<<

. 2
( 15)



>>

` ´
A. La k-algebre k[S] est par de
` ´¬nition la plus petite sous-k-algebre de A qui
`
´aires de la forme sm1 : : : smn
contient S. C™est l™ensemble des combinaisons line n
1
pour 2 k, les si dans S et les mi dans N.
Si S = fa1 ; : : : ; an g, k[S] est aussi note k[a1 ; : : : ; an ]. C™est l™image du morphisme
´e
´valuation k[X1 ; : : : ; Xn ] ! A en (a1 ; : : : ; an ).
d™e

Demonstration. ” Notons ' ce morphisme d™e ´valuation. Comme '(Xi ) = ai , Im '
´
est une sous-k-algebre de A qui contient les ai , donc Im ' contient k[a1 ; : : : ; an ].
`
´ciproquement, toute sous-k-algebre de A qui contient fa1 ; : : : ; an g contient les
Re `
e ´ments de A de la forme am1 : : : amn et aussi leurs combinaisons line
´le ´aires. Par
n
1
suite, k[a1 ; : : : ; an ] contient Im '. On a ainsi e
´galite
´.
´ `
CHAPITRE 2. ANNEAUX, IDEAUX, ALGEBRES
18



Exercice 2.4.8. ” Utiliser la proprie ´ universelle pour de
´te ´montrer qu™il existe un
unique morphisme de k-algebres ' : k[X; Y] ! k[X][Y] tel que '(X) = X et
`
'(Y) = Y et que c™est un isomorphisme.

Proposition 2.4.9. ” Soit K un corps et soit à : Q ! K l™homomorphisme canonique.
Alors, K contient un plus petit sous-corps K0 .
“ si à est injectif, K0 est isomorphe a Q ;
`
“ si à n™est pas injectif, il existe un unique nombre premier p tel que Ker à = (p) et K0 est
de cardinal p.
T
Demonstration. ” L™intersection L = Ki d™une famille (Ki ) de sous-corps de K
´
est un sous-corps de K : comme 1 2 Ki pour tout i, 1 2 L. Si x et y sont dans L,
x y est dans tout Ki donc dans K. Si de plus y 6= 0, x=y appartient a chaque Ki `
donc x=y 2 L. L™intersection de tous les sous-corps de K est donc un sous-corps
de K. On le note K0 .
Supposons maintenant que à est injectif et construisons un homomorphisme
de corps ˜ : Q ! K. Pour cela, si a=b est une fraction d™entiers avec b 6= 0, Ã(b) 6= 0
Ã
dans K et on pose ˜(a=b) = Ã(a)=Ã(b). Cela ne de ´pend pas de la fraction choisie :
Ã
si a=b = c=d, on a ad = bc dans Z, donc
Ã(a)Ã(d) = Ã(ad) = Ã(bc) = Ã(b)Ã(c)
et Ã(a)=Ã(b) = Ã(c)=Ã(d).
C™est un homomorphisme de corps : pour la somme de deux e ´ments,
´le
Ã(a) Ã(c)
à Ã
˜(a=b) + ˜(c=d) = +
Ã(b) Ã(d)
Ã(a)Ã(d) + Ã(b)Ã(c)
=
Ã(b)Ã(d)
Ã(ad + bc)
=
Ã(bd)
ad + bc
Ã
= ˜( )
bd
Ã
= ˜((a=b) + (c=d))
et pour le produit,
Ã(a) Ã(c) Ã(a)Ã(c) Ã(ac)
à à à Ã
˜(a=b)˜(c=d)) = = = = ˜(ac=bd) = ˜((a=b)(c=d)):
Ã(b) Ã(d) Ã(b)Ã(d) Ã(bd)
Par suite, ˜ est un homomorphisme de corps Q ! K. Il est ne ´cessairement
Ã
0
injectif et de
´¬nit donc un isomorphisme de Q sur un sous-corps K0 de K.
0
Ne´cessairement, K0 K0 . Re ´ciproquement, comme K0 contient 1, il contient
0
Ã(Z) puis toutes les fractions Ã(a)=Ã(b) avec b 6= 0. Par suite, K0 = K0 .
2.5. EXERCICES 19



Supposons maintenant que à n™est pas injectif. Son noyau est un ide (n) de
´al
Z, ou n est de
` ´¬ni comme le plus petit entier strictement positif tel que Ã(n) = 0.
´crire n = pm avec 1 „ m < n. On a
Soit p un facteur premier de n. On peut e
donc 0 = Ã(n) = Ã(p)Ã(m). Par minimalite de n, Ã(m) 6= 0 donc Ã(p) = 0. Cela
´
implique p n, donc n = p.
L™image Ã(Z) de Z par l™homomorphisme à est un sous-anneau de K. En fait,
on a Ã(Z) = fÃ(0); : : : ; Ã(p 1)g : si n 2 Z, la division euclidienne de n par p
´crit n = pq + r avec 0 „ r < p 1 et Ã(n) = Ã(p)Ã(q) + Ã(r) = Ã(r). En particulier,
s™e
le cardinal de Ã(Z) est exactement p. Ainsi, Ã(Z) est un sous-anneau ¬ni d™un
anneau integre. En vertu de l™exercice 2.1.7, c™est un corps. Par minimalite de
` ´
K0 , ce corps contient K0 , mais re´ciproquement K0 contient 1, donc il contient
Ã(Z).

De¬nition 2.4.10. ” Soit K un corps. Le plus petit sous-corps de K est appele sous-corps
´
´
premier de K. S™il est isomorphe a Q, on dit que K est de caracte
´ristique 0 ; s™il est ¬ni
`
de cardinal p, on dit que K est de caracte
´ristique p.


2.5. Exercices
Exercice 2.5.1. ” Montrer qu™un anneau integre posse
` ´dant un nombre ¬ni
´aux est un corps. (Si x 6= 0, introduire les ideaux (xn ) pour n 1.)
d™ide ´

Exercice 2.5.2. ” Soient K un corps et A un anneau non nul. Montrer que tout
homomorphisme d™anneaux de K dans A est injectif.
p
p
Exercice 2.5.3. ” Soient Z[ 2] et Z[ 3] les sous-anneaux de C engendre par Z,
´s
p
p
et respectivement parp 2 et 3. p p p
a) Montrer que Z[ 2] = fa+b 2 ; a; b 2 Ng et que Z[ 3] = fa+b 3 ; a; b 2pNg.
p
b) Montrer qu™il n™existe pas de morphisme d™anneaux de Z[ 2] dans Z[ 3].

