<<

стр. 27
(всего 28)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

k
k??(k/2)

x1
Если x1 ? N (0, 1), x2 ? ?2 и независимы, то ? tk .
k
x2 /k
?
Распределение Стьюдента симметрично относительно нуля и x0,5 = x = 0.
Математическое ожидание существует при k > 1 и E(x) = 0.
При k n не существует n-го момента.
k
Дисперсия: var(x) = (существует при k > 2).
k?2
Коэффициент асимметрии: ?3 = 0 (существует при k > 3).
k?2 6
; коэффициент эксцесса: ?4 ? 3 =
Куртозис: ?4 = 3 (существуют
k?4 k?4
при k > 4).
При больших k распределение Стьюдента похоже на N (0, 1).
711
A.3 Сведения из теории вероятностей и матем. статистики

Распределение Фишера

Распределение Фишера с k1 и k2 степенями свободы обозначается Fk1 ,k2 .
Его также называют F-распределением или распределением Фишера—Снедекора.
Его плотность:
?
xk1 /2?1
?
? f (x) = ? ((k1 + k2 )/2) k k1 /2 k k2 /2
? ,x 0,
1 2
(k1 x + k2 )(k1 +k2 )/2
?(k1 /2)?(k2 /2)
?
?
?
f (x) = 0, x < 0.

x1 /k1
Если x1 ? ?21 , x2 ? ?22 и независимы, то ? Fk1 ,k2 .
k k
x2 /k2
Если x ? Fk1 ,k2 , то

k2
при k2 > 2,
E(x) = ,
k2 ? 2
2
2k2 (k1 + k2 ? 2)
при k2 > 4,
var(x) = ,
k1 (k2 ? 2)2 (k2 ? 4)
2(2k1 + k2 ? 2) 2(k2 ? 4)
при k2 > 6,
?3 = ,
k2 ? 6 k1 (k1 + k2 ? 2)
12 (k2 ? 2)2 (k2 ? 4) + k1 (5k2 ? 22)(k1 + k2 ? 2)
?4 ? 3 = при k2 > 8.
,
k1 (k1 + k2 ? 2)(k2 ? 6)(k2 ? 8)


Многомерное нормальное распределение

n-мерное нормальное распределение с математическим ожиданием µ (n ? 1)
и ковариационной матрицей ? (n ? n) обозначается N (µ, ?). Его плотность:
1 ?1 (z?µ)
f (z) = (2?)?n/2 |?|?1/2 e? 2 (z?µ) ? .

Свойства многомерного нормального распределения:

• Если x ? N (µ, ?), то Ax + b ? N (Aµ + b, A?A ).

xx
• Если x ? N 0n , ? 2 In , то ? ?2 .
2 n
?
• Если x ? N (0, ?), где ? (n ? n) — невырожденная матрица, то
x ??1 x ? ?2 .
n
712 Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики

• Если x ? N 0, A (A A)?1 A , где A (n ? k) — матрица, имеющая пол-
ный ранг по столбцам, то x x ? ?2 . Если x ? N 0, I ? A (A A)?1 A ,
k
где A (n ? k) — матрица, имеющая полный ранг по столбцам, то
x x ? ?2 .
n?k

2 2
• Если x = (x1 , . . . , xn ) ? N µ, diag(?1 , . . . , ?n ) , то x1 , . . . , xn независи-
2
мы в совокупности и xi ? N µi , ?i .

• Если совместное распределение случайных векторов x и y является много-
мерным нормальным:
? ? ?? ?? ??
?x? ?? µx ? ? ?xx ?xy ??
? ? N ??
? ?,? ?? ,
y µy ?yx ?yy

то маргинальное распределение x имеет вид x ? N (µx , ?xx ), а условное
распределение x относительно y имеет вид

x|y ? N µx + ?xy ??1 (y ? µy ) , ?xx ? ?xy ??1 ?yx .
yy yy



Аналогично y ? N (µy , ?yy ) и

y|x ? N µy + ?yx ??1 (x ? µx ) , ?yy ? ?yx ??1 ?xy .
xx xx



A.3.3. Проверка гипотез

Пусть x1 , . . . , xn — случайная выборка из распределения F? , заданного па-
раметром ? ? ?.
Нулевая гипотеза H0 относительно параметра ? состоит в том, что он при-
надлежит некоторому более узкому множеству: ? ? ?0 , где ?0 ? ?. Альтерна-
тивная гипотеза H1 состоит в том, что параметр принадлежит другому множеству:
? ? ?1 , где ?1 = ?\?0 . Рассматривается некоторая статистика s, которая яв-
ляется функцией от выборки: s = s(x1 , . . . , xn ). Процедуру (правило) проверки
гипотезы называют статистическим критерием или статистическим тестом. Суть
проверки гипотезы H0 против альтернативной гипотезы H1 состоит в том, что за-
даются две непересекающиеся области, S0 и S1 , такие что S0 ? S1 — вся область
значений статистики s. Если s ? S0 , то нулевая гипотеза (H0 ) принимается, а если
s ? S1 , то нулевая гипотеза отвергается.
713
A.3 Сведения из теории вероятностей и матем. статистики

Обычно S0 = (??, s? ] и S1 = (s? , +?), где s? — критическая граница. Та-
кой критерий называется односторонним. При этом критерий состоит в следующем:

если s < s?, то H0 принимается,
если s > s?, то H0 отвергается.

S0 и S1 выбираются так, чтобы в случае, когда H0 верна, вероятность того,
что s ? S1 , была бы равна некоторой заданной малой вероятности ?. Как правило,
на практике используют вероятность ? = 0.05 (хотя это не имеет под собой каких-
либо теоретических оснований).
Ошибкой первого рода называется ошибка, состоящая в том, что отвергается
верная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода равна ?. Вероятность
ошибки первого рода называется уровнем значимости или размером. Вероятность
1 ? ? называют уровнем доверия.
Ошибкой второго рода называется ошибка, состоящая в том, что принимается
неверная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают ?.
Мощностью критерия называют величину 1 ? ?. Мощность характеризует, на-
сколько хорошо работает критерий. Мощность должна быть как можно большей
при данном ?. Требуется, по крайней мере, чтобы ? < 1 ? ?. Критерий, не удо-
влетворяющий этому условию, называют смещенным.
Альтернативный способ проверки гипотез использует вероятность ошибки пер-
вого рода, если принять s? равной s, т.е. вероятность того, что s > s? . Эту вероят-
ность называют уровнем значимости или P-значением. Обозначим ее pv. При за-
данной вероятности ? критерий состоит в следующем:

если pv > ?, то H0 принимается,
если pv < ?, то H0 отвергается.

Еще один способ проверки гипотез основан на доверительных областях для па-
раметра ?. Пусть D — доверительная область для параметра ?, такая что ? ? D
с некоторой веротностью 1 ? ?, и пусть проверяется гипотеза H0 : ? = ?0 против
альтернативной гипотезы H1 : ? = ?0 . Критерий состоит в следующем:

если ?0 ? D, то H0 принимается,
если ?0 ? D, то H0 отвергается.
/

Отметим, что в этом случае ?0 не случайная величина; случайной является
доверительная область D.
714 Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики

A.4. Линейные конечно-разностные уравнения
Конечно-разностное уравнение p-го порядка имеет вид:

?0 yt + ?1 yt?1 + · · · + ?p yt?p = ut ,

где ut — известная последовательность, ?0 , ?1 , . . . , ?p — известные коэффици-
енты, а последовательность yt следует найти. Это уравнение также можно записать
через лаговый многочлен:

? (L) yt = ?0 + ?1 L + ?2 L2 + · · · + ?p Lp yt = ut ,

где L — лаговый оператор (Lyt = yt?1 ).
Если даны p последовательных значений последовательности yt , например,
y1 , . . . , yp , то другие значения можно найти по рекуррентной формуле. При t > p
получаем
1
(ut ? (?1 yt?1 + · · · + ?p yt?p )) .
yt =
?0

Конечно-разностное уравнение называется однородным, если ut = 0. Общее
решение конечно-разностного уравнения имеет вид:
0
yt = yt + yt ,
?
0
где yt — общее решение соответствующего однородного уравнения,
а yt = ??1 (L) ut — частное решение неоднородного уравнения.
?


