<<

стр. 13
(всего 28)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

d21 d22 c2

или
??
?0?
A A
D1 = D2 (?b22 ) + T2 c2 , где T2 = ? ? .
1

Непосредственно в форме (10.25) при учете условий нормализации эта система
записалась бы в виде:

D2 b22 = ?D1 + T2 c2 .
A



Из решения этой системы ?bKM получается таким же, как в (10.23), кроме того,
22
получается оценка свободного члена:

d11
cKM = d21 ? d22 .
2
d12
328 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

Если уравнение не идентифицировано, переменных в системе (10.21) оказы-
вается больше, чем уравнений, и эта система представляет бесконечное множе-
ство значений параметров структурной формы. Чтобы выбрать из этого множе-
ство какое-то решение, часть параметров структурной формы надо зафиксировать,
т.е. сделать уравнение идентифицированным.
Для сверхидентифицированного уравнения система (10.21) является переопре-
деленной, и ее уравнения не могут выполняться как равенства. Различные методы
оценки такого уравнения реализуют различные подходы к минимизации невязок по
уравнениям этой системы.
Одним из таких методов является двухшаговый метод (2М) наименьших квад-
ратов.
На первом шаге с помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы
l
для переменных X? :

X? = ZD? + V l ,
l l


где V l — N ?(kl ?1)-матрица остатков по уравнениям; и определяются расчетные
значения этих переменных уже без ошибок:
lc l
X? = ZD? .

На втором шаге с помощью МНК оцениваются искомые параметры структур-
ной формы из уравнения:
Xl = X? bl + Z l al + el .
lc
(10.27)
Для этого уравнения гипотеза g2 выполняется, т.к. регрессоры не имеют ошибок,
и поэтому применим обычный МНК.
Можно определить единый оператор 2M-оценивания. Поскольку
lc l
X? = F X? ,
где F = Z(Z Z)?1 Z , уравнение (10.24) записывается как:
??
? bl ?
Xl = F X? Z l ? ? + el ,
l
(10.28)
al
а оператор, входящий в него, как:
?? ? ??1 ? ?
l l X? Z l ?
l l
? bl ? ?X? F X? ?X? F Xl ?
? ?=? ? ? ?. (10.29)
Z l X?
l Zl Zl Z l Xl
al
329
10.3. Оценка параметров отдельного уравнения

Оператор в такой форме получается как результат применения МНК к уравнению
(10.25), т.е. результат умножения обеих частей этого уравнения слева на транспо-
нированную матрицу регрессоров и отбрасывания компоненты остатков:
? ? ? ? ??
l l
?X? F ? ? X? F ? l ? bl ?
l
? ? Xl = ? ? F X? Z ? ? . (10.30)
Zl Zl al
l

Откуда следует оператор 2М-оценивания в указанной форме, т.к. F — симметрич-
ная идемпотентная матрица и

F Z l = F ZTlA = ZTlA = Z l .

Такой оператор оценивания сверхидентифицированного уравнения можно по-
лучить, если МНК применить к системе (10.21) (в этом случае она переопределена
и в ее уравнениях возникают невязки), умножив предварительно обе ее части слева
на Z.

Система нормальных уравнений для оценки (10.21), умноженной на Z , записыва-
ется следующим образом:
? ? ? ? ??
l l
? D? ? ? D? ? A ? bl ?
l
? ? Z ZDl = ? ? Z Z D? T l ? ? ,
TlA TlA al

и, учитывая, что

D? Z ZDl = X? F Xl , TlA Z ZDl = Z l Xl и т.д.,
l l


она преобразуется к виду (10.29).

Отсюда, в частности, следует, что для точно идентифированного уравнения
2М-оценка совпадает с КМ-оценкой, т.к. параметры структурной формы урав-
нения, однозначно определяемые соотношениями (10.21), удовлетворяют в этом
случае и условиям (10.25).
Соотношения (10.29) — первая форма записи оператора 2М-оценивания. Ес-
lc
ли в (10.24) учесть, что X? = X? ? V l , этот оператор можно записать в более
l

прозрачной второй форме:
?? ? ??1 ? ?
? bl ? ?X? X? ? V V ?(X? ? V )Xl ?
l l l l X? Z l ?
l l l
? ?=? ? ? ?. (10.31)
Zl l Zl Zl Zl
al X? Xl
330 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

Это доказывается аналогично с учетом того, что остатки V l ортогональны регрес-
сорам Z и, соответственно,

Z V l = 0, X? V l = V l V l ,
l
X?c V l = 0.
l



Попытка применить оператор 2М-оценивания для не идентифицированного
уравнения не имеет смысла, т.к. обращаемая матрица в данном операторе вырож-
дена.

В этом легко убедиться, т.к.

F X? Z l = Z D? TlA ,
l l


т.е. матрица наблюдений за регрессорами в (10.25) получается умножением на Z
слева матрицы системы (10.21). В последней, если уравнение не идентифицирова-
но, — столбцов больше, чем строк. Следовательно, регрессоры в (10.25) линейно
связаны между собой, а матрица системы нормальных уравнений (матрица операто-
ра оценивания) вырождена.

Для сверхидентифицированного уравнения можно использовать также метод
наименьшего дисперсионного отношения (МНДО). Строгое обоснование его
применимости вытекает из метода максимального правдоподобия.
Пусть bl в уравнении (10.20) оценено, и X l bl рассматривается как единая
эндогенная переменная. В результате применения МНК определяются:

al = (Z l Z l )?1 Z l X l bl ,
где F l = Z l (Z l Z l )?1 Z l ,
el = (IN ? F l )X l bl , (10.32)
где W l = X l (IN ? F l )X l .
el el = bl W l bl ,

Теперь находится остаточная сумма квадратов при условии, что все экзогенные
переменные входят в l-е уравнение. Она равна bl W bl , где W = X l (IN ? F )X l .
Тогда bl должны были бы быть оценены так, чтобы

bl W l bl
> min!
?= l
b W bl
Иначе было бы трудно понять, почему в этом уравнении присутствуют не все экзо-
генные переменные.
Решение этой задачи приводит к следующим условиям:

(W l ? ?W )bl = 0. (10.33)
331
10.4. Оценка параметров системы идентифицированных уравнений

Действительно, из условия равенства нулю первой производной:

2W l bl (bl W bl ) ? 2W bl (bl W l bl )
?? 2
(W l bl ? ?W bl ) = 0,
= =l
l W bl )2
l l
?b (b b Wb
сразу следует (10.33).

