<<

стр. 15
(всего 28)

СОДЕРЖАНИЕ

>>


E ? 2 = |?t+1 | / |?t | . (11.22)
384 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов

Действительно, матрицу ?t+1 можно представить в следующей блочной форме:
? ?
?t ?
? ?t
?t+1 = ? ?.
?t ?0

По правилу вычисления определителя блочной матрицы имеем:

|?t+1 | = ?0 ? ? t ??1 ? t |?t | .
t

Если |?t+1 | = 0, т.е. если матрица ?t+1 вырождена, то средний квадрат ошибки
прогноза окажется равным нулю, т.е. оптимальный линейный прогноз будет без-
ошибочным. Процесс, для которого существует такой безошибочный линейный
прогноз, называют линейно детерминированным.
Укажем без доказательства следующее свойство автоковариационных матриц:
если матрица ?t является вырожденной, то матрица ?t+1 также будет вырожден-
ной.
Отсюда следует, что на основе конечного отрезка стационарного ряда
(x1 , . . . , xt ) можно сделать безошибочный линейный прогноз на один шаг впе-
ред в том и только в том случае, если автоковариационная матрица ?t+1 является
вырожденной ( |?t+1 | = 0).

Действительно, пусть существует безошибочный линейный прогноз. Возможны два
случая: |?t | = 0 и |?t | = 0. Если |?t | = 0, то средний квадрат ошибки прогноза
равен |?t+1 | / |?t |, откуда |?t+1 | = 0, если же |?t | = 0, то из этого также следует
|?t+1 | = 0.
Наоборот, если |?t+1 | = 0, то найдется s ( s t) такое, что |?s+1 | = 0, но |?s | = 0.
Тогда можно сделать безошибочный прогноз для xt+1 на основе (x1+t?s , . . . , xt ),
а, значит, и на основе (x1 , . . . , xt ).

При использовании приведенных формул на практике возникает трудность,
связанная с тем, что обычно теоретические автоковариации ?k неизвестны. Тре-
буется каким-то образом получить оценки автоковариаций. Обычные выборочные
автоковариации ck здесь не подойдут, поскольку при больших k (сопоставимых
с длиной ряда) они являются очень неточными оценками ?k . Можно предложить
следующий подход11 :
1) Взять за основу некоторую параметрическую модель временного ряда. Пусть
? — соответствующий вектор параметров. Рассчитать теоретические автоковари-
ации для данной модели в зависимости от параметров: ?k = ?k (?).
11
Этот подход, в частности, годится для стационарных процессов ARMA. В пункте 14.8 дается
альтернативный способ прогнозирования в рамках модели ARMA.
11.10 Оптимальное в среднеквадратическом смысле прогнозирование 385

2) Оценить параметры на основе имеющихся данных. Пусть b — соответству-
ющие оценки.
3) Получить оценки автоковариаций, подставив b в формулы теоретических
автоковариаций: ?k ? ?k (b).
4) Использовать для прогнозирования формулу (11.21), заменяя теоретические
автоковариации полученными оценками автоковариаций.


11.10.4. Прогнозирование по полной предыстории.
Разложение Вольда

Можно распространить представленную выше теорию на прогнозирование ря-
да в случае, когда в момент t известна полная предыстория ?t = (xt , xt?1 , . . . ).
Можно определить соответствующий прогноз как предел прогнозов, полученных
на основе конечных рядов (xt , xt?1 , . . . , xt?j ), j = t, t ? 1, . . . , ??. Без доказа-
тельства отметим, что этот прогноз будет оптимальным в среднеквадратическом
смысле. Если рассматривается процесс, для которого |?t | = 0 ?t, то по аналогии с
(11.22) средний квадрат ошибки такого прогноза равен

|?t+1 |
E ? 2 = lim .
t>? |?t |



Заметим, что всегда выполнено 0 < |?t+1 | ? |?t ?1| , т.е. средний квадрат ошиб-
|?t |
|?t |
ки не увеличивается с увеличением длины ряда, на основе которого делается про-
гноз, и ограничен снизу нулем, поэтому указанный предел существует всегда.
Существуют процессы, для которых |?t | = 0 ?t, т.е. для них нельзя сделать
безошибочный прогноз, имея только конечный отрезок ряда, однако

|?t+1 |
lim = 0.
t>? |?t |


Такой процесс по аналогии можно назвать линейно детерминированным. Его фак-
тически можно безошибочно предсказать, если имеется полная предыстория про-
цесса ?t = (xt , xt?1 , . . . ).
Если же данный предел положителен, то линейный прогноз связан с ошибкой:
E ? 2 > 0. Такой процесс можно назвать регулярным.
Выполнены следующие свойства стационарных рядов.
A. Пусть xt — слабо стационарный временной ряд, и пусть ?t — ошибки од-
ношагового оптимального линейного прогноза по полной предыстории процесса
(xt?1 , xt?2 , . . .). Тогда ошибки ?t являются белым шумом, т.е. имеют нулевое ма-
386 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов

тематическое ожидание, не автокоррелированы и имеют одинаковую дисперсию:
E (?t ) = 0, ?t,
E (?s ?t ) = 0, при s = t,
E ? 2 = ?? , ?t.
2


B. Пусть, кроме того, xt является регулярным, т.е. E ? 2 = ?? > 0. Тогда он
2

представим в следующем виде:
?
(11.23)
xt = ?i ?t?i + vt ,
i=0
? 2
i=0 ?i < ?; процесс vt здесь является слабо стационарным,
где ?0 = 1,
линейно детерминированным и не коррелирован с ошибками ?t : E (?s vt ) = 0 при
?s, t. Такое представление единственно.
Утверждения A и B составляют теорему Вольда. Эта теорема является одним
из самых фундаментальных результатов в теории временных рядов. Утверждение
B говорит о том, что любой стационарный процесс можно представить в виде так
называемого линейного фильтра от белого шума12 плюс линейно детерминиро-
ванная компонента. Это так называемое разложение Вольда.
Доказательство теоремы Вольда достаточно громоздко. Мы не делаем попытки
его излагать и даже обсуждать; отсылаем заинтересованных читателей к гл. 7 книги
Т. Андерсона [2].
Заметим, что коэффициенты разложения ?i удовлетворяют соотношению
E (?t?i xt ) E (?t?i xt )
?i = = .
2
2 ??
E ?t?i