A.4.1. Решение однородного конечно-разностного уравне-
ния

Если ?j , j = 1, . . . , p — корни характеристического уравнения

? (?) = ?0 + ?1 ? + ?2 ?2 + · · · + ?p ?p = 0,
p
(1 ? ?/?j ).
тогда ? (?) = ?0
j=1
(j)
Последовательность yt = ??t является решением однородного конечно-
j
разностного уравнения. Действительно, в разложении ? (L) на множители имеет-
ся множитель 1 ? L/?j и
(j)
= (1 ? L/?j ) ??t = ??t ? L??t?1 = ??t ? ??t = 0.
(1 ? L/?j ) yt j j j j j
715
A.5. Комплексные числа

Если все корни ?j , j = 1, . . . , p различные, то общее решение однородного
конечно-разностного уравнения имеет вид:
(1) (p)
= C1 ??t + . . . + Cp ??t .
0
yt = C1 yt + . . . + Cp yt 1 p


Если не все корни различны, то для корня ?j кратности m соответствующее
слагаемое имеет вид C1j + C2j t + . . . + Cmj tm?1 ??t .
j
Если ?1 и ?2 — пара комплексно-сопряженных корней, т.е.

?1 = R (cos (?) + i sin (?)) = Rei? и
?2 = R (cos (?) ? i sin (?)) = Re?i? ,
(1) (2)
= C1 ??t + C2 ??t , где C1 , C2 являются
то два слагаемых C1 yt + C2 yt 1 2
комплексно-сопряженными, можно заменить на

C1 ??t + C2 ??t = C1 (Rei? )?t + C2 (Re?i? )?t =
1 2

= R?t C1 e?i?t + C2 ei?t = R?t (A cos(?t) + B sin(?t)) .

0 0 0
Если известны p значений последовательности yt , например, y1 , . . . , yp ,
то коэффициенты Cj , Cjk , A, B находятся из решения системы p линейных урав-
нений. Например, если все корни ?j , j = 1, . . . , p различны, то коэффициенты
Cj находятся из системы уравнений
? ?? ? ? ?
?1
· · · ??1 0
? ?1 ?? ?? ?
C1 y1
p
? ?? ?? ?
?. ?? ?? ?
. . .
?. ?? ?=? ?.
. . .
?. . . .
?? ?? ?
? ?? ?? ?
??p · · · ??p 0
Cp yp
1 p



A.5. Комплексные числа
Комплексным числом z называется пара (a, b), где a— действительная часть,
а b —v мнимая часть числа. Комплексное число записывают в виде z = a + ib,
где i = ?1.

• Сложение: если z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 , то z1 + z2 = (a1 + a2 ) +
+ i (b1 + b2 ); если z = a + ib, то ?z = (?a) + i(?b) = ?a ? ib.

• Вычитание: если z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 , то z1 ? z2 = (a1 ? a2 ) +
+ i (b1 ? b2 ).
716 Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики

• Умножение: если z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 , то z1 z2 = a1 a2 ? b1 b2 +
+ i (a2 b1 + a1 b2 ).
a ? ib
a b
• Обратное число: если z = a + ib, то z ?1 = .
+ i(? 2 )= 2
a2 + b2 a + b2 a + b2
z1 ?1
• Деление: z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 , то = z1 z2 .
z2
• Для числа z = a+ib число z ? = a?ib называют комплексно-сопряженным.
v
• Модуль: если z = a + ib, то |z| = a2 + b2 .

• Выполняется свойство zz ? = |z|2

• Любое комплексное число z = a+ib можно представит в виде z = |z| cos ?+
a b
+ i|z| sin ?, где угол ? такой что cos ? = и sin ? = . Угол ? называют
|z| |z|
аргументом z.

• Формула Эйлера: cos ? + i sin ? = ei? и cos ? ? i sin ? = e?i? .
1 1 i?
cos ? = (ei? + e?i? ) (e ? e?i? ).
sin ? =
2 2i

• Формула Муавра: если z = cos ? + i sin ? = ei? , то z n = cos(n?) +
+ i sin(n?) = ein? .
Приложение B

Статистические таблицы


Нормальное распределение
Функция нормального распределения:
+?
? = 1.96 0.06
1 2
e?(1/2)x dx.
v
+?
1 2
e?(1/2)x dx = 0.0250 2?
v
1.9 ?
2?
1.96




Плотность функции нормального распределения




2.5%

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
1.96

Рис. B.1График плотности нормального распределения с нулевым математическим
ожиданием и единичной дисперсией N (0, 1)


717
718 Приложение B. Статистические таблицы



Таблица А.1. Значения функции плотности стандартного нормального распределения

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
?
0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247
0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859
0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483
0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121
0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776
0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451
0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148
0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867
0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611
1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379
1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170
1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985
1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823
1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681
1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559
1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455
1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367
1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294
1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233
2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183
2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143
2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110
2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084
2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064
2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036
2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026
2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019
2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014
3 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010
719




Распределение t-Cтьюдента
Pr(t > tk,1?? ) = ?
Границы t-распределения с k степенями свободы tk,1??



? = 0.025

k = 5 2.5%, t0.975 = 2.571




Распределение t Стьюдента




2.5%

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
2.571

Рис. B.2График плотности распределения t-Стьюдента для k = 5
720 Приложение B. Статистические таблицы



Таблица А.2. Граница t-распределения с k степенями свободы

Односторонние квантили Односторонние квантили
? ?
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
k
k

1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756
1 29
1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925
2 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750
30
1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841
3 1.052 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724
35
1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604
4 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704
40
1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032
5 1.049 1.301 1.679 2.014 2.412 2.690
45
1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707
6 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678
50
1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499
7 1.046 1.297 1.673 2.004 2.396 2.668
55
1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355
8 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660
60
1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250
9 1.045 1.295 1.669 1.997 2.385 2.654
65
1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169
10 1.044 1.294 1.667 1.994 2.381 2.648
70
1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106
11 1.044 1.293 1.665 1.992 2.377 2.643
75
1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055
12 1.043 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639
80
1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012
13 1.043 1.292 1.663 1.988 2.371 2.635
85
1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977
14
1.042 1.291 1.662 1.987 2.368 2.632
90
1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947
15
1.042 1.291 1.661 1.985 2.366 2.629
95
1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921
16
100 1.042 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626
1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898
17
110 1.041 1.289 1.659 1.982 2.361 2.621
1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878
18
120 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617
1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861
19
130 1.041 1.288 1.657 1.978 2.355 2.614
1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845
20
140 1.040 1.288 1.656 1.977 2.353 2.611
1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831
21
150 1.040 1.287 1.655 1.976 2.351 2.609
1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819
22
160 1.040 1.287 1.654 1.975 2.350 2.607
1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807
23
170 1.040 1.287 1.654 1.974 2.348 2.605
1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797
24
180 1.039 1.286 1.653 1.973 2.347 2.603
1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787
25
190 1.039 1.286 1.653 1.973 2.346 2.602
1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779
26
200 1.039 1.286 1.653 1.972 2.345 2.601
1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771
27
1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576
1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763
28
721




Распределение хи-квадрат ( ?2)
Pr(?2 > ?2
k,1?? ) = ?.
Границы ?2 -распределения с k степенями свободы ?2
k,1?? .




