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Antoine Chambert-Loir




`
ALGEBRE COMMUTATIVE
Antoine Chambert-Loir
´
Centre de Mathe ´matiques, Ecole polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex.
E-mail : chambert@math.polytechnique.fr




Version du 29 novembre 2001, 16h51
Ce cours est le polycopie d™un cours enseigne par correspondance a l™universite Pierre et Marie
´ ´ ` ´
Curie (Paris 6) pendant l™annee scolaire 2000-2001.
´
La version la plus a jour est disponible sur le Web a l™adresse http:// www.polytechnique.fr/
` `
˜chambert/ teach/algcom.pdf
`
ALGEBRE COMMUTATIVE


Antoine Chambert-Loir
Table des matieres
`



Presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
´
Plan provisoire, viii.

1. De¬nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
´
Groupe, 1 ; Groupes abeliens, 2 ; Anneaux, 2 ; Corps, 3 ; Espaces vectoriels, 3 ;
´
Algebres, 3 ; Polynomes, 3 ; Modules, 4 ; Categories, 4 ; Foncteurs, 5 ;
` ˆ ´
Relations d™ordre, 5.

2. Anneaux, ideaux, algebres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
´ `
Premieres proprietes, 7 ; Ideaux, 11 ; Morphismes, 15 ;
` ´´ ´
Algebres et sous-anneaux, 16 ; Exercices, 19 ; Solutions, 20.
`

3. Anneau quotient, localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Anneaux quotients, 25 ; Localisation, 30 ; Exercices, 37 ;
Solutions, 38.

4. Ideaux premiers, maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
´
Ideaux premiers, ideaux maximaux, 43 ; Le theoreme des zeros de Hilbert, 48 ;
´ ´ ´` ´
Exercices, 53 ; Solutions, 55.

5. Anneaux principaux, factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
De¬nitions, 63 ; Anneaux factoriels, 65 ; Sommes de carres, 70 ;
´ ´
Anneaux de polynomes, 73 ; Resultant. Un theoreme de Bezout, 76 ;
ˆ ´ ´` ´
Exercices, 81 ; Solutions, 82.

6. Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Premiers pas, 87 ; Operations sur les modules, 90 ; Generateurs, bases, modules
´ ´´
libres, 94 ; Quotients de modules, 95 ; Localisation des modules, 98 ;
Exercices, 102 ; Solutions, 104.
`
TABLE DES MATIERES
vi



7. Modules de type ¬ni. Anneaux noetheriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
´
Modules de type ¬ni, 113 ; Modules noetheriens. Generalites, 116 ;
´ ´´ ´
Algebres de polynomes, 119 ; Un theoreme de Hilbert, 121 ;
` ˆ ´`
Ideaux premiers minimaux, 125 ; Exercices, 128 ; Solutions, 129.
´
8. Modules de type ¬ni sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Sous-modules d™un module libre, 135 ; Modules de type ¬ni, 139 ;
Exemples, 144 ; Exercices, 147 ; Solutions, 149.
9. Corps et algebres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
`
´´
Elements entiers, algebriques, 155 ; Extensions entieres, algebriques, 158 ;
´ ` ´
Construction d™extensions algebriques, 161 ; Exercices, 165 ;
´
Solutions, 166.
10. Algebre homologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
`
Suites exactes, 173 ; Suites exactes scindees. Modules projectifs et injectifs, 176 ;
´
Foncteurs exacts, 181 ; Modules differentiels. Homologie et cohomologie, 184 ;
´
Exercices, 189 ; Solutions, 191.
11. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
De¬nition, 195 ; Quelques proprietes, 198 ; Changement de base, 203 ;
´ ´´
Adjonction et exactitude, 205 ; Exercices, 207 ; Solutions, 209.
12. Modules, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Longueur, 215 ; Modules et anneaux artiniens, 218 ;
Support et ideaux associes, 222 ; Decomposition primaire, 226 ; Exercices, 230 ;
´ ´ ´
Solutions, 233.
13. Extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Corps ¬nis, 241 ; Separabilite, 243 ; Theorie de Galois, 246 ;
´ ´ ´
Complements, 251 ; Degre de transcendance, 255 ; Exercices, 259 ;
´ ´
Solutions, 262.
14. Algebres de type ¬ni sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
`
Le theoreme de normalisation de Noether, 273 ; Finitude de la cloture
´` ˆ
integrale, 276 ; Dimension et degre de transcendance, 278 ; Exercices, 280 ;
´ ´
Solutions, 281.
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Presentation
´


Le c“ur de l™algebre commutative est la notion d™anneau (commutatif unitaire)
`
qui est la structure alge ´brique correspondant aux concepts colle ´giens d™addi-
tion, de soustraction et de multiplication. Par la, elle a deux grands champs
`
d™application :
“ l™arithme´tique, via diverses notions comme la divisibilite les ide
´, ´aux, les
nombres premiers, la re ´duction modulo un nombre premier, etc. ;
´tudie les parties de Cn de
“ la ge ´ome´trie (alge´brique) qui e ´¬nies par des
e
´quations polynomiales.
ˆ
Cependant, elle permet aussi de re ´interpre
´ter des structures pre ´demment
´ce
e
´tudie au cours du cursus universitaire. Par exemple, la the
´es ´orie des modules
sur un anneau principal fournit a la fois
`
“ un the ` me de structure pour les groupes abe
´ore ´liens ¬nis a savoir que pour
`
tout groupe abe ´lien ¬ni G, il existe une unique suite d™entiers (d1 ; : : : ; dr ) tels
que d1 divise d2 . . .qui divise dr tel que G = (Z=d1 Z) (Z=dr Z).
“ une condition ne ´cessaire et suf¬sante calculable pour savoir si deux matrices
de Mn (R) sont semblables.

Ce cours est constitue d™une quinzaine de chapitres. Chaque chapitre sauf le
´
premier contient
“ des e´nonce (propositions, the ` mes) ;
´s ´ore
“ leur de´monstration ;
“ des exercices dans le corps du texte dont la solution n™est pas donne : elle
´e
se trouve d™une fa¸ on ou d™une autre dans l™e
c ´nonce ou dans la de
´ ´monstration
d™un re´sultat du cours. L™e
´tudiant ayant appris convenablement le cours est cense´
etre en mesure de les re
ˆ ´soudre sans effort notable ;
“ un paragraphe d™exercices (entre 5 et 10), et leur solution au paragraphe
suivant. Ces exercices constituent les feuilles de TD et doivent etre cherche
ˆ ´s.
D™abord sans l™aide de la correction pendant un temps raisonnable (ne pas
de´clarer forfait avant au moins une heure), puis avec la correction
´
PRESENTATION
viii



Les e
´nonce et leurs de
´s ´monstrations doivent etre sus, les exercices assimile
ˆ ´s.


