СОДЕРЖАНИЕ

ЧАСТЬ III. УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ
ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

ГЛАВА 13. ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ И
РИСК ПОРТФЕЛЯ
В настоящей главе рассматриваются вопросы, связанные с расче-
том ожидаемой доходности и риска портфеля финансовых инстру-
ментов. Вначале мы остановимся на определении ожидаемой доход-
ности портфеля, после этого перейдем к определению ожидаемого
риска. Раскрывая последний вопрос, последовательно рассмотрим
риск портфеля, состоящего из двух активов для различных вариантов
корреляции их доходности, и риск портфеля, в который входит
несколько активов. В заключение приведем определение эффективной
границы, кредитного и заемного портфелей.
Портфель — это набор финансовых активов, которыми располага-
ет инвестор. В него могут входить как инструменты одного вида, на-
пример, акции или облигации, или разные активы: ценные бумаги,
производные финансовые инструменты, недвижимость. Главная цель
формирования портфеля состоит в стремлении получить требуемый
уровень ожидаемой доходности при более низком уровне ожидаемого
риска. Данная цель достигается, во-первых, за счет диверсификации
портфеля, т. е. распределения средств инвестора между различными
активами, и, во-вторых, тщательного подбора финансовых инстру-
ментов. В теории и практике управления портфелем существуют два
подхода: традиционный и современный. Традиционный основывает-
ся на фундаментальном и техническом анализе. Он делает акцент на
широкую диверсификацию ценных бумаг по отраслям. В основном
приобретаются бумаги известных компаний, имеющих хорошие про-
изводственные и финансовые показатели. Кроме того, учитывается
их более высокая ликвидность, возможность приобретать и прода-
вать в больших количествах и экономить на комиссионных.
Развитие широкого и эффективного рынка, статистической базы,
а также быстрый прогресс в области вычислительной техники приве-
ли к возникновению современной теории и практики управления
портфелем финансовых инструментов. Она основана на использова-
нии статистических и математических методов подбора финансовых

239
инструментов в портфель, а также на ряде новых концептуальных
подходов.
Главными параметрами при управлении портфелем, которые не-
обходимо определить менеджеру, являются его ожидаемая доход-
ность и риск. Формируя портфель, менеджер не может точно опреде-
лить будущую динамику его доходности и риска. Поэтому свой
инвестиционный выбор он строит на ожидаемых значениях доход-
ности и риска. Данные величины оцениваются, в первую очередь, на
основе статистических отчетов за предыдущие периоды времени. По-
скольку будущее вряд ли повторит прошлое со стопроцентной веро-
ятностью, то полученные оценки менеджер может корректировать со-
гласно своим ожиданиям развития будущей конъюнктуры.
Рассмотрим, каким образом рассчитываются отмеченные параметры.

13. 1. ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ ПОРТФЕЛЯ
Портфель, формируемый инвестором, состоит из нескольких ак-
тивов, каждый из которых обладает своей ожидаемой доходностью.
Каким окажется значение ожидаемой доходности портфеля в резуль-
тате их объединения? Ожидаемая доходность портфеля определяется
как средневзвешенная ожидаемая доходность входящих в него акти-
вов, а именно:
E (rp ) = E (r1 )?1 + E (r2 )? 2 + ... + E (rn )? n (148)
где: Е(rр) — ожидаемая доходность портфеля;
Е(r1); Е(r2); Е(rn) — ожидаемая доходность соответственно перво-
го, второго и n-го активов;
?1; ?2; ?n — удельный вес в портфеле первого, второго и n-го акти-
вов.
Запишем формулу (148) в более компактном виде, воспользовав-
шись знаком суммы, тогда:
n
E (rp ) = ? E (rp )? i (149)
t =1

Удельный вес актива в портфеле рассчитывается как отношение
его стоимости к стоимости всего портфеля или:
Pi
?i = (150)
Pp

240
где: ?i—удельный вес i-го актива;
PI — стоимость i-го актива;
РР — стоимость портфеля.
Сумма всех удельных весов, входящих в портфель активов, всегда
равна единице.

Пример.
Портфель состоит из двух активов А и В. Е(RА) = 15%, Е(rB) = 10%.
Стоимость актива А — 300 тыс. руб., актива В — 700 тыс. руб. Необ-
ходимо определить ожидаемую доходность портфеля.
Стоимость портфеля равна:
300 тыс. + 700 тыс. = 1000 тыс. руб.
300 тыс. 700 тыс.
?? = ?? =
= 0,3; = 0,7
1000 тыс. 1000 тыс.
Е (rp ) = 15% • 0,3 + 10% • 0,7 = 11,5%
Инвестор воспользуется формулой (149) для определения ожидае-
мой доходности портфеля на основе ожидаемой доходности активов.
Чтобы решить данную задачу, он должен вначале вычислить ожи-
даемую доходность каждого актива в отдельности. Для этого можно
использовать следующий прием. Допустим, в условиях неопределен-
ности менеджер полагает, что рискованный актив, например, акция,
может принести ему различные результаты, о которых в момент фор-
мирования портфеля можно судить только с некоторой долей вероят-
ности, как представлено в табл. 6.
Таблица 6. Доходность акции с учетом вероятности
Доходность (%) Вероятность (%)
10 30
13 30
18 20
24 20
В сумме все возможные варианты событий должны составлять 100%
вероятности, как и показано в табл. 6. Ожидаемая доходность актива
определяется как среднеарифметическая взвешенная, где весами вы-
ступают вероятности каждого исхода события.
В нашем случае ожидаемая доходность равна:
10% • 0,3 + 13% • 0,3 + 18% • 0,2 + 24% • 0,2 = 15%

