<<

. 8
( 15)



>>

un e ´ment a ve
´le `
Ainsi, Ker ' = (p) et Mn ' A=(p).

Theoreme 8.2.8 (Unicite des facteurs invariants). ” Soit A un anneau principal,
´
´`
(d1 ; : : : ; dr ) et (e1 ; : : : ; es ) deux suites d™elements non inversibles de A tels que
´
“ pour tout i, di divise di+1 et ei divise ei+1 ;
CHAPITRE 8. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL
142


r s
L L
“ A=(di ) est isomorphe a A=(ds ).
`
i=1 j=1
Alors, r = s et pour tout i, les ideaux (di ) et (ei ) sont egaux.
´ ´

Demonstration. ” Pour simpli¬er les notations par la suite, rajoutons des e ´ments
´le
´
inversibles au de ´but de la liste des di si r < s ou de la liste des ej si r > s. On
pre ´serve ainsi les relations de divisibilite et r et s sont e
´ ´gaux ” de force. Si on a
rajoute un e ´ment inversible au de
´ ´le ´but de la liste des di , la relation (d1 ) = (e1 )
impliquera que e1 est aussi inversible, ce qui est absurde. Ainsi, on n™aura rien
rajoute et r e
´ ´tait bien e´gal a s.
`
r
L
Notons M le module A=(di ). Posons pour tout i et tout j,
i=1

np;i = supfn 2 N ; pn j di g; mp;j = supfn 2 N ; pn j ej :
Si di est non nul, cela revient a dire que la de
` ´composition en facteurs premiers
de di s™e´crit
di = ui pnp;i :
Y
p

Si di = 0, on a np;i = +1. Les relations de divisibilite sur les di se traduisent en
´
´galite np;1 „ np;2 „ „ np;r et mp;1 „ mp;2 „ „ mp;r
les ine ´s
´ductible p de A. Alors, pn M=pn+1 M est un A-module
Fixons un e ´ment irre
´le
isomorphe a (A=p)t , ou t est le plus grand entier tel que pn+1 divise dr t+1 . De
` `
plus, comme A est un anneau principal, l™ide (p) est maximal, donc pn M=pn+1 M
´al
est naturellement un A=p-espace vectoriel. Sa dimension est ainsi e ´gale au plus
grand entier t tel que pn+1 divise dr t+1 . Par suite, pour tout k 0,
k + 1 , dimA=p (pn M=pn+1 M) t , mp;r
np;r k + 1:
t+1 t+1

Ainsi, np;t = mp;t pour tout t.
Comme p est arbitraire, on a np;t = mp;t pour tout t et tout irre
´ductible p. Par
suite, pour tout t, on a l™e´galite d™ide
´ ´aux (dt ) = (et ).

Exercice 8.2.9. ” Calculer les facteurs invariants des modules (Z=3Z) (Z=5Z)
et (Z=6Z) (Z=4Z).

Solution. ” Comme 3 et 5 sont premiers entre eux, (Z=3Z) (Z=5Z) est isomorphe
a Z=15Z. Il n™a qu™un facteur invariant, e
` ´gal a 15.
`
Les entiers 6 et 4 ne sont pas premiers entre eux, mais on a 6 = 2 3 et 2 et
3 sont premiers entre eux, d™ou`
(Z=4Z) ' (Z=2Z)
(Z=6Z) (Z=3Z) (Z=4Z):
Comme 3 et 4 sont premiers entre eux, on peut les regrouper et
(Z=4Z) ' (Z=2Z)
(Z=6Z) (Z=12Z)
8.2. MODULES DE TYPE FINI 143



dont les facteurs invariants sont (2; 12).
Dans le but de fournir une seconde de ´monstration de l™unicite reformulons
´,
le the ` me des facteurs invariants en termes de matrices.
´ore
Proposition 8.2.10. ” Soit A un anneau principal et soit M 2 Matr;n (A) une matrice a `
r colonnes et n lignes a coef¬cients dans A dont les colonnes sont lineairement independantes.
` ´ ´
Alors, il existe deux matrices P 2 GLn (A) et Q 2 GLr (A), des elements non nuls d1 ; : : : ; dr
´´
de A tels que d1 j d2 j dr de sorte que
0 1
d1
...
B C
C:
PMQ = B
B C
dr A
@
0
´rons le sous-module V de An engendre par les vecteurs
Demonstration. ” Conside ´
´
colonnes (v1 ; : : : ; vr ) de M. Par de ´¬nition, il est libre de rang r. Notons ("1 ; : : : ; "n )
la base canonique de A . Ainsi, M est la matrice de l™injection V ! An dans les
n

bases (v1 ; : : : ; vr ) et ("1 ; : : : ; "n ).
D™apres le the ` me des facteurs invariants, il existe une base (e1 ; : : : ; en ) de
` ´ore
n
A et des e ´ments (d1 ; : : : ; dr ) de A tels que (d1 e1 ; : : : ; dr er ) soit une base de V
´le
et tels que d1 j d2 j j dr .
Soit alors P la matrice de passage de la base (e1 ; : : : ; en ) a la base ("1 ; : : : ; "n ) dans
`
n
A et soit Q la matrice de passage de la base (v1 ; : : : ; vr ) a la base (d1 e1 ; : : : ; dr er ) dans
`
V. Alors, PMQ est la matrice de l™injection V ! An dans les bases (d1 e1 ; : : : ; dr er )
sur V et (e1 ; : : : ; en ) sur An . Elle est exactement comme indique dans l™e ´ ´nonce ´
de la proposition.
Corollaire 8.2.11. ” Avec les notations precedentes, pour tout s 2 f1; : : : ; rg, l™ideal
´´ ´
(d1 : : : ds ) est l™ideal engendre par les mineurs s s de la matrice M.
´ ´
Demonstration. ” Remarquons que la formule est ve ´e si M est diagonale
´ri¬e
´
(d1 ; : : : ; dr ) comme dans la conclusion du the ` me. Le corollaire sera de
´ore ´montre ´
des que l™on e
` ´tablit que cet ide engendre par les mineurs de taille donne de
´al ´ ´e
M est inchange lorsqu™on multiplie M par une matrice inversible a droite ou a
´ ` `
gauche.
Soit ainsi I f1; : : : ; ng et J f1; : : : ; rg deux parties de cardinal s et soit P un
e ´ment de Matn (A). Les colonnes de PM sont des combinaisons line
´le ´aires des
colonnes de M. Par suite, la n-line ´arite des de
´ ´terminants montre que le mineur
(I; J) de PM est une combinaison line ´aire des mineurs de rang s dans M. Ainsi,
l™ide IPM engendre par les mineurs de rang s de M est contenu dans l™ide
´al ´ ´al
IM . Si P est inversible, on a l™inclusion
IM = IP IPM ;
1 PM
CHAPITRE 8. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL
144



d™ou ¬nalement l™e
` ´galite
´.
L™argument lorsqu™on multiplie M par une matrice de GLr (A) a droite est
`
identique en e
´changeant lignes et colonnes.