Plan provisoire
1. De´¬nitions ;
2. Anneaux, ide ´aux ;
3. Anneaux quotients, localisation ;
4. Ide´aux premiers, maximaux. Le the ` me des ze
´ore ´ros de Hilbert ;
5. Anneaux principaux, anneaux factoriels. Le the ` me de Be
´ore ´zout ;
6. Modules. Modules quotients, localisation ;
7. Produit tensoriel ;
8. Algebre homologique ;
`
9. Modules de type ¬ni. Anneaux noethe ´riens ;
10. Modules de type ¬ni sur un anneau principal ;
´ ´ments entiers, alge
11. Ele ´briques. Degre de transcendance ;
´
12. Modules simples, longueur. Anneaux et modules artiniens ;
13. Algebres de type ¬ni sur un corps.
`
1 De¬nitions
´




Dans ce chapitre, nous regroupons la plupart des de¬nitions importantes. Il est impor-
´
tant de les apprendre tout de suite, meme si certaines structures ne seront pas etudiees
ˆ ´ ´
avant plusieurs chapitres. Les manier des le debut du cours fournit cependant un
` ´
langage commode a l™algebriste et permet d™aborder des exemples plus interessants.
` ´ ´



1.1. Groupe
´ration interne (g; g 0 ) 7! g g 0
Un groupe est un ensemble G muni d™une ope
ve´ri¬ant les proprie ´s suivantes :
´te
“ il existe un e ´ment e 2 G tel que pour tout g 2 G, e g = g e = g (existence
´le
d™un element neutre) ;
´´
“ pour tout g 2 G, il existe g 0 2 G tel que g g 0 = g 0 g = e (existence d™un
inverse) ;
“ pour tous g, g 0 , g 00 dans G, on a g (g 0 g 00 ) = (g g 0 ) g 00 (associativite ).
´
De nombreuses autres notations existent pour la loi interne : outre , citons
, , +, , , :, etc. Quand il ne peut pas y avoir de confusion, il est souvent
courant de ne pas mettre de symbole et de noter tout simplement gg 0 le produit
de deux e ´ments g et g 0 d™un groupe G. Surtout quand la loi est note , l™inverse
´le ´
d™un e ´ment g est note g 1 .
´le ´
L™e ´ment neutre peut aussi etre note eG (s™il y a plusieurs groupes), 1, ou
´le ˆ ´
1G , ou 0 (ou 0G ) si la loi est note +.
´e
Comme exemples de groupes, citons le groupe Sn des permutations de l™ensemble
f1; : : : ; ng (la loi est la composition), le groupe Z des entiers relatifs (pour
l™addition), l™ensemble des re ´els non nuls (pour la multiplication), tout espace
vectoriel (pour l™addition), l™ensemble des matrices n n inversibles (pour la
multiplication), l™ensemble des matrices n n orthogonales (encore pour la
multiplication).
´
CHAPITRE 1. DEFINITIONS
2



Si G et H sont deux groupes, un homomorphisme de groupes f : G ! H est une
application f telle que f (gg 0 ) = f (g)f (g 0 ) pour tous g et g 0 dans G. Si f : G ! H
est un homomorphisme, on a f (eG ) = eH et pour tout g 2 G, f (g 1 ) = f (g) 1 .


1.2. Groupes abeliens
´
On dit qu™un groupe G est abe ´lien si sa loi est commutative, c™est-a-dire si
`
pour tous g et g 0 2 G, on a g g 0 = g 0 g. Dans ce cas, on note souvent la loi +,
g l™inverse d™un e ´ment g et 0 ou 0G l™e ´ment neutre ; on l™appelle addition.
´le ´le


1.3. Anneaux
Un anneau est un groupe abe ´lien A note additivement muni d™une ope
´ ´ration
de multiplication (a; b) 7! ab et d™un e ´ment 1 tel que pour tous a, b, c dans A,
´le
on ait
“ associativite : a(bc) = (ab)c ;
´
“ commutativite : ab = ba ;
´
“ e ´ment neutre : 1a = a ;
´le
“ distributivite : a(b + c) = ab + ac.
´
Les anneaux ainsi de ´¬nis sont commutatifs et unitaires. On rencontre aussi des
anneaux non commutatifs dans lequel la relation de commutativite n™est pas ´
impose ; il faut alors renforcer la proprie ´ de l™e ´ment neutre en imposant a 1
´e ´te ´le `
d™etre un e ´ment neutre a la fois a droite et a gauche : 1a = a1 = a, ainsi que la
ˆ ´le ` ` `
proprie ´ de distributivite en rajoutant l™axiome (a + b)c = ac + bc. Toutefois, sauf
´te ´
pre´cision supple ´mentaire, les anneaux seront toujours suppose commutatifs.
´s
Comme exemples d™anneaux, citons l™anneau Z des entiers relatifs, mais aussi
les corps Q des nombres rationnels, R des nombres re ´els, etc. Citons aussi l™anneau
R[X] des polynomes en une inde
ˆ ´termine a coef¬cients re
´e ` ´els et les anneaux
Ck (I; R) des fonctions k-fois continument de
ˆ ´rivables d™un intervalle I de R a `
valeurs dans R. Dans ce dernier cas, le fait que la loi soit bien de ´¬nie revient
a l™e
` ´nonce bien connu selon lequel la somme et le produit de fonctions k-fois
´
continument de
ˆ ´rivables le sont aussi. Un exemple d™anneau non commutatif
est fourni par l™ensemble des matrices n n a coef¬cients dans un anneau A
`
quelconque, par exemple Mn (R).
Soit a un e ´ment d™un anneau A. S™il existe b 2 A tel que ab = 1, on dit que
´le
a est inversible. L™ensemble des e ´ments inversibles de A forme un groupe pour
´le
la multiplication, d™e ´ment neutre 1.
´le
Si A et B sont deux anneaux, un homomorphisme d™anneaux de A dans B
est une application f : A ! B telle que l™on ait pour tous a et a0 2 A,
“ f (0A ) = 0A , f (1A ) = 1B ;
ˆ
1.7. POLYNOMES 3



“ f (a + a0 ) = f (a) + f (a0 ) ;
“ f (aa0 ) = f (a)f (a0 ).


1.4. Corps
Un corps est un anneau non nul dans lequel tout e ´ment non nul est inversible.
´le
Les corps que l™on rencontre le plus fre
´quemment sont les nombres rationnels
Q, les nombres re ´els R et les nombres complexes C. Citons aussi les corps des
fractions rationnelles a coef¬cients re
` ´els ou complexes, R(X) et C(X).