Следовательно, ? находится как минимальный корень характеристического
уравнения (см. Приложение A.1.2)

W l ? ?W = 0,

а bl определяется из 10.33 с точностью до постоянного множителя, т.е. с точностью
до нормировки bll = 1.
В общем случае ?min > 1, но при правильной спецификации модели
?min ?> 1.
N >?
Оператор
?? ? ??1 ? ?
? bl ? ?X? X? ? kV V ?(X? ? kV )Xl ?
l l l l X? Z l ?
l l l
? ?=? ? ? ?
Zl l Zl Zl Z l Xl
al X?

позволяет получить так называемые оценки k-класса (не путать с k — количе-
ством эндогенных переменных в системе).
При k = 0, они являются обычными МНК-оценками для l-го уравнения, что
легко проверяется; при k = 1, это — 2М-оценки; при k = ?min — МНДО-
оценки (принимается без доказательства). 2М-оценки занимают промежуточное
положение между МНК- и МНДО-оценками (т.к. ?min > 1). Исследования пока-
зывают, что эффективные оценки получаются при k < 1.


10.4. Оценка параметров системы
идентифицированных уравнений
Из приведенной формы системы уравнений следует, что

x ? = (B ?1 ) A z ? + (B ?1 ) ? ?.

Как и прежде, в любом наблюдении E(?) = 0, E(? ?) = ? 2 ?, и ошибки не корре-
лированы по наблюдениям. Тогда

E(x ?) = (B ?1 ) E(? ?) = ? 2 (B ?1 ) ?,
332 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

т.е. в общем случае все эндогенные переменные коррелированы с ошибками во всех
уравнениях. Это является основным препятствием для применения обычного МНК
ко всем уравнениям по отдельности.
Но в случае, если в матрице B все элементы, расположенные ниже глав-
ной диагонали, равны нулю, т.е. в правой части l-го уравнения могут появлять-
ся только более младшие эндогенные переменные xl , l < l, и последней
компонентой любого вектора xl является xl , а матрица ? диагональна, то ?l
не коррелирует с переменными xl при любом l. Это — рекурсивная систе-
?
ма, и для оценки ее параметров можно применять МНК к отдельным уравне-
ниям.
Для оценки параметров всех идентифицированных уравнений системы можно
применить трехшаговый метод (3М) наименьших квадратов.
Первые два шага 3М совпадают с 2М, но представляются они по сравнению
с предыдущим пунктом в несколько иной форме.
Предполагается, что идентифицированы все k уравнений:

Xl = X? ?l + Z l ?l + ?l = Ql ?l + ?l , l = 1, . . . , k,
l


где Ql = [X? , Z l ], ?l = [ ?l ?l ] . Учитывая указанные выше свойства остатков:
l


E(?l ?l ) = ? 2 ?ll IN , E(?l ?l ) = ? 2 ?l l IN .

Теперь обе части l-го уравнения умножаются слева на Z :

Z Xl = Z Ql ?l + Z ?l , (10.34)

и Z Xl рассматривается как вектор n + 1 наблюдений за одной эндогенной пе-
ременной, а Z Ql — как матрица n + 1 наблюдений за nl + kl экзогенными пе-
ременными, включая свободный член. Так как все уравнения идентифицированы,
и выполнено условие (10.14), во всех этих новых регрессиях количество наблю-
дений не меньше количества оцениваемых параметров. Для сверхидентифициро-
ванных уравнений количество наблюдений в новой регрессии будет превышать
количество оцениваемых параметров. Это более естественный случай. Поэтому
3М-метод обычно применяют для всех сверхидентифицированных уравнений си-
стемы.
Матрица ковариации остатков по уравнению (10.34) равна ? 2 ?ll Z Z. Она от-
лична от ? 2 IN , и для получения оценок cl параметров ?l этого уравнения нужно
использовать ОМНК:

cl = (Ql Z(Z Z)?1 Z Ql )?1 Ql Z(Z Z)?1 Z Xl , или
cl = (Ql F Ql )?1 Ql F Xl .
333
10.4. Оценка параметров системы идентифицированных уравнений

Сравнив полученное выражение с (10.29), легко убедится в том, что cl —
2М-оценка.
Если 2М на этом заканчивается, то в 3М полученные оценки cl используются
для того, чтобы оценить el , и затем получить оценки W матрицы ? 2 ?:

1 1
wll = el el , wl l = el el .
N N

Теперь все уравнения (10.34) записываются в единой системе (подобная запись
использовалась в п.10.1 при доказательстве одного из утверждений):
? ? ? ?? ? ? ?
1 ···
?Z X1 ? ?Z Q 0 ? ??1 ? ?Z ?1 ?
0
? ?? ?? ? ? ?
? ?? ?? ? ? ?
?Z X2 ? ? 0 0 ? ??2 ? ?Z ?2 ?
Z Q2 · · ·
? ?? ?? ? ? ?
? ?=? ?? ? + ? ?, (10.35)
? .? ?. . ?? . ? ? . ?
. ..
? .? ?. . ?? . ? ? . ?
. .
.? ?. . . ?? . ? ? . ?
?
? ?? ?? ? ? ?
· · · Z Qk
Z Xk 0 0 ?k Z ?k

или

Y = Q? + ?,

где Y — соответствующий k · (n + 1)-вектор-столбец наблюдений за изучаемой
переменной;
k
Q — k(n + 1) ? (kl + nl )-матрица наблюдений за экзогенными перемен-
l=1
ными;
k
?— (kl + nl )-вектор-столбец параметров регрессии;
l=1
? — k(n + 1)-вектор-столбец остатков по наблюдениям.
Легко проверить, что матрица ковариации остатков ? удовлетворяет следую-
щему соотношению:

E(?? ) = ? 2 ? ? (Z Z).

Для нее имеется оценка: k(n + 1) ? (n + 1)-матрица ? = W ? (Z Z). Эта матрица
отлична от ? 2 Ik(n+1) , поэтому на третьем шаге 3М-оценивания к единой системе
(10.35) применяется ОМНК и получается окончательная оценка c параметров ?:

c = (Q ??1 Q)?1 Q ??1 Y.
334 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

10.5. Упражнения и задачи
Упражнение 1

Рассматривается простая Кейнсианская
модель:
Таблица 10.1
?
?
? c = ?1 + ?y + ?,
?1 = ?2
N i c y
?
?
y = c + i, 2.00 18.19 20.19 0.193

