СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 15. МОДЕЛИ ОЦЕНКИ
ДОХОДНОСТИ АКТИВОВ
В настоящей главе рассматриваются модели оценки доходности
активов. Вначале мы остановимся на модели оценки стоимости акти-
вов и ее модификациях, затем перейдем к рыночной модели. В заклю-
чение главы охарактеризуем многофакторные модели.

15. 1. МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ АКТИВОВ
Инвесторы сталкиваются с проблемой оценки стоимости активов.
Она зависит главным образом от их риска и доходности. На рынке
выдерживается закономерность: чем выше потенциальный риск, тем
выше должна быть и ожидаемая доходность. У каждого инвестора
формируются свои прогнозы относительно отмеченных параметров.
В то же время рынок постоянно движется в направлении определен-
ной равновесной оценки риска и доходности активов. Возможные
расхождения в оценках, в первую очередь, связаны с ассиметрич-
ностью информации, которой обладают разные инвесторы. В усло-
виях хорошо развитого рынка новая информация находит быстрое
отражение в курсовой стоимости активов. Поэтому для таких усло-
вий можно разработать модель, которая бы удовлетворительно опи-
сывала взаимосвязь между риском и ожидаемой доходностью акти-
вов. Такая модель разработана в середине 60-х гг. У. Шарпом и Дж.
Линтерном и получила название модели оценки стоимости активов
(capital asset pricing model — САРМ).
Как известно, стоимость актива определяется путем дисконтиро-
вания будущих доходов, которые он принесет, под процентную став-
ку, соответствующую его риску. Модель оценки стоимости активов
не дает непосредственного ответа на вопрос, какой должна быть цена
актива. Однако она получила такое название, потому что позволяет
определить ставку дисконтирования, используемую для расчета
стоимости финансового инструмента.
В модели устанавливаются следующие ограничения: рынок явля-
ется эффективным, т. е. в курсовой стоимости актива новая информа-
ция сразу находит отражение1, активы ликвидны и делимы, отсутст-
вуют налоги, трансакционные издержки, банкротства, все инвесторы
1
Концепция эффективного рынка подробно рассматривается в главе 16.

275
имеют одинаковые ожидания, действуют рационально, стремясь мак-
симизировать свою полезность, имеют возможность брать кредит и
предоставлять средства под ставку без риска, рассматривается один
временной период, доходность является только функцией риска, из-
менения цен активов не зависят от существовавших в прошлом уров-
ней цен.




15. 1. 1. Линия рынка капитала
В САРМ зависимость между риском и ожидаемой доходностью
графически можно описать с помощью линии ринка капитала
(Capital Market Line — CML), которая представлена на рис. 55. М —
это рыночный портфель, rf — актив без риска; rf L — линия рынка
капитала; ?т — риск рыночного портфеля; Е(rт) — ожидаемая до-
ходность рыночного портфеля. Все возможные оптимальные
(эффективные) портфели, т. е. портфели, которые включают в себя
рыночный портфель М, расположены на линии rfL. Она проходит че-
рез две точки — rf и М. Таким образом, линия рынка капитала яв-
ляется касательной к эффективной границе. Все другие портфели, в
которые не входит рыночный портфель, располагаются ниже линии
rf L. CML поднимается вверх слева направо и говорит о том, что если
портфель имеет более высокий риск, то он должен предлагать инвес-
тору и более высокую ожидаемую доходность, и если вкладчик жела-
ет получить более высокую ожидаемую доходность, он должен согла-
ситься на более высокий риск. Наклон СML следует рассматривать

276
как вознаграждение (в единицах ожидаемой доходности) за каждую
дополнительную единицу риска, которую берет на себя вкладчик.
Когда вкладчик приобретает актив без риска, он обеспечивает се-
бе доходность на уровне ставки без риска rf. Если он стремится полу-
чить более высокую ожидаемую доходность, то должен согласиться и
на некоторый риск. Ставка без риска является вознаграждением за
время, т. е. деньги во времени имеют ценность. Дополнительная до-
ходность, получаемая инвестором сверх ставки без риска, есть возна-
граждение за риск. Таким образом, вознаграждение лица, инвестиро-
вавшего свои средства в рыночный портфель, складывается из ставки
rf, которая является вознаграждением за время, и премии за риск в
размере Е(rт) - rf. Другими словами, на финансовом рынке его участ-
ники уторговывают между собой цену времени и цену риска.
CML представляет собой прямую линию. Уравнение прямой мож-
но представить следующим образом:
y = a + вх
где: а — значение ординаты в точке пересечения ее линией СML, оно
соответствует ставке без риска rf,
в — угол наклона СML.
Угол наклона определяется как отношение изменения значения функ-
ции к изменению аргумента. В нашем случае (см. рис. 55) угол накло-
на равен:
E (rm ) ? r f E (rm ) ? r f
B= =
?m ?0 ?m
Поскольку ожидаемая доходность (у) есть функция риска (х), то в уже
принятых терминах доходности и риска уравнение CML примет вид:
E (rm ) ? r f
?
E (ri ) = r f + (177)
?m
где: ?i, — риск i-го портфеля, для которого определяется уровень ожи-
даемой доходности,
Е(ri ) — ожидаемая доходность i-го портфеля.
Данное уравнение можно записать следующим образом:
?i
[E (rm ) ? r f ]
E = (ri ) + (178)
?m
Таким образом, ожидаемая доходность портфеля равна ставке без
риска плюс произведение отношения риска портфеля к риску рыноч-

277
ного портфеля и разности между ожидаемой доходностью рыночного
портфеля и ставкой без риска.