1.5. Espaces vectoriels
Un espace vectoriel sur un corps k (dit aussi k-espace vectoriel) est un groupe
´lien V, note additivement, muni d™une loi k V ! V, produit externe, note
abe ´ ´
multiplicativement, ve ´ri¬ant les proprie ´s suivantes : pour tous a et b dans k et
´te
pour tous v et w dans V, on a
“ 1v = v ;
“ associativite : (ab)v = a(bv) ;
´
“ distributivite : (a + b)v = av + bv et a(v + w) = av + aw.
´


1.6. Algebres
`
Soit k un anneau. Une k-algebre est un anneau A muni d™un homomorphisme
`
d™anneaux k ! A. Cet homomorphisme n™est pas force ´ment injectif ; lorsqu™il
l™est, on peut identi¬er k a son image f (k) par f , qui est un sous-anneau de A.
`
Donnons quelques exemples : C est une R-algebre (le morphisme R ! C est
`
l™inclusion e´vidente) ; l™anneau des polynomes R[X] en une variable est aussi
ˆ
une R-algebre.
`


1.7. Polynomes
ˆ
Soit k un anneau et n un entier naturel, n 1. L™anneau des polynomes en n
ˆ
inde
´termine (ou variables) k[X1 ; : : : ; Xn ] est de
´es ´¬ni de la fa¸ on suivante. Un
c
monome est une expression de la forme
ˆ
Xm1 : : : Xmn
n
1

ou 2 k et m1 ; : : : ; mn sont des entiers 0. Un polynome est une somme d™un
` ˆ
nombre ¬ni de monomes. L™addition et la multiplication s™effectuent « comme
ˆ
on l™imagine ».
Si l™on ne veut pas se contenter de cette de ´¬nition impre
´cise, on peut consi-
n)
´rer l™ensemble k (N des familles presque nulles d™e ´ments de k indexe par
de ´le ´es
´
CHAPITRE 1. DEFINITIONS
4



l™ensemble Nn des n-uplets d™entiers positifs ou nuls. Sur cet ensemble, on de´¬nit
deux lois + et comme suit. Soit = ( m )m2Nn et 0 = ( 0m )m2Nm deux e ´ments
´le
n)
de k (N , on pose
0 0
+ =( + m )m2Nm
m

et
0 0
X
=; i i0 :
=
m
i;i0 2Nn
i+i0 =m

Il faut ve
´ri¬er que ces formules ont un sens, c™est-a-dire que toutes les sommes
`
sont ¬nies. On de ´¬nit aussi 0 la famille identiquement nulle, 1 la famille telle
que 1m = 0 pour m 6= 0 et 10 = 1. On de ´¬nit aussi, si i 2 f1; : : : ; ng, Xi comme
la famille identiquement nulle excepte pour l™indice (0; : : : ; 1; : : : ; 0), le 1 e
´ ´tant
en position i, ou la valeur est 1. On peut ve
` ´ri¬er que cette construction de ´¬nit
un anneau, note k[X1 ; : : : ; Xn ], et meme une k-algebre, via l™homomorphisme
´ ˆ `
k ! k[X1 ; : : : ; Xn ] tel que 7! 1.


1.8. Modules
Si A est un anneau, un A-module est un groupe abe ´lien M muni d™une loi
externe A M ! M qui ve ´ri¬e exactement les memes axiomes que ceux d™un
ˆ
espace vectoriel : pour tous m et m0 dans M et pour tous a et b dans A, on a
“ 1m = m ;
“ associativite : (ab)m = a(bm) ;
´
“ distributivite : (a + b)m = am + bm et a(m + m0 ) = am + am0 .
´
Un homomorphisme de A-modules f : M ! N est une application telle que
pour tous m et m0 dans M et pour tous a 2 A, on ait :
“ f (m + m0 ) = f (m) + f (m0 ) ;
“ f (am) = af (m).
(C™est l™analogue pour les modules des applications line ´aires entre espaces vec-
toriels.)


1.9. Categories
´
Lorsqu™on manipule un grand nombre de structures alge ´briques, le langage
des categories est utile. Leur introduction rigoureuse ne
´cessite des pre´cautions
´
importantes en the ´orie des ensembles que nous passons sous silence ici.
Une categorie C est la donne d™une collection ob C, appele objets de C, et
´e ´e
´
pour tout couple (A; B) d™objets, d™un ensemble HomC (A; B) dont les e ´ments
´le
sont appele morphismes de A dans B. Si A, B et C sont trois objets de C, on
´s
1.11. RELATIONS D™ORDRE 5



dispose d™une application de composition des morphismes
HomC (A; B) ! HomC (A; C); (f; g) 7! f g:
HomC (B; C)
Si A est un objet de C, on suppose aussi donne un morphisme identite IdA 2
´ ´
HomC (A; A). On demande en¬n que soient ve ´s les axiomes :
´ri¬e
“ pour tout f 2 HomC (A; B), f IdA = IdB f = f ;
“ pour tous f 2 HomC (C; D), g 2 HomC (B; C), h 2 HomC (A; B), on a
f (g h) = (f g) h (associativite de la composition).
´
On note aussi f : A ! B au lieu de f 2 HomC (A; B).
Les structures introduites plus haut donnent lieu a des cate
` ´gories : les cate´gories
Gr des groupes, AbGr des groupes abe ´liens, Ann des anneaux, Corps des corps,
Evk des k-espaces vectoriels, Algk des k-algebres, Modk des k-modules.
`


1.10. Foncteurs
Si C et C0 sont deux cate ´gories, un foncteur F : C ! C0 est la donne :
´e
“ pour tout objet A 2 ob C, d™un objet F(A) 2 ob C0 ;
2
“ pour tout morphisme f HomC (A; B), d™un morphisme
F(f ) 2 HomC0 (F(A); F(B))
de sorte que soient ve ´es les proprie ´s suivantes :
´ri¬e ´te
et F(f ) F(g) = F(f g):
F(IdA ) = IdF(A)
Un tel foncteur est aussi appele foncteur covariant. Il existe aussi des foncteurs
´
contravariants qui changent le sens des ¬‚eches : si f : A ! B, F(f ) est un
`
morphisme F(B) ! F(A) et F(f g) = F(g) F(f ).
Les foncteurs suivants sont appele foncteurs d™oubli car ils consistent a oublier
´s `
une partie de la structure d™un objet alge ´brique. Ils envoient un objet sur le
meme objet de la structure plus pauvre, un morphisme sur le meme morphisme.
ˆ ˆ
“ AbGr ! Gr : un groupe abe ´lien est un groupe ;
“ AbGr ! AbGr, Evk ! AbGr : un anneau, un espace vectoriel sont des
groupes abe ´liens ;
“ Corps ! Ann, Algk ! Ann : un corps, une k-algebre sont aussi des anneaux.
`
Il existe aussi des foncteurs plus subtils, comme le foncteur Ann ! AbGr qui
associe a un anneau A le groupe multiplicatif A des e ´ments inversibles de A.
` ´le


