<<

стр. 19
(всего 28)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

14.9. Модели, содержащие стохастический тренд

Таким образом, при нечетных t значения ряда полностью предопределены предыс-
торией. Несложно проверить, что данный процесс представляет собой белый шум.
Он имеет нулевое математическое ожидание, единичную дисперсию и не автокор-
релирован. Если же построить на основе такого белого шума марковский процесс
xt = ?1 xt?1 + ?t , то при нечетных t оптимальным прогнозом на один шаг вперед
v
будет не ?1 xt?1 , а ?1 xt?1 + ?2 ? 1 / 2, причем прогноз будет безошибочным.
t?1
При четных же t стандартная формула будет оптимальной.
Приведенный пример наводит на мысль о том, что во многих случаях мож-
но подобрать нелинейную прогнозную функцию, которая позволяет сделать более
точный прогноз, чем полученная нами оптимальная линейная прогнозная функция.
В качестве менее экзотического примера можно привести модели с авторегрессион-
ной условной гетероскедастичностью, о которых речь идет в одной из последующих
глав.


14.9. Модели, содержащие стохастический тренд
Модели со стохастическим трендом можно отнести к классу линейных нестаци-
онарных моделей ARIMA(p, d, q), но они имеют свои особенности.
Рассмотрим эти модели.
1. Модель случайного блуждания (The Random Walk Model).
Эта модель является частным случаем модели AR(1) с единичным корнем:

(14.72)
xt = xt?1 + ?t .

Если начальное условие x0 известно, общее решение может быть представлено
в виде
t
xt = x0 + ?i .
i=1

Безусловное математическое ожидание: E(xt ) = E(xt+k ) = x0 .
Условное математическое ожидание:
k t
E(xt+k |?t ) = E((xt + ?t+i )|?t ) = xt = x0 + ?i .
i=1 i=1

Таким образом, условное математическое ожидание E(xt+k |?t ) обязательно
t
включает в себя случайную компоненту, равную ?i , которую называют сто-
i=1
хастическим трендом.
Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA
486

Для любых значений k влияние каждой ошибки на последовательность {xt }
со временем не исчезает.
2 2
Безусловная дисперсия: var(xt ) = t?? , var(xt+k ) = (t + k)?? .
k
2
Условная дисперсия: var(xt+k |?t ) = var((xt + ?t+i )|?t ) = k?? .
i=1
Таким образом, и безусловная, и условная дисперсии зависят от времени, что
свидетельствует о нестационарности процесса случайного блуждания.
Этот вывод подтверждается расчетом коэффициентов автоковариации и авто-
корреляции, которые также зависят от времени:

?k = cov(xt , xt+k ) = E((xt ? x0 )(xt+k ? x0 )) =
= E((?1 + . . . + ?t )(?1 + . . . + ?t+k )) = E(?2 + . . . + ?2 ) = t · ?? .
2
1 t

Тогда
2
t?? t
?k = = .
2 2 t+k
t?? (t + k)??

В практических ситуациях нередко модель случайного блуждания используется
для описания динамики темпов роста.
В модели случайного блуждания первая разность ?xt = ?t — чисто слу-
чайный процесс, следовательно, эта модель может быть интерпретирована как
ARIMA(0, 1, 0).
2. Модель случайного блуждания с дрейфом (The Random Walk plus Drift
Model).
Эта модель получается из модели случайного блуждания добавлением констан-
ты a0 :

(14.73)
xt = xt?1 + a0 + ?t .

Общее решение для xt при известном x0 :
t
xt = x0 + a0 t + ?i .
i=1

Здесь поведение xt определяется двумя нестационарными компонентами: линей-
t
ным детерминированным трендом a0 t и стохастическим трендом ?i .
i=1
Ясно, что динамику ряда определяет детерминированный тренд. Однако не сле-
дует думать, что всегда легко различить процесс случайного блуждания и процесс
случайного блуждания с дрейфом.
487
14.9. Модели, содержащие стохастический тренд

На практике многие ряды, включая предложение денег и реальный ВНП, ведут
себя как процесс случайного блуждания с дрейфом.
Заметим, что первая разность ряда стационарна, т.е. переход к первой разности
создает стационарную последовательность: {?xt } = {a0 + ?t } с математическим
2
ожиданием, равным a0 , дисперсией ?? и ?k = 0 для всех t, следовательно, это
тоже ARIMA(0, 1, 0).
3. Модель случайного блуждания с шумом (The Random Walk plus Noise
Model).
Эта модель представляет собой совокупность стохастического тренда и компо-
ненты белого шума. Формально модель описывается двумя уравнениями:

xt = µt + ?t ,
(14.74)
µt = µt?1 + ?t ,
2
где {?t } — белый шум с распределением N (0, ?? ), ?t и ?t независимо распре-
делены для всех t и k: E(?t , ?t?k ) = 0.
Общее решение системы (14.74) имеет вид:
t
xt = µ 0 + ?i + ?t .
i=1

Легко убедиться в том, что все моменты второго порядка зависят от времени:
2 2
var(xt ) = t?? + ?? ,
2
?k = cov(xt , xt+k ) = E((?1 + . . . + ?t + ?t )(?1 + . . . + ?t?k + ?t )) = t?? ,
2
t ??
?k = .
2 2 2 2
(t?? + ?? ) ((t + k) ?? + ?? )

Следовательно, процесс 14.74 нестационарен. Но первая разность этого процесса
?xt = ?t + ??t стационарна с параметрами:

E(?xt ) = E(?t + ??t ) = 0,
var(?xt ) = E((?xt )2 ) = E((?t + ??t )2 ) =
2 2 2 2 2
= ?? + 2E(?t ??t ) + E(?t ? 2?t ?t?1 + ?t?1 ) = ?? + 2?? ,
2
?1 = cov(?xt , ?xt?1 ) = E((?t + ?t ? ?t?1 )(?t?1 + ?t?1 ? ?t?2 )) = ??? ,
?k = cov(?xt , ?xt?k ) = E((?t + ?t ? ?t?1 )(?t?k + ?t?k ? ?t?k?1 )) = 0, k > 1.

Таким образом, первые разности ведут себя как MA(1)-процесс, а модель случай-
ного блуждания с шумом можно квалифицировать как ARIMA(0, 1, 1).
Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA
488

4. Модель общего тренда с нерегулярностью (The General Trend plus Irregular
Model).
Эта модель содержит детерменированный и стохастический тренды, а также
MA(q)-ошибку. Частный ее вариант:

xt = µt + ?t ,
(14.75)
µt = µt?1 + a0 + ?t .

t
Решением (14.75) является модель общего тренда a0 t + ?i с шумом:
i=1

t
xt = µ0 + a0 t + ?i + ?t .
i=1

Первая разность этой модели отличается от предыдущего варианта на константу
a0 : ?xt = a0 + ?t + ??t . Поэтому

E(?xt ) = a0 ,
2 2
var(?xt ) = ?? + 2?? ,
2
?1 = ??? ,
?k = 0, k > 1.