2.00 17.50 19.50 –0.504
где c, i и y — объем потребления, инве-
стиции и доход соответственно, 1N — стол- 2.20 16.48 18.68 –2.318
бец, состоящий из единиц. Пусть каждый век-
2.20 19.06 21.26 0.257
тор имеет размерность 20 ? 1, E(?) = 0 и
E(?? ) = ? 2 IN = 0.22 I20 . Система уравнений 2.40 21.38 23.78 1.784
приведенной формы следующая:
2.40 21.23 23.63 1.627
?
?
? c = ? 1 + ? i + 1 ?, 2.60 21.11 23.71 0.708
1?? N 1?? 1??
?
? 2.60 22.65 25.25 2.252
1 1
?
y= 1?? 1N + 1?? i + 1?? ?,
2.80 20.74 23.54 –0.462
Ошибки в приведенной форме для c и y та-
2.80 19.85 22.65 –1.348
ковы:
3.00 22.23 25.23 0.234
1 1 1
?1 = ?2 = ?= ?= ?,
1?? 1 ? 0.8 3.00 22.23 25.23 0.226
0.2
3.20 23.43 26.63 0.629
т.е. в модели в приведенной форме ошибки ?1
и ?2 распределены как N (0, I). В таблице 3.20 23.04 26.24 0.244
10.1 на основе заданных 20-ти гипотетических
3.40 23.03 26.43 –0.569
значений для i (первая колонка) и нормаль-
но распределенных ошибок (последняя колон- 3.40 24.45 27.85 0.853
ка) получены данные для c и y из уравнений
3.60 26.63 30.23 2.227
приведенной формы, используя значения па-
раметров ? = 2 и ? = 0.8. 3.60 24.47 28.07 0.074
В реальной ситуации существуют только 3.80 24.67 28.47 –0.527
значения i, c и y. Значения ошибки в модели
3.80 26.00 29.80 0.804
и значения ? и ? неизвестны.

1.1. Используя данные таблицы 10.1, оцените уравнения приведенной формы для
объема потреблении и дохода.
335
10.5. Упражнения и задачи

1.2. Используя данные таблицы 10.1, посчитайте косвенные МНК-оценки для ?
и ? из

а) уравнения приведенной формы для объема потребления и

б) уравнения приведенной формы для дохода.
Идентичны ли косвенные МНК-оценки, полученные из обоих уравнений
приведенной формы?

1.3. Используя данные таблицы 10.1, посчитайте простые МНК-оценки для ?
и ? и сравните их с косвенными МНК-оценками из упражнениия 1.2.

1.4. Используя данные таблицы 10.1 для i и используя значения параметров
? = 2 и ? = 0.8 составьте 100 выборок для c и y.

1.5. Примените простой МНК к каждому структурному уравнению системы для
100 выборок. Посчитайте среднее 100 оценок ? и ?. Проверьте степень
эмпирического смещения.

1.6. Посчитайте косвенные МНК-оценки для ? и ? для 100 выборок. Посчитай-
те среднее 100 оценок ? и ?. Посчитайте степень смещения в маленьких
выборках — размером по 20 наблюдений. Сравните смещение косвенных
МНК-оценок со смещением обычных МНК-оценок.

1.7. Объедините пары выборок так, чтобы получились 50 выборок по 40 наблю-
дений. Посчитайте косвенные МНК-оценки для ? и ? для этих 50 выборок.
Посчитайте среднее и проверьте смещение оценок. Будут ли эмпирические
смещения в этом случае меньше, чем рассчитанные из 100 выборок по 20 на-
блюдений?



Упражнение 2

Таблица 10.2 содержит векторы наблюдений z1 , z2 , z3 , z4 , z5 и x1 , x2 , x3
которые представляют выборку, полученную из модели:
x1 = ?12 x2 + ?13 x3 + ?11 z1 + ?1 ,
x2 = ?21 x1 + ?21 z1 + ?22 z2 + ?23 z3 + ?24 z4 + ?2 ,
x3 = ?32 x2 + ?31 z1 + ?32 z2 + ?35 z5 + ?3 ,
336 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений




Таблица 10.2

z1 z2 z3 z4 z5 x1 x2 x3

1 3.06 1.34 8.48 28.00 359.27 102.96 578.49

1 3.19 1.44 9.16 35.00 415.76 114.38 650.86

1 3.30 1.54 9.90 37.00 435.11 118.23 684.87

1 3.40 1.71 11.02 36.00 440.17 120.45 680.47

1 3.48 1.89 11.64 29.00 410.66 116.25 642.19

1 3.60 1.99 12.73 47.00 530.33 140.27 787.41

1 3.68 2.22 13.88 50.00 557.15 143.84 818.06

1 3.72 2.43 14.50 35.00 472.80 128.20 712.16

1 3.92 2.43 15.47 33.00 471.76 126.65 722.23

1 4.15 2.31 16.61 40.00 538.30 141.05 811.44

1 4.35 2.39 17.40 38.00 547.76 143.71 816.36

1 4.37 2.63 18.83 37.00 539.00 142.37 807.78

1 4.59 2.69 20.62 56.00 677.60 173.13 983.53

1 5.23 3.35 23.76 88.00 943.85 223.21 1292.99

1 6.04 5.81 26.52 62.00 893.42 198.64 1179.64

1 6.36 6.38 27.45 51.00 871.00 191.89 1134.78

1 7.04 6.14 30.28 29.00 793.93 181.27 1053.16

1 7.81 6.14 25.40 22.00 850.36 180.56 1085.91

1 8.09 6.19 28.84 38.00 967.42 208.24 1246.99

1 9.24 6.69 34.36 41.00 1102.61 235.43 1401.94
337
10.5. Упражнения и задачи

или в матричной форме: XB = ZA + ?, где ?i — нормально распределенные
векторы с E(?i ) = 0 и
?? ????
?? ?1 ? ? ?1 ? ?
?? ??
??
?? ??
??
= E ?? ?2 ? ? ?2 ? ? = ? ? IN .
E ?? ?? ??
??
?? ??
??
? ?
?3 ?3

Гипотетические структурные матрицы коэффициентов B, A и ковариационная
матрица ? следующие:
? ?
?40
? 10 ?
60
? ?
? ?
? ?
? ?80 ?
?0 0? ? ?
0.2 0 4
? ? ? ?
? ? ? ?
B = ? ?10 2 ?, A=? 0 ?,
?1 0 6
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? 0?
?1 ?1.5
2.5 0 0
? ?
? ?
?5
0 0
? ?
?56.89?
? 227.55 8.91
? ?
? ?
? = ? 8.91 ?1.88 ?
0.66
? ?
? ?
?56.89 ?1.88 15.76
Матрица коэффициентов в приведенной форме для гипотетической модели следу-
ющая:
? ?
? ?142.50 13.00 ?
11.50
? ?
? ?
? 110.00 116.00 ?
? ?
18.00
? ?
? ?
?1
D = AB = ? 15.00 ?6.00 ?
?3.00
? ?
? ?
? ?
? ?3.75 1.50 ?
0.75
? ?
? ?
6.25 1.25 7.50
В реальной ситуации B, A , ?, D были бы неизвестны, доступны были бы только
наблюдения в таблице 10.2.