1.11. Relations d™ordre
Une relation d™ordre sur un ensemble X est une relation „ ve
´ri¬ant les axiomes
“ x „ x;
“ si x „ y et y „ z, alors x „ z ;
“ si x „ y et y „ x, alors x = y.
´
CHAPITRE 1. DEFINITIONS
6



Si „ est une relation d™ordre, on de ´¬nit la relation comme x „ y si et seulement
si y x.
Comme exemples, citons la relation d™ordre usuelle sur les re et la divisibilite
´els ´
sur les entiers naturels non nuls. Citons aussi la relation d™inclusion sur les parties
d™un ensemble.
Un ordre „ sur X est dit total si pour tout couple (x; y) d™e ´ments de X, ou
´le
bien x „ y, ou bien y „ x.
Dans un ensemble ordonne (X; „), un e ´ment maximal est un e ´ment x tel
´ ´le ´le
qu™il n™existe pas de y 2 X, y 6= x ve ´ri¬ant y x. Un plus grand element est un
´´
e ´ment x tel que pour tout y 2 X, y „ x. Attention, lorsque la relation d™ordre
´le
n™est pas totale, ces deux notions sont distinctes.
On utilisera a plusieurs reprises le lemme de Zorn. C™est un re
` ´sultat de logique,
e
´quivalent a l™axiome du choix, dont l™inte ˆ t est d™impliquer l™existence de
` ´re
nombreux objets inte ´ressants en mathe ´matiques : bases et supple ´mentaires en
the´orie des espaces vectoriels, cloture alge
ˆ ´brique d™un corps, ide ´aux maximaux
d™un anneau, le the ` me de Hahn“Banach en analyse fonctionnelle, etc. Il
´ore
implique aussi l™existence de nombreux objets pathologiques tels des ensembles
non mesurables ou ” c™est le paradoxe de Banach“Tarski ” deux partitions de
la sphere S2 R3 de la forme S2 ti2I Xi = ti2I (Yi t Zi ) tel que pour tout i, Xi , Yi
`
et Zi soient images l™un de l™autre par un de ´placement. C™est pourquoi certains
mathe ´maticiens le rejettent.
Lemme 1.11.1 (Zorn). ” Soit (X; „) un ensemble ordonne veri¬ant la propriete sui-
´´ ´´
vante : toute partie de X totalement ordonnee admet un majorant dans X (on dit que X est
´
inductif). Alors, X admet un element maximal.
´´
2 Anneaux, ideaux, algebres
´ `




Ce chapitre introduit les notions d™anneaux et d™ideaux. Ces deux notions formalisent
´
les methodes de calcul bien connues avec les nombres entiers : on dispose d™une addition,
´
d™une multiplication, de deux symboles 0 et 1 et des regles de calcul usuelles.
`




2.1. Premieres proprietes
` ´´
De¬nition 2.1.1. ” On appelle anneau un groupe abelien A note additivement muni
´ ´
´
d™une loi de multiplication A A ! A, (a; b) 7! ab veri¬ant les proprietes suivantes :
´ ´´
“ il existe un element 1 2 A tel que pour tout a 2 A, 1a = a (element neutre pour la
´´ ´´
multiplication) ;
“ pour tous a et b dans A, ab = ba (commutativite) ;
´
“ pour tous a, b et c dans A, a(b + c) = ab + ac (distributivite).
´

Les axiomes ci-dessous permettent un calcul analogue a celui dont on a
`
l™habitude dans les entiers. Si a est un e ´ment d™un anneau A et si n est un
´le
´¬nit an par re
´currence en posant a0 = 1 et, si n 1,
entier positif ou nul, on de
an = a(an 1 ).
On peut de ´duire de ces axiomes des proprie ´s familieres.
´te `

´montrer que pour tout a 2 A, 0a = 0 (on dit que 0 est
Exercice 2.1.2. ” a) De
absorbant pour la multiplication).
b) Si e 2 A est un e ´ment tel que pour tout a 2 A, ea = a, alors e = 1 (unicite
´le ´
de l™e ´ment neutre pour la multiplication).
´le
c) Pour tout a 2 A, on a ( 1)a = a.
d) Si 1 = 0 dans A, alors A = f0g. On dit que A est l™anneau nul.
e) Pour tout a 2 A et pour tous entiers m, n 0, on a am+n = am an .
´ `
CHAPITRE 2. ANNEAUX, IDEAUX, ALGEBRES
8



f) La formule du binome est valide : si a et b 2 A et n 0, on a
ˆ
‚Ã
n
X n knk
(a + b)n = ab :
k
k=0

Certains e ´ments d™un anneau ont des proprie ´s particulieres inte
´le ´te ` ´ressantes
par rapport a la multiplication, ce qui justi¬e quelques de
` ´¬nitions.
De¬nition 2.1.3. ” Soit A un anneau et soit a un element de A.
´´
´
On dit que a est inversible, ou que a est une unite de A, s™il existe b 2 A tel que ab = 1.
´
Un tel b est necessairement unique, c™est l™ inverse de a ; on le note souvent a 1 .
´
On dit que a est diviseur de ze s™il existe b 2 A, b 6= 0 tel que ab = 0. On dit que a
´ro
est simpli¬able s™il n™est pas diviseur de zero, c™est-a-dire si la relation ab = 0 abec b 2 A
´ `
implique b = 0.
On dit en¬n que a est nilpotent s™il existe n 1 tel que an = 0.
Proposition 2.1.4. ” L™ensemble des elements inversibles d™un anneau A est un groupe
´´
pour la multiplication. On le note A ; c™est le groupe des unite de A.
´s
Demonstration. ” Soit a et b deux e ´ments de A, d™inverses a 1 et b 1 . Alors,
´le
´
(ab)(a b ) = (aa )(bb ) = 1, si bien que ab est inversible d™inverse a 1 b 1 . La
11 1 1

multiplication de A de´¬nit ainsi une loi interne sur A . De plus, 1 est inversible
et est un e ´ment neutre pour cette loi. En¬n, si a 2 A , son inverse pour cette
´le
loi n™est autre que a 1 . Ainsi, A est un groupe pour la multiplication.
Exercice 2.1.5. ” Soit A un anneau.
0 est tel que xn+1 = 0, calculer
a) Soit x 2 A un e ´ment nilpotent. Si n
´le
+ ( 1)n xn ). En de
(1 + x)(1 x + x2 ´duire que 1 + x est inversible dans A.
b) Soit x 2 A un e ´ment inversible et y 2 A un e ´ment nilpotent, montrer
´le ´le
que x + y est inversible.
c) Si x et y sont deux e ´ments nilpotents de A, montrer que x+y est nilpotent.
´le
(Si n et m sont deux entiers tels que xn+1 = y m+1 = 0, on utilisera la formule du
binome pour calculer (x + y)n+m+1 .)
ˆ
Encore un peu de terminologie :
De¬nition 2.1.6. ” Soit A un anneau non nul.
´
On dit que A est integre s™il n™a pas de diviseur de zero autre que 0 (autrement dit, si
` ´
tout elemement non nul est simpli¬able).
´´ ´
On dit que A est re
´duit si 0 est le seul element nilpotent de A.
´´
On dit que A est un corps si tout element non nul de A est inversible.
´´
En particulier, l™anneau nul n™est ni integre ni reduit.
` ´
Exercice 2.1.7. ” Soit A un anneau ¬ni integre. Alors, A est un corps.
`
` ´´
2.1. PREMIERES PROPRIETES 9



