12.3).
Если увеличить число точек, в которых проведено направление касательной, то, как видно из рисунка, образуется множество кривых, являющихся решением дифференциального уравнения (12.12). Это уравнение имеет бесконечное множество решений, а через каждую точку (M0, tQ) плоскости проходит одно решение. Таким образом, для того чтобы получить конкретное решение уравнения, надо задать начальное условие (M0, t0).
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество. Графики решения дифференциального уравнения называются интегральными линиями этого уравнения. Рассмотрим несколько примеров.
Занимаясь вопросами наукометрии, В.В.Налимов сформулировал две модели развития науки [8]. В простейшей модели предполагается, что скорость роста числа публикаций пропорциональна их достигнутому числу:
dy/dt = ky, (12.13)
где у - число публикаций; k - константа. Решениями уравнения являются функции типа е', т.е. с увеличением времени t число публикаций растет экспоненциально.
Так как при t -" °° функция y(t) = е' принимает бесконечно большие значения, модель (12.13) справедлива только на ограниченном временном интервале. Ясно, что при некотором t - t* механизм роста числа публикаций должен измениться. Для любого научного направления наступает этап насыщения (торможения).
Рассмотрим уравнение
dy/dt=ky(b-y), (12.14)
где k и Ъ - константы. Когда у увеличивается и становится сравнимым по величине с Ь, то (Ь-у) -> О и, следовательно, dy/ dt -" О, т.е. рост у прекращается.
Отметим, что данное логистическое уравнение является нелинейным, так как его правая часть содержит у2.
В приведенных примерах динамическая модель описывается одним дифференциальным уравнением. Значительно более реалистические модели можно получить, рассматривая совокупность уравнений.
Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, содержащих несколько неизвестных функций и
их производные. Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций yt(t) (i=l, ..., п), которые при подстановке в уравнения обращают их в тождества.
В данном учебном пособии рассматриваются системы дифференциальных уравнений, содержащие столько уравнений, сколько в них входит неизвестных функций, при этом все они являются функцией одной независимой переменной t.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида:

Отметим, что в правых частях уравнений переменная t в явном виде не содержится. Такие системы называются автономными динамическими системами второго порядка. Основная геометрическая интерпретация системы (12.15) связана с рассмотрением плоскости (х, у), называемой фазовой плоскостью, и существенно отличается от геометрической интерпретации, описанной выше. Ее можно назвать кинематической, так как в этой интерпретации каждому решению ставится в соответствие движение точки по кривой, а не кривая в пространстве.
Системы типа (12.15) используются для описания эволюционных процессов. Точка фазового пространства определяет состояние системы. Приложенный к этой точке вектор с координатами dx/dt, dy/dt задает скорость изменения состояния. Точка, где этот вектор обращается в нуль, т.е. dx/dt=dy/dt=Q, называется положением равновесия, или особой точкой системы.
Решения системы (12.15) будем изображать параметрическими кривыми на фазовой плоскости (х, у): х = ф(0, У = V(?). Сопоставим геометрическую интерпретацию системы (12.15) в пространстве (x,y,t) с интерпретацией на фазовой плоскости.
1. В каждую траекторию фазовой плоскости проектируется совокупность интегральных кривых в пространстве (х, у, t). Эти кривые получаются друг из друга заменой t на t-C, где С - произвольная константа (рис. 12.4, а).
2. Если точка (а, Ъ) является состоянием равновесия системы (12.15) Р(а, Ь) = О; Q(a, b) = О, то интегральная кривая будет прямой, параллельной оси t. Эта прямая проектируется на плоскость (х, у) в единственную точку (а, Ь).
3. Если система имеет периодическое решение с периодом а, то в пространстве (х, у, t) соответствующая интегральная кривая

Рис. 12.4. Поведение решений в пространстве (х, у, t) и на фазовой плоскости
представляет собой спираль с шагом а. Эта спираль проектируется на фазовую плоскость в замкнутую кривую (рис. 12.4, б).
При проекции спирали на плоскость (х, t) или (у, t) получим синусоидальную кривую, которая показывает изменение переменной x(t) или y(t).
Системы дифференциальных уравнений часто используются для описания работы технических устройств (механических, электрических и т.д.). Так как система дифференциальных уравнений имеет бесконечное множество решений (конкретное решение определяется начальными условиями), то и технические устройства (машины, механизмы) могут иметь бесконечное множество режимов. На практике эти устройства работают во вполне определенных режимах, что может объясняться выбором конкретных начальных условий и тем, что устройство само стабилизует свою работу.
Рассмотрим хрестоматийный пример стенных часов с маятником. Если маятник отклонить от вертикального положения достаточно сильно, то часы будут идти с определенной амплитудой колебаний очень долго. Если маятник отклонить недостаточно сильно, то после небольшого числа колебаний он остановится. Таким образом, у данной динамической системы существуют два стационарных решения: периодическое решение, соответствующее нормальному ходу часов, и состояние равновесия - скорость маятника равна нулю. Всякое другое из бесконечного множества решений быстро приближается к одному из двух стационарных решений, каждое из которых является устойчивым в том смысле, что решение, не слишком сильно откло-
няющееся от стационарного в начальный момент, стремится к стационарному.
В окрестности особых точек фазовые траектории могут быть шести типов, схематично показанных на рис. 12.5 (стрелки на фазовой траектории указывают направление изменения параметра t).
На рис. 12.5 особая точка условно помещена в начало координат. Траектории, которым принадлежит особая точка на рис. 12.5,д, называются сепаратрисами.

Рис. 12.5. Фазовые траектории в окрестности особой точки: а - устойчивый узел; б - неустойчивый узел; в - устойчивый фокус; г - неустойчивый фокус; д - "седло"
Классификация типов поведения фазовых кривых в окрестности особой точки была осуществлена великим французским математиком и философом Анри Пуанкаре (1854-1912), который ввел также понятие предельного цикла, играющее важнейшую роль в различных приложениях теории дифференциальных уравнений.
Предельным циклом дифференциального уравнения называется изолированное периодическое решение этого уравнения (рис. 12.6). Для качественного исследования поведения динамической системы достаточно определить состояния равновесия, наличие предельных циклов, ход сепаратрис. С точки зрения

качественного исследования знание точной формы траекторий не представляет интереса.
Рис. 12.6. Предельный цикл
В настоящее время качественное изучение моделей эволюционных процессов стало доступно широкому кругу пользователей благодаря наличию и стремительному совершенствованию соответствующего программного обеспечения (пакеты прикладных программ DYANA, STELLA, Mathcad, Mathlab, Mathematica и др.). Не составляет труда получить достаточно точное решение дифференциального уравнения с помощью Excel [6].
Вместо решения дифференциального уравнения можно исследовать его аналог - разностное уравнение. Последнее можно считать приближенной моделью дифференциального уравнения. Следует иметь в виду, что решения разностного уравнения часто ведут себя менее гладко, чем решения дифференциального уравнения. В разностной модели учитывается поведение системы только на концах дискретных временных интервалов, тогда как дифференциальное уравнение описывает непрерывное течение процесса при каждом t.
При моделировании социальных процессов считается, что разностные уравнения более точно описывают процессы, связанные с электоральным циклом [23]. Действительно, возвращаясь к модели мобилизации из § 12.2, заметим, что процесс мобилизации можно считать дискретным, так как его действие проявляется в основном в период выборов.
Как будет показано в следующем параграфе, в простых случаях качественный анализ поведения системы может быть проделан без использования ЭВМ.
12.4. Модель гонки вооружений Ричардсона
Рассмотрим следующую ситуацию, в которой могут оказаться две враждующие страны. Первая страна ("желтые") вооружается, опасаясь потенциальной угрозы войны с соседней враждебной страной ("зеленые"). В свою очередь "зеленые", зная о росте затрат на вооружение у "желтых", также увеличивают расходы на вооружение. Предположим, что каждая страна изменяет скорость роста (сокращения) вооружений пропорционально уровню затрат другой. Математически эта ситуация может быть смоделирована
следующим образом. Пусть x(t) - расходы на вооружение "желтых" к моменту t >0, y(t) - то же, но "зеленых". Тогда простейшая модель гонки вооружений может быть сформулирована в виде системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

где а и Ъ - положительные константы. Эти уравнения описывают положительную обратную связь.
Модель (12.16) имеет очевидный недостаток: рост затрат на вооружение ничем не лимитируется. Естественно предположить, что чем больше текущий уровень затрат на оборону, тем меньше скорость его роста (отрицательная обратная связь). Получаем следующую систему уравнений:

где а, Ъ,т,п - положительные константы.
Рассмотрим третий постулат, включенный Л. Ричардсоном в модель: государство наращивает вооружение, руководствуясь своими державными притязаниями и враждебностью к другим государствам, даже если другие страны не угрожают существованию данного государства. Обозначим соответствующие коэффициенты претензии через г и s (г>0 и s>0). Если г<0 и s<0, то их можно назвать коэффициентами доброй воли. Получаем следующую систему уравнений:

Решением системы (12.18) являются функции x(t) и y(t), определяемые для данных начальных условий X0, у0 (начальное состояние гонки вооружений) [13, 24-26].
Элементарный анализ модели. Одним из важнейших свойств, которые "разумно" потребовать от гонки вооружений, является стабильность. Формализуем это требование следующим образом.
Уровень затрат на вооружение должен быть постоянным и не зависеть от времени:
dx/dt=dy/dt = О, (12.19)
т.е. желательно, чтобы система находилась в состоянии равновесия.
Условия равновесия для системы (12.18) записываются в следующем виде:
ау-тх+г = О, (12.20)
bx-ny+s = О. (12.21)
Из (12.20) определим
у = (т/а)* - г/а (12.22)
и рассмотрим геометрическую интерпретацию линейного уравнения (12.22) на фазовой плоскости (х, у) (рис. 12.7).
Для всех точек прямой G имеем dx/dt = О. Можно сказать, что первое уравнение системы (12.18) задает горизонтальную компоненту скорости движения точки в фазовой плоскости, а второе уравнение - вертикальную. Ясно, что если в некоторой точке фазовой плоскости dx/dt > О, то x(t) возрастает и решение системы движется от этой точки вправо, а если dx/dt < О, то влево. Аналогично, если dy/dt > 0 (< O), то точка движется вверх (вниз).
Рис. 12.7. Геометрическая интерпретация уравнения (12.22): а - при г > О; б - при г < О
Из школьного курса алгебры известно, что прямая G делит плоскость (х, у) на две полуплоскости. Для всех точек одной


Рис. 12.8. Точка равновесия в первом квадранте
полуплоскости dx/dt > О, а другой полуплоскости dx/dt < О. То есть первое уравнение системы (12.18) как бы заставляет точки притягиваться по горизонтали к прямой G. Аналогичное утверждение верно для второго уравнения этой системы и прямой Z (вертикальное притяжение) (рис. 12.8). Прямые G и Z делят первый квадрант на четыре области, обозначенные римскими цифрами I, II, III, IV.
Рассмотрим поведение модели Ричардсона при t -" °°. Возможны три случая:
1. Бесконечная гонка вооружений: д: -" °° и у -"°°.
2. Взаимное разоружение: х -"О, у -"О.
3. Равновесие вооружений: х -" х*, у -"у*, где у*, х* > О. Точка равновесия (х*, у*) находится на пересечении прямых G [уравнение (12.2O)] и Z [уравнение (12.21)] (см. рис. 12.8).
Легко показать, что если г > О и s > О, то точка пересечения G и Z лежит в первом (см. рис. 12.8) или третьем (рис. 12.9) квадранте.
Стрелки на рис. 12.8-12.10 показывают горизонтальную и вертикальную составляющие движения точки, находящейся в той или иной области фазовой плоскости. В варианте, показаном на рис. 12.8, из любой начальной точки решение со временем приходит в точку равновесия, достигается "баланс сил", причем независимо от начального уровня вооружений. Из рис. 12.9 видно, что если начальная точка попала в область II, то х -> °° и у -" со.



