<<

. 4
( 15)



>>

´e
˜ ˜
S T. Soient en effet x 2 S, et a 2 A tel que ax 2 S. Comme S T, ax 2 T, et
comme T est sature x 2 T.
´e,
˜
c) D™apres la premiere question, A n S est la re
` ` ´union des ide ´aux premiers
˜ ˜
disjoints de S. Si un ide premier est disjoint de S, il est a fortiori disjoint de
´al
S. Il reste a prouver que si un ide premier p est disjoint de S, il est disjoint
` ´al
˜ ˜
de S. Or, si x 2 p \ S, il existe a 2 A tel que ax 2 S, et alors, ax 2 p \ S, ce qui
prouve que p et S ne sont pas disjoints.
´
CHAPITRE 4. IDEAUX PREMIERS, MAXIMAUX
60



d) Montrons que l™homomorphisme
˜
' : S 1A ! S 1A
˜ ˜
est injectif et surjectif. Soit x=y 2 S 1 A, avec x 2 A et y 2 S ; choisissons a 2 A
tel que ay 2 S. Alors, x=y = ax=ay est l™image d™un e ´ment de S 1 A, donc ' est
´le
˜ ˜
surjectif. Soit x=y 2 S 1 A dont l™image dans S 1 A est nulle. Il existe ainsi a 2 S
tel que ax = 0. Si b 2 A est tel que ab 2 S, on a aussi abx = 0, ce qui prouve que
x=y = 0 dans S 1 A, et donc ' est injectif.

Solution de l™exercice 4.3.9. ” a) Supposons (i) et montrons (ii). Soit B = A=I
un quotient de A. On a comme toujours N(B) J(B). Les ide
´aux premiers
(resp. maximaux) sont en bijection avec les ide ´aux premiers (resp. maximaux)
de A qui contiennent I. D™apres (i), si p est un ide premier qui contient I, il
` ´al
est e
´gal a une intersection d™ide
` ´aux maximaux, qui contiennent ne ´cessairement
I. Finalement, N(B) est une intersection d™ide ´aux maximaux qui contiennent I,
donc contient J(B). On a donc prouve que N(B) = J(B).
´
Dans l™autre sens, supposons (ii) et soit p un ide premier de A. Le radical
´al
nilpotent de A=p est nul (car A=p est integre). Donc le radical de Jacobson de
`
A=p aussi, ce qui signi¬e que
\
m = p:
mp

Par suite, p est intersection d™ide
´aux maximaux et (i) est ve ´.
´ri¬e
b) Soit p un ide premier de C[X1 ; : : : ; Xn ]. Notons V l™ensemble alge
´al ´brique
Z (p) qu™il de´¬nit. D™apres le the ` me des ze
` ´ore ´ros, on a

I (V) = p = p
p

puisque p est premier. Or, I (Z (p)) est l™ensemble des P 2 C[X1 ; : : : ; Xn ] tels que
pour tout (a1 ; : : : ; an ) 2 V, P(a1 ; : : : ; an ) = 0. C™est donc l™intersection des ide´aux
maximaux de C[X1 ; : : : ; Xn ] de la forme (X1 a1 ; : : : ; Xn an ) avec (a1 ; : : : ; an ) 2 V.
Par suite, p est intersection d™ide ´aux maximaux.

Solution de l™exercice 4.3.10. ” Soit a un e ´ment de J et soit x 2 A. On veut
´le
montrer que 1 ax est inversible. Soit m un ide maximal de A. Comme ax
´al
appartient a J m et 1 62 m, 1 ax n™appartient pas a m. Ceci prouve que
` `
1 ax n™appartient a aucun ide maximal de A. Il est donc inversible.
` ´al
´ciproquement, soit a un e ´ment de A n™appartenant pas a J. Il existe alors
Re ´le `
un ide maximal m de A tel que a 62 m. Par l™homomorphisme cl : A ! A=m,
´al
l™image cl(a) de a est non nulle. Comme m est un ide maximal de A, A=m
´al
est un corps et cl(a) est inversible dans A=m. Il existe donc b 2 A tel que
cl(a) cl(b) = 1 dans A=m, c™est-a-dire 1 ab 2 m. Par conse
` ´quent, 1 ab n™est
4.4. SOLUTIONS 61



pas inversible et il existe donc x 2 A (a savoir x = b) tel que 1
` ax n™est pas
inversible.
Solution de l™exercice 4.3.11. ” L™hypothese peut se retraduire en disant que si
`
a 2 Cn ve ´ri¬e P(a) = 0, alors Q(a) = 0 ou R(a) = 0, c™est-a-dire QR(a) = 0.
`
Autrementp V ((P)) V ((QR)). D™apres le the ` me des ze
dit, ` ´ore ´ros de Hilbert,
p
(P). Il existe en particulier un entier m tel que (QR)m 2 (P), i.e. P
(QR)
divise (QR)m .
Comme P est irre ´ductible et C[x1 ; : : : ; xn ] est un anneau factoriel, l™ide (P)
´al
est premier et P divise Q ou P divise R. Comme par hypothese P ne divise pas
`
R, P divise donc Q, cqfd.
5 Anneaux principaux,
factoriels


Comme l™indique son titre, ce chapitre est consacre aux anneaux principaux et factoriels.
´
Par de¬nition, dans un anneau principal, tout ideal est engendre par un seul element.
´ ´ ´ ´´
Les anneaux factoriels sont ceux qui donnent lieu a une « decomposition en facteurs
` ´
premiers ».
On donne deux exemples d™application de ces notions. L™une, arithmetique et due a
´ `
Fermat, concerne les nombres entiers qui sont de la forme a2 + b2 , pour deux entiers
a et b. L™autre, geometrique, est un theoreme de Bezout concernant le nombre de
´´ ´` ´
solutions communes a deux polynomes de C[X; Y] sans facteur commun.
` ˆ




5.1. De¬nitions
´
De¬nition 5.1.1. ” On dit qu™un anneau est principal s™il est integre et si tous ses
`
´
ideaux sont principaux.
´

Exemples 5.1.2. ” a) On a vu (exemples 2.2.6 et 4.2.1) que l™anneau des entiers
relatifs Z et l™anneau des polynomes en une inde
ˆ ´termine a coef¬cients dans
´e `
un corps k sont des anneaux principaux.
b) Soit k un corps. L™anneau k[X; Y] n™est pas principal. En effet, l™ide (X; Y)
´al
n™est pas principal.

