<<

стр. 4
(всего 28)

СОДЕРЖАНИЕ

>>

если объемы производства и затрат измерены в денежном выражении.
В этом случае все формулы, приведенные выше для индивидуальных индексов,
остаются справедливыми. Индексы агрегированных величин обладают свойствами
транзитивности и мультипликативности.
Индексы агрегированных величин или собственно индексы должны обладать
еще одним свойством — свойством среднего. Это означает, что их значения не долж-
ны выходить за пределы минимального и максимального значений соответствую-
щих индивидуальных индексов. С содержательной точки зрения это свойство весьма
желательно. Иногда индексы так и определяются — как средние индивидуальных
индексов. Например, индексы динамики — как средние темпы роста.
Легко убедиться в справедливости следующих соотношений ( xi по-прежнему
аддитивны):
r
yi
?rs ?r ?rs , ?r
где
= = r,
y yi yi yi
y
i
xr
?rs ?r ?rs , ?r = i,
где
=
x xi xi xi
xr
i
?s ar
?rs ?r ?rs , ?r xi i
где
= = .
a ai ai ai
?r ar
xi i
i

Как видно из приведенных соотношений, индексы объемных величин являются
средними индивидуальных индексов, т.к. суммы по i весов ?r и ?r равны едини-
yi xi
це. Индекс же относительной величины этим свойством не обладает. В частности,
он может оказаться больше максимального из индивидуальных индексов, если при
переходе от условий r к условиям s резко возрастает вес ?xi объекта с высоким
показателем ?rs . И наоборот, индекс средней относительной величины может ока-
a
заться меньше минимального индивидуального индекса, если резко увеличивается
вес объекта с низким относительным показателем.
Эту особенность индекса относительной величины можно проиллюстрировать
следующим числовым примером при N = 2 (см. табл. 3.1).
93
3.2. Способы построения индексов

При переходе от r к s резко увеличивается (с 0.3 до 0.7) доля 1-го объекта
с высоким уровнем относительного показателя. В результате значение итогового
индекса — 1.43 — оказывается больше значений обоих индивидуальных индек-
сов — 0.8 и 1.25. При переходе от s к r ситуация противоположна (в данном
случае индексы обратимы), и итоговый индекс меньше индивидуальных.
Характерно, что этот парадокс возникает в достаточно простой ситуации, когда
объемы xi аддитивны.
3) Собственно проблемы индексного анализа возникают в случае, когда xi
неаддитивны. Такая ситуация имеет место в приведенном выше примере (а). Имен-
но данный пример представляет классическую проблему индексного анализа. В его
терминах часто излагается и сама теория индексов. Общий индекс, называемый
в этом случае индексом стоимости, который рассчитывается по формуле
(xs , as )
?rs = r r,
y
(x , a )
необходимо разложить на два частных факторных индекса (представить в виде
произведения этих частных индексов):

?rs — индекс объема (физического объема) и
x
?rs — индекс цен.
a

В случае аддитивности xi аналогичные проблемы возникают для индекса не
объемной величины y, который раскладывается на факторные индексы естествен-
y
ным образом (как было показано выше), а относительной величины a = . Общий
x
индекс этой величины, называемый индексом переменного состава и удовлетво-
ряющий соотношению
(?s , as )
= x r,
?rs
a
(?r , a )
x

надо представить как произведение факторных индексов: ?rs — индекс структуры
?
rs — индекс индивидуальных относительных величин,
(структурных сдвигов) и ?(a)
называемый индексом постоянного состава.


3.2. Способы построения индексов
Возникающая проблема разложения общего индекса на факторные индексы
может решаться различным образом. Возможны следующие подходы:
(xs , ar ) (xs , as )
?rs = ?rs ?rs .
(1) =rr
y xa
(x , a ) (xs , ar )
94 Глава 3. Индексный анализ

Индекс объема считается как отношение текущей стоимости в базисных ценах
к фактической базисной стоимости, а индекс цен — как отношение фактической
текущей стоимости к текущей стоимости в базисных ценах.

(xs , as ) (xr , as )
?rs = ?rs ?rs .
(2) =rs
y xa
r , ar )
(x , a ) (x

В этом случае индекс объема рассчитывается делением фактической текущей
стоимости на базисную стоимость в текущих ценах, а индекс цен — делением ба-
зисной стоимости в текущих ценах на фактическую базисную стоимость.
Оба эти варианта имеют очевидный содержательный смысл, но результаты
их применения количественно различны, иногда — существенно.
(3) Промежуточный вариант, реализуемый, например, если взять среднее гео-
метрическое с равными весами индексных выражений (1) и (2) :

(xs , ar ) (xs , as ) (xs , as ) (xr , as )
?rs = = ?rs ?rs .
y xa
(xr , ar ) (xr , as ) s , ar ) (xr , ar )
(x

(4) Индекс объема можно рассчитать как некоторое среднее взвешенное ин-
дивидуальных индексов объема:

1
k
?i (?rs )k
?rs = , ?i = 1,
x xi
i i


где k, как правило, принимает значение либо 1 (среднее арифметическое), ли-
бо 0 (среднее геометрическое), либо ?1 (среднее гармоническое). А индекс цен
?rs
rs = y , так чтобы выполнялось мультипликативное индексное вы-
по формуле ?a
?rs
x
ражение.
(5) Обратный подход:

1
k
?i (?rs )k
?rs = , ?i = 1,
a ai
i i
rs
?y
?rs = .
x
?rs
a


Индекс объема в подходе (4) и индекс цен в подходе (5) можно находить
и другими способами.
95
3.2. Способы построения индексов

(6?7) Например, их можно взять как некоторые средние индексов, определен-
ных в подходах (1) и (2) (т.е. использовать другой вариант подхода (3)):

?rs
(xs , ar + as ) y
?rs ?rs
=rr , = rs ,
x a
(x , a + as ) ?x
?rs
(xr + xs , as ) y
?rs rs
=r , ?x = rs .
a
(x + xs , ar ) ?a

(8?9) Или рассчитать по некоторым нормативным ценам an и весам xn :

?rs
(xs , an ) y
?rs ?rs
= r n, = rs ,
x a
(x , a ) ?x
?rs
(xn , as ) y
?rs ?rs
= n r, = rs .
a x
(x , a ) ?a

Подходы (4?5) при определенном выборе типа среднего и весов агрегирования
оказываются эквивалентны подходам (1?2).
Так, если в подходе (4) индекс объема взять как среднее арифметическое инди-
видуальных индексов объема с базисными весами ?r , то будет получено индексное
y
выражение подхода (1), поскольку