Рис. 12.9. Точка равновесия в третьем квадранте

Рис. 12.10. Поведение системы при г < О или (и) s < О
Рассмотрим ситуацию, когда по меньшей мере один из коэффициентов г, s < О (рис. 12.10).
Если начальный уровень затрат, т.е. точка (X0, у0), находится в области I, то гонка вооружений будет бесконечной (х -> °°, у -"°°). Если начальная точка находится в области III, то решение системы (12.18) также "уходит" от равновесия (х*, у*), но зато стремится к точке (О, О) (взаимное разоружение).
Таким образом, наличие у одного или обоих государств "доброй воли" (г, s < О) не гарантирует удовлетворительного исхода гонки вооружений. Все зависит от начального состояния системы.
Очевидно, что поведение модели Ричардсона зависит от соотношения коэффициентов а, Ъ, т, п и знаков г, s. Читателю предлагается самостоятельно убедиться, что имеют место четыре возможных случая:
1. Если тп - ab > О, г > О, s > О, то существует точка равновесия.
2. Если тп - аЪ < О, г > О, s > О, то логика модели ведет к неограниченной эскалации гонки вооружений.
3. Если тп - аЪ > О, г < О, s < О, то гарантируется полное взаимное разоружение.
4. Если тп - ab < О, г < О, s < О, то пессимистичность или оптимистичность прогноза существенно зависит от начального состояния.
Для проверки своей достаточно упрощенной модели Ричардсон собрал данные о гонке вооружений перед первой мировой войной (1909-1913 гг.). Изучая противоборство двух блоков (х - Франция и Россия, у - Германия и Австро-Венгрия, расходы Англии, Италии и Турции не учитывались), Ричардсон составил таблицу военных бюджетов для четырех стран (все затраты даны в миллионах фунтов стерлингов) (табл. 12.3).
Таблица 12.3. Расходы на вооружение
Страна

1909

1910

1911

1912

1913

Франция Россия Германия Австро-Венгрия

48,6 66,7 63,1 20,8

50,9 68,5 62,0 23,4

57 70 62 23

,1 ,7 ,0 ,4

63
81 68 25

,2 ,8 ,2 ,5

74,7 92,7 95,4 26,9

Сумма

199,2

204,8

214

,9

238

,7

289,0

Рост

5,6

10,1

23,8

50,3

Среднее за 2 года

202,0

209,8

226,8

263,8

Чтобы сравнить модель с реальными данными, Ричардсон предположил, что а = Ъ и т = п. Тогда уравнения (12.18) можно записать следующим образом:
dx/dt = ау-тх+г,
dy/dt = ax-my+s. Сложив эти два уравнения, получаем
d(x+y)/dt = (а- т)(х+у) + (r+s). Положим х+у - г, а-т = k, r+s = f, тогда
dz/dt = kz+f. (12.23)
Общее решение этого уравнения записывается следующим об
разом:
z(t) - (z0+f/k)e*> - f/k. (12.24)
где z - суммарные затраты на вооружение двух блоков; Z0 - начальное состояние.
Рассмотрим поведение решения (12.24) в зависимости от соотношения коэффициентов. Если а < /п, то k < О, следовательно, первый член правой части соотношения (12.24) стремится к нулю при t -"оо и решение асимптотически стремится к значению (-f/k).

Если а > т, то k > О и z(t) экспоненциально растет. На рис. 12.11 ось абсцисс соответствует суммарному военному бюджету Франции, России, Германии и Австро-Венгрии в годы, предшествующие первой мировой войне (г). Ось ординат соответствует темпам роста расходов на вооружение (Az/A?).
Отмеченные на рис. 12.11 четыре точки соответствуют данным из табл. 12.3. Легко видеть, что все они лежат на одной прямой, что вполне соответствует соотношению (12.23), и, следовательно, модель Ричардсона достаточно достоверно описывает рассматриваемую ситуацию.
Известный американский математик T. Саати считает, что "приведенная выше модель представля- Рис- 12.11. Скорость роста
затрат на вооружение
ется гораздо более убедительной, если вместо вооружений провести на ней изучение проблем угрозы, поскольку люди реагируют на абсолютный уровень враждебности, проявляемый по отношению к ним другими, и испытывают чувство тревоги в степени, пропорциональной уровню враждебности, которую они сами испытывают. Примечательной чертой такой модели является точно выраженная зависимость уровня вооружений одной стороны от уровня вооружений другой. Это позволяет каждой стороне корректировать уровень собственных вооружений по реакции ее потенциальных противников на уровень ее вооружений в прошлом" [13, с. 92].
Политологи установили, что для анализа большинства серьезных международных конфликтов за последние 200 лет можно использовать модель Ричардсона. Оказалось, что из 30 конфликтов, сопровождавшихся гонкой вооружений, 25 закончились войной. При отсутствии гонки вооружений только три из 70 конфликтов привели к войне.
Отметим, что гонка вооружений может закончится вполне мирно в случае экономического краха одной из враждующих сторон. Аналогичные модели применялись для анализа динамики предвыборных расходов и прогнозирования поведения участников аукционов.
12.5. Модели сотрудничества и борьбы за существование
Модели Лотки-Вольтерра. В данном параграфе будут рассмотрены простейшие нелинейные системы дифференциальных уравнений, позволяющие тем не менее создавать достаточно реалистические модели социальных процессов. Но прежде чем перейти к моделированию социальных взаимодействий, рассмотрим так называемые модели Лотки-Вольтерра, активно применяемые биологами для изучения взаимодействия популяций [12].
Проанализируем систему двух дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие двух популяций:
dxl /dt = C1 X1 + al2 X1 X2 + an X12,
dx2/dt = c2x2+ a2l X1X2 + а22 X22, \
где X1 (t) и X2 (t) - численность популяций в момент t. I
Линейные члены C1X1 и C2JC2 в правых частях уравнений COOT- I
ветствуют свободному размножению видов. Если коэффициент I
с > О, то численность соответствующего вида растет (положительная обратная связь), если C1 < О, то численность уменьшается (отрицательная обратная связь).
Члены U11 X12 отражают наличие внутривидовой конкуренции при U11 < О. Если ап > О, то мы имеем дело с сильной положительной обратной связью, отражающей эффект "группирования",- благоприятное влияние на численность популяции процесса образования сообществ.
Наиболее интересны в этой модели произведения факторов Jt1 X2, отражающие процесс взаимодействия двух популяций. Если коэффициенты а_ отрицательны, то виды конкурируют друг с другом. При а^ > О процесс взаимодействия биологи называют симбиозом (в социальной сфере более уместно говорить о сотрудничестве, кооперации). Если а12 > О и а21 < О, то первый вид является хищником, а второй - жертвой (если численность первого вида больше, то это взаимодействие паразита с хозяином).
В литературе рассматривались как более простые системы (часть коэффициентов равна нулю), так и различные обобщения, учитывающие влияние дополнительных факторов. Необходимость обобщений обусловлена таким серьезным недостатком модели Лот-ки-Вольтерра, как неустойчивость решений системы уравнений. Получается, что любое случайное изменение численности одного из видов приводит к изменению траекторий развития, тогда как в природных условиях взаимодействие видов протекает достаточно устойчиво [12].
В моделях Лотки-Вольтерра решения могут носить циклический характер, что соответствует процессам, наблюдаемым в природе. Рассмотрим систему двух видов: волки и зайцы. Рост численности волков ведет к сокращению поголовья зайцев. Вызванный этим дефицит пищи приводит к сокращению численности волков, что в свою очередь способствует развитию популяции зайцев.
Модели взаимодействий в социальной сфере. Г.Р.Иваницкий, анализируя искусствоведческую литературу, считает, что в хаосе различных течений и направлений можно выделить закономерность - пульсирующий характер развития [7]. Так, для творческого процесса характерен этап зарождения нового направления, который может длиться десятки лет. Иваницкий выделяет два фактора, регулирующие длительность этапа зарождения нового направления в науке или искусстве: психологический и социальный. Любой ученый или деятель искусства испытывает воздействие своих коллег. Он либо сопротивляется каким-либо
идеям, либо ощущает сопротивление своим идеям. Возможно пребывание одновременно в двух указанных состояниях.
Творческая среда достаточно консервативна. Консерватизм в данном случае является защитным механизмом, призванным сдерживать необоснованные притязания реформаторов. Сила сопротивления пропорциональна величине притязаний реформатора.
В случае успеха в развитии любого направления наступает стадия экспоненциального роста количества продукции. На этой стадии в данное направление науки или искусства вливается большое число специалистов. По мере насыщения наблюдается уменьшение интереса, замедление роста продуктивности, начинается отток специалистов. Затем какое-либо революционизирующее открытие вновь пробуждает интерес к хорошо забытому направлению, и оно опять начинает развиваться по экспоненте.
Иваницкий считает, что область науки или искусства, состоящая из большого числа различных направлений, также характеризуется пульсирующим характером развития. В простейшем случае уравнения развития науки или искусства имеют следующий вид:
IdN1/Ut = U1N1Nt-U2N1, [dN2/dt = k3N1N2-k^N2,
где N12-число специалистов; dNl /dt, dN2/dt - скорости изменения числа специалистов соответственно в областях 1 и 2; ft.- коэффициенты, зависящие от начальных условий. Первое уравнение системы (12.25) означает, что скорость изменения количества продукции пропорциональна произведению W1 N2 и обратно пропорциональна численности работников в данной области.
Численные эксперименты показали, что кривые, являющиеся решением системы (12.25), циклически колеблются около экспоненциального тренда. Так как поведение решения системы (12.25) соответствует эмпирическим данным, то, как считает Иваницкий, данная модель может претендовать в первом приближении на качественное описание реального творческого процесса.
В данной главе в основном рассматривались примеры динамических моделей социальных процессов на макроуровне, однако в литературе имеется много примеров использования дифференциальных уравнений для моделирования индивидуального поведения и групповой деятельности [4,15]. Язык дифференциальных уравнений позволяет точно сформулировать утверждения,
которые можно описать и на обыденном языке, но в значительно более расплывчатой форме.
Решая дифференциальные уравнения, можно забыть о содержательном смысле переменных и использовать математический аппарат, разрабатываемый в течение нескольких столетий целым рядом выдающихся математиков. Используя их результаты, можно исследовать особенности поведения решений, получить качественные оценки.
Следует отметить, что при интерпретации полученных решений необходимо снова вернуться к языку содержательных понятий для оценки адекватности и осмысленности полученных математических выводов.
12.6. Системная динамика Форрестера
Ориентированная на компьютерное моделирование методология системной динамики (разрабатываемая школой Дж. Форрестера) представляет собой в настоящее время достаточно мощный инструментарий для исследования динамических процессов. Базовым конструктом системной динамики является представление исследуемого процесса в виде диаграммы, состоящей из петель положительной и отрицательной обратной связи, практически совпадающей с рассматриваемыми в § 3.2 когнитивными картами. Можно сказать, что когнитивные карты служат про-томоделями для теории системной динамики, математическим аппаратом которой являются системы дифференциальных уравнений. Для компьютерного моделирования подобных систем разработан специальный язык программирования DYNAMO и целый ряд специализированных пакетов.
Под руководством Форрестера в Массачусетском технологическом институте (Кембридж, США) создана национальная модель, имитирующая развитие американской экономики. На вход модели не подаются экзогенные временные ряды, ее поведение полностью определяется взаимодействием эндогенных факторов. В поведении модели можно наблюдать циклы с периодом 3-7 лет, циклы Кузнеца, волны Кондратьева, но особенно важно то, что удается выявить эффект нелинейного взаимодействия волн различного периода. Так, неожиданный для бизнесменов и правительства резкий спад 1982 г. и последовавшее затем на удивление быстрое восстановление экономики Форрестер объясняет тем, что деловые циклы резко увеличивают свою амплитуду, когда экономика находится в точке максимума волны Кондратьева или в начале стадии спада. В период подъема волны
Кондратьева амплитуда деловых циклов значительно меньше, что подтверждается данными за 1945-1965 гг.
Практика моделирования показывает, что широкое использование нелинейности часто обеспечивает устойчивость модели по отношению к вариациям значений параметров. Форрестер утверждает, что такая ситуация типична для социальных систем. Если реальная система устойчива, то такой же должна быть модель. Аргументом в пользу нечувствительности реальных систем к конкретным значениям параметров, по мнению Форрестера, является сходство экономических проблем, с которыми сталкиваются страны с различными культурными, идеологическими особенностями. Форрестер считает, что в нелинейном мире деятельность ученого, специализирующегося в области социальных наук, должна быть ближе к профессии инженера или медика, а не теоретика-физика или математика.
По-видимому, наиболее известной моделью системной динамики является модель мирового развития (МИР-3), разработанная группой исследователей Массачусетского технологического института под руководством Д.Медоуза [5]. Модель МИР-3 относится к области глобального моделирования, в которой изучаются долгосрочные тенденции развития таких систем, как мир в целом, государство, крупный регион. В глобальных моделях, как правило, рассматривается взаимосвязь экономических, демографических, экологических, социальных и технологических факторов развития.
Группа Медоуза анализировала возможные пути глобального развития с 1900 по 2100 г. Расчеты в рамках данной модели показали неизбежность кризиса, вызванного истощением невозобновляемых ограниченных ресурсов. Кризис ведет к резкому падению промышленного производства, сокращению инвестиций в сельское хозяйство. Развитие кризиса ведет к уменьшению производства продуктов питания и ухудшению медицинского обслуживания, что в конечном итоге вызывает рост смертности и сокращение численности населения планеты. Вычислительные эксперименты, связанные с изменением основных параметров, показали, что качественная картина решений является довольно устойчивой (менялось только время наступления кризиса и удельный вес кризисных факторов - нехватка продуктов питания, загрязнение среды).
Разработчики модели МИР-3 считают, что единственной возможностью избежать катастрофы является стабилизация численности населения и объема промышленного капитала. Кроме того, необходимо снижение начиная с 1975 г. потребления ресурсов на душу населения в 8 раз и сокращение в 4 раза генерации
загрязнения окружающей среды. При выполнении данных рекомендаций система выходит на уровень "глобального равновесия".
Анализируя результаты 35-летнего периода применения методов системной динамики для решения широкого спектра теоретических и прикладных задач, Дж.Форрестер подчеркивает, что успех напрямую зависит от правильного понимания роли моделирования социальных процессов.
Системная динамика является парадигмой, т.е. новым способом изучения социальной реальности. Целью системной динамики является усиление, расширение возможностей когнитивных (ментальных) моделей [19, с. 216]. Обычные интуитивные подходы к решению социальных проблем становятся неприемлемыми в условиях растущей сложности социальных систем и внешней среды. Не справляются со сложностью социального мира и математические подходы. Модели, используемые в системной динамике, являются компьютерными моделями, с помощью которых осуществляется имитация поведения сложных систем. Экспериментирование с моделью позволяет существенно углубить понимание поведения сложных систем и нередко спрогнозировать появление непредвиденных последствий, в том числе катастрофических. Однако реальную пользу моделирование приносит только в тех случаях, когда модель становится средством эффективной, компетентной коммуникации.
Соглашаясь с точкой зрения Форрестера, отметим, что подобное понимание роли моделирования социальных процессов стало возможным только в последние годы, благодаря развитию когнитивного подхода.
Задачи и упражнения
1. Как с помощью Excel построить график функции, заданной формулой?
2. Исследуйте поведение функций из § 5.2, варьируя значения коэффициентов.
3. Сформулируйте модель Ричардсона на языке разностных уравнений. Проанализируйте поведение решений с помощью Excel.
4. Попробуйте учесть в модели Ричардсона эффект запаздывания.
5. Как смоделировать воздействие внешнего случайного фактора на поведение модели Ричардсона?
6. Какие уравнения точнее описывают ход социальных процессов: разностные или дифференциальные?
7. Как вы считаете, рассмотренные в данной главе модели описывают эволюцию социальных систем на макроуровне или на микроуровне?
Литература
1. Арнольд В.И. "Жесткие" и "мягкие" математические модели // Математическое моделирование социальных процессов. M.: МГУ, 1998. С.29-51.
2. Бородкин Л.И. Моделирование взаимодействия в системе "народ- правительство": модификация модели Вайдлиха// Математическое моделирование исторических процессов. M., 1996. С. 122-142.
3. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. M., 1976.
4. Гаврилец Ю.Н., Ефимов В.А. Изменения предпочтений индивидов в социальной среде// Экономика и математические методы. 1997. №2. С. 76-93.
5. Геловани В.А., Пионтковский А.А., Юрченко В.В. О задаче управления в глобальной модели WORLD-3. M., 1975.
6. Долголаптев В.Г. Работа в Excel 7.0 для Windows 95 на примерах. M.: Бином, 1995.
7. Иваницкий Г.Р. На пути второй интеллектуальной революции// Техника кино и телевидения. 1988. № 5. С. 33-39.
8. Налимов В.В., Мульченко З.М. Наукометрия. M., 1969.
9. Паповян С.С. Математические методы в социальной психологии. M.: Наука, 1983.
10. Плотивский Ю.М. Математическое моделирование динамики социальных процессов. M.: МГУ, 1992.
11. Плотинский Ю.М. Иконологическое моделирование - новый инструмент социологов//Социологические исследования. 2000. № 5. С. 116-122.
12. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. M.: МГУ, 1993.
13. Саати Т.Л. Математические модели конфликтных ситуаций. M., 1977.
14. Сергазин Ж.Ф. Введение в социальное моделирование. Л., 1991.
15. Тихомиров Н.П. и др. Моделирование социальных процессов. M., 1993.
16. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений. M., 1998.
17. Тутубалин В.Н. и др. Математическое моделирование в экологии. M., 1999.
18. Форрестер Дж. Мировая динамика M., 1978.
19. Forrester J.W. System Dynamics and the Lessons of 35 years // A Systems - based approach to Policymaking / Ed.by De Green U.B. Boston: Kluwer, 1995. P. 199-239.
20. Forrester J.W. Nonlinearity in high-order models of social systems// Eur. J. of Opnl. Res. 1987. Vol. 30. P. 104-109.
21. Hanneman R.A. Computer-assisted theory building. Modeling dynamic social systems. N. Y.: Sage. 1988.
22. Harvey D.L., Reed M. Social Science as the Study of Complex Systems // Chaos Theory in the Social Sciences / Ed.by L.D.Kiel and E.Elliot Ann Arbor. The Univ. of Michigan Press, 1996. P. 295-323.
23. Huckfeldt R.R., Kohfeld C.W., Likens T.W. Dynamic modeling. An Introduction. Newbery Park: Sage, 1982.
24. Olinick M. An Introduction to mathematical models in social and life scince. N.Y., 1978.
25. Rapoport A. Mathematical models in the social and behavioral science. N.Y.: Wiley, 1983.
26. Richardson L. E. Arms and Insecurity. Pittsburgh: Boxwood, 1960.
27. Weidlich W. Stability and Cyclicity in Social Systems // Behavioral Sci. Vol. 33. 1988. P. 241-256.
Глава 13. Модели хаоса и катастроф 13.1. Математическая модель катастрофы "сборка"
Рассмотрим основные положения теории катастроф на примере катастрофы "сборка", которой соответствует дифференциальное уравнение
dx/dt = -х3 +Ьх+а. (13.1)
При варьировании значений параметров а и & поведение системы (число стационарных точек, их расположение) будет также меняться. Для изучения качественного характера этих изменений рассмотрим потенциальную функцию
F(x,a,b) = х4 /4 - bx2 /2 - ах.
Заметим, что -dF/дх = -х* +bx+a. Ha рис. 13.1 приведены двухмерные графики, характеризующие поведение функции F.

