<<

стр. 20
(всего 28)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

j=0 ?j
?= ,
p
1? ?j
j=1

как и в случае ADL(1, 1), совпадает с долгосрочным мультипликатором ?? .
В этих обозначениях можно представить модель ADL(p, q) в виде модели ис-
правления ошибок:
p?1 q?1
?xt = ?? xt?1 ? (µ + ?zt?1 ) + (15.11)
?j ?xt?j + ?j ?zt?j + ?t ,
j=1 j=0
где
p p q
? = 1? ?j = ? ?j = ? ?i при j > 0, и ?0 = ?0 .
?j , ?i ,
j=1 i=j+1 i=j+1



15.4. Упражнения и задачи
Упражнение 1

Сгенерируйте нормально распределенный некоррелированный ряд xt длиной
24 со средним 2000 и дисперсией 900.
514 Глава 15. Динамические модели регрессии

1.1. На основе этого ряда по модели yt = 5 + 5xt + 8xt?1 + 9xt?2 + 8xt?3 +
+ 5xt?4 + ?t , где ?t — нормально распределенный белый шум с дисперсией
100, сгенерируйте 100 рядов yt , t = 1, . . . , 20.

1.2. Используя 100 сгенерированных наборов данных, оцените модель распреде-
ленного лага с максимальной длиной лага q = 4. Найдите среднее и диспер-
сию оценок коэффициентов. Сравните с истинными значениями.

1.3. Для первых 5 наборов данных выберите наиболее подходящую длину лага на
основе информационных критериев Акаике (AIC) и Шварца (BIC), оценив
модель для q = 2, . . . , 6.

1.4. Используя все 100 наборов, оцените модель полиномиального лага с мак-
симальной длиной лага q = 4 и степенью полинома p = 2. Рассчитайте
средние и дисперсии оценок весов распределенного лага. Сравните с истин-
ными значениями. Сравните с результатами из упражнения 1.2 и сделайте
вывод о том, какие оценки точнее.

1.5. Повторите упражнение 1.4 для а) q = 4, p = 3; б) q = 6, p = 2 ; в) q = 3,
p = 2.


Упражнение 2

В таблице 15.1 приведены данные из известной статьи С. Алмон по промышлен-
ным предприятиям США (EXPEND — capital expenditures, капитальные расходы,
APPROP — appropriations).

2.1. Постройте графики двух рядов. Что можно сказать по ним о рядах? Видна ли
зависимость между рядами (в тот же период или с запаздыванием)?

2.2. Постройте кросс-корреляционную функцию для сдвигов
?12, . . . , 0, . . . , 12.
Сделайте выводы.

2.3. Используя данные, оцените неограниченную модель распределенного лага
с максимальной длиной лага q = 6, . . . , 12 для зависимости EXPEND от
APPROP. Используя известные вам методы, выберите длину лага.

2.4. Оцените модель полиномиального лага с максимальным лагом 8 и степенью
многочлена p = 2, . . . , 6. С помощью статистики Стьюдента проверьте ги-
потезы p = 5 против p = 6, . . . , p = 3 против p = 2 и выберите наиболее
подходящую степень p.
515
15.4. Упражнения и задачи




Таблица 15.1. (Источник: Almon Shirley. «The Distributed Lag between Capital Appropriations
and Expenditures», Econometrica 33, January1965, pp. 178–196)

Квартал EXPEND APPROP Квартал EXPEND APPROP
1953.1 2072.0 1660.0 1960.3 2721.0 2131.0
1953.2 2077.0 1926.0 1960.4 2640.0 2552.0
1953.3 2078.0 2181.0 1961.1 2513.0 2234.0
1953.4 2043.0 1897.0 1961.2 2448.0 2282.0
1954.1 2062.0 1695.0 1961.3 2429.0 2533.0
1954.2 2067.0 1705.0 1961.4 2516.0 2517.0
1954.3 1964.0 1731.0 1962.1 2534.0 2772.0
1954.4 1981.0 2151.0 1962.2 2494.0 2380.0
1955.1 1914.0 2556.0 1962.3 2596.0 2568.0
1955.2 1991.0 3152.0 1962.4 2572.0 2944.0
1955.3 2129.0 3763.0 1963.1 2601.0 2629.0
1955.4 2309.0 3903.0 1963.2 2648.0 3133.0
1956.1 2614.0 3912.0 1963.3 2840.0 3449.0
1956.2 2896.0 3571.0 1963.4 2937.0 3764.0
1956.3 3058.0 3199.0 1964.1 3136.0 3983.0
1956.4 3309.0 3262.0 1964.2 3299.0 4381.0
1957.1 3446.0 3476.0 1964.3 3514.0 4786.0
1957.2 3466.0 2993.0 1964.4 3815.0 4094.0
1957.3 3435.0 2262.0 1965.1 4093.0 4870.0
1957.4 3183.0 2011.0 1965.2 4262.0 5344.0
1958.1 2697.0 1511.0 1965.3 4531.0 5433.0
1958.2 2338.0 1631.0 1965.4 4825.0 5911.0
1958.3 2140.0 1990.0 1966.1 5160.0 6109.0
1958.4 2012.0 1993.0 1966.2 5319.0 6542.0
1959.1 2071.0 2520.0 1966.3 5574.0 5785.0
1959.2 2192.0 2804.0 1966.4 5749.0 5707.0
1959.3 2240.0 2919.0 1967.1 5715.0 5412.0
1959.4 2421.0 3024.0 1967.2 5637.0 5465.0
1960.1 2639.0 2725.0 1967.3 5383.0 5550.0
1960.2 2733.0 2321.0 1967.4 5467.0 5465.0
516 Глава 15. Динамические модели регрессии

Упражнение 3

В таблице 15.2 имеются следующие данные: gas — логарифм среднедушевых
реальных расходов на бензин и нефть, price — логарифм реальной цены на бензин
и нефть, income — логарифм среднедушевого реального располагаемого дохода,
miles — логарифм расхода топлива (в галлонах на милю).

3.1. Оцените авторегрессионную модель с распределенным лагом. В качестве
зависимой переменной возьмите gas, а в качестве факторов — income и price.
Лаг для всех переменных равен 5.

3.2. Найдите коэффициенты долгосрочного влияния дохода на потребление топ-
лива и цены на потребление топлива (долгосрочные эластичности):

d(gas)
— долгосрочная эластичность по доходу,
d(income)
d(gas)
— долгосрочная эластичность по цене.
d(price)

3.3. Вычислите функцию реакции на импульсы (для сдвигов 0, 1, . . . , 40) для
влияния дохода на потребление топлива и цены на потребление топлива.
Найдите среднюю длину лага для этих двух зависимостей.

3.4. Оцените ту же модель в виде модели исправления ошибок.


Упражнение 4

В таблице 15.3 приводятся данные о потреблении и располагаемом доходе
в США за 1953–1984 гг.

4.1. Оцените следующую модель адаптивных ожиданий. Потребление Ct зави-
сит от перманентного дохода YtE : Ct = ? + ?YtE + ?t , где YtE задается
уравнением YtE ? Yt?1 = ? Yt ? Yt?1 . Найдите долгосрочную предельную
E E