8.3. Exemples
Pour nous, les deux exemples fondamentaux d™anneaux principaux sont Z et
k[X], k e´tant un corps commutatif.
Rappelons qu™un Z-module de type ¬ni n™est rien d™autre qu™un groupe abe ´lien
¬ni. Il re
´sulte alors du the ` me des facteurs invariants le the ` me suivant.
´ore ´ore
Theoreme 8.3.1. ” Si G est un groupe abelien de type ¬ni, il existe un unique entier
´
´`
r 0 et une unique famille d™entiers strictement positifs (d1 ; : : : ; ds ) telle que d1 divise
d2 . . .qui divise ds et telle que
G ' Zr (Z=d1 Z) (Z=ds Z):

8.3.2. Matrices et modules sur l™anneau des polynomes. ” Soit k un corps. On va
ˆ
s™inte
´resser maintenant a certains k[X]-modules. Pour commencer, rappelons
`
quelques re ´sultats de l™exercice 6.6.7. Soit V un k-espace vectoriel et u un
endomorphisme de V. On de ´¬nit alors une structure de k[X]-module sur V en
d
an X n ,
P
posant pour tout polynome P 2 k[X] et tout v 2 V, P v = P(u)(v). Si P =
ˆ
n=0
on a ainsi
d
an un (v):
X
P v=
n=0
On note Vu le k[X]-module ainsi obtenu.
Si V0 est un autre k-espace vectoriel et u0 un endormorphisme de V0 , un homo-
0
morphisme (de k[X]-modules) de Vu dans Vu0 est la donne d™une application
´e
´aire f : V ! V0 telle que f u = u0 f .
k-line
En particulier, si V0 = V, les k[X]-modules Vu et Vu0 sont isomorphes si et
seulement si il existe f 2 GL(V) telle que u = f 1 u0 f , c™est-a-dire si u et u0 sont
`
conjugues. (En termes de matrices, on dit semblables.)
´
De¬nition 8.3.3. ” Un k[X]-module M est dit cyclique s™il existe un polynome P 2 k[X]
ˆ
´
non nul tel que M ' k[X]=(P).
Lemme 8.3.4. ” Si V est un k-espace vectoriel, u un endormorphisme de V, le k[X]-module
Vu est cyclique si et seulement si il existe un vecteur v 2 V et un entier n 1 tels que la
famille (v; u(v); : : : ; un 1 (v)) soit une base de V.
Demonstration. ” Commen¸ ons la de
c ´monstration par une remarque. Si P est un
´
polynome non nul, le k[X]-module cyclique k[X]=(P) est de dimension ¬nie
ˆ
8.3. EXEMPLES 145



comme k-espace vectoriel, dimension d™ailleurs e ´gale au degre de P. De plus, si
´
n = deg P, les e ´ments cl(1), cl(X), . . ., cl(Xn 1 ) en forment une base.
´le
Soit maintenant V un k-espace vectoriel et u un endormorphisme de V. Si Vu
est cyclique, l™image de X par un isomorphisme k[X]=(P) ' Vu est un e ´ment ´le
v de V tel que (v; u(v); : : : ; un 1 (v)) soit une base de V. Re ´ciproquement, si
v 2 V est un vecteur tel que la famille (v; u(v); : : : ; un 1 (v)) soit une base de V,
n1
n
ap up (v) dans cette base. Alors l™homomorphisme ' : k[X] ! V,
P
e
´crivons u (v) =
p=0
P 7! P(u)(v) est surjectif et un polynome P est dans le noyau si et seulement s™il
ˆ
n1
n
ap Xp ). En effet, la division euclidienne
P
est multiple du polynome = (X
ˆ
p=0
est un polynome R de degre < n. Si R 6= 0 mais si son image par
de P par ˆ ´
' est nul, on obtient une relation de de ´pendance line ´aire non triviale entre
(v; : : : ; un 1 (v)), ce qui est absurde.

Remarque 8.3.5. ” Si Vu est un endomorphisme cyclique, la matrice de u dans
la base (v; : : : ; un 1 (v)) est e
´gale a
`
0 1
a0
0
a1 C
B1 0
. C;
B C
B .. .. .A
. . .
@
0 an
1 1

c™est-a-dire a la matrice compagnon C du polynome = Xn an 1 Xn 1
` ` ˆ a1 X a0 .
De plus, est le polynome minimal et le polynome caracte
ˆ ˆ ´ristique de cette
matrice.

Les rappels qui pre ` dent et le the ` me 8.2.1 e
´ce ´ore ´tablissent le the ` me suivant.
´ore

Theoreme 8.3.6. ” Soit k un corps. Soit V un k-espace vectoriel de dimension ¬nie et
´`
u un endomorphisme de V. Il existe alors une unique famille (P1 ; : : : ; Pr ) de polynomesˆ
unitaires (non constants) dans k[X] tels que P1 divise. . .qui divise Pr et telle que la matrice
de u soit semblable a la matrice diagonale par blocs
`
0 1
CP1
CP2
B C
C:
B C
..
B
.
@ A
CPr

Les polynomes (P1 ; : : : ; Pr ) sont appele facteurs invariants de u. On constate
ˆ ´s
sur l™expression matricielle ci-dessus Pr est le polynome minimal de u, tandis
ˆ
que P1 : : : Pr est son polynome caracte
ˆ ´ristique.
CHAPITRE 8. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL
146



Corollaire 8.3.7. ” En particulier deux endomorphismes u et u0 sont semblables s™ils
ont meme famille de facteurs invariants.
ˆ
Exercice 8.3.8 (De
´composition de Jordan). ” Soit k un corps alge ´briquement
clos. Soit V un k-espace vectoriel de dimension ¬nie et u un endomorphisme
de V. Montrer que V possede une base dans laquelle la matrice de u est
`
diagonale par blocs, chaque bloc e ´tant un « bloc de Jordan » de la forme
0 1
1 0
..
B C
.C
B
B C
..
. 1A
B C
@
0
(Utiliser la decomposition du k[X]-module Vu fournie par la proposition 8.2.6.)
´
Toute la the´orie qui pre ` de a un corollaire amusant, facile, mais non trivial
´ce
si on e
´vite la the
´orie des facteurs invariants.
Corollaire 8.3.9. ” Soit K un corps et k K un sous-corps. Soit A et B deux matrices
de Matn (k) qui soient semblables en tant que matrices de Matn (K), c™est-a-dire qu™il existe
`
P 2 GLn (K) telle que B = P 1 AP. Alors, A et B sont semblables sur k : il existe Q dans
GLn (k) telle que B = Q 1 AQ.
Demonstration. ” Notons (P1 ; : : : ; Pr ) la famille des facteurs invariants de A en
´
tant que matrice a coef¬cients dans k. Il existe donc une base de V = k n dans
`
laquelle la matrice de A est une diagonale-blocs de matrices compagnons de
polynomes caracte
ˆ ´ristiques (P1 ; : : : ; Pr ). La meme matrice de changement de base
ˆ
fournit une base de K n dans laquelle la matrice de A est la meme diagonale
ˆ
par blocs. En particulier, les facteurs invariants de A en tant que matrice a `
coef¬cients dans K sont aussi les Pi .
Soit maintenant (Q1 ; : : : ; Qs ) la famille des facteurs invariants de B en tant
que matrice a coef¬cients dans k, ou dans K, puisque c™est la meme chose.
` ˆ
Puisque A et B sont semblables en tant que matrices a coef¬cients dans K, on
`
a les e´galite r = s et P1 = Q1 , . . ., Pr = Qr . Par suite A et B sont semblables en
´s
tant que matrices a coef¬cients dans k.
`