Exercice 2.5.4. ” Soient I, J et L des ide ´aux de A. De ´montrer les assertions
suivantes :
a) I J est contenu dans I \ J ;
b) on a (I J) + (I L) = I (J + L) ;
c) (I \ J) + (I \ L) est contenu dans I \ (J + L) ;
d) si J est contenu dans I, on a J + (I \ L) = I \ (J + L) ;
e) soit K un corps. Supposons que l™on ait A = K[X; Y]. Posons I = (X),
´terminer (I \ J) + (I \ L) et I \ (J + L), puis les comparer.
J = (Y) et L = (X + Y). De

Exercice 2.5.5. ” Soient B un anneau et f : A ! B un homomorphisme d™an-
neaux. Pour tout ide I de A, on note f (I) l™ide de B engendre par f (I) et on
´al ´al ´
´ `
CHAPITRE 2. ANNEAUX, IDEAUX, ALGEBRES
20



l™appelle extension de I dans B. Pour tout ide J de B, on appelle contraction
´al
de J l™ide f 1 (J).
´al
´
Etant donne un ide I de A et un ide J de B, montrer les assertions suivantes :
´ ´al ´al
a) I est contenu dans f (f (I)) et J contient f (f 1 (J)) ;
1

b) on a f 1 (J) = f 1 f (f 1 (J) et f (I) = f f 1 (f (I) .
Ð Ð

Soit C l™ensemble des ide
´aux de A qui sont des contractions d™ide ´aux de B
et E l™ensemble des ide
´aux de B qui sont des extensions d™ide ´aux de A.
c) on a C = fI; I = f 1 f (I) g et E = fJ; J = f f 1 (I) g ;
Ð Ð

´¬nit une bijection de C sur E ; quel est son inverse ?
d) l™application f de
Soient I1 et I2 deux ide´aux de A, et J1 et J2 deux ide ´aux de B. Montrer les
assertions suivantes :
e) on a f (I1 + I2 ) = f (I1 ) + f (I2 ) et f 1 (J1 + J2 ) contient f 1 (J1 ) + f 1 (J2 ) ;
f) f (I1 \ I2 ) est contenu dans f (I1 ) \ f (I2 ) et l™on a f 1 (J1 \ J2 ) =
f 1 (J1 ) \ f 1 (J2 ) ;
g) on p f (I1 I2 ) = f (I1 ) fp 2 ) et f 1 (J1 J2 ) contient f 1 (J1 ) f 1 (J2 ) ;
a (I p
p
1
h) f ( I) est contenu dans f (I) et l™on a f ( J) = f 1 (J).

Exercice 2.5.6. ” Soient I et J deux ide
´aux de A. On suppose que I + J = A.
Montrer que pour tout entier n, In + Jn = A.

+ an Xn 2 A[X].
Exercice 2.5.7. ” Soit A un anneau et f = a0 + a1 X +
a) Montrer que f est nilpotent si et seulement si tous les ai sont nilpotents.
b) Montrer que f est inversible dans A[X] si et seulement a0 est inversible
+ bm Xm , montrer
dans A et a1 ; : : : ; an sont nilpotents. (Si g = f 1 = b0 + b1 X +
par recurrence sur k que ak+1 bm k = 0.)
´ n
c) Montrer que f est diviseur de ze si et seulement si il existe a 2 A, a 6= 0
´ro
tel que af = 0. (Si fg = 0 avec g de degre minimal, montrer que pour tout k, ak g = 0.)
´


2.6. Solutions
Solution de l™exercice 2.5.1. ” Soit A un anneau integre et x 6= 0 un e ´ment de
` ´le
A qui n™est pas nul. Il faut montrer que x est inversible. On introduit alors
: : : (xn )
(x2 )
les ide´aux (x) : : : . Il y en a une « in¬nite », et comme A
´
est suppose n™avoir qu™un nombre ¬ni d™ide
´ ´aux, deux d™entre eux sont e
´gaux,
disons (x ) = (x ) pour m > n 1. Alors, il existe a 2 A tel que x = a xm , et
n m n

xn (1 axm n ) = 0. Comme x n™est pas nul, xm n non plus et 1 = axm n . Ainsi
x (axm n 1 ) = 1 et x est inversible.

Solution de l™exercice 2.5.2. ” Soit ' : K ! A un homomorphisme d™anneaux.
Supposons que ' n™est pas injectif et soit x 2 K un e ´ment non nul tel que
´le
2.6. SOLUTIONS 21



'(x) = 0. Alors, '(1) = '(x=x) = '(x)'(1=x) = 0, donc 1 = 0 dans A, ce qui
contredit le fait que A n™est pas l™anneau nul.
Autre methode : Le noyau de ' est un ide de K, donc Ker ' = (0) ou Ker ' = K.
´al
´
Comme '(1K ) = 1A 6= 0A , 1K 62 Ker ' et Ker ' = (0), ce qui signi¬e que ' est
injectif.
p
Solution de l™exercice 2.5.3. ” a) On de p ´montre que tout e ´ment de Z[ 2] s™e
´le p ´crit
d™une maniere unique sous la forme a + b 2, pour a et b 2 2. En effet, comme
`
p p p p
(a + b 2)(a + b 2) = aa + ba 2 + ab 2 + 2bb0
0 0 0 0 0
p
= (aa0 + 2bb0 ) + (ab0 + a0 b) 2;
p p
l™ensemble des a + b 2 est un sous-anneau de C, donc e ´gal a Z[ 2]. L™unicite de
` ´
p
´sulte du fait quep 2 62 Q. On aurait sinon deux entiers non
la de´composition re
tous deux nuls a et b tels que a + b 2 = 0. On peut supposer a et b premiers
´crit donc a = 2a0 ,
entre eux, et en particulier a2 = 2b2 . Ainsi, a est pair ; on e
d™ou 2a02 = b2 , ce qui implique que b est pair, contrairement au fait que a et b
`
e
´taient suppose premiers entre eux.
´s p
Depmeme, tout e ´ment de Z[ 3] s™e
ˆ ´le ´crit de maniere unique sous la forme
`
a + b 3. p
p
b) Supposons donne un homomorphisme d™anneaux ' : Z[ 2] ! Z[ 3].
´ p
p
Alors, il existe a et b tels que '( 2) = a + b 3. Alors '(2) = '(1 + 1) = 2'(1) = 2,
mais
p p
pp p
'(2) = '( 2 2) = '( 2)2 = (a + b 3)2 = a2 + 3b2 + 2ab 3:
Il faut donc re
´soudre le systeme d™e
` ´quations
²2
a + 3b2 = 2
2ab =0
Ainsi, soit a = 0, soit b = 0. Si a = 0, on trouve 3b2 = 2, ce qui est impossible
(b = 0 ne convient pas, et si b 6= 0, 3b2 3). Si b = 0, on trouve a2 = 2 qui n™a
pas de solution entiere. Ainsi, ' n™existe pas.
`
n
P
Solution de l™exercice 2.5.4. ” a) Soit x 2 I J : x s™e
´crit sous la forme x = i ÿi
i=1
i 2 I et ÿi 2 J. Pour chaque i on a donc i ÿi 2 I \ J, d™ou x 2 I \ J.
avec `
On a I J I (J + L) et I L I (J + L), donc I J + I L est inclus dans
b)
n
P
´ciproquement, soit x 2 I (J + L). On a donc x =
I (J + L). Re i (ÿi + i ), avec
i=1
2 I, ÿi 2 J et 2 L. Ainsi,
i i
n n
X X
2 I J + I L:
x= i ÿi + ii
i=1 i=1
´ `
CHAPITRE 2. ANNEAUX, IDEAUX, ALGEBRES
22



c) Soit x = y +z avec y 2 I\J et z 2 I\L. En particulier, y +z 2 I et y +z 2 J+L,
d™ou x 2 I \ (J + L).
`
d) D™apres c), on a J + (I \ L) I \ (J + L). D™autre part, si x 2 I \ (J + L),
`
´crire x = y + z, avec y 2 J et z 2 L. En particulier, z = x y 2 I,
alors on peut e
donc z 2 I \ L, si bien que x = y + z 2 J + (I \ L).
e) On a I \ J = (XY), I \ L = (X2 + XY), d™ou `

I \ J + I \ L = (XY; X2 + XY) = (X2 ; XY):