? = 0.05

k = 5 5% , ?0.95 = 11.07



Распределение хи-квадрат (?2)




5%


0 10 15 20
5
11.07

Рис. B.3График плотности распределения ?2 для k =5
722 Приложение B. Статистические таблицы

Таблица А.3. Границы ?2 -распределения с k степенями свободы


?
0.9 0.75 0.5 0.25 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
k

0.016 0.102 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
0.455
1
0.211 0.575 2.773 3.794 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597
1.386
2
0.584 1.213 4.108 5.317 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838
2.366
3
1.064 1.923 5.385 6.745 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860
3.357
4
1.610 2.675 6.626 8.115 9.236 11.070 12.832 15.086 16.750
4.351
5
2.204 3.455 7.841 9.446 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548
5.348
6
2.833 4.255 9.037 10.748 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278
6.346
7
3.490 5.071 10.219 12.027 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955
7.344
8
4.168 5.899 11.389 13.288 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589
8.343
9
4.865 6.737 12.549 14.534 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188
9.342
10
5.578 7.584 13.701 15.767 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757
10.341
11
6.304 8.438 14.845 16.989 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300
11.340
12
7.041 9.299 15.984 18.202 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819
12.340
13
7.790 10.165 17.117 19.406 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319
13.339
14
8.547 11.037 18.245 20.603 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801
14.339
15
9.312 11.912 19.369 21.793 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267
15.338
16
10.085 12.792 20.489 22.977 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718
16.338
17
10.865 13.675 21.605 24.155 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156
17.338
18
11.651 14.562 22.718 25.329 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582
18.338
19
12.443 15.452 23.828 26.498 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997
19.337
20
13.240 16.344 24.935 27.662 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401
20.337
21
14.041 17.240 26.039 28.822 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796
21.337
22
14.848 18.137 27.141 29.979 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181
22.337
23
15.659 19.037 28.241 31.132 33.196 36.415 39.364 42.980 45.558
23.337
24
16.473 19.939 29.339 32.282 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928
24.337
25
17.292 20.843 30.435 33.429 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290
25.336
26
18.114 21.749 31.528 34.574 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645
26.336
27
18.939 22.657 32.620 35.715 37.916 41.337 44.461 48.278 50.994
27.336
28
19.768 23.567 33.711 36.854 39.087 42.557 45.722 49.588 52.335
28.336
29
20.599 24.478 34.800 37.990 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672
29.336
30
24.797 29.054 40.223 43.640 46.059 49.802 53.203 57.342 60.275
34.336
35
29.051 33.660 45.616 49.244 51.805 55.758 59.342 63.691 66.766
39.335
40
33.350 38.291 50.985 54.810 57.505 61.656 65.410 69.957 73.166
44.335
45
37.689 42.942 56.334 60.346 63.167 67.505 71.420 76.154 79.490
49.335
50
42.060 47.610 61.665 65.855 68.796 73.311 77.380 82.292 85.749
54.335
55
46.459 52.294 66.981 71.341 74.397 79.082 83.298 88.379 91.952
59.335
60
50.883 56.990 72.285 76.807 79.973 84.821 89.177 94.422 98.105
64.335
65
55.329 61.698 77.577 82.255 85.527 90.531 95.023 100.425 104.215
69.334
70
59.795 66.417 82.858 87.688 91.061 96.217 100.839 106.393 110.285
74.334
75
64.278 71.145 88.130 93.106 96.578 101.879 106.629 112.329 116.321
79.334
80
68.777 75.881 93.394 98.511 102.079 107.522 112.393 118.236 122.324
84.334
85
73.291 80.625 98.650 103.904 107.565 113.145 118.136 124.116 128.299
89.334
90
723



Таблица А.3. Границы ?2 -распределения с k степенями свободы (продолжение)

?
0.9 0.75 0.5 0.25 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
k
77.818 85.376 103.899 109.286 113.038 118.752 123.858 129.973 134.247
94.334
95
100 82.358 90.133 109.141 114.659 118.498 124.342 129.561 135.807 140.170
99.334
110 91.471 99.666 119.608 125.376 129.385 135.480 140.916 147.414 151.948
109.334
120 100.624 109.220 130.055 136.062 140.233 146.567 152.211 158.950 163.648
119.334
130 109.811 118.792 140.482 146.719 151.045 157.610 163.453 170.423 175.278
129.334
140 119.029 128.380 150.894 157.352 161.827 168.613 174.648 181.841 186.847
139.334
150 128.275 137.983 161.291 167.962 172.581 179.581 185.800 193.207 198.360
149.334
160 137.546 147.599 171.675 178.552 183.311 190.516 196.915 204.530 209.824
159.334
170 146.839 157.227 182.047 189.123 194.017 201.423 207.995 215.812 221.242
169.334
180 156.153 166.865 192.409 199.679 204.704 212.304 219.044 227.056 232.620
179.334
190 165.485 176.514 202.760 210.218 215.371 223.160 230.064 238.266 243.959
189.334
200 174.835 186.172 213.102 220.744 226.021 233.994 241.058 249.445 255.264
199.334




Распределение F-Фишера
Pr(F > Fk1,k2,0.95 ) = 0.05,
k1
k1 = 5
k2 Pr(F > Fk1,k2,0.99 ) = 0.01.
5%, F0.95 = 3.33 Границы F-распределения с k1 , k2 степенями
k2 = 10
1%, F0.99 = 5.64
свободы для 5% и 1% вероятности Fk1 , k2 , 1??

Распределение F Фишера




5% 1%
7 8
6
1 2 3 4 5
0 3.3 5.64

Рис. B.4График плотности распределения для k1 = 5, k2 = 10
724 Приложение B. Статистические таблицы

Таблица А.4. Границы F -распределения с k1 и k2 степенями свободы
для 5% и 1% вероятности

k1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
k2
161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.0 243.9
1
4052 4999 5404 5624 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6083 6107
18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.40 19.41
2
98.50 99.00 99.16 99.25 99.30 99.33 99.36 99.38 99.39 99.40 99.41 99.42
10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.76 8.74
3
34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.34 27.23 27.13 27.05
7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.94 5.91
4
21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 14.45 14.37
6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.70 4.68
5
16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.96 9.89
5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.03 4.00
6
13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.79 7.72
5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.60 3.57
7
12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.54 6.47
5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.31 3.28
8
11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.73 5.67
5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.10 3.07
9
10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 5.18 5.11
4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.94 2.91
10
10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.77 4.71
4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.82 2.79
11
9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.46 4.40
4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.72 2.69
12
9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.22 4.16
4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.63 2.60
13
9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 4.02 3.96
4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.57 2.53
14
8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.86 3.80
4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.51 2.48
15
8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 3.73 3.67
4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.46 2.42
16
8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 3.62 3.55
4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.41 2.38
17
8.40 6.11 5.19 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 3.52 3.46
4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.37 2.34
18
8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.43 3.37
4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.34 2.31
19
8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.36 3.30
4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.31 2.28
20
8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.29 3.23
4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.28 2.25
21
8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 3.24 3.17
4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.26 2.23
22
7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 3.18 3.12
4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.24 2.20
23
7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 3.14 3.07
4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.22 2.18
24
7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 3.09 3.03
4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.20 2.16
25
7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 3.06 2.99
4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.18 2.15
26
7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 3.02 2.96
725