Следовательно, модель общего тренда с шумом — это также ARIMA(0, 1, 1).
В более общей постановке эта модель формулируется при помощи операто-
ра ?(L):
t
?i + ?(L)?t .
xt = µ0 + a0 t +
i=1


5. Модель локального линейного тренда (The Local Linear Trend Model).
Пусть {?t }, {?t } и {?t } — три взаимно некоррелированных процесса белого
шума. Тогда модель представляется следующими уравнениями:
?
? xt = µt + ?t ,
?
?
(14.76)
µ =µ + a + ?t ,
?t t?1 t
?
?a =a
t?1 + ?t .
t


Легко показать, что рассмотренные ранее модели являются частными случаями
данной модели.
489
14.9. Модели, содержащие стохастический тренд

Для нахождения решения выражаем at из последнего уравнения системы
(14.76):

t
at = a0 + ?i .
i=1


Этот результат используется для преобразования µt :

t
µt = µt?1 + a0 + ?i + ?t .
i=1


Далее,

t t?1
(t ? j)?j+1 .
µt = µ0 + ?i + a0 t +
i=1 j=0


Наконец, находим решение для xt :

t t?1
(t ? j)?j+1 + ?t .
xt = µ 0 + ?i + a0 t +
i=1 j=0


Каждый элемент в последовательности {xt } содержит детерминированный тренд,
причем весьма специфического вида, стохастический тренд и шум ?t .
Модель локального линейного тренда ведет себя как ARIMA(0, 2, 2). Действи-
тельно, первые разности процесса ?xt = at + ?t + ??t нестационарны, посколь-
ку at — процесс случайного блуждания. Однако, вторая разность

?2 xt = ?t + ??t + ?2 ?t

уже стационарна и имеет с параметры:

E(?2 xt ) = 0,
var(?2 xt ) = ?? + ?? + 6?? ,
2 2 2

2 2
?1 = ??? ? 4?? ,
2
?2 = ?? .

Все остальные коэффициенты автоковариации ?k для k > 2 равны нулю.
Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA
490

14.10. Упражнения и задачи
Упражнение 1

Сгенерируйте ряд длиной 4000 наблюдений по модели AR(1) с параметром
? = 0.5 и нормально распределенной неавтокоррелированной ошибкой с единич-
ной дисперсией, предполагая что значение ряда в момент t = 0 равно нулю. В дей-
ствительности вид модели неизвестен, а задан только ряд.

1.1. Разбейте ряд на 200 непересекающихся интервалов по 20 наблюдений.
По каждому из них с помощью МНК оцените модель AR(1). Проанализи-
руйте распределение полученных оценок авторегрессионного параметра. На-
сколько велика дисперсия оценок и есть ли значимое смещение по сравнению
с истинным параметром?
1.2. Рассмотрите построение прогноза на 1 шаг вперед с помощью трех моде-
лей: AR(1), AR(2) и модели линейного тренда. Для этого ряд следует раз-
бить на 200 непересекающихся интервалов по 20 наблюдений. По каждому
из этих интервалов с помощью МНК необходимо оценить каждую из трех
моделей, построить прогноз и найти ошибку прогноза. Сравните среднеквад-
ратические ошибки прогноза по трем моделям и сделайте выводы.

Упражнение 2

Сгенерируйте 200 рядов длиной 20 наблюдений по модели AR(1) с авторе-
грессионным параметром ?1 = (k ? 1)/200, k = 1, . . . , 200, с нормально распре-
деленной неавтокоррелированной ошибкой и единичной дисперсией. По каждому
ряду с помощью МНК оцените модель AR(1). Постройте график отклонения оценки
от истинного значения параметра в зависимости от истинного значения параметра
?1 . Что можно сказать по этому графику о поведении смещения оценок в зависи-
мости от ?1 ? Подтверждается ли, что оценки смещены в сторону нуля и смещение
тем больше, чем ?1 ближе к единице?

Упражнение 3

Сгенерируйте 200 рядов длиной 20 наблюдений по модели MA(2) с парамет-
рами ?1 = 0.5, ?2 = 0.3 и нормально распределенной неавтокоррелированной
ошибкой с единичной дисперсией.
3.1. Для каждого из рядов постройте выборочную автокорреляционную функцию
для лагов 1, 2, 3. Рассмотрите распределение коэффициентов автокорреля-
ции и сравните их с теоретическими значениями.
491
14.10 Упражнения и задачи

3.2. По каждому ряду на основе выборочных коэффициентов автокорреляции
оцените модель MA(2), выбирая то решение квадратного уравнения, которое
соответствует условиям обратимости процесса. Рассмотрите распределение
оценок и сравните их с истинными значениями.

Упражнение 4

Имеется информация о реальных доходностях ценных бумаг для трех фирм
Blaster, Mitre, и Celgene (дневные доходности, приведенные к годовым). (См. табл.
14.1 OOO »»O???O NO? ? U» OOON ?» U O »UO U O O IE»UO U O O ? ON.)

4.1. Изобразите график ряда для каждой из фирм и кратко охарактеризуйте свой-
ства ряда.

4.2. Для каждой из фирм посчитайте среднее по двум разным непересекающимся
подпериодам. Проверьте гипотезу равенства двух средних, используя простой
t-критерий.

4.3. Для каждой из фирм посчитайте дисперсию по тем же двум подпериодам.
Проверьте гипотезу равенства дисперсий, используя F -критерий. Какой вы-
вод можно сделать относительно стационарности рядов?

4.4. Для каждой из фирм рассчитайте выборочные автоковариации, автокорре-
ляции и выборочные частные автокорреляции для лагов 0, . . . , 6. Постройте
соответствующие графики. Оцените значения параметров p и q модели
ARMA(p, q).

4.5. Оцените параметры ? и ? модели ARMA(p, q) для каждой фирмы.

4.6. Постройте прогнозы доходности ценных бумаг на основе полученных моделей
на 6 дней вперед.

Упражнение 5

Для данных по производству природного газа в СССР (табл. 12.2, с. 403) по-
стройте модель ARIMA(p, d, q) и оцените доверительный интервал для прогноза
на 5 шагов вперед.

Задачи

1. Записать с использованием лагового оператора случайный процесс:
а) xt = µ + ?1 xt?1 + ?2 xt?2 + . . . + ?p xt?p + ?t ;
Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA
492