241
(В формуле ожидаемой доходности значения вероятности берут в де-
сятичных величинах, и соответственно вероятность всех возможных
вариантов событий равна единице. )
Запишем формулу определения ожидаемой доходности актива в
общем виде:
n
E (r ) = ? E (r1 )? 1 (151)
i =1

где: Е(r) — ожидаемая доходность актива;
E(ri ) — ожидаемая доходность актива в i-м случае;
?i — вероятность получения доходности в i-м случае.



13. 2. ОЖИДАЕМЫЙ РИСК АКТИВА

Приобретая какой-либо актив, инвестор ориентируется не только
на значение его ожидаемой доходности, но и на уровень его риска.
Ожидаемая доходность выступает как некоторая величина, которую
надеется получить инвестор, например 15%. Возможность получения
данного результата подтверждается предыдущей динамикой доход-
ности актива. Однако 15% — это только средняя величина. На прак-
тике доходность, которую получит инвестор, может оказаться как
равной, так и отличной от 15%. Таким образом, риск инвестора со-
стоит в том, что он может получить результат, отличный от ожидае-
мой доходности. Строго говоря, риск вкладчика заключается в том,
что он получит худший, чем ожидаемый результат, т. е. его доход-
ность составит менее 15%. Если фактическая доходность окажется
больше 15%, то это плюс для инвестора. На практике в качестве меры
риска используют показатели дисперсии и стандартного отклонения.
Они показывают, в какой степени и с какой вероятностью фактиче-
ская доходность актива может отличаться от величины его ожидае-
мой доходности, то есть средней доходности. Данные параметры
учитывают отклонения как в сторону увеличения, так и уменьшения
доходности по сравнению с ожидаемым значением. Как мы отметили
выше, фактический риск состоит в том, что фактическая доходность
окажется ниже ожидаемой, однако отмеченные параметры использу-
ются в качестве меры риска, в первую очередь, в силу простоты их
определения. Дисперсия определяется по формуле

242
n

? (r ? r ) 2
i
?2 = i =1
(152)
n ?1
где: ?2 — дисперсия доходности актива;
n — число периодов наблюдения;
r— средняя доходность актива; она определяется как средняя
арифметическая доходностей актива за периоды наблюдения, а имен-
но:
r1
n
r =? (153)
n
i =1
где: ri — доходность актива в i-м периоде.
Стандартное отклонение определяется как квадратный корень из
дисперсии
? = ?2 (154)
где: ?— стандартное отклонение доходности актива.


Пример определения риска актива.
Допустим, что доходность актива в каждом году за пятилетний
период составила следующие значения: 1-й год — 20%. 2-й год —
25%, 3-й год — 18%, 4-й год — 21 %, 5-й год — 19%.
1-й шаг. Определяем среднюю доходность актива за пятилетний
период.
20% + 25% + 18% + 21% + 19%
r= = 20,6%
5
2-й шаг. Определяем отклонение величины доходности в каждом
периоде от ее среднего значения.
20%-20,6% = -0,6%
25%-20,6% = 4,4%
18%-20,6% = -2,6%
21%-20,6% = 0,4%
19%-20,6% = -1,6%
3-й шаг. Возводим в квадрат полученные отклонения и суммируем
их
0,36 + 19,36 + 6,76 + 0,16 + 2,56 = 29,2

243
4-й шаг. Определяем дисперсию.
29,2 : 5 = 5,84
(Если имеется небольшое число наблюдений, как в нашем примере, то
по правилам статистики в формуле определения дисперсии (152) в
знаменателе вместо п - 1 берут просто значение п. )
5-й шаг. Определяем стандартное отклонение.
5,84 = 2,41%
Стандартное отклонение говорит о величине и вероятности от-
клонения доходности актива от ее средней величины за определенный
период времени. В нашем примере мы получили отклонение доход-
ности актива за год, равное 2, 41%.
Доходность актива в том или ином году — это случайная величи-
на. Массовые случайные процессы подчиняются закону нормального
распределения. Поэтому с вероятностью 68, 3% можно ожидать, что
через год доходность актива будет лежать в пределах одного стан-
дартного отклонения от средней доходности, т. е. в диапазоне 20, 6% ±
2, 41%; с вероятностью 95, 5% этот диапазон составит два стандартных
отклонения, т. е. 20, 6% ± 2 х 2, 41%; и с вероятностью 99, 7% диапазон
составит три стандартных отклонения, то есть 20, 6% ± 3 х 2, 41%.
Поскольку доходность актива — случайная величина, которая за-
висит от различных факторов, то остается 0, 3% вероятности, что она
выйдет за рамки трех стандартных отклонений, т. е. может как упасть
до нуля, так и вырасти до очень большой величины.