Solution. ” Soit a un e ´ment non nul de A. On doit prouver que a est inversible
´le
dans A. Soit ' : A ! A l™application telle que '(b) = ab. Alors, ' est injective :
si '(b) = '(b0 ), on a ab = ab0 , donc a(b b0 ) = 0. Comme A est integre et a 6= 0,
`
0
b b = 0. Par suite, le cardinal de '(A) est e ´gal au cardinal de A. Comme '(A)
est une partie de A, '(A) = A. Ainsi, ' est surjectif et il existe b 2 A tel que
ab = 1.

Exemple 2.1.8. ” Soit A un anneau integre. L™anneau A[X] des polynomes en
` ˆ
une inde´termine a coef¬cients dans A est integre.
´e ` `

Avant de de´montrer ce fait, rappelons que l™on dispose d™une fonction degre´
n
ak Xk avec
P
sur l™anneau A[X] : un polynome non nul P 2 A[X] peut s™e
ˆ ´crire
k=0
an 6= 0 pour un unique entier n 0 ; on pose alors deg P = n. Par convention,
on pose deg(0) = 1. De plus, si P et Q sont des polynomes de A[X], on
ˆ
a deg(P + Q) „ max(deg P; deg Q) et deg(PQ) „ deg P + deg Q (ces formules
sont vraies meme si P, Q, P + Q ou PQ est nul, avec les conventions naturelles
ˆ
max( 1; x) = 1 et 1 + x = 1 pour tout x 2 N [ f 1g).

Demonstration. ” Si P et Q sont deux polynomes non nuls, on veut prouver que
ˆ
´
PQ 6= 0. On peut e´crire
deg P deg Q
k
bk Xk
X X
et Q =
ak X
P=
k=0 k=0

avec adeg P 6= 0 et bdeg Q 6= 0. Alors,
!
deg P+deg Q min(deg P;k)
Xk :
X X
am b k
PQ = m
m=0
k=0

En particulier, le terme de degre deg P + deg Q a pour coef¬cient adeg P bdeg Q .
´
Comme A est integre, ce coef¬cient est non nul et PQ 6= 0.
`

Le raisonnement ci-dessus montre donc que si P et Q sont deux polynomes a
ˆ `
coef¬cients dans un anneau integre, deg(PQ) = deg P + deg Q. La notion de
`
degre d™un polynome intervient aussi dans le the ` me de division euclidienne :
´ ˆ ´ore

Theoreme 2.1.9. ” Soit A un anneau et soit P et Q deux polynomes de A[X]. On
ˆ
´`
suppose que Q 6= 0 et que le coef¬cient du terme de plus haut degre de Q est inversible(1) .
´
Alors, il existe un unique couple de polynomes (R; S) dans A[X] veri¬ant les proprietes
ˆ ´ ´´
“ P = RQ + S ;
“ deg S < deg Q.

(1)
Un tel polynome est appele unitaire
ˆ ´
´ `
CHAPITRE 2. ANNEAUX, IDEAUX, ALGEBRES
10



Demonstration. ” On commence par l™unicite Si P = RQ + S = R0 Q + S0 , alors
´.
´
Q(R0 R) = S0 S est de degre au plus max(deg S; deg S0 ) < deg Q. Supposons
´
R 6= R0 , c™est-a-dire R0 R 6= 0. Alors, si uXdeg Q et aXm sont les termes de plus
`
haut degre dans Q et R0 R respectivement, le terme de plus haut degre dans
´ ´
Q(R0 R) est donne par auXm+deg Q . Comme u est inversible et a 6= 0, au 6= 0.
´
Ainsi, Q(R0 R) est de degre m + deg Q
´ deg Q. Cette contradiction montre
0 0 0
que R = R , puis S = P RQ = P R Q = S .
Montrons maintenant l™existence du couple (R; S) comme dans le the ` me. ´ore
Notons toujours uXdeg Q le terme de plus haut degre de Q. On raisonne par
´
re
´currence sur le degre de P. Si deg P < deg Q, il suf¬t de poser R = 0
´
et S = P. Sinon, soit aXdeg P le terme de plus haut degre de P. Alors, P0 =
´
P au 1 Xdeg P deg Q Q est un polynome de degre au plus deg P mais dont le
ˆ ´
´gal a a au 1 u = 0. Ainsi, deg P0 < deg P.
coef¬cient du terme de degre deg P est e
´ `
´currence, il existe deux polynomes R0 et S0 dans A[X] tels que
Par re ˆ
P0 = R 0 Q + S 0 deg S0 < deg Q:
et
Alors, on a
P = P0 + au 1 Xdeg P Q = (R0 + au 1 Xdeg P )Q + S0 :
deg Q deg Q


Il suf¬t maintenant de poser R = R0 + au 1 Xdeg P et S0 = S. Le the ` me est
deg Q
´ore
donc de ´montre´.

L™exercice suivant munit le produit de deux anneaux d™une structure d™anneau
et en e
´tudie quelques proprie ´s. Un sous-anneau B d™un anneau A est un sous-
´te
groupe de A pour l™addition qui contient 1 et est stable par la multiplication.

Exercice 2.1.10 (Anneau produit). ” 1) Soit A et B deux anneaux. On munit le
´¬nissant pour a et a0 2 A, b et
groupe abe ´lien A B d™une loi interne en de
b0 2 B, (a; b) (a0 ; b0 ) = (aa0 ; bb0 ).
a) Montrer que cette loi confere a A B une structure d™anneau. Quel est
``
l™e ´ment neutre pour la multiplication ?
´le
b) L™anneau A et B est-il integre ? Quels sont ses e ´ments nilpotents ?
` ´le
´ri¬ent e2 = e
c) Montrer que les e ´ments e = (1; 0) et f = (0; 1) de A B ve
´le
et f 2 = f . On dit que ce sont des idempotents.
2) Soit A un anneau et e 2 A un idempotent.
a) Montrer que 1 e est un idempotent de A.
b) Montrer que eA = fea ; a 2 Ag est un sous-anneau de A.
c) Montrer que A ' eA (1 e)A.(2)

(2)
Le symbole ' signi¬e « isomorphe ». Cette notion d™isomorphisme est de
´¬nie un peu plus
loin.
´
2.2. IDEAUX 11



2.2. Ideaux
´
De¬nition 2.2.1. ” On appelle ide d™un anneau A tout sous-groupe I
´al A tel que
´
pour tout a 2 A et tout b 2 I, ab 2 I.