Пример.
rf = 10%, Е(rт) = 25%, ?i = 30%, ?т = 15%. Определить ожидаемую
доходность портфеля. Она равна:
30%
E (ri ) = 10% + (25% ? 10%) = 40%
15%
CML говорит о соотношении риска и ожидаемой доходности
только для широко диверсифицированных портфелей, т. е. портфелей,
включающих рыночный портфель, но не отвечает на вопрос, какой
ожидаемой доходностью должны обладать менее диверсифицирован-
ные портфели или отдельные активы.


15. 1. 2. Рыночный и нерыночный риски. Эффект
диверсификации
Риск, с которым связано владение активом, можно разделить на
две части. Первая составляющая — это рыночный риск. Его также
именуют системным или недиверсифицируемым, или неспецифичес-
ким. Он связан с состоянием конъюнктуры рынка, общезначимыми
событиями, например, войной, революцией. Его нельзя исключить,
потому что это риск всей системы. Вторая часть — нерыночный, спе-
цифический или диверсифицируемый риск. Он связан с индивидуаль-
ными чертами конкретного актива, а не с состоянием рынка в целом.
Например, владелец какой-либо акции подвергается риску потерь в
связи с забастовкой на предприятии, выпустившем данную бумагу,
некомпетентностью его руководства и т. п. Данный риск является ди-
версифицируемым, поскольку его можно свести практически к нулю с
помощью диверсификации портфеля. Как показали исследования за-
падных ученых, портфель, состоящий из хорошо подобранных 10-20
активов, способен фактически полностью исключить нерыночный
риск (см. рис. 56). Широко диверсифицированный портфель заключа-
ет в себе практически только рыночный риск. Слабо диверсифициро-
ванный портфель обладает как рыночным, так и нерыночным риска-
ми. Таким образом, инвестор может снизить свой риск только до
уровня рыночного, если сформирует широко диверсифицированный
портфель.

278
Приобретая актив, вкладчик рассчитывает получить компенсацию
за риск, на который он идет. Однако риск состоит из двух частей. Ка-
ким образом рынок оценивает компоненты риска с точки зрения
ожидаемой доходности?
Как было сказано выше, инвестор способен практически полнос-
тью исключить специфический риск за счет формирования широко
диверсифицированного портфеля. В рамках модели САРМ предпола-
гается, что вкладчик может свободно покупать и продавать активы
без дополнительных издержек. Поэтому формирование более дивер-
сифицированного портфеля не ведет к увеличению его расходов. Та-
ким образом, без затрат вкладчик может легко исключить специфи-
ческий риск. Поэтому в теории предполагается, что нерыночный риск
не подлежит вознаграждению, поскольку он легко устраняется дивер-
сификацией. В связи с этим, если инвестор не диверсифицирует долж-
ным образом свой портфель, он идет на ненужный риск с точки зре-
ния той выгоды, которую он приносит обществу. Приобретая,
например, акцию, инвестор финансирует производство и таким обра-
зом приносит обществу пользу. Покупка акции связана с нерыноч-
ным риском, который является неустранимым. Поэтому инвестор
должен получать вознаграждение адекватное только данному риску.
В противном случае он не приобретет эту бумагу, и экономика не по-
лучит необходимые финансовые ресурсы. Однако общество (рынок)
не будет вознаграждать его за специфический риск, поскольку он
легко устраняется диверсификацией. С точки зрения финансирования

279
потребностей экономики, данный риск не имеет смысла. Таким обра-
зом, вознаграждению подлежит только системный риск. Поэтому
стоимость активов должна оцениваться относительно величины
именно этого риска. Весь риск актива (портфеля) измеряется такими
показателями как дисперсия и стандартное отклонение. Для оценки
рыночного риска служит другая величина, которую называют бета.


15. 1. 3. Бета
Для измерения рыночного риска актива (портфеля) используется
величина бета. Она показывает зависимость между доходностью ак-
тива (портфеля) и доходностью рынка. Доходность рынка — это до-
ходность рыночного портфеля. Поскольку невозможно сформировать
портфель, в который бы входили все финансовые активы, то в ка-
честве него принимается какой-либо индекс с широкой базой. По-
этому доходность рынка — это доходность портфеля, представленно-
го выбранным индексом. Бета рассчитывается по формуле:
?i
?i = Corri , m (179)
?m
или
Covi , m
?i = (180)
2
?m
где: ?i — бета i-го актива(портфеля);
Covi, m — ковариация доходности i-го актива (портфеля) с доход-
ностью рыночного портфеля;
Соrri, m — корреляция доходности i-го актива (портфеля) с доход-
ностью рыночного портфеля.
Поскольку величина бета определяется по отношению к рыноч-
ному портфелю, то бета самого рыночного портфеля равна единице,
так как ковариация доходности рыночного портфеля с самим собой
есть его дисперсия, отсюда
2
?
?m = m2 = 1
?m
где: ?m = - бета рыночного портфеля.