Demonstration. ” Soit par l™absurde P 2 k[X; Y] tel que (X; Y) = (P). Il existe alors
´
Q et R dans k[X; Y] tels que X = PQ et Y = PR. En e´crivant P = a0 (X)+a1 (X)Y+: : :
comme un polynome en Y a coef¬cients dans k[X], la relation X = PQ montre
ˆ `
que degY P + degY Q = 0, donc P ne fait pas intervenir Y. De meme, la relation
ˆ
Y = PR montre que P ne fait pas intervenir X. Finalement, P est un polynome ˆ
constant, non nul et (P) = (1). Cela implique qu™il existe A et B dans k[X; Y]
tels que 1 = XA(X; Y) + YB(X; Y). Or, le terme constant du membre de droite
CHAPITRE 5. ANNEAUX PRINCIPAUX, FACTORIELS
64



est nul, tandis que celui du membre de gauche est e
´gal a 1. Cette contradiction
`
montre que l™ide (X; Y) n™est pas principal
´al
Les deux exemples d™anneaux principaux que nous connaissons a pre
` ´sent sont
meme des anneaux euclidiens.
ˆ
Proposition 5.1.3. ” Soit A un anneau integre et ' : A n f0g ! N une fonction telle
`
que pour tous a et b dans A, avec b 6= 0, il existe q et r 2 A tels que
“ a = bq + r ;
“ r = 0 ou '(r) < '(b).
Alors, A est principal.
Demonstration. ” On reprend les arguments des exemples 2.2.6 et 4.2.1. Soit I
´
un ide de A dont on veut montrer qu™il est principal. Comme l™ide nul est
´al ´al
principal, on peut supposer que I 6= f0g. Soit alors un e ´ment a 2 I n f0g un
´le
e ´ment tel que '(a) est minimal. On a bien sur (a) I, et on va montrer que
´le ˆ
I = (a). Soit b un e ´ment de I et choisissons q et r tels que b = aq + r comme
´le
´nonce Si r 6= 0, on a '(r) < '(a), ce qui est absurde puisque r = b aq
dans l™e ´.
appartient a I. Donc r = 0 et b = aq 2 (a). Par suite, I = (a) ; tout ide de A est
` ´al
principal. Comme A est integre, A est principal.
`
Exemple 5.1.4 (Anneau des entiers de Gauß). ” L™anneau Z[i] engendre par Z
´
et i dans C est un anneau principal.
Demonstration. ” L™ensemble des nombres complexes de la forme a + ib avec
´
(a; b) 2 Z2 est un sous-anneau de C : il est stable par addition, soustraction et
multiplication puisque
(a + ib)(c + id) = (ac bd) + i(ad + bc):
C™est donc l™anneau Z[i] engendre par Z et i dans C. Soit ' : Z[i] ! N de
´ ´¬ni
2
par '(a + ib) = ja + ibj = a2 + b2 .
Commen¸ ons par une remarque : soit z = x + iy un nombre complexe. Il
c
existe des entiers relatifs a et b tels que jx aj „ 1=2 et jy bj „ 1=2. Posons
u = a + ib. Alors, on a jz uj2 „ 1=4 + 1=4 = 1=2.
Montrons maintenant que ' ve ´ri¬e l™hypothese de la proposition. Soit a et
`
b deux e ´ments de Z[i], b e
´le ´tant non nul. Soit z le nombre complexe a=b,
et de´¬nissons q le nombre complexe u obtenu comme dans la remarque et
r = a bq. Ce sont des e ´ments de Z[i]. Alors, on a
´le
jrj2 = ja bqj2 = jbj2 j(a=b) qj2 „ jbj2 =2 < jbj2 :
Par suite, '(r) < '(b).
La proposition pre ´dente implique donc que Z[i] est un anneau principal.
´ce
5.2. ANNEAUX FACTORIELS 65



5.2. Anneaux factoriels
De¬nition 5.2.1. ” Soit A un anneau integre. Un element a de A est dit irre ´ductible
` ´´
´
s™il veri¬e les proprietes suivantes :
´ ´´
“ a n™est pas inversible ;
“ si b et c sont des elements de A tels que a = bc, l™un des deux, b ou c, est inversible.
´´
Exemples 5.2.2. ” a) L™e ´ment 0 n™est jamais irre
´le ´ductible : il s™e
´crit 0 0 et 0
n™est pas inversible.
b) Un entier relatif est irre
´ductible si et seulement s™il est un nombre premier
ou l™oppose d™un nombre premier.
´
c) Soit k un corps. Dans l™anneau k[X], un polynome est irre
ˆ ´ductible s™il est
de degre 1 et s™il ne s™e
´ ´crit pas comme produit de deux polynomes de degre
ˆ ´s
1.
Proposition 5.2.3. ” Soit k un corps.
a) Dans l™anneau k[X], un polynome ayant une racine dans k est irreductible si et
ˆ ´
seulement si il est de degre 1.
´
b) Un polynome de degre 2 ou 3 dans k[X] est irreductible si et seulement si il n™a pas de
ˆ ´ ´
racine dans k.
c) Dans l™anneau C[X], les polynomes irreductibles sont les polynomes de degre 1. Dans
ˆ ´ ˆ ´
l™anneau R[X], les polynomes irreductibles sont les polynomes de degre 1 et les polynomes du
ˆ ´ ˆ ´ ˆ
second degre sans racine reelle.
´ ´
Demonstration. ” a) Si un polynome de degre 1 est un produit QR, on a
ˆ ´
´
deg(Q) + deg(R) = 1 et ne ´cessairement, l™un des degre deg(Q) ou deg(R)
´s
est nul, ce qui signi¬e que Q ou R est inversible. Les polynomes de degre 1
ˆ ´
sont donc irre ´ductibles.
Re´ciproquement, si P a une racine z dans k, on peut factoriser P = (X z)Q+R
avec deg R < 1, c™est-a-dire R constant. On a alors P(z) = R(z) = 0, d™ou la
` `
factorisation P = (X z)Q. Comme deg Q = deg P 1, P n™est pas irre ´ductible
des que deg P 2.
`
b) Soit maintenant P un polynome de degre 2 ou 3. S™il existe deux polynomes
ˆ ´ ˆ
non constants Q et R tels que P = QR, on a deg(Q) + deg(R) = deg(P) „ 3 et
deg(Q); deg(P) 1. Cela implique que deg(Q) = 1 ou deg(R) = 1 et ou bien
Q, ou bien R a une racine dans k. Par suite, P a une racine dans k.
c) On utilise le fait que C est un corps alge ´briquement clos (the ` me
´ore
de d™Alembert“Gauß). Tout polynome non constant de C[X] est produit de
ˆ
polynomes de degre 1. Un polynome de degre
ˆ ´ ˆ ´ 2 n™est par conse ´quent pas
irre´ductible.
Pour R[X], on utilise le re ´sultat pour C[X]. On a de ` de
´ja ´montre que les
´
polynomes de degre 1 sont irre
ˆ ´ ´ductibles, ainsi que les polynomes de degre 2
ˆ ´
CHAPITRE 5. ANNEAUX PRINCIPAUX, FACTORIELS
66