График нормального распределения представлен на рис. 34. Чем
больше стандартное отклонение доходности актива, тем больше его

244
риск. Например, два актива имеют одинаковую ожидаемую доход-
ность, которая равна 50%. Однако стандартное отклонение первого
актива составляет 5%, а второго — 10%. Это говорит о том, что вто-
рой актив рискованнее первого, так как существует 68, 3% вероят-
ности, что через год доходность первого актива может составить от
45% до 55%, а второго — от 40% до 60% и т. д.


13. 3. ОЖИДАЕМЫЙ РИСК ПОРТФЕЛЯ
Ожидаемый риск портфеля представляет собой сочетание стан-
дартных отклонений (дисперсий) входящих в него активов. Однако в
отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не является
обязательно средневзвешенной величиной стандартных отклонений
(дисперсий) доходностей активов. Дело в том, что различные активы
могут по-разному реагировать на изменение конъюнктуры рынка. В
результате стандартные отклонения (дисперсии) доходности различ-
ных активов в ряде случаев будут гасить друг друга, что приведет к
снижению риска портфеля. Риск портфеля зависит от того, в каком
направлении изменяются доходности входящих в него активов при
изменении конъюнктуры рынка и в какой степени.
Для определения степени взаимосвязи и направления изменения
доходностей двух активов используют такие показатели как кова-
риация и коэффициент корреляции.
Показатель ковариации определяется по формуле
? (r ? r A )(rB i ? r B )
Ai
Cov A, B = (155)
n ?1
где: COVAA, B — ковариация доходности активов А и В;
r A — средняя доходность актива А за n периодов;
r B — средняя доходность актива В за n периодов;
rA — доходность актива А в i-м периоде;
rB — доходность актива В в i-м периоде;
п — число периодов, за которые регистрировалась доходность ак-
тивов А и В.
Положительное значение ковариации говорит о том, что доход-
ности активов изменяются в одном направлении, отрицательное — в
обратном. Нулевое значение ковариации означает, что взаимосвязь
между доходностями активов отсутствует.

245
В табл. 7 приведены данные о доходности бумаг А и В за четыре
года. Определим ковариацию доходности данных бумаг.
Таблица 7. Доходность бумаг А и В (в десятичных значениях)
Год Доходность А Доходность В
1 0,1 0,12
2 0,16 0,18
3 0,14 0,14
4 0,17 0,15
1 шаг. Определяем средние значения доходностей бумаг за указан-
ный период.
0,1 + 0,16 + 0,14 + 0,17
rA = = 0,1425
4
0,12 + 0,18 + 0,14 + 0,15
rВ = = 0,1475
4
2 шаг. Определяем отклонения доходности бумаг от их средних
значений.
Бумага А Бумага В
0,1 - 0,1425 = -0,0425 0,12 -0,1475 = -0,0275
0,16-0,1425 = 0,0175 0,18-0,1475 = 0,0325
0,14-0,1425 = -0,0025 0,14 -0,1475 = -0,0075
0,17-0,1425 = 0,0275 0,15-0,1475 = 0,0025
3 шаг. Определяем произведения отклонений доходности бумаг
для каждого периода и суммируем полученные значения.
Бумага В
Бумага А
-0,0425 •-0,0275 = 0,0011686
0,175 •0,0325 = 0,0005688
-0,0025 •-0,0075 = 0,0000186
0,0275 •0,0025= 0,0018248
сумма =0,0018248
4 шаг. Определяем значение ковариации, разделив полученную
сумму на число временных периодов. (Так как в нашем примере не-
большое количество наблюдений, то в знаменателе вместо п — 1 бе-
рем значение п).

246
0,0018248
Cov A, B = = 0,0004562
4
Другим показателем степени взаимосвязи изменения доходностей
двух активов служит коэффициент корреляции. Он рассчитывается по
формуле
Cov A, B
CorrA, B = (156)
? A? B
где: Соrr А, В — коэффициент корреляции доходности активов А и В;
Сov A, B — ковариация доходности активов А и В;
?A — стандартное отклонение доходности актива А;
?B — стандартное отклонение доходности актива В.
Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. По-
ложительное значение коэффициента говорит о том, что доходности
активов изменяются в одном направлении при изменении конъюнк-
туры, отрицательное — в противоположном. При нулевом значении
коэффициента корреляция между доходностями активов отсутствует.


13. 4. РИСК ПОРТФЕЛЯ, СОСТОЯЩЕГО ИЗ ДВУХ
АКТИВОВ
Риск портфеля, состоящего из двух активов, рассчитывается по
формуле
2 2 2 2 2
? P = ? A ? A + ? B ? B + 2? A? B Cov A, B (157)
где: ?р2 — риск(дисперсия) портфеля;
?A — уд. вес актива А в портфеле;
?B — уд. вес актива В в портфеле;
СovA, B — ковариация доходности активов А и В.

