СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 17. СТРАТЕГИИ В УПРАВЛЕНИИ
ПОРТФЕЛЕМ
В настоящей главе рассматриваются вопросы, связанные с управ-
лением портфелем финансовых инструментов. Вначале мы охаракте-
ризуем пассивную и активную стратегии, остановимся на технике ис-
пользования производных инструментов при управлении портфелем.
В заключение определим такое понятие как допустимость риска.


17. 1. ПАССИВНЫЕ И АКТИВНЫЕ СТРАТЕГИИ
Управляя портфелем, менеджер должен решать две задачи. Во-
первых, определить риск и ожидаемую доходность портфеля. Для
этого ему необходимо выяснить предпочтения клиента относительно
параметров риска и доходности, его налоговый режим, инвестицион-
ный горизонт, оценить трансакционные издержки по формированию
и управлению портфелем, определить риск и ожидаемую доходность
активов-кандидатов на включение в портфель, степень корреляции их
доходности. Во-вторых, определять реальную динамику показателей
портфеля в процессе его управления и в случае необходимости пере-
сматривать его, т. е. продавать и покупать активы.
На практике менеджер столкнется с двумя типами клиентов. Пер-
вый из них передаете управление свои средства и ориентирует менед-
жера на желаемые для него характеристики риска и доходности. Вто-
рой передает в управление средства, которые не являются его соб-
ственностью и относительно которых он сам несет обязательства пе-
ред собственниками. В связи с этим он, как правило, более
заинтересован, чем первый клиент в поддержании определенных ха-
рактеристик портфеля помимо риска и доходности, например, сро-
ков, на которые приобретаются активы, уровня их ликвидности.
Примером второй категории клиентов могут служить пенсионные
фонды, страховые компании.
В управлении портфелем можно выделить две основные страте-
гии: пассивную и активную.




312
17. 1. 1. Пассивные стратегии управления портфелем
Пассивной стратегии придерживаются менеджеры, которые пола-
гают, что рынок является эффективным. В таком случае нет необхо-
димости часто пересматривать портфель, поскольку эффективный
рынок всегда «правильно» оценивает активы, а одинаковые ожида-
ния инвесторов относительно доходности и риска говорят о том, что
все они ориентируются на одинаковые CML и SML. Пассивный
портфель пересматривается только в том случае, если изменились
установки инвестора, или на рынке сформировалось новое общее
мнение относительно риска и доходности рыночного портфеля. Пас-
сивный менеджер не ставит перед собой цель получить более высо-
кую доходность, чем в среднем предлагает рынок для данного уровня
риска. Для него характерно построение портфеля на рассмотренных
выше принципах, т. е. он включает в него рыночный портфель и бу-
маги без риска.
Пассивное управление портфелем состоит в приобретении активов
с целью держать их длительный период времени. Если в портфель
включены активы, выпущенные на определенный период времени,
например, облигации, то после их погашения они заменяются анало-
гичными бумагами и т. д. до окончания инвестиционного горизонта
клиента. При такой стратегии текущие изменения в курсовой стои-
мости активов не принимаются в расчет, так как в длительной пер-
спективе плюсы и минусы от изменения их цены будут гасит друг
друга. Пассивная стратегия не предполагает активного пересмотра
портфеля. В условиях эффективного рынка и одинаковых ожиданий
инвесторов какой-либо индивидуальный отбор бумаг не имеет суще-
ственного значения, и менеджер при выборе активов руководствуется
показателями их риска и доходности. Если портфель состоит из не-
большого числа активов, он сохраняет значительную долю диверси-
фицируемого риска. Чтобы снизить его, менеджер может придержи-
ваться стратегии, которую называют копированием индекса. В этом
случае его рыночный портфель по своим параметрам должен соот-
ветствовать какому-либо индексу с широкой базой. Он принимается
за рыночный портфель. Копирование индекса может быть полным,
т. е. рискованный портфель будет точно повторять индекс. Недоста-
ток такого подхода — высокие трансакционные издержки, так как
менеджеру приходится приобретать относительно малое количество
большого числа активов. Кроме того, при изменении состава индекса
должны последовать изменения и в структуре портфеля. Обычно при
исключении какой-либо бумаги из состава индекса цена ее падает, в