sans racine. Les polynomes de degre 2 ayant une racine ne sont pas irre
ˆ ´ ´ductibles.
Soit maintenant P 2 R[X] de degre ´ 3 et soit z une racine de P dans C. Si
z 2 R, P n™est pas irre
´ductible. Si z 2 C n R, on a P(z) = P(z) = 0, donc z est une
racine de P, distincte de z. On peut alors factoriser P = (X z)(X z)Q avec
Q 2 C[X] de degre deg P 2 1. Comme P et (X z)(X z) = X2 2<(z)X+jzj2
´
appartiennent a R[X], Q appartient a R[X]. Cette factorisation montre que P
` `
n™est pas irre
´ductible.
Exercice 5.2.4. ” Soit A un anneau et soit P 2 A[X] un polynome de degre
ˆ ´
supe´rieur ou e ´gal a 2. On suppose que P a une racine dans A. Montrer que P
`
n™est pas irre´ductible.
De¬nition 5.2.5. ” Soit A un anneau integre. `
´
On dit qu™un anneau A est factoriel si tout element non nul de A peut s™ecrire, d™une
´´ ´
fa¸ on essentiellement unique, comme produit d™elements irreductibles de A.
c ´´ ´
Autrement sit, si a est un e ´ment non nul de A, il existe n 0, des e ´ments
´le ´le
´ductibles p1 ; : : : ; pn de A et un e ´ment inversible u 2 A tels que
irre ´le
a = up1 : : : pn :
(Si n = 0, cela signi¬e que a = u est inversible.) L™unicite est bien entendu
´
a l™ordre et a des e ´ments inversibles pres. Pre ´ment, on demande que si
` ` ´le ` ´cise
a = up1 : : : pn = u0 p01 : : : p0m , alors
“ on a m = n ;
“ il existe une permutation : f1; : : : ; ng ! f1; : : : ; ng et pour tout i 2 f1; : : : ; ng
un e ´ment inversible ui tels que p (i) = ui pi .
´le
On sait que Z est un anneau factoriel (c™est le the ` me bien connu de
´ore
de´composition en facteurs premiers). Si k est un corps, k[X] est aussi un anneau
factoriel. Plus ge ´ralement :
´ne
Theoreme 5.2.6. ” Les anneaux principaux sont factoriels.
´`
La de
´monstration est en deux parties. D™abord on de ´montre l™existence d™une
de
´composition en facteurs irre
´ductibles, ensuite, on e
´tablit l™unicite
´.
Demonstration de l™existence. ” Soit A un anneau principal et soit a un e ´ment ´le
´
non nul de A dont on suppose par l™absurde qu™il n™est pas produit d™e ´ments ´le
irre´ductibles. On pose a1 = a. Il en re
´sulte que a n™est ni inversible (un inversible u
se de´compose comme produit de ze facteur irre
´ro ´ductible : u = u) ni irre´ductible
(on pourrait le de ´composer comme produit d™un facteur irre ´ductible e´gal a lui-
`
meme). Ainsi, il existe b et c non inversibles dans A tels que a = bc. Comme a
ˆ
n™est pas produit d™e ´ments irre
´le ´ductibles, au moins l™un des deux, b ou c n™est
pas produit d™e ´ments irre
´le ´ductibles ; Notons a2 cet e ´ment. Comme b et c ne
´le
5.2. ANNEAUX FACTORIELS 67



sont pas inversibles, l™ide (a2 ) contient strictement l™ide (a1 ). Par re
´al ´al ´currence,
on construit ainsi une suite (a1 ; a2 ; : : : ) d™e ´ments de A tels que l™on ait une
´le
suite strictement croissante d™ide´aux
(a1 ) ( (a2 ) ( : : :
Soit I la re
´union de ces ide ´aux. Comme la re ´union est croissante, c™est un ide´al
de A (l™argument a de ` e ´ explique page 45 : pour la somme, si x et y sont
´ja ´te ´
dans I, ils sont dans un certain (an ), donc x + y 2 (an ) et donc x + y 2 I). Comme
S
A est principal, il existe x 2 A tel que I = (x). Alors, x 2 (an ), donc il existe un
n
entier n tel que x 2 (an ) ce qui permet d™e ´crire x = an u pour u 2 A. Par ailleurs,
an 2 (x) donc il existe v 2 A tel que an = xv. On a alors x = an u = xuv. Comme
x est non nul (sinon I serait nul) et comme A est integre, on peut simpli¬er
`
par x, d™ou l™e
` ´galite uv = 1. Ainsi, u et v sont inversibles et (an ) = (x), alors que
´
l™on a l™inclusion stricte (an ) ( (an+1 ) I = (x). Cette contradiction montre que
tout e ´ment non nul d™un anneau principal admet une de
´le ´composition comme
produit d™e ´ments irre
´le ´ductibles.
Pour de
´montrer l™unicite nous aurons besoin du lemme de Gauß.
´,
Lemme 5.2.7 (Lemme de Gauß). ” Soit A un anneau principal et soit p 2 A un
element irreductible. Alors si a et b sont deux elements de A tels que p divise ab, p divise a
´´ ´ ´´
ou p divise b. En d™autre termes, l™ideal (p) est premier.
´
Demonstration. ” Supposons que p ne divise pas a et conside ´rons l™ide (p; a).
´al
´
Comme A est principal, il existe c 2 A tel que (p; a) = (c). Par suite, il existe
x et y 2 A tels que p = cx et a = cy. Comme p ne divise pas a, il ne divise pas
´ductible, il divise x. Il existe alors u 2 A tel que x = pu et,
c ; puisque p est irre
simpli¬ant par p l™e ´galite p = cpu, on obtient que 1 = cu. Autrement dit, c est
´
inversible et (p; a) = A.
Ainsi, il existe f et g dans A tels que 1 = pf + ag. Multiplions cette e ´galite
´
par b, on trouve que b = pfb + abg. Comme ab est multiple de p, b est multiple
de p.
Demonstration de l™unicite. ” On raisonne par re ´currence sur le nombre minimal
´ ´
de facteurs irre ´ductibles intervenant dans une de ´composition en facteurs premiers
d™un e ´ment.
´le
Supposons donc d™abord que a est inversible (cas de ze facteur premier) et
´ro
00 0
´composition. Si m 1, les p0i sont inversibles, ce
soit a = u p1 : : : pm une autre de
qui est absurde. Donc m = 0.
Soit maintenant a = up1 : : : pn = u0 p01 : : : p0m deux de ´compositions d™un e ´ment
´le
a en produits d™e ´ments irre
´le ´ductibles, n 1e ´tant suppose minimal. D™apres
´ `
´cessairement l™un des p01 ,
le lemme de Gauß, l™e ´ment irre
´le ´ductible pn divise ne
CHAPITRE 5. ANNEAUX PRINCIPAUX, FACTORIELS
68



. . ., p0m . Quitte a les renume
´roter, on peut supposer que pn divise p0m . Il existe
`
ainsi un 2 A tel que pn = un p0m et, pn e ´tant irre
´ductible, un est ne
´cessairement
inversible. On peut alors simpli¬er par pn , d™ou une relation
`

= u0 un p01 : : : p0m 1 :
(a=pn ) = up1 : : : pn 1

Par re ´currence, on a m 1 = n 1, c™est-a-dire m = n et, quitte a renume
` ` ´roter
les p0j , il existe pour tout j 2 f1; : : : ; n 1g un e ´ment inversible uj 2 A tel que
´le
0
pj = uj pj . Les deux de ´compositions de a sont donc e ´quivalentes.