8.3.10. Calcul des facteurs invariants d™une matrice. ” Nous allons utiliser le corol-
laire 8.2.11 pour calculer les facteurs invariants d™une matrice.
Proposition 8.3.11. ” Soit k un corps et soit A une matrice de Mn (k). Pour tout entier
r compris entre 1 et n, soit r 2 k[X] le pgcd des mineurs d™ordre r de la matrice XIn A.
Alors, il existe des polynomes P1 ; : : : ; Pn dans k[X] tels que
ˆ
1; 2; : : : ; P1 : : : Pn = n:
P1 = P1 P2 =
8.4. EXERCICES 147



Pour tout r, Pr divise Pr+1 et si r est le plus petit entier tel que Pr 6= 1, les facteurs invariants
de A sont les (Pr+1 ; : : : ; Pn ).

Demonstration. ” Posons A = k[X]. Pour de ´duire cette proposition du corol-
´
laire 8.2.11, Il suf¬t de remarquer que, notant (e1 ; : : : ; en ) la base canonique de
An , l™homomorphisme
' : An ! An ; ei 7! Xei u(ei )
A et que (k n )A est isomorphe a An = Im '.
a pour matrice XIn `


8.4. Exercices
Exercice 8.4.1. ” Soient A un anneau principal et L, M deux A-modules de type
¬ni. Montrer que HomA (L; M) est un A-module de type ¬ni.

Exercice 8.4.2. ” Soit A un anneau principal et M un A-module de type ¬ni.
a) Justi¬er l™existence d™e ´ments mi (pour 1 „ i „ s) de M d™annulateurs
´le
(di ), avec d1 j : : : jds , tel que
s
M
Ami :
M=
i=1
Soit i 2 f1; : : : ; sg. Montrer qu™il existe ui 2 EndA (M) tel que
b)
ui (m1 ) = = ui (ms 1 ) = 0; ui (ms ) = mi :
c) Soit u 2 EndA (M) qui commute a tout autre e ´ment de EndA (M). Montrer
` ´le
qu™il existe a 2 A tel que u(m) = am pour tout m.
d) Soit u : M ! M une application additive telle que pour tout v 2 EndA (M),
´tie m 7! am, pour a 2 A.
u v = v u. Montrer que u est une homothe
e) Soit K un corps commutatif, E un K-espace vectoriel de dimension ¬nie
sur K et u 2 EndK (E). Montrer que tout endomorphisme de E qui commute a `
tout endomorphisme commutant a u est un polynome en u. (On pourra utiliser
` ˆ
la structure de K[X]-module sur E de¬nie par u.)
´

Exercice 8.4.3. ” Dans Mn (Z), on de ´¬nit la relation A B si et seulement s™il
existe P et Q dans GLn (Z) tels que AP = QB.
a) Montrer que c™est une relation d™e ´quivalence.
b) Montrer que l™ensemble des matrices de la forme diag(d1 ; : : : ; dn ), ou les `
´ri¬ant d1 jd2 j : : : jdn est un systeme de repre
di sont des entiers positifs ve ` ´sentants
des classes d™e ´quivalences.
c) Ge ´raliser les questions pre ´dentes au cas d™un anneau principal quel-
´ne ´ce
conque.
d) Retrouver un re ´sultat du cours de DEUG lorsque A est un corps.
CHAPITRE 8. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL
148



Exercice 8.4.4. ” Soit A un anneau principal et L un A-module libre de rang
¬ni. Soit M un sous-Z-module de L. Montrer qu™il possede un supple
` ´mentaire
dans L si et seulement si L=M est sans-torsion.

Exercice 8.4.5. ” Soit M un module libre de type ¬ni sur un anneau principal
A.
a) Soit m 2 M non nul. Montrer que les proprie ´s suivantes sont e
´te ´quivalentes :
(1) m fait partie d™une base ;
(2) il existe f 2 M tel que f (m) = 1 ;
(3) les coordonne de m dans toute base de M sont premieres entre elles ;
´es `
(4) les coordonne de m dans une base de M sont premieres entre elles ;
´es `
(5) si m = am0 avec a 2 A, alors a 2 A ;
(6) si am = a0 m0 avec a 2 A, a0 2 A et a 6= 0, alors a est multiple de a0 .
On dit qu™un tel vecteur est primitif.
b) Montrer que tout vecteur est multiple d™un vecteur primitif.
c) Exemple : A = Z, M = Z4 , m = (126; 210; 168; 504).

Exercice 8.4.6. ” Soit M une matrice a n lignes et p colonnes (p „ n) dont les
`
coef¬cients sont dans un anneau principal A.
´ter M en une matrice P 2 GL(n; A) si et seulement
Montrer qu™on peut comple
si le pgcd des mineurs d™ordre p de A est e´gal a 1.
`

Exercice 8.4.7. ” Soit A un anneau principal, K son corps des fractions.
a) Soit x un e ´ment non nul de K n . Montrer qu™il existe une matrice de
´le
GLn (A) dont la colonne est proportionnelle a x.
`
b) De ´montrer que toute matrice carre d™ordre n a coef¬cients dans K
´e `
est produit d™une matrice de GLn (A) et d™une matrice triangulaire de Mn (K).
(Raisonner par re ´currence.)
c) Application numerique : A = Z et
´
0 1
1=2 1 1=4
2=3 A :
M = @2=5 2
3=4 1=7 1
Exercice 8.4.8. ” Soit A un anneau principal et M un A-module de type ¬ni. On
note (d1 ; : : : ; dr ) les facteurs invariants de M.
Montrer que toute famille ge ´ratrice d™e ´ments de M a au moins r e ´ments.
´ne ´le ´le

Exercice 8.4.9. ” a) Soit G un groupe abe ´lien ¬ni. Soit n le plus petit entier
1 tel que nG = 0. Montrer qu™il existe g 2 G d™ordre n, c™est-a-dire tel que n
`
est le plus petit entier 1 tel que ng = 0.
b) Soit K un corps commutatif et soit G un sous-groupe ¬ni de K . Montrer
que G est cyclique.
8.5. SOLUTIONS 149



En particulier, le groupe multiplicatif d™un corps ¬ni est cyclique.