280
Бета актива (портфеля) без риска равна нулю, потому что нулю
равна ковариация доходности актива (портфеля) без риска с доход-
ностью рыночного портфеля.
Величина ? актива (портфеля) говорит о том, насколько его риск
больше или меньше риска рыночного портфеля. Активы с бетой
больше единицы более рискованны, а с бетой меньше единицы — ме-
нее рискованны чем рыночной портфель. Относительно величины бе-
та активы делят на агрессивные и защитные. Бета агрессивных акти-
вов больше единицы, а защитных — меньше единицы. Если бета
актива равна единице, то его риск равен риску рыночного портфеля.
Бета может быть как положительной, так и отрицательной вели-
чиной. Положительное значение беты говорит о том, что доходности
актива (портфеля) и рынка при изменении конъюнктуры меняются в
одном направлении. Отрицательная бета показывает, что доходности
актива (портфеля) и рынка меняются в противоположных направле-
ниях. Подавляющая часть активов имеет положительную бету.
Бета актива (портфеля) показывает, в какой степени доходность
актива (и соответственно его цена) будет реагировать на действие
рыночных сил. Зная бету конкретного актива (портфеля), можно оце-
нить, насколько должна измениться его ожидаемая доходность при
изменении ожидаемой доходности рынка. Например, бета бумаги
равна +2. Это значит, что при увеличении ожидаемой доходности
рыночного портфеля на 1% доходность бумаги возрастет на 2%, и
наоборот, при уменьшении доходности рыночного портфеля на 1%
доходность бумаги снизится на 2%. Поскольку бета бумаги больше
единицы, то она рискованнее рыночного портфеля. Если бета бумаги
равна 0, 5, то при увеличении ожидаемой доходности рынка на 1%
ожидаемая доходность бумаги должна возрасти только на 0, 5%. На-
против, при снижении доходности рынка на 1% доходность бумаги
уменьшится только на 0, 5%. Таким образом, риск данной бумаги
меньше риска рынка. Если бета равна -2, то при повышении доход-
ности рыночного портфеля на 1% доходность актива снизится на 2%
и, наоборот. Активы с отрицательной бетой являются ценными ин-
струментами для диверсификации портфеля, поскольку в этом случае
можно построить портфель с «нулевой бетой», который не будет нес-
ти риска. Здесь, однако, следует помнить, что такой портфель не ана-
логичен активу без риска, так как при нулевом значении беты он не
содержит только системного риска. В то же время данный портфель
сохранит риск нерыночный.
Зная величину беты для каждого из активов, вкладчик может лег-
ко сформировать портфель требуемого уровня риска и доходности.

281
Бета портфеля — это средневзвешенное значение величин бета ак-
тивов, входящих в портфель, где весами выступают их удельные веса
в портфеле. Она рассчитывается по формуле:
n
? P = ?? i ? i (181)
i =1

где: ?p — бета портфеля;
?i — бета i-го актива;
?i — уд. вес i-го актива.

Пример.
Инвестор формирует портфель из трех активов: А, В и С.
?А =0, 8; ?в = 0, 95; ?с = 1, 3; ?A = 0, 5; ?В = 0, 2; ?с = 0, 3.
Бета портфеля равна:
0,5 • 0,8 + 0,2 • 0,95 + 0,3 • 1,3 = 0,98
Бета каждого актива рассчитывается на основе доходности актива
и рынка за предыдущие периоды времени. Информацию о значениях
беты можно получить от аналитических компаний, которые зани-
маются анализом финансового рынка, а также из периодической пе-
чати.


15. 1. 4. Линия рынка актива
CML показывает соотношение риска и доходности для эффек-
тивных портфелей, но ничего не говорит о том, как будут оценивать-
ся неэффективные портфели или отдельные активы. На этот вопрос
отвечает линия рынка актива (Security Market Line — SML). SML яв-
ляется главным итогом САРМ. Она говорит о том, что в состоянии
равновесия ожидаемая доходность актива равна ставке без риска
плюс вознаграждение за рыночный риск, который измеряется вели-
чиной бета. SML изображена на рис. 57. Она представляет собой
прямую линию, проходящую через две точки, координаты которых
равны rj; 0 и E(rm); 1. Таким образом, зная ставку без риска и ожи-
даемую доходность рыночного портфеля, можно построить SML. В
состоянии равновесия рынка ожидаемая доходность каждого актива
и портфеля, независимо от того, эффективный он или нет, должна
располагаться на SML.

282
Следует еще раз подчеркнуть, что если на CML находятся только
эффективные портфели, то на SML располагаются как широко ди-
версифицированные, так и неэффективные портфели и отдельные ак-
тивы.
Ожидаемую доходность актива (портфеля) определяют с помощью
уравнения SML.
[ ]
E (ri ) = r f + ? E (rm ) ? r f (182)

Пример.
rf = 15%, E(rm) = 25%, ?i = 1, 5. Определить E(ri).
E (ri ) = 15% + 1,5(25% ? 15%) = 30%
Наклон SML определяется отношением инвесторов к риску в раз-
личных условиях рыночной конъюнктуры. Если у вкладчиков опти-
мистичные прогнозы на будущее, то наклон SML будет менее крутой,
так как в условиях хорошей конъюнктуры инвесторы согласны на
более высокие риски (поскольку они менее вероятны на их взгляд)
при меньших значениях ожидаемой доходности (см. рис. 58 SML1).
Напротив, в преддверии неблагоприятной конъюнктуры SML примет
более крутой наклон, так как в этом случае инвесторы в качестве
компенсации потребуют более высокую ожидаемую доходность на
приобретаемые активы для тех же значений риска (см. рис. 58 SML2).
Если у инвесторов меняются ожидания относительно ставки без рис-
ка, это приведет к сдвигам SML. При увеличении rf SML сдвинется
вверх, при понижении — вниз, как показано на рис. 59.

283
15. 1. 5. Вопросы, возникающие при построении SML
На практике возникает ряд проблем, затрудняющих четкий ответ
на вопрос, по каким данным следует строить SML. Как уже отмеча-




лось, САРМ является моделью одного временного периода. Поэтому
в теории ставка без риска принимается равной ставке по краткосроч-

284
ным ценным бумагам. Однако вкладчики строят инвестиционные
стратегии, ориентируясь и на долгосрочную перспективу. Если в ка-
честве ставки без риска принять ставку по долгосрочным ценным бу-
магам, то, как правило, SML примет более пологий наклон (см. рис.
60 SML2), чем в случае краткосрочных бумаг (см. рис. 60 SML1). На
практике отмеченная проблема возникнет в том случае, когда ставки
без риска по долгосрочным и краткосрочным облигациям отличают-
ся в существенной степени и для активов (портфелей) с высокой или
низкой бетой, поскольку для активов (портфелей) с бетой близкой к
единице разница в доходности для двух случаев не будут большой.
Возникает вопрос и относительно точности прогнозирования ожи-
даемой доходности рынка.