склонность к потреблению.
517
15.4. Упражнения и задачи


Таблица 15.2. (Источник: Johnston and DiNardo’s Econometric Methods (1997, 4th ed))
квартал gas price income miles
1959.1 –8.015248 4.67575 –4.50524 2.647592
1959.2 –8.01106 4.691292 –4.492739 2.647592
1959.3 –8.019878 4.689134 –4.498873 2.647592
1959.4 –8.012581 4.722338 –4.491904 2.647592
1960.1 –8.016769 4.70747 –4.490103 2.647415
1960.2 –7.976376 4.699136 –4.489107 2.647238
1960.3 –7.997135 4.72129 –4.492301 2.647061
1960.4 –8.005725 4.722736 –4.496271 2.646884
1961.1 –8.009368 4.706207 –4.489013 2.648654
1961.2 –7.989948 4.675196 –4.477735 2.650421
1961.3 –8.003017 4.694643 –4.469735 2.652185
1961.4 –7.999592 4.68604 –4.453429 2.653946
1962.1 –7.974048 4.671727 –4.446543 2.65377
1962.2 –7.972878 4.679437 –4.441757 2.653594
1962.3 –7.970209 4.668647 –4.439475 2.653418
1962.4 –7.963876 4.688853 –4.439333 2.653242
1963.1 –7.959317 4.675881 –4.437187 2.65148
1963.2 –7.951941 4.652961 –4.434306 2.649715
1963.3 –7.965396 4.658816 –4.427777 2.647946
1963.4 –7.960272 4.653714 –4.414002 2.646175
1964.1 –7.936954 4.645538 –4.39974 2.645998
1964.2 –7.92301 4.635629 –4.379863 2.64582
1964.3 –7.911883 4.631469 –4.371019 2.645643
1964.4 –7.918471 4.637514 –4.362371 2.645465
1965.1 –7.916095 4.652727 –4.360062 2.64582
1965.2 –7.894338 4.658141 –4.349969 2.646175
1965.3 –7.889203 4.656464 –4.327738 2.646529
1965.4 –7.871711 4.655432 –4.313128 2.646884
1966.1 –7.860066 4.644139 –4.309959 2.64511
1966.2 –7.840754 4.644212 –4.308563 2.643334
1966.3 –7.837658 4.647137 –4.29928 2.641554
1966.4 –7.838668 4.653788 –4.289879 2.639771
1967.1 –7.836081 4.659936 –4.278718 2.639057
1967.2 –7.830063 4.661554 –4.274659 2.638343
1967.3 –7.82532 4.654018 –4.270247 2.637628
1967.4 –7.812695 4.644671 –4.266353 2.636912
1968.1 –7.792308 4.641605 –4.256872 2.633506
1968.2 –7.781042 4.625596 –4.24436 2.630089
1968.3 –7.763533 4.627113 –4.24817 2.626659
1968.4 –7.766507 4.621535 –4.243286 2.623218
1969.1 –7.748152 4.620802 –4.247602 2.618672
1969.2 –7.728209 4.634679 –4.24156 2.614106
1969.3 –7.724049 4.61451 –4.225354 2.609518
518 Глава 15. Динамические модели регрессии


Таблица 15.2. (продолжение)
квартал gas price income miles
1969.4 –7.707266 4.603419 –4.221179 2.604909
1970.1 –7.691294 4.589637 –4.223849 2.60343
1970.2 –7.696625 4.593972 –4.214468 2.601949
1970.3 –7.683176 4.57555 –4.207761 2.600465
1970.4 –7.68114 4.576285 –4.213643 2.598979
1971.1 –7.671161 4.563018 –4.20528 2.599722
1971.2 –7.660023 4.528258 –4.199421 2.600465
1971.3 –7.659501 4.5376 –4.20086 2.601207
1971.4 –7.659155 4.54487 –4.19967 2.601949
1972.1 –7.655547 4.51949 –4.206896 2.599351
1972.2 –7.657851 4.500299 –4.203082 2.596746
1972.3 –7.651443 4.515703 –4.187756 2.594135
1972.4 –7.634623 4.531717 –4.157555 2.591516
1973.1 –7.606151 4.531126 –4.150146 2.589642
1973.2 –7.625179 4.54356 –4.149023 2.587764
1973.3 –7.620612 4.540858 –4.144428 2.585882
1973.4 –7.628435 4.601014 –4.130499 2.583997
1974.1 –7.737227 4.73435 –4.155976 2.586259
1974.2 –7.703093 4.796311 –4.174081 2.588516
1974.3 –7.68182 4.773173 –4.174542 2.590767
1974.4 –7.647267 4.730467 –4.180104 2.593013
1975.1 –7.67028 4.721725 –4.198524 2.594882
1975.2 –7.673598 4.726068 –4.157104 2.596746
1975.3 –7.694903 4.766653 –4.175806 2.598607
1975.4 –7.689864 4.767389 –4.168096 2.600465
1976.1 –7.673608 4.74403 –4.158282 2.600836
1976.2 –7.66296 4.723825 –4.158494 2.601207
1976.3 –7.660979 4.723013 –4.159304 2.601578
1976.4 –7.651936 4.728776 –4.157702 2.601949
1977.1 –7.657642 4.731314 –4.160647 2.60694
1977.2 –7.64901 4.725569 –4.154308 2.611906
1977.3 –7.646001 4.705353 –4.139049 2.616848
1977.4 –7.649135 4.709094 –4.137531 2.621766
1978.1 –7.657363 4.699367 –4.129727 2.626298
1978.2 –7.642133 4.673999 –4.11695 2.630809
1978.3 –7.637718 4.678699 –4.113466 2.6353
1978.4 –7.644944 4.711411 –4.107745 2.639771
1979.1 –7.634155 4.737268 –4.10542 2.646352
1979.2 –7.684886 4.848168 –4.110224 2.65289
1979.3 –7.690778 4.965428 –4.108253 2.659385
1979.4 –7.699923 5.018858 –4.108714 2.665838
1980.1 –7.727037 5.130968 –4.107552 2.683928
1980.2 –7.747409 5.149823 –4.130193 2.701697
519
15.4. Упражнения и задачи


Таблица 15.2. (продолжение)
квартал gas price income miles
1980.3 –7.768291 5.121161 –4.123072 2.719155
1980.4 –7.770349 5.108043 –4.106715 2.736314
1981.1 –7.746104 5.176053 –4.107763 2.743739
1981.2 –7.749401 5.162098 –4.113578 2.75111
1981.3 –7.752783 5.128757 –4.10358 2.758426
1981.4 –7.758903 5.126579 –4.10885 2.76569
1982.1 –7.748258 5.089216 –4.116735 2.776643
1982.2 –7.740548 5.016708 –4.109173 2.787477
1982.3 –7.760993 5.046284 –4.1106 2.798196
1982.4 –7.765389 5.018583 –4.112362 2.8088
1983.1 –7.734547 4.951649 –4.111137 2.816157
1983.2 –7.761149 4.973684 –4.105544 2.82346
1983.3 –7.738656 4.978372 –4.09589 2.83071
1983.4 –7.72975 4.947877 –4.079108 2.837908
1984.1 –7.743051 4.937271 –4.059039 2.847957
1984.2 –7.723525 4.926296 –4.050855 2.857906
1984.3 –7.719794 4.885598 –4.04159 2.867757
1984.4 –7.715204 4.886159 –4.039545 2.877512
1985.1 –7.721207 4.876889 –4.040108 2.882564
1985.2 –7.717261 4.896123 –4.021586 2.88759
1985.3 –7.71862 4.877967 –4.034639 2.892591
1985.4 –7.71905 4.865803 –4.03058 2.897568
1986.1 –7.702826 4.79969 –4.020278 2.898395
1986.2 –7.689694 4.598733 –4.006467 2.899221
1986.3 –7.685297 4.52283 –4.012002 2.900047
1986.4 –7.670334 4.488154 –4.016886 2.900872
1987.1 –7.685728 4.581026 –4.011549 2.913573
1987.2 –7.664967 4.594879 –4.030798 2.926114
1987.3 –7.682947 4.624788 –4.019994 2.9385
1987.4 –7.672442 4.617012 –4.00732 2.950735
1988.1 –7.678686 4.583605 –3.996853 2.959328
1988.2 –7.669295 4.572124 –3.997311 2.967847
1988.3 –7.675229 4.578095 –3.993513 2.976295
1988.4 –7.657843 4.557322 –3.985354 2.984671
1989.1 –7.670982 4.561117 –3.979249 2.990091
1989.2 –7.713211 4.683528 –3.988068 2.995482
1989.3 –7.675435 4.627944 –3.985719 3.000844
1989.4 –7.636929 4.584531 –3.980442 3.006177
1990.1 –7.672857 4.628345 –3.971611 3.013695
1990.2 –7.706511 4.617825 –3.969884 3.021156
1990.3 –7.710044 4.693574 –3.971754 3.028562
1990.4 –7.717076 4.829451 –3.978981 3.035914
520