Пример.
Определить риск портфеля, состоящего из бумаг А и В, если ?A =
0, 3; ?B = 0, 7; ?A2 = 0, 0007188; ?B2 = 0, 0004688; COVA, B = 0, 0004562.
Риск портфеля равен:
?Р2 = 0,3•0,0007188+0,7•0,0004688+2•0,3•0,7•0,0004562 = 0,000468
?P = 0,021633 или 2,163%

247
Cov A, B
Выше мы записали, что CorrA, B = . Поэтому формулу (157)
? A? B
можно переписать, воспользовавшись коэффициентом корреляции, а
именно:
2 2 2 2 2
? P = ? A ? A + ? B ? B + 2? A? B CorrA, B (158)

13. 4. 1. Риск портфеля, состоящего из двух активов с
корреляцией доходности +1
При корреляции +1 переменные находятся в прямой функцио-
нальной зависимости. Графически она представляет собой прямую
линию, как показано на рис. 35, т. е. для каждого события (изменения
в конъюнктуре рынка) доходности двух активов будут иметь одну
общую точку на восходящей прямой. Для такого случая формула
(158) превращается в формулу квадрата суммы, так как СORRА, В = 1




248
2 2 2 2 2
? P = ? A ? A + ? B ? B + 2? A? B CorrA, B = (? A? A + ? B? B ) 2 (159)
или
? P = ? A? A + ? B? B (160)
Таким образом, если доходности активов имеют корреляцию +1,
то риск портфеля — это средневзвешенный риск входящих в него ак-
тивов. Объединение таких активов в один портфель не позволяет
воспользоваться возможностями диверсификации для снижения рис-
ка, поскольку при изменении конъюнктуры их доходности будут из-
меняться в прямой зависимости в одном и том же направлении, как
показано на рис. 36. В этом случае диверсификация не приводит к со-
кращению риска, а только усредняет его. Изменяя удельный вес акти-
вов А и В в портфеле, инвестор может сформировать любой порт-
фель, который бы располагался на прямой АВ (см. рис. 37).

13. 4. 2. Риск портфеля, состоящего из двух активов с
корреляцией доходности -1
При корреляции -1 переменные находятся в обратной функцио-
нальной зависимости. Графически она представляет собой нисходя-
щую прямую линию, как показано на рис. 38. Для такого случая
формула (158) превращается в формулу квадрата разности:
2 2 2 2 2
? P = ? A ? A + ? B ? B ? 2? A? B CorrA, B = (? A? A ? ? B? B ) 2 (161)
или
? P = ? A? A ? ? B? B (162)




249
Объединение в портфель активов с корреляцией -1 позволяет
уменьшить его риск по сравнению с риском каждого отдельного ак-
тива, поскольку, как показано на рис. 39, при изменении конъюнкту-
ры разнонаправленные движения доходности активов А и В будут га-
сить друг друга. При этом ожидаемая доходность портфеля останется
неизменной и будет зависеть от ожидаемой доходности каждого ак-
тива и его удельного веса в портфеле. Сочетая в портфеле активы А и
В в различных пропорциях, инвестор имеет возможность, с точки
зрения риска и доходности, сформировать любой портфель, который
будет лежать на прямых АС и СВ, как показано на рис. 40. В точке С
портфель инвестора не будет иметь риска. Чтобы сформировать та-
кой портфель, необходимо найти соответствующие удельные веса ак-
тивов А и В. Для этого приравняем уравнение (162) к нулю и опреде-
лим ?A и ?в.
? P = ? A? A + ? B? B = 0
Поскольку
? A = 1?? B
то
(1 ? ? B )? A ? ? B? B = 0
Отсюда
?A
?B = (163)
? A +? B

250
?A ?B
? A = 1? = (164)
? A +? B ? A +? B

Пример.
?A = 0,0268; ?в = 0,0350. Тогда:
0,0268
?B = = 0,4337
0,0268 + 0,0350
? A = 1 ? 0,04337 = 0,5663
Это означает, что если вкладчик планирует инвестировать 100
млн. руб. в активы А и В, то для формирования портфеля без риска
ему необходимо приобрести актив А на сумму
100 млн.? 0,5663 = 56,63 млн. руб.
и актив В на
100 млн.? 0,4337 = 43,37 млн. руб.
13. 4. 3. Доминирующий портфель
Корреляция между доходностями двух финансовых инструментов
в портфеле может изменяться от -1 до +1. На рис. 41 все возможные




комбинации портфелей, состоящих из двух активов с корреляцией -1,
располагаются на прямых АС и СВ. Все комбинации портфелей для

251
корреляции +1 — на прямой АВ. Комбинации портфелей для других
значений корреляции доходности располагаются внутри треугольни-
ка ABC. Таким образом, пространство треугольника ABC представ-
ляет собой все возможные сочетания риска и доходности портфелей,
состоящих из двух активов, в пределах корреляции их доходности от
-1до+1.
В то же время на практике подавляющая часть активов имеет кор-
реляцию отличную от -1 и +1, и большинство активов имеют поло-
жительную корреляцию. Если построить график для портфелей, со-
стоящих из активов А и В при меньшей корреляции, чем +1, то он
примет выпуклый вид, как показано на рис. 42 сплошной линией.
Чем меньше корреляция между доходностью активов, тем более
выпуклой будет график. На рис. 43 линия 1 представляет меньшую
корреляцию доходности активов А и В по сравнению с линией 2. Как
видно из рис. 43, чем меньше корреляция доходности активов, тем
более они привлекательны для формирования портфеля, поскольку
инвестор может получить тот же уровень ожидаемой доходности при
меньшем риске. Так, портфель P1 на рис. 43 предлагает то же значе-
ние ожидаемой доходности r1, что и P2, однако его риск меньше и ра-
вен ?1, а второго портфеля — ?2.