15. 1. 6. CML и SML
Чтобы лучше понять CML и SML, сравним их характеристики. В
состоянии рыночного равновесия на CML располагаются только эф-
фективные портфели. Другие портфели и отдельные активы находят-
ся под СML. CML учитывает весь риск актива (портфеля), единицей
риска выступает стандартное отклонение.
В состоянии равновесия на SML расположены все портфели, как
эффективные, так и неэффективные и отдельные активы. SML учиты-
вает только системный риск портфеля (актива). Единицей риска яв-
ляется величина бета. В состоянии равновесия неэффективные порт-
фели и отдельные активы располагаются ниже СML, но лежат на
SML, так как рынок оценивает только системный риск данных порт-
фелей (активов)




285
На рис. 61a представлен эффективный портфель В, который рас-
полагается на CML. Риск портфеля равен ?в, а ожидаемая доходность
— rв. На этом же рисунке представлена бумага А. Она имеет такую
же ожидаемую доходность, что и портфель В, однако ее риск (?А)
больше риска портфеля В. Так как бумага А — это отдельный актив,
то она лежит ниже линии CML. Бета портфеля В и бета бумаги А
равны, поэтому и портфель В и бумага А располагаются на SML в
одной точке (см. рис. 61 в). Так получается потому, что рынок оцени-
вает портфели (активы) не с точки зрения их общего риска, который
измеряется стандартным отклонением, а только на основе рыночного
риска, измеряемого бетой. В результате актив А оценивается рынком
точно также как и портфель В, хотя общий риск актива А больше,
чем риск портфеля В.
CML и SML можно сравнить еще следующим образом. Подставим
из формулы (179) значение ? в формулу SML (182). В результате по-
лучим уравнение SML несколько в ином виде:
?
[ ]?
E (ri ) = r f + E (rm ) ? r f i
Corri , m (183)
m
Формулу (178) для CML также можно записать аналогичным обра-
зом:
?
[ ]?
E (rP ) = r f + E (rm ) ? r f P
Corrp , m (184)
m
Однако в случае СML коэффициент корреляции равен +1, что го-
ворит о полной корреляции эффективных портфелей с рынком. Не-
эффективные портфели и отдельные активы не имеют полной корре-
ляции с рынком, что и нашло отражение в уравнении SML.
САРМ ничего не говорит о взаимосвязи ожидаемой доходности
отдельного актива и его полного риска, измеряемого стандартным
отклонением. SML устанавливает зависимость только между ожи-
даемой доходностью актива и его систематическим риском.

15. 1. 7. Альфа
Согласно САРМ цена актива будет изменяться до тех пор, пока он
не окажется на SML. На практике можно обнаружить активы, кото-
рые неверно оценены рынком относительно уровня его равновесной
ожидаемой доходности. Если эта оценка не соответствует реальному
инвестиционному качеству актива, то в следующий момент рынок

286
изменит свое мнение в направлении более объективной оценки. В ре-
зультате мнение рынка будет стремиться к некоторому равновесному
(т. е. верному) уровню оценки. В реальной практике периодически
происходит изменение конъюнктуры рынка, что вызывает и измене-
ние оценок в отношении ожидаемой равновесной доходности. По-
этому если учитывать протяженный период времени, то будет пере-
сматриваться и сам уровень равновесной ожидаемой доходности.
Однако в САРМ мы рассматриваем только один временной период,
поэтому и можем говорить о равновесной доходности, которая в ко-
нечном итоге должна возникнуть на рынке для данного актива. Воз-
можные отклонения от равновесного уровня могут наблюдаться в си-
лу каких-либо частных причин в течение коротких промежутков
времени. Однако в следующие моменты должно возникнуть движение
доходности актива к точке равновесного уровня.
Если актив переоценен рынком, уровень его доходности ниже чем
активов с аналогичной характеристикой риска, если недооценен, то
выше. Показатель, который говорит о величине переоценки или не-
дооценки актива рынком, называется альфой. Альфа представляет
собой разность между действительной ожидаемой доходностью акти-
ва и равновесной ожидаемой доходностью, т. е. доходностью, которую
требует рынок для данного уровня риска. Альфа определяется по формуле:
? i = ri ? E (ri ) (185)
где: ?i — альфа i-го актива;
ri—действительная ожидаемая доходность i-го актива;
E(ri) — равновесная ожидаемая доходность.
Доходность актива в этом случае можно записать как:
[ ]
ri = R f + ? i E (rm ) ? r f + ? i
Откуда:
? i = (ri ? r f ) ? [E (rm ) ? r f ] (186)
На рис. 62 представлены два актива, которые неверно оценены
рынком по отношению к уровню их риска. Актив А недооценен, В —
переоценен. Согласно SML доходность А в условиях равновесия
должна составлять 12, 5%, фактическая оценка — 13%, т. е. актив
предлагает 0, 5% дополнительной доходности, поэтому его альфа
равна +0, 5. Противоположная ситуация представлена для актива В.
Его равновесная ожидаемая доходность согласно SML составляет
17, 5%, фактически он предлагает 13%, т. е. его альфа равна -4, 5. Та-
ким образом, актив недооценен рынком, если его альфа положитель-

287
на, и переоценен, если отрицательна. Для равновесной ожидаемой
доходности альфа равна нулю.
Инвесторы, желающие получить более высокие доходы, должны
стремиться приобретать активы с положительной альфой. Через не-
которое время рынок заметит недооценку, и их цена повысится. Од-
новременно инвесторам следует продавать активы с отрицательной
альфой, так как в последующем их цена понизиться.