На рис 13.1,а изображена так называемая бифуркационная кривая (4Ь3 - 27а2). Эта кривая разделяет плоскость (а, Ь) на две части. Внутри кривой функция F имеет два минимума (рис. 13.1,6). За пределами этой кривой функция F имеет только один минимум (рис. 13.1,в). Как известно, экстремальные значения функции F можно определить, приравняв нулю первую производную:
х3-Ьх-а = 0. (13.2)

Целесообразно также провести исследование функции г, построив серию графиков при фиксированных значениях у из интервала (-5;5).
Как указывалось в § 12.3, основными характеристиками фазового портрета на плоскости являются положения равновесия и предельные циклы. Сепаратрисы связывают седловые положения равновесия с особыми точками и предельными циклами. Если менять параметры структурно-устойчивой системы, то ее фазовый портрет будет также меняться, но его топологическая структура в определенном диапазоне значений параметра будет оставаться постоянной. При достижении критических значений параметров происходит бифуркация - меняется топологическая структура фазового портрета. Качественное исследование динамической системы, зависящей от параметров, предполагает описание всех возможных в ней бифуркаций и определение множества бифуркационных значений параметров.
Рассмотрим системы, зависящие от одного параметра. Вернемся к рис. 12.5, на котором изображены типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия. В двух случаях положение равновесия является устойчивым: устойчивые фокус и седло, и в трех - неустойчивым: седло и неустойчивые узел и фокус.
Если в процессе изменения системы параметр подходит к бифуркационному значению, то либо два положения равновесия сливаются и "умирают" (система совершает скачок, перескочив на другой режим), либо "рождается" пара положений равновесия. Причем из двух положений равновесия одно устойчиво, а другое неустойчиво.
Ситуация возникновения предельного цикла может быть проиллюстрирована следующей системой уравнений:

\dr/dt = Kr-r3; (135)
[dy/dt = с,
где с - константа, гиф - полярные координаты (х = rcos ср; j/ = rsintp). Если А, < О, то динамическая система (13.5) имеет один устойчивый фокус. Если параметр А. изменяется и становится положительным, то происходит бифуркация Хопфа, фокус теряет устойчивость и в системе возникает устойчивый предельный цикл с радиусом >/Х [1]. Фазовый портрет системы (13.5) в этом случае будет состоять из траекторий, изнутри и снаружи "наматывающихся" на предельный цикл. Это означает,
что независимо от начального состояния система достаточно быстро перейдет в режим периодических колебаний (автоколебательный режим).

Рис. 13.3. Рождение цикла
Рассмотрим бифуркации, связанные с предельными циклами. В этом случае возможны два варианта. При первом варианте из устойчивого фокуса при изменении параметра рождается устойчивый предельный цикл (рис. 13.3). В случае второго варианта при изменении параметра неустойчивый предельный цикл исчезает, и его неустойчивость передается положению равновесия - фокусу (рис. 13.4).

Рис. 13.4. Гибель цикла
В первом варианте после потери устойчивости положения равновесия устанавливается колебательный периодический режим (мягкая потеря устойчивости). Во втором варианте система уходит со стационарного режима скачком (жесткая потеря устойчивости) и переходит на другой режим движения [1].
Множество точек, к которым притягиваются траектории автономных систем, называется аттрактором. Для систем с двумя переменными существует только два типа аттракторов - особая точка и предельный цикл. В первом случае все изучаемые ве-
личины с течением времени выходят на постоянные значения, во втором - на периодический режим.
При количестве переменных в системе N > 3 и наличии в правой части только линейных и квадратичных членов возможно возникновение странных аттракторов.
13.2. Портреты хаоса
Для того чтобы интуитивно понять основные концепции теории хаоса, не обязательно штудировать тома математической литературы. Достаточно провести несколько экспериментов, доступных любому студенту, знакомому с основными возможностями электронных таблиц (см. § 12.1).
Исследуем поведение решений следующего логистического разностного уравнения:

Здесь предполагается, что емкость рынка равна 1, поэтому О < xt< < 1, т.е. xt - это доля рынка, завоеванная новинкой к моменту t; h - параметр управления [7].
Исследуем поведение системы (13.6) с помощью Excel, но несколько модифицируем схему вычислений. Столбец А сформируем так же, как и в § 12.1, параметр А, запишем в ячейку Cl. Сформируем вспомогательный столбец В, равный столбцу А, но со сдвигом на одну ячейку вниз (табл. 13.1).
Таблица 13.1. Фрагмент окна Excel


А

В

С

1

0,85

О

1,8

2

"CS1*A1* (1-Al)

= Al



В данной таблице в ячейку Al введено начальное значение Jc1 = = 0,85, в ячейку Bl записан О, а в ячейке Cl будет храниться значение параметра X. В ячейке А2 записана рекуррентная формула логистического уравнения, а в ячейке В2 указывается, что значение числа следует взять из предыдущей строки столбца А. Выделим ячейки А2 и В2. Затем размножим формулы в этих ячейках вниз до строки 60.
Построим график поведения решения уравнения (13.6) так же, как это делалось в § 12.1. Построим еще один график, отра-
жающий поведение системы в фазовой плоскости (у,х) - в данном случае (xt+l, xt). Для этого выделим 60 строк в столбцах А и В. Вызовем меню "мастер диаграмм". Выберем тип диаграммы (Точечная), и в раскрывшейся галерее выберем вариант диаграммы со значениями, соединенными сглаживающими линиями. Полученный график поместим под ранее построенной диаграммой. Теперь изменения в поведении системы будут видны одновременно в двух вариантах графиков.
Изменим поведение системы (13.6), варьируя значения управляющего параметра в интервале от О до 4. При этом система демонстрирует три различных типа поведения: 1) стремление к состоянию равновесия; 2) периодические колебания; 3) хаос.
При значении А, от О до 3 система стремится к равновесному стабильному положению (пример на рис. 13.5). Посмотрите, как ведут себя графики при А. = 0,5; 1,8; 2,2; 2,6. При А, < 1 наступает положение равновесия: х*= О. При 1< А,< 3 система стремится к стационарному состоянию: х*=1 - (1/А.). Полезно при фиксированном А. поэкспериментировать с разными начальными состояниями (JC1).

Рис. 13.5. Стремление к состоянию равновесия (А. = 2,2)
Периодические колебания охватывают систему при А, > 3. Качественное изменение поведения системы говорит о том, что 1 = 3 является точкой бифуркации - положение равновесия сме-аяется предельным циклом. Зададим А, = 3,2 и увидим, что довольно быстро система переходит к колебаниям с периодом 2 (в столбце А остаются только два чередующихся значения) (пример на рис. 13.6). Постепенно увеличим значение А. = 3,3; 3,4; 3,5. При А, = 3,5 период колебаний равен 4 - произошло удвое-trae периода. При А. = 3,567 появляется цикл с периодом 8. При
дальнейшем росте X появляются циклы с периодом 32, 64, 128, 256 и т.д. [7].
В хаотический режим система попадает при \ E (3,8;...4) (рис. 13.7). Поведение системы становится апериодическим, не видно какой-либо закономерности. Поведение кажется случайным, подверженным непредсказуемым внешним воздействиям. На самом деле это загадочное поведение полностью определено детерминированным законом функционирования системы (13.6). Но прогнозировать поведение системы в состоянии хаоса на длительный период времени невозможно. Хаотическое поведение слишком чувствительно к изменению исходных данных. Изменение X1 на одну миллионную может существенно изменить ход решения.