Таблица А.4. Границы F -распределения с k1 и k2 степенями свободы
для 5% и 1% вероятности (продолжение)

k1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
k2
4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.17 2.13
27
7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 2.99 2.93
4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.15 2.12
28
7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 2.96 2.90
4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.14 2.10
29
7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00 2.93 2.87
4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.13 2.09
30
7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.91 2.84
4.15 3.29 2.90 2.67 2.51 2.40 2.31 2.24 2.19 2.14 2.10 2.07
32
7.50 5.34 4.46 3.97 3.65 3.43 3.26 3.13 3.02 2.93 2.86 2.80
4.13 3.28 2.88 2.65 2.49 2.38 2.29 2.23 2.17 2.12 2.08 2.05
34
7.44 5.29 4.42 3.93 3.61 3.39 3.22 3.09 2.98 2.89 2.82 2.76
4.11 3.26 2.87 2.63 2.48 2.36 2.28 2.21 2.15 2.11 2.07 2.03
36
7.40 5.25 4.38 3.89 3.57 3.35 3.18 3.05 2.95 2.86 2.79 2.72
4.10 3.24 2.85 2.62 2.46 2.35 2.26 2.19 2.14 2.09 2.05 2.02
38
7.35 5.21 4.34 3.86 3.54 3.32 3.15 3.02 2.92 2.83 2.75 2.69
4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.04 2.00
40
7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.73 2.66
4.07 3.22 2.83 2.59 2.44 2.32 2.24 2.17 2.11 2.06 2.03 1.99
42
7.28 5.15 4.29 3.80 3.49 3.27 3.10 2.97 2.86 2.78 2.70 2.64
4.06 3.21 2.82 2.58 2.43 2.31 2.23 2.16 2.10 2.05 2.01 1.98
44
7.25 5.12 4.26 3.78 3.47 3.24 3.08 2.95 2.84 2.75 2.68 2.62
4.05 3.20 2.81 2.57 2.42 2.30 2.22 2.15 2.09 2.04 2.00 1.97
46
7.22 5.10 4.24 3.76 3.44 3.22 3.06 2.93 2.82 2.73 2.66 2.60
4.04 3.19 2.80 2.57 2.41 2.29 2.21 2.14 2.08 2.03 1.99 1.96
48
7.19 5.08 4.22 3.74 3.43 3.20 3.04 2.91 2.80 2.71 2.64 2.58
4.03 3.18 2.79 2.56 2.40 2.29 2.20 2.13 2.07 2.03 1.99 1.95
50
7.17 5.06 4.20 3.72 3.41 3.19 3.02 2.89 2.78 2.70 2.63 2.56
4.02 3.16 2.77 2.54 2.38 2.27 2.18 2.11 2.06 2.01 1.97 1.93
55
7.12 5.01 4.16 3.68 3.37 3.15 2.98 2.85 2.75 2.66 2.59 2.53
4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.95 1.92
60
7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.56 2.50
3.99 3.14 2.75 2.51 2.36 2.24 2.15 2.08 2.03 1.98 1.94 1.90
65
7.04 4.95 4.10 3.62 3.31 3.09 2.93 2.80 2.69 2.61 2.53 2.47
3.98 3.13 2.74 2.50 2.35 2.23 2.14 2.07 2.02 1.97 1.93 1.89
70
7.01 4.92 4.07 3.60 3.29 3.07 2.91 2.78 2.67 2.59 2.51 2.45
3.96 3.11 2.72 2.49 2.33 2.21 2.13 2.06 2.00 1.95 1.91 1.88
80
6.96 4.88 4.04 3.56 3.26 3.04 2.87 2.74 2.64 2.55 2.48 2.42
3.95 3.10 2.71 2.47 2.32 2.20 2.11 2.04 1.99 1.94 1.90 1.86
90
6.93 4.85 4.01 3.53 3.23 3.01 2.84 2.72 2.61 2.52 2.45 2.39
3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.97 1.93 1.89 1.85
100
6.90 4.82 3.98 3.51 3.21 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50 2.43 2.37
3.92 3.07 2.68 2.44 2.29 2.17 2.08 2.01 1.96 1.91 1.87 1.83
125
6.84 4.78 3.94 3.47 3.17 2.95 2.79 2.66 2.55 2.47 2.39 2.33
3.90 3.06 2.66 2.43 2.27 2.16 2.07 2.00 1.94 1.89 1.85 1.82
150
6.81 4.75 3.91 3.45 3.14 2.92 2.76 2.63 2.53 2.44 2.37 2.31
3.89 3.04 2.65 2.42 2.26 2.14 2.06 1.98 1.93 1.88 1.84 1.80
200
6.76 4.71 3.88 3.41 3.11 2.89 2.73 2.60 2.50 2.41 2.34 2.27
3.86 3.02 2.63 2.39 2.24 2.12 2.03 1.96 1.90 1.85 1.81 1.78
400
6.70 4.66 3.83 3.37 3.06 2.85 2.68 2.56 2.45 2.37 2.29 2.23
3.85 3.00 2.61 2.38 2.22 2.11 2.02 1.95 1.89 1.84 1.80 1.76
1000
6.66 4.63 3.80 3.34 3.04 2.82 2.66 2.53 2.43 2.34 2.27 2.20
726 Приложение B. Статистические таблицы

Таблица А.4. Границы F -распределения с k1 и k2 степенями свободы
для 5% и 1% вероятности (продолжение)