La de´monstration que nous venons de faire montre en fait un re
´sultat plus
ge ´ral (mais pas tres utile dans ce cours).
´ne `

Exercice 5.2.8. ” Un anneau integre A est factoriel si et seulement si il ve
` ´ri¬e
les deux proprie ´s suivantes :
´te
“ toute suite d™ide
´aux principaux dans A est stationnaire ;
“ tout e ´ment irre
´le ´ductible de A engendre un ide premier (lemme de Gauß).
´al

En particulier, la veri¬cation du lemme de Gauß suf¬t a assurer l™unicite d™une decom-
´ ` ´ ´
position en facteurs irreductibles.
´

5.2.9. L™unicite dans la decomposition en facteurs irreductibles. ” Il est commode de
´ ´ ´
normaliser la de ´composition en facteurs irre ´ductibles dans un anneau factoriel
A. Pour cela, choisissons une famille ( i ) d™e ´ments irre
´le ´ductibles de A de sorte
que :
“ si i 6= j, i et j ne sont pas associe ; ´s
“ tout e ´ment irre
´le ´ductible de A est associe a l™un des i .
´`
Q ri
Alors, tout e ´ment non nul de A s™e
´le ´crit de maniere unique sous la forme u
` i
i
ou u est un e ´ment inversible de A et les ri des entiers positifs ou nuls, seul
` ´le
un nombre ¬ni d™entre eux e ´tant nuls.
Si A est l™anneau Z, un choix courant pour les i consiste a prendre tous les
`
nombres premiers. L™e ´ment inversible u peut valoir 1 et correspond au signe.
´le
Si A est l™anneau des polynomes a coef¬cients dans un corps k, on peut
ˆ `
prendre pour les i l™ensemble des polynomes irre
ˆ ´ductibles unitaires. L™e ´ment
´le
u appartient alors a k et correspond au coef¬cient dominant.
`
Q ri
L™inte ˆ t de cette normalisation est qu™un e ´ment a = u
´re ´le i divise un e ´ment
´le
i
Q si
i si et seulement si pour tout i, ri „ si . (En effet, si c 2 A est tel que
b=v
i
Q ti
b = ac, soit c = w i la de
´composition en facteurs irre´ductibles de c, on a alors
i
si ri +ti
Y Y
b=v = uw ;
i i
i i
5.2. ANNEAUX FACTORIELS 69



d™ou, par unicite si = ri + ti
` ´, ri pour tout i. Re
´ciproquement, il suf¬t de poser
Q si r i
c = vu 1 .)
i
i


5.2.10. Ppcm, pgcd. ” Soit A un anneau factoriel. Si a et b sont deux e ´ments
´le
(non nuls) de A, on va de
´¬nir leur ppcm et leur pgcd. Pour simpli¬er, on suppose
avoir normalise la de
´ ´composition en facteurs irre´ductibles comme ci-dessus. Soit
Y ri Y si
et b = v
a=u i i
i i

les de
´compositions en facteurs irre´ductibles de a et b. On de´¬nit
Y min(si ;ri ) Y max(si ;ri )
et ppcm(a; b) =
pgcd(a; b) = :
i i
i i

Ils me´ritent leur nom, a savoir : tout element non nul de A qui divise a et b divise leur
` ´´
pgcd, tout element de A multiple de a et de b est multiple de leur ppcm.
´´

De¬nition 5.2.11. ” Deux elements a et b sont dits premiers entre eux si leur pgcd
´´
´
est egal a 1.
´ `

Proposition 5.2.12. ” Soit A un anneau factoriel et soit a, b deux elements non nuls de
´´
A. L™ideal engendre par pgcd(a; b) est le plus petit ideal principal contenant l™ideal (a; b).
´ ´ ´ ´
L™ideal engendre par ppcm(a; b) est le plus grand ideal principal contenu dans l™ideal
´ ´ ´ ´
(a) \ (b).
En particulier, si A est un anneau principal, deux elements a et b sont premiers entre eux
´´
si et seulement si les ideaux (a) et (b) sont comaximaux.
´

Demonstration. ” C™est une reformulation de ce qui a e ´ dit plus haut. Notons
´te
´
Y ri Y si
et b = v
a=u i i
i i

les de
´compositions en facteurs irre ´ductibles de a et b. Un ide principal (x)
´al
contient (a; b) si et seulement si a et b sont multiples de x. Si
Y ti
x=w i
i

est la de
´composition en facteurs irre´ductibles de x, cela signi¬e que pour tout
i, ri ti et si ti , ce qui e´quivaut encore a min(ri ; si ) ti , soit encore au fait
`
que x divise le pgcd de a et b.
Un ide principal (x) est contenu dans (a) \ (b) si et seulement si x est
´al
multiple de a et de b. Avec les memes notations, cela signi¬e que pour tout i,
ˆ
ti ri et ti si , soit encore ti max(ri ; si ), soit encore au fait que x est multiple
du ppcm de a et b.
CHAPITRE 5. ANNEAUX PRINCIPAUX, FACTORIELS
70



Remarque 5.2.13. ” Si l™on ne ¬xe pas une forme particuliere pour la de
` ´com-
position en facteurs irre
´ductibles, le ppcm et le pgcd de deux e ´ments sera
´le
bien de´¬ni a multiplication par un e ´ment inversible pres : c™est un e ´ment
` ´le ` ´le
du mono±de quotient A=A (pour la multiplication).
¨

Exercice 5.2.14. ” Ge ´raliser la de
´ne ´¬nition du pgcd et du ppcm et la proposition
pre ´dente au cas d™une famille quelconque. (Le ppcm pourra e
´ce ´ventuellement
etre nul.)
ˆ


5.3. Sommes de carres
´
Le but de ce paragraphe est de de
´montrer, a l™aide des proprie ´s de l™anneau
` ´te
Z[i] le the ` me suivant :
´ore

Theoreme 5.3.1 (Fermat, 1640). ” Soit p un nombre premier impair. Il existe a et b
´`
dans Z tels que p = a2 + b2 si et seulement si p Á 1 (mod 4)
Plus generalement, un entier n 1 est somme de deux carres d™entiers si et seulement si les
´´ ´
exposants des nombres premiers congrus a 1 modulo 4 dans la decomposition en facteurs
` ´
premiers de n sont pairs.

´¬nit une application N : Z[i] ! N par N(z) = zz = jzj2 .
5.3.2. La norme. ” On de
Si z = a + ib, on a donc N(z) = a2 + b2 . De plus, si z et z 0 sont deux e ´ments
´le
de Z[i], alors N(zz 0 ) = N(z)N(z 0 ).

´´
5.3.3. Elements inversibles de Z[i]. ” Soit z 2 Z[i] un e ´ment inversible. Alors, il
´le
existe z 0 2 Z[i] tel que zz 0 = 1. Par suite, N(zz 0 ) = N(z)N(z 0 ) = N(1) = 1 et N(z)
est inversible dans N, c™est-a-dire N(z) = 1. Posons z = a + ib avec (a; b) 2 Z2 .
`
2 2
On a N(z) = a + b ce qui laisse quatre possibilite a = 1 et b = 0, ou a = 0
´s,
et b = 1, qui correspondent a z 2 f1; 1; i; ig. Ces quatre e ´ments e
` ´le ´tant
inversibles, on a de ´montre que
´
les elements inversibles de Z[i] sont 1, 1, i et i.
´´
Nous de ´terminons maintenant la de ´composition des nombres premiers p en
facteurs irre ´ductibles dans Z[i].