Доходность портфеля — это средневзвешенная величина доходно-
стей входящих в него активов, поэтому альфа портфеля также являет-
ся средневзвешенной величиной и определяется по формуле:
n
? p = ? ? i? i (187)
i =1
где: ?р — альфа портфеля;
?i — уд. вес i-го актива в портфеле;
?i — альфа i-го актива.

Пример.
Портфель состоит из трех бумаг — А, В и С
?А = 2; ?в = 1, 5; ?с = -1; ?А = 0, 5; ?в = 0, 2 и ?с = 0, 3.
Альфа такого портфеля равна:
0,5 • 2 + 0,2 • 1,5 + 0,3 • (?1) = 1

288
15. 2. МОДИФИКАЦИИ САРМ

15. 2. 1. САРМ для случая, когда ставки по займам и
депозитам не равны
Начальная версия САРМ предполагает, что ставки по займам и
депозитам одинаковы. В реальной жизни они отличаются. Напом-
ним, что в таких условиях эффективная граница не является линей-
ной, а представляет собой несколько отрезков, как показано на рис.
63. Любой рискованный портфель, расположенный на сегменте M1M2
рассматривается в качестве рыночного. Для данного варианта возни-
кают две формулы САРМ и SML, которые рассчитываются относи-
тельно двух рыночных портфелей в точках M1 и M2.
[( ) ]
E (ri ) = rД + ? i m1 E rm1 ? rД (188)
для случая, когда E(ri) < Е(rm 1) — (кредитный портфель), и
[( ) ]
E (ri ) = rз + ? i m2 E rm2 ? rз (189)
для случая, когда E(ri) > Е(rm 2) — (заемный портфель),
где: ?im 1 — бета, рассчитанная относительно портфеля M1
?im 2 — бета, рассчитанная относительно портфеля M2.

15. 2. 2. САРМ с нулевой бетой
Вторая модификация САРМ возникает для случая, когда имеется
актив, который содержит только нерыночный риск. Рыночный риск у
него отсутствует, и поэтому его бета равна нулю. Для такой ситуации
можно построить SML, которая будет проходить через рыночный
портфель и рискованный актив с нулевой бетой. Уравнение САРМ в
этом случае принимает вид
[( ) ]
E (ri ) = rо + ? i E rm 2 ? rо (190)
где: r0 — рискованный актив с нулевой бетой.
В качестве актива с нулевой бетой можно, например, рассматри-
вать облигацию крупной компании. Если инвестор будет держать ее
до погашения, то гарантирует себе определенный уровень процента,
который не зависит уже от последующих колебаний цены этой бума-
ги. Единственный риск, которому подвергается вкладчик, это риск
банкротства эмитента, поскольку в этом случае предприятие может и
не осуществить причитающиеся ему платежи по облигациям.

289
10 Буренин А. H.
15. 2. 3. Версия САРМ для облигаций
Модель САРМ можно построить для облигаций. Она имеет сле-
дующий вид:
[ ]
E (ri ) = R f + ? i E (rm ) ? r f (191)
где: E(ri) — ожидаемая доходность i-й облигации;
Е(rm) — ожидаемая доходность рыночного портфеля облигаций;
?i — коэффициент бета i-й облигации. Он равен отношению дюра-
ции облигации i (Di) к дюрации рыночного портфеля облигаций (Dm).
Формула (191) говорит: если доходность рыночного портфеля об-
лигаций вырастет на 1%, то доходность i-й облигации возрастет на
величину ?. На рис. 64 представлена линия рынка облигаций. Как
следует из формулы, в данной версии САРМ доходность облигации
является линейной функцией дюрации облигации.




При использовании данной модели следует помнить, что она за-
вышает доходность долгосрочных облигаций при повышении ставок.
Так, для облигации с дюрацией 10 лет формула дает результат, кото-
рый в 10 раз больше, чем для облигации с дюрацией 1 год. На прак-
тике данная разница не столь велика.
Мы рассмотрели модель САРМ. Одним из основополагающих
моментов в ней выступает актив без риска. Им обычно служит госу-
дарственная ценная бумага. В то же время уровень доходности пе-
риодически колеблется и по данным активам. Таким образом, полу-
чается, что и они подвержены рыночному риску. В рамках же САРМ
государственная ценная бумага не содержит рыночного риска. САРМ

290
не противоречит такому положению вещей. Рассматривая бумагу без
риска, необходимо не забывать, что САРМ — это модель одного
временного периода. Поэтому, если инвестор приобретает бумагу без
риска по некоторой цене и держит ее до погашения, то он обеспечи-
вает себе фиксированный процент доходности, соответствующий
уплаченной цене. Последующие изменения конъюнктуры уже не
влияют на доходность операции. Рыночный риск по данной бумаге
возникает для инвестора только в том случае, если он решает продать
ее до момента погашения.
В заключение следует сказать о результатах проверки САРМ на
практике. Они показали, что эмпирическая SML или, как ее еще на-
зывают, эмпирическая линия рынка является линейной и более поло-
гой по сравнению с теоретической SML и проходит через рыночный
портфель (см. рис. 65)




Ряд исследователей подвергают САРМ сомнению. Одна из критик
представлена Р. Роллом. Она состоит в том, что теоретически рыноч-
ный портфель САРМ должен включать в себя все существующие ак-
тивы пропорционально их удельному весу на рынке, в том числе за-
рубежные активы, недвижимость, предметы искусства, человеческий
капитал. Поэтому невозможно создать такой портфель на практике
и, в первую очередь, с точки зрения определения веса активов в порт-
феле и оценки их доходности. Сложно оценить результаты проверки
САРМ, поскольку нет определенности в отношении того, является ли
выбранный для экспериментов портфель рыночным (эффективным)

291
10*
или нет. В целом, проверки САРМ скорее говорят о том, представля-
ют портфели (индексы), используемые в тестах, эффективные портфе-
ли или нет, чем подтверждают или опровергают саму модель САРМ.