k1
14 16 18 20 24 30 40 50 75 100 200 500
k2
245.4 246.5 247.3 248.0 249.1 250.1 251.1 251.8 252.6 253.0 253.7 254.1
1
6143 6170 6191 6209 6234 6260 6286 6302 6324 6334 6350 6360
19.42 19.43 19.44 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.48 19.49 19.49 19.49
2
99.43 99.44 99.44 99.45 99.46 99.47 99.48 99.48 99.48 99.49 99.49 99.50
8.71 8.69 8.67 8.66 8.64 8.62 8.59 8.58 8.56 8.55 8.54 8.53
3
26.92 26.83 26.75 26.69 26.60 26.50 26.41 26.35 26.28 26.24 26.18 26.15
5.87 5.84 5.82 5.80 5.77 5.75 5.72 5.70 5.68 5.66 5.65 5.64
4
14.25 14.15 14.08 14.02 13.93 13.84 13.75 13.69 13.61 13.58 13.52 13.49
4.64 4.60 4.58 4.56 4.53 4.50 4.46 4.44 4.42 4.41 4.39 4.37
5
9.77 9.68 9.61 9.55 9.47 9.38 9.29 9.24 9.17 9.13 9.08 9.04
3.96 3.92 3.90 3.87 3.84 3.81 3.77 3.75 3.73 3.71 3.69 3.68
6
7.60 7.52 7.45 7.40 7.31 7.23 7.14 7.09 7.02 6.99 6.93 6.90
3.53 3.49 3.47 3.44 3.41 3.38 3.34 3.32 3.29 3.27 3.25 3.24
7
6.36 6.28 6.21 6.16 6.07 5.99 5.91 5.86 5.79 5.75 5.70 5.67
3.24 3.20 3.17 3.15 3.12 3.08 3.04 3.02 2.99 2.97 2.95 2.94
8
5.56 5.48 5.41 5.36 5.28 5.20 5.12 5.07 5.00 4.96 4.91 4.88
3.03 2.99 2.96 2.94 2.90 2.86 2.83 2.80 2.77 2.76 2.73 2.72
9
5.01 4.92 4.86 4.81 4.73 4.65 4.57 4.52 4.45 4.41 4.36 4.33
2.86 2.83 2.80 2.77 2.74 2.70 2.66 2.64 2.60 2.59 2.56 2.55
10
4.60 4.52 4.46 4.41 4.33 4.25 4.17 4.12 4.05 4.01 3.96 3.93
2.74 2.70 2.67 2.65 2.61 2.57 2.53 2.51 2.47 2.46 2.43 2.42
11
4.29 4.21 4.15 4.10 4.02 3.94 3.86 3.81 3.74 3.71 3.66 3.62
2.64 2.60 2.57 2.54 2.51 2.47 2.43 2.40 2.37 2.35 2.32 2.31
12
4.05 3.97 3.91 3.86 3.78 3.70 3.62 3.57 3.50 3.47 3.41 3.38
2.55 2.51 2.48 2.46 2.42 2.38 2.34 2.31 2.28 2.26 2.23 2.22
13
3.86 3.78 3.72 3.66 3.59 3.51 3.43 3.38 3.31 3.27 3.22 3.19
2.48 2.44 2.41 2.39 2.35 2.31 2.27 2.24 2.21 2.19 2.16 2.14
14
3.70 3.62 3.56 3.51 3.43 3.35 3.27 3.22 3.15 3.11 3.06 3.03
2.42 2.38 2.35 2.33 2.29 2.25 2.20 2.18 2.14 2.12 2.10 2.08
15
3.56 3.49 3.42 3.37 3.29 3.21 3.13 3.08 3.01 2.98 2.92 2.89
2.37 2.33 2.30 2.28 2.24 2.19 2.15 2.12 2.09 2.07 2.04 2.02
16
3.45 3.37 3.31 3.26 3.18 3.10 3.02 2.97 2.90 2.86 2.81 2.78
2.33 2.29 2.26 2.23 2.19 2.15 2.10 2.08 2.04 2.02 1.99 1.97
17
3.35 3.27 3.21 3.16 3.08 3.00 2.92 2.87 2.80 2.76 2.71 2.68
2.29 2.25 2.22 2.19 2.15 2.11 2.06 2.04 2.00 1.98 1.95 1.93
18
3.27 3.19 3.13 3.08 3.00 2.92 2.84 2.78 2.71 2.68 2.62 2.59
2.26 2.21 2.18 2.16 2.11 2.07 2.03 2.00 1.96 1.94 1.91 1.89
19
3.19 3.12 3.05 3.00 2.92 2.84 2.76 2.71 2.64 2.60 2.55 2.51
2.22 2.18 2.15 2.12 2.08 2.04 1.99 1.97 1.93 1.91 1.88 1.86
20
3.13 3.05 2.99 2.94 2.86 2.78 2.69 2.64 2.57 2.54 2.48 2.44
2.20 2.16 2.12 2.10 2.05 2.01 1.96 1.94 1.90 1.88 1.84 1.83
21
3.07 2.99 2.93 2.88 2.80 2.72 2.64 2.58 2.51 2.48 2.42 2.38
2.17 2.13 2.10 2.07 2.03 1.98 1.94 1.91 1.87 1.85 1.82 1.80
22
3.02 2.94 2.88 2.83 2.75 2.67 2.58 2.53 2.46 2.42 2.36 2.33
2.15 2.11 2.08 2.05 2.01 1.96 1.91 1.88 1.84 1.82 1.79 1.77
23
2.97 2.89 2.83 2.78 2.70 2.62 2.54 2.48 2.41 2.37 2.32 2.28
2.13 2.09 2.05 2.03 1.98 1.94 1.89 1.86 1.82 1.80 1.77 1.75
24
2.93 2.85 2.79 2.74 2.66 2.58 2.49 2.44 2.37 2.33 2.27 2.24
2.11 2.07 2.04 2.01 1.96 1.92 1.87 1.84 1.80 1.78 1.75 1.73
25
2.89 2.81 2.75 2.70 2.62 2.54 2.45 2.40 2.33 2.29 2.23 2.19
2.09 2.05 2.02 1.99 1.95 1.90 1.85 1.82 1.78 1.76 1.73 1.71
26
2.86 2.78 2.72 2.66 2.58 2.50 2.42 2.36 2.29 2.25 2.19 2.16
727

Таблица А.4. Границы F -распределения с k1 и k2 степенями свободы
для 5% и 1% вероятности (продолжение)

k1
14 16 18 20 24 30 40 50 75 100 200 500
k2
2.08 2.04 2.00 1.97 1.93 1.88 1.84 1.81 1.76 1.74 1.71 1.69
27
2.82 2.75 2.68 2.63 2.55 2.47 2.38 2.33 2.26 2.22 2.16 2.12
2.06 2.02 1.99 1.96 1.91 1.87 1.82 1.79 1.75 1.73 1.69 1.67
28
2.79 2.72 2.65 2.60 2.52 2.44 2.35 2.30 2.23 2.19 2.13 2.09
2.05 2.01 1.97 1.94 1.90 1.85 1.81 1.77 1.73 1.71 1.67 1.65
29
2.77 2.69 2.63 2.57 2.49 2.41 2.33 2.27 2.20 2.16 2.10 2.06
2.04 1.99 1.96 1.93 1.89 1.84 1.79 1.76 1.72 1.70 1.66 1.64
30
2.74 2.66 2.60 2.55 2.47 2.39 2.30 2.25 2.17 2.13 2.07 2.03
2.01 1.97 1.94 1.91 1.86 1.82 1.77 1.74 1.69 1.67 1.63 1.61
32
2.70 2.62 2.55 2.50 2.42 2.34 2.25 2.20 2.12 2.08 2.02 1.98
1.99 1.95 1.92 1.89 1.84 1.80 1.75 1.71 1.67 1.65 1.61 1.59
34
2.66 2.58 2.51 2.46 2.38 2.30 2.21 2.16 2.08 2.04 1.98 1.94
1.98 1.93 1.90 1.87 1.82 1.78 1.73 1.69 1.65 1.62 1.59 1.56
36
2.62 2.54 2.48 2.43 2.35 2.26 2.18 2.12 2.04 2.00 1.94 1.90
1.96 1.92 1.88 1.85 1.81 1.76 1.71 1.68 1.63 1.61 1.57 1.54
38
2.59 2.51 2.45 2.40 2.32 2.23 2.14 2.09 2.01 1.97 1.90 1.86
1.95 1.90 1.87 1.84 1.79 1.74 1.69 1.66 1.61 1.59 1.55 1.53
40
2.56 2.48 2.42 2.37 2.29 2.20 2.11 2.06 1.98 1.94 1.87 1.83
1.94 1.89 1.86 1.83 1.78 1.73 1.68 1.65 1.60 1.57 1.53 1.51
42
2.54 2.46 2.40 2.34 2.26 2.18 2.09 2.03 1.95 1.91 1.85 1.80
1.92 1.88 1.84 1.81 1.77 1.72 1.67 1.63 1.59 1.56 1.52 1.49
44
2.52 2.44 2.37 2.32 2.24 2.15 2.07 2.01 1.93 1.89 1.82 1.78
1.91 1.87 1.83 1.80 1.76 1.71 1.65 1.62 1.57 1.55 1.51 1.48
46
2.50 2.42 2.35 2.30 2.22 2.13 2.04 1.99 1.91 1.86 1.80 1.76
1.90 1.86 1.82 1.79 1.75 1.70 1.64 1.61 1.56 1.54 1.49 1.47
48
2.48 2.40 2.33 2.28 2.20 2.12 2.02 1.97 1.89 1.84 1.78 1.73
1.89 1.85 1.81 1.78 1.74 1.69 1.63 1.60 1.55 1.52 1.48 1.46
50
2.46 2.38 2.32 2.27 2.18 2.10 2.01 1.95 1.87 1.82 1.76 1.71
1.88 1.83 1.79 1.76 1.72 1.67 1.61 1.58 1.53 1.50 1.46 1.43
55
2.42 2.34 2.28 2.23 2.15 2.06 1.97 1.91 1.83 1.78 1.71 1.67
1.86 1.82 1.78 1.75 1.70 1.65 1.59 1.56 1.51 1.48 1.44 1.41
60
2.39 2.31 2.25 2.20 2.12 2.03 1.94 1.88 1.79 1.75 1.68 1.63
1.85 1.80 1.76 1.73 1.69 1.63 1.58 1.54 1.49 1.46 1.42 1.39
65
2.37 2.29 2.23 2.17 2.09 2.00 1.91 1.85 1.77 1.72 1.65 1.60
1.84 1.79 1.75 1.72 1.67 1.62 1.57 1.53 1.48 1.45 1.40 1.37
70
2.35 2.27 2.20 2.15 2.07 1.98 1.89 1.83 1.74 1.70 1.62 1.57
1.82 1.77 1.73 1.70 1.65 1.60 1.54 1.51 1.45 1.43 1.38 1.35
80
2.31 2.23 2.17 2.12 2.03 1.94 1.85 1.79 1.70 1.65 1.58 1.53
1.80 1.76 1.72 1.69 1.64 1.59 1.53 1.49 1.44 1.41 1.36 1.33
90
2.29 2.21 2.14 2.09 2.00 1.92 1.82 1.76 1.67 1.62 1.55 1.49
1.79 1.75 1.71 1.68 1.63 1.57 1.52 1.48 1.42 1.39 1.34 1.31
100
2.27 2.19 2.12 2.07 1.98 1.89 1.80 1.74 1.65 1.60 1.52 1.47
1.77 1.73 1.69 1.66 1.60 1.55 1.49 1.45 1.40 1.36 1.31 1.27
125
2.23 2.15 2.08 2.03 1.94 1.85 1.76 1.69 1.60 1.55 1.47 1.41
1.76 1.71 1.67 1.64 1.59 1.54 1.48 1.44 1.38 1.34 1.29 1.25
150
2.20 2.12 2.06 2.00 1.92 1.83 1.73 1.66 1.57 1.52 1.43 1.38
1.74 1.69 1.66 1.62 1.57 1.52 1.46 1.41 1.35 1.32 1.26 1.22
200
2.17 2.09 2.03 1.97 1.89 1.79 1.69 1.63 1.53 1.48 1.39 1.33
1.72 1.67 1.63 1.60 1.54 1.49 1.42 1.38 1.32 1.28 1.22 1.17
400
2.13 2.05 1.98 1.92 1.84 1.75 1.64 1.58 1.48 1.42 1.32 1.25
1.70 1.65 1.61 1.58 1.53 1.47 1.41 1.36 1.30 1.26 1.19 1.13
1000
2.10 2.02 1.95 1.90 1.81 1.72 1.61 1.54 1.44 1.38 1.28 1.19
728 Приложение B. Статистические таблицы