Как показано на рис. 44, если активы имеют корреляцию меньше
+ 1, то инвестор может сформировать любой портфель, который бы
располагался на кривой ADB. Однако рациональный инвестор оста-
новит свой выбор только на верхней части данной кривой, а именно,
отрезке DB, поскольку на нем расположены портфели, которые при-

252
носят более высокий уровень ожидаемой доходности при том же
риске по сравнению с портфелями на участке DA. Сравним для на-
глядности портфели P1 и P2. Оба портфеля имеют риск равный ?1, но
ожидаемая доходность портфеля P2 больше ожидаемой доходности
портфеля P1.
Если один портфель (актив) имеет более высокий уровень доход-
ности при том же уровне риска или более низкий риск при той же до-
ходности, чем остальные портфели (активы), то его называют доми-
нирующим. Так, на рис. 44 портфель P2 будет доминирующим по
отношению к портфелю P1, поскольку оба они имеют одинаковый
риск (?1), но доходность портфеля P2 (r2) больше доходности портфе-
ля P1 (r1). Аналогично портфель P2 будет доминирующим по отноше-
нию к портфелю Р3, поскольку они оба имеют одинаковую доход-
ность (r1), но риск портфеля P2 (?2) меньше риска портфеля Р3 (?3). В
то же время, если сравнить портфели P1 и P4, то мы не можем сказать,
что какой-нибудь из них является доминирующим по отношению к
другому, поскольку они имеют разные значения как ожидаемой до-
ходности, так и риска. Портфель P4 имеет как более высокую ожи-
даемую доходность, так и более высокий риск по сравнению с порт-
фелем P1.




Рациональный инвестор всегда сделает выбор в пользу домини-
рующего портфеля, поскольку это наилучший выбор с точки зрения
доходности и риска для всех возможных альтернативных вариантов
других портфелей.

253
Если инвестор формирует портфель из двух активов, А и В, как
показано на рис. 44, то в точке D он может получить для сочетания
данных активов портфель с наименьшим уровнем риска. Чтобы его
сформировать, необходимо найти удельные веса в портфеле активов
А и В. Это можно сделать, продифференцировав уравнение (164) по
?А и приравняв ее к нулю при условии, что
? A = 1?? B
2 2 2 2 2
(? P )' = (? A ? A + ? B ? B + 2? A? B CorrA, B )'
Отсюда
2
? B ? Cov A, B
?A = (165)
2 2
? A + ? B ? 2Cov A, B
и
2
? A ? Cov A, B
?B = (166)
2 2
? A + ? B ? 2Cov A, B

13. 4. 4. Риск портфеля, состоящего из двух активов с
некоррелируемыми доходностями
Доходности двух активов не имеют корреляции, если графически
их нельзя представить с той или иной степенью приближения в виде




254
восходящей или нисходящей прямой линии. Такой случай изображен
на рис. 45. В этой ситуации коэффициент корреляции равен нулю и
формула (158) принимает вид:
2 2 2 2 2
? P = ? A ? A +? B ? B (167)

Пример.
?А = ?в = 0, 2; ?A = ?в = 0, 5. Риск портфеля равен:
2
? P = (0,5) 2 (0,2) 2 + (0,5) 2 (0,2) 2 = 0,02
? P = 0,02 = 0,141 или 14,1%
Как видно из формулы (167) и приведенного примера, объедине-
ние в портфель активов с некоррелируемыми доходностями позволя-
ет воспользоваться преимуществами диверсификации для снижения
риска.
При отсутствии корреляции доходностей двух активов можно
найти портфель с минимальным уровнем риска, если продифферен-
цировать уравнение (167) по ?A и приравнять его к нулю при условии,
что ?в = 1 - ?A
2 2 2 2 2
(? P )' = (? A ? A + ? B ? B )
Откуда
2
?
?B = 2 B 2 (168)
? A +? B
и
2 2
? ?
?B = 1? 2 B 2 = 2 A 2 (169)
? A +? B ? A +? B
Для того, чтобы лучше представить идею и эффект диверсифика-
ции портфеля при различной корреляции доходностей входящих в
него активов, мы рассмотрели риск портфеля, состоящего только из
двух активов. Общие выводы, которые можно сделать по результа-
там вышесказанного, состоят в следующем:
1) Если в портфель объединяются активы с корреляцией +1, то до-
стигается только усреднение, а не уменьшение риска;
2) Если в портфель объединяются активы с корреляцией меньше,
чем +1, то его риск уменьшается. Уменьшение риска портфеля дости-
гается при сохранении неизменного значения ожидаемой доходности:

255
3) Чем меньше корреляция доходности активов, тем меньше риск
портфеля;
4) Если в портфель объединяются активы с корреляцией -1, то
можно сформировать портфель без риска;
5) При формировании портфеля необходимо стремиться объеди-
нить в него активы с наименьшей корреляцией.