(xs , ar ) yi ?rs
r r
yi
?r
xi
и, как прежде,
= = r.
yi
(xr , ar ) r
y y

Аналогично, если в том же подходе (4) индекс объема рассчитать как сред-
нее гармоническое индивидуальных индексов с текущими весами ?s , то получится
y
индексное выражение подхода (2).
Подход (5) окажется эквивалентным подходу (1), если в нем индекс цен опре-
делить как среднее гармоническое индивидуальных индексов с текущими весами;
он будет эквивалентен подходу (2), если индекс цен взять как среднее арифмети-
ческое с базисными весами.
Здесь приведено лишь несколько основных подходов к построению мультипли-
кативных индексных выражений. В настоящее время известны десятки (а с неко-
торыми модификациями — сотни) способов расчета индексов. Обилие подходов
свидетельствует о том, что данная проблема однозначно и строго не решается.
На этом основании некоторые скептики называли индексы способом измерения
неизмеримых в принципе величин и ставили под сомнение саму целесообразность
их применения. Такая точка зрения ошибочна.
Во-первых, индексы дают единственную возможность получать количествен-
ные макрооценки протекающих экономических процессов (динамика реального
96 Глава 3. Индексный анализ

производства, инфляция, уровень жизни и т.д.), во-вторых, они и только они поз-
воляют иметь практические приложения многих абстрактных разделов макроэко-
номики как научной дисциплины. Так, например, даже самое элементарное макро-
экономическое уравнение денежного обмена

PQ = MV ,

где P — уровень цен, Q — товарная масса, M — денежная масса, V — ско-
рость обращения денег, не имеет непосредственно никакого практического смысла,
ибо ни в каких единицах, имеющих содержательный смысл, не могут быть измере-
ны P и Q. Можно измерить лишь изменения этих величин и — только с помощью
техники индексного анализа. Например, измеримыми могут быть переменные урав-
нения денежного оборота в следующей форме:

Y 0 ?01 ?01 = M 1 V 1 ,
PQ

где Y 0 — валовой оборот (общий объем производства или потребления) базис-
ного периода в фактических ценах.
Проблема выбора конкретного способа построения индексов из всего множе-
ства возможных способов решается на практике различным образом.
В советской статистике был принят подход (1). Аргументация сводилась к сле-
дующему. Количественный (объемный) признак является первичным по отноше-
нию к качественному (относительному) и поэтому при переходе от базисных усло-
вий к текущим сначала должен меняться он (количественный признак):

x0 , a0 > x1 , a0 > x1 , a1 .

Первый шаг этого «перехода» дает индекс объема, второй — индекс цен. Внятных
разъяснений тому, почему количественный признак первичен и почему именно пер-
вичный признак должен меняться первым, как правило, не давалось. Тем не менее,
применение этого подхода делает весьма наглядным понятие объемов (производ-
ства, потребления, . . . ) в сопоставимых или неизменных ценах.
Действительно, пусть оценивается динамика в последовательные периоды вре-
мени t = 0, . . . , N , и индексы для любого периода t > 0 строятся по отно-
шению к одному и тому же базисному периоду t = 0. Тогда при использовании
подхода (1) указанный выше «переход» для любого периода t > 0 принимает
форму x0 , a0 > xt , a0 > xt , at , и выстраивается следующая цепочка пока-
зателей физического объема: (x0 , a0 ), (x1 , a0 ), . . . , (xt , a0 ), . . . , (xN , a0 ). Оче-
видна интерпретация этих показателей — это объемы в сопоставимых (базисных)
или неизменных ценах. Однако «наглядность» не всегда обеспечивает «правиль-
ность». Об этом пойдет речь в пункте 3.6.
97
3.2. Способы построения индексов

В современной индексологии проблема выбора решается в зависимости от того,
какому набору требований (аксиом, тестов) должны удовлетворять применяемые
индексы. Требования — это свойства, которыми должны обладать индексы. Вы-
ше были определены три таких свойства: мультипликативности, транзитивности
и среднего. Приведенные выше подходы к построению индексов с этой точки зре-
ния не одинаковы. Все они удовлетворяют требованию мультипликативности —
по построению. А транзитивными могут быть, например, только в подходах (4?5) ,
при k = 0. Свойством среднего могут не обладать индексы цен подходов (4, 6, 8)
и индексы объемов в подходах (5, 7, 9).
Иногда добавляют еще одно требование — симметричности. Это требование
означает, что оба факторных индекса должны рассчитываться по одной и той же
формуле, в которой лишь меняются местами переменные и нижние индексы с x
на a или наоборот. Из всех приведенных выше подходов только (3) приводит
к индексам, отвечающим этому требованию. Многие экономисты считают это тре-
бование надуманным. Так, например, даже при естественном разложении общего
индекса, которое имеет место в случае аддитивности объемного признака, фактор-
ные индексы асимметричны.
При выборе способа расчета индексов полезно проводить математический ана-
лиз используемых формул. В некоторых случаях эти математические свойства та-
ковы, что результат расчета неизбежно будет содержать систематическую ошибку.

Пусть, например, речь идет о расчете индекса цен как среднего индивидуальных
индексов (подход (5)), и веса взвешивания остаются неизменными во времени.
В данном случае (как и в ряде других случаев) имеет смысл проверить, как ведет себя
индекс на осциллирующих рядах индивидуальных цен. Цены осциллируют — значит
меняются циклически с периодом две единицы времени:
1
?t, t+1 = , t = 0, 1, 2, . . . .
ai
?ai t+2
t+1,


Поэтому общий индекс цен за период времени, включающий четное количество
временных единиц, всегда равен единице:
?a t+2T = 1.
t,



Этот результат понятен, поскольку индивидуальные цены лишь колеблются, не из-
меняя своего общего уровня. Этот же общий индекс можно рассчитать по цепному
правилу:
?t, t+1 ?t+1, t+2 . . . ?a ?1, t+2T .
t+2T
a a


Индекс в такой форме в дальнейшем будет называться цепным и обозначаться
?t, t+1, ..., t+2T или ?t?t+2T , где « ? » заменяет последовательность временных под-
a a
периодов — единиц времени внутри общего периода.
98 Глава 3. Индексный анализ

Рассчитанный таким образом индекс равен единице только при использовании сред-
него геометрического (при k = 0) в расчете индексов за каждую единицу времени.
Это проверяется непосредственной подстановкой формулы среднего геометриче-
ского при неизменных во времени весах индивидуальных индексов. Из свойства
мажорантности средних следует, что при использовании средних арифметических
общий цепной индекс будет обязательно больше единицы, а при использовании
средних гармонических — меньше единицы. Другими словами, результат будет ли-
бо преувеличен, либо преуменьшен. Причем ошибка будет тем выше, чем длиннее
рассматриваемый период (чем больше T ). Из этого следует два вывода:

– при расчете общего индекса как среднего индивидуальных индексов веса
не должны оставаться постоянными во времени,
– общий индекс как среднее арифметическое индивидуальных индексов может
преувеличить реальный рост изучаемой величины, а как среднее гармониче-
ское — преуменьшить его.

Формальный анализ индексного выражения позволяет выяснить, с какими по-
грешностями связано его использование при изучении реальных процессов.