Критерий Дарбина—Уотсона
Значащие точки dL и dU , для 5% уровня значимости.
N — количество наблюдений, n — количество объясняющих переменных
(без учета постоянного члена).




Критерий Дарбина-Уотсона




0 dL dU 2.0 4–dU 4–dL 4.0

Положительная Нет Отрицательная
автокорреляция автокорреляции автокорреляция

Зона
неопределенности

Рис. B.5
Таблица. А.5 Значения статистики dL и dU критерия Дарбина—Уотсона

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n = 10
N
dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL
0.610 1.400
6
0.700 1.356 0.467 1.896
7
0.763 1.332 0.559 1.777 0.368 2.287
8
0.824 1.320 0.629 1.699 0.455 2.128 0.296 2.588
9
0.879 1.320 0.697 1.641 0.525 2.016 0.376 2.414 0.243 2.822
10
0.927 1.324 0.758 1.604 0.595 1.928 0.444 2.283 0.316 2.645 0.203 3.005
11
0.971 1.331 0.812 1.579 0.658 1.864 0.512 2.177 0.379 2.506 0.268 2.832 0.171 3.149
12
1.010 1.340 0.861 1.562 0.715 1.816 0.574 2.094 0.445 2.390 0.328 2.692 0.230 2.985 0.147 3.266
13
1.045 1.350 0.905 1.551 0.767 1.779 0.632 2.030 0.505 2.296 0.389 2.572 0.286 2.848 0.200 3.111 0.127 3.360
14
1.077 1.361 0.946 1.543 0.814 1.750 0.685 1.977 0.562 2.220 0.447 2.472 0.343 2.727 0.251 2.979 0.175 3.216 0.111 3.438
15
1.106 1.371 0.982 1.539 0.857 1.728 0.734 1.935 0.615 2.157 0.502 2.388 0.398 2.624 0.304 2.860 0.222 3.090 0.155 3.304
16
1.133 1.381 1.015 1.536 0.897 1.710 0.779 1.900 0.664 2.104 0.554 2.318 0.451 2.537 0.356 2.757 0.272 2.975 0.198 3.184
17
1.158 1.391 1.046 1.535 0.933 1.696 0.820 1.872 0.710 2.060 0.603 2.257 0.502 2.461 0.407 2.667 0.321 2.873 0.244 3.073
18
1.180 1.401 1.074 1.536 0.967 1.685 0.859 1.848 0.752 2.023 0.649 2.206 0.549 2.396 0.456 2.589 0.369 2.783 0.290 2.974
19
1.201 1.411 1.100 1.537 0.998 1.676 0.894 1.828 0.792 1.991 0.692 2.162 0.595 2.339 0.502 2.521 0.416 2.704 0.336 2.885
20
1.221 1.420 1.125 1.538 1.026 1.669 0.927 1.812 0.829 1.964 0.732 2.124 0.637 2.290 0.547 2.460 0.461 2.633 0.380 2.806
21
1.239 1.429 1.147 1.541 1.053 1.664 0.958 1.797 0.863 1.940 0.769 2.090 0.677 2.246 0.588 2.407 0.504 2.571 0.424 2.734
22
1.257 1.437 1.168 1.543 1.078 1.660 0.986 1.785 0.895 1.920 0.804 2.061 0.715 2.208 0.628 2.360 0.545 2.514 0.465 2.670
23
1.273 1.446 1.188 1.546 1.101 1.656 1.013 1.775 0.925 1.902 0.837 2.035 0.751 2.174 0.666 2.318 0.584 2.464 0.506 2.613
24
1.288 1.454 1.206 1.550 1.123 1.654 1.038 1.767 0.953 1.886 0.868 2.012 0.784 2.144 0.702 2.280 0.621 2.419 0.544 2.560
25
1.302 1.461 1.224 1.553 1.143 1.652 1.062 1.759 0.979 1.873 0.897 1.992 0.816 2.117 0.735 2.246 0.657 2.379 0.581 2.513
26
1.316 1.469 1.240 1.556 1.162 1.651 1.084 1.753 1.004 1.861 0.925 1.974 0.845 2.093 0.767 2.216 0.691 2.342 0.616 2.470
27
1.328 1.476 1.255 1.560 1.181 1.650 1.104 1.747 1.028 1.850 0.951 1.958 0.874 2.071 0.798 2.188 0.723 2.309 0.650 2.431
28
1.341 1.483 1.270 1.563 1.198 1.650 1.124 1.743 1.050 1.841 0.975 1.944 0.900 2.052 0.826 2.164 0.753 2.278 0.682 2.396
29
1.352 1.489 1.284 1.567 1.214 1.650 1.143 1.739 1.071 1.833 0.998 1.931 0.926 2.034 0.854 2.141 0.782 2.251 0.712 2.363
30
729
730


Таблица. А.5 Значения статистики dL и dU критерия Дарбина—Уотсона (продолжение)