2.1. Используя данные таблицы 10.2, проверьте каждое структурное уравнение
системы на идентифицируемость.
338 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

2.2. Оцените матрицу параметров приведенной формы D = (Z Z)?1 Z X.

2.3. Примените простой МНК к каждому структурному уравнению системы и оце-
ните матрицы B и A.

2.4. Рассчитайте
?? ? ??1 ? ?
? bl ? ?X? X? ? kV V ?(X? ? kV )Xl ?
l l l l X? Z l ?
l l l
? ?=? ? ? ? (10.36)
Z l X?
l Zl Zl Z l Xl
al

при k = 0 и сравните с результатом упражнения 2.3.

2.5. Используя косвенный МНК, оцените параметры второго строго идентифи-
цированого уравнения.
2 A
2.6. Найдите b2 и a2 , решая систему D2 = D? b2 + T2 a2 , и сравните с резуль-
татом упражнения 2.5.

2.7. Найдите минимальный корень ? из уравнения W l ? ?W = 0 и, используя
формулу метода наименьшего дисперсионного отношения (10.36) при k = ?,
оцените параметры в каждом из трех структурных уравнений.

2.8. Используя формулу двухшагового метода наименьших квадратов (10.36) при
k = 1, сравните оценки матрицы D, полученные на основе оценок простым
МНК, МНДО и 2МНК, с исходными гипотетическими матрицами парамет-
ров приведенной формы.

2.9. Используя формулу 3МНК, оцените параметры первого и третьего структур-
ных уравнений совместно.


Упражнение 3

Имеем модель Клейна, в которой
C = ?P + ?(W + V ) + ?P?1 + ? + ?1 — функция потребления,
I = ?P + ?P?1 + ?K?1 + ? + ?2 — функция инвестиционного спроса,
W = µ(Y + T ? V ) + ?(Y?1 + T?1 ? V?1 ) + ?t + ? + ?3 — функция спроса
на труд.
Выполняются следующие макроэкономические соотношения:

Y + T = C + I + G, Y = W + V + P, K = K?1 + I,
339
10.5. Упражнения и задачи

где C — потребительские расходы, I — инвестиционные расходы, G — госу-
дарственные расходы, P — прибыль, W — спрос на труд негосударственного
сектора, V — спрос на труд государственного сектора, K — капитал, T — на-
логи, t — время, Y — чистый доход от налогов.
На основе данных из таблицы 10.3 оценить параметры модели Клейна простым
методом наименьших квадратов и двухшаговым методом наименьших квадратов.
Показать величину смещения оценок.


Задачи

1. Эконометрическая модель описана следующими уравнениями:
?
?
? x =? +? z +? x +? ,
1 10 11 1 12 2 1
?
?
x2 = ?20 + ?21 x1 + ?2 ,

где x1 и x2 — эндогенные переменные, z1 — экзогенная переменная,
?1 и ?2 — случайные ошибки. Определите направление смещения оценки
для ?21 , если для оценивания второго уравнения используется метод наи-
меньших квадратов.

2. Дана следующая макроэкономическая модель:
y = c + i + g — макроэкономическое тождество;
c = ?10 + ?11 y — функция потребления,
i = ?20 + ?21 y ? ?22 r — функция инвестиций,
(m/p) = ?31 y ? ?32 r — уравнение денежного рынка,
где эндогенными переменными являются доход y, потребление c, инвестиции
i и процентная ставка r. Переменные g (государственные расходы) и (m/p)
(реальная денежная масса) — экзогенные. Проверьте, является ли данная
система идентифицируемой, и перепишите модель в приведенной форме.

3. Дана следующая модель краткосрочного равновесия для малой открытой эко-
номики (модель Манделла—Флеминга):
y = c + i + nx — макроэкономическое тождество,
c = ?11 + ?11 y + ?1 — функция потребления,
i = ?21 ? ?21 r + ?21 y + ?2 — функция инвестиций,
nx = ?31 ? ?31 y ? ?32 ec + ?3 — функция чистого экспорта,
(m/p) = ?41 y ? ?41 r + ?4 — уравнение денежного рынка,
340 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений




Таблица 10.3. (Источник: G.S. Maddala(1977), Econometrics, p. 237)

t C P W I K?1 V G T

1920 39.8 12.7 28.8 2.7 180.1 2.2 2.4 3.4

1921 41.9 12.4 25.5 -0.2 182.8 2.7 3.9 7.7

1922 45 16.9 29.3 1.9 182.6 2.9 3.2 3.9

1923 49.2 18.4 34.1 5.2 184.5 2.9 2.8 4.7

1924 50.6 19.4 33.9 3 189.7 3.1 3.5 3.8

1925 52.6 20.1 35.4 5.1 192.7 3.2 3.3 5.5

1926 55.1 19.6 37.4 5.6 197.8 3.3 3.3 7

1927 56.2 19.8 37.9 4.2 203.4 3.6 4 6.7

1928 57.3 21.1 39.2 3 207.6 3.7 4.2 4.2

1929 57.8 21.7 41.3 5.1 210.6 4 4.1 4

1930 55 15.6 37.9 1 215.7 4.2 5.2 7.7

1931 50.9 11.4 34.5 –3.4 216.7 4.8 5.9 7.5

1932 45.6 7 29 –6.2 213.3 5.3 4.9 8.3

1933 46.5 11.2 28.5 –5.1 207.1 5.6 3.7 5.4

1934 48.7 12.3 30.6 –3 202 6 4 6.8

1935 51.3 14 33.2 –1.3 199 6.1 4.4 7.2

1936 57.7 17.6 36.8 2.1 197.7 7.4 2.9 8.3

1937 58.7 17.3 41 2 199.8 6.7 4.3 6.7

1938 57.5 15.3 38.2 –1.9 201.8 7.7 5.3 7.4

1939 61.6 19 41.6 1.3 199.9 7.8 6.6 8.9

1940 65 21.1 45 3.3 201.2 8 7.4 9.6

1941 69.7 23.5 53.3 4.9 204.5 8.5 14 12
341
10.5. Упражнения и задачи

где эндогенными переменными являются доход y, потребление c, инвести-
ции i, чистый экспорт nx и валютный курс ec. Переменные r (процентная
ставка, значение которой формируется на общемировом уровне) и (m/p)
(реальная денежная масса) — экзогенные; ?1 , . . . , ?4 — случайные ошиб-
ки. Запишите общие условия для определения структурных параметров каж-
дого уравнения модели. Какие уравнения модели точно идентифицируемы?
Перепишите модель Манделла—Флеминга в приведенной форме.

4. Приведите пример системы одновременных уравнений, к которой можно при-
менить косвенный МНК (с объяснением обозначений).

5. Приведите пример сверхидентифицированной системы одновременных урав-
нений (с объяснением обозначений).