Таблица 15.3. (Источник: Greene W., Econometric Analysis, 3rd. edition, Macmillan, 1997)
Год, Год, Год, Год, Год,
C Y C Y C Y C Y C Y
квартал квартал квартал квартал квартал
1953.1 362.8 395.5 1959.3 443.3 479.0 1966.1 581.2 639.7 1972.3 741.3 842.2 1979.1 921.2 1011.1
1953.2 364.6 401.0 1959.4 444.6 483.1 1966.2 582.3 642.0 1972.4 757.1 838.1 1979.2 919.5 1011.8
1953.3 363.6 399.7 1960.1 448.1 487.8 1966.3 588.6 649.2 1973.1 768.8 855.0 1979.3 930.9 1019.7
1953.4 362.6 400.2 1960.2 454.1 490.7 1966.4 590.5 700.7 1973.2 766.3 862.1 1979.4 938.6 1020.2
1954.1 363.5 399.7 1960.3 452.7 491.0 1967.1 594.8 665.0 1973.3 769.7 868.0 1980.1 938.3 1025.9
1954.2 366.2 397.3 1960.4 453.2 488.8 1967.2 602.4 671.3 1973.4 766.7 873.4 1980.2 919.6 1011.8
1954.3 371.8 403.8 1961.1 454.0 493.4 1967.3 605.2 676.5 1974.1 761.2 859.9 1980.3 929.4 1019.3
1954.4 378.6 411.8 1961.2 459.9 500.7 1967.4 608.2 682.0 1974.2 764.1 859.7 1980.4 940.0 1030.2
1955.1 385.2 414.7 1961.3 461.4 505.5 1968.1 620.7 690.4 1974.3 769.4 859.7 1981.1 950.2 1044.0
1955.2 392.2 423.8 1961.4 470.3 514.8 1968.2 629.9 701.9 1974.4 756.5 851.1 1981.2 949.1 1041.0
1955.3 396.4 430.8 1962.1 474.5 519.5 1968.3 642.3 703.6 1975.1 763.3 845.1 1981.3 955.7 1058.4
1955.4 402.6 437.6 1962.2 479.8 523.9 1968.4 644.7 708.7 1975.2 775.6 891.3 1981.4 946.8 1056.0
1956.1 403.2 441.2 1962.3 483.7 526.7 1969.1 651.9 710.4 1975.3 785.4 878.4 1982.1 953.7 1052.8
1956.2 403.9 444.7 1962.4 490.0 529.0 1969.2 656.2 717.0 1975.4 793.3 884.9 1982.2 958.9 1054.7
1956.3 405.1 446.6 1963.1 493.1 533.3 1969.3 659.6 730.1 1976.1 809.9 899.3 1982.3 964.2 1057.7
1956.4 409.3 452.7 1963.2 497.4 538.9 1969.4 663.9 733.2 1976.2 817.1 904.1 1982.4 976.3 1067.5
1957.1 411.7 452.6 1963.3 503.9 544.4 1970.1 667.4 737.1 1976.3 826.5 908.8 1983.1 982.5 1073.3
1957.2 412.4 455.4 1963.4 507.5 552.5 1970.2 670.5 752.6 1976.4 838.9 914.9 1983.2 1006.2 1082.2
1957.3 415.2 457.9 1964.1 516.6 563.6 1970.3 676.5 759.7 1977.1 851.7 919.6 1983.3 1015.6 1102.1
1957.4 416.0 456.0 1964.2 525.6 579.4 1970.4 673.9 756.1 1977.2 858.0 934.1 1983.4 1032.4 1124.4
1958.1 411.0 452.1 1964.3 534.3 586.4 1971.1 687.0 771.3 1977.3 867.3 951.9 1984.1 1044.1 1147.8
1958.2 414.7 455.1 1964.4 535.3 593.0 1971.2 693.3 779.7 1977.4 880.4 965.9 1984.2 1064.2 1165.3
1958.3 420.9 464.6 1965.1 546.0 599.7 1971.3 698.2 781.0 1978.1 883.8 973.5 1984.3 1065.9 1176.7
1958.4 425.2 471.3 1965.2 550.7 607.8 1971.4 708.6 785.5 1978.2 901.1 982.6 1984.4 1075.4 1186.9
1959.1 424.1 474.5 1965.3 559.2 623.6 1972.1 718.6 791.7 1978.3 908.6 994.2
1959.2 439.7 482.2 1965.4 573.9 634.6 1972.2 731.1 798.5 1978.4 919.2 1005.0
Глава 15. Динамические модели регрессии
521
15.4. Упражнения и задачи

4.2. Оцените по тем же данным модель частичного приспособления, преобразовав
D
ее в ADL(1, 0). Желаемый уровень потребления Ct зависит от текущего до-
D D
хода Yt : Ct = ? +?Yt +?t , где Ct — ненаблюдаемая переменная, задавае-
мая уравнением частичного приспособления Ct ?Ct?1 = ? Ct ? Ct?1 +?t .
D

Найдите долгосрочную предельную склонность к потреблению.


Задачи

1. С помощью какого метода можно оценить параметры модели распределен-
ного лага (конечного)?

2. В чем основная причина перехода от обычной модели распределенного лага
к модели полиномиального лага?

3. В чем основная причина перехода от обычной модели распределенного лага
к модели с экспоненциальным лагом?

4. Пусть веса в модели распределенного лага экспоненциально убывают и сам
лаг бесконечный. Каким преобразованием можно перейти к авторегресси-
онной модели с распределенным лагом? В чем особенность ошибок в этой
модели?

5. Процесс с геометрическим лагом задан формулой

1 1 1
xt = 1 + zt + zt?1 + zt?2 + . . . + ?.
2 4 8

Примените к нему преобразование Койка.

6. Примените обратное преобразование Койка к модели ADL(1, 0).

7. Представьте ожидания переменной X в модели адаптивных ожиданий в виде
распределенного лага для фактически наблюдаемых значений переменной X.

8. Для процесса xt = 0.1+0.5xt?1 +0.1zt +0.2zt?1 +?t запишите долгосрочную
зависимость между x и z.

9. Запишите следующие процессы в виде модели исправления ошибок:

а) xt = 0.5x?1 + 0.7zt?1 + ?t ;
б) xt = 2 + 0.4xt?1 + 2zt + 3zt?1 ? 3zt?2 + ?t .
522 Глава 15. Динамические модели регрессии

Рекомендуемая литература
1. Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: «Инфра-М», 1997. (Гл. 10).

2. Драймз Ф. Распределенные лаги. Проблемы выбора и оценивания моде-
ли. — М.: «Финансы и статистика», 1982.

3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный
курс. — М.: «Дело», 2004. (Гл. 12).

4. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. — М.: «Статисти-
ка», 1976. (Гл. 15).

5. Песаран М., Слейтер Л. Динамическая регрессия: теория и алгоритмы. —
М: «Финансы и статистика», 1984. (Гл. 5, стр. 67–91).

6. Baltagi, Badi H. Econometrics, 2nd edition. — Springer, 1999. (Ch. 6).

7. Enders W. Applied Econometric Time Series. — New York: John Wiley & Sons,
1992.

8. Greene W.H. Econometric Analysis. — Prentice-Hall, 2000. (гл.17)

9. Judge G.G., Griffiths W.E., Hill R.C., Luthepohl H., Lee T. Theory and Practice
of Econometrics. — New York: John Wiley & Sons, 1985. (Ch. 9, 10).
Глава 16

Модели
с авторегрессионной
условной
гетероскедастичностью


Традиционные модели временных рядов, такие как модель ARMA, не могут
адекватно учесть все характеристики, которыми обладают финансовые временные
ряды, и требуют расширения. Одна из характерных особенностей финансовых рын-
ков состоит в том, что присущая рынку неопределенность изменяется во времени.
Как следствие, наблюдается «кластеризация волатильности». Имеется в виду чере-
дование периодов, когда финансовый показатель ведет себя непостоянно и относи-
тельно спокойно. На рисунке 16.1 для иллюстрации этого явления показаны темпы
прироста индекса РТС1 за несколько лет. На графике период 1 — сравнительно
спокойный, период 2 — более бурный, период 3 — опять спокойный. Термин во-
латильность (volatility — англ. изменчивость, непостоянство) используется, как
правило, для неформального обозначения степени вариабельности, разброса пере-
менной. Формальной мерой волатильности служит дисперсия (или среднеквадрати-
ческое отклонение). Эффект кластеризации волатильности отмечен в таких рядах,
как изменение цен акций, валютных курсов, доходности спекулятивных активов.


1
Фондовый индекс Российской Торговой Системы. См. http://www.rts.ru.
524 Модели с авторегрессионной условной . . .


15

10

5

0

–5
3
–10
1
–15
2
1998–06–18 2000–04–07
1995–09–21 1996–08–26 1997–07–22 1999–05–14


Рис. 16.1. Темпы прироста индекса РТС с 21 сентября 1995 г. по 7 апреля 2000 г., в процентах.