Например, полезно исследовать, к каким погрешностям приводит нетранзитивность
индексов.
Как уже отмечалось, в общем случае индексы всех приведенных выше подходов не об-
ладают свойством транзитивности. В частности, индекс цен подхода (1) не транзи-
тивен, т.к.

x1 , a1 x2 , a2 x2 , a2
?012 = 2 0 = ?02 .
= 10 2 , a1 )
a a
(x , a ) (x (x , a )
Вопрос о том, какая из этих величин больше, сводится, как не сложно убедить-
ся, путем элементарных преобразований к вопросу о соотношении следующих двух
возможных значений индекса ?01 :
a

x1 , a1 x2 , a1
и 2 0,
(x1 , a0 ) (x , a )

которые можно обозначить, соответственно, через ?01 (1) и ?01 (2). Их, в свою
a a
очередь, можно представить как средневзвешенные индивидуальных индексов цен
?01 (индексы-указатели опущены):
ai

? (1) = (? (1) , ?) , ? (2) = (? (2) , ?),
x1 a0 x2 a0
где ?i (1) = 1 0 , ?i (2) = 2i i0 .
ii
(x , a ) (x , a )

Для рыночной экономики характерно сокращение объемов покупок товара при росте
цен на него. Если предположить, что динамика цен и объемов устойчива в рассматри-
ваемом периоде, и направленность их трендов (вверх или вниз) не меняется на нем
99
3.2. Способы построения индексов

(такое предположение необходимо сделать, т.к. динамика цен на подпериоде 01
связывается в данных индексах с динамикой объемов на подпериоде 12), то в таких
условиях

?01 (1) > ?01 (2).
a a



Из этого следует, что для рыночной экономики значение цепного индекса ?012 в под-
a
ходе (1) больше значения соответствующего обычного индекса ?02 .a

Аналогичный анализ индексов цен подхода (2) показывает, что для них характерно
противоположное соотношение: цепной индекс принимает меньшее значение, чем
обычный индекс за период времени.

Несколько слов о терминах.
Факторные индексы, используемые в подходах (1?2) , называются агрегатны-
ми. Такие индексы были предложены немецкими экономистами Э. Ласпейресом
и Г. Пааше во второй половине XIX века. Индекс Ласпейреса строится так, чтобы
в числителе и знаменателе неизменными оставались объемы или цены на базис-
ном уровне, поэтому знаменателем этого индекса является фактическая базисная
стоимость, а числитель образован и базисными, и текущими значениями. Этот
индекс является среднеарифметическим индивидуальных индексов с базисными
весами. Таковыми являются индекс объема в подходе (1) и индекс цен подхо-
да (2).
В числителе и знаменателе индекса Пааше одинаковыми объемы или цены
фиксируются на текущем уровне. Его числителем является фактическая текущая
стоимость, знаменатель имеет смешанный состав. Такой индекс выступает средне-
гармоническим индивидуальных индексов с текущими весами. Это — индекс цен
подхода (1) и индекс объема подхода (2).
В мультипликативном представлении общего индекса стоимости один из фак-
торных индексов — индекс Ласпейреса, другой — Пааше.
В 20-х годах XX века Фишером было предложено рассчитывать индексы как
средние геометрические соответствующих индексов Ласпейреса и Пааше с равны-
ми весами. Потому индексы подхода (3) называются индексами Фишера. Фишер
показал, что в его системе тестов (требований, аксиом) они являются наилучшими
из всех возможных (им рассмотренных).
Индексы цен, рассчитанные каким-то способом, например, как в подходах (5),
(7), (9), или заданные нормативно (при прогнозировании) с целью дальнейшего
определения индексов объемов из требования мультипликативности иногда назы-
вают дефляторами стоимости (например, дефляторами ВВП — валового внутрен-
него продукта). А такой способ расчета индексов цен и объемов — дефлятирова-
нием.
100 Глава 3. Индексный анализ

На практике при построении индексов цен часто используют нормативный под-
ход (9). Причем структуру весов обычно принимают облегченной — не по всем
товарам (их, как правило, бывает много), а по товарам-представителям, каждый
из которых представляет целую товарную группу. Такой характер имеют, например,
индексы цен по потребительской корзине, в которую включаются от нескольких
десятков до нескольких сотен основных потребительских продуктов.
Итак, рассмотрены основные проблемы и подходы, существующие при прове-
дении индексного анализа, с помощью которого изучается вопрос о том, во сколько
раз меняется значение величины при переходе от одних условий к другим — в це-
лом и за счет отдельных факторов.


3.3. Факторные представления приростных
величин
Во многом схожие проблемы возникают и в анализе вопроса о том, на сколько
и за счет каких факторов меняется значение изучаемой величины. В таком анализе
общее изменение величины во времени или в пространстве требуется разложить
по факторам, вызвавшим это изменение:

y s ? y r = ?rs = ?rs + ?rs .
y x a


В случае, когда y — результат (какая-то результирующая величина, напри-
мер, объем производства), x — затраты (например, основной капитал или занятые
в производстве), a — эффективность использования затрат (отдача на капитал или
производительность труда), то говорят о проблеме разложения общего прироста
результирующей величины на экстенсивные и интенсивные факторы.
При изучении изменений относительной величины at = ?t , at во времени
или в пространстве — в случае аддитивности объемных признаков xi — возни-
кает аналогичная проблема разделения прироста этой величины ?rs на факторы
a
rs и изменения индивидуальных относительных величин
изменения структуры ??
?rs . Так, например, общее различие материалоемкости совокупного производства
(a)
между двумя регионами можно попытаться разбить на факторы различия отрасле-
вых структур производства и отраслевых материалоемкостей производства.
Эти проблемы можно решить так же, как и в подходах (1?3) индексного ана-
лиза.
(1 ) В подходе (1) индексного анализа общий индекс ?rs умножается и делится
y
на величину (xs , ar ), и после перегруппировки сомножителей получается искомое
индексное выражение. Теперь, аналогично, к общему приросту ?rs прибавляется
y
s , ar ). После перегруппировки слагаемых
и из него вычитается та же величина (x
101
3.3. Факторные представления приростных величин

образуется требуемое пофакторное представление:

?rs = [(xs , ar ) ? (xr , ar )] + [(xs , as ) ? (xs , ar )] =
y
= (xs ? xr , ar ) + (xs , as ? ar ) = ?rs + ?rs .
x a

(2 ) Теперь работает величина (xr , as ) :

?rs = [(xs , as ) ? (xr , as )] + [(xr , as ) ? (xr , ar )] =
y
= (xs ? xr , as ) + (xr , as ? ar ) = ?rs + ?rs .
x a

(3 ) Берется среднее арифметическое пофакторных представлений (1 ) и (2 )
с равными весами:
ar + as xr + xs s
= x ?x , , a ? ar
?rs s r
= ?rs + ?rs .
+
y x a
2 2
Существует более общий подход, в рамках которого пофакторное представле-
ние общего прироста результирующей величины строится на основе определенного
мультипликативного индексного выражения ?rs = ?rs ?rs .
y xa
Для относительного прироста результирующей величины можно записать сле-
дующее тождество:
?rs ? 1 = (?rs ? 1) + (?rs ? 1) + (?rs ? 1)(?rs ? 1).
y x a x a