8.5. Solutions
Solution de l™exercice 8.4.1. ” Comme A est principal, tout A-module de type ¬ni
est somme directe de A-modules e ´gaux a A ou a A=aA. De plus,
` `
L0 ; M) = Hom(L; M) Hom(L0 ; M):
Hom(L
Par re
´currence, il suf¬t ainsi de traiter le cas ou L = A et le cas ou L = A=a
` `
avec a 2 A non nul. Dans le premier cas, HomA (L; M) = HomA (A; M) = M est
un A-module de type ¬ni. Dans le second cas,
HomA (L; M) = HomA (A=a; M) = fm 2 M ; ax = 0g = Ma
est l™ensemble des e ´ments de M qui sont annule par a. C™est un sous-A-module
´le ´s
de M. Comme A est principal, il est noethe ´rien et Ma est de type ¬ni.
Solution de l™exercice 8.4.2. ” a) C™est exactement le the ` me de structure des
´ore
modules de type ¬ni sur un anneau principal.
b) D™apres la question pre ´dente, M est le quotient de As par le sous-module
` ´ce
(ds ). Si la base canonique de As est note (e1 ; : : : ; es ), il suf¬t donc
´e
(d1 )
de prouver que l™homomorphisme u : As ! M tel que u(ej ) = 0 pour j < s et
(ds ). Or, soit x = (a1 ; : : : ; as ) 2 As ,
u(es ) = mi a un noyau qui contient (d1 )
avec ai 2 (di ) pour tout i ; on a donc u(x) = as mi = 0 car as est multiple de ds ,
donc de di et di mi = 0.
c) Soit u un e ´ment du centre de EndA (M). Soient (ai;j ) des e ´ments de
´le ´le
A tels que pour tout i,
s
X
u(mi ) = ai;j mj :
j=1
Si i 2 f1; : : : ; sg, on a en particulier u ui = ui u. On en de
´duit que
u(mi ) = u(ui (ms )) = ui (u(ms ))
X
= ui ( as;j mj ) = ui (as;s ms )
= as;s mi :
Autrement dit, en posant a = as;s , on a u(mi ) = ami pour tout i, d™ou le re
` ´sultat
puisque u est un endomorphisme de M.
d) Maintenant, on suppose juste que u est additif. Soit 2 A et : M ! M
la multiplication par . On a
u( m) = u( (m)) = (u(m)) = u(m);
autrement dit, u est un homomorphisme de A-modules. D™apres la question
`
pre ´dente, u est une homothe
´ce ´tie.
CHAPITRE 8. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL
150



e) Conside´rons E comme un K[X]-module en posant P(X) m = P(u)(m).
Les endomorphismes de E comme K[X]-module sont les K-endomorphismes
tels que P(u) v = v P(u), autrement dit, ce sont les endomorphismes de E
qui commutent a u. Soit v un K-endomorphisme de E qui commute a tout
` `
endomorphisme de E qui commute a u, cela signi¬e donc que v commute a tout
` `
K[X]-endomorphisme de E. De plus, v e ´tant K-line
´aire, il est a fortiori additif.
´tie : il existe P 2 K[X] tel
D™apres la question pre ´dente, v est une homothe
` ´ce
que v(m) = P(X) m = P(u)(m). Autrement dit, v est un polynome en u.
ˆ

Solution de l™exercice 8.4.3. ” a) Elle est re ´¬‚exive : avec P = Q = I, on a AI = IA,
´trique : si A B, soit AP = QB, alors BP 1 = Q 1 Q,
donc A A. Elle est syme
donc B A. Elle est transitive : si A B, soit AP = QB et B C, soit BR = SC,
on a C = S 1 BR = S 1 Q 1 APR, d™ou (QS)C = A(PR), et donc A C.
`
C™est donc une relation d™e ´quivalence.
b) Soit A 2 Mn (Z). L™image de Zn par A est un sous-Z-module de Zn . Les
facteurs invariants de Zn =A(Zn ) ne de ´pendent que de la classe d™e
´quivalence de
A pour la relation introduite dans l™exercice. En effet, si A B, soit AP = QB,
alors
Zn =B(Zn ) ' Q(Zn )=QB(Zn ) = Zn =QB(Zn )
= Zn =AP(Zn ) = Zn =A(Zn )
car Q(Zn ) = Zn et P(Zn ) = Zn .
D™apres le the ` me de structure, il existe une base (f1 ; : : : ; fn ) de Zn et des
` ´ore
entiers d1 ; : : : ; dn avec d1 j : : : jdn tels que A(Zn ) soit engendre par les di fi . On peut
´
bien sur supposer di 0 pour tout i. Soit P la matrice de la famille (fi ) dans la
ˆ
base canonique (ei ), on a ainsi P(ei ) = fi , et soit la matrice diag(d1 ; : : : ; dn ).
Ainsi, A et P ont meme image. Comme cette image est un sous-Z-module de
ˆ
n
Z , il est libre, et on a des isomorphismes
Zn ' A(Zn ) Zn ' P (Zn )
Ker A; Ker(P ):
En¬n, les noyaux de A et P ont ne ´cessairement meme rang, donc son iso-
ˆ
morphes. Il existe ainsi un isomorphisme Q : Zn ! Zn tel que AQ = P .
Finalement, on a A .
c) La meme de
ˆ ´monstration s™applique mot pour mot au cas d™un anneau
principal quelconque. Pour ¬xer le choix des facteurs invariants, il suf¬t de
choisir un e´lement irre´ductible dans chaque classe et de prendre les di parmi
les produits de ces e ´ments irre
´le ´ductibles, et 0.
d) Si A est un corps, on a di = 1 ou 0. La relation d™e ´quivalence est e
´tudie´e
en DEUG sous le nom de « matrices e ´quivalentes » et on y de
´montre en ge ´ral
´ne
que deux matrices sont e ´quivalentes si et seulement si elles ont meme rang.
ˆ
8.5. SOLUTIONS 151



Solution de l™exercice 8.4.4. ” La condition est ne ´cessaire car un supple
´mentaire
de M dans L est a la fois sans torsion et isomorphe a L=M. Inversement, si
` `
L=M est sans-torsion, le the ` me de structure permet d™af¬rmer que L=M est
´ore
un A-module libre. Choisissons-en une base (cl(`1 ); : : : ; cl(`r )) avec des `i 2 L et
soit N le sous-module de L engendre par les `i . L™homomorphisme canonique
´
L ! L=M induit un homomorphisme surjectif N ! L=M, mais aussi injectif car
P
si cl( ai `i ) = 0, tous les ai sont nuls, les cl(`i ) formant une base de L=M. Donc
L ' M N.
Solution de l™exercice 8.4.5. ” a) (1)) (2). ” Supposons que m fait partie d™une
base. Si (e1 ; e2 ; : : : ; en ) est une base de M, avec m = e1 , soit f l™applciation line
´aire
+ an en 7! a1 . On a ainsi f (m) = f (e1 ) = 1.
telle que a1 e1 +
(2)) (3). ” Soit f 2 M telle que f (m) = 1. Soit (e1 ; : : : ; en ) une base de M
et e´crivons m = a1 e1 + + an en . Alors,
1 = f (m) = a1 f (e1 ) + + an f (en )
ce qui montre que les ai sont premiers entre eux.
(3)) (4). ” C™est e ´vident (car un module libre possede une base).
`
(4)) (5). ” Soit (e1 ; : : : ; en ) une base de M dans laquelle les coordonne ´es
(a1 ; : : : ; an ) de m soient premieres entre elles. Soit m0 2 M et a 2 A tels que
`
m = am0 . Notons (a01 ; : : : ; a0n ) les coordonne de m0 dans cette base. Ainsi, pour
´es
tout i on a ai = aa0i et l™ide (a1 ; : : : ; an ) = A est contenu dans l™ide (a). Par
´al ´al
suite, a est inversible.
(5)) (6). ” Supposons que am = a0 m0 . Comme a 6= 0, a0 est non nul. Soit
d le pgcd de a et a0 et e ´crivons a = db, a0 = db0 , on a donc d(bm b0 m0 ) = 0 et
comme M est libre, donc sans torsion, bm = b0 m0 , ce qui permet de supposer que
b et b0 premiers entre eux.
Soit alors u et v des e ´ments de A tels que bu + b0 v = 1. On a
´le
m = (bu + b0 v)m = bum + b0 vm = b0 um0 + b0 vm = b0 (vm + um0 ):
Par hypothese, b0 est inversible, ce qui prouve que a0 divise a, ou encore que a
`
est multiple de a0 .
(6)) (1). ” En vertu de l™exercice 8.4.4, il suf¬t de montrer que le A-module
M=Am est sans torsion. Soit m0 2 M tel que cl(m0 ) est un e ´ment de torsion dans
´le
M=Am. Cela signi¬e qu™il existe b 2 A, b 6= 0, tel que b cl(m0 ) = 0, c™est-a-dire `
bm0 2 Am. Autrement dit, il existe a et b dans A, non nuls, tels que bm0 = am. Par
´crit a = bc, on obtient b(cm m0 ) = 0 et
hypothese, a est multiple de b. Si on e
`
comme M est sans torsion, m0 = cm 2 Am et donc cl(m0 ) = 0.
b) Soit (e1 ; : : : ; en ) une base de M et (a1 ; : : : ; an ) un vecteur non nul de M.
Soit d le pgcd des ai et e ´crivons ai = dbi pour tout i. Alors, le vecteur (b1 ; : : : ; bn )
est primitif.
CHAPITRE 8. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL
152