Proposition 5.3.4. ” Soit p un nombre premier.
“ Si p = 2, on a p = (1 + i)(1 i), 1 + i et 1 i sont irreductibles ;
´
“ si p Á 1 (mod 4), il existe 2 Z[i] irreductible tel que p =
´ ;
“ si p Á 3 (mod 4), p est irreductible dans Z[i] ;
´

Demonstration. ” On commence par une remarque : si un e ´ment z 2 Z[i] est
´le
´
tel que N(z) est premier, alors z est irre ´ductible. En effet, on pourrait sinon
e
´crire z = z1 z2 , ni z1 ni z2 n™e
´tant inversibles, et on aurait N(z) = N(z1 )N(z2 ),
´
5.3. SOMMES DE CARRES 71



c™est-a-dire une de
` ´composition du nombre premier N(z) en un produit de deux
facteurs dont aucun n™est e ´gal a 1 !
`
Par suite, 1 + i et 1 i (dont la norme est 2) sont irre´ductibles dans Z[i], ce
qui e´tablit le premier aline de la proposition.
´a
Supposons maintenant p impair. Nous allons comple ´ter la de
´monstration en
admettant provisoirement deux lemmes.
Lemme 5.3.5. ” Soit p un nombre premier. On a un isomorphisme
Z[i]=(p) ' Fp [X]=(X2 + 1):
Par suite, l™ideal (p) est premier dans Z[i] si et seulement si 1 n™est pas un carre dans Fp .
´ ´
Lemme 5.3.6. ” Soit p un nombre premier impair. Alors, 1 est un carre dans Fp si et
´
seulement si p Á 1 (mod 4).
Fin de la demonstration de la proposition. ” Ces deux lemmes montrent que p est
´
´ductible dans Z[i] si et seulement si p Á 3 (mod 4), ce qui e
irre ´tablit de ` le
´ja
troisieme aline du the ` me.
` ´a ´ore
Si p Á 1 (mod 4), p n™est pas irre ´ductible dans Z[i]. Soit un diviseur irre ´-
ductible de p. Alors, est aussi un diviseur irre ´ductible de p : d™une factorisation
p = z, on en de ´duit une autre p = z. De plus, et ne sont pas associe ´s.
, 2 Z, donc est un entier non inversible qui divise p,
(En effet, si =
c™est-a-dire = p, ce qui est absurde puisque p n™est pas irre
` ´ductible dans Z[i].
Si = "i avec " = 1, e ´crivons = a + ib, = a ib et a + ib = "i(a ib),
d™ou a = "b,
` = (1 + i")a et N( ) = 2N(a) est pair alors qu™il doit diviser
2
divise p. Soit a 2 Z[i] tel que p = a . On a alors
N(p) = p .) Par suite,
p2 = N( )N(a) = N( )2 N(a) et N( ) 6= 1. Donc N( ) = p, N(a) = 1 et a est
inversible dans Z[i]. Comme est un entier strictement positif, on a en fait
a = p= > 0, d™ou a = 1. Le the ` me est donc de
` ´ore ´montre´.
Preuve du lemme 5.3.5. ” On commence par remarquer que le noyau du mor-
phisme d™anneaux Z[X] ! Z[i] donne par P 7! P(i) est l™ide (X2 + 1). Cet
´ ´al
ide est manifestement contenu dans le noyau de cet homomorphisme et re
´al ´-
ciproquement, si P 2 Z[X] ve´ri¬e P(i) = 0, la division euclidienne de P par le
polynome unitaire X2 + 1 s™e
ˆ ´crit
P = (X2 + 1)Q + R; (a; b) 2 Z2 :
Q 2 Z[X]; R = aX + b;
Par suite, P(i) = ai + b = 0 et a = b = 0, donc R = 0 et P 2 (X2 + 1). On en
de
´duit des isomorphismes

Z[i]=(p) ' Z[X]=(X2 + 1) =(p) ' Z[X]=(p; X2 + 1)
Ð

' Z[X]=(p) =(X2 + 1) ' Fp [X]=(X2 + 1)
Ð
CHAPITRE 5. ANNEAUX PRINCIPAUX, FACTORIELS
72



et le lemme est de ´montre´.
Ainsi, l™ide (p) est premier dans Z[i] si et seulement si l™ide (X2 + 1) est
´al ´al
premier dans Fp [X]. Comme Fp est un corps, Fp [X] est un anneau factoriel
´quivaut au fait que X2 + 1 est un polynome irre
et cela e ˆ ´ductible dans Fp [X].
Comme il est de degre 2, cela revient a dire qu™il n™a pas de racine dans Fp ,
´ `
c™est-a-dire que 1 n™est pas un carre dans Fp .
` ´
Preuve du lemme 5.3.6. ” Soit la relation sur Fp de
´¬nie par
, ou
x y x= y x= 1=y:
C™est une relation d™e ´quivalence : elle est e
´videmment re´¬‚exive et syme´trique.
De plus, elle est transitive : si x = y et y = z, on a x = z ; si x = y et
y = 1=z, on a x = 1=z ; si x = 1=y et y = z, on a x = 1=z ; et si x = 1=y
et y = 1=z, on a x = z.
La classe d™e
´quivalence d™un e ´ment x a pour cardinal 2 si x = 1=x et 4 sinon.
´le
´ventuel e ´ment x 2 Fp tel que x2 = 1
Ainsi, la classe de 1 et la classe d™un e ´le
ont pour cardinal 2, les autres, en nombre d, ont pour cardinal 4. Comme les
classes d™e´quivalences forment une partition de Fp qui est de cardinal p 1, il
en re´sulte que
(
si 1 n™est pas un carre dans Fp ;
´
2 + 4d
p 1=
2 + 2 + 4d si 1 est un carre ´.
1 est un carre dans Fp si et seulement si p Á 1 (mod 4).
Ainsi, ´
Nous pouvons maintenant de ´montrer le the ` me 5.3.1. Soit p un nombre
´ore
impair. Si p = a2 + b2 , on a p = (a + ib)(a ib) et donc p n™est pas irre ´ductible
dans Z[i], d™ou p Á 1 (mod 4). Re ´ciproquement, si p Á 1 (mod 4), soit 2 Z[i]
`
et posons = a + ib. Alors, p = a2 + b2 . Remarquons aussi que
tel que p =
2 = 12 + 12 est la somme de deux carre d™entiers.
´s
´crire sous la forme k 2 m, ou m = p1 : : : pr est un
Soit n un entier 1. On peut l™e `
entier sans facteurs carre c™est-a-dire un produit de nombre premiers distincts.
´s, `
Si ces nombres premiers sont ne sont pas congrus a 1 modulo 4, il existe pour
`
tout j un e ´ment zj = aj + ibj 2 Z[i] tel que N(zj ) = zj zj = a2 + b2 = pj . Posons
´le j j
r r r
zj . On a N(z) = k 2 N(zj ) = k 2 pj = k 2 m = n. Comme z 2 Z[i],
Q Q Q
alors z = k
j=1 j=1 j=1
il existe a et b dans Z tels que z = a + ib et n = a2 + b2 .
´ciproquement, supposons que n = a2 + b2 est somme de deux carre et soit
Re ´s
p un nombre premier congru a 1 modulo 4 divisant n. On va montrer (par
`
re´currence sur n) que l™exposant de p dans la de ´composition en facteurs premiers
de n est pair. C™est vrai si n = 1. Si cl : Z ! Z=pZ de
´signe la surjection canonique,
on a donc cl(a)2 + cl(b)2 = 0. Supposons que cl(a) 6= 0. Alors, cl(a) est inversible
ˆ
5.4. ANNEAUX DE POLYNOMES 73



dans Z=pZ et cl(b)= cl(a) est un e ´ment de Fp dont le carre est 1, ce qui est
´le ´
absurde puisque p Á 1 (mod 4) (lemme 5.3.6). Ainsi, cl(a) = cl(b) = 0 ; a et
´crire a = pa0 , b = pb0 et n = p2 (a02 + b02 ).
b sont multiples de p. On peut donc e
Alors, m = n=p2 est un entier qui est somme de deux carre et m < n. Par
´s
re
´currence, l™exposant de p dans la de ´composition en facteurs premiers de m
est pair. Comme n = mp2 , il en est de meme pour n.
ˆ
Citons pour terminer un autre the ` me du meme genre : le the ` me des
´ore ˆ ´ore
quatre carre´s.