Выражение для общего абсолютного прироста результирующей величины по-
лучается умножением обеих частей этого соотношения на y r , равный (xr , ar ).
Первое слагаемое правой части этого тождества показывает влияние изме-
нения объемной величины (экстенсивные факторы), второе слагаемое — влияние
изменения относительной величины (интенсивные факторы), а третье слагаемое —
совместное влияние этих факторов. Эта ситуация иллюстрируется рисунком 3.1.
Общему изменению результирующей
величины соответствует площадь фигу-
ры ABDF GH , влиянию объемного фак-
B C D
тора — площадь ABCH , влиянию отно- ?rs
x
сительного фактора — площадь GHEF ,
совместному влиянию факторов — пло- A
1 E
щадь HCDE. Вопрос получения искомо- H
го пофакторного представления общего
прироста сводится к тому, как распреде-
F
G
лить между факторами «вклад» их сов- 1 ?rs
a
местного влияния. Здесь возможны три
подхода.
Рис. 3.1
102 Глава 3. Индексный анализ

(1 ) Все совместное влияние факторов можно отнести на относительный фак-
тор:
1
?rs ? 1 = (?rs ? 1) + ?rs (?rs ? 1) = (?rs + ?rs ).
y x x a x a
r
y

В этом случае влиянию относительного фактора соответствует на рисунке пло-
щадь GCDF , а влиянию объемного фактора — площадь ABCH .
( 2 ) Совместное влияние факторов относится на количественный фактор:
1
?rs ? 1 = (?rs ? 1) ?rs + (?rs ? 1) = (?rs + ?rs ).
y x a a x a
r
y
Теперь влиянию объемного фактора соответствует на рисунке площадь ABDE,
а влиянию относительного фактора — площадь GHEF .
Несложно убедиться в том, что в подходе (1 ) фактически к общему относи-
тельному приросту ?rs ?rs ? 1 прибавляется и отнимается индекс объемной вели-
xa
чины ?rs , а затем нужным образом группируются слагаемые; в подходе (2 ) —
x
прибавляется и отнимается индекс относительной величины ?rs , а затем также
a
нужным образом группируются слагаемые. Другими словами, имеется определен-
ная аналогия с подходами (1 ) и (2 ). Можно сказать, что в подходе (1 ) сначала
меняет свое значение объемный признак, а затем — относительный:

1 ? 1 > ?rs ? 1 > ?rs ?rs ,
x xa

и первый шаг в этом переходе определяет вклад объемного фактора, второй —
относительного фактора. В подходе (2 ), наоборот, сначала меняется значение
относительного признака, а затем — объемного:

1 ? 1 > 1 ? ?rs > ?rs ?rs ,
a xa

и теперь первый шаг перехода дает вклад относительного фактора, второй — объ-
емного.
(3 ) Берется среднее арифметическое с равными весами пофакторных пред-
ставлений (1 ) и (2 ) :
1 + ?rs 1 + ?rs rs 1
?1= ? 1) (?a ? 1) = r (?rs + ?rs ).
a x
?rs (?rs +
y x x a
2 2 y

В этом случае влияние объемного фактора выражает площадь трапеции ABDH,
а влияние относительного фактора — площадь трапеции GHDF .
Итак, на основе каждого мультипликативного индексного выражения можно
получить по крайней мере три пофакторных представления прироста изучаемой ве-
личины. Причем, если неопределенность (множественность подходов) построения
103
3.3. Факторные представления приростных величин

индексного выражения связана с агрегированным характером изучаемой величины
и неаддитивностью объемных факторных величин, то неопределенность пофактор-
ных представлений приростов имеет место и для неагрегированных величин. Это
объясняется тем, что она (неопределенность) является следствием наличия ком-
поненты совместного влияния факторов, которую необходимо каким-то образом
«разделить» между факторами.
Пусть, например, используется индексное выражение подхода (1). На его ос-
нове получается три следующих пофакторных представления общего прироста.


(1 ? 1 ) ?rs = (xs ? xr , ar ) ,
x
?rs = (xs , as ? ar ) .
a



Эти выражения получены в результате подстановки индексов подхода (1) в фор-
мулу подхода (1 ) и умножения на y r . Интересно, что результат совпадает с под-
ходом (1 ).


(xs , as )
(1 ? 2 ) = (x ? x , a ) s r ,
?rs s r r
x
(x , a )
rr
r (x , a )
= (x , a ? a ) s r .
?rs ss
a
(x , a )
r +as
xs , a 2
(1 ? 3 ) ?rs = (xs ? xr , ar ) ,
x s , ar )
(x
xr +xs r
2 ,a
?rs = (xs , as ? ar ) .
a
(xs , ar )


Теперь используется индексное выражение подхода (2).


(xr , ar )
(2 ? 1 ) = (x ? x , a ) r s ,
?rs s r s
x
(x , a )
ss
r (x , a )
= (x , a ? a ) r s .
?rs rs
a
(x , a )

(2 ? 2 ) ?rs = (xs ? xr , as ),
x
?rs = (xr , as ? ar ).
a
104 Глава 3. Индексный анализ

Этот результат аналогичен подходу (2 ).
r +as
xr , a 2
(2 ? 3 ) ?rs = (xs ? xr , as ) ,
x
(xr , as )
xr +xs s
2 ,a
?rs = (xr , as ? ar ) .
a
(xr , as )

При всем многообразии полученных пофакторных представлений прироста изу-
чаемой величины все они являются «вариациями на одну тему»: вклады объемного
и относительного факторов определяются в результате различных скаляризаций,
соответственно, векторов xs ? xr и as ? ar . Кроме того, несложно установить, что
для индивидуальных (неагрегированных) величин подходы (1 ) ? (1?1 ) и (2?1 )
эквивалентны, также как подходы (1?2 ) и (2 ) ? (2?2 ) и подходы (3 ), (1?3 )
и (2?3 ), т.е. различия между ними, по существу, связаны с разными способами
разделения совместного влияния факторов.


3.4. Случай, когда относительных факторов
более одного
Теперь можно дать обобщение подходов (1 ? 3), (1 ? 3 ) и (1 ? 3 ) на
случай, когда относительных факторов в мультипликативном выражении (3.2) два
или более. Пусть n = 2, т.е.

yt = xt at at .
i 1i 2i
i

Для краткости будем далее использовать обозначение xt , at , at = tt t
i xi a1i a2i .
12
Речь идет о построении индексного выражения

?rs = ?rs ?rs ?rs
x12
y

в идеологии подходов (1 ? 3), где ?rs и ?rs — индексы первого и второго отно-
1 2
сительного признака.
Построение мультипликативного индексного выражения зависит от того, в ка-
кой последовательности факторные величины меняют свои значения от базисных
к текущим. Пусть эта последовательность задана такой же, как и в исходном муль-
типликативном выражении, т.е. сначала меняет свое значение объемный признак,
затем первый относительный признак и, в последнюю очередь, второй относитель-
ный признак:

(xr , ar , ar ) > (xs , ar , ar ) > (xs , as , ar ) > (xs , as , as ).
12 12 12 12
105
3.4. Случай, когда относительных факторов более одного

Тогда
(xs , ar , ar ) (xs , as , ar ) (xs , as , as )
= r 1 2, = s 1 2, = s 1 2.
?rs ?rs ?rs
1 2
x
(x , ar , ar ) (x , ar , ar ) (x , as , ar )
12 12 12