Для того чтобы это показать, достаточно умножить (11.23) на ?t?i и взять мате-
матическое ожидание от обеих частей.
Разложение Вольда имеет в своей основе прогнозирование на один шаг впе-
ред. С другой стороны, если мы знаем разложение Вольда для процесса, то с по-
мощью него можно делать прогнозы. Предположим, что в момент t делается
прогноз на ? шагов вперед, т.е. прогноз величины xt+? на основе предыстории
?t = (xt , xt?1 , . . . ). Сдвинем формулу разложения Вольда (11.23) на ? периодов
вперед:
?
xt+? = ?i ?t+? ?i + ?t+? .
i=0
12
Можно назвать первое слагаемое в 11.23 также процессом скользящего среднего бесконечного
порядка MA(?). Процессы скользящего среднего обсуждаются в пункте 14.4.
11.10 Оптимальное в среднеквадратическом смысле прогнозирование 387

Второе слагаемое, vt+? , можно предсказать без ошибки, зная ?t . Из первой
суммы первые ? слагаемых не предсказуемы на основе ?t . При прогнозирова-
нии их можно заменить ожидаемыми значениями — нулями. Из этих рассуждений
следует следующая формула прогноза:
?
xt (? ) = ?i ?t+? ?i + ?t+? .
i=?

Без доказательства отметим, что xt (? ) является оптимальным линейным прогно-
зом. Ошибка прогноза при этом будет равна
? ?1
?i ?t+? ?i .
i=0

2
Поскольку ?t — белый шум с дисперсией ?? , то средний квадрат ошибки про-
гноза равен
? ?1
2 2
?? ?i .
i=0

Напоследок обсудим природу компоненты vt . Простейший пример линейно
детерминированного ряда — это, говоря неформально, «случайная константа»:

vt = ?,

где ? — наперед заданная случайная величина, E? = 0.
Типичный случай линейно детерминированного ряда — это, говоря неформаль-
но, «случайная синусоида»:

vt = ? cos(?t + ?),

где ? — фиксированная частота, ? и ? — независимые случайные величины,
причем ? имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2?].
Это два примера случайных слабо стационарных рядов, которые можно без-
ошибочно предсказывать на основе предыстории. Первый процесс можно модели-
ровать с помощью константы, а второй — с помощью линейной комбинации синуса
и косинуса:

? cos(?t) + ? sin(?t).

С точки зрения практики неформальный вывод из теоремы Вольда состоит
в том, что любые стационарные временные ряды можно моделировать при помощи
моделей линейного фильтра с добавлением констант и гармонических трендов.
388 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов

11.11. Упражнения и задачи
Упражнение 1

1.1. Дан временной ряд x = (5, 1, 1, ?3, 2, 9, 6, 2, 5, 2) .
Вычислите среднее, дисперсию (смещенную), автоковариационную и авто-
корреляционную матрицы.
1.2. Для временного ряда y = (6, 6, 1, 6, 0, 6, 6, 4, 3, 2) повторите упраж-
нение 1.1.
1.3. Вычислите кросс-ковариации и кросс-корреляции для рядов x и y из преды-
дущих упражнений для сдвигов ?9, . . . , 0, . . . , 9.
1.4. Для временного ряда x = (7, ?9, 10, ?2, 21, 13, 40, 36, 67, 67) оцените
параметры полиномиального тренда второго порядка. Постройте точечный
и интервальный прогнозы по тренду на 2 шага вперед.
1.5. Сгенерируйте 20 рядов, задаваемых полиномиальным трендом третьего по-
рядка ?t = 5 + 4t ? 0.07t2 + 0.0005t3 длиной 100 наблюдений, с добавлением
белого шума с нормальным распределением и дисперсией 20 .
Допустим, истинные значения параметров тренда неизвестны.
а) Для 5 рядов из 20 оцените полиномиальный тренд первого, второго
и третьего порядков и выберите модель, которая наиболее точно ап-
проксимирует сгенерированные данные.
б) Для 20 рядов оцените полиномиальный тренд третьего порядка по пер-
вым 50 наблюдениям. Вычислите оценки параметров тренда и их ошиб-
ки. Сравните оценки с истинными значениями параметров.
в) Проведите те же вычисления, что и в пункте (б), для 20 рядов, используя
100 наблюдений. Результаты сравните.
г) Используя предшествующие расчеты, найдите точечные и интерваль-
ные прогнозы на три шага вперед с уровнем доверия 95%.
1.6. Найдите данные о динамике денежного агрегата M0 в России за 10 последо-
вательных лет и оцените параметры экспоненциального тренда.
1.7. Ряд x = (0.02, 0.05, 0.06, 0.13, 0.15, 0.2, 0.31, 0.46, 0.58, 0.69, 0.78, 0.81,
0.95, 0.97, 0.98) характеризует долю семей, имеющих телевизор. Оцените
параметры логиcтического тренда.
1.8. По ряду x из упражнения 3 рассчитайте ранговый коэффициент корреляции
Спирмена и сделайте вывод о наличии тенденции.
389
11.11 Упражнения и задачи


Таблица 11.1

Расходы на рекламу 10 100 50 200 20 70 100 50 300 80

Объем продаж 1011 1030 1193 1149 1398 1148 1141 1223 1151 1576


1.9. Дан ряд:
x = (10, 9, 12, 11, 14, 12, 17, 14, 19, 16, 18, 21, 20, 23, 22, 26, 23, 28, 25, 30) .

а) Оцените модель линейного тренда. Остатки, полученные после исклю-
чения тренда, проверьте на стационарность с использованием рангового
коэффициента корреляции Спирмена.
б) Рассчитайте для остатков статистику Бартлетта, разбив ряд на 4 интер-
вала по 5 наблюдений. Проверьте однородность выборки по дисперсии.
в) Рассчитайте для остатков статистику Голдфельда—Квандта, исключив
6 наблюдений из середины ряда. Проверьте однородность выборки по
дисперсии. Сравните с выводами, полученными на основе критерия
Бартлетта.

1.10. По данным таблицы 11.1 оцените модель распределенного лага зависимости
объема продаж от расходов на рекламу с лагом 2 .
Определите величину максимального лага в модели распределенного лага,
используя различные критерии ( t-статистики, F -статистики, информацион-
ные критерии).


Задачи

1. Перечислить статистики, использующиеся в расчете коэффициента автокор-
реляции, и записать их формулы.