6. Рассмотрите модель:
x1t = ?12 x2t + ?11 z1t + ?12 z2t + ?13 z3t + ?14 z4t + ?1t ,
x2t = ?21 x1t + ?21 z1t + ?22 z2t + ?23 z3t + ?24 z4t + ?2t ,
где вектор z — экзогенные переменные, а вектор ? — случайные после-
довательно некоррелированные ошибки с нулевыми средними. Используя
исключающие ограничения (т.е. обращая в нуль некоторые коэффициенты),
определите три альтернативные структуры, для которых простейшими состо-
ятельными процедурами оценивания являются соответственно обыкновен-
ный метод наименьших квадратов, косвенный метод наименьших квадратов
и двухшаговый метод наименьших квадратов.

7. Имеется следующая макроэкономическая модель:
c = ?10 + ?11 y + ?1 ,
i = ?20 + ?21 y + ?22 y?1 + ?2 ,
y = c + i + g,
где c, i и y — объем потребления, инвестиции и доход, соответственно, а
y?1 — доход предыдущего периода, g — государственные расходы.

а) Определите типы структурных уравнений;
б) классифицируйте типы переменных;
в) представьте структурные уравнения в матричной форме;
г) запишите модель в приведенной форме;
д) проверьте идентифицируемость и метод оценки параметров каждого
уравнения в структурной форме модели;
342 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

8. Пусть дана простая Кейнсианская модель:
c = ?y + ?,
y = c + i,
где c, i и y — объем потребления, инвестиции и доход, соответственно.
Пусть каждый вектор имеет размерность N ? 1, E(?) = 0 и E(?? ) = ? 2 IN .

а) Запишите модель в приведенной форме;
б) найдите оценку для параметра дохода для приведенной формы;
в) получите косвенную МНК-оценку для ? из результатов (б);
г) найдите оценку для параметра потребления для приведенной формы;
д) получите косвенную МНК-оценку для ? из результатов (г);
е) покажите, что результаты (в) и (д) совпадают;
ж) определите направление смещения МНК-оценки для ?.

9. Известны МНК-оценки параметров регрессии (угловые коэффициенты) аг-
регированного объема продаж продовольственных товаров и цены на них
от индекса погодных условий:

а) 0.3 и ?0.6; б) 0.3 и 0.6.

Определить коэффициенты эластичности спроса и предложения от цены.

10. Пусть система одновременных уравнений имеет вид:
x1 = ?10 + ?12 x2 + ?11 z1 + ?1 ,
x2 = ?20 + ?21 x1 + ?22 z2 + ?2 .
Получены следующие оценки приведенной формы этой системы:
x1 = 1 + 2z1 + 3z2 ,
x2 = ?2 + 1z1 + 4z2 .
Найдите оценки параметров исходной системы.

11. Рассматривается следующая модель краткосрочного равновесия типа IS-LM:
yt = ct + it + gt + nxt ,
ct = ?11 + ?11 yt + ?1t ,
it = ?21 + ?21 rt + ?2t ,
nxt = ?31 + ?31 yt + ?32 rt + ?3t ,
mt = ?40 + ?41 yt + ?41 rt + ?4t ,
343
10.5. Упражнения и задачи

где эндогенными переменными являются валовой доход (выпуск) y, объем
личных потребительских расходов c, объем инвестиций i, чистый экспорт
nx и ставка процента r. Экзогенные переменные: g — совокупные госу-
дарственные расходы и m — предложение денег. Опишите процедуру оце-
нивания модели с помощью двухшагового метода наименьших квадратов.

12. Дано одно уравнение x1t = ?12 x2t + ?13 x3t + ?11 z1t + ?1t модели, состоящей
из трех уравнений. В нее входят еще три экзогенные переменные z1 , z2 и z3 .
Наблюдения заданы в виде следующих матриц:
? ? ? ?
?5 ?
? 20 ?2 5?
15 2 4
? ? ? ?
? ? ? ?
Z Z = ? 15 ?45 ? , ZX=? 0 ?5 ? ,
60 4 12
? ? ? ?
? ? ? ?
?5 ?45 ?70 0 ?2 ?12 10

? ?
?1 0 0 0?
? ?
? ?
?0 2 0 0?
? ?
XX=? ?.
? ?
?0 0 4 0?
? ?
? ?
0005

Получите оценки двухшаговым методом наименьших квадратов для парамет-
ров этого уравнения и оцените их стандартные ошибки.


Рекомендуемая литература
1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: «Юнити», 2001. (Гл. 4).

2. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. — М.:
«Мир», 1980. (Гл. 10).

3. Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: «Статистика», 1980.
(Гл. 12).

4. Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: «Инфра-М», 1997. (Гл. 11).

5. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Вып. 2. — М.: «Стати-
стика», 1977. (Гл. 13).
344 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

6. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный
курс. — М.: «Дело», 2000. (Гл. 10).

7. (*) Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. — М., 1975.
(Гл. 17–20).

8. Тинтер Г. Введение в эконометрию. — М.: «Статистика», 1965. (Гл. 6).

9. Baltagi, Badi H. Econometrics, 2nd edition, Springer, 1999. (Ch. 11).

10. Davidson, Russel, Mackinnon, James. Estimation and Inference in Econo-
metrics, No. 9, Oxford University Press, 1993. (Ch. 7, 18).

11. Greene W.H. Econometric Analysis, Prentice-Hall, 2000. (Ch. 15, 16).

12. Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction
to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993.
(Ch. 14, 15).

13. Maddala G.S. Introduction to Econometrics, 2nd ed., Prentice Hall, 1992.
(Ch. 9).

14. Ruud Paul A. An Introduction to Classical Econometric Theory, Oxford University
Press, 2000. (Ch. 26).

15. William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge Learning and Practicing
econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 17).
Часть III

Эконометрия — I:
Анализ временных рядов




345
Это пустая страница
Глава 11

Основные понятия
в анализе временных рядов


11.1. Введение

В каждой сфере экономики встречаются явления, которые интересно и важ-
но изучать в их развитии, т.к. они изменяются во времени. С течением времени
изменяются цены, экономические условия, режим протекания того или иного про-
изводственного процесса. Совокупность измерений подобного рода показателей
в течение некоторого периода времени и представляет временной ряд.
Цели анализа временных рядов могут быть различными. Можно, например,
стремиться предсказать будущее на основании знаний прошлого, пытаться выяс-
нить механизм, лежащий в основе процесса, и управлять им. Необходимо уметь
освобождать временной ряд от компонент, которые затемняют его динамику. Часто
требуется сжато представлять характерные особенности ряда.
Временным рядом называют последовательность наблюдений, обычно упо-
рядоченную во времени, хотя возможно упорядочение и по какому-либо другому
параметру. Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других
видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором про-
изводятся наблюдения.
Различают два вида временных рядов. Измерение некоторых величин (темпера-
туры, напряжения и т.д.) производится непрерывно, по крайней мере теоретически.
При этом наблюдения можно фиксировать в виде графика. Но даже в том случае,
348 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов

когда изучаемые величины регистрируются непрерывно, практически при их об-
работке используются только те значения, которые соответствуют дискретному
множеству моментов времени. Следовательно, если время измеряется непрерыв-
но, временной ряд называется непрерывным, если же время фиксируется дис-
кретно, т.е. через фиксированный интервал времени, то временной ряд дискретен.
В дальнейшем мы будем иметь дело только с дискретными временными рядами.
Дискретные временные ряды получаются двумя способами:
– выборкой из непрерывных временных рядов через регулярные промежутки
времени (например, численность населения, величина собственного капита-
ла фирмы, объем денежной массы, курс акции), — такие временные ряды
называются моментными;
– накоплением переменной в течение некоторого периода времени (например,
объем производства какого-либо вида продукции, количество осадков, объем
импорта), — в этом случае временные ряды называются интервальными.
В эконометрии принято моделировать временной ряд как случайный про-
цесс, называемый также стохастическим процессом, под которым понимается
статистическое явление, развивающееся во времени согласно законам теории ве-
роятностей. Случайный процесс — это случайная последовательность. Обычно
предполагают, что эта последовательность идет от минус до плюс бесконечно-
сти: {Xt }t=??, ..., +? . Временной ряд — это лишь одна частная реализация тако-
го теоретического стохастического процесса: x = {xt }t=1, ..., T = (x1 , . . . , xT ) ,
где T — длина временного ряда. Временной ряд x = (x1 , . . . , xT ) также часто
неформально называют выборкой1 . Обычно стоит задача по данному ряду сделать
какие-то заключения о свойствах лежащего в его основе случайного процесса,
оценить параметры, сделать прогнозы и т.п. В литературе по временным рядам
существует некоторая неоднозначность, и иногда временным рядом называют сам
случайный процесс {Xt }t=??, ..., +? , либо его отрезок {xt }t=1, ..., T , а иногда ста-
тистическую модель, которая порождает данный случайный процесс. В дальнейшем
мы не будем в явном виде посредством особых обозначений различать случайный
процесс и его реализацию. Из контекста каждый раз будет ясно, о чем идет речь.
Возможные значения временного ряда в данный момент времени t описы-
ваются с помощью случайной величины xt и связанного с ней распределения
вероятностей p(xt ). Тогда наблюдаемое значение xt временного ряда в момент
t рассматривается как одно из множества значений, которые могла бы принять
случайная величина xt в этот момент времени. Следует отметить, однако, что,
как правило, наблюдения временного ряда взаимосвязаны, и для корректного его
описания следует рассматривать совместную вероятность p(x1 , . . . , xT ).
1
Хотя, по формальному определению, выборка должна состоять из независимых, одинаково рас-
пределенных случайных величин.
349
11.1. Введение

Для удобства можно провести классификацию случайных процессов и соот-
ветствующих им временных рядов на детерминированные и случайные процессы
(временные ряды). Детерминированным называют процесс, который принимает
заданное значение с вероятностью единица. Например, его значения могут точно
определяться какой-либо математической функцией от момента времени t, как
в следующем примере: xt = R cos(2?t ? ?). Когда же мы будем говорить о случай-
ном процессе и случайном временном ряде, то, как правило, будем подразумевать,
что он не является детерминированным.
Стохастические процессы подразделяются на стационарные и нестационар-
ные. Стохастический процесс является стационарным, если он находится в опре-
деленном смысле в статистическом равновесии, т.е. его свойства с вероятностной
точки зрения не зависят от времени. Процесс нестационарен, если эти условия
нарушаются.
Важное теоретическое значение имеют гауссовские процессы . Это такие про-
цессы, в которых любой набор наблюдений имеет совместное нормальное распре-
деление. Как правило, термин «временной ряд» сам по себе подразумевает, что
этот ряд является одномерным (скалярным). Часто бывает важно рассмотреть
совместную динамику набора временных рядов xt = (x1t , . . . , xkt ), t = 1, . . . , T .
Такой набор называют многомерным временным рядом, или векторным вре-
менным рядом. Соответственно, говорят также о многомерных, или векторных,
случайных процессах.
При анализе экономических временных рядов традиционно различают разные
виды эволюции (динамики). Эти виды динамики могут, вообще говоря, комбини-
роваться. Тем самым задается разложение временного ряда на составляющие,
которые с экономической точки зрения несут разную содержательную нагрузку.
Перечислим наиболее важные:


– тенденция — соответствует медленному изменению, происходящему в неко-
тором направлении, которое сохраняется в течение значительного проме-
жутка времени. Тенденцию называют также трендом или долговременным
движением.

– циклические колебания — это более быстрая, чем тенденция, квазиперио-
дическая динамика, в которой есть фаза возрастания и фаза убывания. Наи-
более часто цикл связан с флуктуациями экономической активности.

– сезонные колебания — соответствуют изменениям, которые происходят ре-
гулярно в течение года, недели или суток. Они связаны с сезонами и ритмами
человеческой активности.
350 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов

– календарные эффекты — это отклонения, связанные с определенными
предсказуемыми календарными событиями — такими, как праздничные дни,
количество рабочих дней за месяц, високосность года и т.п.
– случайные флуктуации — беспорядочные движения относительно большой
частоты. Они порождаются влиянием разнородных событий на изучаемую
величину (несистематический или случайный эффект). Часто такую состав-
ляющую называют шумом (этот термин пришел из технических приложений).
– выбросы — это аномальные движения временного ряда, связанные с редко
происходящими событиями, которые резко, но лишь очень кратковременно
отклоняют ряд от общего закона, по которому он движется.
– структурные сдвиги — это аномальные движения временного ряда, связан-
ные с редко происходящими событиями, имеющие скачкообразный характер
и меняющие тенденцию.