Такой способ построения индексного выражения полностью аналогичен подхо-
ду (1). Пусть теперь последовательность включения факторных величин измени-
лась. Например, объемный признак по-прежнему меняет свое значение первым,
затем — второй и, наконец, первый относительный признак:

(xr , ar , ar ) > (xs , ar , ar ) > (xs , ar , as ) > (xs , as , as ).
12 12 12 12

Тогда
(xs , ar , ar ) (xs , as , as ) (xs , ar , as )
= r 1 2, = s 1 2, = s 1 2.
?rs ?rs ?rs
1 2
x
(x , ar , ar ) (x , ar , as ) (x , ar , ar )
12 12 12

Общее количество возможных последовательностей включения факторных ве-
личин равно числу перестановок из 3 элементов: 3! = 6, т.е. имеется 6 возможных
мультипликативных индексных выражений. Аналогом индексного выражения (3)
является среднее геометрическое с равными весами указанных 6-ти вариантов.
Аналогичным образом строятся пофакторные представления типа (1 ?3 ) и ти-
па (1 ? 3 ). Во 2-м случае, если принята исходная последовательность «включе-
ния» факторных признаков:

1 ? 1 ? 1 > ?rs ? 1 ? 1 > ?rs ?rs ? 1 > ?rs ?rs ?rs ,
x1 x12
x

то

?rs = y r (?rs ? 1) , ?rs = y r ?rs (?rs ? 1) , ?rs = y r ?rs ?rs (?rs ? 1);
1 1 2 x1 2
x x x

если относительные признаки в принятой последовательности меняются местами:

1 ? 1 ? 1 > ?rs ? 1 ? 1 > ?rs ? 1 ? ?rs > ?rs ?rs ?rs ,
2 x12
x x

то

?rs = y r (?rs ? 1) , ?rs = y r ?rs ?rs (?rs ? 1) , ?rs = y r ?rs (?rs ? 1),
1 x2 1 2 2
x x x

и общее количество вариантов таких представлений — 6. Аналогом представле-
ния (3 ) будет являться среднее арифметическое этих 6-ти вариантов с равными
весами.
В общем случае при n относительных величин в мультипликативном представ-
лении результирующей величины имеется (n + 1)! вариантов индексных выра-
жений, аналогичных (1?2), и пофакторных представлений, аналогичных (1 ?2 )
106 Глава 3. Индексный анализ

и (1 ?2 ) (в основном случае, рассмотренном в пунктах 3.1–3.2, n = 1, и имелось
по 2 таких варианта). Усреднение этих вариантов с равными весами дает результа-
ты, аналогичные, соответственно, подходам (3), (3 ) и (3 ).
В пунктах 3.1–3.4 рассмотрены проблемы, которые возникают в практике по-
строения индексных выражений и пофакторных представлений динамики резуль-
тирующей величины. Проведенный анализ можно назвать прикладным.


3.5. Индексы в непрерывном времени
Для лучшего понимания проблем, возникающих при индексном анализе, и воз-
можностей решения этих проблем полезно рассмотреть их на примере индексов
в непрерывном времени. Анализ индексов в непрерывном времени можно назвать
теоретическим. В этом случае динамика объемных и относительных величин зада-
ется непрерывными дифференцируемыми функциями y(t), x(t), a(t), и возможны
три типа индексов: в момент времени t (моментные), сопоставляющие два мо-
мента времени t1 и t0 («момент к моменту») и два периода времени [t1 , t1 + ? ]
|t1 ? t0 | («период к периоду»). Ниже рассматриваются эти три
и [t0 , t0 + ? ], ?
типа индексов.
1) Моментные индексы.
Индивидуальными индексами такого типа являются моментные темпы роста,
рассмотренные в пункте 1.8 (нижние индексы-указатели объекта опущены):

d ln [ ] (t) d ln [ ] (t)
?[ ] (t) = exp , ln ?[ ] (t) = = ??[ ] (t),
dt dt

где ?[ ] (t) — моментный темп роста, ??[ ] (t) — моментный темп прироста, а на
месте [ ] стоит либо y — для объемной результирующей величины (стоимости),
либо x — для объемной факторной величины (объема), либо a — для относи-
тельной величины (цены).
Легко убедиться в том, что эти индивидуальные индексы вслед за (3.1) облада-
ют свойством мультипликативности или, как говорят, удовлетворяют требованию
(тесту) мультипликативности (здесь и далее при описании моментных индексов
указатель на момент времени (t) опущен):

d ln(xa) d ln x d ln a
ln ?y = = + = ln ?x + ln ?a ,
dt dt dt
т.е. ?y = ?x ?a .
Вопрос о транзитивности моментных индексов обсуждается ниже в связи с пе-
реходом к индексам «момент к моменту». Понять, как перемножаются индексы
107
3.5. Индексы в непрерывном времени

в бесконечной последовательности бесконечно малых моментов времени, можно
только в интегральном анализе.
Агрегированный моментный индекс или собственно моментный индекс объ-
емной результирующей величины строится следующим образом (возвращаются
нижние индексы-указатели объекта):

1 d yi 1 dyi 1 dyi
ln ?y = = = ?i = ?i ln ?yi ,
y dt y dt yi dt
yi
, т.е. ?y = ??i .
где ?i = yi
y
Таким образом, индекс результирующей величины есть средняя геометриче-
ская индивидуальных индексов с весами-долями объектов в этой объемной резуль-
тирующей величине. Как видно из приведенного доказательства, это — следствие
аддитивности результирующей величины.
Не сложно провести разложение общего индекса на факторные:

1 dxi ai 1 dxi dai
ln ?y = = ai + xi =
y dt y dt dt
1 1 dxi 1 dai
= yi + yi = ?i ln ?xi + ?i ln ?ai ,
y xi dt ai dt
т.е.

??i ??i ,
?y = xi ai


и, если факторные индексы определить как

??i , ?a = ??i ,
?x = xi ai

то получается искомое мультипликативное выражение ?y = ?x ?a .
Чрезвычайно интересно, что и факторный индекс объемной величины, которая
может быть неаддитивной, и факторный индекс относительной величины, которая
принципиально неаддитивна, рассчитываются так же, как общий индекс аддитивной
результирующей величины — как средние геометрические индивидуальных индек-
сов. Причем во всех этих трех индексах используются одинаковые веса — доли
объектов в результирующей величине.
Итак, моментные индексы мультипликативны, транзитивны, что будет показа-
но ниже, обладают свойством среднего и симметричны по своей форме. Следова-
тельно, обсуждаемые выше проблемы являются следствием не принципиальных
особенностей индексов, а разных способов привязки их ко времени.
108 Глава 3. Индексный анализ

2) Индексы «момент к моменту» (индексы за период времени).
Индивидуальные индексы такого типа рассмотрены в пункте 1.8 как непрерыв-
ные темпы роста за период (нижние индексы-указатели объектов опущены):
t1
[ ] (t1 )
ln ?[ ] (t)dt
?[ ] (t0 , t1 ) = e = ,
t0
[ ] (t0 )