2. Чем различается расчет коэффициента автокорреляции для стационарных
и нестационарных процессов? Записать формулы.

3. Вычислить значение коэффициента корреляции для двух рядов:
x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ) и y = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . . ).

4. Посчитать коэффициент автокорреляции первого порядка для ряда
x = (2, 4, 6, 8) .

5. Есть ли разница между автокорреляционной функцией и трендом автокорре-
ляции?
390 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов

6. Записать уравнения экспоненциального и полиномиального трендов и при-
вести формулы для оценивания их параметров.
7. Записать формулу для оценки темпа прироста экспоненциального тренда.
8. Привести формулу логистической кривой и указать особенности оценивания
ее параметров.
9. Оценить параметры линейного тренда для временного ряда x = (1, 2, 5, 6)
и записать формулу доверительного интервала для прогноза на 1 шаг вперед.
10. Дан временной ряд: x = (1, 0.5, 2, 5, 1.5). Проверить его на наличие тренда
среднего.
11. Пусть L — лаговый оператор. Представьте в виде степенного ряда следую-
щие выражения:
?1, 5 ?3
2 2.8
а) ; б) ; в) ; г) .
1 ? 0.8L 1 ? 0.9L 1 + 0.4L 1 + 0.5L

Рекомендуемая литература
1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: «Юнити», 2001.
2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: «Мир», 1976.
(Гл. 1, 3, 7).
3. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.
Вып. 1. — М.: «Мир», 1974. (Гл. 1).
4. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и вре-
менные ряды. — М.: «Наука», 1976. (Гл. 45–47).
Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. — М.: «Статисти-
ка», 1976. (Гл. 12).
5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный
курс. — М.: «Дело», 2000. (Гл. 12).
6. Enders Walter. Applied Econometric Time Series. — Iowa State University,
1995. (Ch. 1).
7. Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists, Cambridge University
Press, 1990 (Ch. 5).
8. Wooldridge Jeffrey M. Introductory Econometrics: A Modern Approach, 2nd ed.,
Thomson, 2003 (Ch. 10).
Глава 12

Сглаживание временного
ряда


12.1. Метод скользящих средних
Одним из альтернативных по отношению к функциональному описанию тренда
вариантов сглаживания временного ряда является метод скользящих или, как еще
говорят, подвижных средних.
Суть метода заключается в замене исходного временного ряда последователь-
ностью средних, вычисляемых на отрезке, который перемещается вдоль времен-
ного ряда, как бы скользит по нему. Задается длина отрезка скольжения (2m + 1)
по временной оси, т.е. берется нечетное число наблюдений. Подбирается полином
p
ak tk (12.1)
?t =
k=0

к группе первых (2m + 1) членов ряда, и этот полином используется для опре-
деления значения тренда в средней (m + 1)-й точке группы. Затем производится
сдвиг на один уровень ряда вперед и подбирается полином того же порядка к группе
точек, состоящей из 2-го, 3-го , . . . , (2m + 2)-го наблюдения. Находится значение
тренда в (m + 2)-й точке и т.д. тем же способом вдоль всего ряда до последней
группы из (2m + 1) наблюдения. В действительности нет необходимости строить
полином для каждого отрезка. Как будет показано, эта процедура эквивалентна
нахождению линейной комбинации уровней временного ряда с коэффициентами,
392 Глава 12. Сглаживание временного ряда

которые могут быть определены раз и навсегда и зависят только от длины отрезка
скольжения и степени полинома.
Для определения коэффициентов a0 , a1 , . . . , ap полинома (12.1) с помощью
МНК по первым (2m + 1) точкам минимизируется функционал:
m
(xt ? a0 ? a1 t ? . . . ? ap tp )2 . (12.2)
?=
t=?m

Заметим, что t принимает условные значения от ?m до m. Это весьма удоб-
ный прием, существенно упрощающий расчеты. Дифференцирование функционала
по a0 , a1 , . . . , ap дает систему из p + 1 уравнения типа:
m m m m m
+ · · · + ap
j j+1 j+2 j+p
xt tj ,
a0 t + a1 t + a2 t t =
t=?m t=?m t=?m t=?m t=?m
j = 0, 1, . . . , p. (12.3)

Решение этой системы уравнений относительно неизвестных параметров
m i
a0 , a1 , . . . , ap (i = 0, 1, . . . , 2p) облегчается тем, что все суммы t=?m t при
нечетных i равны нулю. Кроме того, т. к. полином, подобранный по 2m + 1 точ-
кам, используется для определения значения тренда в средней точке, а в этой точке
t = 0, то, положив в уравнении (12.1) t = 0, получаем значение тренда, равное a0 .
Стало быть, задача сглаживания временного ряда сводится к поиску a0 .
Система нормальных уравнений (12.3), которую нужно разрешить относитель-
но a0 , разбивается на две подсистемы: одну — содержащую коэффициенты с чет-
ными индексами a0 , a2 , a4 , . . ., другую — включающую коэффициенты с нечет-
ными индексами a1 , a3 , a5 , . . .. Решение системы относительно a0 зависит от чис-
ленных значений m m
i j
t=?m t и линейных функций от x типа t=?m xt t .
В итоге, значением тренда в центральной точке отрезка будет средняя ариф-
метическая, взвешенная из значений временного ряда от x?m до xm c весовыми
коэффициентами ?t , которые зависят от значений m и p:
m
a0 = ?t xt .
t=?m

Указанная формула применяется для всех последующих отрезков скольжения, с вы-
числением значений тренда в их средних точках.
Продемонстрируем рассматриваемый метод на примере полинома второй степени
и длины отрезка скольжения, равной пяти точкам. Здесь надо свести к минимуму
сумму:
2
(xt ? a0 ? a1 t ? a2 t2 )2 .
?=
t=?2
393
12.1. Метод скользящих средних

Получается система уравнений:
?
2 2 2 2
?
? t2
?
? a0 + a1 t + a2 = xt ,
?
?
? t=?2 t=?2 t=?2 t=?2
?
? 2 2 2 2
2 3
a t + a1 t + a2 t = xt t,
? 0 t=?2
?
? t=?2 t=?2 t=?2
?
?
? 2 2 2 2
?
? a0 t2 3 4
xt t2 .
? + a1 t + a2 t =
t=?2 t=?2 t=?2 t=?2



Для конкретных значений сумм при ap система уравнений приобретает вид:
?
2
?
?
?
? 5a0 + 10a2 = xt ,
?
?
? t=?2
?
? 2
10a1 = xt t,
?
?
? t=?2
?
?
? 2
?
? 10a0 + 34a2 xt t2 .
? =
t=?2



Решение этой системы относительно a0 дает следующий результат:

2 2
1 1
xt t2
xt ? 5 (?3x?2 + 12x?1 + 17x0 + 12x1 ? 3x2 ) .
a0 = 17 =
35 35
t=?2 t=?2


Весовые коэффициенты для полиномов 2–5 степени и длины отрезка скольжения
от 5 до 9 представлены в таблице 12.1.