Таблица 14.1
t Blaster Mitre Celgene t Blaster Mitre Celgene t Blaster Mitre Celgene
1 0.41634 0.12014 0.37495 43 2.26050 0.04130 1.26855 85 1.86053 1.29274 2.52889
2 –0.23801 –0.05406 –0.18396 44 –2.67700 1.04649 –1.18533 86 –0.71307 0.01583 –0.79911
3 0.29481 –0.32615 0.15691 45 3.59910 1.50975 1.83224 87 1.43504 2.43129 0.86014
4 –0.61411 –0.29108 –0.40341 46 –1.91408 –0.78975 –0.08880 88 1.13397 0.92309 1.99122
5 0.27774 –0.02705 0.05401 47 1.41616 0.89511 –0.57678 89 0.06334 –1.09645 –0.48509
6 –0.40301 –0.78572 –0.11704 48 –0.13194 0.49100 1.61395 90 –0.42419 0.20130 –0.32999
7 –0.45766 –1.29175 –0.75328 49 0.30387 –0.62728 –0.74057 91 0.56689 –1.83314 0.76937
8 –0.89423 –2.42880 –0.73129 50 –0.40587 –0.53830 0.09482 92 –2.57400 –1.88158 –2.43071
9 –1.88832 –1.67366 –1.96585 51 –0.31838 1.17944 –0.52098 93 0.59467 1.17998 0.05017
10 –0.28478 2.05054 –0.33561 52 1.42911 0.42852 1.59066 94 –0.09736 –0.17633 0.85066
11 1.58336 0.13731 1.85731 53 –1.06378 –0.62532 –0.95433 95 –0.32876 –0.36017 –1.22773
12 –1.55354 –1.62557 –1.79765 54 0.83204 –1.31001 0.25028 96 0.31690 –0.82044 0.56133
13 0.47464 0.40286 –0.12857 55 –2.19379 –1.15293 –1.40754 97 –1.38083 –1.70314 –1.28727
14 –0.35276 –0.60609 0.58827 56 0.77155 –0.56983 –0.01986 98 –0.36896 1.23095 –0.68313
15 –0.54645 0.32509 –1.19108 57 –1.72097 0.12615 –0.77365 99 1.17509 0.94729 1.62377
16 1.00044 –0.02063 1.21914 58 1.49679 –0.37488 0.48386 100 –0.47758 1.29398 –0.64384
17 –1.26072 0.59998 –1.11213 59 –1.90651 0.63942 –0.99107 101 2.24964 0.14180 1.81862
18 2.05555 1.71220 1.51049 60 2.46331 0.47653 1.36935 102 –1.87715 –0.80889 –1.17413
19 –0.37029 1.48972 0.48379 61 –1.94601 0.52649 –0.69769 103 1.42413 0.46915 0.43877
20 2.20692 2.90700 1.21797 62 2.61428 2.10024 1.16649 104 –1.04233 1.22177 0.25152
21 1.26647 1.98764 2.19226 63 –0.29189 0.75862 1.24826 105 2.09249 1.09135 0.99786
22 1.25773 1.16628 0.60026 64 1.28001 0.44524 –0.08931 106 –0.65041 0.10892 0.29152
23 0.88074 –1.06153 1.25668 65 –0.12871 –1.52804 0.85085 107 1.02974 –1.06781 0.05320
24 –1.52961 –1.80661 –1.52435 66 –1.39518 –1.76352 –1.92776 108 –1.75288 –0.89211 –0.86576
25 –0.04273 1.19855 –0.15779 67 –0.25838 –0.16521 –0.01712 109 0.65799 0.73063 –0.05176
26 0.72479 0.76704 1.33383 68 –0.58997 0.26832 –0.30668 110 –0.17125 –0.07063 0.67682
27 –0.18366 0.18001 –0.56059 69 0.57022 –0.32595 0.19657 111 –0.08333 0.45717 –0.79937
28 0.79879 0.50357 0.61117 70 –0.90955 0.05597 –0.70997 112 0.81080 0.32701 1.08553
29 –0.21699 1.20339 0.12349 71 0.97552 0.40011 0.58198 113 –0.58788 –0.50112 –0.54259
30 1.55485 1.29821 1.23577 72 –0.64304 –0.27051 –0.11007 114 0.33261 1.75660 0.02756
31 –0.01895 0.57772 0.41794 73 0.42530 0.30712 –0.17654 115 1.37591 0.46400 1.79959
32 0.99008 0.30803 0.46562 74 –0.02964 –0.43812 0.48921 116 –0.84495 –2.36130 –0.98938
33 –0.32137 –0.55553 0.21106 75 –0.50316 –0.19260 –0.82995 117 –0.99043 –0.78306 –1.35391
34 –0.12852 –1.63234 –0.49739 76 0.41743 0.35469 0.50887 118 –0.04455 –0.13031 0.46131
35 –1.43837 –0.79997 –1.10015 77 –0.26740 –0.43595 –0.10447 119 –0.70314 –1.05764 –0.71196
36 0.28452 0.83711 0.05172 78 –0.10744 –0.69389 –0.39020 120 –0.43426 –0.38007 –0.74377
37 0.14292 1.01700 0.54283 79 –0.56917 0.77134 –0.37322 121 –0.13906 0.42198 0.04100
38 0.78978 0.93925 0.33560 80 1.14361 0.19675 1.03231 122 0.27676 –1.59661 0.20112
39 0.48850 –0.73179 0.65711 81 –0.99591 0.28117 –0.74445 123 –1.86932 –0.04115 –1.89508
40 –0.96077 0.31793 –1.09358 82 1.49172 0.62375 0.92118 124 1.74776 2.69062 1.46584
41 1.45039 –1.34070 1.42896 83 –0.83109 –0.96831 –0.06863 125 0.52476 1.04090 1.30779
42 –2.99638 –0.75896 –2.47727 84 –0.00917 1.77019 –0.81888 126 0.86322 0.23965 –0.09381
493
14.10 Упражнения и задачи



Таблица 14.1. (продолжение)
t Blaster Mitre Celgene t Blaster Mitre Celgene t Blaster Mitre Celgene
127 0.12222 1.31876 0.60471 169 –2.20714 –0.41948 –0.27731 211 1.51485 –0.97684 0.86781
128 1.30642 0.45303 1.17204 170 1.83600 –1.04210 –0.00317 212 –2.50036 –1.13180 –1.74068
129 –0.57192 0.41682 –0.26719 171 –2.62281 0.90594 –0.89549 213 1.32618 1.48218 0.27384
130 1.30327 0.32936 0.87774 172 3.12742 –0.71167 1.64780 214 –0.16750 0.39183 1.11966
131 –0.84416 0.61935 –0.20724 173 –3.79724 –0.02254 –2.18906 215 0.42028 –0.52533 –0.69835
132 1.58641 0.83562 0.93209 174 3.80089 2.35129 1.77382 216 –0.42438 –1.01260 0.10685
133 –0.58774 0.34732 0.17484 175 –1.54768 –0.64010 0.83427 217 –0.74802 –0.83307 –0.98493
134 1.12133 –0.03793 0.34328 176 1.05327 –1.19450 –1.29993 218 –0.18508 –0.07511 –0.02618
135 –0.88277 –0.54302 –0.15044 177 –1.57945 0.55914 0.11559 219 –0.27858 0.72752 –0.21877
136 0.33158 –1.70839 –0.28336 178 1.54446 0.18847 0.55672 220 0.87498 –1.35822 0.70596
137 –2.03067 –1.22414 –1.43274 179 –1.28825 0.66119 –0.37065 221 –2.18781 –1.93248 –2.04429
138 0.43818 –0.54955 –0.13700 180 1.94968 0.46034 0.92503 222 0.29517 –0.01706 –0.23267
139 –1.44659 –0.53705 –0.71974 181 –1.29186 –0.82241 –0.26353 223 –0.87564 –2.02272 0.01847
140 0.56263 1.64035 –0.26807 182 0.58699 –1.93992 –0.48556 224 –1.55568 0.90288 –2.35370
141 0.96118 1.70204 1.61264 183 –2.43099 –0.43524 –1.43990 225 2.33976 1.99827 2.58159
142 0.71138 0.30461 0.25218 184 1.49486 –0.15310 0.67209 226 –0.86069 –0.33414 –0.42717
143 0.25957 –0.42989 0.26638 185 –2.02672 –0.86983 –1.00252 227 1.13389 –0.46117 –0.00198
144 –0.39911 1.64975 –0.31866 186 1.01176 0.74648 –0.28958 228 –1.28321 1.37416 –0.22666
145 2.09642 2.59804 2.14297 187 –0.32973 0.50541 0.83129 229 2.46195 0.98181 1.71017
146 0.55396 2.44417 0.91428 188 0.60712 –1.01920 –0.30054 230 –1.33630 0.18633 –0.40385
147 2.59219 0.87112 1.93566 189 –1.24396 –0.47570 –0.74958 231 1.88226 0.65077 0.67102
148 –0.92353 –1.59130 –0.23407 190 0.61988 0.73345 0.21236 232 –0.96236 0.01818 0.31244
149 –0.06896 –2.00737 –0.80695 191 –0.09182 1.10966 0.49188 233 0.99833 0.56680 –0.07017
150 –1.90109 –0.21639 –0.97295 192 1.14494 –0.35472 0.60138 234 –0.15850 0.72097 0.75775
151 1.04222 0.08106 0.52037 193 –1.15962 –0.25419 –0.80978 235 0.79860 0.01263 0.17952
152 –1.32252 –1.41365 –0.69199 194 1.05295 0.23071 0.57739 236 –0.44636 0.10951 –0.02671
153 –0.15447 0.10208 –1.09443 195 –0.92113 –0.21711 –0.17697 237 0.60990 –0.43066 0.26746
154 0.16722 0.11579 0.87557 196 0.66513 0.87219 –0.07976 238 –0.97024 –0.33060 –0.56602
155 –0.45657 –0.63291 –0.78207 197 0.28363 1.51583 0.92934 239 0.58530 1.47322 0.16698
156 0.00584 –0.89310 –0.08703 198 1.19450 0.91161 0.75373 240 0.78037 –0.52826 1.28774
157 –1.05101 0.07757 –0.86295 199 0.17008 0.90071 0.41868 241 –1.25522 –0.88925 –1.62637
158 0.93651 –0.18388 0.70155 200 1.08470 –0.51061 0.82681 242 0.72438 –1.90852 0.57099
159 –1.32255 –1.33106 –0.91757 201 –1.27643 –0.82689 –0.90190 243 –2.97849 –1.06136 –2.35532
160 0.01609 0.35961 –0.66348 202 0.57728 0.16717 0.14775 244 1.61219 1.26234 0.73721
161 0.15497 3.33824 0.82107 203 –0.61943 0.62127 0.07797 245 –0.92336 –0.22703 0.30842
162 2.87330 0.51674 2.49646 204 1.06910 1.37518 0.45461 246 0.60912 1.03409 –0.76861
163 –1.82484 0.42367 –1.53503 205 0.47147 –0.10956 0.94669 247 0.78275 –0.54114 1.64521
164 3.02300 0.22201 2.08618 206 –0.36583 1.29469 –0.80073 248 –1.45383 –0.91160 –1.83561
165 –2.73530 0.34709 –1.13867 207 2.02680 1.27776 2.17034 249 0.90928 2.84407 0.73683
166 3.23531 0.78318 1.51341 208 –0.75375 –0.42283 –0.35325 250 1.53899 1.62233 2.23506
167 –2.32656 0.76416 –0.36499 209 0.86800 –0.58282 0.10153
168 3.15157 0.54297 1.16592 210 –1.27776 0.43351 –0.41637
Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA
494