15. 3. МОДЕЛЬ У. ШАРПА

15. 3. 1. Уравнение модели
Ожидаемую доходность актива можно определить не только с по-
мощью уравнения SML, но также на основе так называемых индекс-
ных моделей. Их суть состоит в том, что изменение доходности и це-
ны актива зависит от ряда показателей, характеризующих состояние
рынка, или индексов.
Простая индексная модель предложена У. Шарпом в середине 60-х
годов. Ее часто называют рыночной моделью. В модели Шарпа пред-
ставлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожи-
даемой доходностью рынка. Она предполагается линейной. Уравне-
ние модели имеет следующий вид:
E (ri ) = yi + ? i E (rm ) ? ? i (192)
где: E(ri ) — ожидаемая доходность актива;
Yi — доходность актива в отсутствии воздействия на него рыноч-
ных факторов;
?i — коэффициент бета актива;
Е(rm) — ожидаемая доходность рыночного портфеля;
?i — независимая случайная переменная (ошибка): она показывает
специфический риск актива, который нельзя объяснить действием
рыночных сил. Значение ее средней равно нулю. Она имеет постоян-
ную дисперсию; ковариацию с доходностью рынка равную нулю; ко-
вариацию с нерыночным компонентом доходности других активов
равную нулю.
Уравнение (192) является уравнением регрессии. Если его приме-
нить к широко диверсифицированному портфелю, то значения слу-
чайных переменных (?i) в силу того, что они изменяются как в поло-
жительном, так и отрицательном направлении, гасят друг друга, и
величина случайной переменной для портфеля в целом стремится к
нулю. Поэтому для широко диверсифицированного портфеля специ-
фическим риском можно пренебречь. Тогда модель Шарпа прини-
мает следующий вид:

292
E ( rp ) = y p + ? p E (193)
где: Е(rр) — ожидаемая доходность портфеля;
?p — бета портфеля;
ур — доходность портфеля в отсутствии воздействия на него ры-
ночных факторов.
Графически модель Шарпа представлена на рис. 66 и 67. Она по-
казывает зависимость между доходностью рынка (rт) и доходностью
актива (ri) и представляет собой прямую линию. Ее называют линией
характеристики. Независимой переменной выступает доходность
рынка. Наклон линии характеристики определяется коэффициентом
бета, а пересечение с осью ординат — значением показателя уi.




Бета рассчитывается по формуле:
Covi , m
?i =
? 2m
можно определить из формулы (193), взяв средние значения до-
YI
ходности рынка и актива за предыдущие периоды времени. 1
yi = r i ? ? i r m (194)
где: ri- — средняя доходность актива,
rm- — средняя доходность рынка.
1
Коэффициенты уi и ?i в уравнении регрессии можно рассчитать и с по-
мощью метода определителей, который приводится в учебниках статистики.

293
Пример.
ri = 20%, rm= 17%, Covi, m = 0, 04, ?m = 0, 3. Определить уравнение
рыночной модели.
0,04
?i = = 0,44
0,09
yi = 20 ? 0,44 • 17 = 12,52%
Уравнение рыночной модели имеет вид:
E (ri ) = 12,52 + 0,44 Е (rт ) + ? i
Графически оно представлено на рис. 66. Точками показаны кон-
кретные значения доходности i-го актива и рынка для различных мо-
ментов времени в прошлом.




На рис. 66 и рис. 67 представлен случай, когда бета положительна,
и поэтому график рыночной модели направлен вправо вверх, т. е. при
увеличении доходности рынка доходность актива будет повышаться,
при понижении — падать. При отрицательном значении беты график
направлен вправо вниз, что говорит о противоположном движении
доходности рынка и актива. Более крутой наклон графика говорит о
высоком значении беты и большем риске актива, менее крутой на-
клон — о меньшем значении беты и меньшем риске (см. рис. 68). При
? = 1 доходность актива соответствует доходности рынка, за исклю-
чением случайной переменной, характеризующей специфический
риск.
Если построить график модели для самого рыночного портфеля
относительно рыночного портфеля, то значение у для него равно ну-
лю, а беты +1. Графически данная модель представлена на рис. 67.

294
15. 3. 2. Коэффициент детерминации

Рыночную модель можно использовать для того, чтобы разделить
весь риск актива на дивесифицируемый и недиверсифицируемый,
Графически специфический и рыночный риски представлены на рис.
68. Согласно модели Шарпа дисперсия актива равна:
2 2
var(ri ) = var( yi + ? i rm + ? i ) = ? i ? m + 2 ? i Covm + ? Ei
где: var — дисперсия.
Так как Covm = 0, то можно записать, что
2 2 2
? i = ? i ? m + ? 2 Ei (195)
?i2?m2
где: — рыночный риск актива,
2
? ЕI — нерыночный риск актива.