13. 5. РИСК ПОРТФЕЛЯ, СОСТОЯЩЕГО ИЗ
НЕСКОЛЬКИХ АКТИВОВ
Выше мы рассмотрели портфель, состоящий из двух активов, и
сделали общие выводы относительно его формирования. Они верны
и для портфеля, объединяющего большее количество активов.
Рассмотрим, каким образом определяется риск портфеля, состоя-
щего из нескольких активов. Он рассчитывается по формуле
n n
? P = ??? i? j Covi , j
2
(170)
i =1 j =1
где: ?р2 — риск портфеля;
?i — уд. вес i-гo актива в портфеле;
?j — УД- вес j-гo актива в портфеле;
Covi, j — ковариация доходности i-го и j-гo активов.
Для того, чтобы проиллюстрировать использование данной фор-
мулы, рассчитаем риск портфеля, состоящего из трех активов.

Пример.
Портфель состоит из трех бумаг — А, В и С; ?A = 035; ?в = 0, 45;
?с= 0, 2; ?A2 = 0, 025; ?в2 = 0, 048; ?с2 = 0, 065; COVA, B = 0, 031; COVA, C =
0, 034; COVB, A = 0, 031; COVB, C = 0, 055; COVC, A = 0, 034; COVC, B= 0, 055.
Для наглядности сведем данные о дисперсии и ковариации бумаг в
табл. 7.
Таблица 7. Ковариационная матрица
А В С
А 0,025 0,031 0,034
В 0,031 0,048 0,055
С 0,034 0,055 0,065
Ковариационная матрица характеризуется тем, что ее диагональ-
ные члены являются дисперсиями случайных величин. В нашем слу-

256
чае это позиции АА, ВВ, СС. Остальные члены представляют собой
ковариации доходностей активов.
n n

??
В формуле (170) стоит знак двойной суммы Он означает,
i =1 j =1
что, раскрывая формулу, мы должны вначале взять значение i = 1 и
умножить на него все значения j от 1 до п. Затем повторить данную
операцию, но уже для i = 2 и т. д. В итоге мы получим п слагаемых.
Расчеты по нашему примеру представлены в табл. 8.
Таблица 8. Определение дисперсии и стандартного отклонения.
Активы Произведения
АА 0,35?0,35?0,025 = 0,00306
АВ 0,35?0,45?0,031 =0,00488
АС 0,35?0,2?0,034 = 0,00238
ВА 0,45?0,35?0,031 =0,00488
ВВ 0,45?0,45?0,048 = 0,00972
ВС 0,45?0,2?0,055 = 0,00495
СА 0,2?0,35?0,034 = 0,00238
СВ 0,2?0,45?0,055 = 0,00495
СС 0,2?0,2?0,065 = 0,00260
?р2 = 0,0398
?Р = 0,1995
Как уже отмечалось выше, для портфеля, состоящего из двух ак-
тивов с корреляцией доходности +1, риск представляет собой средне-
взвешенный риск входящих в него активов. Поэтому для такого слу-
чая не наблюдается уменьшение риска, а происходит только его
усреднение. Данный принцип сохраняется и для портфеля, насчиты-
вающего много активов с корреляцией доходности +1. Если портфель
состоит из активов с корреляцией равной нулю, то риск портфеля
рассчитывается по формуле
n
? P = ?? i ? i
2 2 2
(171)
i =1
и
n

??
2 2
?P = ?i (172)
i
i =1


257
9 Буренин А. Н.
13. 6. ЭФФЕКТИВНЫЙ НАБОР ПОРТФЕЛЕЙ


Если объединить в портфель некоторое число активов, корреля-
ция доходности которых лежит в диапазоне от -1 до +1, то, в зависи-
мости от их удельных весов, можно построить множество портфелей
с различными параметрами риска и доходности, которые расположе-
ны в рамках фигуры ABCDE, как показано на рис. 46.




Рациональный инвестор будет стремиться минимизировать свой
риск и увеличить доходность. Поэтому всем возможным портфелям,
представленным на рис. 46, вкладчик предпочтет только те, которые
расположены на отрезке ВС, поскольку они являются доминирую-
щими по отношению к портфелям с тем же уровнем риска или с той
же доходностью. Набор портфелей на отрезке ВС называют эффек-
тивным набором. Эффективный набор портфелей — это набор, со-
стоящий из доминирующих портфелей. Набор портфелей на участке
ВС называют еще эффективной границей. Она открыта Г. Марковцем
в 50-х гг. Чтобы определить данную границу, необходимо рассчитать
соответствующие удельные веса, входящих в портфель активов, при
которых минимизируется значение стандартного отклонения для
каждого данного уровня доходности, т. е. решить уравнение:
n n