б) xt = µ + ?t + ?1 ?t?1 + ?2 ?t?2 + . . . + ?q ?t?q ;
в) xt = µ+?1 xt?1 +?2 xt?2 +. . .+?p xt?p +?t +?1 ?t?1 +?2 ?t?2 +. . .+?q ?t?q .

2. Вывести формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии
?
и ковариаций случайного процесса xt = µ + ?t + ?i ?t?i при условии его
i=1
слабой стационарности, если ?t — белый шум с дисперсией ? 2 и матема-
тического ожидания E(?t xt?k ) = 0, ? |k| 1.

3. Вывести формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии
и ковариаций случайного процесса xt = µ + ?1 xt?1 + ?t при условии его
слабой стационарности, если ?t — белый шум с дисперсией ? 2 .

4. Обосновать утверждение о том, что модель авторегрессии является частным
случаем модели линейного фильтра.

5. Записать случайный процесс xt = 0.2 + 0.6xt?1 + ?t с использованием лаго-
вого оператора и виде процесса скользящего среднего бесконечного порядка.

6. При каких условиях процесс AR(1) стационарен и обратим?

7. Задана модель: xt = 0.25xt?1 +?t , где ?t — белый шум. Дисперсия процесса
xt равна единице. Вычислить дисперсию белого шума.

8. Чему равна дисперсия Марковского процесса xt = 0.5xt?1 +?t , если диспер-
сия белого шума равна 1? Изобразить график автокорреляционной функции
данного процесса.

9. Для процесса xt = ?0.7 ? 0.7xt?1 + ?t , где ?t — белый шум, рассчитать
частную автокорреляционную функцию, вычислить первые 6 значений ав-
токорреляционной функции и начертить ее график.

10. Для модели AR(1): xt = µ + 0.5xt?1 + ?t показать, что частная автокорре-
ляционная функция ?1,1 = 0.5, ?k,k = 0 при k 2.

11. Даны два марковских процесса:
xt = 0.5xt?1 + ?t ; yt = 0.2yt?1 + ?t .
Дисперсия какого процесса больше и во сколько раз?

12. Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариации случайного про-
цесса xt , если ?t — белый шум с единичной дисперсией.
а) xt = 0.1 + 0.9xt?1 + ?t ; б) xt = ?0.2xt?1 + ?t .

13. Найти спектр процесса xt = ?t + 0.1?t?1 + 0.01?t?2 + . . . .
495
14.10 Упражнения и задачи

14. Корень характеристического уравнения, соответствующего процессу Мар-
кова, равен 2, остаточная дисперсия равна 1. Найти значение спектра на
частоте 0.5.

15. Имеется ли разница в графиках спектра для процессов xt = 0.9xt?1 + ?t
и xt = 0.2xt?1 + ?t ? Если да, то в чем она выражается?

16. Корни характеристических уравнений, соответствующих двум марковским
процессам, равны +1.25 и ?1.25. В чем отличие процессов и как это разли-
чие отражается на графиках спектра и автокорреляционной функции?

17. Пусть ?t — белый шум с единичной дисперсией. Найти математическое
ожидание, дисперсию и ковариации случайного процесса:
а) xt = 1 + 0.5xt?1 + ?t ; б) xt = 0.5xt?1 + ?t .

18. Проверить на стационарность следующие процессы:
а) xt ? 0.4xt?1 ? 0.4xt?2 = ?t ; б) xt + 0.4xt?1 ? 0.4xt?2 = ?t ;
в) xt ? 0.4xt?1 + 0.4xt?2 = ?t .
Изобразить схематически графики автокорреляционной функции этих про-
цессов. Проверить правильность выводов с помощью точного вычисления
автокорреляционной функции для каждого из процессов.

19. Корни характеристического уравнения для процесса Юла равны, соответ-
ственно, 5 и ?5. Изобразить график автокорреляционной функции. Дать
обоснование.

20. Корни характеристического уравнения, соответствующего процессу Юла,
равны 1.9 и ?1.3. Изобразить график автокорреляционной функции это-
го процесса. Ответ обосновать.

21. Коэффициенты автокорреляции первого и второго порядка в процессе Юла
равны, соответственно, 0.5 и 0.4. Оценить параметры процесса. Найти дис-
персию белого шума, если дисперсия процесса равна 1.

22. При каких значениях ?2 следующие случайные процессы являются стацио-
нарными в широком смысле?
а) xt = xt?1 + ?2 xt?2 + ?t ; б) xt = ?xt?1 + ?2 xt?2 + ?t .
Вывести автокорреляционные функции данных случайных процессов при
?2 = ?0.5.

23. Параметры ?1 и ?2 процесса AR(2) равны, соответственно, 0.6 и ?0.2.
Каковы первые три значения автокорреляционной функции?
Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA
496

24. Для процесса xt = 0.5xt?1 + 0.25xt?2 + ?t коэффициенты автокорреля-
ции первого и второго порядка равны, соответственно, 2 3 и 7 12 . Найти
коэффициент автокорреляции четвертого порядка.
25. Пусть процесс AR(2) xt = ?1 xt?1 + ?2 xt?2 + ?t является стационарным
в широком смысле, и ?t — белый шум с дисперсией ? 2 . Показать, что
частная автокорреляционаня функция
?2 ?2 + ?2 (1 ? ?2 )2
?1 1
?1, 1 = , ?2, 2 = ,
1 ? ?2 (1 ? ?1 ? ?2 )(1 + ?1 ? ?2 )
= 0, при k 3.
?k, k