c) On a

126 = 2 32 7; 168 = 23 3 7 et 504 = 23 32 7:
210 = 2 3 5 7;

Par suite, le pgcd de ces entiers est e ´gal a 2 3 7 = 42 si bien que le vecteur
`
(126; 210; 168; 504) est e
´gal a 42 fois le vecteur (3; 5; 4; 12).
`

Solution de l™exercice 8.4.6. ” Soit V An l™image de l™homomorphisme Ap ! An
de matrice M. Notons pour tout r „ p, r le pgcd des mineurs d™ordre r de A.
Comme p = 1, les p vecteurs colonnes de M sont line ´airement inde ´pendants
donc forment une base du A-module V qu™ils engendrent. D™apres l™exercice 8.4.4,
`
il suf¬t ainsi de montrer que le A-module An =V est sans torsion, voire libre.
Or, d™apres le corollaire 8.2.11 du cours, An =V est un A-module de type ¬ni
`
p
A=(di ) An p telle que les facteurs invariants
L
isomorphe a une somme directe
`
i=1
´ri¬ent pour tout r „ p la relation r = d1 : : : dr (a un e ´ment inversible
d1 ; : : : ; dp ve ` ´le
pres). Si p = 1, tous les di sont 1 et An =V ' An p est donc un A-module libre.
`

Solution de l™exercice 8.4.7. ” a) Il existe une matrice de GLn (A) de premiere `
colonne v1 = (a1 ; : : : ; an ) ¬xe si et seulement si on peut comple
´e ´ter cette co-
lonne en une base de An , c™est-a-dire si An =Av1 est un A-module libre. D™apres
` `
l™exercice 8.4.4, il faut et il suf¬t que le A-module An =Av1 soit sans torsion,
c™est-a-dire que les coordonne de v1 soient premieres entre elles.
` ´es `
Pour re ´pondre a la question, il suf¬t maintenant de remarquer que tout
`
e ´ment non nul de K n s™e ´crit x = v1 avec 2 K et v1 2 An a coordonne
´le ` ´es
premieres entre elles.
`
Autre methode : choisir 2 A n f0g tel que x0 = x appartient a An et appliquer
`
´
le the ` me de structure au sous-module Ax0 An .
´ore
b) Soit M une matrice care d™ordre n a coef¬cients dans K. Si la premiere
´e ` `
colonne de M n™est pas nulle, il existe d™apres la premiere question un e ´ment
` ` ´le
non nul 2 K et une matrice carre U1 2 GLn (A) telle que U1 1 M ait ( ; 0; : : : ; 0)
´e
pour premiere colonne. Posons M1 = U1 1 M. Si la premiere colonne de M est
` `
nulle, on pose U1 = In et M1 = M.
On e ´crit alors M1 par blocs
0
‚ Ã
L1
M1 =
0 M0
ou M0 est une matrice (n 1) (n 1). Par re ´crire M0 = U0 T0
` ´currence, on peut e
avec T0 2 Mn 1 (k) triangulaire supe
´rieure et U0 2 GLn 1 (A). Posons par blocs
‚ Ã
10
;
U=
0 U0
8.5. SOLUTIONS 153



de sorte que
L01
‚ Ã
T = U 1 M1 = 0
0T
est triangulaire supe
´rieure. Finalement, M = U1 M1 = U1 UT est le produit d™une
matrice de GLn (A) est d™une matrice triangulaire supe ´rieure de Mn (k).
c) On a
0 1
210 420 105
1
@168 840 280 A :
M=
420
315 60 420
La premiere colonne est e
` ´gale a`
01
10
1
@8A
20
15
et la matrice 0 1
10 0 1
U1 = @ 8 1 0A
15 2 0
appartient a GL3 (Z) (remarquer que les
` deux derniers coef¬cients 8 et 15 sont
premiers entre eux !). Son inverse est
0 1
0 2 1
1
15 8 A :
U1 = @ 0
1 20 10
On a 0 1
21 1620 980
420U1 1 M = @ 0 7 560A :
12 120
0 15 780 9 905
Les deux coef¬cients 12 120 et 15 780 ont pour pgcd 60. Une fois divise par
´s
60, ils deviennent 202 et 263 et une relation de Be
´zout est
202 69 + 263 53 = 1:
On pose alors
0 1
1 0 0
U2 = @ 0 202 53A
0 263 69
d™ou
` 0 1
21 1 620 980
420U2 1 U1 1 M = @ 0 3 325 A :
60
0 0 12 530
CHAPITRE 8. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL
154