Рис. 13.6. Колебания с периодом 2 (X = 3,2)

Рис. 13.7. Хаотический режим (X = 3,9)
Качественное изменение режимов функционирования системы удобно наблюдать в фазовой плоскости. В варианте сходимости к
положению равновесия решения стремятся к одной точке. Для колебаний с периодом 2 аттрактором является цикл, состоящий из двух точек. Значительно более запутанная картина возникает в случае хаотического режима. Рассмотрим несколько вариантов графика. Для этого следует отредактировать диаграмму, щелкнув по ней правой кнопкой мыши. Появится контекстное меню, в котором следует выбрать опцию "Тип диаграммы". Появится галерея вариантов графика. Выберем вариант даграммы без маркеров и увидим типичную картинку странного аттрактора (рис. 13.8).

Рис. 13.8. Хаотический режим в фазовой плоскости (X = 3,9)
Теперь уберем лишние линии, выбрав первый вариант графика, и перед нами окажется портрет таинственного странного аттрактора (рис. 13.9). Именно по этому множеству точек хаотично "скачет" исследуемая система. И ее можно понять - в данном случае странный аттрактор имеет вполне притягательную параболическую форму.
Поэкспериментируйте с различными исходными данными и понаблюдайте за эволюцией странного аттрактора. Убедитесь, что в хаосе тоже существует своего рода порядок.
Еще менее устойчивым становится поведение систем при учете эффекта запаздывания. Рассмотрим следующий вариант логистического уравнения:

В этом случае состояние системы в момент t + 1 зависит не только от xt , но и от X1^. Вспоминая, как исследуются такие модели (см. задачу Фибоначчи в § 12.1), составим вычислитель-

ную модель (аналогично предыдущему случаю). Оказывается, система (13.7) имеет положение равновесия только при О < А, < 2. При А. = 2 происходит бифуркация и появляется предельный цикл. При А> 2,27 поведение системы перестает быть стабильным [5,6].
" " "
Что же дает социологу исследование нелинейных моделей социальных систем? Проведение вычислительных экспериментов позволяет определить границы параметров, при которых система устойчиво демонстрирует стабильное поведение. Даже если система оказалась в состоянии хаоса, исследование формы странного аттрактора может дать полезную информацию.
Результаты последних лет позволяют надеяться, что и хаотическими ситуациями можно научиться управлять. Используя чувствительность хаотических режимов, в некоторых случаях удается легко перейти на стабильные траектории развития [7].
Задачи и упражнения
1. Исследуйте поведение системы, описываемой следующим нелинейным разностным уравнением:

В качестве начального значения X1 возьмите все более точные значения л/4. При X1 - 0,7 у системы появится предельный цикл с периодом 2, при Jr1 = 0,78 - цикл с периодом 10 и т.д. Задав X1 = л/4, по-
259
лучим хаотический режим [3]. Учтите, что в Excel число п задается функцией = ПИ ( ), а модуль числа х записывается как ABS(X).
2. Попробуйте варьировать значения параметров модели из задачи 1.
3. Проведите вычислительные эксперименты с разностными аналогами системы Лотки-Вольтерра, варьируя типы взаимодействий.
4. Исследуйте разностное уравнение X1^1 = 3,6 xt - *(2при О < X1 < 3,6. Имеет ли система хаотический режим?
5. Исследуйте разностное уравнение с запаздыванием:

о появлении новых универсальных моделей реальности [1], созданы даже машины клеточных автоматов - приставки к ЭВМ, существенно ускоряющие процесс моделирования [5].
В данной главе читатель познакомится с тем, как строить реалистические модели социальных процессов и, главное, как их можно без особых усилий реализовать с помощью обычных электронных таблиц (в данном случае Excel). После этого процесс исследования модели сводится к изучению последовательности картинок, получаемых нажатием одной кнопки.
Клеточными автоматами принято называть сети из элементов, меняющих свое состояние в дискретные моменты времени [3]. Чаще всего рассматриваются двумерные клеточные автоматы, элементом которых является один квадрат (например, на листе бумаги в клетку). Каждый автомат или клетка может находиться в конечном числе состояний, в простейшем случае в двух - черное или белое, жизнь или смерть, 1 или О. Время в модели задается дискретным множеством тактов (t = 1, 2, 3,...). Система клеточных автоматов, как правило, функционирует в некотором замкнутом пространстве (например, в квадратной решетке 1Ox 10 или 10Ox 100). Состояние автомата в момент t + 1 определяется его состоянием и состоянием его ближайших соседей в предыдущий момент t.
В моделях клеточных автоматов среда обычно предполагается однородной, т.е. правило изменения состояний для всех клеток одинаковы. Если это правило не зависит от случайных факторов, то автомат называется детерминированным, если зависит - то стохастическим.
Рассматриваются также клеточные автоматы с памятью. В этом случае состояние элемента в момент t + 1 зависит от состояния системы в моменты t и t - 1 (таким образом учитывается эффект запаздывания).

Одним из наиболее важных понятий теории клеточных автоматов является понятие окрестности, т.е. множества клеток, которые считаются "соседними" с данной клеткой. На рис. 14.1 при-
261
ведены два наиболее распространенных типа окрестности автомата, расположенного в заштрихованной клетке.
Для того чтобы дальнейшее изложение не показалось читателю чересчур абстрактным, приведем пример моделирования процесса расовой сегрегации [9].
Предположим, что исследуемый регион может быть представлен решеткой 16x13, где каждая клетка соответствует одному дому. Предположим также, что каждый дом может быть занят белой (о) или черной (х) семьей, либо остаться пустым. В данной модели у каждого клеточного автомата есть три возможных состояния, а общее число состояний модели составит примерно 10".

В рассматриваемом примере предполагается, что каждая расовая группа предпочитает иметь определенный процент соседей с тем же цветом кожи. Если это условие не выполняется, то семья перебирается в ближайший дом, где процентный состав соседей является приемлемым. Считается, что разумный выбор можно сделать, если в данном поселении 25-30% домов не заселены. Начальная структура расселения приведена на рис. 14.2. В [9] рассматривались два правила поведения жителей, оценивающих процент приемлемых соседей (использовалась окрестность Мура):
1) не менее половины соседних домов должны быть заселены представителями той же расы;
2) не менее трети соседей принадлежат той же расе.
На рис. 14.3,а приведен результат моделирования при использовании первого правила. Как видно из рисунка, в модели постепенно происходит процесс разделения региона на несколько ра-сово-однородных областей.
Результат моделирования с менее жестким вторым правилом демонстрирует неструктурированный вариант расселения, близкий к начальному состоянию (рис. 14.3,6).
Так что же произошло с исследуемой системой? Руководствуясь только локальными правилами поведения (1), задаваемыми на микроуровне каждой семьи без какого-либо централизованного руководства и сговора, процесс переселения стихийно само-

организовался, и в результате спонтанно родилась достаточно четкая структура расселения (см. рис. 14.3, а).
Приведенный чрезвычайно упрощенный пример показывает, что клеточное моделирование дает в руки исследователя мощный инструмент для изучения процессов социальной самоорганизации. Анализ поведения клеточных автоматов показал, что их эволюция во многом аналогична динамике сложных нелинейных систем, рассмотренных в гл. 12 и 13. Выделяют четыре основных класса автоматов [3]:
1. Независимо от начального состояния за конечное число шагов происходит переход к однородному состоянию - все автоматы оказываются в состоянии покоя.
2. В процессе эволюции автомат приходит к локализованным стационарным или периодическим решениям.
3. Картины активности системы автоматов являются апериодическими - никогда не повторяются. Можно сказать, что автоматы демонстрируют хаотическое поведение.
4. Динамика автоматов существенно зависит от начального состояния. Подбирая различные начальные состояния, можно получать самые разнообразные конфигурации и типы поведения.
Примером автомата четвертого типа является игра "Жизнь", изобретенная математиком из Кембриджского университета Дж. Конвеем. Название связано с тем, что возникающие в процессе игры ситуации аналогичны реальным процессам зарождения, развития и гибели колоний живых организмов. Основная идея игры заключается в том, чтобы, начав с произвольно заданного исходного положения, проследить за эволюцией исходной позиции под действием "генетических законов" Конвея, которые управляют рождением, гибелью и выживанием "организмов".
263
Игра проводится на бесконечной плоской решетке квадратных клеток и состоит из шагов, соответствующих дискретному времени (t = 1, 2, ... ). Один ход в игре - это переход из состояния t в состояние t +1. Каждая клетка может быть "живой" или "мертвой". Изменение состояния клетки в момент t+l однозначно определяется состоянием ее соседей в предыдущий момент t. У каждой клетки восемь соседей, из которых четыре имеют с ней общие ребра, а четыре общие вершины.
Назовем "потенциалом" клетки - число живых соседей, используя определение окрестности по Муру. Тогда генетические законы Конвея, определяющие поведение каждой клетки, сводятся к следующим правилам:
• если потенциал равен 2, то состояние клетки не меняется;
• если потенциал равен 3, то клетка в следующий период будет живой независимо от текущего состояния;
• при остальных значениях потенциала (О, 1, 4, 5, 6, 7) клетка в следующий период будет мертва.
Таким образом, если у клетки более трех живых соседей, то она погибает от перенаселенности. Клетка погибает от одиночества, если жива только одна соседняя клетка или все соседние клетки мертвы. Выживает и переходит в следующее поколение клетка, имеющая двух или трех живых соседей.
Имея под рукой лист бумаги в клетку, читатель может убе-диться, что любая начальная популяция претерпевает необычные и неожиданные изменения. Некоторые первоначальные колонии организмов постепенно вымирают, однако большинство исходных конфигураций либо переходит в стационарные структуры, не зависящие от времени, либо наступает колебательный режим.
Читатель может также легко убедиться, что конфигурации, изображенные на рис. 14.4, а, погибают на втором ходу, тогда как три конфигурации на рис. 14.4, б являются стационарными (эти конфигурации имеют названия: левая -"блок", центральная -"бадья", правая -"змея").
На рис. 14.4, в изображена эволюция конфигурации, называемой "мигалкой" или "семафором"; ее цикл равен 2. Еще два примера циклических конфигураций с периодом 2 приведены на рис. 14.4, г. Больший период (соответственно 4 и 5) имеют конфигурации, изображенные на рис. 14.4, д и е. Построены конфигурации, имеющие значительно больший период колебаний.
После первых публикаций в популярных изданиях M. Гарднера, посвященных игре "Жизнь", произошел взрыв энтузиазма среди пользователей ЭВМ. Затраты машинного времени на исследова-
264