26. По известным значениям частной автокорреляционной функции ?1, 1 = 0.5
и ?2, 2 = 2 3 случайного процесса найти значения коэффициентов автокор-
реляции первого и второго порядка.
27. Пусть процесс AR(p) является стационарным в широком смысле. Показать,
что частная автокорреляционаня функция ?p+1,p+1 = 0.
28. В каком случае процесс, описываемый моделью MA(q), стационарен и об-
ратим?
29. Коэффициент автокорреляции первого порядка для обратимого процесса
скользящего среднего первого порядка равен ?0.4. Записать уравнение про-
цесса и изобразить график его автокорреляционной функции.
30. Показать, что обратимый процесс MA(1) можно представить в виде процесса
авторегрессии.
31. Показать, что процесс xt = µ + ?t + ?1 ?t?1 эквивалентен процессу AR(?),
если |?1 | < 1 и ?t — белый шум.
32. Найти автокорреляционную функцию процесса:
xt = ?t ? 0.5xt?1 ? 0.25xt?2 ? 0.125xt?3 ? 0.0625xt?4 + . . . .
33. Вывести формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии
и ковариаций случайного процесса xt = µ + ?t + ?1 ?t?1 при условии его
слабой стационарности, если ?t — белый шум с дисперсией ? 2 .
34. Пусть ?t — белый шум с единичной дисперсией. Чему равна дисперсия про-
цесса xt = ?t + 0.2?t?1 ? Изобразить график автокорреляционной функции.
35. Идентифицировать процесс, автокорреляционная функция которого имеет
следующий вид:
а) ?1 = 0.25, ?k = 0, ?k б) ?1 = ?0.4, ?k = 0, ?k
2; 2.
497
14.10 Упражнения и задачи

36. Является ли случайный процесс, автокорреляционная функция которого име-
ет следующий вид: ?1 = 0.5, ?k = 0, ?k 2, обратимым?

37. Для каждого из случайных процессов:
а) xt = ?t + 0.5?t?1 ; б) xt = ?t ? 0.5?t?1 ; в) xt = ?1 + ?t + 0.8?t?1 ;
рассчитать частную автокорреляционную функцию, вычислить первые 6 зна-
чений автокорреляционной функции и построить ее график.

38. Показать, что частные автокорреляционные функции следующих слабо ста-
ционарных случайных процессов совпадают:
а) xt = µ + ?t + ?1 ?t?1 и zt = ?t + ?1 ?t?1 ,
б) xt = µ + ?t + ?1 ?t?1 + ?2 ?t?2 + . . . + ?q ?t?q
и zt = ?t + ?1 ?t?1 + ?2 ?t?2 + . . . + ?q ?t?q ,
2 2
где ?t и ?t — процессы белого шума с дисперсиями ?? и ?v , соответственно.

39. Имеется следующий обратимый процесс : xt = ?t +?1 ?t?1 +?2 ?t?2 , где ?t —
белый шум с дисперсией ? 2 . Рассчитать коэффициенты автоковариации.
Записать автокорреляционную функцию для этого процесса.

40. Построить график автокорреляционной функции процесса:
а) xt = ?t + 0.5?t?1 ? 0.3?t?2 ; б) xt = 1 + ?t ? 0.4?t?1 + 0.4?t?2 .

41. Переписать случайный процесс
xt = 0.5xt?1 + 0.5xt?2 + ?t ? ?t?1 + 3?t?2
с использованием лагового оператора, где ?t — белый шум. Проверить
процесс на стационарность и обратимость.

42. Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариации случайного про-
цесса xt = 0.5xt?1 + ?t ? 0.7?t?1 , если ?t — белый шум. Построить график
автокорреляционной функции.

43. На примере процесса ARMA(1, 1) продемонстрировать алгоритм оценивания
его параметров методом моментов.
31 93
44. Найти параметры модели ARMA(1, 1), если ?1 = , ?2 = .
41 205
45. Проверить на стационарность и обратимость процесс
xt = 0.6 + 0.3xt?1 + 0.4xt?2 + ?t ? 0.7?t?1 ,
где ?t — белый шум с дисперсией ? 2 . Представить процесс в виде AR(?),
если это возможно.
Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA
498

46. Определить порядок интегрирования процесса xt = 1.5xt?1 + 0.5xt?2 + ?t ?
? 0.5?t?1 . Ответ обосновать.

47. Для модели (1 ? L)(1 + 0.4L)xt = (1 ? 0.5L)?t определить параметры p,
d , q. Является ли процесс стационарным?

48. Записать формулу расчета коэффициента автоковариации первого порядка
для процесса ARIMA(2, 2, 2).

49. Какую роль выполняет оператор скользящего среднего в прогнозировании
процессов ARMA(p, q)? Ответ обосновать.

50. Построить точечный прогноз на один шаг вперед, если известно, что процесс
xt = 0.1xt?1 + ?t + 0.2?t?1 , xT = 10, ?T = 0.1.

51. Построить доверительный интервал для прогноза на два шага вперед для
случайного процесса xt = 0.5xt?1 +?t , если известно, что xT = ?1.6 и ?t —
белый шум с единичной дисперсией.

52. Построить интервальный прогноз на 2 шага вперед для случайного процесса:

а) xt = 1 + ?t + 0.7?t?1 , если ?t — белый шум с единичной дисперсией
и ?T = ?6.7;
б) xt = 1 + 1.3xt?1 + ?t , если ?t — белый шум с единичной дисперсией
и xT = 7.1, xT ?1 = 6.7, ?t = 0.5.

53. Записать в компактной и развернутой формах уравнение процесса
ARIMA(1, 2, 2), привести формулу доверительного интервала для прогноза
на 4 шага вперед с выводом формул для параметров ?j и дисперсии белого
шума.

54. Записать формулу доверительного интервала для прогноза по модели
ARIMA(1, 1, 1), с выводом формул для ?j и дисперсии белого шума.


Рекомендуемая литература
1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т. 2. — М.: «Юнити», 2001. (Гл. 3).

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: «Мир», 1976.
(Гл. 5).

3. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.
Вып. 1. — М.: «Мир», 1974. (Гл. 3–6).
499
14.10 Упражнения и задачи

4. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и вре-
менные ряды. — М.: «Наука», 1976. (Гл. 47).

5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный
курс. — М.: «Дело», 2000. (Гл. 12).

6. Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. Т. 2. // Под ред. Э. Ллойда,
У. Ледермана. — М.: «Финансы и статистика», 1990. (Гл. 18).

7. Chatfield Chris. The Analysis of Time Series: An Introduction... 5th ed. —
Chapman & Hall/CRC, 1996. (Ch. 3–5).

8. Enders Walter. Applied Econometric Time Series. — Iowa State University,
1995. (Ch. 5).

9. Judge G.G., Griffiths W.E., Hill R.C., Luthepohl H., Lee T. Theory and Practice
of Econometrics. — New York: John Wiley & Sons, 1985. (Ch. 7).

10. Hamilton James D., Time Series Analysis. — Princeton University Press, 1994.
(Ch. 3, 4).

11. Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists. — Cambridge
University Press, 1990. (Ch. 5–8).

12. Pollock D.S.G. A handbook of time-series analysis, signal processing and
dynamics. — «Academic Press», 1999. (Ch. 16–19).
Глава 15

Динамические модели
регрессии

При моделировании экономических процессов с помощью регрессионного ана-
лиза часто приходится наряду с некоторым временным рядом вводить в модель
также лаг этого ряда. В экономике практически нет примеров мгновенного реагиро-
вания на какое-либо экономическое воздействие — существуют задержки прояв-
ления эффектов от капиталовложений, внесения удобрений и т.д., иными словами,
при моделировании необходимо учитывать воздействие факторов в предыдущие
моменты времени. Выше были введены некоторые из таких моделей: регрессия
с распределенным лагом и модели ARIMA. В этой главе рассматриваются различ-
ные аспекты подобного рода моделей.