Таблица 12.1. Фрагмент таблицы Каудена для весов ?t

Длина Степени полинома
отрезка
скольже-
ния

2m + 1 p = 2, p = 3 p = 4, p = 5
m
1
5 2 (?3, 12, 17, 12, ?3)
35
1 1
7 3 (?2, 3, 6, 7, 6, 3, ?2) (5, ?30, 75, 131, 75, ?30, 5)
231
21
1 1
9 4 (?21, 14, 39, 54, 59, 54, (15, ?55, 30, 135, 179, 135,
231 429
30, ?55, 15)
39, 14, ?21)
394 Глава 12. Сглаживание временного ряда

Метод скользящих средних в матричной форме

Введем следующие обозначения:
m
1
xt tj .
1. cj = 2
t=?m

Так как xt и tj известны, то cj также известно для каждого
j = 0, 1, . . . , p.
1mi
2. ?i = i = 0, 1, . . . , 2p. Тогда
t,
2 t=?m
?
?
? 0,
?
? если i — нечетно,
?
?
?
?
?
2m + 1 ,
?i = если i = 0,
?
? 2
?
?
?
?
?
?i
? 1 + 2i + . . . + mi , если i — четно.


В таких обозначениях система (12.3) принимает вид:
? ?? ? ? ?
···
? ?p ? ? a0 ? ? c0 ?
?0 ?1
? ?? ?? ?
? ?? ?? ?
? ?p+1 ? ? ? ?c ?
···
?1 ?2 a1
? ?? ? ? 1?
? ?? ?=? ?.
? . ?? ? ?.?
. . .
..
? . ?? ? ?.?
. . .
.
. . . ?? . ? ?.?
?
? ?? ?? ?
?p ?p+1 · · · ?2p ap cp

В краткой записи эта система выглядит как

M a = c,

где матрица M — известна, кроме того, ее элементы с нечетными индексами рав-
ны нулю, вектор c также известен.
Из полученной системы следует

a = M ?1 c.

Теперь можно использовать формулу Крамера для нахождения ak :

det Mk+1
ak = ,
det M
395
12.1. Метод скользящих средних

где матрица Mk+1 получается из матрицы M заменой (k + 1)-го столбца векто-
ром c.
Таким образом,
det M1 det M2 det Mp+1
a= , , ..., .
det M det M det M

Рассмотрим частный случай, когда m = 2 и p = 2, т.е. временной ряд аппроксими-
руется полиномом второй степени:
?t = a0 + a1 t + a2 t2 .
Система уравнений, которую нужно решить относительно ak , имеет вид:
2 2 2 2
j j+1 j+2
xt tj ,
a0 t + a1 t + a2 t =
t=?2 t=?2 t=?2 t=?2

где x?2 , x?1 , x0 , x1 , x2 — известны, j = 0, . . . , p. Находим ?i :
?
если i — нечетно,
? 0,
?
5
?i = если i = 0,
,
?2
?i
1 + 2i , если i — четно.
Тогда
? ? ? ?
? ?0 ?1 ?2 ? ? 5/2 0 5 ?
? ?? ?
M = ? ?1 ?? ?.
?3 ? = ? 0 5 0
? ?
?2
? ?? ?
?2 ?3 ?4 5 0 17

Находим определители:
25 · 7
det M =
2

c0 0 5
2 2
5
xt t2
= 5(17c0 ? 5c2 ) = xt ? 5
det M1 = 17 ,
c1 5 0 2 t=?2 t=?2
c2 0 17

5/2 c0 5
2
35 35
det M2 = = c1 = xt t,
0 c1 0 2 4 t=?2
5 c2 17
396 Глава 12. Сглаживание временного ряда


5/2 0 c0
2 2
c2 25 1
xt t2 ?
? c0 =
det M3 = = 25 xt .
0 5 c1 2 2 2 t=?2 t=?2
5 0 c2

Отсюда:
2 2
det M1 1
xt t2
xt ? 5
a0 = = 17 ,
det M 35 t=?2 t=?2
2
det M2 1
a1 = = xt t,
det M 10 t=?2
2 2
det M3 1 1
xt t2 ?
a2 = = xt .
det M 14 t=?2 7 t=?2

Таким образом,
3 12 17 12 3
a0 = ? x?2 + x?1 + x0 + x1 ? x2 ,
35 35 35 35 35
a1 = ?0, 2x?2 ? 0, 1x?1 + 0, 1x1 + 0, 2x2 ,
1 1 1 1 1
a2 = x?2 ? x?1 ? x0 ? x1 + x2 ,
7 14 7 14 7
и каждый из этих коэффициентов получается как взвешенная средняя из уровней
временного ряда, входящих в отрезок.

Оценки параметров a1 , a2 , . . . , ap необходимы для вычисления значений трен-
да в первых m и последних m точках временного ряда, поскольку рассмотренный
способ сглаживания ряда через a0 сделать это не позволяет.
Размерность матрицы M определяется степенью полинома: (p + 1) ? (p + 1),
пределы суммирования во всех формулах задаются длиной отрезка скольжения.
Следовательно, для выбранных значений p и m можно получить общее решение
в виде вектора (a0 , a1 , . . . , ap ) .