Finalement, on a M = UT avec
0 1
10 263 69
U = U2 U1 = @ 8 202 53 A
15 404 106
et 0 1
1=20 27=7 7=3
1=7 95=12 A :
T=@ 0
0 0 179=60
Solution de l™exercice 8.4.8. ” Soit (m1 ; : : : ; ms ) une famille ge ´ratrice dans M. On
´ne
dispose ainsi d™un homomorphisme surjectif
' : As ! M; '(a1 ; : : : ; as ) = a1 m1 + + as ms :
Soit N le noyau de ', de sorte que M ' As =N. D™apres le the ` me de structure
` ´ore
des sous-modules d™un module libre sur un anneau principal (the ` me 8.1.6), ´ore
il existe une base (e1 ; : : : ; es ) de As , un entier „ s et des e ´ments ( 1 ; : : : ; ) de
´le
A tels que ( 1 e1 ; : : : ; e ) soit une base de N. Soit i 2 f1; : : : ; g tel que 1 ; : : : ; i 1
soient inversibles mais i n™est pas inversible. Par suite,
An =N ' (A= i ) As :
(A= )
Le the ` me 8.2.8 implique alors que r = (s i + 1) + (s
´ore i + 1. Comme
)=s
i 1, on a r „ s, ainsi qu™il fallait de
´montrer.
Solution de l™exercice 8.4.9. ” a) Soit (d1 ; : : : ; dr ) la suite des facteurs invariants
de G de sorte que G = (Z=d1 Z) (Z=dr Z). Alors, n = dr . En effet, puisque
pour tout i, di divise dr , on a dr G = 0. Mais d™autre part, la classe de l™e ´ment
´le
(0; : : : ; 1) 2 Zr n™est annule par aucun entier m 2 f1; : : : ; dr 1 g.
´e
La classe de cet e ´ment est pre ´ment d™ordre dr .
´le ´cise
b) Soit n l™ordre de G. D™apres la question pre ´dente, G contient un e ´ment
` ´ce ´le
d™ordre g, c™est-a-dire une racine primitive ne de l™unite et card G cardhgi = n.
` ´
n
Tout e ´ment de G ve
´le ´ri¬e g = 1. (Contrairement a la question 1), on note
`
´quation polynomiale Xn 1 = 0
multiplicativement la loi de groupe de G.) Mais l™e ˆ
a au plus n solutions dans K. Comme les n e ´ments du sous-groupe engendre
´le ´
par G sont solutions, G = hgi, donc G est cyclique.
9 Corps et algebres
`



´´
9.1. Elements entiers, algebriques
´
De¬nition 9.1.1. ” Soit A un anneau et B une A-algebre. On dit qu™un element b 2 B
` ´´
´
´brique sur A s™il existe un polynome non nul P 2 A[X] tel que P(b) = 0.
est alge ˆ
On dit qu™un element b 2 B est entier sur A s™il existe un polynome unitaire (non nul)
´´ ˆ
P 2 A[X] tel que P(b) = 0.
Une relation non triviale de la forme an bn + + a1 b + a0 = 0 est appele
´e
relation de dependance algebrique pour b, resp. integrale si an = 1.
´ ´ ´
p
Exemple 9.1.2. ” Les nombres complexes z = exp(2i =n), u = ( 1 + 5)=2 sont
´ri¬ent les relations z n = 1 et u2 + u + 1 = 0.)
alge´briques sur Z. (Ils ve
Exemple 9.1.3. ” Un nombre rationnel x 2 Q n™est entier sur Z que s™il est un
e ´ment de Z.
´le
Demonstration. ” En effet, soit P = Xn + a1 Xn 1 + + an un polynome unitaire a
ˆ `
´
´
coef¬cients entiers tel que P(x) = 0. Ecrivons x = a=b avec a et b entiers premiers
entre eux. Alors, on peut multiplier par bn la relation P(b) = 0, d™ou `
an + a1 an 1 b + + an 1 abn + an bn = 0:
1


Par suite, an = b(a1 an 1 + + an bn 1 ) est multiple de b. Comme b est premier
avec a, il est premier avec an si bien que b est inversible : b = 1. On a donc
x 2 Z.
Remarque 9.1.4. ” Soit A un anneau et B une A-algebre. Si b 2 B est alge
` ´brique
sur A, soit P = an Xn + + a0 un polynome non nul a coef¬cients dans A tel
ˆ `
que P(b) = 0. On peut supposer an 6= 0 et an b est entier sur A. En effet, en
multipliant la relation P(b) = 0 par an 1 , on obtient
n

(an b)n + an 1 (an b)n + a0 an
1 1
+ = 0;
n

ce qui est une relation de de
´pendance inte
´grale pour an b.
`
CHAPITRE 9. CORPS ET ALGEBRES
156



´ciproquement, s™il existe a 2 A non nilpotent tel que ab est entier sur A,
Re
alors b est alge
´brique sur A. En effet, d™une relation de de
´pendance inte
´grale
(ab)n + cn 1 (ab)n 1
+ c0 = 0
+
pour ab, on de
´duit une relation de de
´pendance alge
´brique
an b n + an 1 c n bn 1
+ ac1 b + c0 = 0
+
1

´tant pas nilpotent an 6= 0.
pour b. Cette relation est non triviale puisque, a n™e
En particulier, si A est un corps, un e ´ment b de B est entier sur A si et
´le
seulement s™il est alge
´brique sur A.

Si B est une A-algebre, le the ` me suivant fournit une caracte
` ´ore ´risation tres
`
utile des e ´ments de B qui sont entiers sur A.
´le

Theoreme 9.1.5. ” Soit A un anneau et soit B une A-algebre. Soit b un element de B
` ´´
´`
et notons A[b] la sous-A-algebre A[b] engendree par b dans A. Les propositions suivantes
` ´
sont equivalentes :
´
(1) b est entier sur A ;
(2) A[b] est un A-module de type ¬ni ;
(3) il existe un A[b]-module qui est d™annulateur nul et de type ¬ni en tant que A-module.

Demonstration. ” (1))(2). ” Soit P 2 A[X] un polynome unitaire tel que
ˆ
´
P(b) = 0. Notons P = Xn + a1 Xn 1 + + an et montrons alors que la famille
(1; b; : : : ; bn 1 ) engendre A[b] comme A-module. Par de ´¬nition, un e ´ment de
´le
A[b] est de la forme Q(b) pour P un polynome a coef¬cients dans A. Comme P est
ˆ `
unitaire, on peut effectuer la division euclidienne de Q par P : Q = PQ1 + R, ou `
R 2 A[X] est un polynome de degre < n. Alors, Q(b) = P(b)Q1 (b) + R(b) = R(b),
ˆ ´
´aire a coef¬cients dans A de (1; : : : ; bn 1 ), ce qu™on
donc est combinaison line `
voulait de ´montrer.
(2))(3). ” Il suf¬t de poser M = A[b]. En effet, si x 2 A[b] est un e ´ment de
´le
l™annulateur de M, on a xM = 0 et en particulier, puisque 1B 2 A[b], x1 = x = 0.
(3))(1). ” Soit (m1 ; : : : ; mr ) une famille ¬nie d™e ´ments de M qui l™engendre.
´le
r
P
Pour tout i 2 f1; : : : ; rg, bmi est un e ´ment de M qu™on peut e
´le ´crire aij mj
j=1
pour des aij dans A. Soit T la matrice des (aij ). Par de ´¬nition, la matrice
bIr T 2 Matr (A[b]) anule le vecteur colonne (m1 ; : : : ; mr ). En multipliant cette
relation a gauche par la matrice transpose des cofacteurs de bIr T, on obtient
` ´e
la relation ‚ m1 Ã
det(bIr T)Ir . = 0
.
.
mr
c™est-a-dire det(bIr T)mi = 0 pour tout i 2 f1; : : : ; rg. Comme les mi engendrent
`
M, det(bIr T) annule M. Par suite, det(bIr T) = 0 dans A[b]. (C™est une variante
´´ ´
9.1. ELEMENTS ENTIERS, ALGEBRIQUES 157



de la de´monstration du the ` me de Cayley“Hamilton.) En¬n, rappelons que le
´ore
polynome caracte
ˆ ´ristique de la matrice T est un polynome unitaire a coef¬cients
ˆ `
dans A et que l™on a P(b) = det(bIr T). Ainsi, P(b) = 0 est la relation de
de
´pendance inte ´grale cherche ´e.