15.1. Модель распределенного лага:
общие характеристики и специальные
формы структур лага
Напомним, что простейшая модель распределенного лага — это модель регрес-
сии, в которой на динамику исследуемой переменной xt влияет не только какой-то
объясняющий фактор zt , но и его лаги. Модель имеет следующий вид:
q
(15.1)
xt = µ + ?j zt?j + ?t = µ + ?(L)zt + ?t ,
j=0
501
15.1 Модель распределенного лага
q
?j Lj , a q — величина максимального лага.
где ?(L) =
j=0
Данную модель можно охарактеризовать следующими показателями.
Функция реакции на импульс (impulse response function, IRF) показывает,
насколько изменится xt при изменении zt?j на единицу для лагов j = 0, 1, 2, ....
dxt
Таким образом, можно считать, что речь идет о производной как функции
dzt?j
запаздывания j. Ясно, что для модели распределенного лага этот показатель сов-
падает с коэффициентом ?j при j q и равен нулю при j > q. При j < 0
(влияние будущих значений переменной z на переменную x) реакцию на импульс
можно положить равной нулю.
Накопленная реакция на импульс для лага k — это просуммированные зна-
чения простой функции реакции на импульс от j = 0 до j = k. Для модели
распределенного лага это сумма коэффициентов:

min{k, q}
?j .
j=0


Долгосрочный мультипликатор является измерителем общего влияния пере-
менной z на переменную x. Он равен
q
?? = ?j = ?(1).
j=0


Это предельное значение накопленной реакции на импульс. Если x и z —
логарифмы исходных переменных, то ?? — долгосрочная эластичность.
Средняя длина лага показывает, на сколько периодов в среднем запаздывает
влияние переменной z на переменную x. Она вычисляется по формуле
q q
j?j j?j
j=0 j=0
?=
j = .
q
??
?j
j=0


Заметим, что среднюю длину лага можно записать через производную логариф-
ма многочлена ?(L) в точке 1. Действительно,
? ?
q q
? (v) = ? j?
j?j v j?1
?j v =
j=0 j=0
502 Глава 15. Динамические модели регрессии
q
? (1)
j?j . Поэтому ? =
и ? (1) = .
j = (ln ?(v))
?(1) v=1
j=0
Наряду со средней длиной лага можно рассматривать также медианную длину
лага, то есть такую величину лага, при которой накопленная функция реакции на
импульс равна половине долгосрочного мультипликатора. Ясно, что для большин-
ства возможных структур лага такое равенство может выполняться только при-
ближенно. Поэтому невозможно дать однозначное определение медианной длины
лага.
Оценивание модели распределенного лага может быть затруднено проблемой
мультиколлинеарности, если величина фактора zt мало меняется со временем. Ес-
ли zt — случайный процесс, то такая ситуация возникает, когда данный процесс
сильно положительно автокоррелирован. Например, это может быть авторегрес-
сия первого порядка с коэффициентом авторегрессии, близким к единице. Если
бы фактор zt был линейным трендом, например, zt = t, то модель невозможно
было бы оценить. Действительно, несложно увидеть, что тогда zt , zt?1 = t ? 1
и константа связаны между собой линейной зависимостью. Если zt — линейный
тренд с добавлением небольшой стационарной случайной составляющей, то, хо-
тя строгой линейной зависимости уже не будет, проблема мультиколлинеарности
останется.
Если возникает подобная проблема мультиколлинеарности, то нельзя точно
оценить структуру лага, хотя можно оценить сумму весов ?i — т.е. долгосрочный
мультипликатор ?? . Эта сумма вычленяется из модели следующим образом:
q
?j (zt?j ? zt ) + ?t .
xt = µ + ?? zt +
j=1


В случае мультиколлинеарности лаговых переменных обычно на лаговую струк-
туру накладывают какое-нибудь ограничение, чтобы уменьшить количество оце-
ниваемых коэффициентов. Ниже рассматриваются две наиболее важные модели
этого типа.


Полиномиальный лаг

Одна из возможных структур лага — полиномиальный лаг1 , веса которого
задаются многочленом от величины лага j:
p
?s j s , (15.2)
?j = j = 0, . . . , q,
s=0

1
Эту модель предложила С. Алмон, поэтому часто используют термин «лаг Алмон» (Almon lag).
503
15.1 Модель распределенного лага

?j




j
. . . . .
0 1 2 q

Рис. 15.1



где p — степень многочлена, p < q. Вводя такую зависимость, мы накладываем
q ? p линейных ограничений на структуру лага.
Простейший полиномиальный лаг — линейный. Для него ?j = ?0 + ?1 j. Как
правило, здесь ?1 < 0. Его структура изображена на диаграмме (рис. 15.1).
Поскольку исходная модель регрессии линейна и ограничения, которые поли-
номиальный лаг накладывает на ее коэффициенты, являются линейными, то полу-
ченная модель останется линейной. Рассмотрим, каким образом ее можно оценить.
C учетом выражений для ?j , проведем преобразование исходной модели:
q q p p q p
?s j s zt?j = j s zt?j =
?j zt?j = ?s ?s yts .
s=0 s=0 s=0
j=0 j=0 j=0
?j

Получим новую модель линейной регрессии:
p
xt = µ + ?s yts + ?t
s=0

с преобразованными факторами
q
j s zt?j .
yts =
j=0

Оценив ?s , можно вычислить веса ?j , воспользовавшись формулой (15.2).
При оценивании модели с ограничениями на структуру лага нужно проверить,
правильно ли наложены ограничения. С помощью соответствующей F -статистики
можно сравнить ее с исходной, неограниченной моделью, поскольку она является
ее частным случаем. Модель
q
xt = µ + ?s yts + ?t
s=0
504 Глава 15. Динамические модели регрессии

?j




j
. . . .
0 1 2 3

Рис. 15.2


эквивалентна исходной модели с точностью до линейных преобразований, поэто-
му достаточно проверить гипотезу о том, что последние q ? p коэффициентов
(?p+1 , . . . , ?q ) равны нулю.
Часто принимают, что веса на концах полиномиальной лаговой структуры (15.2)
равны нулю. Это требование накладывает на коэффициенты модели дополнитель-
ные ограничения. Можно, например, потребовать, чтобы ?q = 0, то есть
p
?s q s = 0.
s=0

Учесть такие ограничения несколько сложнее, но в целом не требуется выходить
за рамки обычной линейной регрессии.

Геометрический лаг

Еще один популярный вид структуры лага — геометрический лаг. Его веса ?j
задаются следующими соотношениями:
j = 0, . . . , ?,
?j = ?0 ?j ,
где 0 < ? < 1. Веса геометрического лага убывают экспоненциально с увеличением
лага (рис. 15.2).
Модель распределенного лага с этими весами, модель Койка, имеет следующий
вид:
?
?j zt?j + ?t . (15.3)
xt = µ + ?0
j=0

Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, получим
? ?
?0
j
(?v)j =
?(v) = ?j v = ?0 .
1 ? v?
j=0 j=0
505
15.1 Модель распределенного лага

Сумма весов в этой модели (долгосрочный мультипликатор) равна
?
?0
?? = ?j = ?(1) = .
1??
j=0

Кроме того,
?
ln ?(v) = ln ?0 ? ln(1 ? v?) и (ln ?(v)) = ,
1 ? v?
поэтому средняя длина геометрического лага равна
?
? = (ln ?(v))
j = .
1??
v=1

Чтобы избавиться от бесконечного ряда, к модели с геометрическим лагом при-
меняют преобразование Койка (Koyck transformation). Сдвинем исходное урав-
нение на один период назад:
?
?0 ?j zt?j?1 + ?t?1 ,
xt?1 = µ +
j=0

затем умножим это выражение на ? и вычтем из исходного уравнения (15.3):

xt ? ?xt?1 = (1 ? ?)µ + ?0 zt + ?t ? ??t?1 . (15.4)

Такой же результат можно получить, используя лаговые операторы:
? ?
(?L)j zt + ?t .
j
xt = µ + ?0 ? zt?j + ?t = µ + ?0
j=0 j=0