??? ? Cov
2
min ? P = (173)
i, j
i j
i =1 j =1
при условии, что

258
n n

?? r ??
= E (r ) и =1
ii i
i =1 i =1
Другими словами, с помощью компьютерной программы необхо-
димо для каждого значения ожидаемой доходности портфеля опреде-
лить наименьший риск портфеля. Данный метод называется методам
Марковца. Неудобство его состоит в том, что при определения эф-
фективной границы для портфеля, включающего много активов, не-
обходимо произвести большое количество вычислений. Если порт-
фель состоит из п активов, то следует определить п ожидаемых
n2 ? n
доходностей и стандартных отклонений и ковариаций.
2
В результате для определения эффективной границы следует рас-
n(n + 1)
считать отдельных показателей ожидаемой доходности, дис-
2
персий и ковариаций. Так, если мы определяем эффективную границу
для портфеля из 5 активов, то необходимо получить 20 исходных
данных, для 10 активов — уже 65, для 20 активов — 230, а для 30 ак-
тивов — 495 данных и т. д. Таким образом, большое количество вы-
числений делает модель Марковца не очень удобной для решения за-
дачи определения эффективной границы. Эта проблема в более
простой форме решена в моделе У. Шарпа, которая будет представ-
лена ниже.
13. 7. ПОРТФЕЛЬ, СОСТОЯЩИЙ ИЗ АКТИВА БЕЗ
РИСКА И РИСКОВАННОГО АКТИВА. КРЕДИТНЫЙ
И ЗАЕМНЫЙ ПОРТФЕЛИ
Рассмотрим портфель, состоящий из двух активов. Один из них не
несет риска, например, государственная облигация, другой — являет-
ся рискованным активом. Как уже было сказано, риск портфеля, со-
стоящего из двух активов, определяется по формуле
2 2 2 2 2
? P = ? A ? A + ? B ? B + 2? A? B Cov A, B (174)
Поскольку один актив без риска, например актив В, то ?в = 0 и
CovA, B = 0. Поэтому формула (174) для отмеченного случая прини-
мает вид:
2 2 2
? P =?A ? A (175)
259
9*
и
? P = ? A? A (176)
где: А — рискованный актив.
Таким образом, риск портфеля, состоящего из актива без риска и
рискованного актива, равен произведению риска рискованного акти-
ва и его удельного веса в портфеле. Ожидаемая доходность портфеля
определяется уже по известной формуле (149). Графически зависи-
мость между ожидаемым риском и ожидаемой доходностью пред-
ставляет собой прямую линию, как показано на рис. 47. Изменяя уд.
вес актива А, инвестор может построить портфель с различными ха-
рактеристиками риска и доходности; все они располагаются на от-
резке АВ, и их риск пропорционален уд. весу актива А. Представлен-
ный случай можно рассматривать как покупку инвестором
рискованного актива А в сочетании с предоставление кредита
(покупка актива В), поскольку приобретение актива без риска есть не
что иное как кредитование эмитента. Поэтому портфели на отрезке
АВ, например, С, называют кредитными портфелями.




Инвестор может строить свою стратегию не только на основе пре-
доставления кредита, т. е. покупки актива без риска В, но и заимствуя
средства под более низкий процент, чем ожидаемая доходность ри-
скованного актива А, с целью приобретения на них актива А, чтобы

260
получить дополнительный доход1. В этом случае инвестор получает
возможность сформировать любой портфель, который располагается
на продолжении прямой АВ за пределами точки А, например, порт-
фель D (см. рис. 47). Он характеризуется более высоким риском и бо-
лее высокой ожидаемой доходностью. Поскольку для формирования
портфеля D инвестор занимает средства, то его именуют заемным
портфелем. Таким образом, все портфели, которые расположены на
продолжении прямой АВ выше точки А, называются заемными
портфелями.

Пример.
Инвестор приобретает рискованный актив А на 100000 руб. за
счет собственных средств. Одновременно он занимает 50000 руб. под
10% и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива
А равна 15%, а риск 3%.
Ожидаемая доходность сформированного портфеля равна:
15% • 1,5 + 10% • (?0,5) = 17,5%
Допустим, что доходность актива А оказалась равной ее ожидаемой
доходности. Таким образом, инвестор, заняв дополнительные сред-
ства под 10% и разместив их в актив с доходностью 15%, получил до-
ходность на свои инвестиции в размере 17, 5%. Дополнительные 2, 5%
доходности возникли за счет эффекта финансового рычага, когда
средства занимались под 10%, а принесли 15%. Если реальная доход-
ность актива А оказалась на одно стандартное отклонение больше
ожидаемой доходности, т. е. 18% (15% + 3%), то доходность портфеля
составила:
18% • 1,5 + 10% • (?0,5) = 22%
Если инвестор займет 50000 руб. под 10% и инвестирует их в еще
более рискованный актив, например, с ожидаемой доходностью 30%.
то ожидаемая доходность такого портфеля составит:
30% • 1,5 + 10% • (?0,5) = 40%
Из приведенных примеров, следует, что формирование заемного
портфеля позволяет инвестору увеличить значение ожидаемой доход-
ности. В то же время следует не забывать, что заемный портфель мо-
жет принести инвестору и более низкую доходность и даже привести
к финансовым потерям, если реальная доходность рискованного ак-
1
Для настоящего момента мы полагаем, что инвестор может занимать и
предоставлять средства под ставку без риска. В последующем данное усло-
вие будет опущено.