ние различных вариантов игры составили миллионы долларов. Были выявлены многочисленные замечательные конфигурации, одна из которых, называемая "планер" (глайдер), приведена на рис. 14.4, ж. Через каждые четыре шага планер повторяет себя, смещаясь на одну клетку вниз и вправо, т.е. движется по диагонали. Найдены конфигурации, которые могут двигаться по прямой. В 1970 г. обнаружена конфигурация "катапульта", которая через каждые 30 шагов повторяет себя и "выстреливает" планер.
В процессе исследований выяснилось, что с помощью игры "Жизнь" можно не только изучать процессы эволюции, но и моделировать основные компоненты современных ЭВМ, исследовать прообразы параллельно работающих ЭВМ, решать задачи распознавания образов.
Данная ветвь синергетики относится к теории коллективного поведения автоматов [3], но все-таки наибольший интерес исследователей привлекают проблемы самоорганизации в биологических системах, формализованных на языке динамических систем.
Игра "Жизнь" была популярна в 70-80-е годы, а в 90-е годы появилось новое популярное развлечение - игра "Ант" (термит), изобретенная американским математиком К.Лангтоном [6]. Клеточный автомат в этой игре может иметь два состояния - чер-
265
ное и белое. Игра происходит на поле из квадратных клеток, которые в начальном состоянии все имеют белый цвет.
Ант стартует с центральной клетки в некотором выбранном направлении, например на Восток, переходит на соседний квадрат и смотрит: если этот квадрат черный, то Ант красит его в белый цвет, а сам поворачивает налево на 90°. Если квадрат окажется белым, то Ант делает его черным и поворачивает направо на 90° и т.д.
Оказывается этот примитивный автомат демонстрирует очень сложное поведение. Пройдя приблизительно 500 шагов, он возвращается в центральную клетку, оставляя после себя ряд симметричных орнаментов. Но после примерно 10 000 шагов картина становится весьма хаотичной. Ант неожиданно начинает строить магистраль - повторяя цикл из 104 шагов, он формирует диагональ, идущую на юго-запад. Интересно, что поведение автомата остается таким же, если в начальном положении имеется много черных квадратов.
14.2. Реализация моделей клеточных автоматов на ЭВМ
Чтобы убедить читателя в том, что, используя возможности электронных таблиц Excel, любой начинающий пользователь может заниматься клеточным моделированием, рассмотрим одну из реализаций игры "Жизнь".
Клетки в исходной таблице Excel слишком велики для нашей задачи. Поэтому придадим им вид небольших квадратов. В качестве примера возьмем игровое поле 5x5, хотя увеличение размера в несколько раз не требует никаких усилий. Отведем для игры клетки В2 : F6.
Если клетка жива, то в ячейку запишем 1, если мертва, то О. Зададим произвольное начальное состояние. Далее нам понадобятся две вспомогательные таблицы. В ячейках Н2 : L6 будет храниться "потенциал" клеток. Для вычисления потенциала клетки В2 введем в ячейку Н2 следующую формулу:
= СУММ(А1 : СЗ) - В2 (14.1)
В данном случае подсчитывается число живых клеток в окрестности клетки В2 (окрестность по Муру). Закончив ввод этой формулы нажатием клавиши Enter, установим курсор на правый нижний угол клетки Н2 и размножим формулу (14.1) сначала до ячейки L2, а затем вниз, заполнив всю таблицу Н2 : L6. (Обратите внима-
266
ние на то, как следует учитывать состояние клеток, граничных с таблицей В2 : F6. В данном случае они остаются пустыми, но возможны и более сложные формы задания граничных условий.)
Сложнее всего задать правило поведения клеточного автомата. Запишем в ячейку BlO правило поведения автомата В2, используя логические функции:
= ЕСЛИ (ИЛИ (Н2 >3; Н2 <2); О; ЕСЛИ (Н2 = 3; 1;
ЕСЛИ(Н2 = 2;В2;-1))) (14.2)
Первое ЕСЛИ в (14.2) означает, что клетка будет мертва при потенциале Н2 = О, 1, 4, 5, 6, 7; второе ЕСЛИ - что при потенциале 3 клетка будет живой, третье ЕСЛИ - что при потенциале 2 состояние автомата в клетке В2 не меняется. Наконец, выражение (-1) означает, что при невыполнении всех предыдущих условий в ячейку BlO будет записано значение (-1). (Заметим, что в данном случае этот вариант невозможен.)
Запись логической функции требует аккуратности. Однако следует учесть, что для освоения Excel необходимо умение работать с логическими функциями.
Функция (14.2) записывается только в одну ячейку BlO, далее она размножается вправо до ячейки FlO, а затем вниз, заполняя всю таблицу B10:F14. Таким образом, если в таблице B2:F6 мы имеем состояние системы в момент t, то в таблице B10:F14 вычисляется состояние системы в следующий момент t + 1. Теперь необходимо скопировать таблицу B10:F14 в таблицу B2:F6. Делается это следующим образом.
Шаг 1. Выделяем таблицу BlO: F14.
Шаг 2. В меню "Правка" выбираем команду "Копировать".
Шаг 3. Устанавливаем курсор в ячейку В2.
Шаг 4. В меню "Правка" выбираем команду "Специальная вставка". В раскрывшейся дополнительной вкладке следует из первого столбца "Вставить" выбрать строку "Значения" и нажать кнопку OK. В итоге в таблице B2:F6 появится картинка нового состояния системы.
Процедуру копирования можно существенно ускорить, если подготовить соответствующий макрос. Делается это очень просто. В Excel 2000 в меню "Сервис" выбираем "Макрос", а затем команду "Начать запись". В раскрывшейся вкладке можно дать имя макросу либо оставить предлагаемый вариант "Макрос 1". Назначаем макросу клавишу быстрого вызова, например Ctrl + е. Нажимаем OK. Появится таблица Excel, и на экране возникнет
267
кнопка "Остановить макрос". Выполним указанные выше операции (шаги 1-4) и нажмем кнопку "Остановить". Запись макроса будет закончена.
Теперь переход к следующему временному такту будет происходить после каждого нажатия комбинации клавиш Ctrl + ей можно спокойно наблюдать за эволюцией системы.
Столь подробное описание процесса построения модели дано лишь с той целью, чтобы читатель немного освоил электронные таблицы и понял, насколько легко могут быть построены значительно более сложные и реалистичные модели.
Ясно, что легко усложнить формулу расчета потенциала, изменить окрестность, ввести в расчет случайные факторы. Учет географических особенностей региона может заставить вас отказаться от простой квадратной решетки. В ней могут появиться дырки, а граница вполне может быть извилистой. Совершенно необязательна унификация правил поведения автоматов. Например, вы можете для центральных клеток задать одни правила, а для периферийных - другие.
14.3. Приложения клеточных моделей
Модель электорального процесса. В цикле работ Т.Брауна рассматривается ряд контекстуальных моделей электорального процесса. Он считает, что избирательные предпочтения индивида определяются установками его ближайшего окружения [8]. В одной из моделей предполагается, что индивид принимает решение голосовать в момент t + 1 за республиканцев или демократов в соответствии с правилом простого большинства. Учитываются взгляды индивида и четырех его ближайших соседей в момент t (окрестность фон Неймана). Если из пяти человек трое или больше поддерживают демократов, то индивид также голосует за демократов. Если большинство составляют республиканцы, то индивид и в этом случае разделяет точку зрения большинства.
В данном случае клеточный автомат имеет два состояния: 1 - голосование за республиканцев; О - голосование за демократов. Нетрудно заметить, что указанная модель может быть реализована на ЭВМ даже проще, чем рассмотренная выше игра "Жизнь".
Браун и его коллеги проводили вычислительные эксперименты на решетке 128 х 128, при этом начальное распределение задавалось случайным образом. Модель исследовалась на большом временном горизонте - до 20 000 тактов. Оказалось, что партийная
268
борьба приводит к очень сложным конфигурациям, существенно зависящим от исходного распределения. По мнению Брауна, данная модель относится к четвертому классу клеточных автоматов, так же как и игра "Жизнь". Однако детального исследования модели пока не проводилось и нахождение замечательных конфигураций в политической "Жизни", таких как "блок", "змея", "катапульта", еще впереди.
Рассмотрим обобщение модели Т.Брауна на случай, когда учитываются взгляды индивида и восьми его ближайших соседей (окрестность Мура). Если из девяти человек пятеро или больше поддерживают демократов, то индивид также голосует за демократов. Если большинство составляют республиканцы, то индивид и в этом случае разделяет точку зрения большинства.
Покажем, что данная модель может быть реализована на ЭВМ с помощью электронных таблиц даже проще, чем игра "Жизнь". Придадим клеткам исходной таблицы Excel вид небольших квадратов (с помощью форматирования). Отведем для модели поле 10 х 10 (клетки В2: К11) и зададим в нем начальное состояние.
Перейдем на лист 2 и введем в ячейку В2 формулу:
=ЕСЛИ (СУММ (Лист 1!А1 :СЗ) > 4; 1; 0)
Данная логическая функция вычисляет "потенциал" ячейки В2 - в нашем случае число сторонников республиканцев. Если это число больше 4, то ячейке В2 присваивается 1 (автомат голосует за республиканцев), в противном случае присваивается 0 (голосование за демократов).
Размножим эту формулу на все ячейки В2:К11. Получим новое состояние системы, скопируем его и вставим с помощью команды "Специальная вставка" только "значения" в те же ячейки на листе 1. Запишем процедуру копирования в виде макроса. (Первым шагом при записи макроса должен быть переход с листа 1 на лист 2.) Назначим макросу клавиши быстрого вызова, например Ctrl+e. Теперь переход к следующему временному такту будет происходить после каждого нажатия этой комбинации клавиш [4].
Отметим, что для длительного прогона модели не требуется много раз нажимать кнопки. Достаточно одного нажатия. В Excel 2000 для выхода в режим редактирования макроса следует в меню "Сервис" выбрать команду "Макрос", затем "Макросы..." и "Изменить". На экране вы увидите подпрограмму. Интересно, что вы составили эту программу сами. Точнее, это сделал автоматически Excel, пока вы формировали макрос. Вставим в этот макрос цикл следующим образом. После пер-
269
вой строки (Sub Макрос) вставьте строку For i = 1 То 100, а перед последней строкой (End Sub) вставьте строку Next i. Теперь одно нажатие клавиш Ctrl + е заставит модель проделать 100 шагов.
Изложенный подход основан на методологии иконологичес-кого моделирования (см. § 12.1). Отметим, что в данном случае возможности моделирования существенно расширяются за счет использования макросов. Умение слегка скорректировать текст макроса, вставляя операторы цикла и условного перехода, дает возможность пользователю самостоятельно строить сложные компьютерные модели, не прибегая к помощи программистов.
Модели диффузии инноваций. Индийские ученые предложили следующую модель клеточных автоматов [7]. Каждый индивид соответствует одной клетке, которая может находиться в двух состояниях: 1 - новинка принята; О - новинка пока еще не принята. Предполагается, что автомат, приняв новинку один раз, остается ей верен до конца.
Автомат принимает решение о принятии новинки, ориентируясь на мнение ближайших соседей (используется окрестность Мура). Пусть в окрестности данной клетки имеется т сторонников новинки. Генерируется случайное число р - вероятность принятия новинки. Если рт > г, где г - фиксированное пороговое значение, то автомат принимает нововведение, в противном случае новинка пока отвергается.
Авторы модели полагают, что вероятность принятия новинки со временем должна уменьшаться, так как степень новизны постепенно снижается.
Моделирование проводилось на решетке 10Ox 100. Эволюция системы рассматривалась на временном горизонте в 100 тактов, если вероятность принятия новинки р = 0,1, и 130 тактов при р = 0,05. Для каждого случая осуществлялось 50 прогонов модели. Проводилось также исследование влияния на поведение модели начального распределения сторонников новшества.
Для каждого временного такта t подсчитывалось число автоматов, принявших инновацию (п(). Приводимые авторами графики функции п( показывают хорошую степень совпадения с моделью Фишера - Прея (см. § 9.2).
По мнению индийских ученых, клеточное моделирование позволяет строить значительно более реалистические модели рынка, чем традиционные подходы к исследованию диффузии инноваций. Главное достоинство этого подхода заключается в возможности эмпирической оценки фактора р - вероятности
270
принятия новинки. Для этого можно использовать данные социологических опросов и материалы фокус-групп. Другое преимущество предлагаемого подхода заключается в возможности получения оценок необходимого числа сторонников и их пространственного распределения в начальный момент кампании.
" • "
Исследования последних лет показывают, что многие физические и информационные процессы прекрасно описываются кле-точно-автоматными моделями. Оказалось, что если к клетке приделать часы, то можно получить новые многообещающие формы представления процессов, протекающих в живой и неживой природе [1]. Очевидно, что, снабдив клетку даже примитивным искусственным интеллектом, можно исследовать более глубокие слои социальной реальности. Весьма перспективным направлением исследований является клеточное моделирование процессов кооперации и конкуренции с использованием для принятия решений моделей теории игр.
Читателю может показаться, что в данной главе рассматриваются разрозненные, ничем не связанные модели из различных областей науки, практики и сферы развлечений. Однако более внимательное отношение к рассматриваемым процессам показывает, что они все тесно взаимосвязаны. Игра становится Жизнью, Жизнь уже стала Маркетингом, Маркетинг становится Искусством (может быть единственным). И все эти процессы можно и нужно моделировать.
Задачи и упражнения
1. Рассмотрите различные определения понятия "окрестность клетки". Какие еще модификации "окрестности" целесообразно исследовать?
2. Позволяет ли клеточное моделирование исследовать географические особенности региона?
3. Можно ли применить клеточное моделирование для анализа коммуникативных процессов?
4. Реализуйте на ЭВМ модель электорального поведения Брауна. Используйте в своей модели различные виды окрестностей. Как это повлияет на поведение модели?
5. Бесконечно расширяет возможности клеточного моделирования использование цвета. Дж.Касти полагает, что с помощью клеточных автоматов можно анализировать творчество художников. В работе [9] он рассматривает картину известного голландского абстракциониста Пита Мондриана "Шахматная доска. Яркие цвета". Картина представляет
271
собой, по мнению Касти, прямоугольную решетку из 256 клеток, раскрашенных в восемь цветов. Касти формулирует следующие задачи:
а) можно ли построить клеточный автомат, который бы из любой начальной конфигурации строил картину Мондриана?
б) можно ли построить "фильтр", позволяющий различать индивидуальные стили художников?
6. Для освоения нюансов маркетинга целесообразно поиграть в следующую игру. Сконструируйте клеточную модель конкуренции на рынке двух (или более) новых продуктов. Каждому продукту должна соответствовать своя цифра (лучше свой цвет). Начиная со случайной исходной позиции два игрока наблюдают за процессами диффузии. Каждый пятый такт игроки могут вмешиваться в естественный ход процесса, добавляя по одному стороннику новинок.
Выработайте оптимальную маркетинговую стратегию.
Литература
1. Веркович С.Я. Клеточные автоматы как модель реальности. M.: МГУ, 1993.
2. Варшавский В.И., Поспелов Д.А. Оркестр играет без дирижера. M.: Наука, 1984.
3. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. M.: Наука, 1990.
4. Плотинский Ю.М. Иконологическое моделирование - новый инструмент социологов//Социологические исследования. 2000. M 5. С. 116-122.
5. Тоффоли Т., Марголус H. Машины клеточных автоматов. M.: Мир, 1991.
6. Artificial Life / C.Langton et al. (eds.) N.Y.: Addison-Wesley, 1992.
7. Bhargava et al. A Stochastic Cellular Automata. Model of Innovation Diffusion //Technological Forecasting and Social Change. 1993. Vol. 44. № 1. P. 87-97.
8. Brown T.A. Nonlinear Politics // Chaos Theory in the Social Sciences / Eds. L.D.Kiel, E.Elliot. Ann Arbor.: The Univ. Of Michigan Press. 1996. P. 119-137.
9. Casti J.L. Searching for Certainty. N.Y.: W.Morrow, 1990.
Глава 15. Модели принятия решений 15.1. Теоретико-игровые модели конфликтных ситуаций
Центральной проблемой когнитологии - выбором индивидом наиболее эффективных, оптимальных альтернатив занимается теория принятия решений, которая первоначально считалась ветвью исследования операций, а сейчас рассматривается как область системного анализа. Наиболее продвинутой частью теории являются задачи с единственным критерием эффективности. Значительно сложнее обстоит дело, если в задаче имеется несколько критериев эффективности. Но наиболее сложные проблемы возникают в том случае, если в принятии решений участвуют несколько сторон, каждая из которых имеет собственные критерии выбора предпочтительных решений, причем эти критерии могут полностью или частично противоречить друг другу. Именно такие модели конфликта критериев рассматривает теория игр.
По числу приложений в социальных науках явно лидирует модель, называемая по традиции "Дилемма заключенного". Рассматривается проблемная ситуация, в которую вовлечены только два участника - А и В (два индивида, индивид и система или две социальные системы). Игра состоит в том, что каждый участник выбирает одну из двух альтернатив:
С - сотрудничество, кооперация, солидарность, учет общих интересов, разрешение конфликта, альтруистическое поведение;
D - отказ от сотрудничества, усиление конфронтации, обман, нарушение принятых норм, правил, обязательств, эгоистическое поведение.
Результаты игры определяются с помощью следующей таблицы выигрышей (платежной матрицы).
В данном примере, если оба игрока выберут стратегию кооперации С, то получаемый каждым выигрыш задается в клетке 1. В клетках содержатся по два числа. Первое число - это выигрыш первого игрока (А), второе число - выигрыш второго игрока (В). Проигрыш игрока задается отрицательным числом.