Свойства скользящих средних
m
1. Сумма весов ?t в формуле a0 = ?t xt равна единице.
t=?m
Действительно, пусть все значения временного ряда равны одной и той же
константе c. Тогда m m
t=?m ?t должна быть равна этой константе
t=?m ?t xt = c
c, а это возможно только в том случае, если m t=?m ?t = 1.
2. Веса симметричны относительно нулевого значения t, т.е. ?t = ??t
397
12.1. Метод скользящих средних

Это следует из того, что весовые коэффициенты при каждом xt зависят от tj ,
а j принимает только четные значения.
3. Для полиномов четного порядка p = 2k формулы расчета a0 будут теми же
самыми, что и для полиномов нечетного порядка p = 2k + 1.
Пусть p = 2k + 1, тогда матрица коэффициентов системы (12.3) при неизвест-
ных параметрах a0 , a1 , . . . , ap будет выглядеть следующим образом:
? ?
0 2k 2k+1
···
m m m m
? ?
t=?m t t=?m t t=?m t t=?m t
? ?
? ?
? ?
? t2k+2 ?
2 2k+1
···
m m m m
? ?
t=?m t t=?m t t=?m t t=?m
? ?
? ?
? ?
. . . .
..
? ?.
. . . .
.
. . . .
? ?
? ?
? ?
? ?
2k 2k+1 4k t4k+1 ?
? ···
m m m m
t=?m t t=?m t t=?m t
? ?
t=?m
? ?
? ?
2k+1 2k+2 4k+1 4k+2
···
m m m m
t=?m t t=?m t t=?m t t=?m t


Для нахождения a0 используются уравнения с четными степенями t при a0 ,
следовательно, половина строк матрицы, включая последнюю, в расчетах участво-
вать не будет.
В этом блоке матрицы, содержащем коэффициенты при a0 , a2 , a4 , . . . , по-
следний столбец состоит из нулей, так как его элементы — суммы нечетных сте-
пеней t. Таким образом, уравнения для нахождения a0 при нечетном значении
p = 2k + 1 в точности совпадают с уравнениями, которые надо решить для нахож-
дения a0 при меньшем на единицу четном значении p = 2k:
? ?
0 2 2k
···
m m m
? ?
t=?m t t=?m t t=?m t
? ?
? ?
? t2k+2 ?
2 4 ···
m m m
t=?m t t=?m t
? ?
t=?m
? ?.
? ?
. . .
..
? ?
. . .
.
. . .
? ?
? ?
2k 2k+2 4k
···
m m m
t=?m t t=?m t t=?m t


4. Оценки параметров a1 , . . . , ap тоже выражены в виде линейной комбинации
уровней временного ряда, входящих в отрезок, но весовые коэффициенты в этих
формулах в сумме равны нулю и не симметричны.
Естественным образом возникает вопрос, какой степени полином следует вы-
бирать и какой должна быть длина отрезка скольжения. Закономерность такова:
чем выше степень полинома и короче отрезок скольжения, тем ближе расчетные
398 Глава 12. Сглаживание временного ряда

значения к первоначальным данным. При этом, помимо тенденции могут воспро-
изводиться и случайные колебания, нарушающие ее смысл. И наоборот, чем ниже
степень полинома и чем длиннее отрезок скольжения, тем более гладкой является
сглаживающая кривая, тем в большей мере она отвечает свойствам тенденции,
хотя ошибка аппроксимации будет при этом выше.
В принципе, если ставится задача выявления тренда, то, с учетом особенностей
покомпонентного разложения временного ряда, следует ориентироваться не на
минимальную остаточную дисперсию, а на стационарность остатков, получающихся
после исключения тренда.


12.2. Экспоненциальное сглаживание
Кроме метода скользящей средней как способа фильтрации временного ряда
известностью пользуется экспоненциальное сглаживание, в основе которого лежит
расчет экспоненциальных средних.
Экспоненциальная средняя рассчитывается по рекуррентной формуле:
(12.4)
st = ?xt + ?st?1 ,
где st — значение экспоненциальной средней в момент t,
? — параметр сглаживания (вес последнего наблюдения), 0 < ? < 1,
? = 1 ? ?.
Экспоненциальную среднюю, используя рекуррентность формулы (12.4), мож-
но выразить через значения временного ряда:

st = ?xt + ?(?xt?1 + ?st?2 ) = ?xt + ??xt?1 + ? 2 st?2 = . . . =
= ?xt + ??xt?1 + ?? 2 xt?2 + . . . + ?? j xt?j + . . . + ?? t?1 x1 + ? t s0 =
t?1
? j xt?j + ? t s0 , (12.5)
=?
j=0

t — количество уровней ряда, s0 — некоторая величина, характеризующая на-
чальные условия для первого применения формулы (12.4) при t = 1. В качестве
s0 можно использовать первое значение временного ряда, т.е. x1 .
Так как ? < 1, то при t > ? величина ? t > 0, а сумма коэффициентов
t?1
? j > 1.
?
j=0
Действительно,
?
1 1
= (1 ? ?)
?j = ?
? = 1.
1?? 1??
j=0
399
12.2. Экспоненциальное сглаживание

Тогда последним слагаемым в формуле (12.5) можно пренебречь и
? ?
(1 ? ?)j xt?j .
j
st = ? ? xt?j = ?
j=0 j=0

Таким образом, величина st оказывается взвешенной суммой всех уровней ря-
да, причем веса уменьшаются экспоненциально, по мере углубления в историю
процесса, отсюда название — экспоненциальная средняя.
Несложно показать, что экспоненциальная средняя имеет то же математиче-
ское ожидание, что и исходный временной ряд, но меньшую дисперсию.
Что касается параметра сглаживания ?, то чем ближе ? к единице, тем ме-
нее ощутимо расхождение между сглаженным рядом и исходным. И наоборот, чем
меньше ?, тем в большей степени подавляются случайные колебания ряда и от-
четливее вырисовывается его тенденция. Экспоненциальное сглаживание можно
представить в виде фильтра, на вход которого поступают значения исходного вре-
менного рядя, а на выходе формируется экспоненциальная средняя.
Использование экспоненциальной средней в качестве инструмента выравнива-
ния временного ряда оправдано в случае стационарных процессов с незначитель-
ным сезонным эффектом. Однако многие процессы содержат тенденцию, сочета-
ющуюся с ярко выраженными сезонными колебаниями.
Довольно эффективный способ описания таких процессов — адаптивные се-
зонные модели, основанные на экспоненциальном сглаживании. Особенность
адаптивных сезонных моделей заключается в том, что по мере поступления новой
информации происходит корректировка параметров модели, их приспособление,
адаптация к изменяющимся во времени условиям развития процесса.
Выделяют два вида моделей, которые можно изобразить схематично:
1. Модель с аддитивным сезонным эффектом, предложенная Тейлом и Вей-
джем (Theil H., Wage S.):