Corollaire 9.1.6. ” Soit A un anneau et soit B une A-algebre. Si b et c sont deux
`
elements de B entiers sur A, tout element de A[b; c] est entier sur A.
´´ ´´
En particulier, b + c et bc sont entiers sur A.

Demonstration. ” Notons P et Q des polynomes unitaires a coef¬cients dans A
ˆ `
´
tels que P(b) = Q(c) = 0. Soit A[b; c] la sous-A-algebre de B engendre par b et
` ´e
c ; c™est l™ensemble des expressions de la forme R(b; c) pour R 2 A[X; Y]. Une
division euclidienne de R par P(X) dans A[Y][X] fournit une expression
R(X; Y) = P(X)R0 (X; Y) + Rk (Y)Xk :
X
k<deg P

Une autre division euclidienne, par Q(Y) maintenant permet d™e ´crire Rk (Y) =
0
Q(Y)Rk (Y) + Sk (Y) ou Sk 2 A[Y] est de degre < deg Q. Ainsi,
` ´
R(X; Y) = P(X)R0 (X; Y) + Q(Y) 0
Rk (Y)Xk + Sk (Y)Xk
X X
k<deg P k<deg P

et
Sk (c)bk
X
R(b; c) =
k<deg P

´aire des deg P deg Q e ´ments bk c` pour 0 „ k < deg P
est une combinaison line ´le
et 0 „ ` < deg Q. Ainsi, A[b; c] est un A-module de type ¬ni. Comme il contient
1, son annulateur en tant que A[b; c]-module est nul.
Soit x 2 A[b; c]. On peut ne conside´rer A[b; c] que comme A[x]-module, mais
son annulateur en tant que A[x]-module est a fortiori re ´duit a (0).. D™apres le
` `
the ` me pre ´dent, x est entier sur A.
´ore ´ce
´
Exercice 9.1.7. ” Ecrire des relations de de
´pendance inte
´grale sur Z pour les
p
p p
p
e ´ments 2 + 3 et 5(1 + 3).
´le

De¬nition 9.1.8. ” Soit A un anneau et B une A-algebre. `
´
L™ensemble des elements de B qui sont entiers sur A est une sous-A-algebre de B. On l™appelle
´´ `
cloture inte
ˆ ´grale de A dans B.

Lemme 9.1.9. ” Soit K un corps et soit A une K-algebre integre, Si x 2 A n f0g est
` `
algebrique sur K, alors x est inversible dans A et 1=x est algebrique sur K.
´ ´

Demonstration. ” Comme K est un corps, etre alge
ˆ ´brique sur K ou etre entier sur
ˆ
´
n n1
K sont deux proprie ´s e
´te ´quivalentes. Soit donc P = X + an 1 X + + a1 X + a0
un polynome unitaire dans K[X] de degre minimal tel que P(x) = 0. Si a0 = 0,
ˆ ´
`
CHAPITRE 9. CORPS ET ALGEBRES
158



´crire factoriser P par X, P = XQ. Comme x 6= 0, Q(x) = 0 ce qui
on peut e
contredit l™hypothese que P est de degre minimal. Alors,
` ´
n1 n2
Ð
0 = P(x) = x x + an 1 x + + a1 + a0 = xy + a0 ;

ou on a note y = xn 1 + an 1 xn 2 + + a1 . Comme a0 6= 0, a0 est inversible. En¬n,
` ´
l™existence d™un e ´ment y 2 K[x] tel que xy = a0 est inversible implique que
´le
x est inversible dans K[x], d™inverse y=a0 . Comme K[x] est un K-module de
type ¬ni (c™est-a-dire un K-espace vectoriel de dimension ¬nie), 1=x est entier
`
sur K, donc alge ´brique sur K.

Exercice 9.1.10 (Autre de´monstration). ” Remarquer que K[x] est un K-espace
vectoriel de dimension ¬nie. Conside ´rer l™endomorphisme x de K[x] de
´¬ni par
( y) = xy pour tout y 2 K[x]. Montrer qu™il est injectif. En de
´duire qu™il est
surjectif et que x est inversible dans K[x].

Exercice 9.1.11. ” Soit L un corps et K L un sous-corps de L. Montrer qu™un
e ´ment x 2 L est alge
´le ´brique sur K si et seulement si la K-algebre K[x] engendre
` ´e
par x dans L est un corps.

De¬nition 9.1.12. ” Soit K un corps et A une K-algebre integre. L™ensemble des elements
` ` ´´
´
de A qui sont algebriques sur K est un corps contenu dans A. On l™appelle cloture alge
ˆ ´brique
´
de K dans A.

De¬nition 9.1.13. ” Soit K un corps et A une K-algebre integre. Soit a 2 A un element
` ` ´´
´
algebrique. L™ensemble des polynomes P 2 K[X] tels que P(a) = 0 est un ideal premier de
´ ˆ ´
K[X]. Le polynome minimal de a en est l™unique generateur unitaire.
ˆ ´´

C™est aussi le polynome unitaire P de plus petit degre tel que P(a) = 0. On
ˆ ´
remarquera que c™est un polynome irre
ˆ ´ductible.


9.2. Extensions entieres, algebriques
` ´
De¬nition 9.2.1. ” On dit qu™une extension d™anneaux A B est entiere si tout
`
´
element de B est entier sur A.
´´
On dit qu™une extension de corps K L est alge
´brique si tout element de L est algebrique
´´ ´
sur K.

De¬nition 9.2.2. ” On dit qu™une extension d™anneaux A B est ¬nie si B est un
´
A-module de type ¬ni.
L est dite ¬nie si L est un K-espace vectoriel de
De meme, une extension de corps K
ˆ
dimension ¬nie.
` ´
9.2. EXTENSIONS ENTIERES, ALGEBRIQUES 159



Proposition 9.2.3. ” Une extension ¬nie d™anneaux est entiere. Une extension ¬nie de
`
corps est algebrique.
´
Reciproquement, si A B est une extension entiere de type ¬ni, alors c™est une extension
´ `
¬nie.

Demonstration. ” Soit A B une extension ¬nie d™anneaux. Pour tout b 2 B, B
´
est un A[b]-module dont l™annulateur est nul et qui est un A-module de type
¬ni. D™apres le the ` me 9.1.5, b est entier sur A. Tout e ´ment de B e
` ´ore ´le ´tant entier
sur A, l™extension A B est entiere. `
Le cas d™une exetnsion de corps est analogue.
Soit (b1 ; : : : ; bm ) une famille ¬nie d™e ´ments de B qui engendre B comme
´le
A-algebre. Comme B est entiere sur A, il existe un entier N tel que pour tout
` `
´aire a coef¬cients dans A des bn pour 0 „ n < N.
N
i, bi soit une combinaison line ` i
´aire des m produits bn1 : : : bnm
N
Alors, tout polynome en les bi est combinaison line
ˆ m
1
pour des ni 2 f0; : : : ; N 1g. Autrement dit, B est engendre comme A-module
´
N
par ces m -produits, donc est un A-module de type ¬ni, ce qu™il fallait de ´montrer.