I, d™ou I \ (J + L) = I = (X).
D™autre part, J + L = (Y; X + Y) = (X; Y) `

Solution de l™exercice 2.5.5. ” a) Soit x 2 I, f (x) 2 f (I) f (I), d™ou `
x 2 f 1 (f (I)).
n
1
´crire y = bi f (xi ), pour bi 2 B et xi 2 f 1 (J).
P
Soit y 2 f (f (J)). On peut donc e
i=1
Ainsi, f (xi ) 2 J et y 2 J.
b) La premiere inclusion de a) applique a I = f 1 (J) donne f 1(J)
` ´e `
f 1 (f (f 1 (J))). En appliquant f 1 a la seconde, on obtient l™e
` ´galite souhaite
´ ´e.
Si l™on applique f a la premiere inclusion de a), on obtient f (I)
` `
f (f 1 (f (I))). Si l™on applique la seconde inclusion de a) a l™ide J = f (I), on
` ´al
obtient que f (I) contient f (f 1 (f (I))), d™ou l™e ` ´galite ´.
´ri¬e I = f 1 (f (I)),
` ´galite de b), tout e ´ment I de C ve
c) D™apres la premiere e
` ´ ´le
´ri¬ant I = f 1 (f (I)) est un contracte :
tandis qu™il est clair que tout ide I ve
´al ´
c™est le contracte de f (I).
´
´ri¬e J = f (f 1 (J)) (appliquer la seconde
D™autre part, tout ide J de E ve
´al
e
´galite de b) a un ide I tel que J = f (I)), tandis que si un ide J ve
´ ` ´al ´al ´ri¬e
J = f (f 1 (J)), c™est l™extension de f 1 (J), donc un e ´ment de E .
´le
d) L™application f envoie bien ide ´aux contractions d™ide ´aux de B dans les
´aux de A et l™application f 1 envoie les ide
ide´aux qui sont extensions d™ide ´aux
qui sont extensions d™ide ´aux de A dans ceux qui sont contracte d™ide ´s ´aux de
1
A. Montrons que f f : E ! E est l™identite C™est en fait la seconde e
´. ´galite
´
´galite de b) entra±ne que f 1 f : C ! C est
de b). De meme, la premiere e
ˆ ` ´ ˆ
´ciproque f 1 .
l™identite Ainsi, f est bijective, de bijection re
´.
Les ve
´ri¬cations des relations des questions e) a h) sont imme
` ´diates.

´crire 1 = x + y avec x 2 I et
Solution de l™exercice 2.5.6. ” Si I + J = A, on peut e
y 2 J. Alors, on a
‚Ã
2n
X 2n k 2n k
1 = (x + y)2n = xy :
k
k=0

De plus, pour tout k 2 f0; : : : ; 2ng, ou bien xk 2 In , ou bien y 2n k
2 Jn . Par suite,
1 2 In + Jn et In + Jn = A.
2.6. SOLUTIONS 23



+ an Xn est nilpotent, on
Solution de l™exercice 2.5.7. ” a) Si f = a0 + a1 X +
voit tout de suite que an est nilpotent car le terme (a priori dominant) de degre ´
nk dans f k a pour coef¬cient ak . Par suite, f an Xn est aussi nilpotent et par
n
re
´currence sur n, tous les ai sont nilpotents.
Dans l™autre sens, si tous les ai sont nilpotents, f est une somme d™e ´ments ´le
nilpotents de A[X] donc est nilpotent.
b) Si a0 est inversible et a1 ; : : : ; an sont nilpotents, f est la somme d™un e ´ment
´le
inversible u et d™un e ´ment nilpotent n de A[X], donc est nilpotent. En effet,
´le
´crire u + n = u(1 + u 1 n), si bien qu™il suf¬t de prouver que 1 + u 1 n
on peut e
est inversible. Or, si nk+1 = 0,
+ ( 1)k (u 1 n)k
u 1 n + (u 1 n)2
1
est un inverse de 1 + u 1 n. (Autre methode : si u + n appartient a un ide maximal
` ´al
´
m, n 2 m car un e ´ment nilpotent appartient a tout ide premier, donc u 2 m
´le ` ´al
ce qui contredit le fait que u est inversible.)
+ bm Xm l™inverse de f . Le terme de
Re´ciproquement, soit g = b0 + b1 X +
degre 0 dans fg est a0 b0 = 1, ce qui prouve que a0 est inversible. Si n = 0, la
´
question est re´solue. Sinon, le terme de degre m + n 1 dans fg est nul, d™ou
´ `
an bm = 0.
´currence sur k 0 que ak+1 bm k = 0 pour
Comme indique montrons par re
´, n
k „ m. C™est vrai pour k = 0, et si c™est vrai pour k 1, e ´crivons le terme de
degre m + n k dans fg. Il est nul car m + n k n 1, d™ou
´ `
an b m + an 1 bm+1 + a0 bm
+ = 0:
k k k

En multipliant cette relation par ak et en utilisant l™assertion de re ´currence, on
n
k+1
trouve que an bm k = 0.
Pour k = m, on a donc am+1 = 0, ce qui prouve que an est nilpotent. Par suite,
n
n
f an X est encore inversible et par re ´currence sur n, a1 ; : : : ; an sont nilpotents.
m
c) Soit g = b0 + + bm X un polynome non nul de degre minimal tel que
ˆ ´
fg = 0. Si m = 0, on a b0 f = 0, ainsi qu™il fallait de
´montrer.
Supposons donc m > 0 et commen¸ ons par montrer que pour tout k, ak g = 0.
c
L™assertion est vraie pour k > n. Supposons la vraie pour k + 1. Alors,
+ ak Xk )g
0 = fg = (a0 + a1 X +
dont le coef¬cient a priori dominant est donne par ak bm . Par suite ak bm = 0 et ak g
´
est un polynome de degre „ m 1 tel que f (ak g) = 0. L™hypothese de minimalite
ˆ ´ ` ´
sur deg g implique que ak g = 0.
Une fois ceci prouve tous les produits ak b` sont nuls. Par suite, on a b` f = 0.
´,
Comme g 6= 0, l™un des b` est non nul et il existe bien a 2 A n f0g tel que af = 0.
La re´ciproque est e´vidente.
3 Anneau quotient,
localisation


Nous introduisons dans ce chapitre deux constructions fondamentales d™anneaux.
Le passage au quotient, tout d™abord : etant donnes un anneau et une relation
´ ´
d™equivalence convenable sur cet anneau, l™objectif est de munir l™ensemble des classes
´
d™equivalence d™une structure d™anneau. Cela revient en fait a « rendre nuls » les
´ `
elements d™un ideal de l™anneau sans modi¬er les autres regles de calcul. La localisation,
´´ ´ `
ensuite : il s™agit cette fois de « rendre inversibles » une famille d™elements de l™anneau.
´´