Некоторые экономические ряды можно считать представляющими те или иные
виды таких движений почти в чистом виде. Но бо? льшая часть их имеет очень слож-
ный вид. В них могут проявляться, например, как общая тенденция возрастания,
так и сезонные изменения, на которые могут накладываться случайные флуктуа-
ции. Часто для анализа временных рядов оказывается полезным изолированное
рассмотрение отдельных компонент.
Для того чтобы можно было разложить конкретный ряд на эти состав-
ляющие, требуется сделать какие-то допущения о том, какими свойствами
они должны обладать. Желательно построить сначала формальную статисти-
ческую модель, которая бы включала в себя в каком-то виде эти состав-
ляющие, затем оценить ее, а после этого на основании полученных оце-
нок вычленить составляющие. Однако построение формальной модели явля-
ется сложной задачей. В частности, из содержательного описания не все-
гда ясно, как моделировать те или иные компоненты. Например, тренд мо-
жет быть детерминированным или стохастическим. Аналогично, сезонные ко-
лебания можно комбинировать с помощью детерминированных переменных
или с помощью стохастического процесса определенного вида. Компонен-
ты временного ряда могут входить в него аддитивно или мультипликатив-
но. Более того, далеко не все временные ряды имеют достаточно про-
стую структуру, чтобы можно было разложить их на указанные составляю-
щие.
Существует два основных подхода к разложению временных рядов на компонен-
ты. Первый подход основан на использовании множественных регрессий с факто-
рами, являющимися функциями времени, второй основан на применении линейных
фильтров.
351
11.2. Стационарность, автоковариации и автокорреляции

11.2. Стационарность, автоковариации
и автокорреляции

Статистический процесс называется строго стационарным, если взаимное рас-
пределение вероятностей m наблюдений инвариантно по отношению к общему
сдвигу временного аргумента, т.е. совместная плотность распределения случайных
величин xt1 , xt2 , . . . , xtm такая же, как для величин xt1 +k , xt2 +k , . . . , xtm +k при
любых целых значениях сдвига k. Когда m = 1, из предположения стационарности
следует, что безусловное распределение величины xt , p(xt ), одинаково для всех t
и может быть записано как p(x).
Требование стационарности, определенное этими условиями, является доста-
точно жестким. На практике при изучении случайных процессов ограничиваются
моментами первого и второго порядка, и тогда говорят о слабой стационарно-
сти или стационарности второго порядка2 . В этом случае процесс имеет по-
стоянные для всех t моменты первого и второго порядков: среднее значение
µ = E(xt ), определяющее уровень, относительно которого он флуктуирует, дис-
персию ? 2 = E(xt ? µ)2 и автоковариацию ?k = E(xt ? µ)(xt+k ? µ). Ко-
вариация между xt и xt+k зависит только от величины сдвига k и не зависит
от t. Автокорреляция k-го порядка стационарного процесса с ненулевой диспер-
сией

E(xt ? µ)(xt+k ? µ)
?k =
E(xt ? µ)2 E(xt+k ? µ)2

сводится к простой формуле
?k
?k = .
?0

Следует иметь в виду, что два процесса, имеющие одинаковые моменты первого
и второго порядка, могут иметь разный характер распределения.
Автоковариационной функцией стационарного процесса называют последо-
вательность автоковариаций {?k }k=??, ..., +? . Так как автоковариационная функ-
ция симметрична относительно нуля: ?k = ??k , то достаточно рассматривать
k = 0, 1, 2, 3, . . .
Aвтокорреляционной функцией (АКФ) называют последовательность авто-
корреляций {?k }k=??, ..., +? . Автокорреляционная функция также симметрична,
причем ?0 = 1, поэтому рассматривают k = 0, 1, 2, 3, . . .
2
В русскоязычной литературе строгую стационарность также называют стационарностью в узком
смысле, а слабую стационарность — стационарностью в широком смысле.
352 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов

Автоковариационная матрица ?T для стационарного ряда x1 , . . . , xT имеет
вид:
? ? ? ?
· · · ?T ?1 ? · · · ?T ?1 ?
? ?
?0 ?1 1 ?1
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?T ?2 ? ? ?T ?2 ?
··· ···
?1 ?0 ?1 1
? ? ? ?
?T = ? ? = ?0 ? ?,
? .? ? .?
. . . .
.. ..
? .? ? .?
. . . .
. .
. . .? . . .?
? ?
? ? ? ?
?T ?1 ?T ?2 · · · ?T ?1 ?T ?2 · · ·
?0 1

?T = ?0 PT .

Особенность автоковариационной матрицы ?T и соответствующей автокор-
реляционной матрицы PT в случае стационарности состоит в том, что они имеют
одни и те же элементы на любой диагонали. Матрицы такого вида принято называть
тёплицевыми матрицами.
Как известно, любая ковариационная матрица является симметричной и по-
ложительно полуопределенной. Кроме того, если компоненты рассматриваемого
случайного вектора x линейно независимы в том смысле, что не существует нену-
левой вектор коэффициентов ?, такой что ? x — детерминированная величина,
то ковариационная матрица является положительно определенной. Напомним, что,
по определению (см. Приложение A.1.1), симметричная T ? T матрица A назы-
вается положительно полуопределенной, если для каждого вектора ? выполняет-
ся неравенство ? A? 0; матрица A называется положительно определенной,
если для каждого ненулевого вектора ? выполняется неравенство ? A? > 0.
Автоковариационная и автокорреляционная матрица являются ковариационными
матрицами, поэтому они обладают указанными свойствами. С другой стороны, если
матрица обладает указанными свойствами, то она может быть автоковариационной
матрицей некоторого временного ряда.
Из этих рассуждений следует, что условие слабой стационарности процесса,
компоненты которого линейно независимы в указанном выше смысле, налагает
ряд ограничений на вид автокорреляционной и автоковариационной функций. Они
вытекают из того, что главные миноры положительно определенной матрицы, в том
числе ее определитель, должны быть положительны.
В частности, положительная определенность главного минора второго порядка
дает

1 ?1
= 1 ? ?2 > 0, ? 1 < ?1 < 1,
или
1
?1 1
353
11.3. Основные описательные статистики для временных рядов

А для третьего порядка:

2?2 ? 1 < ?2 < 1.
1


Среди стационарных процессов в теории временных рядов особую роль игра-
ют процессы типа белый шум. Это неавтокоррелированные слабо стационарные
процессы { ?t } с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией:

µ = E(?t ) = 0,
?
?2
?? (11.1)
,k = 0
?k =
?
?
0 ,k = 0

Следовательно, для белого шума ?T = ? 2 IT , где IT — единичная матрица поряд-
ка T .
Название «белый шум» связано с тем, что спектральная плотность такого про-
цесса постоянна, то есть он содержит в одинаковом количестве все частоты, по-
добно тому, как белый цвет содержит в себе все остальные цвета. Если белый шум
имеет нормальное распределение, то его называют гауссовским белым шумом.
Аналогичные определения стационарности можно дать и для векторного стоха-
стического процесса {xt }. Слабо стационарный векторный процесс будет харак-
теризоваться уже не скалярными автоковариациями ?k и автокорреляциями ?k ,
а аналогичными по смыслу матрицами. Вне главной диагонали таких матриц стоят,
соответственно, кросс-ковариации и кросс-корреляции.