16.1. Модель ARCH
Модель ARCH, т.е. модель с авторегрессионной условной гетероскедастично-
стью (autoregressive conditional heteroskedasticity), предложена Р. Энглом в 1982 г.
для моделирования кластеризации волатильности. Процесс ARCH q-го порядка,
{?t }+? , задается следующими соотношениями:
t=??
2
?t |?t?1 ? N (0, ?t ),
?t = ? + ?1 ?2 + . . . + ?q ?2 .
2
(16.1)
t?1 t?q

2
Здесь ?t?1 = (?t?1 , ?t?2 , . . . ) — предыстория процесса {?t }, а ?t — услов-
ная по предыстории дисперсия ?t , т.е. ?t = var(?t |?t?1 ) = E(?2 |?t?1 ). Условную
2
t
дисперсию часто называют волатильностью процесса. Для того чтобы условная
дисперсия оставалась положительной, требуется выполнение соотношений ? > 0
и ?1 , . . . , ?q 0.
Данный процесс можно записать несколько иначе:
?t ? NID(0, 1),
?t = ?t ?t ,
?t = ? + ?1 ?2 + . . . + ?q ?2 .
2
t?1 t?q

Аббревиатура NID означает, что ?t нормально распределены и независимы. Такая
запись удобна тем, что нормированный случайный процесс ?t не зависит от предыс-
тории.
Смысл модели ARCH состоит в том, что если абсолютная величина ?t оказы-
вается большой, то это приводит к повышению условной дисперсии в последующие
16.1. Модель ARCH 525

периоды. В свою очередь, при высокой условной дисперсии более вероятно появ-
ление больших (по абсолютной величине) значений ?t . Наоборот, если значения
?t в течение нескольких периодов близки к 0, то это приводит к понижению услов-
ной дисперсии в последующие периоды практически до уровня ?. В свою очередь,
при низкой условной дисперсии более вероятно появление малых (по абсолютной
величине) значений ?t . Таким образом, ARCH-процесс характеризуется инерци-
онностью условной дисперсии (кластеризацией волатильности).
Несложно показать, что процесс ARCH не автокоррелирован:

E(?t ?t?j ) = E (E(?t ?t?j |?t?1 )) = E (?t?j E(?t |?t?1 )) = 0.

Поскольку процесс имеет постоянное (нулевое) математическое ожидание
и не автокоррелирован, то он является слабо стационарным в случае, если у него
есть дисперсия.
Если обозначить разницу между величиной ?2 и ее условным математическим
t
2 , через ? , то получится следующая эквивалентная запись процесса
ожиданием, ?t t
ARCH:

?2 = ? + ?1 ?2 + . . . + ?q ?2 + ?t . (16.2)
t t?1 t?q

Поскольку условное математическое ожидание ?t равно 0, то безусловное ма-
тематическое ожидание также равно 0. Кроме того, как можно показать, {?t } не ав-
токоррелирован. Следовательно, квадраты процесса ARCH(q) следуют авторегрес-
сионному процессу q-го порядка.
Если все корни характеристического уравнения

1 ? ?1 z ? . . . ? ?q z q = 0

лежат за пределами единичного круга, то у процесса ARCH(q) существует безуслов-
ная дисперсия, и он является слабо стационарным. Поскольку коэффициенты ?j
неотрицательны, то это условие эквивалентно условию q ?j < 1.
j=1
Действительно, вычислим безусловную дисперсию стационарного ARCH-
процесса, которую мы обозначим через ? 2 . Для этого возьмем математическое
ожидание от обеих частей уравнения условной дисперсии (16.1):

E(?t ) = ? + ?1 E(?2 ) + . . . + ?q E(?2 ).
2
t?1 t?q

Заметим, что E ?t = E E(?2 |?t?1 ) = E ?2 = var(?2 ) = ? 2 , т.е. мате-
2
t t t
матическое ожидание условной дисперсии равно безусловной дисперсии. Следова-
тельно,

? 2 = ? + ?1 ? 2 + . . . + ?q ? 2 ,
526 Модели с авторегрессионной условной . . .

0.3
ARCH(1),?1 = 0.7, ? = 1
0.25


0.2


0.15
N(0; ? / (1 ?1))

0.1


0.05


0
8 6 4 2 0 2 4 6 8

Рис. 16.2. Плотность ARCH(1) и плотность нормального распределения с той же дисперсией




или
?
?2 = .
1 ? ?1 ? . . . ? ?q

Таким образом, для всех ?t безусловная дисперсия одинакова, т.е. имеет место
гомоскедастичность. Однако условная дисперсия меняется, поэтому одновременно
имеет место условная гетероскедастичность2.
Если не все корни приведенного выше характеристического уравнения лежат
q
за пределами единичного круга, т.е. если 1, то безусловная дисперсия не
?j
j=1
существует, и поэтому ARCH-процесс не будет слабо стационарным3 .
Еще одно свойство ARCH-процессов состоит в том, что безусловное распре-
деление ?t имеет более высокий куртозис (т.е. более толстые хвосты и острую
вершину), чем нормальное распределение (определение куртозиса и эксцесса
см. в Приложении A.3.1). У ARCH(1) эксцесс равен

E(?4 ) 2
6?1
?3=
t
2,
?4 1 ? 3?1
2
Она называется авторегрессионной, поскольку динамика квадратов ARCH-процесса описыва-
ется авторегрессией.
3
При этом у ARCH-процессов есть интересная особенность: они могут быть строго стационарны,
не будучи слабо стационарны. Дело в том, что определение слабой стационарности требует суще-
ствования конечных первых и вторых моментов ряда. Строгая же стационарность этого не требует,
поэтому даже если условная дисперсия бесконечна (и, следовательно, ряд не является слабо стаци-
онарным), ряд все же может быть строго стационарным.
16.2. Модель GARCH 527

2
причем при 3?1 1 четвертый момент распределения не существует (эксцесс
равен бесконечности). Это свойство ARCH-процессов хорошо соответствует фи-
нансовым временным рядам, которые обычно характеризуются толстыми хвоста-
ми. На рисунке 16.2 изображен график плотности безусловного распределения
ARCH(1). Для сравнения на графике приведена плотность нормального распреде-
ления с той же дисперсией.
Получить состоятельные оценки коэффициентов ARCH-процесса можно,
используя вышеприведенное представление его квадратов в виде авторегрес-
сии (16.2). Более эффективные оценки получаются при использовании метода
максимального правдоподобия.
При применении ARCH-моделей к реальным данным было замечено, что мо-
дель ARCH(1) не дает достаточно длительных кластеров волатильности, а только
порождает большое число выбросов (выделяющихся наблюдений). Для корректно-
го описания данных требуется довольно большая длина лага q, что создает трудно-
сти при оценивании. В частности, зачастую нарушается условие неотрицательности
оценок коэффициентов ?j . Поэтому Энгл предложил использовать модель со сле-
дующими ограничениями на коэффициенты лага: они задаются с помощью весов
вида:

q+1?j
wj = ,
0.5q(q + 1)

сумма которых равна 1 и которые линейно убывают до нуля. Сами коэффициенты
берутся равными ?j = ?wj . Получается модель с двумя параметрами, ? и ?:


?t = ? + ? w1 ?2 + . . . + wq ?2
2
t?q .
t?1




16.2. Модель GARCH

Модель GARCH (generalized ARCH — обобщенная модель ARCH), предло-
женная Т. Боллерслевом, является альтернативной модификацией модели ARCH
(16.2), позволяющей получить более длинные кластеры при малом числе пара-
метров. Модель ARMA зачастую позволяет получить более сжатое описание вре-
менных зависимостей для условного математического ожидания, чем модель AR.
Подобным же образом модель GARCH дает возможность обойтись меньшим ко-
личеством параметров по сравнению с моделью ARCH, если речь идет об условной
дисперсии. В дальнейшем мы проведем прямую аналогию между моделями GARCH
и ARMA.
528 Модели с авторегрессионной условной . . .

Для того чтобы вывести модель GARCH, используем в модели ARCH бесконеч-
ный геометрический лаг:
?
?
2
?j?1 ?2 = ? + ?2 .
?t = ?+?
1 ? ?L t?1
t?j
j=1

Применяя преобразование Койка, получим

?t = (1 ? ?)? + ??t?1 + ??2 .
2 2
t?1

Поменяв очевидным образом обозначения, получим модель GARCH(1, 1):

?t = ? + ??t?1 + ??2 .
2 2
t?1

Модель GARCH(p, q) обобщает эту формулу:

?t = ? + ?1 ?t?1 + . . . + ?p ?t?p + ?1 ?2 + . . . + ?q ?2 =
2 2 2
t?1 t?q
p q
2
?j ?2 . (16.3)
=?+ ?j ?t?j + t?j
j=1 j=1

При этом предполагается, что ? > 0, ?1 , . . . , ?p 0 и ?1 , . . . , ?q 0.
На практике, как правило, достаточно взять p =1 и q =1. Изредка используют
GARCH(1, 2) или GARCH(2, 1).
2
Как и в модели ARCH, ?t служит условной дисперсией процесса:
2
?t |?t ? N (0, ?t ).