Пример.
?i = 0, 44, ?т =0, 3, ?i = 0, 32. Определить рыночный и нерыночный
риски.
Рыночный риск = ?i2?m2 = (0, 44)2 (0, 3)2 = 0, 0174
Нерыночный риск = ?i2 - ?i2?m2 = 0, 1024 - 0, 0174 = 0, 085
Для вычисления доли дисперсии актива, которая определяется
рынком, используют коэффициент детерминации (R2). Он представ-
ляет собой отношение объясняемой рынком дисперсии актива к его
общей дисперсии.

295
? 2 i? 2 m
2
R= (196)
? 2i
Как уже известно,
?i
?i = Corri , m
?m
Подставив данное значение в формулу (196), получим результат, ко-
торый говорит о том, что коэффициент детерминации — это квадрат
коэффициента корреляции.
R 2 = (Corri , m ) 2 (197)
В последнем примере R-квадрат равен 0, 1699. Это означает, что
изменение доходности рассматриваемого актива можно на 16, 99%
объяснить изменением доходности рынка, а на 83, 01% — другими
факторами. Чем ближе значение R-квадрат к единице, тем в большей
степени движение рынка определяет изменение доходности актива.
Обычное значение R-квадрат в западной экономике составляет по-
рядка 0, 3, т. е. 30% изменения его доходности определяется рынком.
R-квадрат для широко диверсифицированного портфеля может со-
ставлять 0, 9 и большую величину.

15. 3. 3. САРМ и модель Шарпа
Чтобы лучше понять САРМ и модель Шарпа, проведем между
ними сравнение. САРМ и модель Шарпа предполагают наличие эф-
фективного рынка. В САРМ устанавливается зависимость между
риском и доходностью актива. Независимыми переменными высту-
пают бета (для SML) или стандартное отклонение (для CML), зави-
симой — доходность актива (портфеля).
В модели Шарпа доходность актива зависит от доходности рынка.
Независимая переменная — это доходность рынка, зависимая — до-
ходность актива.
SML, CML и линия характеристики в модели Шарпа пересекают
ось ординат в различных точках. Для SML и СML — это ставка без
риска, для линии характеристики — значение у. Между значением у в
модели Шарпа и ставкой без риска можно установить определенную
взаимосвязь. Запишем уравнение SML и раскроем скобки:
[ ]
E (ri ) = r f + ? i E (rm ) ? r f = r f + ? i E (rm ) ? ? i r f
или

296
E (ri ) = r f (1 ? ? i ) + ? i E (rm )
Поскольку слагаемое ?iЕ(rm) является общим для SML и модели
Шарпа, то:
yi = ri (1 ? ? i ) (198)
Из уравнения (198) следует, что для актива с бетой равной единице
у будет приблизительно равен нулю. Для актива с ?<l y>0, а для ?>1
y<0. Если представить актив, для которого одновременно y>0 и ?>1,
то это означает, что он в любых условиях будет приносить результа-
ты лучше, чем результаты рынка. Однако такая ситуация привлекла
бы повышенное внимание инвесторов, и вследствие изменения его
цены установилась бы отмеченная выше закономерность.
Модель САРМ является равновесной моделью, т. е. она говорит о
том, каким образом в условиях эффективного рынка устанавливают-
ся цены финансовых активов. Модель Шарпа является индексной мо-
делью, т. е. она показывает, каким образом доходность актива связа-
на со значением рыночного индекса. Теоретически САРМ предпо-
лагает рыночный портфель, и поэтому величина ? в САРМ предпола-
гает ковариацию доходности актива со всем рынком. В индексной
модели учитывается только какой-либо рыночный индекс, и бета го-
ворит о ковариации доходности актива с доходностью рыночного
индекса. Поэтому теоретически ? в САРМ не равна ? в модели Шар-
па. Однако на практике невозможно сформировать действительно
рыночный портфель и таким портфелем в САРМ также выступает
некоторый рыночный индекс с широкой базой. Если в САРМ и моде-
ли Шарпа используется один и тот же рыночный индекс, то ? для них
будет величиной одинаковой.



15. 3. 4. Определение набора эффективных портфелей

Рассматривая вопрос об эффективной границе, мы привели метод
Марковца определения набора эффективных портфелей. Неудобство
его состоит в том, что для вычисления риска широко диверсифициро-
ванного портфеля необходимо сделать большое число расчетов. Мо-
дель Шарпа позволяет сократить число единиц требуемой информа-
ции. Так, вместо единиц информации по методу Марковца,
при использовании модели Шарпа необходимо только 3n + 2 едини-
цы информации. Такое упрощение достигается благодаря следующим

297
преобразованиям. Ковариация i-го и j-го активов на основе уравне-
ния Шарпа равна:
2
Covi , j = ? i ? j? m + ? i , j (199)
Если i =j, то ?i, j = ?i2
Если i?j, то ?i, j = 0
Для определения риска портфеля подставим формулу (199) в фор-
мулу, предложенную Марковцем:
n n n n
= ??? i? j Covi , j = ??? i? j ( ? i ? j? 2 m + ? i , j ) =
? 2
p
i =1 j =1 i =1 j =1
n n n
= ??? i? j ? i ? j? + ?? 2 i? 2 i ) =
2
m
i =1 j =1 i =1