В зависимости от соотношения чисел в таблице выигрышей каждый игрок пытается определить наиболее рациональную линию поведения. В рассматриваемом примере оба игрока знают, что выбор стратегии кооперации С дает любому из них три единицы выигрыша, допустим 3 руб. Если оба откажутся от кооперации С, обманут (альтернатива D), то получат только по 1 руб. В клетке 2 содержится исход игры в случае, когда игрок А выбирает сотрудничество, а игрок В - обман. Тогда игрок А не получает ничего, а игрок В выигрывает 5 руб. В клетке 3 описан противоположный исход. Если игрок А решается на обман, а игрок В выбирает сотрудничество, то выигрыш первого составляет 5 руб., а второй не получает ничего.
В теории игр для данных исходов приняты стандартные обозначения R, T, S, P, где R - награда за взаимное сотрудничество, T - цена "предательства", S - плата неудачнику, a P - наказание за обоюдный обман. В нашем примере и = 3, T = 5, S = O, P=I.
С точки зрения коллективных интересов лучшим является вариант взаимного сотрудничества (С,С), который приносит в сумме 6 руб., что значительно лучше, чем вариант взаимного обмана (D,D), позволяющий получить в сумме только 2 руб. Однако попытка взглянуть на ситуацию с точки зрения индивидуальной рациональности приводит к другому результату. Игрок А, просчитывая ситуацию в уме, видит, что выбор альтернативы С в худшем случае дает только ноль, если В обманет его ожидания и выберет альтернативу D. Предполагая, что игрок В выбирает альтернативы с равной вероятностью 0,5, игрок А может получить в среднем 1,5 руб. Продолжая рассуждение, игрок А оценивает последствия выбора им альтернативы D. С одной стороны, имеется соблазн поживиться за счет партнера и получить максимальный выигрыш - 5 руб. С другой стороны, в худшем случае игрок А получает 1 руб., в среднем же 3 руб., т.е. по обоим показателям альтернатива D выглядит предпочтительнее, чем С. Со своей стороны, игрок В рассуждает аналогичным образом, что в результате приводит к выбору неэффективного с коллективной точки зрения решения (D, D).
Таким образом, в голове индивида А формируются как бы две когнитивные модели ситуации - одна модель отражает его собственные интересы, другая - коллективные, т.е. интересы системы в целом*. Конфликт между моделями создает когнитивный диссонанс [8], разрешение которого в данном случае за-
* Для принятия решений индивид также строит различные модели поведения партнера.
274
висит только от соотношения параметров R, T, P, S. Стратегическая структура игры "Дилемма заключенного" сохраняется при условии, что T > R > P > S.
Среди приложений теории игр важное место занимает модель "Петухи" (Chicken game). Ee стратегическая структура определяется соотношением T > R > S > P. Своим названием игра обязана забавам лихачей-водителей. Два водителя мчатся навстречу друг другу. Проигравшим считается тот, кто первым струсит и свернет в сторону.
С помощью этой модели политологи исследуют развитие Карибского кризиса 1962 г., вызванного размещением советских ракет на Кубе. Предположим, что каждая из сторон (СССР и США) имеет только две альтернативы действий, а таблица выигрышей выглядит следующим образом:

После размещения на Кубе советских ракет и введения США морской блокады у сторон есть две основные альтернативы - переговоры и поиск взаимоприемлемых компромиссов (вариант Y1) либо твердое отстаивание своих позиций с неизбежной эскалацией конфликта (вариант S1). Если США выберут альтернативу S1 (в данном случае планировалась бомбардировка ракетных площадок на Кубе), то в случае ухода СССР побеждает США - вариант (S1; Y2). Если же СССР продолжает следовать твердой линии, то неизбежен вариант (S1JS2), т.е. в данном случае - ядерная война, в которой обе стороны теряют не только лицо, но и все остальное. При принятия США мягкой, компромиссной стратегии Y1 и твердого отстаивания СССР своей позиции имеет место вариант (Y1; S2) - побеждает СССР.
Попробуйте самостоятельно проанализировать наиболее разумные стратегии поведения сторон в этой ситуации. Следует заметить, что в таких играх нередко побеждают игроки, имеющие репутацию не рациональных, а бесшабашных, готовых на любой риск головорезов.
Важные черты переговорного процесса моделирует игра "Семейный спор" [4]. Предположим, что муж с женой выбирают, как провести воскресный вечер - пойти на футбол или в театр. Муж предпочитает футбол, а жена театр, но проведение вечера врозь
275
не нравится обоим. Таблица выигрышей в таком случае может выглядеть следующим образом:

Из таблицы видно, что варианты раздельного отдыха следует отбросить. Но совместные походы на футбол или в театр приносят одинаковую коллективную полезность. Какой же вариант следует предпочесть? Лучше всего пойти куда-нибудь вместе, чтобы был доволен один, а в следующий раз удовлетворить желание другого члена семьи.
Таким образом, выход из этой конфликтной ситуации легко найти, если перейти от статического рассмотрения проблемы к динамике. Попробуем применить этот прием к анализу "Дилеммы заключенного".
15.2. Модель эволюции кооперации
Рассмотрим модель "Дилеммы заключенного" в динамике, предполагая, что социальное взаимодействие носит не разовый характер, а может неоднократно повторяться в будущем. В так называемой итеративной дилемме заключенного предполагается, что стороны, принимая решения, учитывают опыт прошлых взаимодействий и прогнозируют возможное поведение партнеров в будущем. При этом таблица выигрышей остается неизменной.

Исследованию этой модели посвящена книга P. Аксельрода "Эволюция кооперации" [5], центральной проблемой которой является выявление и анализ механизмов, формирующих кооперативное поведение среди эгоистических индивидов без какого-либо принуждения или указаний свыше. Ясно, что кооперативные механизмы возникают только при определенных условиях. При-
276
мерами являются взаимодействие государств на международной арене, компромиссы, достигаемые сторонниками противоборствующих партий в парламенте, соблюдение неписаных правил поведения в бизнесе и т.д.
Анализ дилеммы заключенного, проведенный в § 15.1, показал, что следование принципам индивидуальной рациональности заставляет "разумных" игроков отказываться от кооперации, выбирая вариант (D; D). Что же меняется, если с данным партнером социальные взаимодействия могут повторяться? Допустим, стороны знают, что игра повторится ровно десять раз. Казалось бы, целесообразно перейти к взаимному сотрудничеству (вариант С; С), приносящему существенно больший выигрыш. Однако игрок А считает иначе. Он думает, что партнер В будет все время выбирать кооперацию и решает попытаться выиграть, обманывая в последней, десятой игре. Также рассуждает игрок В. Понимая, что оба в последней игре выберут альтернативу D, игроки, обдумывая свою стратегию в девятой игре, приходят к тому же выводу и т.д. Таким образом, рациональной вновь оказывается стратегия D - отказ от сотрудничества. Каждому из игроков эта стратегия принесет по 10 руб., тогда как сотрудничество дало бы каждому по 30 руб. Противоречие между индивидуальной и коллективной рациональностью сохранилось.
Ситуация коренным образом меняется, если игроки не знают, когда закончится игра. Какой же стратегии целесообразно придерживаться в данном случае?
Дать теоретически обоснованный ответ на этот вопрос довольно трудно, и Аксельрод предложил своим коллегам выявить лучшую стратегию в честном спортивном соревновании. Ведущие специалисты, занимающиеся этой проблематикой,- психологи, экономисты, математики, социологи - прислали AK-сельроду свои варианты стратегии данной игры, реализованные в виде компьютерных программ. В турнире участвовали 63 программы. Каждая пара программ проводила друг с другом серии по 200 игр. Точное число игр авторам программ не сообщалось. Присланные программы содержали как простые стратегии, так и весьма изощренные, использующие методы прогнозирования и искусственного интеллекта. Победителем объявлялась программа, набравшая в турнире больше всего очков. Удивительно, что чемпионом оказалась самая короткая программа, присланная А. Рапопортом, реализующая самую простую стратегию "Зуб за зуб" (TIT FOR TAT, сокращенно TFT).
277
Стратегия TFT на первом ходу выбирает кооперацию, а затем просто повторяет ходы партнера. Если он в предыдущей игре выбрал обман (D), то TFT также выбирает обман. Если партнер в предыдущей игре предпочел кооперацию (С), то TFT также считает необходимым его поддержать.
Стратегия "Зуб за зуб" была хорошо известна еще в древние времена. Ей соответствует "золотое правило" Конфуция и нравственные императивы многих религий. Исследования показывают, что в эволюционном плане именно такая стратегия оказывается наиболее эффективной, постепенно обучая социум механизмам кооперации*.
Отметим, что эволюционно эффективная стратегия не обязательно побеждает в каждом поединке с другими стратегиями. Более того, очевидно, что стратегия обмана, отказа от сотрудничества в каждой игре в принципе не может проиграть ни одного поединка. Но и очков эта стратегия приносит немного. Особенность турнира состоит в том, что лучше проиграть поединок со счетом 500:600, чем выиграть со счетом 200:100 очков. В этом случае понятно, что победить в турнире может стратегия, проигравшая абсолютно все личные поединки; это произойдет, если другие стратегии, встречаясь между собой, наберут относительно немного очков.
Анализ хода партий показал, что обычно стороны за первые I
несколько десятков ходов пытаются понять партнера, варьируя I
выбор альтернатив. Затем стороны выходят на стационарное со- I
стояние, т.е. выбирают один из вариантов (С;С либо D;D) и еле- I
дуют ему до конца поединка. Ясно, что победителем турнира I
оказывается программа, быстрее других обучающая партнеров I
действовать кооперативно. Именно такой оказалась стратегия "Зуб I
за зуб", несмотря на то, что многие участники турнира специ- I
ально готовились к борьбе с ней. I
Аксельрод считает, что из результатов турнира следуют пра- I
вила житейской мудрости: I
• не будь завистлив; I
• не обманывай первым; I
• проявляй взаимность и в сотрудничестве и в обмане; I
• не будь слишком умным. I
Отношение к социальному взаимодействию, как к игре с нуле- I
вой суммой (сколько один выиграл, столько другой проиграл) яв- I
* Это утверждение верно при условии, что вероятность повторной встречи I
партнеров близка к 1. Кроме того, должно выполняться соотношение I
R > (T+S)/2. I
278 I
ляется достаточно распространенным стереотипом. Однако в реальной жизни часто встречаются ситуации, в которых следование эгоистическим стратегиям неэффективно, что и доказывает исследование модели "Дилемма заключенного" для двух партнеров. Еще более интересные ситуации возникают при участии в играх п лиц.
В июне 1983г. Д.Хофстадтер озадачил читателей журнала "Scientific American", предложив им сыграть в игру с призовым фондом 1 млн (106 ) долларов. Участники игры должны были прислать в редакцию журнала открытку с указанием какого-либо одного числа. Победителем будет тот, кто пришлет открытку с наибольшим числом. Игра "Наибольшее число" имеет очень любопытное правило награждения: победитель, назвавший наибольшее число N, получает выигрыш, равный, 106 /N. Остальные же участники не получают ничего. Если победителей будет двое, то выигрыш делится пополам. Таким образом, выигрыш вычисляется по следующей формуле: P/Nm, где P-призовой фонд, N-наибольшее названное число, т-число участников, выбравших число N.
В игре приняло участие около 1000 читателей. Почти все прислали открытку с числом 1. Если бы так поступили все, то выигрыш каждого составил бы примерно 1000 долларов. Однако более предприимчивый читатель рассуждал иначе. Он считал, что большинство пришлют числа 1, 2, может быть, 3 и поставил в открытке число 10, рассчитывая получить 100 000 долларов, оставив остальных с носом. Но таких предприимчивых оказалось довольно много. Более того, 33 человека прислали число 106 , надеясь получить хотя бы 1 доллар. Однако несколько энтузиастов прислали числа порядка 10100 , сделав выигрыш исчезающе малым.
Моделям игр с участием п лиц посвящена обширная литература, в которой исследуются механизмы кооперирования, образования коалиций, процессы самоорганизации [1, 3, 6, 8]. В этих моделях исследуются условия возникновения социального порядка в условиях, когда участники не имеют полной информации о предпочтениях друг друга.
Задачи и упражнения
1. Постройте теоретико-игровые модели наиболее крупных конфликтов последних лет.
2. Постройте модель взаимодействия социальной системы и индивида.
3. Предположим, что на одном сегменте рынка действуют две конкурирующие фирмы. Каждая фирма может выбрать одну из двух альтернатив: С - разработать и внедрить инновацию; D - имитировать
279
продукт, созданный другой фирмой (см. гл. 9). В данной модели предполагается, что имитация приносит больший доход, так как фирма не несет затрат, связанных с разработкой и внедрением инновации. Рассмотрим игру со следующей таблицей выигрышей [9]:

Какие стратегии в этой модели являются рациональными?
4. Сформулируйте определение эволюционно эффективной стратегии.
5. Авторы [7] присвоили имена некоторым стратегиям, разработанным для итеративной дилеммы заключенного: Сталина - стратегии постоянного отказа от сотрудничества, Ганди - стратегии постоянного сотрудничества, альтруизма, независимо от поведения партнера. Каким стратегиям можно присвоить имена Макиавелли, Чингисхана, Наполеона, современных политиков?
6. Проверьте сплоченность своей студенческой группы с помощью игры "Наибольшее число". Как поведут себя участники, если игру повторить несколько раз?
Литература
1. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов и кибернетиков. M., 1985.
2. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. M.: Наука, 1974.
3. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. M.: Мир, 1991.
4. Саати Т.Л. Математические модели конфликтных ситуаций. M., 1977.
5. Axelrod R. The Evolution of Cooperation, N.Y.: Basic Books, 1984.
6. Handbook of Game Theory with Economic Application. L., 1992.
7. Krains D., Krains V. Pavlov and Prisoner's Dilemma//Theory and decision. 1989. Vol. 26. № 1. P. 47-79.
8. Rapoport A. Decision Theory and Decision Behaviour. Normative and Descriptive Approach. Dordrecht: Kluer Acad. Publ. 1989.
9. Rasmusen E. Games and Information. Cambridge: Blackwell, 1994.
Виртуальное послесловие
По мнению Ю.Хабермаса, социальная эволюция состоит в развитии когнитивных способностей человека. Предлагаемые в последних главах методы компьютерного моделирования позволяют исследователю создавать искусственные социальные миры, изучать с их помощью реальные социальные процессы, существенно расширяя свои когнитивные возможности.
Ясно, что компьютеры с помощью программных комплексов искусственного интеллекта могут распознавать информацию, принимать решения, и, следовательно, рассматриваться как когнитивные системы. Но для социальной теории главная проблема заключается в том, что в результате взаимодействия человеческого и искусственного интеллектов рождается качественно новая, виртуальная реальность, причем изменения носят глобальный характер.
Глобальная информатизация общества, развитие компьютерных сетей приводит к тому, что многие виды бизнеса, сферы обслуживания, формы досуга все активнее перемещаются в виртуальное пространство. Появляются не только новые формы общения, но и новые искусственные объекты, с которыми люди могут общаться, устанавливать прочные социальные связи. Отметим, что установление виртуальных связей не требует мощных компьютеров и сложных программ искусственного интеллекта - достаточно компьютерных игр типа тамагочи.
В Интернете появляется все больше виртуальных клубов по интересам. Заметим, что, играя в таком клубе в шахматы или преферанс, вы на самом деле не знаете, кто является вашим партнером - человек или программа.
Происходят изменения в трудовой этике. На Западе во многих фирмах сотрудники, приходя на работу, даже не здороваются с коллегами - все общение осуществляется только по компьютерной сети.
Возможности посещения виртуальных магазинов и музеев, общение с интересными собеседниками, живущими в разных городах и странах, уже сегодня заставляет многих энтузиастов проводить львиную долю свободного времени за компьютером. В скором времени каждый человек получит возможность в течение своей жизни прожить несколько виртуальных жизней с последующей виртуальной реинкарнацией и виртуальным бессмертием.
Колонизация виртуального пространства ставит перед социологами задачи анализа виртуальных систем - социальных об-щностей, состоящих из людей и компьютерных устройств, обла-
281
дающих искусственным интеллектом. К наиболее актуальным социальным проблемам виртуализации социальных отношений следует отнести:
• определение норм, правил поведения в виртуальном мире;
• анализ влияния виртуальных социальных процессов на обычную, повседневную жизнь индивида.
Установление научно обоснованных норм и правил функционирования виртуальных систем позволит существенно снизить риск появления негативных непредвиденных последствий кардинальных перемен, свидетелем которых становится современное человечество.
К числу безусловных достижений глобальной информатизации общества, несомненно, относится кардинальнее расширение возможностей доступа к мировой сокровищнице знаний. Известно, что финансовые трудности значительно сокращают поступление зарубежной научной литературы в отечественные библиотеки. Однако развитие Интернета, создание полнотекстовых электронных баз журнальных статей частично ликвидируют последствия кризиса.
Действительно, многие научные библиотеки страны обеспечивают своих читателей доступом к электронным версиям журналов известных зарубежных научных издательств (адрес в Интернете: www.ehbrary.ru). Ряд научных библиотек дает возможность читателям пользоваться ресурсами баз EBSCO и ProQuest, содержащими большое количество журналов по социальным наукам. Любой пользователь Интернета может читать статьи в электронных социологических журналах. По состоянию на начало 2001 г. в Интернете издавалось более 40 журналов по различным областям социологии'*.
Используя поисковые возможности Интернета, уже сегодня можно найти огромное количество информации по любой проблеме. Но это только начало. В ближайшем будущем наступит эра информационного коммунизма, когда каждый сможет получить любую информацию в соответствии со своими потребностями и ввести во всемирную сеть новые данные в соответствии со своими возможностями.
Однако у грядущего информационного изобилия могут быть неочевидные негативные последствия. Действительно, через 5-
* Проще всего можно найти их адреса на сайте (www.sociology.org). На первой странице сайта имеется меню, в котором надо выбрать строку - "Electronic journals".
282
7 лет в ответ на запрос по любой социологической проблеме Интернет выдаст километры книжных и журнальных текстов. Успешная борьба с грядущим информационным потопом возможна только в случае своевременного осознания социологическим сообществом необходимости кардинального переструктурирования всего социологического знания, и даже радикального изменения социологического дискурса. Одним из перспективных направлений реформирования социологической теории является развитие модельного подхода к структурированию социологических знаний.
Программа курса "Модели социальных процессов"
Курс предназначен для студентов социологических факультетов четвертого или пятого года обучения. Развитие культуры моделирования должно помочь слушателю:
• углубить понимание социальных процессов;
• освоить когнитивный инструментарий, облегчающий поиск эффективных решений социальных проблем.
Введение
Основные цели и задачи курса. Понятие модели. Роль моделей в социальной теории. Моделирование социально-политических и социокультурных процессов. Необходимость изучения социальных механизмов. Системный анализ и когнитивный подход - методологическая база изучения моделей социальных процессов.
Раздел 1. Системный и когнитивный аспекты методологии
моделирования
Тема 1. Основные принципы системного анализа
История развития системных представлений. Программа Л.Бер-таланфи. Основные понятия системного анализа. Различение системы и множества. Определения системы по Гейнсу и Акоффу. Динамика системы. Понятие положительной и отрицательной обратной связи. Принцип контринтуитивного поведения сложных систем.
Краткая история эволюции системных представлений в социологии. Специфика живых систем (взгляды У.Матураны). Понятие аутопойезиса. Особенности системных представлений в теориях Лумана и Гидденса. Анализ систем правил.
Тема 2. Направления прикладного системного анализа
Классификация методологических подходов по виду участия элементов (унитаризм, плюрализм, принуждение). Жесткие и мягкие системы. Принципы исследования мягких систем у Черчмена и Акоффа. Методология мягких систем П. Чекленда. Методология критических систем В. Ульриха. Проблемы внедрения результатов системного анализа. Примеры растворения проблем.
284
Тема 3. Когнитивный подход к изучению социальных систем
История развития когнитивного подхода. Структура когнито-логии. Типология знаний. Модели репрезентации знаний. Когнитивные карты. Методы анализа когнитивных карт. Понятие когнитивного стиля. Типологии Акоффа и Маруямы. Когнитивные аспекты использования метафор в системном анализе.
Когнитивный подход в социальных исследованиях. Основные задачи когнитивной социологии по Зерубавелу. Место когнитивной социологии в содружестве когнитивных наук.
Тема 4. Роль моделирования в социологии
Взаимосвязи понятий теория и модель. Типология моделей. Когнитивная модель. Виды содержательных моделей. Роль формальных моделей. Элементы моделей. Визуализация и качественные методы моделирования.
Модели социальных систем. Социальная сеть. Целесообразность использования различных моделей социальных систем в зависимости от специфики конкретных задач.
Раздел 2. Содержательные модели социальной динамики
Тема 5. Основные понятия теории социальных изменений
Типология социальных изменений. Основные причины социальных изменений. Системное время. Основные формы социальных процессов. Модели с насыщением. Спираль и цикл.
Эволюционные процессы. Теории многолинейной эволюции. Теория прерывистого равновесия.
Роль социальных механизмов в объяснении социальных процессов. Перспективы развития аналитического подхода к социологической теории. Подход Р.Будона. Социокогнитивный механизм. Уточнение трактовки микро- и макроподхода.
Тема 6. Модели жизненного цикла
Развитие циклических представлений. Типичная модель жизненного цикла. Примеры моделей жизненного цикла. Модель жизненного цикла цивилизаций. Жизненный цикл этноса по Л.Н.Гумилеву. Жизненный цикл общественного движения. Жизненный цикл организации. Жизненный цикл научной специальности. Жизненный цикл технологического уклада. Жизненный цикл продукта. Жизненный цикл семьи и индивида. Сравнение характеристик различных моделей.
285
Тема 7. Модели волновой динамики
Природа периодичности. Космические теории цикличности. Связь волновых колебаний с жизненными циклами элементов. Теория смены поколений.
Волны экономической динамики. Типология экономических циклов. Механизм образования политико-делового цикла. Длинные волны Кондратьева. Циклы борьбы за мировое лидерство. Модель Гольдстайна.
Волновые процессы в политической сфере. Модели Клинберга, Наменвирса, Шлезингера и Барбера.
Тема 8. Когнитивный подход к анализу социокулътурной динамики
Основы эволюционной теории П.А.Сорокина. Базовые социо-культурные системы. Принцип имманентных изменений. Принцип предела.
Полувековые циклы в социокультурной эволюции. Когнитивная теория С.Ю.Маслова. Аналитический и синтетический типы сознания. Эволюция стилей в искусстве. Циклическая модель развития культуры В.Бюля. Системная модель де Грина.
Тема 9. Инновационные процессы
Основные понятия инноватики. Источники нововведений по Друкеру. Типология моделей диффузии инноваций. Факторы, определяющие скорость распространения инноваций. Социокогни-тивная теория А.Бандуры. Обучение нововведениям.
Содержательные и формальные модели распространения нововведений и роста численности популяции. Модель Мальтуса. Логистическая модель. Связь модели кумулятивного роста и модели жизненного цикла.
Тема 10. Переходные процессы в социальных системах
Кризис системы. Три варианта разрешения кризиса системы - распад, реформа, революция. Реформы в социальных системах. Явление запаздывания. Поворотные точки.
Модель модернизации Липсета. Нелинейная модель перестройки В.И.Арнольда. Стратегия и тактика социальных реформ. Проблема секретности планирования и рефлексивные эффекты поведения социальных систем.
Модели революций. Закон поляризации П.Сорокина. Модель депривации Дэвиса. Модель революции Т.Скокпол. Марксистс-
286
кая модель революционного кризиса. Механизм раскручивания маховика революции.
Тема 11. Современные теории структурной динамики
Модели теории катастроф. Катастрофа "сборка". Бифуркация. Бимодальность. Гистерезис. Модель волнений в тюрьме. Модель принятия инновации. Бифуркации в социальных процессах по Ю.Лотману.
Синергетика и теория хаоса. Роль нелинейности. Странный аттрактор. Неустойчивость и эффект бабочки. Сценарий хаотиза-ции.
Диссипативные структуры И.Пригожина. Флуктуации в открытых системах. Процесс построения термитника как пример самоорганизации в природе. Логистическая модель эволюции и возможность возникновения хаотических колебаний.
Раздел 3. Формальные модели социальных процессов
Тема 12. Иконологическое моделирование социальных процессов
Основные принципы иконологического моделирования. Возможность исследования "мягких" моделей. Роль доверия к получаемым результатам. Компьютерное моделирование без помощи математика и программиста. Пример анализа логистической модели с помощью пакета Excel. Использование возможностей интерактивной графики для изучения "мягких" моделей. Учет эффекта запаздывания.
Изучение процессов самоорганизации в искусственной социальной среде с помощью моделей клеточных автоматов. Анализ эволюции кооперации с помощью теоретико-игровой модели "Дилемма заключенного".
Словарь основных терминов
Аутопойезис - процесс воспроизводства (самопорождения) системой своих компонентов с целью сохранения своей самотождественности.
Виртуальная система - социальная система, состоящая из людей и компьютерных устройств, обладающих искусственным интеллектом.
Волны Кондратьева - циклические колебания с периодом примерно 50 лет, охватывающие экономические, политические, культурные и когнитивные сферы жизни общества.
Диффузия инноваций - процесс распространения нововведений внутри данной социальной системы, а также от одной социальной системы к другой.
Иконологическое моделирование - методология, основанная на исследовании компьютерных моделей сложных систем и современных методах визуализации информации.