Рассчитаем безусловную дисперсию GARCH-процесса, предполагая, что он ста-
ционарен. Для этого возьмем математические ожидания от обеих частей уравнения
16.3 для условной дисперсии:
p q
2 2
?j E(?2 ),
E(?t ) = ?j E(?t?j ) + t?j
j=1 j=1

откуда
p q
2 2
?j ? 2
?= ?j ? +
j=1 j=1

и
1
?2 = .
p q
1? ?j ? ?j
j=1 j=1
16.2. Модель GARCH 529

Таким образом, с точки зрения безусловной дисперсии GARCH-процесс гомос-
кедастичен.
Для того чтобы дисперсия была конечной, необходимо выполнение условия
p q
?j < 1. В частности, для модели GARCH(1, 1) требуется ?1 + ?1 < 1.
?j +
j=1 j=1
Процесс GARCH можно записать в эквивалентной форме, если, как и выше,
в уравнении 16.2 для модели ARCH, обозначить ?t = ?2 ? ?t :
2
t
p
m
?2 ?j )?2 + ?t ?
=?+ (?j + ?j ?t?j ,
t t?j
j=1 j=1

где m = max(p, q). (В этой записи подразумевается ?j = 0 при j > p и ?j = 0
при j > q.) Такая форма записи позволяет увидеть, что квадраты GARCH-процесса
подчиняются модели ARMA(m, p).
Этот факт дает возможность получить автокорреляционную функцию квадратов
GARCH-процесса. В частности, для GARCH(1, 1) автокорреляционная функция
квадратов имеет вид
2
?1 (1 ? ?1 ? ?1 ?1 )
?1 = ,
2
1 ? ?1 ? 2?1 ?1
?? = (?1 + ?1 )? ?1 ?? ?1 , ? > 1.

Условие существования безусловного четвертого момента у отдельного наблю-
2 2
дения процесса GARCH(1, 1) состоит в том, что 3?1 + 2?1 ?1 + ?1 < 1. Если это
условие выполняется, то эксцесс равен
E(?4 ) 2
6?1
?3=
t
2 2
?4 1 ? ?1 ? 2?1 ?1 ? 3?1
и является положительным. То есть GARCH-процесс (как и его частный слу-
чай — ARCH-процесс) имеет более высокий куртозис, чем нормальное распреде-
ление. В то же время, безусловное распределение отдельного наблюдения GARCH-
процесса является симметричным, поэтому все нечетные моменты, начиная с тре-
тьего, равны нулю.
Стандартным методом оценивания для моделей GARCH является метод мак-
симального правдоподобия. Условно по предыстории ?t?1 отдельное наблюдение
2
GARCH-процесса распределено нормально: ?t |?t?1 ? N (0, ?t ). Функция прав-
доподобия для ряда ?1 , . . . , ?T , подчиняющегося GARCH-процессу, вычисляется
как произведение плотностей этих условных нормальных распределений:

?2
T
1
exp ? t 2 .
L=
2?t
2
2??t
t=1
530 Модели с авторегрессионной условной . . .

Максимизируя эту функцию правдоподобия по неизвестным параметрам, по-
лучим оценки максимального правдоподобия для GARCH-процесса.
2
При оценивании условную дисперсию ?t следует считать функцией парамет-
ров модели и вычислять по рекуррентной формуле 16.3. Для этих вычислений
требуются «довыборочные» значения самого процесса и его условной дисперсии,
а они неизвестны. Для решения этой проблемы можно использовать различные
приемы. Самый простой, по-видимому, состоит в том, чтобы заменить условные
дисперсии в начале ряда ( t = 1, . . . , m) оценкой безусловной дисперсии, т.е. ве-
личиной

1T 2
2
s= ?.
T t=1 t

Оценки максимального правдоподобия являются состоятельными и асимпто-
тически эффективными.
На практике модель GARCH дополняют какой-либо моделью, описывающей
поведение условного или безусловного математического ожидания наблюдаемо-
го ряда. Например, можно предположить, что наблюдается не ?t , а ?t плюс
константа, т.е. что наблюдаемый ряд {xt } имеет постоянное безусловное ма-
тематическое ожидание ?, к которому добавляется ошибка ?t в виде процесса
GARCH:

xt = ? + ?t .

Можно моделировать безусловное математическое ожидание с помощью ли-
нейной регрессии, т.е.

xt = Zt ? + ?t .

Это позволяет учитывать линейный тренд, детерминированные сезонные пе-
ременные и т.п. При оценивании в функции правдоподобия вместо ?t используют
xt ? Zt ?.
С точки зрения прогнозирования перспективной является модель, сочетающая
ARIMA с GARCH. Модель ARIMA в этом случае используется для моделирования
поведения условного математического ожидания ряда, а GARCH — для моделиро-
вания условной дисперсии.
Важнейший вывод, который следует из анализа модели ARCH, состоит в том,
что наблюдаемые изменения в дисперсии (волатильности) временного ряда могут
иметь эндогенный характер, то есть порождаться определенной нелинейной моде-
лью, а не какими-то внешними структурными сдвигами.
16.3. Прогнозы и доверительные интервалы для модели GARCH 531

16.3. Прогнозы и доверительные интервалы
для модели GARCH
Одна из важнейших целей эконометрических моделей временных рядов —
построение прогнозов. Какие преимущества дают модели с авторегрессионной
условной гетероскедастичностью с точки зрения прогнозирования временных рядов
по сравнению с моделями линейной регрессии или авторегрессии — скользящего
среднего? Оказывается, что прямых преимуществ нет, но есть ряд опосредованных
преимуществ, которые в отдельных случаях могут иметь большое значение.
Рассмотрим модель линейной регрессии

xt = Zt ? + ?t , t = 1, . . . , T ,

в которой ошибка представляет собой GARCH-процесс. Поскольку ошибки не ав-
токоррелированы и гомоскедастичны, то, как известно, оценки наименьших квад-
ратов являются наилучшими в классе линейных по x несмещенных оценок. Од-
нако наличие условной гетероскедастичности позволяет найти более эффективные
(т.е. более точные) оценки среди нелинейных и смещенных оценок. Действительно,
метод максимального правдоподобия дает асимптотически эффективные оценки,
более точные, чем оценки МНК. В ошибку прогноза вносит свой вклад, во-первых,
ошибка ?T +1 , а во-вторых, разница между оценками параметров и истинными зна-
чениями параметров. Использование более точных оценок позволяет уменьшить
в некоторой степени вторую составляющую ошибки прогноза.
В обычных моделях временного ряда с неизменными условными дисперсия-
ми (например, ARMA) неопределенность ошибки прогноза — это возрастающая
функция горизонта прогноза, которая (если не учитывать разницу между оценка-
ми параметров и истинными значениями параметров, отмеченную в предыдущем
абзаце) не зависит от момента прогноза. Однако в присутствии ARCH-ошибок точ-
ность прогноза будет нетривиально зависеть от текущей информации и, следова-
тельно, от момента прогноза. Поэтому для корректного построения интервальных
прогнозов требуется иметь оценки будущих условных дисперсий ошибки.
Кроме того, в некоторых случаях полезно иметь прогнозы не только (условного)
математического ожидания изучаемой переменной, но и ее (условной) дисперсии.
Это важно, например, при принятии решений об инвестициях в финансовые ак-
тивы. В этом случае дисперсию (волатильность) доходности естественно рассмат-
ривать как меру рискованности финансового актива. Таким образом, сами по себе
прогнозы условной дисперсии могут иметь практическое применение.
Покажем, что доверительный интервал прогноза зависит от предыстории

?T = (xT , xT ?1 , . . . , x1 , . . . ).
532 Модели с авторегрессионной условной . . .

Реально прогноз делается на основе имеющегося ряда (x1 , . . . , xT ), а не всей
предыстории, однако различие это не столь существенно. При этом мы будем исхо-
дить из того, что нам известны истинные параметры процесса. Прогноз на ? пери-
одов — это математическое ожидание прогнозируемой величины xT +? , условное
относительно имеющейся на момент t информации ?T . Он равен

xT (? ) = E(xT +? |?T ) = E(ZT +? ? + ?T +? |?T ) = ZT +? ?.

Здесь учитывается, что поскольку информация ?T содержится в информации
?T +? ?1 при ? 1, то по правилу повторного взятия математического ожида-
ния выполнено

E(?T +? |?T ) = E (E (?T +? |?T +? ?1 ) |?T ) = E(0|?T ) = 0.

Таким образом, если известны истинные параметры, присутствие GARCH-ошибок
не отражается на том, как строится точечный прогноз, — он оказывается таким
же, как для обычной линейной регрессии. Ошибка предсказания в момент времени
T на ? шагов вперед

dT (? ) = xT +? ? xT (? ) = ?T +? .