15. 4. МНОГОФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ
Существуют финансовые инструменты, которые по-разному реа-
гируют на изменение различных макроэкономических показателей.
Например, доходность акций компаний, выпускающих автомобили,
более чувствительна к общему состоянию экономики, а акций ссу-
досберегательных учреждений — к уровню процентных ставок. По-
этому в ряде случаев более точным может оказаться прогноз доход-
ности актива на основе многофакторной модели, включающей
несколько переменных, от которых зависит доходность данного ак-
тива. Выше мы представили модель У. Шарпа, которая является од-
нофакторной. Ее можно превратить в многофакторную, если слагае-
мое ?iE(rm) представить в качестве нескольких составляющих, каждое
из которых является одной из макроэкономических переменных,
определяющих доходность актива. Например, если инвестор полага-
ет, что доходность акции зависит от двух составляющих — общего
объема выпуска продукции и процентных ставок, то модель ее ожи-
даемой доходности такой примет вид:
E ( r ) = y + ? 1 I1 + ? 2 I 2 + ?
где: I1 — индекс выпуска продукции;
I2 — индекс процентных ставок;
?1, ?2 — коэффициенты, которые говорят о влиянии соответствен-
но индексов I1 и I2 на доходность акции;

298
? — случайная ошибка; она показывает, что доходность бумаги
может изменяться в некоторых пределах в связи со случайными об-
стоятельствами, т. е. независимо от принятых индексов.
Аналитики могут включать в модель любое число факторов, ко-
торые они считают необходимым.


КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Модель САРМ устанавливает зависимость между риском актива
(портфеля) и его ожидаемой доходностью. Линия рынка капитала
(CML) показывает зависимость между риском широко диверсифици-
рованного портфеля, измеряемым дисперсией, и его ожидаемой до-
ходностью. Линия рынка актива (SML) говорит о зависимости между
риском актива (портфеля), измеряемым величиной бета, и его ожи-
даемой доходностью.
Весь риск актива (портфеля) можно разделить на рыночный и не-
рыночный. Рыночный риск измеряется величиной бета. Она показы-
вает зависимость между доходностью актива (портфеля) и доход-
ностью рынка.
Альфа — это показатель, который говорит о величине неверной
оценки доходности актива рынком по сравнению с равновесным
уровнем его доходности. Положительное значение альфы свидетель-
ствует о его недооценке, отрицательное — переоценке.
В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой до-
ходностью актива и ожидаемой доходностью рынка.
Коэффициент детерминации позволяет определить долю риска,
определяемого рыночными факторами.
Многофакторные модели устанавливают зависимость между ожи-
даемой доходностью актива и несколькими переменными, которые
оказывают на нее влияние.


ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
1. В чем разница между рыночным и нерыночным риском. Почему
при оценке стоимости ценной бумаги следует учитывать только ры-
ночный риск?
2. О чем говорит бета актива?
3. Если бета актива равна нулю, означает ли это, что он является
безрисковым?

299
4. О чем говорит коэффициент детерминации ценной бумаги?
5. Ставка без риска 10%, ожидаемая доходность рынка — 20%, бе-
та портфеля акций — 0, 8. Определите ожидаемую доходность порт-
феля.
(Ответ: 18%)
6. Портфель состоит из пяти активов. Удельный вес и бета первого
актива равны соответственно 20% и 0, 5, второго — 20% и 0, 8, третье-
го — 40% и 1, четвертого — 10% и 1, 2, пятого — 10% и 1, 4. Определи-
те бету портфеля.
(Ответ: 0, 92)
7. Портфель состоит из двух акций — А и В. Удельный вес акции
А в портфеле равен 30%, бета — 0, 8, нерыночный риск — 15%.
Удельный вес акции В равен 70%, бета 1, 3, нерыночный риск — 8%.
Рыночный риск равен 10%. Чему равен весь риск портфеля, представ-
ленный стандартным отклонением?
(Ответ: 13, 5%)
8. В чем разница между САРМ и рыночной моделью?
9. В чем разница между CML и SML?
10. Определите альфу актива, если его равновесная ожидаемая до-
ходность равна 20%, а действительная ожидаемая доходность — 18%.
(Ответ: -2)
11. Начертите некоторую SML. Относительно нее покажите с по-
мощью новых SML случаи, когда ожидания инвесторов в отношении
будущей доходности рынка стали более: а) пессимистичными; в) оп-
тимистичными.
12. Портфель состоит из двух активов. Удельный вес первого ак-
тива 25%, второго — 75%, альфа портфеля — 5, первого актива — 3.
Определите альфу второго актива.
(Ответ: 5, 67)
13. В чем состоит критика модели САРМ Р. Роллом?
14. Средняя доходность актива за предыдущие периоды равна
30%, средняя доходность рынка — 25%. Ковариация доходности ак-
тива с доходностью рынка составляет 0, 1. Стандартное отклонение
доходности рыночного портфеля равно 30%. Определите уравнение
рыночной модели.
(Ответ: E(ri) = 2, 5 + l, l E(rm) + ?i )
15. Бета актива 1, 2, стандартное отклонение его доходности —
20%, рынка — 15%. Определите рыночный риск портфеля.
(Ответ: 18%)



300
16. Коэффициент корреляции доходности актива с доходностью
рынка равен 0, 6. Определите коэффициент детерминации актива.
(Ответ: 0, 36)
17. Покажите, как соотносятся параметр уi и ставка без риска в
модели Шарпа.


РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Бригхем Ю., Тапенски Л. Финансовый менеджмент. — СПб.,
1997, гл. 3.
2. Семенкова Е. В. Операции с ценными бумагами. — М., 1997,
гл. 6.
3. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. — М., 1997,
гл. 10-12.
4. Lintner J. «The Valuatiоn of Risk Assets and the Selectiоn of Risky
Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets» — Review of Eco-
nomics and Statistics, February, 1965.
5. Markowitz H. «Portfolio Selection: Efficient Diversification of In-
vestments»—N. Y., 1959
6. Sharp W. F. «Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium
inder Conditions of Risk» — Journal of Finance- September, 1964.



СОДЕРЖАНИЕ