3.1. Anneaux quotients
Rappelons qu™une relation R sur un ensemble X est dite relation d™equivalence ´
´¬‚exive (pour tout x, x R x), syme ´trique (si x R y, alors y R x) et
si elle est re
transitive (si x R y et y R z, alors x R z). L™ensemble des classes d™e ´quivalence
de X pour la relation R est note X=R. ´
Soit maintenant A un anneau. On peut alors chercher les relations d™e ´quiva-
lence sur A qui sont compatibles avec la structure d™anneau. On veut ainsi que soient
satisfaite la proprie ´ :
´te
si x R y et x0 R y 0 , alors x + x0 R y + y 0 et xx0 R yy 0 .
´quivalence de 0. Si x R y, comme y R y, on a donc
Notons alors I la classe d™e
x y R 0, soit x y 2 I, et re ´ciproquement. Ainsi, R est de ´¬nie par x R y si et
seulement si x y 2 I.
Montrons d™autre part que I est un ide de A. On a de ` 0 2 I. De plus, si
´al ´ja
x 2 I et y 2 I, x R 0 et y R 0, donc (x + y) R 0, ce qui prouve que x + y 2 I.
En¬n, si x 2 I et a 2 A, x R 0, d™ou ax R a0 ; comme a0 = 0, on a bien ax 2 I.
`
Re´ciproquement, les calculs ci-dessus montrent que l™on a le the ` me suivant.
´ore
Theoreme 3.1.1. ” Soit A un anneau et soit I un ideal de A. La relation R sur A
´
´`
de¬nie par x R y si et seulement si x y 2 I est une relation d™equivalence compatible avec la
´ ´
structure d™anneau. L™ensemble quotient A=R possede une unique structure d™anneau telle
`
CHAPITRE 3. ANNEAU QUOTIENT, LOCALISATION
26



que la surjection canonique cl : A ! A=R est un morphisme d™anneaux. Ce morphisme est
surjectif de noyau I.
L™anneau quotient A=R est note A=I. Le morphisme A ! A=I est aussi appele
´ ´
surjection canonique.
Remarquons aussi que si k est un anneau et i : k ! A un morphisme d™anneaux,
de sorte que (A; i) est une k-algebre, la composition cl i : k ! A ! A=I munit
`
A=I d™une (mieux, de l™unique) structure de k-algebre pour laquelle la surjection
`
canonique est un morphisme de k-algebres.
`
L™importance de la structure d™anneau quotient vient notamment du theoreme
´`
de factorisation que nous de
´montrons maintenant.
Theoreme 3.1.2. ” Soit A et B deux anneaux et soit f : A ! B un homomorphisme
´`
d™anneaux. Si I est un ideal de A contenu dans Ker f , il existe un unique homomorphisme
´
d™anneaux f : A=I ! B tel que f = f cl.
Une fa¸ on visuelle et commode d™e
c ´crire cette derniere e
` ´galite est de dire que
´
le diagramme
f
GB
A
|a
|
||
||
cl
 || f
A=I
est commutatif.
Demonstration. ” Ne ´cessairement, f doit etre tel que f (cl(a)) = f (a) pour tout
ˆ
´
a 2 A. Comme tout e ´ment de A=I est de la forme cl(a) pour un certain a 2 A,
´le
cela montre qu™il existe au plus un homomorphisme d™anneaux f : A=I ! B tel
que f = f cl.
Montrons maintnant l™existence de f . Soit x un e ´ment de A=I. On sait qu™il
´le
existe a 2 A tel que x = cl(a). Si a0 est un autre repre ´sentant de x, donc tel que
x = cl(a0 ), on a a0 a 2 I, donc, puisque I Ker f , f (a0 a) = 0 et par conse ´quent,
0
f (a) = f (a ). On peut ainsi poser f (x) = f (a) ” le re ´sultat est inde´pendant
du repre ´sentant a choisi. Il reste a montrer que f est un homomorphisme
`
d™anneaux.
Comme cl(0A ) = 0A=I et cl(1A ) = 1A=I , on a bien f (0A=I ) = 0B et f (1A=I ) = 1B .
De plus, si x = cl(a) et y = cl(b) sont deux e ´ments de A=I, on a x + y = cl(a + b)
´le
et
f (x + y) = f (cl(a + b)) = f (a + b) = f (a) + f (b) = f (cl(a)) + f (cl(b))
= f (x) + f (y)
et, de meme,
ˆ
f (xy) = f (ab) = f (a)f (b) = f (x)f (y):
3.1. ANNEAUX QUOTIENTS 27



Il en re
´sulte que f est un homomorphisme d™anneaux. Le the ` me est ainsi
´ore
de´montre´.
Le noyau de f sera calcule a la proposition 3.1.5. Notamment, on montrera
´`
que f est injectif si et seulement si I = Ker f . Soit f : A ! B un morphisme d™anneaux.
On a vu (page 16) que f (A) est un sous-anneau de B. Ainsi, on peut de ´composer
f en
f
cl
A ! A= Ker f ! f (A) ,! B
c™est-a-dire en la composition d™un homomorphisme surjectif, d™un isomorphisme
`
et d™un homomorphisme injectif.
Soit A un anneau et soit I un ide de A. On s™inte
´al ´resse maintenant aux ide´aux
de l™anneau A=I. Soit J un ide de A=I. Alors, on sait que cl 1 (J ) est un
´al
ide de A. Par construction, il contient I puisque pour tout a 2 I, cl(a) = 0 est
´al
un e ´ment de J .
´le
La proprie ´ importante est donne par la proposition :
´te ´e
1
Proposition 3.1.3. ” Soit A un anneau et soit I un ideal de A. L™application cl
´ :
ideaux de A=I ! ideaux de A contenant I
´ ´
J 7! cl 1 (J )
est une bijection.
Autrement dit, pour tout ide J de A qui contient I, il existe un unique ide
´al ´al
J de A=I tel que J = cl 1 (J ). De plus, on a J = cl(J) (image de l™ide J par
´al
la surjection canonique, laquelle image se trouve etre encore un ide dans ce
ˆ ´al
cas).
Demonstration. ” Commencer par construire la bijection re ´ciproque. Si J est
´
un ide de A, montrons d™abord que cl(J) est un ide de A. On a bien
´al ´al
0 = cl(0) 2 cl(J). D™autre part, si x et y appartiennent a cl(J), soit a et b des
`
e ´ments de J tels que x = cl(a) et y = cl(b). Alors, x+y = cl(a)+cl(b) = cl(a+b) ;
´le
comme J est un ide de A, a + b appartient a J et x + y appartient bien a cl(J).
´al ` `
En¬n, soit x un e ´ment de cl(J) et y un e ´ment de A=I. Choisissons encore
´le ´le
a 2 J et b 2 A tels que x = cl(a) et y = cl(b). On a yx = cl(b) cl(a) = cl(ba) 2 cl(J)
´tant un ide de A, ba 2 J.
puisque, J e ´al
Si J est un ide de A=I, on a
´al
cl(cl 1 (J )) = J :
Montrons les deux inclusions. Un e ´ment x de cl(cl 1 (J )) est de la forme
´le
x = cl(a) pour a 2 cl 1 (J ). On a donc x 2 J . Re ´ciproquement, si x 2 J , soit
a 2 A tel que x = cl(a). Alors, cl(a) = x 2 J , donc a appartient a cl 1 (J ) et x
`
1
appartient bien a cl(cl (J )).
`
CHAPITRE 3. ANNEAU QUOTIENT, LOCALISATION
28