Условная дисперсия ошибки предсказания равна

?p = E d2 (? ) ?T = E ?2 +? ?T .
2
T T

Из этого следует, что она зависит как от горизонта прогноза ? , так и от предысто-
рии ?T .
Заметим, что при t > T выполнено E ?2 |?T = E ?t |?T , поскольку
2
t

E ?2 ? ?t ?T = E E ?2 ? ?t ?t?1
2 2
?T = E(0|?T ) = 0.
t t

Учитывая, что E ?2 ? ?t |?t?1 = 0 и информация ?T содержится в информа-
2
t
ции ?t?1 при t > T , применяем правило повторного взятия математического
ожидания:

?p = E ?2 +? |?T = E ?T +? |?T .
2 2
T

Таким образом, фактически дисперсия прогноза xT +? — это прогноз вола-
тильности на ? шагов вперед.
Возьмем от обеих частей рекуррентного уравнения (16.3) для GARCH-процесса
математическое ожидание, условное относительно ?T . Получим
p q
2 2
?j E ?2 |?T .
?t |?T ?t?j |?T (16.4)
E =?+ ?j E + t?j
j=1 j=1
16.3. Прогнозы и доверительные интервалы для модели GARCH 533

2
Можно использовать эту рекуррентную формулу для расчета E ?t |?T при
t > T . При этом следует учесть, что E ?2 |?T = ?2 при t T , поскольку
t t
информация об ?t содержится в информационном множестве ?T , и по той же
2 2
причине E ?t |?T = ?t при t T + 1. Кроме того, как только что было доказано,
E ?2 |?T = E ?t |?T при t > T .
2
t
Таким образом, имеются все данные для того, чтобы с помощью формулы (16.4)
рассчитать дисперсию ошибки прогноза для xT +? в модели GARCH. При ? = 1
можно сразу без применения (16.4) записать

2 2 2
?dT (1) = E ?T +1 |?T = ?T +1 ,

2
где ?T +1 рассчитывается по обычному правилу. В модели GARCH(1, 1) при ? > 1
по формуле (16.4)

2 2
E ?T +? |?T = ? + (?1 + ?1 )E ?T +? ?1 |?T ,

т.е.
2 2
?dT (? ) = ? + (?1 + ?1 )?dT (? ?1) .

Отсюда следует, что общее выражение для GARCH(1, 1), не подходящее только
для случая ?1 + ?1 = 1, имеет вид

1 ? (?1 + ?1 )? ?1
+ (?1 + ?1 )? ?1 ?T +1 .
2 2
?dT (? ) =?
1 ? ?1 ? ?1

В пределе при условии стационарности ?1 +?1 < 1 условная дисперсия ошибки
прогноза сходится к безусловной дисперсии процесса GARCH(1, 1):
?
2
lim ?dT (? ) = .
1 ? ?1 ? ?1
? >?


Хотя получено общее выражение для дисперсии ошибки прогноза, этого, вообще
говоря, недостаточно для корректного построения доверительных интервалов, по-
скольку условное относительно ?T распределение ?T +? , а следовательно, и рас-
пределение ошибки прогноза dT (? ), имеет более толстые хвосты, чем нормальное
распределение. Чтобы обойти эту проблему, можно использовать, например, про-
гнозные интервалы в виде плюс/минус двух среднеквадратических ошибок про-
гноза без выяснения того, какой именно доверительной вероятности это соот-
ветствует4 , т.е. xT (? ) ± 2?dT (? ) .

Ясно, что для нормального распределения это примерно 95%-й двусторонний квантиль.
4
534 Модели с авторегрессионной условной . . .




20 40 60 80 100


Рис. 16.3. Иллюстрация интервальных прогнозов для процесса GARCH



Чтобы проиллюстрировать зависимость доверительных интервалов прогнозов
от предыстории, мы сгенерировали ряд GARCH(1, 1) длиной 100 наблюдений с па-
раметрами ?1 = 0.3 и ?1 = 0.3 и построили теоретические доверительные интер-
валы при T = 20 и T = 40. Прогноз везде равен нулю. Рисунок 16.3 показывает
условные доверительные интервалы прогнозов для процесса GARCH(1, 1), а также
сам ряд. Интервал для T = 20 постепенно сужается, а для T = 40 расширяется
до уровня, соответствующего безусловной дисперсии. Такое поведение объясняет-
ся тем, что при T = 21 волатильность (условная дисперсия) была относительно
высокой, а при T = 41 — относительно низкой. Очевидна способность услов-
ных прогнозных интервалов приспосабливаться к изменениям в волатильности.
Примечательно то, что интервалы прогнозов могут сужаться с ростом горизонта
прогнозов, если прогноз делается в момент, соответствующий высокому уровню
волатильности. Это объясняется тем, что в будущем следует ожидать снижения
(ожидаемого) уровня волатильности.
На практике следует внести изменения в приведенные выше формулы, которые
выведены в предположении, что истинные параметры процесса известны. Если па-
раметры неизвестны, они заменяются соответствующими оценками. Можно также
добавить к дисперсии прогноза поправку, связанную с тем, что при прогнозирова-
нии используются оценки a, а не истинные коэффициенты регрессии ?, которая
примерно равна
ZT +k var(a)?1 ZT +k .
Вместо неизвестной ковариационной матрицы оценок коэффициентов var(a) сле-
дует взять ее оценку, получаемую в методе максимального правдоподобия.
16.4. Разновидности моделей ARCH 535

16.4. Разновидности моделей ARCH
Существует огромное количество модификаций классической модели GARCH.
Дадим обзор только важнейших направлений, в которых возможна модификация
модели. Все эти модели включают в себя какие-либо авторегрессионно услов-
но гетероскедастичные процессы. Формально процесс {?t } с нулевым условным
математическим ожиданием E(?t |?t ) = 0 является авторегрессионно условно
гетероскедастичным, если его условная относительно предыстории дисперсия

?t = E(?2 |?t ) = var(?t |?t )
2
t

нетривиальным образом зависит от предыстории ?t .


16.4.1. Функциональная форма динамики
условной дисперсии

Модели авторегрессионно условно гетероскедастичных процессов могут раз-
личаться тем, какой именно функцией задается зависимость условной дисперсии
от своих лагов и лагов ?t . Например, в логарифмической GARCH-модели условная
дисперсия задается уравнением
p q
2 2
?j ln ?2 .
ln ?t =?+ ?j ln ?t?j + t?j
j=1 j=1

В такой модели условная дисперсия всегда положительна вне зависимости от зна-
чений коэффициентов.
Следующая нелинейная GARCH-модель включает в себя как частный случай
обычную GARCH-модель:
p q
?j |?t?j |? .
? ?
?t =?+ ?j ?t?j +
j=1 j=1


Кроме того, логарифмическая GARCH-модель является предельным частным
случаем этой модели (после небольших изменений) при ? > 0.
В приведенных моделях условная дисперсия не зависит от знаков лагов ?t ,
а зависит только от их абсолютной величины. Это может быть серьезным огра-
ничением, поскольку в реальных финансовых данных часто наблюдается эффект
левереджа. Снижение рыночной стоимости акционерного капитала увеличивает
отношение заемных средств к собственным и, следовательно, повышает риско-
ванность вложений в фирму. Последнее проявляется в увеличении волатильности.
536 Модели с авторегрессионной условной . . .

В результате, будущие значения волатильности отрицательно коррелируют с теку-
щей доходностью. Это дало толчок к развитию разного рода асимметричных по ?t
моделей. Самой известной является экспоненциальная модель GARCH (EGARCH),
предложенная Д. Нельсоном. Она имеет следующий вид:

?t ? N ID(0, 1),
?t = ?t ?t ,
p q
2 2
ln ?t =?+ ?j ln ?t?j + ?j g(?t?j ),
j=1 j=1

g(?t ) = ??t + ?(|?t | ? E|?t |).