(12.6)
xt = ft + gt + ?t ,

где ft отражает тенденцию развития процесса, gt , gt?1 , . . . , gt?k+1 — аддитив-
ные коэффициенты сезонности; k — количество опорных временных интервалов
(фаз) в полном сезонном цикле; ?t — белый шум.
2. Модель с мультипликативным сезонным эффектом, разработанная Уин-
терсом (Winters P.R.):

xt = ft · mt · ?t , (12.7)

где mt , mt?1 , . . . , mt?k+1 — мультипликативные коэффициенты сезонности.
400 Глава 12. Сглаживание временного ряда

В принципе, эта модель после логарифмирования может быть преобразована
в модель с аддитивным сезонным эффектом.
Мультипликативные модели целесообразно использовать в тех ситуациях, ко-
гда наряду, допустим, с повышением среднего уровня увеличивается амплитуда
колебаний, обусловленная сезонным фактором. Если в аддитивных моделях индек-
сы сезонности измеряются в абсолютных величинах, то в мультипликативных —
в относительных.
И в том, и в другом случае обновление параметров модели производится по схе-
ме экспоненциального сглаживания. Оба варианта допускают как наличие тенден-
ции (линейной или экспоненциальной), так и ее отсутствие.
Множество комбинаций различных типов тенденций с циклическими эффекта-
ми аддитивного и мультипликативного характера можно представить в виде обоб-
щенной формулы:

ft = ?f d1 + (1 ? ?f )d2 ,

где ft — некоторый усредненный уровень временного ряда в момент t после
устранения сезонного эффекта,
?f — параметр сглаживания, 0 < ?f < 1,
d1 и d2 — характеристики модели.
?
? xt , — если сезонный эффект отсутствует,
?
?
?
xt ? gt?k , — в случае аддитивного сезонного эффекта,
d1 =
?
? xt
?
? — в случае мультипликативного сезонного эффекта.
,
mt?k
Таким образом, d1 представляет собой текущую оценку процесса xt , очищенную
от сезонных колебаний с помощью коэффициентов сезонности gt?k или mt?k ,
рассчитанных для аналогичной фазы предшествующего цикла.
?
? ft?1 , — при отсутствии тенденции,
?
d2 = ft?1 + ct?1 , — в случае аддитивного роста,
?
?f
t?1 · rt?1 , — в случае экспоненциального роста.

В этой формуле ct?1 — абсолютный прирост, характеризующий изменение сред-
него уровня процесса, или аддитивный коэффициент роста, rt?1 — коэффициент
экспоненциального роста.
Например, для модели с аддитивным ростом и мультипликативным сезонным
эффектом подойдет график, изображенный на рисунке 12.1а, а для модели с экс-
поненциальным ростом и аддитивным сезонным эффектом — график на рисунке
12.1б.
401
12.2. Экспоненциальное сглаживание

Примеры графиков для некоторых типов адаптивных сезонных моделей

a) б)
xt xt




t t
Модель с аддитивным ростом Модель с экспоненциальным ростом
и мультипликативным сезонным эффектом и аддитивным сезонным эффектом

Рис. 12.1. Графики некоторых типов временных рядов



Адаптация всех перечисленных параметров осуществляется с помощью экспо-
ненциального сглаживания:


gt = ?g (xt ? ft ) + (1 ? ?g )gt?k ,
xt
mt = ?m + (1 ? ?m )mt?k ,
ft
ct = ?c (ft ? ft?1 ) + (1 ? ?c )ct?1 ,
ft
+ (1 ? ?r )rt?1 ,
rt = ?r
ft?1


где 0 < ?g , ?m , ?c , ?r < 1.
Первые две формулы представляют собой линейную комбинацию текущей
оценки коэффициента сезонности, полученной путем устранения из исходного
уровня процесса значения тренда ( xt ? ft и xt /ft ), и оценки этого параметра
на аналогичной фазе предшествующего цикла ( gt?k и mt?k ). Аналогично, две
последние формулы являются взвешенной суммой текущей оценки коэффициен-
та роста (соответственно, аддитивного ft ? ft?1 и экспоненциального ft /ft?1 )
и предыдущей его оценки ( ct?1 и rt?1 ).
Очевидно, что в случае отсутствия тенденции и сезонного эффекта получается
простая экспоненциальная средняя:


ft = ?f xt + (1 ? ?f )ft?1 .
402 Глава 12. Сглаживание временного ряда

Рассмотрим для иллюстрации модель Уинтерса с аддитивным ростом и мульти-
пликативным сезонным эффектом:
xt
+ (1 ? ?f )(ft?1 + ct?1 ),
ft = ?f
mt?k
xt
mt = ?m + (1 ? ?m )mt?k , (12.8)
ft
ct = ?c (ft ? ft?1 ) + (1 ? ?c )ct?1 .

Расчетные значения исследуемого показателя на каждом шаге, после обновле-
ния параметров ft , mt и ct , получаются как произведение ft · mt .
Прежде чем воспользоваться полной схемой экспоненциального сглаживания
(12.8), а сделать это можно начиная с момента t = k + 1, необходимо получить
начальные, отправные значения перечисленных параметров.
Для этого с помощью МНК можно оценить коэффициенты f1 и c1 регрессии:

xt = f1 + c1 t + ?t ,

и на первом сезонном цикле (для t = 1, . . . , k) адаптацию параметров произвести
по усеченному варианту:

ft = ?f xt + (1 ? ?f )ft?1 ,
xt
mt = , t = 1, . . . , k,
ft
ct = ?c (ft ? ft?1 ) + (1 ? ?c )ct?1 ,
gt = xt ? ft .

Задача оптимизации модели сводится к поиску наилучших значений парамет-
ров ?f , ?m , ?c , выбор которых определяется целями исследования и характером
моделируемого процесса. Уинтерс предлагает находить оптимальные уровни этих
коэффициентов экспериментальным путем, с помощью сетки значений ?f , ?m ,
?c (например, (0, 1; 0, 1; 0, 1), (0, 1; 0, 1; 0, 2), . . . ). В качестве критерия сравне-
ния вариантов рекомендуется стандартное отклонение ошибки.