En¬n, si J est un ide de A, on a
´al

cl 1 (cl(J)) = I + J:
La encore, montrons les deux inclusions. Si x 2 I + J, on peut e
` ´crire x = a + b
avec a 2 I et b 2 J. Il en re ´sulte cl(x) = cl(a) + cl(b) = cl(b) 2 cl(J). Donc
x 2 cl 1 (cl(J)). Dans l™autre sens, soit x 2 cl 1 (cl(J)). Par de
´¬nition, cl(x) 2 cl(J)
et il existe a 2 J tel que cl(x) = cl(a). On a alors cl(x a) = 0, ce qui signi¬e
que x a 2 I. Finalement, x = (x a) + a appartient a I + J, ainsi qu™il fallait
`
de´montrer.
Si de plus J contient I, alors I + J = J et les deux formules e ´tablies montrent
1
que l™application cl de ´¬nit une bijection de l™ensemble des ide ´aux de A=I
vers l™ensemble des ide ´aux de A contenant I, dont la bijection re ´ciproque est
donne par cl.
´e
Lorsque J est un ide de A qui contient I, l™ide cl(J) de A=I est aussi note
´al ´al ´
J=I. Cette notation intervient notamment lorsque l™homomorphisme cl est omis
des notations. L™expression « soit J=I un ide de A=I. . . » sous-entendra toujours
´al
que J est un ide de A contenant I.
´al
Proposition 3.1.4. ” Soit A un anneau, soit I un ideal de A et soit J un ideal de A
´ ´
contenant I. La composition des surjections canoniques A ! A=I ! (A=I)=(J=I) a pour
noyau J. Il en resulte un isomorphisme canonique
´
A=J ' (A=I)=(J=I):
En re
´sume un quotient d™un quotient est encore un quotient.
´,
Demonstration. ” La compose de deux homomorphismes surjectifs e
´e ´tant encore
´
surjectif, le morphisme A ! (A=I)=(J=I) est surjectif. Un e ´ment a 2 A appartient
´le
au noyau si et seulement si cl(a) 2 A=I appartient au noyau de l™homomorphisme
A=I ! (A=I)=(J=I), c™est-a-dire cl(a) 2 (J=I). Comme J=I = cl(J), cela signi¬e
`
1
que a 2 cl (cl(J)) = J puisque J contient I.
Le the ` me de factorisation af¬rme alors l™existence d™un unique homomor-
´ore
phisme ' : A=J ! (A=I)=(J=I) rendant le diagramme
G A=I G (A=I)=(J=I)
A
jjS
jjjj
jjj
jjjj '
j
 jjjj
A=J
commutatif. Cet homomorphisme est surjectif. Soit x 2 A=J un e ´ment tel que
´le
'(x) = 0. Soit a 2 A tel que x = clJ (a). Par de ´¬nition de ', on a '(x) =
clJ=I cl I(a) = 0, c™est-a-dire a 2 J. Ainsi, x = 0 et l™homomorphisme ' est injectif.
`
C™est donc un isomorphisme
3.1. ANNEAUX QUOTIENTS 29



La derniere partie de la de
` ´monstration peut etre ge ´ralise en un comple
ˆ ´ne ´e ´ment
important au the ` me de factorisation
´ore

Proposition 3.1.5. ” Soit f : A ! B un morphisme d™anneaux et soit I un ideal de
´
A contenu dans Ker f . Soit f : A=I ! B l™homomorphisme fourni par le theoreme de
´`
factorisation. Alors, le noyau de f est egal a (Ker f )=I.
´ `

Demonstration. ” En effet, si f (x) = 0, soit a 2 A tel que x = cl(a). On a alors
´
f (a) = 0, d™ou a 2 Ker f et x = cl(a) 2 cl(Ker f ) = (Ker f )=I. Re
` ´ciproquement,
si x 2 (Ker f )=I, il existe a 2 Ker f tel que x = cl(a). On a alors f (x) = f (a) = 0
et x 2 Ker f .


Rappelons (proposition 2.2.12) que deux ide´aux I et J d™un anneau A sont
dits comaximaux si I + J = A. Ils donnent lieu a la forme ge ´rale du theoreme
` ´ne ´`
chinois.

Theoreme 3.1.6. ” Soit A un anneau, I et J deux ideaux comaximaux de A. Il existe
´
´`
alors un unique isomorphismes de A-algebres
`
A=IJ ' A=I A=J:

Corollaire 3.1.7. ” Si I et J sont deux ideaux comaximaux d™un anneau A, pour tout
´
couple (x; y) d™elements de A, il existe a 2 A tel que a 2 x + I et a 2 y + J.
´´

Demonstration. ” Conside
´rons le diagramme de A-algebres :
`
´

A gg
–– gg
–– gg
–– gg
“– 3
'
• • • •G A=I
A=IJ A=J
dans lequel on doit montrer l™existence d™une unique ¬‚eche pointille qui
` ´e
le rende commutatif. Or, le morphisme A ! A=I A=J envoie a 2 A sur
(clI (a); clJ (a)). Son noyau est donc I \ J, et puisque I et J sont comaximaux,
I \ J = IJ (proposition 2.2.12). Il existe ainsi un unique morphisme ' rendant le
diagramme commutatif et '(clIJ (a)) = (clI (a); clJ (a)) pour tout a 2 A.
Ce morphisme est un isomorphisme : comme I + J = A, il existe x 2 I et y 2 J
tels que x + y = 1. Alors, on a les e ´galite 1 = clI (x + y) = clI (y) dans A=I et
´s
1 = clJ (x+y) = clJ (x) dans A=J. Par suite, '(x) = (clI (x); clJ (x)) = (0; clJ (x+y)) =
(0; 1) tandis que '(y) = (1; 0). Si a et b sont dans A, il en re ´sulte que
'(bx + ay) = (0; cl(b)) + (cl(a); 0) = (cl(a); cl(b)):
Tout e ´ment de A=I
´le A=J e
´tant de la forme (cl(a); cl(b)), ' est surjectif.
CHAPITRE 3. ANNEAU QUOTIENT, LOCALISATION
30



3.2. Localisation
De¬nition 3.2.1. ” Soit A un anneau. Une partie S de A est dite multiplicative si elle
´
veri¬e les proprietes :
´ ´´
“ 1 2 S;
“ pour tous a et b dans S, ab 2 S.

´
Etant donne un anneau A et une partie multiplicative S de A, nous allons
´s
construire un anneau S 1 A et un homomorphisme i : A ! S 1 A tel que i(S) est
forme d™e ´ments inversibles dans S 1 A. Donnons d™abord quelques exemples :
´ ´le

Exemple 3.2.2. ” a) Si A = Z et S = Z n f0g, l™anneau S 1 A sera e ´gal a Q et
`
i : Z ! Q l™injection usuelle.
b) Si S est forme d™e ´ments inversibles, alors S 1 A = A.
´ ´le
c) Si A = Z et S = f1; 10; 100; : : :g est l™ensemble des puissances de 10 dans
Z, alors S 1 A sera l™ensemble des nombres de ´cimaux, c™est-a-dire l™ensemble des
`
´crire sous la forme a=10n avec a 2 Z et n 2 N.
nombres rationnels qui peuvent s™e

Ainsi, ce qu™on veut imiter, c™est tout simplement le calcul de fractions que l™on
apprend au college.
`

3.2.3. Construction. ” Sur l™ensemble A S, de
´¬nissons la relation d™e
´quivalence
par :

si et seulement s™il existe u 2 S tel que
(a; s) (b; t) u(at bs) = 0:

C™est en effet une relation d™e ´quivalence.
“ pour tout (a; s) 2 A S, puisque 1 2 S et 1(as as) = 0, (a; s) (a; s). La
relation est re
´¬‚exive ;
“ si (a; s) (b; t), choisissons u 2 S tel que u(at bs) = 0. Alors, u(bs at) = 0,
d™ou (b; t) (a; s). La relation est syme
` ´trique ;
(c; u), choisissons v et w 2 S tels que
“ en¬n, si (a; s) (b; t) et (b; t)
v(at bs) = w(bu ct) = 0. Comme

t(au cs) = u(at bs) + s(bu ct);

on a vwt(au cs) = 0. Puisque v, w et t appartiennent a S, vwt 2 S et (a; s) (c; u).
`
La relation est donc transitive.
´signe par S 1 A l™ensemble des classes d™e
On de ´quivalence (on trouve parfois
la notation AS ) ; la classe du couple (a; s) est note a=s. On note i : A ! S 1 A
´e
l™application qui a a 2 A associe la classe a=1. L™ensemble A S n™est pas un
`
anneau. En revanche, nous allons munir S 1 A d™une structure d™anneau de sorte
que i est un homomorphisme d™anneaux. La de ´¬nition provient des formules
3.2. LOCALISATION 31



habituelles pour la somme et le produit de fractions. L™e ´ment 1 de S 1 A est
´le
par de´¬nition 1=1, l™e ´ment 0 est 0=1. On de
´le ´¬nit ensuite