В модели EGARCH логарифм условной дисперсии представляет собой процесс
ARMA. Первая сумма в уравнении соответствует авторегрессии, а вторая — сколь-
зящему среднему. Функция g(·) построена так, что E(g(?t )) = 0. Таким образом,
2
в EGARCH ?t зависит и от величины, и от знака лагов ?t и ?t . Логарифм услов-
2
ной дисперсии ln ?t описывается процессом ARMA(p, q) с обычными для ARMA
условиями стационарности.
Эффект левереджа можно также учесть в нелинейной GARCH-модели, введя
дополнительный параметр сдвига ?:
p q
?j |?t?j ? ?|? .
? ?
?t =?+ ?j ?t?j +
j=1 j=1



16.4.2. Отказ от нормальности

Как уже говорилось, финансовые ряды обычно характеризуются большой ве-
личиной куртозиса. Модель GARCH частично учитывает это, поскольку в ней без-
условное распределение GARCH-процесса имеет толстые хвосты. Это является ре-
зультатом стохастического характера условной дисперсии. Однако, как показывает
опыт, этот эффект не полностью улавливается моделью GARCH. Это проявляется
в том, что нормированные остатки модели, соответствующие ?t = ?t /?t , все еще
характеризуются большой величиной куртозиса. Таким образом, не выполняется
одно из предположений модели GARCH — о том, что ?t условно по предыстории
имеет нормальное распределение.
Это создает трудности при использовании метода максимального правдопо-
добия для оценивания модели. Допустим, на самом деле ошибки распределены
не нормально, но мы максимизируем функцию правдоподобия, основывающуюся
на нормальности, т.е. используем так называемый метод квазимаксимального прав-
доподобия. Что при этом произойдет? Во-первых, при нарушении предположения
16.4. Разновидности моделей ARCH 537

о нормальности оценки хотя и будут состоятельными, но не будут асимптотически
эффективными (т.е. наиболее точными в пределе). Во-вторых, стандартные мето-
ды оценивания ковариационной матрицы оценок максимального правдоподобия не
годятся, — требуется скорректированная оценка ковариационной матрицы.
Альтернативой методу квазимаксимального правдоподобия служат модели,
в которых в явном виде делается предположение о том, что ?t = ?t /?t име-
ет распределение, отличающееся от нормального. Наиболее часто используется
t-распределение Стьюдента, поскольку это распределение при малых степенях
свободы имеет большой куртозис (см. Приложение A.3.2). При этом количество
степеней свободы рассматривается как неизвестный параметр, причем непрерыв-
ный (формула плотности t-распределения подходит и в случае, когда берется неце-
лое количество степеней свободы). Можно использовать и другие распределения,
например, так называемое обобщенное распределение ошибки (GED).
Часто распределение ?t является скошенным вправо. Для учета этой ситуации
следует использовать асимметричные распределения с толстыми хвостами. Напри-
мер, можно использовать нецентральное t-распределение, известное из статисти-
ки. Другой вариант, более простой в использовании, — так называемое скошенное
t-распределение, которое «склеивается» из двух половинок t-распределений, по-
разному масштабированных.


16.4.3. GARCH-M

В модели GARCH-M непосредственно в уравнение регрессии добавляется
условная дисперсия:
2
xt = Zt ? + ?g(?t ) + ?t ,

где g(·) — некоторая возрастающая функция. Эта новая компонента вводится для
отражения влияния волатильности временного ряда на зависимую переменную,
поскольку из многих финансовых моделей следует, что доходность актива должна
быть положительно связана с рискованностью этого актива.
2 2 2 2
В качестве g(·) обычно используют g(?t ) = ?t , g(?t ) = ?t = ?t или
2 2
g(?t ) = ln ?t .


16.4.4. Стохастическая волатильность

В рассмотренных моделях с авторегрессионной гетероскедастичностью услов-
ная дисперсия однозначно определяется предысторией. Это не оставляет места для
случайных влияний на волатильность, помимо влияний лагов самого процесса. Од-
нако авторегрессионная гетероскедастичность может возникнуть по-другому. При-
538 Модели с авторегрессионной условной . . .

мером является модель авторегрессионной стохастической волатильности, в кото-
рой логарифм условной дисперсии описывается авторегрессионным процессом.
Модель авторегрессионной стохастической волатильности первого порядка имеет
следующий вид:
?t ? N ID(0, 1),
2
?t ? N ID(0, ?? ),
?t = ?t ?t ,
2 2
ln ?t = ? + ? ln ?t?1 + ?t .

Эта модель по структуре проще, чем модель GARCH, и лучше обоснована тео-
ретически, с точки зрения финансовых моделей, однако ее широкому использова-
нию мешает сложность эффективного оценивания. Проблема состоит в том, что
для нее, в отличие от моделей типа GARCH, невозможно в явном виде выписать
функцию правдоподобия. Таким образом, в случае применения модели стохасти-
ческой волатильности возникает дилемма: либо использовать алгоритмы, которые
дают состоятельные, но неэффективные оценки, например, метод моментов, ли-
бо применять алгоритмы, требующие сложных расчетов, например, алгоритмы,
использующие метод Монте-Карло для интегрирования многомерной плотности.
Несложно придумать модели, которые бы объединяли черты моделей типа
GARCH и моделей стохастической волатильности. Однако подобные модели на-
следуют описанные выше проблемы оценивания.

16.4.5. ARCH-процессы с долгосрочной памятью
p q
Для многих финансовых данных оценка ?j , оказывается очень близ-
?j +
j=1 j=1
кой к единице. Это дает эмпирическое обоснование для так называемой интегриро-
ванной модели GARCH, сокращенно IGARCH. Это обычные модели GARCH, в ко-
торых характеристическое уравнение для условной дисперсии имеет корень равный
p q
единице, и, следовательно, ?j = 1. В частности, процесс IGARCH(1, 1)
?j +
j=1 j=1
можно записать следующим образом:
?t = ? + (1 ? ?)?t?1 + ??2 .
2 2
t?1

IGARCH-процессы могут быть строго стационарны, однако не имеют ограни-
ченной безусловной дисперсии и поэтому не являются слабо стационарными.
В модели IGARCH(1, 1) прогноз волатильности на ? шагов вперед (или, что то
же самое, дисперсия прогноза самого процесса на ? шагов вперед) равен
2 2
E(?T +? |?T ) = ?d2 (? ) = ?(k ? 1) + ?T +1 .
T
16.4. Разновидности моделей ARCH 539

Следовательно, шок условной дисперсии инерционен в том смысле, что он
влияет на будущие прогнозы всех горизонтов.
В последние годы получило распространение понятие так называемой дробной
интегрированности. Дробно-интегрированный процесс (ARFIMA) с парамет-
ром интегрированности d ? (0, 1) занимает промежуточное положение между
стационарными процессами ARMA ( d = 0) и интегрированными ( d = 1). Такие
процессы имеют автокорреляционную функцию, которая затухает гиперболиче-
ски, в то время как автокорреляционная функция стационарного процесса ARMA
затухает экспоненциально, т.е. более быстро. В связи с этим принято говорить, что
дробно-интегрированные процессы характеризуются долгосрочной памятью. Это
явление было обнаружено как в уровнях, так и в дисперсиях многих финансовых ря-
дов. В связи с этим появились модели дробно-интегрированных ARCH-процессов,
такие как FIGARCH, HYGARCH.



16.4.6. Многомерные модели волатильности

Часто из экономической теории следует, что финансовые временные ряды
должны быть взаимосвязаны, в том числе и через волатильность: краткосроч-
ные и долгосрочные процентные ставки; валютные курсы двух валют, выражен-
ные в одной и той же третьей валюте; курсы акций фирм, зависящих от одного
и того же рынка, и т.п. Кроме того, условные взаимные ковариации таких финан-
совых показателей могут меняться со временем. Ковариация между финансовыми
активами играет существенную роль в моделях поиска оптимального инвестици-
онного портфеля. С этой точки зрения многомерные модели авторегрессионной
условной гетероскедастичности являются естественным расширением одномерных
моделей.
Общее определение многомерного ARCH-процесса не представляет никакой
теоретической сложности: рассматривается m-мерный наблюдаемый случайный
вектор xt , m-мерный вектор его условного математического ожидания, услов-
ная ковариационная матрица размерностью m ? m. В современной литературе
предложено множество подобных моделей разной степени сложности. Оценива-
ние многомерной ARCH-модели, однако, сопряжено со значительными трудностя-
ми. В частности, эти трудности связаны с необходимостью максимизации по боль-
шому количеству неизвестных параметров. Поэтому в прикладных исследованиях
отдается предпочтение таким многомерным моделям волатильности, в которых
количество параметров мало. В то же время для таких компактных моделей (на-
пример, для факторных моделей волатильности) может не существовать явной
формулы для функции правдоподобия, что создает дополнительные трудности при
оценивании.
540 Модели с авторегрессионной условной . . .

16.5. Упражнения и задачи
Упражнение 1

Сгенерируйте ряд длиной 1000 наблюдений в соответствии с моделью ARCH(4)
по уравнению: ?t = 1 + 0.3?2 + 0.25?2 + 0.15?2 + 0.1?2 . (Вместо начальных
2
t?1 t?2 t?2 t?2
значений квадратов ошибок возьмите безусловную дисперсию.)
В действительности мы имеем только ряд наблюдений, а вид и параметры мо-
дели неизвестны.