Theoreme 5.3.7 (Lagrange, 1770). ” Tout entier positif est somme de quatre carres :
´
´`
pour tout n 1, il existe a, b, c et d 2 Z tels que n = a2 + b2 + c2 + d2


5.4. Anneaux de polynomes
ˆ
Dans ce paragraphe, A est un anneau factoriel et l™on s™inte ´resse a l™anneau
`
A[X]. Tout d™abord, on rappelle que les elements inversibles de A[X] sont les polynomes
´´ ˆ
constants egaux a un element inversible de A . (Comme A est integre, si P et Q sont
`
´ ` ´´
deux polynomes de A[X], on a deg(PQ) = deg(P)+deg(Q). Par suite, si PQ = 1,
ˆ
deg(P) = deg(Q) = 0, P et Q sont des e ´ments de A, inverses l™un de l™autre
´le
dans A, donc inversibles. Voir aussi l™exercice 2.5.7,)

De¬nition 5.4.1. ” Soit A un anneau factoriel et soit P un polynome dans A[X]. Le
ˆ
´
contenu de P, note ct(P), est par de¬nition le pgcd des coef¬cients de P. Un polynome est
´ ´ ˆ
dit primitif si son contenu est 1, c™est-a-dire si ses coef¬cients sont premiers entre eux.
`

Proposition 5.4.2. ” Soit A un anneau factoriel et soit P et Q deux polynomes de A[X].
ˆ
Alors, ct(PQ) = ct(P) ct(Q).

Demonstration. ” Par de ´¬nition, il existe des polynomes primitifs P1 et Q1 dans
ˆ
´
A[X] tels que P = ct(P)P1 et Q = ct(Q)Q1 . Alors, PQ = ct(P) ct(Q)P1 Q1 et
ct(PQ) est ainsi e ´gal a ct(P) ct(Q) ct(P1 Q1 ). Il suf¬t donc de montrer que P1 Q1
`
est encore un polynome primitif.
ˆ
Soit un e ´ment irre
´le ´ductible de A. Nous allons montrer que ne divise
pas tous les coef¬cients de P1 Q1 . Comme P1 est primitif, la re ´duction cl(P1 ) de
P1 modulo est un polynome non nul a coef¬cients dans l™anneau A=( ). De
ˆ `
meme, cl(Q1 ) est un polynome non nul a coef¬cients dans A=( ). Or,
ˆ ˆ ` est
irre´ductible dans A qui est un anneau factoriel. Par suite, A=( ) est un anneau
integre et l™anneau de polynomes (A=( ))[X] est aussi integre (exemple 2.1.8).
` ˆ `
Il en re ´sulte que le produit cl(P1 ) cl(Q1 ) = cl(P1 Q1 ) est encore non nul dans
(A= )[X]. Cela signi¬e exactement que ne divise pas tous les coef¬cients de
P1 Q1 , ce qu™on voulait de ´montrer.
CHAPITRE 5. ANNEAUX PRINCIPAUX, FACTORIELS
74



Cette proposition fondamentale va nous permettre de de
´terminer les e ´ments
´le
irre
´ductibles de A[X].

Proposition 5.4.3. ” Soit A un anneau factoriel et soit K son corps des fractions. Les
elements irreductibles de A[X] sont
´´ ´
“ les elements irreductibles de A ;
´´ ´
“ les polynomes primitifs de A[X] qui sont irreductibles en tant que polynomes de K[X].
ˆ ´ ˆ

Demonstration. ” On commence par montrer que ces e ´ments sont irre
´le ´ductibles,
´
puis on montrera qu™il n™y en a pas d™autres.
Soit donc a un e ´ment de A qui est irre
´le ´ductible et soit P et Q deux polynomes
ˆ
de A[X] tels que a = PQ. Alors, deg(P) + deg(Q) = deg(PQ) = 0, donc P et
Q sont tous deux de degre 0, c™est-a-dire des e ´ments de A. Comme a est
´ ` ´le
irre´ductible dans A, P ou Q est inversible dans A, donc aussi dans A[X] et a
est bien irre´ductible dans A[X].
Soit maintenant P 2 A[X] un polynome primitif qui est irre
ˆ ´ductible dans K[X].
Si P = QR avec Q et R dans A[X], cela fournit a fortiori une de ´composition dans
K[X] si bien que Q ou R est inversible dans K[X], autrement dit, Q ou R est
constant. Supposons pour ¬xer les notations que R est un e ´ment de A, note
´le ´
a ; on a donc P = aQ. Par suite, le contenu de P vaut

ct(P) = ct(aQ) = a ct(Q)

et a est ne´cessairement inversible dans A donc dans A[X]. Ainsi, P est irre ´ductible
dans A[X].
Re´ciproquement, soit P un e ´ment irre
´le ´ductible de A[X]. Il existe un polynomeˆ
primitif P1 2 A[X] tel que P = ct(P)P1 . Par suite, ct(P) = 1 ou P1 est inversible
dans A[X].
Supposons d™abord que P n™est pas primitif. Alors, P1 est inversible dans A[X],
ce qui signi¬e que P1 est un polynome constant, inversible dans A. Il reste a
ˆ `
montrer que ct(P) est irre ´ductible, mais s™il ne l™e´tait pas, on pourrait e ´crire
ct(P) = ab ou ni a ni b n™est inversible dans A. Cela fournirait une factorisation
`
P = a(bP1 ) comme produit de deux e ´ments non inversibles, ce qui contredit
´le
l™hypothese que P est irre
` ´ductible.
Supposons maintenant que P1 n™est pas inversible dans A[X], c™est-a-dire `
deg(P) > 0. On a de ` vu que ct(P) = 1, donc P = P1 et il faut montrer que P
´ja
est irre´ductible dans K[X]. Soit P = QR une factorisation de P en produit de
deux e ´ments de K[X]. On peut e
´le ´crire Q = qQ1 et R = rR1 , ou q et r sont
`
deux e ´ments de K et Q1 et R1 sont deux polynomes primitifs de A[X]. On
´le ˆ
´
a ainsi P = (qr)Q1 R1 . Ecrivons alors qr = a=b ou a et b sont deux e ´ments de
` ´le
A. On a bP = aQ1 R1 . Par suite, ces deux polynomes ont meme contenu, b et
ˆ ˆ
ˆ
5.4. ANNEAUX DE POLYNOMES 75