11.3. Основные описательные статистики
для временных рядов
Предположим, у нас имеются некоторые данные в виде временного ряда
{xt }t=1, ..., T . Среднее и дисперсия временного ряда рассчитываются по обычным
формулам:
T T
1 2
(xt ? x)2 .
xt и s =
x=
T
t=1 t=1

Выборочная автоковариация k-го порядка вычисляется как
T ?k
1
(xt ? x)(xt+k ? x).
ck =
T t=1
354 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов

Если временной ряд слабо стационарен, то эти описательные статистики являются
оценками соответствующих теоретических величин и при некоторых предположе-
ниях обладают свойством состоятельности.
Заметим, что в теории временных рядов при расчете дисперсии и ковариаций
принято сумму квадратов и, соответственно, произведения делить на T . Вместо
этого при расчете дисперсии, например, можно было бы делить на T ?1, что дало бы
несмещенную оценку, а при расчете ковариации k-го порядка — на T ?k по числу
слагаемых. Оправданием данной формулы может служить простота расчетов и то,
что в таком виде это выражение гарантирует положительную полуопределенность
матрицы выборочных автоковариаций CT :
? ?
· · · cT ?1 ?
? c0 c1
? ?
? ?
? cT ?2 ?
···
c1 c0
? ?
CT = ? ?.
? .?
. . ..
? .?
. . .
. . .?
?
? ?
cT ?1 cT ?2 · · · c0
Это отражает важное свойство соответствующей матрицы ?T истинных автоко-
вариаций.
Любую положительно определенную матрицу B можно представить в виде
B = A A, где A — некоторая матрица (см., например, Приложения A.1.2 и A.1.2).
1
В нашем случае A = v X, поскольку матрица CT выражается в виде произве-
T
дения:
1
CT = X X,
T
где X — T -диагональная матрица, составленная из центрированных значений
ряда xt = xt ? x:
? ?
···
x1 0 0?
?
? ?
? ?
? 0?
···
x2 x1
? ?
?
.?
? .?
. .. ..
.
? .?
. .
.
? ?
? ?
X=? ?
..
x1 ? .
? .
xT xT ?1
? ?
? ?
?
x2 ?
···
? ?
0 xT
? ?
? .?
. . ..
? .?
. . .
. . .?
?
? ?
· · · xT
0 0
355
11.3. Основные описательные статистики для временных рядов

Статистической оценкой автокорреляции k-го порядка для стационарных про-
цессов является выборочный коэффициент автокорреляции: rk = ck c0 . При ана-
лизе изменения величин ck и rk в зависимости от значения k обычно пользуются
выборочными автоковариационной и автокорреляционной функциями, определя-
емыми как последовательности {ck } и {rk }, соответственно. Выборочная авто-
корреляционная функция играет особую роль в анализе стационарных временных
рядов, поскольку может быть использована в качестве инструмента для распозна-
вания типа процесса. При этом обычно анализируют график автокорреляционной
функции, называемый коррелограммой.
Заметим, что по ряду длиной T можно вычислить автокорреляции вплоть
до rT ?1 . Однако «дальние» автокорреляции вычисляются неточно. С ростом по-
рядка k количество наблюдений, по которым вычисляется коэффициент автокор-
реляции rk , уменьшается. Для расчета rT ?1 используется два наблюдения. Таким
образом, с ростом k выборочные автокорреляции rk становятся все менее надеж-
ными оценками теоретических автокорреляций ?k . Таким образом, при анализе
ряда следует принимать во внимание только самые «ближние» автокорреляции,
например, первые [T /5] автокорреляций.
По аналогии с автоковариациями и автокорреляциями для анализа совместной
динамики нескольких рядов можно использовать выборочные кросс-ковариации
и кросс-корреляции.
Выборочная кросс-ковариация двух временных рядов, {xt } и {yt }, рассчиты-
вается по формуле:

T ?k
1
(xt+k ? x)(yt ? y).
?k =
T t=1


Она характеризует взаимосвязи двух рядов во времени с различной величиной
сдвига k. Следует помнить, что, в отличие от автоковариации, кросс-ковариация
не является симметричной по k, поэтому ее следует рассматривать и при положи-
тельных, и при отрицательных k.
Выборочная кросс-корреляция определяется как:

T ?k
? x)(yt ? y)
t=1 (xt+k
.
x)2 y)2
? ?
T T
t=1 (xt t=1 (yt
356 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов

11.4. Использование линейной регрессии
с детерминированными факторами
для моделирования временного ряда
Сравнительно простой моделью временного ряда может служить модель вида:

(11.2)
xt = µt + ?t , t = 1, . . . , T,

где µt — полностью детерминированная последовательность или систематическая
составляющая, ?t — последовательность случайных влеичин, являющаяся белым
шумом. Если µt зависит от вектора неизвестных параметров ?: µt = µt (?), то мо-
дель (11.2) является моделью регрессии, и ее параметры можно оценить с помощью
МНК.
Детерминированная компонента µt , как правило, сама моделируется как состо-
ящая из нескольких компонент. Например, можно рассмотреть аддитивную модель,
в которой временной ряд содержит три компоненты: тренд ?t , сезонные движе-
ния vt и случайные флуктуации ?t :

xt = ?t + vt + ?t .

Зачастую изучаемый экономический ряд ведет себя так, что аддитивной схеме
следует предпочесть мультипликативную схему:

xt = ?t vt exp(?t ).

Однако, если это выражение прологарифмировать, то получится аддитивный ва-
риант:

ln(xt ) = ln(?t ) + ln(vt ) + ?t = ?t? + vt + ?t ,
?


что позволяет оставаться в рамках линейной регрессии и значительно упрощает
моделирование.


11.4.1. Тренды

Существует три основных типа трендов.
Первым и самим очевидным типом тренда представляется тренд среднего, ко-
гда временной ряд выглядит как колебания около медленно возрастающей или
убывающей величины.
Второй тип трендов — это тренд дисперсии. В этом случае во времени меняется
амплитуда колебаний переменной. Иными словами, процесс гетероскедастичен.
357
11.4 Использование линейной регрессии

Часто экономические процессы с возрастающим средним имеют и возрастающую
дисперсию.
Третий и более тонкий тип тренда, визуально не всегда наблюдаемый, — изме-
нение величины корреляции между текущим и предшествующим значениями ряда,
т.е. тренд автоковариации и автокорреляции.
Проводя разложение ряда на компоненты, мы, как правило, подразумеваем под
трендом изменение среднего уровня переменной, то есть тренд среднего.
В рамках анализа тренда среднего выделяют следующие основные способы
аппроксимации временных рядов и соответствующие основные виды трендов сред-

<<

стр. 13
(всего 28)

СОДЕРЖАНИЕ

>>