12.3. Упражнения и задачи
Упражнение 1

1.1. Сгенерируйте 20 рядов по 100 наблюдений на основе полиномиального
тренда ?t = 5 + 4t ? 0, 07t2 + 0.0005t3 с добавлением белого шума с нор-
мальным распределением и дисперсией 20 .
Таблица 12.2. Производство природного газа в СССР (миллиардов кубических футов)

январь февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь
653.1 589.5 653.1 610.7 610.7 583.2 600.1 614.2 600.1 642.5 642.5 670.7
1971
670.8 649.5 695.4 664.5 638.9 621.3 620.7 619.4 624.8 653.1 663.6 706.0
1972
720.1 656.6 734.2 691.9 688.3 688.4 691.2 701.2 653.1 673.2 720.1 673.2
1973
720.1 709.5 776.6 737.7 741.3 723.7 724.6 758.9 760.0 808.4 811.2 882.5
1974
12.3. Упражнения и задачи




864.9 871.9 868.4 861.2 864.8 833.3 833.1 829.6 829.6 840.2 900.1 953.1
1975
953.1 914.3 967.2 921.3 917.8 916.8 924.9 924.9 917.8 988.4 974.3 1009.6
1976
1048.4 960.2 960.2 1048.4 998.9 956.6 984.9 995.5 999.0 1175.5 1180.0 1190.0
1977
1129.6 1129.4 1126.1 1076.7 1080.2 1034.3 1062.5 1064.7 1023.7 1147.2 1136.7 1196.8
1978
1230.0 1220.0 1220.0 1175.5 1182.5 1140.2 1157.8 1161.4 1164.9 1249.6 1250.6 1306.1
1979
1309.6 1232.0 1306.1 1246.1 1256.7 1200.2 1246.1 1260.2 1270.8 1270.0 1323.8 1376.7
1980
1419.1 1299.0 1420.0 1345.0 1313.0 1271.0 1270.0 1334.0 1334.0 1430.0 1430.0 1460.0
1981
1504.0 1380.0 1528.5 1436.7 1457.9 1412.0 1419.1 1436.7 1447.3 1546.1 1528.5 1623.8
1982
1627.4 1486.1 1652.0 1528.5 1570.8 1517.9 1514.4 1539.1 1482.6 1648.5 1648.5 1747.3
1983
1747.4 1648.5 1757.9 1680.3 1697.9 1623.8 1669.7 1697.9 1694.4 1821.5 1803.8 1870.9
1984
1930.9 1775.6 1941.5 1853.2 1892.1 1765.0 1825.0 1846.2 1870.9 1990.9 1962.7 2047.4
1985
2075.6 1895.6 2118.0 1983.9 2005.0 1906.2 1959.2 1969.7 1976.8 2103.9 2089.8 2188.6
1986
2221.3 2030.6 2210.7 2083.6 2118.9 2012.9 2048.3 2048.3 2083.6 2223.9 2259.2 2330.8
1987
2369.6 2221.3 2366.1 2224.8 2275.0 2146.6 2118.9 2189.5 2189.5 2357.0 2394.8 2447.7
1988
2510.0 2300.0 2391.0 2333.0 2336.0 2187.7 2208.0 2279.0 2200.0 2500.0 2484.0 2495.0
1989
2630.0 2400.0 2420.0 2391.0 2430.0 2250.0 2340.0 2340.0 2250.0 2500.0 2450.0 2460.0
1990
403
404 Глава 12. Сглаживание временного ряда

а) Проведите сглаживание сгенерированных рядов с помощью полинома
первой степени с длиной отрезка скольжения 5 и 9.
б) Выполните то же задание, используя полином третьей степени.
в) Найдите отклонения исходных рядов от сглаженных рядов, полученных
в пунктах (а) и (б). По каждому ряду отклонений вычислите средне-
квадратическую ошибку. Сделайте вывод о том, какой метод дает наи-
меньшую среднеквадратическую ошибку.

1.2. Имеются данные о производстве природного газа в СССР (табл. 12.2).

а) Постройте графики ряда и логарифмов этого ряда. Чем они различают-
ся? Выделите основные компоненты временного ряда. Какой характер
носит сезонность: аддитивный или мультипликативный? Сделайте вывод
о целесообразности перехода к логарифмам.
б) Примените к исходному ряду метод экспоненциального сглаживания,
подобрав параметр сглаживания.
в) Проведите сглаживание временного ряда с использованием адаптивной
сезонной модели.


Задачи

1. Сгладить временной ряд x = (3, 4, 5, 6, 7, 11), используя полином первого
порядка с длиной отрезка скольжения, равной трем.

2. Записать формулу расчета вектора коэффициентов для полинома третьей
степени с помощью метода скользящей средней в матричной форме с рас-
шифровкой обозначений.

3. В чем специфика аппроксимации первых m и последних m точек временного
ряда при использовании метода скользящих средних?

4. Найти параметры адаптивной сезонной модели для временного ряда
x = (1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, . . . ).

5. Изобразить график временного ряда с аддитивным ростом и мультиплика-
тивным сезонным эффектом.

6. Изобразить график временного ряда с экспоненциальным ростом и аддитив-
ным сезонным эффектом.

7. Записать модель с экспоненциальным ростом и мультипликативным сезон-
ным эффектом, а также формулу прогноза на 5 шагов вперед.
405
12.3. Упражнения и задачи

Рекомендуемая литература
1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: «Мир», 1976.
(Гл. 3).

2. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. —
М.: «Статистика», 1979. (Гл. 1, 2).

3. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и вре-
менные ряды. — М.: «Наука», 1976. (Гл. 46).

4. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. — М.: «Статисти-
ка», 1976. (Гл. 11, 12).

5. Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists, Cambridge University
Press, 1990 (Ch. 9).
Глава 13

Спектральный
и гармонический анализ


13.1. Ортогональность тригонометрических
функций и преобразование Фурье
временного ряда
Как известно, тригонометрические функции cos t и sin t являются периодиче-
скими с периодом 2?:
cos(t + 2?) = cos t, sin(t + 2?) = sin t.

Функции cos(?t ? ?) и sin(?t ? ?) периодичны с периодом 2?/?. Действи-
тельно,
cos(?t ? ?) = cos(?t + 2? ? ?) = cos (?(t + 2?/?) ? ?) ,
sin(?t ? ?) = sin(?t + 2? ? ?) = sin(?(t + 2?/?) ? ?).