Выражение в скобках упрощается с использованием формулы суммы беско-
нечной геометрической прогрессии:
1
xt = µ + ?0 zt + ?t .
1 ? ?L
Умножим это уравнение на оператор (1 ? ?L):

(1 ? ?L) xt = (1 ? ?L) µ + ?0 zt + (1 ? ?L) ?t

или учитывая, что оператор сдвига, стоящий перед константой, ее сохраняет, по-
лучаем формулу (15.4). В результате имеем следующую модель:

xt = µ + ?xt?1 + ?0 zt + ?t ,
506 Глава 15. Динамические модели регрессии

где µ = (1 ? ?)µ и ?t = ?t ? ??t?1 . Это частный случай авторегрессионной модели
с распределенным лагом, рассматриваемой в следующем пункте.
Заметим, что в полученной здесь модели ошибка ?t не является белым шумом,
а представляет собой процесс скользящего среднего первого порядка. Модель яв-
ляется линейной регрессией, однако для нее не выполнено требование о некорре-
лированности регрессоров и ошибки. Действительно, ?t?1 входит как в xt?1 , так
и в ?t . Следовательно, оценки метода наименьших квадратов не являются состоя-
тельными и следует пользоваться другими методами.
Можно оценивать модель Койка в исходном виде (15.3). Сумму в этом урав-
нении можно разделить на две части: соответствующую имеющимся наблюдени-
ям для переменной zt и относящуюся к прошлым ненаблюдаемым значениям,
т.е. z0 , z?1 и т.д.:

?
t?1
j
?j zt?j + ?t .
xt = µ + ?0 ? zt?j + ?0
j=0 j=t


Далее, во второй сумме сделаем замену j = s + t:

?
t?1
j t
?s z?s + ?t .
xt = µ + ?0 ? zt?j + ?0 ?
s=0
j=0

?
?s z?s , получим модель нелинейной регрессии с четырьмя
Обозначив ? = ?0
s=0
неизвестными параметрами:

t?1
?j zt?j + ??t + ?t .
xt = µ + ?0
j=0


В такой модели ошибка и регрессоры некоррелированы, поэтому нелинейный
МНК дает состоятельные оценки.



15.2. Авторегрессионная модель
с распределенным лагом

Авторегрессионная модель с распределенным лагом является примером ди-
намической регрессии, в которой, помимо объясняющих переменных и их лагов,
в качестве регрессоров используются лаги зависимой переменной.
507
15.2. Авторегрессионная модель с распределенным лагом

Авторегрессионную модель с распределенным лагом, которая включает одну
независимую переменную, можно представить в следующем виде:
p q
(15.5)
xt = µ + ?j xt?j + ?j zt?j + ?t ,
j=1 j=0

где первая сумма представляет собой авторегрессионную компоненту — распреде-
ленный лаг изучаемой переменной, вторая сумма — распределенный лаг незави-
симого фактора. Обычно предполагается, что в этой модели ошибки ?t являются
белым шумом и не коррелированны с фактором zt , его лагами и с лагами изуча-
емой переменой xt . При этих предположениях МНК дает состоятельные оценки
параметров модели.
Сокращенно эту модель обозначают ADL(p, q) (от английского autoregressive
distributed lag), также часто используется аббревиатура ARDL, где p — поря-
док авторегрессии, q — порядок распределенного лага. Более компактно можно
записать модель в операторной форме:

? (L) xt = µ + ? (L) zt + ?t ,
p q
где ?(L) = 1 ? ?j Lj и ?(L) = ?j Lj — лаговые многочлены.
j=1 j=0
Модель ADL(1, 1) имеет следующий вид:

xt = µ + ?1 xt?1 + ?0 zt + ?1 zt?1 + ?t .

Некоторые частные случаи модели ADL уже были рассмотрены ранее.
Модель ADL(0, q) — это модель распределенного лага, рассмотренная
в предыдущем пункте (в правой части нет лагов зависимой переменной).
Модель геометрического распределенного лага после преобразования Койка
можно интерпретировать как ADL(1, 0) с процессом MA(1) в ошибке и ограниче-
нием на коэффициент при xt?1 , который равен параметру MA-процесса (?):

xt = µ + ?xt?1 + ?0 zt + (?t ? ??t?1 ).

Авторегрессионную модель AR(p) можно считать ADL(p, ?1). В этой модели
переменная в левой части зависит только от своих собственных лагов:
p
xt = µ + ?j xt?j + ?t .
j=1

Как и в случае модели распределенного лага, можно ввести ряд показателей,
характеризующих модель ADL. Если обратить лаговый многочлен ?(L) и умножить
508 Глава 15. Динамические модели регрессии

на него исходное уравнение модели, то получим

µ ?(L) ?t
xt = ??1 (L)?(L)xt = + zt +
?(L) ?(L) ?(L)
или
?
?
?i zt?i + ?? ,
xt = µ + t
i=0

где
?
µ ?t ?(L)
?
?? ? i Li .
и
µ= , = = ?(L) =
t
?(1) ?(L) ?(L) i=0


Как и в модели ARMA, такое преобразование корректно, если все корни мно-
гочлена ?(·) лежат за пределами единичной окружности.
Коэффициенты ?i показывают влияние лагов переменной z на переменную
x, то есть они представляют собой функцию реакции на импульс. Символически
эти коэффициенты можно записать в виде:

dxt
?i = .
dzt?i

Рекуррентная формула для расчета коэффициентов ?i получается дифферен-
циацией по zt?i исходного уравнения модели (15.5):
p q
d(µ + ?j xt?j + ?j zt?j + ?t ) p
j=1 j=0
?i = = ?j ?i?j + ?i .
dzt?i j=1


Здесь принимается во внимание, что
?
?
? 0, j = i,
dxt?j dzt?j d?t
и
= ?i?j , = = 0.
?
?
dzt?i dzt?i dzt?i
1, j = i,

При использовании этой рекуррентной формулы следует взять ?i = 0
для i < 0. В частном случае модели распределенного лага (когда p = 0) эта
формула дает ?i = ?i , то есть влияние zt?i на ?i количественно выражается
коэффициентом при zt?i (весом лага).
509
15.2 Некоторые прикладные динамические модели

Сумма коэффициентов ?i показывает долгосрочное влияние z на x (долго-
срочный мультипликатор). Она равна
q
?j
?
?(1) j=0
(15.6)
?? = ?i = ?(1) = = .
p
?(1)
1? ?j
i=0
j=1

По аналогии с моделью распределенного лага можно ввести показатель средней
длины лага влияния z на x. Он равен
q p
?
j?j j?j
i?i
j=0 j=1
i=0
= (ln ?(v) ? ln ?(v))
= (ln ?(v)) = + .
? q p
1?
?i v=1 v=1 ?j ?j
i=0 j=0 j=1



15.3. Модели частичного приспособления,
адаптивных ожиданий и исправления
ошибок
Рассмотрим некоторые прикладные динамические модели, сводящиеся к моде-
ли авторегрессионного распределенного лага.

Модель частичного приспособления

В экономике субъекты не сразу могут приспособиться к меняющимся усло-
виям — это происходит постепенно. Нужно время на изменение запасов, обу-
чение, переход на новые технологии, изменение условий долгосрочных контрак-
тов и т.д. Эти процессы можно моделировать с помощью модели частичного
приспособления.
Для иллюстрации приведем следующий пример: инфляция зависит от денежной
массы, меняя денежную массу, мы можем получить какой-то желаемый уровень
инфляции. Но реальность несколько запаздывает.
Пусть xD — желаемый уровень величины xt , zt — независимый фактор,
t
определяющий xD . Тогда модель частичного приспособления задается следующими
t
двумя уравнениями:

xD = ? + ?zt + ?t ,
t
(15.7)
xt ? xt?1 = ?(xt ? xt?1 ) + ?t .
D
510 Глава 15. Динамические модели регрессии

Здесь ? ? [0; 1] — скорость приспособления. Если ? = 0, то xt = xt?1 , то есть
xt не меняется, если же ? = 1, то приспособление происходит мгновенно, и в этом
случае сразу xt = xD .
t
Предположим, что переменная xD ненаблюдаема. Исключим из этих двух вы-
t
ражений ненаблюдаемую переменную:
xt = ?? + (1 ? ?)xt?1 + ??zt + ?t + ??t .