Качественный анализ - изучение неколичественной информации, широко использующее когнитивные методики.
Когнитивная карта - схематичное описание фрагмента картины мира, относящегося к данной проблемной ситуации. Когнитивная карта может использоваться для отражения причинно-следственных связей между элементами картины мира. В психологии с помощью когнитивных карт исследуют проблемы ориентации в пространстве.
Когнитивная модель - образ объекта, формируемый когнитивной системой на базе ее "картины мира".
Когнитивная система - система, осуществляющая функции распознавания и запоминания информации, принятия решений, хранения, объяснения, понимания и производства новых знаний.
Когнитивный подход - решение научных проблем методами, учитывающими когнитивные аспекты, в которые включаются процессы восприятия, мышления, познания, объяснения и понимания.
Когнитивный стиль - совокупность критериев выбора предпочтений при решении задач и познании мира.
Когнитология (когнитивная наука) - междисциплинарное научное направление, объединяющее теорию познания, когнитивную психологию, нейрофизиологию, когнитивную антропологию, когнитивную лингвистику и теорию искусственного интеллекта. Последние годы к ког-нитологии подключаются: когнитивная социология, когнитивная экономика и другие гуманитарные науки.
Концептуальная модель - содержательная модель, при формулировке которой используются теоретические концепты и конструкты данной предметной области знания.
288
Кризис системы - состояние, в котором параметры системы принимают пороговые, критические значения. В этом состоянии степень организованности системы резко снижается и вероятность возвращения к прежнему стабильному состоянию невелика. Существуют три варианта разрешения кризиса системы:
1) распад или гибель системы, при этом ее элементы захватываются другими системами;
2) реформа - постепенная перестройка ядра, генотипа системы, ведущая к появлению качественно новой системы;
3) революция - резкое, скачкообразное изменение ядра системы, катастрофический переход из одного состояния в другое.
Модель - аналог объекта, который при определенных условиях воспроизводит интересующие исследователя свойства оригинала.
Модель волновой динамики - периодические колебания параметров системы, механизм воспроизводства которых действует на протяжении достаточно длительного отрезка времени.
Модель жизненного цикла - этапы эволюции системы от ее зарождения до гибели.
Обратная связь - воздействие результатов функционирования системы на характер этого функционирования. Если обратная связь усиливает результаты функционирования, то она называется положительной, если ослабляет - отрицательной.
Политико-деловой цикл - периодические колебания экономики, вызванные стремлением правящей партии добиться роста экономических показателей в предвыборный период.
Постановка задачи - завершающий этап формулирования содержательной модели, после которого можно переходить к этапу исследования модели.
Принцип контринтуитивного поведения - сложная система реагирует на внешние воздействия иначе, чем ожидает наша интуиция, основанная на общении с достаточно простыми системами.
Процесс - количественное или качественное изменение характеристик объекта в течение определенного времени.
Синергетика - междисциплинарное научное направление, изучающее процессы перехода от хаоса к порядку и явления самоорганизации в природе и обществе. Синергетика исследует нелинейные взаимодействия, которые могут приводить к скачкообразным, катастрофическим изменениям состояний системы.
Система - множество связанных между собой элементов, которое рассматривается как целое. Системы делятся на простые и сложные. Простые системы имеют небольшое число элементов и взаимосвязей, детерминированы и мало изменяются во времени. Система может иметь огромное число элементов, но оказаться "простой", если все взаимодействия унифицированы и система допускает достаточно простое (лако-
289
ничное) формализованное описание. Сложные системы состоят из большого числа элементов, между которыми имеются многочисленные нелинейные взаимосвязи. Подсистемы могут иметь собственные цели, не всегда совпадающие с целями системы в целом.
Система правил - совокупность формальных и неформальных норм, правил, законов, регулирующих деятельность данной социальной системы.
Содержательная модель - модель формулируемая в вербальной форме или в смешанном вербально-визуальном представлении.
Социальная система - система социальной природы. В качестве социальной системы можно рассматривать индивида, семью, организованную группу, клуб, партию, организацию (фирму, предприятие, учреждение и т.д.), социальный институт (право, образование, религия и т.д.), территориальную общность (деревню, город, область, государство), мировое сообщество (мировая система).
Существует много определений социальных систем, которые можно считать моделями, акцентирующими внимание на различных сторонах социальной реальности.
Социальный механизм - причинно-следственная модель исследуемого социального процесса или явления.
Социокогнитивный механизм - двухуровневая модель социальных процессов:
• на макроуровне используется причинно-следственная модель;
• на микроуровне используются когнитивные модели взаимодействия между индивидами, а также между микро- и макроуровнями.
Структура системы - относительно устойчивая фиксация связей между элементами системы.
Структура социальной системы - в классическом структурно-функциональном подходе использование понятия структуры предполагает разбиение множества элементов системы на подсистемы и выделение наиболее существенных и устойчивых связей между ними. Структуре- является как бы остовом, характеризующим функционирование системы.
В ряде современных теорий предполагается, что социальная система может иметь много структур в соответствии с особенностями состояний внешней среды и самой системы. В этом случае под структурой понимается определенная упорядоченность взаимодействий элементов системы.
Теория прерывистого равновесия - утверждает, что эволюция не является равномерным процессом. Длительные периоды постоянства (застоя) сменяются кратковременными, революционными изменениями.
Теория смены поколений - утверждает, что социальная динамика определяется в основном процессами смены поколений. Поколение с социологической точки зрения объединяет людей с общим мироощущени-
290
ем, родившихся в данном временном интервале и имеющих общие интересы.
Формальные модели - модели, сформулированные на языках математики или информатики.
Элемент социальной системы - в качестве элемента социальной системы обычно фигурирует индивид или подмножество индивидов. Так, элементом мировой системы является страна, а элементом рынка - фирма.
В ряде моделей социальных систем людей относят к окружающей среде, а в качестве элемента рассматривают социальное взаимодействие или коммуникацию.
Эмерджентность - несводимость свойств системы в целом к свойствам элементов системы.
Оглавление
Предисловие ............................................................................... 3
Введение .................................................................................... 5
Раздел 1. Системный и когнитивный аспекты
методологии моделирования.................................................................. 10
Глава 1. Основные принципы системного анализа .......................... 10
1.1. Становление теории систем ................................................... 10
1.2. Основные понятия системного анализа................................... 12
1.3. Системный подход в социологии и биологии ........................... 18
Глава 2. Основные направления прикладного
системного анализа.................................................................... 30
2.1. Классификация методологических подходов .......................... 30
2.2. Принципы исследования "мягких" систем .............................. 33
2.3. Методология "мягких" систем П. Чекленда ............................ 36
2.4. Методология критических систем В. Ульриха ......................... 43
2.5. Проблемы внедрения результатов системного
анализа .................................................................................... 48
Глава 3. Основные принципы когнитивного подхода ...................... 53
3.1. История развития когнитивного подхода................................ 53
3.2. Когнитивные карты ............................................................. 59
3.3. Когнитивный стиль ............................................................. 68
3.4. Когнитивные аспекты использования метафор ........................ 72
3.5. Когнитивный подход в социальных исследованиях .................. 75
Глава 4. Роль моделирования в социологии ................................... 87
4.1. Теории и модели .................................................................. 87
4.2. Типология моделей и схема их взаимосвязи ............................ 89
4.3. Визуализация и качественные методы
моделирования ......................................................................... 96
4.4. Модели и системы .............................................................. 102
Раздел 2. Содержательные модели социальной динамики................................................................................................. 109
Глава 5. Основные понятия теории социальных
изменений ...............................................................................109
5.1. Типология социальных изменений ....................................... 109
5.2. Основные формы социальных процессов ................................ 112
5.3. Эволюционные процессы .....................................................118
5.4. Объяснение социальных процессов ....................................... 119
292
Глава 6. Модели жизненного цикла ........................................... 123
6.1. Развитие циклических представлений .................................. 123
6.2. Примеры моделей жизненного цикла .................................... 126
Глава 7. Модели волновой динамики ........................................... 138
7.1. Природа периодичности ......................................................138
7.2. Волны экономической динамики .......................................... 144
7.3. Волны Кондратьева ............................................................ 147
7.4. Циклы борьбы за мировое лидерство ..................................... 151
7.5. Волновые процессы в политической сфере ............................. 156
Глава 8. Волны социокультурной динамики................................. 162
8.1. Основы эволюционной теории П.А.Сорокина ......................... 162
8.2. Полувековые циклы в социокультурной эволюции .................167
Глава 9. Инновационные процессы ............................................. 179
9.1. Основные понятия инноватики ............................................ 179
9.2. Модели диффузии инноваций и логистического
роста....................................................................................... 184
Глава 10. Переходные процессы в социальных системах ................ 192
10.1. Кризисы в социальной системе ........................................... 192
10.2. Реформы в социальных системах ........................................ 193
10.3. Модели революций ........................................................... 198
Глава 11. Современные теории структурной динамики .................. 204
11.1. Модели теории катастроф .................................................. 204
11.2. Синергетика и теория хаоса ............................................... 210
11.3. Диссипативные структуры И. Пригожина ........................... 214
Раздел 3. Формальные модели социальных процессов...................... 222
Глава 12. Анализ динамики систем ............................................. 222
12.1. Иконологическое моделирование ........................................ 222
12.2. Приложения теории разностных уравнений
к моделям мобилизации ............................................................ 229
12.3. Основные понятия теории дифференциальных
уравнений ...............................................................................233
12.4. Модель гонки вооружений Ричардсона ................................ 238
12.5. Модели сотрудничества и борьбы
за существование ......................................................................244
12.6. Системная динамика Форрестера ........................................ 247
Глава 13. Модели хаоса и катастроф ........................................... 251
13.1. Математическая модель катастрофы "сборка" ......................251
13.2. Портреты хаоса ................................................................ 255
293
Глава 14. Клеточное моделирование .......................................... 260
14.1. Модели процессов самоорганизации .................................... 260
14.2. Реализация моделей клеточных автоматов
на ЭВМ.................................................................................... 266
14.3. Приложения клеточных моделей ........................................ 268
Глава 15. Модели принятия решений ......................................... 273
15.1. Теоретико-игровые модели конфликтных
ситуаций ................................................................................. 273
15.2. Модель эволюции кооперации ............................................ 276
Виртуальное послесловие .......................................................... 281
Приложение. Программа курса "Модели социальных
процессов"............................................................................... 284
Словарь основных терминов....................................................... 288
Плотинский Юрий Менделеевич МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

<<

стр. 3
(всего 3)

СОДЕРЖАНИЕ