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n = 10
N
dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL
1.363 1.496 1.297 1.570 1.229 1.650 1.160 1.735 1.090 1.825 1.020 1.920 0.950 2.018 0.879 2.120 0.810 2.226 0.741 2.333
31
1.373 1.502 1.309 1.574 1.244 1.650 1.177 1.732 1.109 1.819 1.041 1.909 0.972 2.004 0.904 2.102 0.836 2.203 0.769 2.306
32
1.383 1.508 1.321 1.577 1.258 1.651 1.193 1.730 1.127 1.813 1.061 1.900 0.994 1.991 0.927 2.085 0.861 2.181 0.795 2.281
33
1.393 1.514 1.333 1.580 1.271 1.652 1.208 1.728 1.144 1.808 1.080 1.891 1.015 1.979 0.950 2.069 0.885 2.162 0.821 2.257
34
1.402 1.519 1.343 1.584 1.283 1.653 1.222 1.726 1.160 1.803 1.097 1.884 1.034 1.967 0.971 2.054 0.908 2.144 0.845 2.236
35
1.411 1.525 1.354 1.587 1.295 1.654 1.236 1.724 1.175 1.799 1.114 1.877 1.053 1.957 0.991 2.041 0.930 2.127 0.868 2.216
36
1.419 1.530 1.364 1.590 1.307 1.655 1.249 1.723 1.190 1.795 1.131 1.870 1.071 1.948 1.011 2.029 0.951 2.112 0.891 2.198
37
1.427 1.535 1.373 1.594 1.318 1.656 1.261 1.722 1.204 1.792 1.146 1.864 1.088 1.939 1.029 2.017 0.970 2.098 0.912 2.180
38
1.435 1.540 1.382 1.597 1.328 1.658 1.273 1.722 1.218 1.789 1.161 1.859 1.104 1.932 1.047 2.007 0.990 2.085 0.932 2.164
39
1.442 1.544 1.391 1.600 1.338 1.659 1.285 1.721 1.230 1.786 1.175 1.854 1.120 1.924 1.064 1.997 1.008 2.072 0.945 2.149
40
1.475 1.566 1.430 1.615 1.383 1.666 1.336 1.720 1.287 1.776 1.238 1.835 1.189 1.895 1.139 1.958 1.089 2.022 1.038 2.088
45
1.503 1.585 1.462 1.628 1.421 1.674 1.378 1.721 1.335 1.771 1.291 1.822 1.246 1.875 1.201 1.930 1.156 1.986 1.110 2.044
50
1.528 1.601 1.490 1.641 1.452 1.681 1.414 1.724 1.374 1.768 1.334 1.814 1.294 1.861 1.253 1.909 1.212 1.959 1.170 2.010
55
1.549 1.616 1.514 1.652 1.480 1.689 1.444 1.727 1.408 1.767 1.372 1.808 1.335 1.850 1.298 1.894 1.260 1.939 1.222 1.984
60
1.567 1.629 1.536 1.662 1.503 1.696 1.471 1.731 1.438 1.767 1.404 1.805 1.370 1.843 1.336 1.882 1.301 1.923 1.266 1.964
65
1.583 1.641 1.554 1.672 1.525 1.703 1.494 1.735 1.464 1.768 1.433 1.802 1.401 1.837 1.369 1.873 1.337 1.910 1.305 1.948
70
1.598 1.652 1.571 1.680 1.543 1.709 1.515 1.739 1.487 1.770 1.458 1.801 1.428 1.834 1.399 1.867 1.369 1.901 1.339 1.935
75
1.611 1.662 1.586 1.688 1.560 1.715 1.534 1.743 1.507 1.772 1.480 1.801 1.453 1.831 1.425 1.861 1.397 1.893 1.369 1.925
80
1.624 1.671 1.600 1.696 1.575 1.721 1.550 1.747 1.525 1.774 1.500 1.801 1.474 1.829 1.448 1.857 1.422 1.886 1.396 1.916
85
1.635 1.679 1.612 1.703 1.589 1.726 1.566 1.751 1.542 1.776 1.518 1.801 1.494 1.827 1.469 1.854 1.445 1.881 1.420 1.909
90
1.645 1.687 1.623 1.709 1.602 1.732 1.579 1.755 1.557 1.778 1.535 1.802 1.512 1.827 1.489 1.852 1.465 1.877 1.442 1.903
95
1.654 1.694 1.634 1.715 1.613 1.736 1.592 1.758 1.571 1.780 1.550 1.803 1.528 1.826 1.506 1.850 1.484 1.874 1.462 1.898
100
1.720 1.746 1.706 1.760 1.693 1.774 1.679 1.788 1.665 1.802 1.651 1.817 1.637 1.832 1.622 1.847 1.608 1.862 1.594 1.877
150
1.758 1.778 1.748 1.789 1.738 1.799 1.728 1.810 1.718 1.820 1.707 1.831 1.697 1.841 1.686 1.852 1.675 1.863 1.665 1.874
200
Приложение B. Статистические таблицы
Таблица А.5. Значения статистики dL и dU критерия Дарбина—Уотсона (продолжение)

n = 11 n = 12 n = 13 n = 14 n = 15 n = 16 n = 17 n = 18 n = 19 N = 20
N
dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL
0.098 3.503
16
0.138 3.378 0.087 3.557
17
0.177 3.265 0.123 3.441 0.078 3.603
18
0.220 3.159 0.160 3.335 0.111 3.496 0.070 3.642
19
0.263 3.063 0.200 3.234 0.145 3.395 0.100 3.542 0.063 3.676
20
0.307 2.976 0.240 3.141 0.182 3.300 0.132 3.448 0.091 3.583 0.058 3.705
21
0.349 2.897 0.281 3.057 0.220 3.211 0.166 3.358 0.120 3.495 0.083 3.619 0.052 3.731
22
0.391 2.826 0.322 2.979 0.259 3.128 0.202 3.272 0.153 3.409 0.110 3.535 0.076 3.650 0.048 3.753
23
0.431 2.761 0.362 2.908 0.297 3.053 0.239 3.193 0.186 3.327 0.141 3.454 0.101 3.572 0.070 3.678 0.044 3.773
24
0.470 2.702 0.400 2.844 0.335 2.983 0.275 3.119 0.221 3.251 0.172 3.376 0.130 3.494 0.094 3.604 0.065 3.702 0.041 3.790
25
0.508 2.649 0.438 2.784 0.373 2.919 0.312 3.051 0.256 3.179 0.205 3.303 0.160 3.420 0.120 3.531 0.087 3.632 0.060 3.724
26
0.544 2.600 0.475 2.730 0.409 2.859 0.348 2.987 0.291 3.112 0.238 3.233 0.191 3.349 0.149 3.460 0.112 3.563 0.081 3.658
27
0.578 2.555 0.510 2.680 0.445 2.805 0.383 2.928 0.325 3.050 0.271 3.168 0.222 3.283 0.178 3.392 0.138 3.495 0.104 3.592
28
0.612 2.515 0.544 2.634 0.479 2.755 0.418 2.874 0.359 2.992 0.305 3.107 0.254 3.219 0.208 3.327 0.166 3.431 0.129 3.528
29
0.643 2.477 0.577 2.592 0.512 2.708 0.451 2.823 0.392 2.937 0.337 3.050 0.286 3.160 0.238 3.266 0.195 3.368 0.156 3.465
30
0.674 2.443 0.608 2.553 0.545 2.665 0.484 2.776 0.425 2.887 0.370 2.996 0.317 3.103 0.269 3.208 0.224 3.309 0.183 3.406
31
0.703 2.411 0.638 2.517 0.576 2.625 0.515 2.733 0.457 2.840 0.401 2.946 0.349 3.050 0.299 3.153 0.253 3.252 0.211 3.348
32
0.731 2.382 0.668 2.484 0.606 2.588 0.546 2.692 0.488 2.796 0.432 2.899 0.379 3.000 0.329 3.100 0.283 3.198 0.239 3.293
33
0.758 2.355 0.695 2.454 0.634 2.554 0.575 2.654 0.518 2.754 0.462 2.854 0.409 2.954 0.359 3.051 0.312 3.147 0.267 3.240
34
0.783 2.330 0.722 2.425 0.662 2.521 0.604 2.619 0.547 2.716 0.492 2.813 0.439 2.910 0.388 3.005 0.340 3.099 0.295 3.190
35
731
732