Величина ?/2?, обратная периоду, называется линейной частотой, ? назы-
вают угловой частотой. Линейная частота равна числу периодов (не обязательно
целому), содержащемуся в единичном интервале, то есть именно такое число раз
функция повторяет свои значения в промежутке [0, 1].
Рассмотрим функцию:
R cos(?t ? ?) = R(cos ?t cos ? + sin ?t sin ?) = ? cos(?t) + ? sin(?t),
407
13.1 Ортогональность тригонометрических функций

?2 + ? 2 , tg ? = ? ? .
где ? = R cos ?, ? = R sin ? или, что эквивалентно, R =
Коэффициент R, являющийся максимумом функции R cos(?t ? ?) называется
амплитудой этой функции, а угол ? называется фазой.
Особенность тригонометрических функций заключается в том, что на опреде-
ленном диапазоне частот они обладают свойством ортогональности.
Две функции ?(t) и ?(t), определенные на конечном множестве {1, . . . , T },
называются ортогональными, если их скалярное произведение, определенное как
сумма произведений значений ?(t) и ?(t) в этих точках, равно нулю:

T
?(t) · ?(t) = 0.
t=1


Система T тригонометрических функций в точках t ? {1, . . . , T }
?
? c = cos 2?j t, T
? jt j = 0, 1, . . . , ,
?
T 2
(13.1)
T ?1
?
? s = sin 2?j t,
? jt j = 1, . . . ,
T 2

ортогональна, т.е. скалярное произведение векторов

T
T
(13.2)
(cj , ck ) = cjt ckt = 0, j = k, 0 j, k ,
2
t=1
T
T ?1
(13.3)
(sj , sk ) = sjt skt = 0, j = k, 0 < j, k ,
2
t=1
T
T ?1
T
(13.4)
(cj , sk ) = cjt skt = 0, 0 j , 0<k ,
2 2
t=1

где операция [ . . . ] — это выделение целой части числа.



Для доказательства этого утверждения полезны следующие равенства

T
0, при j = 0,
2?j
(13.5)
cos t=
T T, при j = 0, T ,
t=1
T
2?j
(13.6)
sin t = 0,
T
t=1
408 Глава 13. Спектральный и гармонический анализ

истинность которых легко установить, выразив тригонометрические функции через
показательные с использованием формул Эйлера:

e±i? = cos ? ± i sin ?, (13.7)
1
cos ? = (ei? + e?i? ), (13.8)
2
1
sin ? = (ei? ? e?i? ). (13.9)
2i
Итак, при j = 0

T T 2?j 2?j
2?j 1
+ e?i
ei Tt Tt
cos t= =
T 2
t=1 t=1
2?j 1 ? e?i2?j
1 i 2?j 1 ? ei2?j 1
+ e?i T
= eT = 0,
2?j 2?j
2 2 ?i T
1?e 1?e
iT


где предпоследнее равенство получено из формулы суммы геометрической прогрес-
сии, а последнее — из формулы (13.7), т.к.

e±i2?j = cos(2?j) ± i sin(2?j) = 1.

cos 2?j t = T .
T
Очевидно, что при j = 0, T t=1 T
Равенство (13.6) доказывается аналогично. При доказательстве соотношений
(13.2–13.4) используются утверждения (13.5, 13.6).
Таким образом,

T T T
2?(j ? k)
2?j 2?k 1 1 2?(j + k)
(cj , ck ) = cos t·cos t= cos t+ cos t=
T T 2 t=1 T 2 t=1 T
t=1
?
? T
? 0, j = k, 0 j, k
? ,
?
? 2
?
?
?
T T (13.10)
= , j = k, 0 < j, k < ,
?2
? 2
?
?
?
?
?
? T, j = k = 0, T (для четных T ).
2

T T T
2?(j ? k)
2?j 2?k 1 1 2?(j + k)
t · sin t?
(sj , sk ) = sin t= cos cos t=
T T 2 t=1 T 2 t=1 T
t=1
?
T ?1
?
? 0, j = k, 0 < j, k
?
? ,
2
(13.11)
=
?T T ?1
?
? , j = k, 0 < j, k
? .
2 2
409
13.1 Ортогональность тригонометрических функций

T
2?j 2?k
t · sin
(cj , sk ) = cos t=
T T
t=1
T T
2?(j ? k)
1 2?(j + k) 1
t = 0. (13.12)
= sin t+ sin
2 T 2 T
t=1 t=1



Мы доказали выполнение (13.2–13.4) для указанного набора функций, полу-
чив одновременно некоторые количественные их характеристики. Таким образом,
2?j 2?j
функции cos t и sin t образуют ортогональный базис и всякую функцию,
T T
в том числе и временной ряд {xt }, определенный на множестве {1, . . . , T }, можно
разложить по этому базису, т.е. представить в виде конечного ряда Фурье:

[T /2]
2?j 2?j
(13.13)
xt = ?j cos t + ?j sin t,
T T
j=0


или, вспоминая (13.1), кратко

[T /2]
xt = (?j cjt + ?j sjt) ,
j=0


где ?0 и ?[T /2] при четном T отсутствуют (т.к. sin 0 = 0, sin ?t = 0).
Величину 2?j/T = ?j называют частотой Фурье, а набор скаляров ?j и ?j
( j = 0, 1, . . . , [T /2]) — коэффициентами Фурье.
Если cjt и sjt — элементы векторов cj и sj , стоящие на t-ом месте, то, пе-
реходя к векторным обозначениям, (13.13) можно переписать в матричном виде:

?
(13.14)
x= C S ,
?

где

x = (x1 , . . . , xT ) ,
? = (?0 , . . . , ?[T /2] ) ,
? = (?1 , . . . , ?[(T ?1)/2] ) ,
C = {cjt }, j = 0, 1, . . . , [T /2], t = 1, . . . , T,
S = {sjt }, j = 1, . . . , [(T ? 1)/2], t = 1, . . . , T.
410 Глава 13. Спектральный и гармонический анализ

Перепишем в матричной форме свойства ортогональности тригонометрических
функций, которые потребуются при вычислении коэффициентов Фурье:


?j, k,
cj sk = 0,

?k = 0,
ck 1T = 0,

?k,
sk 1T = 0,
(13.15)
cj ck = sj sk = 0, j = k,

ck ck = sk sk = T /2, k = 0, T /2,

<<

стр. 15
(всего 28)

СОДЕРЖАНИЕ

>>