Autrement dit, un ide d™un anneau A est un sous-A-module de A (vu comme
´al
A-module sur lui-meme). Remarquons aussi que 0 et A sont des ide
ˆ ´aux de A.
Une autre conse ´quence de la de´¬nition est que pour toute famille presque nulle
P
(as )s2S d™e ´ments d™un ide I, la somme as est encore un e ´ment de I.
´le ´al ´le
s
Comme 1 est un e ´ment de A, pour prouver qu™une partie I de A est un
´le
ide il suf¬t d™e
´al, ´tablir les faits suivants :
“ 0 2 I;
“ si a 2 I et b 2 I, a + b 2 I ;
“ si a 2 A et b 2 I, ab 2 I.

Exemple 2.2.2. ” Si A est un anneau et x 2 A, l™ensemble (x) = fax ; a 2 Ag est
un ide de A. Un tel ide est dit principal.
´al ´al

Exemple 2.2.3. ” Si K est un corps, les seuls ideaux de K sont (0) et K. En effet, soit I
´
un ide de K distinct de 0 et soit a un e ´ment non nul de I. Soit b un e ´ment
´al ´le ´le
de K. Comme a 6= 0, on peut conside ´rer l™e ´ment b=a de K et par de
´le ´¬nition
d™un ide (b=a)a 2 I. On a donc b 2 I, d™ou I = K.
´al `

De¬nition 2.2.4. ” On dit que deux elements a et b d™un anneau A sont associe s™il
´s
´´
´
existe un element inversible u 2 A tel que a = bu.
´´

La relation « etre associe » est une relation d™e
ˆ ´ ´quivalence.

Exercice 2.2.5. ” Soit A un anneau et soit a, b deux e ´ments de A. S™ils sont
´le
associe montrer que les ide
´s, ´aux (a) et (b) sont e
´gaux. Re ´ciproquement, si A
est integre et si (a) = (b), montrer que a et b sont associe
` ´s.

Exemple 2.2.6. ” Si I est un ide de Z, il existe un unique entier n
´al 0 tel que
I = (n).

Demonstration. ” Si I = (0), n = 0 convient.
´
Supposons maintenant I 6= (0). Si I = (n), on constate que les e ´ments ´le
strictement positifs de I sont fn; 2n; 3n; : : :g et que n est le plus petit d™entre eux
” ce qui montre l™unicite d™un e
´ ´ventuel entier n comme dans l™e ´nonce ´.
Notons donc n le plus petit e ´ment de I \ N . Comme n 2 I, an 2 I pour
´le
tout a 2 Z et (n) I. Re ´ciproquement, soit a est un e ´ment de I. La division
´le
´crit a = qn + r, avec q 2 Z et 0 „ r „ n 1. Comme a 2 I
euclidienne de a par n s™e
et comme qn 2 I, r = a qn appartient a I. Comme n est le plus petit e ´ment
` ´le
´ `
CHAPITRE 2. ANNEAUX, IDEAUX, ALGEBRES
12



strictement positif de I et comme r < n, on a ne
´cessairement r = 0. Par suite,
a = qn 2 (n) et I (n). Ainsi, I = (n).

On dispose d™un certain nombre d™ope
´rations inte
´ressantes sur les ide
´aux.

´aux de A, l™ensemble I \ J est encore
2.2.7. Intersection. ” Si I et J sont deux ide
un ide de A. Plus ge ´ralement, l™intersection d™une famille (non vide) d™ide
´al ´ne ´aux
de A est encore un ide de A.
´al
T
Demonstration. ” Soit (Is )s une famille d™ide ´aux de A et posons I = Is . L™in-
´
s
tersection d™une famille de sous-groupes est encore un sous-groupe, donc I est
un sous-groupe de A. Soit maintenant x 2 I et a 2 A arbitraires et montrons que
ax 2 I. Pour tout s, x 2 Is et Is e
´tant un ide on a donc ax 2 Is . Par suite, ax
´al,
appartient a tous les Is donc ax 2 I.
`

2.2.8. Ideal engendre par une partie. ” Si S est une partie de A, il existe un plus
´ ´
petit ide de A contenant S, note hSi et appele ideal engendre par S. Cela signi¬e
´al ´ ´´ ´
que hSi est un ide contenant S et que si I est un ide contenant S, alors I
´al ´al
contient de ` hSi. En effet, il suf¬t de poser
´ja
\
hSi = I
SIA

ou I parcourt l™ensemble (non vide) des ide
` ´aux de A contenant S. Cet ensemble
est effectivement non vide car A est un ide de A contenant S. De plus, hSi est
´al
P
l™ensemble des combinaisons line ´aires presque nulle as s.
s2S

Demonstration. ” Notons IS l™ensemble des ide ´aux de A qui contiennent S. Si
´
P
(as ) est une famille presque nulle d™e ´ments de A,
´le as s est un e
´lement de
s2S
tout ide de A contenant S, donc de hSi, si bien que hSi contient IS .
´al
P
Re´ciproquement, montrons que IS est un ide de A. Il contient 0 = 0s ; si
´al
s2S
P P
as s et bs s sont des e ´ments de IS , la famille (as +bs )s2S est une famille presque
´le
P P
nulle d™e ´ments de A et (as + bs )s 2 IS ; en¬n, si a 2 A et si x = as s 2 IS , on
´le
P P
a ax = a( as s) = (aas )s 2 IS et IS est bien un ide de A.
´al
P
Comme IS contient S (si t 2 S, t = as t avec at = 1 et as = 0 si s 6= t). Par
s2S
suite, hSi est contenu dans IS , d™ou ¬nalement l™e
` ´galite
´.