1.1. Оцените модель ARCH(4). Сравните оценки с истинными параметрами моде-
ли. Сравните динамику оценки условной дисперсии и ее истинных значений.

1.2. Проделайте то же самое для модели GARCH(1, 1).

1.3. Рассчитайте описательные статистики ряда: среднее, дисперсию, автокорре-
ляцию первого порядка, асимметрию и эксцесс. Соответствуют ли получен-
ные статистики теории?


Упражнение 2

В Таблице 16.1 дана цена pt акций IBM за период c 25 июня 2002 г. по 9 апреля
2003 г.

2.1. Получите ряд логарифмических доходностей акций по формуле
yt = 100 ln(pt /pt?1 ).

2.2. Постройте график ряда yt , график автокорреляционной функции yt , график
2
автокорреляционной функции квадратов доходностей yt . Сделайте выводы
об автокоррелированности самих доходностей и их квадратов. Наблюдается
ли авторегрессионная условная гетероскедастичность?

2.3. Оцените для доходностей модель GARCH(1, 1) на основе первых 180 наблю-
дений. Значимы ли параметры модели? Постройте график условной диспер-
сии и укажите периоды высокой и низкой волатильности.

2.4. Найдите эксцесс изучаемого ряда доходностей yt и эксцесс нормированных
остатков из модели GARCH. Сравните и сделайте выводы.

2.5. Постройте прогноз условной дисперсии для 19 оставшихся наблюдений. По-
стройте интервальный прогноз изучаемого ряда для тех же 19 наблюдений.
Какая доля наблюдений попадает в прогнозные интервалы?
Таблица 16.1
25.06.02 68.19 6.08.02 67.49 17.09.02 71.48 28.10.02 76.27 9.12.02 79.44 22.01.03 79.55 5.03.03 77.73
26.06.02 69.63 7.08.02 68.91 18.09.02 69.29 29.10.02 76.45 10.12.02 80.64 23.01.03 80.89 6.03.03 77.07
27.06.02 71.47 8.08.02 71.34 19.09.02 64.56 30.10.02 78.37 11.12.02 81.28 24.01.03 78.84 7.03.03 77.90
28.06.02 71.57 9.08.02 71.56 20.09.02 63.68 31.10.02 78.64 12.12.02 80.01 27.01.03 78.27 10.03.03 75.70
1.07.02 67.20 12.08.02 71.50 23.09.02 63.13 1.11.02 80.10 13.12.02 79.84 28.01.03 79.95 11.03.03 75.35
2.07.02 68.17 13.08.02 71.63 24.09.02 59.52 4.11.02 82.19 16.12.02 81.46 29.01.03 80.16 12.03.03 75.18
3.07.02 70.09 14.08.02 74.64 25.09.02 62.77 5.11.02 81.37 17.12.02 80.15 30.01.03 78.15 13.03.03 78.45
5.07.02 73.06 15.08.02 76.21 26.09.02 61.79 6.11.02 81.38 18.12.02 78.98 31.01.03 78.05 14.03.03 79.00
8.07.02 70.87 16.08.02 79.05 27.09.02 60.13 7.11.02 78.80 19.12.02 78.51 3.02.03 78.03 17.03.03 82.46
16.5 Упражнения и задачи




9.07.02 69.25 19.08.02 82.18 30.09.02 58.09 8.11.02 77.44 20.12.02 79.64 4.02.03 76.94 18.03.03 82.47
10.07.02 68.35 20.08.02 80.96 1.10.02 60.94 11.11.02 77.14 23.12.02 80.10 5.02.03 77.11 19.03.03 82.00
11.07.02 69.00 21.08.02 80.69 2.10.02 59.40 12.11.02 79.00 24.12.02 79.61 6.02.03 77.51 20.03.03 82.20
12.07.02 68.80 22.08.02 81.68 3.10.02 59.77 13.11.02 79.20 26.12.02 78.35 7.02.03 77.10 21.03.03 84.90
15.07.02 70.58 23.08.02 80.10 4.10.02 56.39 14.11.02 80.56 27.12.02 77.21 10.02.03 77.91 24.03.03 82.25
16.07.02 68.60 26.08.02 79.12 7.10.02 56.65 15.11.02 79.85 30.12.02 76.10 11.02.03 77.39 25.03.03 83.45
17.07.02 70.27 27.08.02 77.67 8.10.02 56.83 18.11.02 79.03 31.12.02 77.35 12.02.03 76.50 26.03.03 81.55
18.07.02 71.62 28.08.02 75.77 9.10.02 54.86 19.11.02 78.22 2.01.03 80.41 13.02.03 75.86 27.03.03 81.45
19.07.02 71.57 29.08.02 76.33 10.10.02 57.36 20.11.02 81.45 3.01.03 81.49 14.02.03 77.45 28.03.03 80.85
22.07.02 68.09 30.08.02 75.10 11.10.02 63.68 21.11.02 84.74 6.01.03 83.43 18.02.03 79.33 31.03.03 78.43
23.07.02 66.65 3.09.02 72.08 14.10.02 63.18 22.11.02 84.27 7.01.03 85.83 19.02.03 79.51 1.04.03 78.73
24.07.02 69.12 4.09.02 73.45 15.10.02 68.22 25.11.02 86.03 8.01.03 84.03 20.02.03 79.15 2.04.03 81.46
25.07.02 68.94 5.09.02 71.91 16.10.02 64.65 26.11.02 84.89 9.01.03 86.83 21.02.03 79.95 3.04.03 81.91
26.07.02 66.00 6.09.02 72.92 17.10.02 71.93 27.11.02 87.53 10.01.03 87.51 24.02.03 78.56 4.04.03 80.79
29.07.02 70.75 9.09.02 74.22 18.10.02 73.97 29.11.02 86.75 13.01.03 87.34 25.02.03 79.07 7.04.03 80.47
30.07.02 71.36 10.09.02 75.31 21.10.02 75.26 2.12.02 87.13 14.01.03 88.41 26.02.03 77.40 8.04.03 80.07
31.07.02 69.98 11.09.02 73.92 22.10.02 74.21 3.12.02 85.04 15.01.03 87.42 27.02.03 77.28 9.04.03 78.71
1.08.02 67.84 12.09.02 71.60 23.10.02 74.32 4.12.02 83.53 16.01.03 85.88 28.02.03 77.95
2.08.02 67.47 13.09.02 72.23 24.10.02 71.83 5.12.02 82.90 17.01.03 81.14 3.03.03 77.33
5.08.02 65.60 16.09.02 72.05 25.10.02 74.28 6.12.02 82.16 21.01.03 80.38 4.03.03 76.70
541
542 Модели с авторегрессионной условной . . .

Задачи

1. Объясните значение термина «волатильность».

2. Рассмотрите следующие два утверждения:

а) «GARCH является слабо стационарным процессом»;
б) «GARCH является процессом с изменяющейся во времени дис-
персией».

Поясните смысл каждого из них. Объясните, почему между ними нет проти-
воречия.

3. Почему процесс GARCH представляет особый интерес для финансовой эко-
нометрии?

4. В каком отношении находятся между собой модели ARCH и GARCH?

5. Коэффициент процесса ARCH(1) равен ? = 0.8, безусловная дисперсия
равна 2. Запишите уравнение процесса.

6. Приведите конкретный пример процесса ARCH(1), который имел бы конеч-
ную безусловную дисперсию. Ответ обоснуйте.

7. Приведите конкретный пример процесса ARCH(1), куртозис которого
не определен («бесконечен»). Ответ обоснуйте.

8. Вычислите безусловную дисперсию следующего процесса GARCH:

?t = 0.4 + 0.1?t?1 + 0.7?2 .
2 2
t

Докажите формально, что ваш ответ верен.

9. Докажите, что следующий процесс GARCH не может иметь конечную без-
условную дисперсию:

?t = 1 + 0.6?t?1 + 0.6?2 .
2 2
t?1

(Подсказка: можно использовать доказательство от противного.)

10. Процесс GARCH(1, 1) задан уравнением ?t = 1+ 0.8?t?1 + 0.1?2 . Извест-
2 2
t?1
2 = 9, ? = ?2. Чему равен прогноз на следующий период? Чему
но, что ?T T
равна дисперсия этого прогноза?

11. Покажите, что модель GARCH(1, 1) можно записать в виде модели ARCH
бесконечного порядка.
543
16.5 Упражнения и задачи

<<

стр. 20
(всего 28)

СОДЕРЖАНИЕ

>>