Ясно, что это модель ADL(1, 0), где ?? = µ, 1?? = ?1 и ?? = ?0 . Оценив па-
раметры µ, ?1 и ?0 , мы можем с помощью обратного преобразования вычислить
оценки параметров исходной модели.


Модель адаптивных ожиданий

Очень часто экономические решения, принимаемые людьми, зависят от про-
гнозов того, что будет в будущем. При этом уровень экономических величин, на ко-
торые воздействуют такие решения, зависит не от текущего значения показателя,
а от ожидаемого значения (например, если ожидается высокий уровень инфляции,
то следует скупать доллары, курс доллара в результате вырастет). В теории рас-
сматриваются 2 вида ожиданий — рациональные и адаптивные. В соответствии
с одним из определений, ожидания называют рациональными, если математическое
ожидание прогноза равно фактическому значению, которое будет в будущем. Мо-
дели рациональных ожиданий часто оказываются довольно сложными. Адаптивные
ожидания — это ожидания, которые зависят только от предыдущих значений ве-
личины. По мере того, как наблюдаются процессы движения реальной величины,
мы адаптируем наши ожидания к тому, что наблюдаем на самом деле.
Чтобы ввести в экономические модели ожидания экономических субъектов,
в простейшем случае используют модель адаптивных ожиданий. Адаптивные ожи-
дания некоторой величины формируются только на основе прошлых значений этой
E
величины. Например, пусть xt зависит от ожиданий ( zt ) величины zt , zt — ве-
E
личина, от прогноза которой должен зависеть xt (например, инфляция), zt —
ожидание (прогноз) этой величины в момент времени t.
E
xt = ? + ?zt + ?t .

В целом xt выгодно выбирать в зависимости от того, какой величина zt будет
в будущем: zt+1 , zt+2 , . . ., однако в момент выбора t известны только текущее
и прошлые значения ( . . ., zt?1 , zt ).
E
Ошибка в ожиданиях zt приводит к их корректировке. Модель адаптации
ожиданий к фактическому значению zt записывается так:
zt ? zt?1 = ?(zt ? zt?1 ),
E E E
511
15.3 Некоторые прикладные динамические модели

где ? — скорость приспособления ожиданий. Если ? = 0, то ожидания никак не
адаптируются к действительности и прогнозы не сбываются (скорость адаптации
нулевая); если ? = 1, скорость адаптации мгновенная, наши ожидания сбываются
E
(полностью адаптировались): zt = zt . Обычно 0 < ? < 1.
Легко видеть, что модель адаптации ожиданий основывается на формуле экс-
поненциальной средней:

zt = ?zt + (1 ? ?)zt?1 .
E E




E
Для оценки параметров модели надо исключить ненаблюдаемые ожидания zt .
Используя лаговый оператор, получаем:

zt ? (1 ? ?)zt?1 = (1 ? (1 ? ?)L)zt = ?zt ,
E E E




откуда
?
?zt
(1 ? ?)i zt?i .
E
zt = =?
1 ? (1 ? ?)L i=0

Таким образом, ожидания в рассматриваемой модели описываются бесконечным
геометрическим распределенным лагом с параметром затухания ? = 1 ? ?.
E
Если в уравнение для xt вместо zt подставить данный бесконечный ряд, то по-
лучится модель регрессии с геометрическим распределенным лагом:

??zt
(15.8)
xt = ? + + ?t .
1 ? (1 ? ?)L

Как было показано ранее, модель геометрического лага с помощью преоб-
разования Койка приводится к модели ADL. Умножим обе части уравнения 15.8
на 1 ? (1 ? ?)L и получим:

(1 ? (1 ? ?)L)xt = (1 ? (1 ? ?)L)? + ??zt + (1 ? (1 ? ?)L)?t .

После соответствующего переобозначения параметров модель адаптивных
ожиданий приобретает новую форму — ADL(1, 0) с MA(1)-ошибкой:

xt = ?? + (1 ? ?)xt?1 + ??zt + ?t ? (1 ? ?)?t?1 .

Оценивать модель адаптивных ожиданий можно теми же методами, что и модель
Койка.
512 Глава 15. Динамические модели регрессии

Модель исправления ошибок

В динамических регрессионных моделях важно различие между долгосрочной
и краткосрочной динамикой. Это различие можно анализировать в рамках модели
исправления ошибок. Рассмотрим в долгосрочном аспекте модель ADL(1, 1):

xt = µ + ?1 xt?1 + ?0 zt + ?1 zt?1 + ?t .

Предположим, что фактор zt и ошибка ?t являются стационарными процес-
сами. Тогда при |?1 | < 1 изучаемая переменная xt также стационарна. Возьмем
математические ожидания от обеих частей уравнения модели:

x = µ + ?1 x + ?0 z + ?1 z .
? ? ? ?

В этой формуле x = E(xt ), z = E(zt ) (стационарные уровни x и z) и учиты-
? ?
вается, что E(?t ) = 0. Получаем уравнение
µ ?0 + ?1
x=
? + z = µ + ??,
? z
1 ? ?1 1 ? ?1
которое описывает долгосрочное стационарное состояние экономического про-
цесса. Коэффициент
?0 + ?1
(15.9)
?=
1 ? ?1

отражает долгосрочное влияние z на x. Он совпадает с долгосрочным мультипли-
катором (15.6).
Модель ADL(1, 1) можно привести к виду, который описывает краткосрочную
динамику экономической системы. В этом виде модель называется моделью ис-
правления ошибок, сокращенно ECM (error-correction model):

?xt = µ ? (1 ? ?1 )xt?1 + ?0 ?zt + (?0 + ?1 )zt?1 + ?t

или

?xt = ?0 ?zt ? ? xt?1 ? (µ + ?zt?1 ) + ?t , (15.10)

где ? = 1 ? ?1 , ?xt = xt ? xt?1 , ?zt = zt ? zt?1 .
Предполагается, что если в предыдущий период переменная x отклонилась от
своего «долгосрочного значения» µ +?z, то элемент xt?1 ?(µ +?zt?1 ) корректи-
рует динамику в нужном направлении. Для того чтобы это происходило, необходимо
выполнение условия |?1 | < 1.
513
15.4. Упражнения и задачи

Иногда из теории, описывающей явление, следует, что ? = 1, тогда ?1 + ?0 +
+ ?1 = 1. Часто именно такую модель называют ECM.
Модели частичного приспособления и адаптивных ожиданий являются частны-
ми случаями модели исправления ошибок — не только формально математически,
но и по экономическому содержанию. Например, модель частичного приспособле-
ния (15.7) в форме ECM выглядит как
?xt = ???zt ? ?(xt?1 ? ? ? ?zt?1 ) + ?t + ??t .

Рассмотрим теперь авторегрессионную модель с распределенным лагом обще-
го вида (15.5) и покажем, что ее можно представить в виде модели исправления
ошибок. При предположениях о стационарности xt и ?t математические ожидания
от обеих частей уравнения (15.5) приводят к выражению:
p q
x=µ+
? ?j x +
? ?j z
?
j=1 j=0
или
q
j=0 ?j
µ
x=
? + z
? = µ + ??,
z
p p
1? 1?
j=1 ?j ?j
j=1

где коэффициент долгосрочного влияния z на x:
q

<<

стр. 19
(всего 28)

СОДЕРЖАНИЕ

>>