261
тива окажется меньше ожидаемой. Допустим, что реальная доход-
ность актива А окажется на два стандартных отклонения меньше
ожидаемой, т. е. 9% (15% -2• 3%), тогда реальная доходность портфеля
для составит:
9% • 1,5 + 10% • (?0,5) = 8,5%
Используя финансовый рычаг, теоретически инвестор может полу-
чить какое угодно высокое значение ожидаемой доходности. Такие
портфели располагаются на продолжении прямой АВ (см. рис. 47) вы-
ше точки А. Однако на практике вкладчик столкнется с двумя про-
блемами, которые ограничат ожидаемую доходность его стратегии.
Во-первых, с проблемой получения кредита в больших размерах, чем
позволяет его собственное финансовое положение. Во-вторых, зако-
нодательство устанавливает верхний предел использования заемных
средств при покупке ценных бумаг.
В заключение данного параграфа отметим, что в качестве риско-
ванного актива А можно представить не только актив, как некото-
рую единицу, например, акцию, облигацию и т. д., но и портфель, со-
стоящий из ряда других активов, который имеет соответствующие
параметры Е(r) и ?.



КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Портфель — это набор финансовых активов, которыми распола-
гает инвестор. Цель его формирования состоит в стремлении полу-
чить требуемый уровень ожидаемой доходности при более низком
значении ожидаемого риска.
Ожидаемая доходность портфеля оценивается как среднеарифме-
тическая взвешенная доходностей входящих в него активов. Риск ак-
тива (портфеля) определяется показателями стандартного отклонения
или дисперсии его доходности. Риск портфеля зависит от корреляции
доходностей входящих в него активов. Формируя портфель, следует
включать в него активы с наименьшими значениями корреляции до-
ходностей.
Доминирующий портфель — это портфель, который имеет самый
высокий уровень доходности для данного уровня риска или наи-
меньшее значение риска для данного значения доходности. Домини-
рующий портфель является лучшим выбором для инвестора из числа
всех возможных портфелей.

262
Эффективный набор портфелей — это набор доминирующих
портфелей. Его также называют эффективной границей.
Портфель, состоящий из рискованного актива и актива без риска,
именуют кредитным портфелем. Если вкладчик берет заем и инвести-
рует средства в рискованный актив, то он формирует заемный порт-
фель.


ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
1. Какую цель преследует инвестор при формировании портфеля?
2. Портфель состоит из трех акций. Удельный вес первой акции —
20%, второй — 30%, третьей — 50%. Ожидаемые доходности акций
соответственно равны 25%, 30% и 35%. Определите ожидаемую до-
ходность портфеля.
(Ответ: 32, 5%)
3. Какая величина служит для оценки риска портфеля?
4. В каком случае стандартное отклонение портфеля равно средне-
взвешенному стандартному отклонению доходности входящих в него
активов?
5. Почему объединение в портфель активов с корреляцией доход-
ности плюс один не уменьшает риска портфеля?
6. Что понимают под усреднением риска портфеля в случае объ-
единения в него активов с корреляцией доходности плюс один?
7. Ожидаемая доходность портфеля равна 30%, стандартное от-
клонение — 10%. Какую доходность и с какой вероятность может по-
лучить инвестор через год?
8. Портфель состоит из двух акций А и В с корреляцией доход-
ности минус один. Стандартное отклонение доходности акции А рав-
но 20%, акции В — 15%. Определите удельные веса акций в портфеле,
чтобы его риск был равен нулю.
(Ответ: акция А — 42, 86%, акция В — 57, 14%)
9. Портфель состоит из двух акций — А и В. Удельный вес акции
А равен 30%, ожидаемая доходность — 30%, стандартное отклонение
доходности — 25%. Удельный вес акции В равен 70%, ожидаемая до-
ходность — 20%, стандартное отклонение доходности — 15%. Коэф-
фициент корреляции доходности акций равен 40%. Определите ожи-
даемую: a) доходность и в) риск портфеля.
(Ответ: а) 23%; в) 15, 15%)
10. Доходность портфеля А 20%, стандартное отклонение — 15%;
портфеля В соответственно — 20% и 17%; портфеля С — 25% и 15%;

263
портфеля D — 30% и 20%. Определите, какие портфели являются до-
минирующими по отношению друг к другу?
11. Что такое кредитный и заемный портфели?
12. Доходность рискованного актива равна 30%, актива без риска
— 15%. Инвестор хотел бы сформировать кредитный портфель с до-
ходностью 18%. Определите, в каких пропорциях ему следует при-
обрести рискованный актив и актив без риска?
(Ответ: рискованный актив — 20%, актив без риска — 80%)
13. Доходнoсть рискованного актива равна 30%. Инвестор может
занять средства под 15% годовых. Определите, в какой пропорции от
стоимости портфеля инвестору следует занять средства, чтобы сфор-
мировать заемный портфель с ожидаемой доходностью 36%?
(Ответ: 40%)
14. Что такое эффективный набор портфелей?


РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Бригхем Ю., Тапенски Л. Финансовый менеджмент. — СПб.,
1997, гл. 2.
2. Ковалев В. В. Финансовый анализ. — М., 1997, гл. 5. 5, 5. 6.
3. Методы количественного финансового анализа (под ред. Брау-
на С. Дж., Крицмена М. П. ) — М., 1996, гл. 7.
4. Первозванский А. А., Первозванская Т. Н. Финансовый рынок:
расчет и риск. — М., 1994.
5. Финансовый менеджмент (под ред. Поляка Г. Б. ) — М., 1997,
гл. 8.
6. Шим Дж. К., Сигел Дж. Г. Финансовый менеджмент. — М., 1997,
гл. 7.
7. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. — М., 1997,
гл. 6-9.



СОДЕРЖАНИЕ