(a=s) + (b=t) = (at + bs)=st; (a=s) (b=t) = (ab=st):

(a0 ; s0 ), il faut montrer
Ve
´ri¬ons d™abord que cette de
´¬nition a un sens : si (a; s)
que
(a0 t + bs0 ; s0 t) (a0 b; s0 t):
et (ab; st)
(at + bs; st)
On a alors
(at + bs)s0 t (a0 t + bs0 )st = t2 (as0 a0 s):
Choisissons u 2 S tel que u(as0 a0 s) = 0 ; il en re´sulte que

u (at + bs)s0 t (a0 t + bs0 )st = 0
Ð

(a0 t + bs0 ; s0 t). De meme,
et donc (at + bs; st) ˆ

u(abs0 t a0 bst) = ubt(as0 a0 s) = 0

et donc (ab; st) (a0 b; st). Plus ge ´ralement, si (a; s) (a0 ; s0 ) et (b; t) (b0 ; t0 ),
´ne
on a, en re ´tant ces ve
´pe ´ri¬cations (ou en remarquant la commutativite des ´
ope´rations),
(a0 ; s0 ) + (b; t) (a0 ; s0 ) + (b0 ; t0 ):
(a; s) + (b; t)
´ri¬cation que ces lois conferent une structure d™anneau a S 1 A est un peu
La ve ` `
longue mais sans surprise et ne sera pas faite ici. Par exemple, la distributivite ´
de l™addition sur la multiplication se de´montre ainsi : si a=s, b=t et c=u sont trois
1
e ´ments de S A,
´le
‚ Ã
ab c a(bu + ct) abu act ab ac ab a c
:
+ = = + = + = +
stu stu stu stu st su st su

L™application i : A ! S 1 A telle que i(a) = a=1 pour tout a 2 A est un
homomorphisme d™anneaux. En effet, i(0) = 0=1 = 0, i(1) = 1=1 = 1, et pour
tous a et b dans A, on a

i(a + b) = (a + b)=1 = a=1 + b=1 = i(a) + i(b)

et
i(ab) = (ab)=1 = (a=1)(b=1) = i(a)i(b):
En¬n, si s 2 S, on a i(s) = s=1 et i(s)(1=s) = s=s = 1. Donc pour tout s 2 S, i(s)
est inversible dans S 1 A.
CHAPITRE 3. ANNEAU QUOTIENT, LOCALISATION
32



3.2.4. Exemples de parties multiplicatives. ” a) Soit A un anneau integre. La partie
`
S = A n f0g est une partie multiplicative de A. L™anneau S 1 A est alors un corps,
appele corps des fractions de A.
´

Demonstration. ” Comme A est integre, 1 6= 0 et 1 2 S. D™autre part, si a et b
`
´
´¬nition ab 6= 0. Ainsi, S est une
sont deux e ´ments non nuls de A, on a par de
´le
partie multiplicative de A.
Un e ´ment de S 1 A est de la forme a=s avec a 2 A et s 6= 0. S™il est nul, il
´le
existe un e ´ment b 2 A n f0g tel que ab = 0. Puisque A est integre, on a alors
´le `
a = 0. En particulier, 1=1 6= 0 dans S 1 A. Si a=s n™est au contraire pas nul, on a
a 6= 0 et s=a est un e ´ment de S 1 A tel que (a=s)(s=a) = as=as = 1. Par suite,
´le
a=s est inversible. Nous avons donc prouve que S 1 A est un corps.
´

b) Soit A un anneau et s 2 A un e ´ment non nilpotent. Alors, la partie
´le
S = f1; s; s2 ; : : :g est une partie multiplicative qui ne contient pas 0 et l™anneau
localise S 1 A est non nul (voir la remarque a) ci-dessous). On le note en ge ´ral
´ ´ne
As .
c) Soit f : A ! B un homomorphisme d™anneaux. Si S est une partie mul-
tiplicative de A, f (S) est une partie multiplicative de B. Si T est une partie
multiplicative de B, f 1 (T) est une partie multiplicative de A. Lorsque le mor-
phisme f est implicite, par exemple lorsque B est explictement une A-algebre, `
1 1
on s™autorisera l™abus d™e ´criture S B pour T B.
d) Si I est un ide d™un anneau A, l™ensemble S = 1 + I des e ´ments a 2 A
´al ´le
tels que a 1 2 I est une partie multiplicative. C™est l™image re ´ciproque de la
partie multiplicative f1g de A=I par la surjection canonique A ! A=I.

`
Remarques 3.2.5. ” a) A quelle condition l™anneau S 1 A peut-il etre nul ? Il re
ˆ ´sulte
´¬nition qu™une fraction a=s est nulle dans S 1 A si et seulement s™il existe
de la de
t 2 S tel que t(a1 s0) = at = 0. Dire que S 1 A est l™anneau nul signi¬e alors
que 1=1 = 1 = 0 = 0=1, et donc qu™il existe s 2 S tel que s 1 = s = 0, autrement
dit que 0 2 S. On peut donc af¬rmer que l™anneau S 1 A est nul si et seulement si 0
appartient a S.
`
Cela justi¬e a posteriori l™interdiction de diviser par ze : si l™on s™autorisait
´ro
cela, les regles du calcul de fractions rendraient toute fraction e
` ´gale a 0 !
`
b) La de´¬nition de la relation d™e ´quivalence dans la construction de l™anneau
localise peut sembler surprenante puisqu™elle est plus faible que l™« e
´ ´galite du
´
produit en croix » at = bs. Lorsque l™anneau est integre et 0 62 S, ou plus
`
ge ´ralement lorsque tous les e ´ments de S sont simpli¬ables, c™est e
´ne ´le ´quivalent.
En revanche, dans le cas ge ´ral, l™e
´ne ´galite du produit en croix ne fournirait pas
´
une relation d™e ´quivalence.
3.2. LOCALISATION 33



Exercice 3.2.6. ” Soit A un anneau et soit S une partie multiplicative de A. Montrer
que l™homomorphisme canonique i : A ! S 1 A est injectif si et seulement si tout
e ´ment de S est simpli¬able.
´le

L™importance de cette construction vient de la propriete universelle qu™elle ve
´ri¬e :
´´

Theoreme 3.2.7. ” Soit A un anneau et S une partie multiplicative de A. Notons
´`
i : A ! S 1 A l™homomorphisme d™anneaux que nous venons de construire. Alors, pour
tout anneau B et tout homomorphisme f : A ! B tel que f (S) B , il existe un unique
homomorphisme ' : S 1 A ! B tel que f = ' i.