Exercice 2.2.9. ” Soit A un anneau.
a) Soit x 2 A. Montrer que tout ide I de A contenant x contient aussi (x),
´al
de sorte que (x) est le plus petit ide de A contenant x.
´al
´
2.2. IDEAUX 13



b) Si x1 ; : : : ; xn sont des e ´ments de A, l™ensemble (x1 ; : : : ; xn ) =
´le
fa1 x1 + + an xn ; a1 ; : : : ; an 2 Ag est le plus petit ide de A contenant
´al
x1 ; : : : ; x n .
c) Plus ge ´ralement, si (xi )i2I est une famille d™e ´ments de A, l™ensemble des
´ne ´le
P
combinaisons line ´aires ai xi ou (ai )i2I est une famille presque nulle d™e ´ments
` ´le
de A est le plus petit ide de A contenant les xi .
´al

2.2.10. Somme d™ideaux. ” Soit I et J deux ide´aux de A. L™ensemble des sommes
´
a + b avec a 2 I et b 2 J est un ide de A, note I + J. C™est aussi l™ide de A
´al ´ ´al
engendre par la partie I [ J. Plus ge ´ralement, si (Is )s2S est une famille d™ide
´ ´ne ´aux
P
de A, l™ensemble des sommes (presque nulles) as , ou pour tout s, as 2 Is , est
`
s S
P
un ide de A note Is . C™est aussi l™ide de A engendre par la partie Is .
´al ´ ´al ´
s s
P P
Demonstration. ” Comme 0 = 0 et comme 0 2 Is pour tout s, 0 2 Is . Ensuite,
´
s s
P P P P
si a = as et b = bs sont deux e ´ments de
´le Is , on a a + b = (as + bs ) ou
`
s s s s
pour tout s, as + bs 2 Is , presque tous les termes de cette somme e ´tant nuls. Donc
P P P
a + b 2 Is . Finalement, si a = as appartient a Is et b 2 A, on a ba = (bas ).
`
s s s
P P
Pour tout s, bas 2 Is , donc ba 2 Is . Ainsi, Is est bien un ide de A. ´al
s s S
Pour montrer que c™est l™ide de A engendre par la partie Is , nous devons
´al ´
sP
´tablir deux inclusions. Tout d™abord, si t 2 S et a 2 It , on a a = as avec as = 0
e
s
P P
si s 6= t et at = a. Donc a 2 Is et l™ide ´al Is contient It . Par de ´¬nition de
s s
S S
l™ide h Is i (plus petit ide qui contient la partie Is ), on a ainsi
´al ´al
s s
[ X
h Is i Is :
s
s
S
Dans l™autre sens, si I est un ide contenant
´al Is , montrons que I contient
s
P P P
Is . Soit alors a = as un e ´ment de
´le Is . Tous les termes de cette somme
s s s P
appartiennent a I. Par de
` ´¬nition d™un ide a appartient a I et I contient Is .
´al, `
s




2.2.11. Produit d™ideaux. ” Soit I et J deux ide
´aux de A. L™ensemble des produits
´
ab avec a 2 I et b 2 J n™est pas force
´ment un ide de A. L™ide IJ est par de
´al ´al ´¬ni-
tion l™ide engendre par ces produits. C™est ainsi l™ensemble des combinaisons
´al ´
P
´aires ¬nies as bs avec as 2 I et bs 2 J.
line

I \ J.
Proposition 2.2.12. ” Soit A un anneau, soit I et J deux ideaux de A. Alors, IJ
´
´ `
CHAPITRE 2. ANNEAUX, IDEAUX, ALGEBRES
14



Si de plus I + J = A, auquel cas on dit que les ideaux I et J sont comaximaux, alors on
´
a egalite : IJ = I \ J.
´ ´

Demonstration. ” Si a 2 I et b 2 J, ab appartient a I (c™est un multiple de a 2 I) et
`
´
appartient a J (c™est un multiple de b 2 J). Donc ab 2 I \ J. Puisque les produits
`
ab avec a 2 I et b 2 J appartiennent a l™ide I \ J, l™ide IJ qui est engendre par
` ´al ´al ´
ces produits est contenu dans I \ J.
Si I + J = A, il existe x 2 I et y 2 J tels que x + y = 1. Soit alors a 2 I \ J.
´
Ecrivons
a = a1 = a(x + y) = ax + ay:
Comme a 2 I et y 2 J, ay 2 IJ ; comme a 2 J et x 2 I, ax 2 IJ. Par suite, leur somme
ax + ay appartient a IJ et a 2 IJ. Il en re
` ´sulte que si I et J sont comaximaux, on
a I \ J IJ, donc, compte-tenu de l™autre inclusion, I \ J = IJ.

Exercice 2.2.13. ” Soit A un anneau, soit I un ide de A et soit S une partie de
´al
A. On de ´¬nit le conducteur de S dans I par la formule

J = (I : S) = fa 2 A ; pour tout s 2 S, as 2 Ig:

Montrer que c™est un ide de A.
´al

2.2.14. (Nil)radical. ” Le nilradical d™un anneau A est l™ensemble de ses e ´ments
´le
nilpotents. C™est un ide de A.
´al
Plus ge ´ralement, on de
´ne ´¬nit le radical I de A par la formule
p
I = fa 2 A ; il existe n 1, an 2 Ig:

C™est un ide de A qui contient I. Par de
´al ´¬nition meme, le nilradical de A est
ˆ
donc e´gal au radical de l™ide nul.
´al
p p p
Demonstration. ” Comme 01 = 0 2 I, 0 2 I. Si a 2 I et b 2 I, choisissons n et
´
m 1 tels que an 2 I et bm 2 I. Alors, on a d™apres la formule du binome
` ˆ
‚ Ã
n+m n + m
(a + b)n+m = ak bn+m k :
X
k
k=0

Dans cette somme, tous les termes appartiennent a I : c™est vrai de ceux corres-
`
pondant a k n puisque ak = an an k et an 2 I ; de meme, si k „ n, n + p k m
` ˆ m
et bn+m p = bm bn k appartient a I. On a donc (a + b)n+m 2 I, d™ou a + b 2 I. En¬n,
k
` `
1 tel que an 2 I. Alors, (ba)n = bn an 2 I et
si a 2 I et b 2 A, choisissons n
p
ba 2 I.

Exercice 2.2.15. ” Quel est le radical de l™ide (12) dans Z ?
´al
2.3. MORPHISMES 15