Таблица А.5. Значения статистики dL и dU критерия Дарбина—Уотсона (продолжение)

n = 11 n = 12 n = 13 n = 14 n = 15 n = 16 n = 17 n = 18 n = 19 N = 20
N
dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL
0.808 2.306 0.748 2.398 0.689 2.492 0.631 2.586 0.575 2.680 0.520 2.774 0.467 2.868 0.417 2.961 0.369 3.053 0.323 3.142
36
0.831 2.285 0.772 2.374 0.714 2.464 0.657 2.555 0.602 2.646 0.548 2.738 0.495 2.829 0.445 2.920 0.397 3.009 0.351 3.097
37
0.854 2.265 0.796 2.351 0.739 2.438 0.683 2.526 0.628 2.614 0.575 2.703 0.522 2.792 0.472 2.880 0.424 2.968 0.378 3.054
38
0.875 2.246 0.819 2.329 0.763 2.413 0.707 2.499 0.653 2.585 0.600 2.671 0.549 2.757 0.499 2.843 0.451 2.929 0.404 3.013
39
0.896 2.228 0.840 2.309 0.785 2.391 0.731 2.473 0.678 2.557 0.626 2.641 0.575 2.724 0.525 2.808 0.477 2.892 0.430 2.974
40
0.988 2.156 0.938 2.225 0.887 2.296 0.838 2.367 0.788 2.439 0.740 2.512 0.692 2.586 0.644 2.659 0.598 2.733 0.553 2.807
45
1.064 2.103 1.019 2.163 0.973 2.225 0.927 2.287 0.882 2.350 0.836 2.414 0.792 2.479 0.747 2.544 0.703 2.610 0.660 2.675
50
1.129 2.062 1.087 2.116 1.045 2.170 1.003 2.225 0.961 2.281 0.919 2.338 0.877 2.396 0.836 2.454 0.795 2.512 0.754 2.571
55
1.184 2.031 1.145 2.079 1.106 2.127 1.068 2.177 1.029 2.227 0.990 2.278 0.951 2.330 0.913 2.382 0.874 2.434 0.836 2.487
60
1.231 2.006 1.195 2.049 1.160 2.093 1.124 2.138 1.088 2.183 1.052 2.229 1.016 2.276 0.980 2.323 0.944 2.371 0.908 2.419
65
1.272 1.986 1.239 2.026 1.206 2.066 1.172 2.106 1.139 2.148 1.105 2.189 1.072 2.232 1.038 2.275 1.005 2.318 0.971 2.362
70
1.308 1.970 1.277 2.006 1.247 2.043 1.215 2.080 1.184 2.118 1.153 2.156 1.121 2.195 1.090 2.235 1.058 2.275 1.027 2.315
75
1.340 1.957 1.311 1.991 1.283 2.024 1.253 2.059 1.224 2.093 1.195 2.129 1.165 2.165 1.136 2.201 1.106 2.238 1.076 2.275
80
1.369 1.946 1.342 1.977 1.315 2.009 1.287 2.040 1.260 2.073 1.232 2.105 1.205 2.139 1.177 2.172 1.149 2.206 1.121 2.241
85
1.395 1.937 1.369 1.966 1.344 1.995 1.318 2.025 1.292 2.055 1.266 2.085 1.240 2.116 1.213 2.148 1.187 2.179 1.160 2.211
90
1.418 1.929 1.394 1.956 1.370 1.984 1.345 2.012 1.321 2.040 1.296 2.068 1.271 2.097 1.247 2.126 1.222 2.156 1.197 2.186
95
1.439 1.923 1.416 1.948 1.393 1.974 1.371 2.000 1.347 2.026 1.324 2.053 1.301 2.080 1.277 2.108 1.253 2.135 1.229 2.164
100
1.579 1.892 1.564 1.908 1.550 1.924 1.535 1.940 1.519 1.956 1.504 1.972 1.489 1.989 1.474 2.006 1.458 2.023 1.443 2.040
150
1.654 1.885 1.643 1.896 1.632 1.908 1.621 1.919 1.610 1.931 1.599 1.943 1.588 1.955 1.576 1.967 1.565 1.979 1.554 1.991
200
Приложение B. Статистические таблицы
Именной указатель




Акаике Х. (Akaike H.), 239, 377 Кейнс Дж. М. (Keynes J. M.), 23
Кетле А. (Quetelet A.), 18
Байес Т. (Bayes Th.), 23, 601, 708 Койк Л. (Koyck L.), 504
Бартлетт М. С. (Bartlett M. S.), 260, 366 Кэмпбел Н.Р. (Campbell, N.R.), 24
Беверидж С. (Beveridge S.), 550
Лаплас П. С. (Laplace P. S.), 18
Бернулли Д. (Bernoulli D.), 23
Ласпейрес Э. (Laspeyres E.), 99
Бокс, 457, 474
Лоренц М. (Lorenz M.), 75
Боллерслев Т. (Bollerslev T.), 527
Льюнг, 475
Вальд А. (Wald A.), 587
Марков, 432
Винер Н. (Wiener N.), 22, 414
Моргенштерн О. (Morgenstern O.), 25
Вольд, 463

Нейман Дж. фон (von Neumann J.), 25
Гальтон Ф. (Galton F.), 18, 147
Нельсон Ч. (Nelson Ch.), 536, 550
Гаусс К. Ф. (Gauss C. F.), 18, 51
Герман К.Ф., 18
Пааше Г. (Paasche G.), 99
Годфрей Л. (Godfrey L.), 577
Парзен Э. (Parzen Е.), 420
Голдфельд С. М. (Goldfeld S. M.), 262,
Петти В. (Petty W.), 17
372
Пирс, 474
Готтелинг Г. (Hotteling H.), 358
Пирсон К. (Pearson K.), 18
Грейнджер К. (Granger C.), 558, 560, 665
Пуассон С. Д. (Poisson S. D.), 23
Пфанцагль И. (Pfanzagle J.), 24
Дженкинс, 457
Дивизиа Ф. (Divisia F.), 109
Рамсей Дж. (Ramsey J.), 578
Дики Д. (Dickey D.), 554
Рамсей Ф. (Ramsey F.), 23
Зинес Дж.Л. (Zinnes J.L.), 25
Синклер Дж. (Sinclair J.), 17
Спирмен Ч. (Spearman Ch.), 370
Йохансен С. (Johansen S.), 668
Стивенc С.С (Stevens S.S.), 24
Квандт Р. (Quandt R.), 262, 372 Сток Дж. (Stock J.), 563

733
734 Именной указатель

Суппес П. (Suppes, P.), 25

Тарский А. (Tarski A.), 25
Тьюки Дж. У. (Tukey J. W.), 420

Уинтерс П. Р. (Winters, P. R.), 402
Уокер, 438
Уотсон М. У. (Watson M. W.), 563

Фишер И. (Fisher I.), 99
Фуллер У. А. (Fuller W. A.), 554

Ханин Г.И., 31
Хинчин А. Я., 414

<<

стр. 27
(всего 28)

СОДЕРЖАНИЕ

>>