On peut re
´sumer cette derniere formule en disant que le diagramme
`
f
GB
A z`
z
zz
zz
i
zz '

1
SA
est commutatif.

Demonstration. ” Si un tel ' existe, il doit ve
´ri¬er
´

'(a=s)f (s) = '(a=s)'(i(s)) = '(a=s)'(s=1) = '(a=1) = '(i(a)) = f (a)

et donc
'(a=s) = f (s) 1 f (a)
ou f (s) 1 de
` ´signe l™inverse de f (s) dans B. Cela prouve qu™il existe un plus un
tel homomorphisme '. Pour montrer son existence, il suf¬t de ve ´ri¬er que la
´e ´¬nit un homomorphisme ' : S 1 A ! B tel que ' i = f .
formule indique de
Tout d™abord, si (a=s) = (b=t), soit u 2 S tel que u(at bs) = 0. Alors,

f (s) 1 f (a) = f (s) 1 f (tu) 1 f (tu)f (a) = f (stu) 1 f (atu)
= f (stu) 1 f (bsu) = f (t) 1 f (b);

ce qui prouve que ' est bien de
´¬ni. Quant a la ve
` ´ri¬cation des axiomes d™un
homomorphisme d™anneaux, on a

'(0) = f (0=1) = f (1) 1 f (0) = 0 et '(1) = f (1=1) = f (1) 1 f (1) = 1:

Puis,

'(a=s) + '(b=t) = f (s) 1 f (a) + f (t) 1 f (b) = f (st) 1
(f (at) + f (bs))
= f (st) 1 f (at + bs) = '((at + bs)=st) = '((a=s) + (b=t)):
CHAPITRE 3. ANNEAU QUOTIENT, LOCALISATION
34



En¬n,
'(a=s)'(b=t) = f (s) 1 f (a)f (t) 1 f (b) = f (st) 1 f (ab)
= '(ab=st) = '((a=s)(b=t)):
L™application ' est donc un homomorphisme et le the ` me est de
´ore ´montre
´.
On peut en¬n construire l™anneau localise comme un quotient.
´
Proposition 3.2.8. ” Soit A un anneau, a un element de A et S = f1; a; a2 ; : : :g la
´´
partie multiplicative de A formee des puissances de a. L™homomorphisme canonique
´
' : A[X] ! S 1 A; P 7! P(1=a)
aX). Il en resulte un isomorphisme
est surjectif, de noyau l™ideal (1
´ ´
aX) ' S 1 A:
' : A[X]=(1
´crit b=an pour un certain n 1 et un
Demonstration. ” Un e ´ment de S 1 A s™e
´le
´
e ´ment b 2 A. On a ainsi b=an = '(bXn ) et ' est bien surjectif. Son noyau contient
´le
certainement 1 aX puisque '(1 aX) = 1 a=a = 0. Il contient par suite l™ide ´al
(1 aX). Il en re ´sulte par la proprie ´ universelle des anneaux quotients un
´te
´¬ni ' : A[X]=(1 aX) ! S 1 A. Nous allons montrer
homomorphisme bien de
que ' est un isomorphisme. D™apres la proposition 3.1.5, il en re
` ´sultera que
Ker ' = (1 aX).
´¬nissons donc l™inverse de '. Soit g l™homomorphisme canonique A !
De
A[X]=(1 aX) tel que pour tout b 2 A, b 7! cl(b), la classe du polynome ˆ
constant b. Dans l™anneau A[X]=(1 aX), on a cl(aX) = 1 et donc cl(a) est
inversible, d™inverse cl(X). La proprie ´ universelle de la localisation af¬rme qu™il
´te
1
existe un unique morphisme : S A ! A[X]=(1 aX) tel que pour tout b 2 A,
(b=1) = g(b). Par construction, si b 2 A et n 1, (b=an ) = b cl(Xn ) = cl(bXn ).
est l™inverse de '. Si P 2 A[X], ('(cl(P))) =
Finalement, montrons que
(P(1=a)). Par suite, si P = bn Xn , on a
P

('(cl(P))) = ('(P)) = (P(1=a))
= ( (bn =an )) = (bn =an )
X X

= cl(bXn ) = cl bn Xn = cl(P)
Ð
X X

et ' = Id. En¬n,
'( (b=an )) = '(cl(bXn )) = '(aXn ) = b=an
et ' = Id. L™homorphisme ' est donc un isomorphisme, ce qu™il fallait
de´montrer.
La ge ´ralisation au cas d™une partie multiplicative quelconque est laisse en
´ne ´e
exercice.
3.2. LOCALISATION 35



Exercice 3.2.9. ” Soit A un anneau, soit S une partie multiplicative de A.
a) On suppose qu™il existe s et t 2 S tel que S est l™ensemble des
sn tm lorsque n et m parcourent N. Montrer que l™homomorphisme
A[X; Y] ! S 1 A; P(X; Y) 7! P(1=s; 1=t) est surjectif et que son noyau
contient l™ide (1 sX; 1 tY) engendre par 1 sX et 1 tY dans A[X; Y]. En
´al ´
´duire un isomorphisme A[X; Y]=(1 sX; 1 tY) ' S 1 A.
de
b) Plus ge ´ralement, soit h1 sXs is2S l™ide de l™anneau de polynomes (en
´ne ´al ˆ
une in¬nite de variables) A[(Xs )s2S ] engendre par les polynomes 1 sXs , lorsque
´ ´ ˆ
s parcourt S. Alors, l™homomorphisme canonique
A[(Xs )s2S ] ! S 1 A; P 7! P((1=s)s )
induit un isomorphisme
sXs is2S ' S 1 A:
A[(Xs )s2S ]=h1

´aux de S 1 A.
3.2.10. Localisation et quotient. ” En¬n, e
´tudions brievement les ide
`
Un premier re ´sultat est le suivant :

Proposition 3.2.11. ” Pour tout ideal I de S 1 A, il existe un ideal I de A tel que
´ ´
1 1
I = i(I)(S A). On peut en fait prendre I = i (I ).

Demonstration. ” Il faut montrer que
´

I = i(i 1 (I ))(S 1 A):

Comme i(i 1 (I )) I , l™ide engendre par i(i 1 (I )) est contenu dans I ,
´al ´
d™ou l™inclusion
`
i(i 1 (I ))(S 1 A) I:
´ciproquement, si x 2 I , choisissons a 2 A et s 2 S tels que x = a=s. On a
Re
alors sx 2 I et comme sx = a=1 = i(a), a appartient a i 1 (I ). Il en re
` ´sulte que
sx 2 i(i 1 (I )), puis x = (sx)(1=s) appartient a i(i 1 (I ))(S 1 A), ce qui e
` ´tablit
l™autre inclusion.
L™ide i(I)S 1 A sera aussi note IS 1 A, en omettant le morphisme i. Il sera
´al ´
aussi note S 1 I, cette derniere notation e
´ ` ´tant celle qui sera utilise dans le cas
´e
plus ge ´ral de la localisation des modules.
´ne

Proposition 3.2.12. ” Soit A un anneau, soit S une partie multiplicative de A et soit
I un ideal de A. Soit T = cl(S) A=I l™image de S par la surjection canonique A ! A=I.
´
Il existe un unique isomorphisme
' : S 1 A=IS 1 A ! T 1 (A=I)
tel que pour tout a 2 A, '(cl(a=1)) = cl(a)=1.
CHAPITRE 3. ANNEAU QUOTIENT, LOCALISATION
36



Dit plus abstraitement, les deux anneaux S 1 A=IS 1 A et T 1 (A=I) sont des
A-algebres : un quotient ou un localise d™une A-algebre sont des A-algebres. La
` ´ ` `
proposition af¬rme alors qu™il existe un unique isomorphisme de A-algebres entre ces
`
deux anneaux.