De¬nition 9.2.4. ” Soit K L une extension ¬nie. Le degre de L sur K, note [L : K]
´ ´
´
est la dimension de L comme K-espace vectoriel.

Proposition 9.2.5. ” Soit K L et L M deux extensions ¬nies. Alors, K M est
une extension ¬nie et on a la relation

[M : K] = [M : L] [L : K]:

Demonstration. ” Posons m = [M : L] et soit (y1 ; : : : ; ym ) une base de M comme
´
L-espace vectoriel. Soit n = [L : K] et soit (x1 ; : : : ; xn ) une base de L en tant
que K-espace vectoriel. Montrons alors que la famille des (xi yj ) est une base de
M comme K-espace vectoriel. Par suite, l™extension K M sera ¬nie de degre ´
mn = [M : L] [L : K].
m
P
ai yi ou ai 2 L. De meme, chacun
Soit a un e ´ment de M, on peut l™e
´le ´crire ` ˆ
i=1
n
P
ai;j xj pour des ai;j 2 K. Ainsi,
des ai s™e
´crit
j=1

mn
XX
a= ai;j xj yi :
i=1 j=1


Ceci prouve que la famille (xi yj ) engendre M en tant que K-espace vectoriel.
`
CHAPITRE 9. CORPS ET ALGEBRES
160


P
Soit maintenant 0 = ai;j xj yi une relation de de
´pendance line
´aire avec des
i;j
ai;j 2 K. On l™e
´crit
!
XX
ai;j xj yi = 0:
i j
P
Les e ´ments ai =
´le ai;j xj appartiennent a L et comme (y1 ; : : : ; ym ) est une base
`
j
de M comme L-espace vectoriel, ai = 0 pour tout i. Comme (x1 ; : : : ; xn ) est une
base de L comme K-espace vectoriel, ai;j = 0 pour tout i et tout j. Ceci prouve
que la famille (xi yj ) est libre.
´
Etant libre et ge ´ratrive, la famille (xi yj ) est une base de M comme K-espace
´ne
vectoriel.

Exercice 9.2.6. ” Si A B et B C sont deux extensions d™anneaux ¬nies,
l™extension A C est ¬nie. (Reprendre la partie de la demonstration precedente qui
´ ´´
etablit que les xi yj engendrent M comme K-espace vectoriel.)
´

Corollaire 9.2.7. ” Si A B et B C sont deux extensions d™anneaux entieres,
`
l™extension A C est entiere.
`

Demonstration. ” Soit c 2 C ; il ve ´ri¬e ainsi une relation de de
´pendance inte
´grale
´
cn + bn 1 cn 1 + + b0 = 0 a coef¬cients dans B. Par suite, c est entier sur la
`
A-algebre B1 = A[b0 ; : : : ; bn 1 ] engendre dans B par les bi . Ainsi, l™extension
` ´e
B1 B1 [c] est ¬nie. Comme les bi sont entiers sur A, B1 est entier sur A et e ´tant
de type ¬ni, B1 est ¬nie sur A.
Par suite, l™extension A B1 B1 [c] est ¬nie. Cela implique que c est entier
sur A. Comme c est quelconque, l™extension A C est entiere. `

Exercice 9.2.8. ” Soit A B une extension entiere.
`
a) Si S est une partie multiplicative de A, S 1 A S 1 B est entiere.
`
b) Si I est un ide de B, l™extension A=(I \ A) B=I est entiere.
´al `

De¬nition 9.2.9. ” Soit A un anneau integre et soit K son corps des fractions. On dit
`
´
que A est inte ´gralement clos si la cloture intgrale de A dans K est egale a A, autrement
ˆ ´ `
dit si les elements de A sont les seuls elements de K qui sont entiers sur A.
´´ ´´

Nous avons vu dans l™exemple 9.1.3 que Z est inte
´gralement clos. Plus ge ´-
´ne
ralement, on a le the ` me suivant.
´ore

Theoreme 9.2.10. ” a) Un anneau factoriel est integralement clos.
´
´`
b) Si A est un anneau integralement clos, A[X] est integralement clos.
´ ´

La de
´monstration est laisse en exercice. Pour le a), il suf¬t essentiellement
´e
de recopier la de
´monstration que Z est inte´gralement clos. Le b) est un cas
´
9.3. CONSTRUCTION D™EXTENSIONS ALGEBRIQUES 161



particulier de l™exercice 9.4.7 (avec les notations de cet exercice, prendre pour
B le corps des fractions de A).
Proposition 9.2.11. ” Soit A un anneau integralement clos. Pour toute partie multi-
´
plicative S A (ne contenant pas 0), l™anneau S 1 A est integralement clos.
´
Demonstration. ” Si K de´signe le corps des fractions de A, on a une inclusion
´
S 1A K et K est aussi le corps des fractions de S 1 A. Soit x 2 K un
A
e ´ment entier sur S 1 A et choisissons une relation de de
´le ´pendance inte´grale
xn + an 1 xn 1
+ a0 = 0
+
ou les ai sont dans S 1 A. Soit s 2 S un de
` ´nominateur commun aux ai , de sorte
que pour tout i, bi = sai 2 A. On a alors, multipliant la relation pre ´dente par
´ce
sn ,
(sx)n + bn 1 (sx)n 1 + + b1 sn 1 (sx) + b0 sn 1 = 0;
´gralement clos, sx 2 A,
ce qui prouve que sx est entier sur A. Comme A est inte
1 1
puis x = (sx)=s appartient a S A. Par conse
` ´quent, S A est inte
´gralement clos.



9.3. Construction d™extensions algebriques
´
Lemme 9.3.1. ” Soit K un corps et soit P 2 K[X] un polynome irreductible. Alors, la
ˆ ´
K-algebre L = K[X]=(P) est une extension algebrique ¬nie de K et l™element x = cl(X) est
` ´ ´´
racine de P dans L.
Demonstration. ” Comme P est irre´ductible et comme l™anneau K[X] est principal,
´
l™ide (P) est un ide maximal de K[X]. Ainsi, L est un corps. Si P est de
´al ´al
degre n, L est un K-espace vectoriel de dimension n. C™est donc une extension
´
alge ´brique ¬nie de K.
En¬n, on a P(cl(X)) = cl(P(X)) = 0.
De¬nition 9.3.2. ” Si K est un corps et P 2 K[X] un polynome irreductible, l™extension
ˆ ´
´
L = K[X]=(P) de K est appelee corps de rupture du polynome P.
´ ˆ
Proposition 9.3.3. ” Soit K un corps et P 2 K[X] un polynome non constant. Il existe
ˆ
une extension algebrique ¬nie K L telle que P a une racine dans L.
´
Demonstration. ” Si P a une racine dans K, on pose L = K. Sinon, soit Q un
´
facteur irre
´ductible de P et posons L = K[X]=(Q). D™apres le lemme pre ´dent,
` ´ce
Q a une racine dans L. A fortiori, P a une racine dans L.

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( 15)



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