где ?[ ] (t0 , t1 ) — индекс за период [t0 , t1 ], а на месте [ ], как и прежде, стоит
либо y — для объемной результирующей величины (стоимости), либо x — для
объемной факторной величины (объема), либо a — для относительной величины
(цены).
Это выражение, прежде всего, означает транзитивность моментных индексов.
Чтобы убедиться в этом, можно провести следующие рассуждения (указатель [ ]
в этих рассуждениях опущен).
Пусть моментный индекс в периоде [t0 , t1 ] неизменен и равен ?(t1 ), тогда,
t1
вычислив ln ?(t)dt, можно увидеть, что
t0

? (t0 , t1 ) = ? (t1 )t1 ?t0 ,

т.е. для того, чтобы привести моментные индексы к форме, сопоставимой с индек-
сами за период, надо их возводить в степень, равную длине периода.
Теперь, разбив общий период [t0 , t1 ] на n равных подпериодов длиной
t1 ? t0
и обозначив t(j) = t0 + j? , можно записать исходное выражение
?=
n
связи индекса за период с моментными индексами в следующем виде:
t(j)
n
ln ? (t0 , t1 ) = ln ? (t) dt.
j=1 t
(j?1)



Пусть в каждом j-м подпериоде [t(j?1) , t(j) ] моментный индекс неизменен
и равен ?(t(j) ). Тогда из этого выражения следует, что
? ??
n
? (t0 , t1 ) = ? ? t(j) ? .
j=1


В результате перехода к пределу при n > ? получается соотношение, кото-
рое можно интерпретировать как свойство транзитивности моментных индексов.
Возведение цепного моментного индекса в степень ? необходимо, как было только
что показано, для приведения его к форме, сопоставимой с индексом за период.
109
3.5. Индексы в непрерывном времени

Индивидуальные индексы «момент к моменту» транзитивны по своему опреде-
лению:
t2 t1 t2

ln ?[ ] (t0 , t2 ) = ln ?[ ] (t) dt = ln ?[ ] (t) dt + ln ?[ ] (t) dt =
t0 t0 t1
= ln ?[ ] (t0 , t1 ) + ln ?[ ] (t1 , t2 ) ,
т.е. ?[ ] (t0 , t2 ) = ?[ ] (t0 , t1 ) · ?[ ] (t1 , t2 ).
Их мультипликативность следует непосредственно из мультипликативности мо-
ментных индексов. Действительно:
t1

ln ?y (t0 , t1 ) = (ln ?x (t) + ln ?a (t)) dt = ln ?x (t0 , t1 ) + ln ?a (t0 , t1 ),
<??????
??????>
t0 ln ?x (t)?a (t)
<??>
???
?y (t)

т.е.
?y (t0 , t1 ) = ?x (t0 , t1 ) · ?a (t0 , t1 ) .

Теперь рассматриваются агрегированные индексы «момент к моменту» (воз-
вращаются нижние индексы-указатели объекта). Индексы такого типа были пред-
ложены в конце 20-х годов XX века французским статистиком Ф. Дивизиа, и по-
этому их называют индексами Дивизиа.
Как было показано выше, моментный индекс результирующей величины яв-
ляется средним геометрическим индивидуальных индексов. Для индекса Дивизиа
результирующей величины такое свойство в общем случае не выполняется. Дей-
ствительно:
t1

ln ?y (t0 , t1 ) = ?i (t) ln ?yi (t) dt,
i t0

и, если бы веса ?i (t) не менялись во времени, их можно было бы вынести за знак
интеграла и получить выражение индекса как среднего геометрического индивиду-
альных индексов. Однако веса меняются во времени, и такую операцию провести
нельзя. Можно было бы ввести средние за период веса по следующему правилу:
?i (t) ln ?yi (t) dt
?i (t0 , t1 ) = ,
ln ?yi (t) dt
и получить выражение
(3.3)
ln ?y (t0 , t1 ) = ?i (t0 , t1 ) ln ?yi (t0 , t1 ),
110 Глава 3. Индексный анализ

которое являлось бы средним геометрическим, если бы сумма средних за период
весов равнялась единице. Но равенство единице их суммы в общем случае не
гарантировано.
Имеется один частный случай, когда общий индекс является средним геомет-
рическим индивидуальных. Если индивидуальные моментные индексы не меняются
во времени и, как было показано выше, равны (?yi (t0 , t1 )) /(t1 ?t0 ) , то их можно
1


вынести за знак интеграла и получить выражение, аналогичное по форме (3.3):

ln ?y (t0 , t1 ) = ?i (t0 , t1 ) ln ?yi (t0 , t1 ),
t1
1
где теперь ?i (t0 , t1 ) = ?i (t) dt — средние хронологические весов. Их сум-
t1 ? t0
t0
ма равна единице, т.к. ?i (t) = 1 :
t1 t1
1 1
?i (t0 , t1 ) = ?i (t) dt = dt = 1.
t1 ? t0 t1 ? t0
t0 t0

Тем не менее, индекс Дивизиа результирующей величины обладает свойством
среднего в общем случае. В силу аддитивности yi , этот индекс является обычной
средней относительной и, как отмечалось в пункте 2.2, может быть представлен
как среднее арифметическое индивидуальных индексов с базисными весами (по
знаменателю) или среднее гармоническое индивидуальных индексов с текущими
весами (по числителю).
Вслед за мультипликативностью моментных индексов, индексы Дивизиа так-
же мультипликативны. В этом не сложно убедиться, если определить факторные
индексы Дивизиа естественным образом:
t1 t1

ln ?x (t0 , t1 ) = ln ?x (t) dt = ?i (t) ln ?xi (t) dt,
t0 t0
t1 t1

ln ?a (t0 , t1 ) = ln ?a (t) dt = ?i (t) ln ?ai (t) dt.
t0 t0

Действительно:
t1 t1 t1

ln ?y (t0 , t1 ) = ln ?x (t) ?a (t) dt = ln ?x (t) dt + ln ?a (t) dt =
t0 t0 t0
?y (t)

= ln ?x (t0 , t1 ) + ln ?a (t0 , t1 ) ,
111
3.5. Индексы в непрерывном времени

т.е. ?y (t0 , t1 ) = ?x (t0 , t1 ) · ?a (t0 , t1 ).
Факторные индексы не могут быть представлены как средние геометрические
индивидуальных индексов — кроме частного случая, когда индивидуальные мо-
ментные индексы неизменны во времени. Это было показано на примере индекса
результирующей величины. В случае аддитивности xi факторный индекс объема
все-таки обладает свойством среднего (как и индекс результирующей величины).
В общем случае факторные индексы требованию среднего не удовлетворяют.
Непосредственно из определения индексов Дивизиа следует их транзитивность.
Но факторные индексы этим свойством обладают в специфической, не встречав-
шейся ранее форме. До сих пор при наличии транзитивности общий за период
индекс можно было рассчитать двумя способами: непосредственно по соотноше-
нию величин на конец и начало периода или по цепному правилу — произведением
аналогичных индексов по подпериодам:

? (t0 , tN ) = ? (t0 , t1 ) · ? (t1 , t2 ) · . . . · ? (tN ?1 , tN ) , t 0 < t 1 < . . . < tN .