2.3. Morphismes
De¬nition 2.3.1. ” Soit A et B deux anneaux. Un homomorphisme d™anneaux
´
f : A ! B est une application veri¬ant les proprietes suivantes
´ ´´
“ on a f (0) = 0 et f (1) = 1 ;
“ pour tous a et b dans A, on a f (a + b) = f (a) + f (b) et f (ab) = f (a)f (b).
Le mot homomorphisme est un synonyme pour morphisme. Si A est un anneau,
l™application identique IdA : A ! A est un morphisme d™anneaux. La composition
de deux morphismes d™anneaux est encore un morphisme d™anneaux. Cela
permet de de ´¬nir la categorie des anneaux.
´
Conforme ´ment aux de ´¬nitions de the´orie des cate´gories, on dit qu™un mor-
phisme d™anneaux f : A ! B est un isomorphisme s™il existe un morphisme
d™anneaux g : B ! A tel que f g = IdB et g f = IdA . Le morphisme g est alors
´ciproque de f . On note f : A ! B pour signi¬er que le
appele morphisme re
´
morphisme f : A ! B est un isomorphisme ; si A et B sont isomorphes, c™est-a-dire
`
s™il existe un isomorphisme A ! B, on e ´crit A ' B.
Proposition 2.3.2. ” Un morphisme d™anneaux est un isomorphisme si et seulement si
il est bijectif.
Demonstration. ” Si f : A ! B est un isomorphisme, son morphisme re ´ciproque
´
est en particulier une bijection re
´ciproque de f , donc f est bijectif. Re
´ciproque-
ment, supposons que f est bijectif et notons g sa bijection re ´ciproque. Il nous
faut alors prouver que g est un morphisme d™anneaux de B dans A.
Comme f (0) = 0, g(0) = 0. Si a et b 2 B,
f (g(a + b)) = a + b = f (g(a)) + f (g(b)) = f (g(a) + g(b))
et
f (g(ab)) = ab = f (g(a))f (g(b)) = f (g(a)g(b)):
Comme f est bijectif, g(a + b) = g(a) + g(b) et g(ab) = g(a)g(b).
Exercice 2.3.3. ” Soit A et B deux anneaux et f : A ! B un morphisme d™anneaux.
Si a 2 A est inversible, montrer que f (a) est inversible dans B. En de´duire
que la restriction de f a A de
` ´¬nit un morphisme de groupes (note encore f )
´
A !B .
Proposition 2.3.4. ” Le noyau d™un morphisme d™anneaux f : A ! B est l™ensemble
des a 2 A tels que f (a) = 0. C™est un ide de A note Ker f .
´al ´
Demonstration. ” Un morphisme d™anneaux e ´tant un morphisme de groupes
´
´liens, Ker f est un sous-groupe de A. De plus, si x 2 Ker f et si a 2 A, on a
abe
f (ax) = f (a)f (x) = f (a)0 = 0 donc ax 2 Ker f . Il en re
´sulte que Ker f est un
ide de A.
´al
´ `
CHAPITRE 2. ANNEAUX, IDEAUX, ALGEBRES
16



2.3.5. Image, image reciproque. ” Soit f : A ! B un morphisme d™anneaux. Plus
´
ge ´ralement, si J est un ide de B, l™image re
´ne ´al ´ciproque
1
(J) = fa 2 A ; f (a) 2 Jg
f
est un ide de A.
´al
Demonstration. ” Comme f (0) = 0 2 J, 0 2 f 1 (J). Si a et b 2 f 1 (J), f (a + b) =
´
f (a) + f (b) 2 J puisque f (a) et f (b) 2 J et que J est un ide de B. En¬n, si
´al
a 2 A et b 2 f 1 (J), on a f (ab) = f (a)f (b) 2 J puisque f (b) 2 J.
En revanche, l™image d™un ide par un morphisme d™anneaux n™est pas
´al
´ment un ide Si f : A ! B est un morphisme d™anneaux et si I est un
force ´al.
ide de A, on notera f (I)B, voire IB, l™ide engendre dans B par f (I).
´al ´al ´


2.4. Algebres et sous-anneaux
`
On rappelle la de
´¬nition d™un sous-anneau.

De¬nition 2.4.1. ” Soit A un anneau. Un sous-anneau de A est une partie B A
´
contenant 0, 1, stable par addition, passage a l™oppose et multiplication.
` ´

Si f : A ! B est un morphisme d™anneaux, l™image f (A) de A par f est un
´ciproque f 1 (C) d™un sous-anneau C de B est un
sous-anneau de B. L™image re
sous-anneau de A.

De¬nition 2.4.2. ” Soit k un anneau. Une k-algebre est un anneau A muni d™un
`
´
morphisme d™anneaux i : k ! A.

Formellement, une k-algebre est le couple (A; i : k ! A). On dira cependant
`
souvent « soit A une k-algebre » en sous-entendant le morphisme i. Si x 2 k et
`
a 2 A, on commetra ainsi l™abus d™e
´criture en notant xa au lieu de i(x)a. Noter
cependant que i n™est pas force´ment injectif.

De¬nition 2.4.3. ” Si (A; i) et (B; j) sont des k-algebres, un morphisme de k-algebres
` `
´
f : A ! B est un morphisme d™anneaux tel que pour tout x 2 k et tout a 2 A, f (i(x)a) =
j(x)f (a).

Exercice 2.4.4. ” Ve
´ri¬er que l™image f (A) d™un morphisme de k-algebres f :
`
A ! B est une sous-k-algebre de B.
`

Exemples 2.4.5. ” a) Si k est un sous-anneau d™un anneau A, l™injection naturelle
k ,! A munit A d™une structure de k-algebre.
`
b) L™anneau k[X] des polynomes a coef¬cients dans k est une k-algebre de
ˆ ` `
maniere naturelle. Plus ge ´ralement, k[X1 ; : : : ; Xn ] est une k-algebre.
` ´ne `
`
2.4. ALGEBRES ET SOUS-ANNEAUX 17



c) Tout anneau est de maniere unique une Z-algebre. En effet, si A est un
` `
anneau, il existe un unique morphisme i : Z ! A. (On a ne
´cessairement i(0) = 0,
i(1) = 1 ; par re´currence, i(n) est de
´¬ni pour n 1 et en¬n, i(n) = i( n) si
n „ 0.)

La k-algebre des polynomes jouit d™une propriete universelle importante :
` ˆ ´´

Proposition 2.4.6. ” Soit A une k-algebre et soit n 1 un entier non nul. Pour
`
tout n-uplet (a1 ; : : : ; an ) d™elements de A, il existe un unique morphisme de k-algebres
´´ `
f : k[X1 ; : : : ; Xn ] tel que pour tout i 2 f1; : : : ; ng, f (Xi ) = ai .

Demonstration. ” Si un tel morphisme existe, il doit ve
´ri¬er
´

f ( Xm1 : : : Xmn ) = f (X1 )m1 : : : f (Xn )mn = am1 : : : amn :
n n
1 1
m1 mn
P
Par suite, si P = m X1 : : : Xn , on doit avoir
m
m1
: : : amn ;
X
f (P) = m a1 n
m

ce qui prouve qu™il existe au plus un tel morphisme de k-algebres, et que s™il
`
existe, il est de
´¬ni par cette derniere formule. Re
` ´ciproquement, il est facile de
prouver que cette formule de ´¬nit un morphisme de k-algebres.
`

Ce morphisme est parfois appele surtout lorsque A = k, morphisme d™evaluation
´, ´
en le point (a1 ; : : : ; an ). L™image d™un polynome P est note P(a1 ; : : : ; an ). Il
ˆ ´e
´sulte par exemple un morphisme de k-algebres k[X1 ; : : : ; Xn ] ! F (k n ; k)
en re `
des polynomes dans la k-algebre des fonctions de k n dans k. Les fonctions qui
ˆ `
sont dans l™image de ce morphisme sont tout naturellement appele fonctions
´es
polynomiales.
ˆ

2.4.7. Algebre engendree par une partie. ” Soit A une k-algebre et S une partie de
`

. 1
( 15)



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