a respectivement(1) , c™est-a-dire qr 2 A . Comme P est irre
` ´ductible dans A[X],
cette factorisation montre que Q1 ou R1 est inversible dans A[X], donc dans
K[X] ; par suite, Q = qQ1 ou R = rR1 est inversible dans K[X].
Theoreme 5.4.4. ” Si A est un anneau factoriel, A[X] est un anneau factoriel.
´`
Demonstration. ” Notons K le corps des fractions de A. Soit P un e ´ment de A[X].
´le
´
r
Q
Il admet une de´composition en facteurs irre´ductibles dans K[X] : P = c Pi ou `
i=1
les Pi sont des polynomes de A[X] qui sont primitifs et irre
ˆ ´ductibles dans K[X]
´ Q
et c 2 K. Ecrivons c = a=b avec a et b 2 A premiers entre eux. Alors, bP = a Pi .
i
Q
Ces deux polynomes ont meme contenu, c™est-a-dire que b ct(A) = a ct(Pi ) = a.
ˆ ˆ `
i
Par suite, c = a=b appartient a A et il admet une de
` ´composition en facteurs
s
Q
j avec u 2 A et les j 2 A irre
irre
´ductibles c = u ´ductibles. On a ¬nalement
j=1
l™e
´galite
´
s r
Y Y
P=u Pi :
j
j=1 i=1
D™apres la proposition pre ´dente, les j et les Pi sont ire
` ´ce ´ductibles dans A[X].
Cette e ´galite prouve donc que P admet une de
´ ´composition en facteurs irre ´duc-
tibles dans A[X].
Pour montrer l™unicite il suf¬t d™e
´, ´tablir que le lemme de Gauß est ve ´ :´ri¬e
si un e ´ment irre
´le ´ductible de A[X] divise un produit, il divise l™un des facteurs.
Soit d™abord un e ´ment irre
´le ´ductible de A qui divise un produit PQ de deux
polynomes de A[X]. Il s™ensuit que divise ct(PQ) = ct(P) ct(Q). Par suite
ˆ
divise ct(P) ou ct(Q) et donc il divise P ou Q.
Soit maintenant un polynome primitif 2 A[X], irre
ˆ ´ductible dans K[X] qui
divise un tel produit PQ. Il divise par conse ´quent l™un des facteurs dans K[X],
soit P pour ¬xer les notations : P = R avec R 2 K[X]. On e ´crit alors R = (a=b)R1
ou R1 2 A[X] est primitif, et a et b sont deux e ´ments de A premiers entre eux.
` ´le
On a alors bP = bR = aR1 . L™e ´galite des contenus montre que a = b ct(P) et
´
donc a=b = ct(P) appartient a A. On a donc R 2 A[X], ce qui prouve que
`
divise P dans A[X].
Corollaire 5.4.5 (Gauß). ” Si A est un anneau factoriel, A[X1 ; : : : ; Xn ] est un an-
neau factoriel. En particulier, si k est un corps, k[X1 ; : : : ; Xn ] est un anneau factoriel.
Demonstration. ” C™est imme ´diant par re ´currence sur n en utilisant l™isomor-
´
phisme
A[X1 ; : : : ; Xn ] ' (A[X1 ; : : : ; Xn 1 ])[Xn ]:
(1)
a multiplication par un e ´ment inversible de A
` ´le bien entendu
CHAPITRE 5. ANNEAUX PRINCIPAUX, FACTORIELS
76




Exercice 5.4.6. ” a) Soit k un corps. Les e ´ments X et Y de k[X; Y] sont premiers
´le
entre eux mais l™ide (X; Y) n™est pas e
´al ´gal a (1). En de
` ´duire que k[X; Y] n™est
pas un anneau principal.
b) Si ce n™e ´tait de ` fait, re
´ja ´soudre l™exercice 4.3.11.


5.5. Resultant. Un theoreme de Bezout
´ ´` ´
De¬nition 5.5.1. ” Soit P = an Xn + + a0 et Q = bm Xm + + b0 deux polynomes
ˆ
´
de A[X] de degres inferieurs ou egaux a n et m respectivement. Leur re ´sultant (de taille
´ ´ ´ `
(n; m)) est le determinant
´
þ
b0 0þ
þ
þ a0 0 þ
þ
b1 b0
þ a1 a0
þ
þ
. ...
þ
þ. ... . þ
. .
þ. þ
þ
a0 b m 1 b0
þ
þ am 1 þ
þ
...
þ. .
þ
. .
þ
bm
þ. . þ
Resn;m (P; Q) = þ ...
þ
þ. .
þ. . b0 þ
þ
. .


þ an an 1 an m+1
þ
bm .þ
. .þ
..
þ
. .þ
an . . .þ
þ
þ
.
.. ... . þ
.
þ

. . .þ
þ
þ
an
þ0
bm þ
0
| {z }| {z }
m colonnes n colonnes

(Pre ´ment, le vecteur colonne (a0 ; : : : ; an ) est recopie m fois de ´ puis le
´cise ´ ´cale
vecteur colonne (b0 ; : : : ; bm ) est recopie n fois de ´.)
´ ´cale
Proposition 5.5.2. ” Soit k un corps et soit P; Q deux polynomes de k[X] de degres
ˆ ´
inferieurs ou egaux a n et m respectivement. Alors, Resn;m (P; Q) est nul si et seulement si
´ ´ `
“ ou bien P et Q ne sont pas premiers entre eux ;
“ ou bien an = bm = 0.
Demonstration. ” Remarquons pour commencer que Resn;m (P; Q) est le de
´termi-
´
nant de l™application line
´aire
! k[X]m+n 1 ; (U; V) 7! UP + VQ
: k[X]m k[X]n
1 1

dans les bases (1; : : : ; Xm 1 ; 1; : : : ; Xn 1 ) au de
´part et (1; X; : : : ; Xm+n 1 ) a l™arrive
` ´e.
(Si p est un entier, k[X]p de ´signe le k-espace vectoriel des polynomes de degre
ˆ ´
infe
´rieur ou e´gal a p ; il est de dimension p + 1.) Nous allons calculer le rang
`
de .
´ ´ ` ´
5.5. RESULTANT. UN THEOREME DE BEZOUT 77



Si P = Q = 0, alors m = n = 0 et la de ´¬nition du de ´terminant montre que
Resn;m (P; Q) = 0. Supposons maintenant qu™ils ne sont pas tous deux nuls et soit
D leur pgcd On e ´crit P = DP1 et Q = DQ1 ou P1 et Q1 sont deux polynomes
` ˆ
de k[X] premiers entre eux. Alors, si U et V 2 k[X] ve ´ri¬ent UP + VQ = 0, on
a UP1 + VQ1 = 0. Par suite, Q1 divise U et P1 divise V. On a donc U = Q1 S et
V = P1 T, mais ne ´cessairement, T = S, d™ou ¬nalement U = Q1 S et V = P1 S.
`
Alors, U 2 k[X]m 1 si et seulement si deg(S) „ m 1 deg(Q1 ), tandis que
V 2 k[X]n 1 si et seulement si deg(S) „ n 1 deg(P1 ). On remarque que

m deg(Q1 ) = m
1 deg(Q) + deg(Q) deg(Q1 ) 1
= (m deg(Q)) + deg(D) 1

et de meme, n
ˆ 1. Posons
1 deg(P1 ) = (n deg(P)) + deg(D)

s = min(n deg(P); m deg(Q))

de sorte que s = 0 a moins que an = bm = 0. Finalement, avec ces notations, le
`
noyau de est isomorphe a k[X]s+deg(D) 1 , donc est de dimension s + deg D.
`
Il en re
´sulte que Resn;m (P; Q) est nul si et seulement si s+deg D > 0, c™est-a-dire
`
si an = bm = 0 ou si D est de degre non nul.
´

Corollaire 5.5.3. ” Soit k un corps algebriquement clos et A l™anneau k[Y]. Soit P et
´
´
Q deux polynomes de k[X; Y] = A[X]. Ecrivons ainsi
ˆ

P = Pn (Y)Xn + et Q = Qm (Y)Xm +
+ P0 (Y) + Q0 (Y)

ou les Pi et les Qj sont des elements de k[Y]. Soit R = Resm;n (P; Q) 2 k[Y] le resultant de
` ´´ ´
taille (n; m) du couple (P; Q). Alors, un element y 2 k est racine de R si et seulement si
´´
“ ou bien les polynomes P(X; y) et Q(X; y) ont une racine commune dans k ;
ˆ
“ ou bien Pn (y) = Qm (y) = 0.