Именно выполнение этого равенства трактовалось как наличие свойства тран-
зитивности. Теперь (для факторных индексов Дивизиа) это равенство — определе-
ние общего индекса (t0 , tn ), т.к. другого способа его расчета — непосредственно
по соотношению факторных величин на конец и начало общего периода — не су-
ществует. В частности, общий за период факторный индекс зависит не только от
значений факторных величин на начало и конец периода, но и от всей внутрипери-
одной динамики этих величин.

Эту особенность факторных индексов Дивизиа можно проиллюстрировать в случае,
когда моментные темпы роста всех индивидуальных величин неизменны во времени.
В этом случае, как было показано выше (указатели периода времени (t0 , t1 ) опу-
щены),

??i , ??i , ??i , (3.4)
?y = ?x = ?a =
yi xi ai


где ?i — средние хронологические веса по результирующей величине y.
Пусть N = 2, тогда выражение для этих средних хронологических весов можно
найти в аналитической форме. Для периода (0, 1) ( t0 = 0, t1 = 1, из таблицы
dx x 1
=? ln (b + ceax )):
неопределенных интегралов: ax
b + ce b ab

?y2
1 ln
t
y1 (0) ?y1 ?y
(3.5)
?1 = t dt = ,
t ?y2
y1 (0) ?y1 + y2 (0) ?y2 ln
0
?y1
112 Глава 3. Индексный анализ


Таблица 3.2. Объемы производства и цены в три последовательных момента времени

Моменты времени

0 1 2

i y x a y x a y x a

1 20 10 2 30/45 12/18 2.5 60 20 3

2 10 10 1 30 15 2 90 30 3

Итого 30 60/75 150


?y1
1 ln
t
y2 (0) ?y2 ?y
?2 = t dt = ,
?y1
y1 (0) (?y1 )t + y2 (0) ?y2 ln
0
?y2

где ?y, ?y1, ?y2 — общий (агрегированный) и индивидуальные индексы «момент
к моменту» для результирующей величины y. Указанная особенность факторных
индексов Дивизиа иллюстрируется на примере, исходные данные для которого при-
ведены в двух таблицах 3.21 и 3.3.
Динамика физических объемов дана в 2 вариантах (через знак «/»). Физический
объем 1-го продукта в момент времени « 1 » в варианте (а) составляет 12 единиц,
в варианте (б) — 18. Это — единственное отличие вариантов.
Результаты расчетов сведены в двух таблицах 3.4 и 3.5.
Расчет средних хронологических весов за периоды (0, 1) и (1, 2) в 1-й результирую-
щей таблице проводился по формулам (3.5), индексы 2-й таблицы за периоды (0, 1)
1
Физические объемы производства продуктов имеют разные единицы измерения (например, тон-
ны и штуки) и не могут складываться, т.е. x неаддитивен.



Таблица 3.3. Индексы наблюдаемых величин

Периоды времени

(0,1) (1,2) (0,2)

i ?y ?x ?a ?y ?x ?a ?y ?x ?a

1 1.5/2.25 1.2/1.8 1.25 2/1.333 1.667/1.111 1.2 3 2 1.5

2 3 1.5 2 3 2 1.5 9 3 3

Итого 2/2.5 2.5/2 5
113
3.5. Индексы в непрерывном времени


Таблица 3.4. Веса индивидуальных индексов

Варианты

(а) (б)

Моменты и периоды времени Моменты и периоды времени

0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2
i

1 0.667 0.585 0.5 0.450 0.4 0.667 0.634 0.6 0.5 0.4

2 0.333 0.415 0.5 0.550 0.6 0.333 0.366 0.4 0.5 0.6

Итого 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


и (1, 2) рассчитывались по формулам (3.4), а за период (0, 2) — в соответствии
с определением по цепному правилу.
Данный пример показывает, что даже относительно небольшое изменение «внутрен-
ней» динамики — увеличение физического объема 1-го товара в «средний» момент
времени « 1 » с 12 до 18 единиц — привело к увеличению индекса физического объ-
ема за весь период (0, 2) с 2.426 до 2.510 и к соответствующему снижению индекса
цен с 2.061 до 1.992. «Концевые» (на начало и конец периода) значения факторных
величин при этом оставались неизменными. В обоих вариантах факторные индексы
транзитивны, поскольку индексы за период (0, 2) равны произведению индексов
за периоды (0, 1) и (1, 2).

Можно сказать, что факторные индексы Дивизиа обладают свойством тран-
зитивности в усиленной дефинитивной форме, т.к. это свойство определяет сам
способ расчета индексов за периоды, включающие подпериоды. Такая особенность
факторных индексов в конечном счете является следствием того, что физический
объем x(t), как таковой, и относительная величина a(t) в общем случае не на-


Таблица 3.5. Индексы Дивизиа

Варианты

(а) (б)

Периоды ?y ?x ?a ?y ?x ?a

(0, 1) 2.0 1.316 1.519 2.5 1.684 1.485

(1, 2) 2.5 1.843 1.357 2.0 1.491 1.342

(0, 2) 5.0 2.426 2.061 5.0 2.510 1.992
114 Глава 3. Индексный анализ

блюдаемы, и для их измерения, собственно говоря, и создана теория индексов,
в частности индексов Дивизиа. Полезно напомнить, что индекс Дивизиа результи-
рующей величины и все индивидуальные индексы Дивизиа удовлетворяют требо-
ванию транзитивности в обычной форме.
Итак, индексы «момент к моменту» продолжают удовлетворять требованиям
мультипликативности, транзитивности (в дефинитивной форме), симметричности,
но теряют свойство среднего.
Факторные индексы Дивизиа обычно записывают в следующей форме:
?t ? ?t ?
1 1
ai (t) dxi (t) ? xi (t) dai (t) ?
?x (t0 , t1 ) = exp ? ?a (t0 , t1 ) = exp ?
, .
xi (t) ai (t) xi (t) ai (t)
t0 t0

В том, что это форма эквивалентна используемой выше, легко убедиться. Для
этого достаточно вспомнить, что, например для индекса объемной величины:
xi (t) ai (t) d ln xi (t) 1 dxi (t)
?i (t) = , ln ?xi (t) = = .
xi (t) ai (t) dt xi (t) dt

Индексы Дивизиа могут служить аналогом прикладных индексов, рассмотрен-
ных в пунктах 1–3 данного раздела, в случае, если речь идет о величинах x и y
типа запаса, поскольку такие величины измеряются на моменты времени.
3) Индексы «период к периоду».
Чаще всего предметом индексного анализа является динамика величин типа
потока, поэтому именно непрерывные индексы «период к периоду» являются наи-
более полным аналогом прикладных индексов, рассмотренных в пунктах 1–3 этого
раздела.
Сначала необходимо определить следующие индивидуальные величины (здесь
и далее нижний индекс-указатель объекта i опущен):
t+?
y t dt — результирующая величина в периоде [t, t + ? ],
y (t, ? ) =
t
t+?
x t dt — объемная величина в периоде [t, t + ? ],
x (t, ? ) =
t
t+?
y (t, ? )
= ?x t a t dt — относительная величина в периоде [t, t + ? ],
a (t, ? ) =
x (t, ? )
t

x (t )
где ?x (t ) = — временные веса относительной величины.
x (t, ? )
115
3.5. Индексы в непрерывном времени