Demonstration. ” On peut donner une de ´monstration explicite, mais la me ´thode
´
la plus e ´gante (et la plus abstraite) utilise les proprie ´s universelles des quotients
´le ´te
et des localise Conside
´s. ´rons le morphisme d™anneaux compose ´
A ! A=I ! T 1 (A=I); a 7! cl(a)=1:
Par ce morphisme, un e ´ment s 2 S a pour image cl(s)=1 qui est inversible
´le
1
dans T (A=I), d™inverse 1= cl(s). La proprie ´ universelle de la la localisation
´te
af¬rme qu™il existe un unique homomorphisme d™anneaux
'1 : S 1 A ! T 1 (A=I)
par lequel a=1 a pour image cl(a)=1.
Par cet homomorphisme, un e ´ment a=1 avec a 2 I a pour image
´le
'1 (a=1) = '1 (a)=1 = cl(a)=1 = 0
puisque a 2 I et donc cl(a) = 0 dans A=I. Par suite, le noyau de '1 contient l™image
de I dans S 1 A ; il contient automatiquement l™ide IS 1 A qui est engendre par
´al ´
1
I dans S A. D™apres la proprie ´ universelle des anneaux quotients, il existe un
` ´te
unique homomorphisme d™anneaux
' : S 1 A=IS 1 A ! T 1 (A=I)
tel que pour tout a=s 2 S 1 A, '(cl(a=s)) = cl(a)= cl(s).
Nous avons montre qu™il existe un unique morphisme de A-algebres ' :
´ `
S 1 A=IS 1 A ! T 1 (A=I). On peut aussi re ´sumer ces constructions par le dia-
gramme commutatif
G S1 A=IS 1
1 A
S Ar
ppV rr
p rr
ppp rr
r
A xxx '
'1 rrr
xxx r5 
x8
G T 1 (A=I):
A=I
Reprenons ce diagramme dans l™autre sens. Le noyau du morphisme de A-
algebres A ! S 1 A=IS 1 A contient I, d™ou un unique morphisme de A-algebres
` ` `
A=I ! S 1 A=IS 1 A
1:

´ri¬ant que pour tout a 2 A, 1 (cl(a)) = cl(a=1)). Si s 2 S, 1 (cl(s)) =
(donc ve
cl(s=1) est inversible, d™inverse cl(1=s). Ainsi, l™image de T par 1 est forme ´e
3.3. EXERCICES 37



d™e ´ments inversibles dans S 1 A=IS 1 A. Il existe donc un unique morphisme
´le
de A-algebres
`
: T 1 (A=I) ! S 1 A=IS 1 A
(c™est-a-dire tel que pour tout a 2 A, (cl(a)=1) = cl(a=1)). Ces constructions
`
sont synthe ´es par le diagramme commutatif
´tise
G S1 A=IS 1 A
1
S A
ppV vY y
vv
p
ppp 1 vv
vv
A xxx vv
xxx v
vv
x8
G T 1 (A=I):
A=I
Finalement, si a 2 A et s 2 S, on a '(cl(a=s)) = cl(a)= cl(s) dans T 1 (A=I) et
(cl(a)= cl(s)) = cl(a=s) dans S 1 A=IS 1 A d™ou il re
` ´sulte que ' et ' sont
l™identite´.
Cette derniere proposition reviendra plus tard sous le vocable exactitude de la
`
localisation.


3.3. Exercices
Exercice 3.3.1. ” Soit K un corps. Soient a et b deux e ´ments de K. Montrer les
´le
assertions suivantes :
a) l™anneau K[X]=(X a) est isomorphe a K ; `
b) l™anneau K[X; Y]=(Y b) est isomorphe a K[X] ;`
c) l™anneau K[X; Y]=(X a; Y b) est isomorphe a K. `
1. On note s : Z ! Z=nZ la surjection
Exercice 3.3.2. ” Soit n un entier
canonique.
´
a) Etant donne un entier m, montrer que s(m) est inversible dans l™anneau
´
Z=nZ si et seulement si n et m sont premiers entre eux.
b) Montrer que l™anneau Z=nZ est integre si et seulement si n est premier.
`
c) Si n est premier, montrer que l™anneau Z=nZ est un corps.
p
d) De ´terminer l™ide
´al nZ.
Exercice 3.3.3. ” Soit K un corps. On pose A = K[X; Y]=(X2 ; XY; Y 2 ).
a) De ´terminer les e ´ments inversibles de A ;
´le
b) de ´terminer tous les ide
´aux principaux de A ;
c) de ´terminer tous les ide´aux de A.
Exercice 3.3.4. ” Soient K un corps et ' : K[U; V] ! K[X] l™homomorphisme
´galite '(U) = X3 , '(V) = X2 et '(a) = a pour tout
d™anneaux de ´¬ni par les e ´s
a dans K. Quels sont les noyau et image de '. Soit A l™image de '. Montrer que
A est integre et que son corps des fractions est isomorphe a K(X).
` `
CHAPITRE 3. ANNEAU QUOTIENT, LOCALISATION
38



Exercice 3.3.5. ” Soit S une partie multiplicative de A ne contenant pas 0. On
note r(A) l™ensemble des e ´ments nilpotents de A.
´le
a) Si A est integre, montrer que S 1 A est integre.
` `
1
b) Si A est re´duit, montrer que S A est re ´duit.
c) On note f : A ! S 1 A l™homomorphisme naturel a 7! a=1. Montrer en
fait que
r(S 1 A) = r(A) S 1 A:


3.4. Solutions
Solution de l™exercice 3.3.1. ” a) Soit ' : K[X] ! K l™homomorphisme d™anneaux
de´¬ni par '(P) = P(a). Il est surjectif et son noyau contient l™ide (X a).
´al
D™autre part, si P 2 Ker ', i.e. si P( ) = 0, le the ` me de factorisation implique
´ore
que P est de la forme P(X) = Q(X)(X a), autrement dit P 2 (X a). Ainsi, '
est un isomorhisme.
´¬nit : K[X; Y] ! K[X] par P(X; Y) 7! P(X; b). Il est surjectif, son
b) On de
noyau contient l™ide (Y b). En¬n, si P(X; Y) est tel que P(X; b) = 0, prouvons
´al
que P(X; Y) est multiple de Y b. On peut en effet invoquer le the ` me de´ore
factorisation dans l™anneau des polynomes en une variable a coef¬cients dans
ˆ `
l™anneau integre K[X]. Mais on peut le de
` ´montrer directement : on e ´crit
m
Pk (Y)Xk ;
X
Pk 2 K[Y]:
P(X; Y) =
k=0

m
Pk (b)Xk = 0, si bien que Pk est multiple de Y
P
Alors, P(X; b) = b, et donc P
k=0
est multiple de Y b.
c) On introduit Á : K[X; Y] ! K donne par Á(P) = P(a; b). C™est le compose
´ ´
´ciproquement, soit P 2 K[X; Y]
. Son noyau contient l™ide (X a; Y b). Re
´al
'
tel que P(a; b) = 0. La division euclidienne de P par Y b dans K[X][Y] nous
permet d™e ´crire
b)Q(X; Y) + R(X; Y)
P(X; Y) = (Y
ou R(X; Y) est un polynome de degre en Y strictement infe
` ˆ ´ ´rieur a 1, donc un
`
polynome R(X) en X seulement. Alors, P(a; b) = R(a) = 0, ce qui implique que
ˆ
´crit (X a)S(X). Finalement, on a bien P(X; Y) 2 (X a; Y b).
R(X) s™e

Solution de l™exercice 3.3.2. ” a) Soit m 2 Z. Dire que s(m) est inversible signi¬e
qu™il existe m0 2 Z tel que s(m)s(m0 ) = s(1). Cela implique qu™il existe k 2 Z tel
que mm0 = 1 + nk, d™ou une relation de Be
` ´zout entre m en n qui sont donc
premiers entre eux.
3.4. SOLUTIONS 39



´ciproquement, si m et n sont premiers entre eux, il existe u 2 Z et v 2 Z tels
Re
que um + vn = 1, d™ou s(u)s(m) = s(1) : s(m) est inversible dans Z=nZ, d™inverse
`

<<

. 2
( 15)



>>