Demonstration. ” Il re
´sulte de la formule de
´¬nissant le re ´sultant que
´
Ð
R(y) = Resn;m (P; Q) (y) = Resn;m (P(X; y); Q(X; y)):

Il suf¬t donc d™appliquer le the ` me pre ´dent aux polynomes P(X; y) et Q(X; y)
´ore ´ce ˆ
de k[X].

Theoreme 5.5.4 (Be ´zout). ” Soit P et Q deux polynomes premiers entre eux de C[X; Y].
ˆ
´`
(2)
Notons p et q leurs degres . Alors, l™ensemble des racines communes a P et Q (c™est-a-dire les
´ ` `
couples (x; y) 2 C2 tels que P(x; y) = Q(x; y) = 0) est ¬ni et est de cardinal au plus pq.

(2)
Le degre d™un monome Xr Y s est r + s ; le degre d™une somme de monomes P = ars Xr Y s 2
P
´ ˆ ´ ˆ
C[X; Y] avec ars 6= 0 est le maximum des degre des monomes.
´s ˆ
CHAPITRE 5. ANNEAUX PRINCIPAUX, FACTORIELS
78



Demonstration. ” Comme P et Q sont premiers entre eux dans C[X; Y], ils le
´
sont aussi dans C(Y)[X] et leur re ´sultant R par rapport a X est un polynome
` ˆ
non nul RY de C[Y]. Ainsi, les racines communes a P et Q n™ont qu™un nombre
`
¬ni d™ordonne y possibles. Le meme argument en e
´es ˆ ´changeant les roles de X et
ˆ
Y montre qu™il n™y qu™un nombre ¬ni d™abscisses possibles. Par suite, l™ensemble
des racines communes a P et Q est ¬ni.
`
Montrons maintenant que le cardinal de est infe´rieur ou e´gal au produit
des degre de P et Q.
´s
Faisons tout d™abord un changement de variables line ´aire de sorte qu™une
droite horizontale ne contienne au plus qu™un point de . (Il n™y a qu™un
nombre ¬ni de directions est a e
` ´viter, donc c™est possible.) Les polynomes P et
ˆ
Q sont change mais leurs degre restent e
´s, ´s ´gaux a p et q respectivement. Il suf¬t
`
maintenant de montrer que l™ensemble des ordonne des points de
´es est de
cardinal au plus pq.
´
Ecrivons
P = Pn (Y)Xn + et Q = Qm (Y)Xm +
+ P0 (Y) + Q0 (Y)
ou Pn et Qm sont non nuls. Soit R = Resn;m (P; Q) (re
` ´sultant par rapport a X). Si
`
y 2 C est l™ordonne d™un point de , P(X; y) et Q(X; y) ont une racine commune
´e
et par suite, R(y) = 0. Il suf¬t donc de montrer que R est un polynome de ˆ
degre infe
´ ´rieur ou e
´gal a pq.
`
On constate d™abord que les Pi sont de degre „ p i et que les Qj sont de
´s
degre „ q j. Explicitons le coef¬cient Rij a la ligne i et a la colonne j du
´s ` `
de´terminant qui de ´¬nit R :
“ pour 1 „ j „ m, on a Rij = Pi j si 0 „ i j „ n et Rij = 0 sinon ;
“ pour m + 1 „ j „ m + n, on a Rij = Qi j+m si 0 „ i j + m „ m et Rij = 0
sinon.
En particulier, le degre de Rij est majore par
´ ´
(
si 1 „ j „ m ;
p i+j
deg(Rij ) „ :
q m i + j si m + 1 „ j „ m + n.
m+n
Q
Le de
´terminant R est une somme de produits de la forme (i)i , e
´tant une
R
j=1
permutation de f1; : : : ; m + ng. Or, le degre d™un tel produit est majore par
´ ´
m+n m m+n
X X X
(j)j ) „ (j) + j) + m (j) + j)
deg(R (p (q
j=1 j=1 j=m+1
m+n m+n
X X
„ pm + n(q m) j
(j) +
j=1 j=1

„ pq m) „ pq:
n)(q
(p
´ ´ ` ´
5.5. RESULTANT. UN THEOREME DE BEZOUT 79



´sulte que deg(R) „ pq. Le the ` me est de
Il en re ´ore ´montre
´.



Donnons quelques re
´sultats comple
´mentaires sur le re
´sultant.

Proposition 5.5.5. ” Soit A un anneau et soit P, Q deux polynomes de A[X] de degres
ˆ ´
inferieurs ou egaux a n et m respectivement. Alors, le resultant Resn;m (P; Q) appartient a
´ ´ ` ´ `
l™ideal
´
(P; Q)A[X] \ A:

Demonstration. ” On peut calculer le de ´terminant qui de ´¬nit le re
´sultant dans
´
tout anneau qui contient A, et notamment dans A[X]. Ajoutons alors a la premiere
` `
ligne X fois la seconde, X2 fois la troisieme, etc. Il s™ensuit que Resn;m (P; Q) est
`
le de´terminant d™une matrice a coef¬cients dans A[X] dont la premiere ligne
` `
est
Xm 1 P Q XQ : : : Xn 1 Q
P XP : : :

En de ´veloppant le de ´terminant par rapport a cette ligne, on constate que
`
Resn;m (P; Q) est de la forme UP + VQ pour deux polynomes U et V dans A[X].
ˆ
Ainsi, il appartient bien a l™ide (P; Q)A[X] engendre par P et Q dans A[X].
` ´al ´
Comme il appartient aussi a A, il appartient a l™ide (P; Q)A[X] \ A de A.
` ` ´al

Proposition 5.5.6. ” Soit A un anneau et soit P et Q deux polynomes de A[X] qui
ˆ
n m
Q Q
sont scindes : P = an (X ti ) et Q = bm (X uj ). Alors,
´
i=1 j=1

m n
Resn;m (P; Q) = ( 1)mn am bn uj ) = bn P(uj ) = am ( 1)mn
Y Y Y
(ti Q(tj ):
nm m n
i;j j=1 i=1


Demonstration. ” L™e ´galite des trois expressions de droite est e
´ ´vidente. Nous
´
allons montrer qu™elles sont e ´gales a Resn;m (P; Q) par re
` ´currence sur n. Si n = 0,
P = a0 , Res0;m (P; Q) = am , donc la formule est ve ´e. Nous allons maintenant
´ri¬e
0
montrer par des combinaisons line ´aires sur le de´terminant que

t)P; Q) = ( 1)m Q(t) Resn;m (P; Q):
Resn+1;m ((X

En effet, si P = an Xn + + a0 , on a

t)P = an Xn+1 + (an tan )Xn + ta1 )X + a0
(X + (a0

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