Таким образом, при переходе к суммарным за период величинам проявилось
принципиальное различие объемных и относительных величин. Первые аддитивны
во времени и складываются по последовательным моментам времени, вторые —
неаддитивны и рассчитываются за период как средние хронологические с весами,
определенными динамикой объемной факторной величины. Именно с этим обсто-
ятельством связана возможная несимметричность факторных индексов, которая
имеет место для большинства прикладных индексов, рассмотренных в пункте 3.2.
Индивидуальные индексы «период к периоду» строятся естественным спосо-
бом:
[ ] (t1 , ? )
?[ ] (t0 , t1 , ? ) = ,
[ ] (t0 , ? )
где ?[ ] (t0 , t1 , ? ) — индекс, сопоставляющий периоды [t1 , t1 + ? ] (текущий)
и [t0 , t0 + ? ] (базисный), а на месте [ ], как и прежде, стоит либо y — для объем-
ной результирующей величины (стоимости), либо x — для объемной факторной
величины (объема), либо a — для относительной величины (цены).
Если динамика (траектория изменения) показателя [ ](t) в базисном и текущем
периодах одинакова, то для любого t ? [t0 , t0 + ? ] индекс «момент к моменту»
?[ ] (t, t+t1 ?t0 ) неизменен и равен ?[ ] (t0 , t1 ). Тогда для любого t ? [t1 , t1 + ? ] име-
ет место равенство [ ] (t) = [ ] (t ? t1 + t0 ) ?[ ] (t0 , t1 ), и индекс «период к периоду»
объемной величины ( [ ] — есть либо y, либо x) можно представить следующим
образом:

=[ ](t1 ,? )
<? ? ? ? ? ? ? ?=const ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?> ??
t1 +? <? ? ?
? ? ?>
[ ] (t ? t1 + t0 ) ?[ ] (t0 , t1 ) dt
t1
?[ ] (t0 , t1 , ? ) = =
t0 +?
[ ] (t) dt
t0
<???
???>
=[ ](t0 ,? )
t1 +?
[ ] (t ? t1 + t0 ) dt
t1
= ?[ ] (t0 , t1 ) = ?[ ] (t0 , t1 ) ,
t0 +?
[ ] (t) dt
t0
<? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?>
=1

т.е. он совпадает с индексом «момент к моменту».
Для того чтобы такое же равенство имело место для индексов относительной
величины, необходима идентичность динамики в базисном и текущем периодах
времени не только самой относительной величины, но и объемной факторной ве-
личины. Иначе веса ?x (t) в базисном и текущем периодах времени будут различны
116 Глава 3. Индексный анализ

и интегралы в числителе и знаменателе выражения индекса «период к периоду»
относительной величины (после выноса ?a (t0 , t1 ) за знак интеграла в числителе)
не будут равны друг другу.
Тогда, если в базисном и текущем периодах времени одинакова динамика всех
индивидуальных величин, то индексы «период к периоду» совпадают с индексами
Дивизиа. Чаще всего считается, что различия в динамике индивидуальных величин
в базисном и текущем периодах времени не существенны, и в качестве непрерыв-
ных аналогов прикладных индексов поэтому принимают индексы Дивизиа. Именно
на таком допущении построено изложение материала в следующем пункте.
В случае, если указанные различия в динамике величин принимаются значимы-
ми, приходится вводить поправочные коэффициенты к индексам Дивизиа, чтобы
приблизить их к индексам «период к периоду». Теоретический анализ таких индекс-
ных систем в непрерывном времени затруднен и не дает полезных для практики
результатов.


3.6. Прикладные следствия из анализа индексов
в непрерывном времени
Теоретически «правильными» в этом пункте принимаются индексы Дивизиа.
Это предположение можно оспаривать только с той позиции, что внутренняя дина-
мика сопоставляемых периодов времени существенно различается. Здесь предпо-
лагается, что эти различия не значимы. Из проведенного выше анализа индексов
Дивизиа следует по крайней мере три обстоятельства, важные для построения
прикладных индексов.
1) Факторные индексы за период, включающий несколько «единичных» под-
периодов, правильно считать по цепному правилу, а не непосредственно из сопо-
ставления величин на конец и на начало всего периода. Для иллюстрации разумно-
сти такого подхода проведены расчеты в условиях примера, приведенного в конце
предыдущего пункта. Результаты этих расчетов сведены в таблицу 3.6.
Из приведенных данных видно, что

– во-первых, агрегатные индексы, рассчитанные в целом за период (по «кон-
цам»), не реагируют, по понятным причинам, на изменение внутренней ди-
намики и одинаковы для вариантов (а) и (б); индекс Ласпейреса — особенно
в варианте (а) — заметно преуменьшает реальный (по Дивизиа) рост физи-
ческого объема, индекс Пааше, наоборот, преувеличивает этот рост. В другой
(числовой) ситуации индекс Ласпейреса мог бы преувеличивать, а индекс Па-
аше преуменьшать реальную динамику. Важно то, что оба эти индекса дают
оценки динамики существенно отличные от реальной.
117
Прикладные следствия из анализа индексов


Таблица 3.6

Варианты

(а) (б)

Индексы: ?y ?x ?a ?y ?x ?a

Дивизиа 5.0 2.426 2.061 5.0 2.510 1.992

В целом за период — (02)

(1) Ласпейрес—Пааше 5.0 2.333 2.143 5.0 2.333 2.143

(2) Пааше—Ласпейрес 5.0 2.500 2.000 5.0 2.500 2.000

(3) Фишер 5.0 2.415 2.070 5.0 2.415 2.070

По цепному правилу — (012)

(1) Ласпейрес—Пааше 5.0 2.383 2.098 5.0 2.493 2.005

(2) Пааше—Ласпейрес 5.0 2.469 2.025 5.0 2.525 1.980

(3) Фишер 5.0 2.426 2.061 5.0 2.509 1.993


– во-вторых, рассчитанные по цепному правилу индексы имеют более реали-
стичные значения. Так, например, реальный рост физического объема в ва-
рианте (а), равный 2.426, заметно преуменьшенный индексом Ласпейреса
в целом за период — 2.333, получает более точную оценку тем же индексом
Ласпейреса, рассчитанным по цепному правилу, — 2.383. Цепные индексы
дают более правильные оценки динамики. Но, вообще говоря, это свойство
цепных индексов не гарантировано. Так, в варианте (б) физический рост 2.510
преуменьшен индексом Пааше в целом за период — 2.500 (хотя и в мень-
шей степени, чем индексом Ласпейреса — 2.333), и преувеличен этим же
индексом по цепному правилу — 2.525.

Принимая предпочтительность цепного правила, следует с сомнением отне-
стись к принятым правилам расчета объемов в неизменных (сопоставимых) це-

<<

стр. 4
(всего 28)

СОДЕРЖАНИЕ

>>