313
то же время цена включаемого в индекс актива возрастает. Поэтому
менеджер понесет дополнительные затраты в сумме разности цен
продаваемого и покупаемого активов. Чтобы исключить указанные
недостатки, менеджер может копировать индекс на основе опреде-
ленной выборки бумаг, входящих в индекс, которые наиболее близко
повторяют его динамику. В этом случае сокращаются трансакцион-
ные расходы, но возникает вероятность отклонения результатов
сформированного портфеля от результатов рыночного портфеля.
При копировании индекса возникает еще одна проблема. Выплата
дивидендов и процентов по бумагам, входящим в индекс, автомати-
чески отражается в его стоимости. В то же время менеджер несет до-
полнительные издержки при реинвестировании полученных средств.
Кроме того, для приобретения какого-либо актива может потребо-
ваться определенное время для аккумулирования необходимой суммы
денег.
Рассмотрим несколько приемов пассивного управления портфелем
на примерах.
Пример 1.
Менеджер полагает, что кривая доходности сохранит в будущем
восходящую форму, как показано на рис. 71, когда краткосрочные
ставки ниже долгосрочных. Инвестиционный горизонт менеджера
ограничен коротким периодом времени, допустим, одним месяцем.




Тогда он может разместить средства в более долгосрочный актив и,
продать его через месяц. В результате он получит более высокую до-
ходность по сравнению с инвестированием средств в одномесячный
актив. Например, страховая организация по договору страхования
привлекает средства на один месяц под 20% годовых на сумму 888, 89
млн. руб. и размещает их в ГКО с погашением через 6 месяцев с до-
ходностью 25% годовых. Стоимость ГКО равна 888, 89 млн. руб. До-

314
пустим, что через месяц доходность ГКО с погашением через 5 меся-
цев равна 23%. Страховая компания продает ГКО и получает сумму:
1000 млн. руб.
= 912,55 млн. руб.
1 + 0,23(5 / 12)
По договору страхования она возвращает сумму:
888,89 млн. руб.(1 + 0,2 / 12) = 903,70 млн. руб.
Ее доход составляет:
912,55 млн. руб. ? 903,70 млн. руб. = 8,85 млн. руб.
Рассмотренная техника управления портфелем называется скольже-
нием по кривой доходности.

Пример 2.
Одним из приемов пассивного управления портфелем является его
иммунизация. Главный риск в отношении облигаций состоит в воз-
можности изменения процентной ставки и, соответственно, цены об-
лигации. Если менеджер стремится застраховаться от изменения стои-
мости портфеля облигаций к определенному моменту времени, он
должен сформировать его таким образом, чтобы дюрация портфеля
соответствовала требуемому периоду времени. Тогда в случае изме-
нения процентной ставки потери (выигрыши) в стоимости облигаций
будут компенсироваться выигрышами (потерями) от реинвестирова-
ния купонов.
Портфель с требуемым значением дюрации можно построить из
отдельных облигаций с различными величинами дюрации, так как
дюрация портфеля является средневзвешенной дюрацией отдельных
облигаций. Если в портфель включены облигации с дюрациями, су-
щественно отличающимися друг от друга, возникает риск иммуниза-
ции, который состоит в том, что при изменении конъюнктуры рынка
кривая доходности не будет смещаться параллельно. Иммунизация
портфеля дает эффективный результат для небольших изменений в
процентных ставках.
Данная стратегия содержит в себе элементы активных действий,
так как портфель необходимо пересматривать при существенных из-
менениях процентной ставки и по прошествии некоторого времени. В
последнем случае уменьшение времени и сокращение периода дюра-
ции могут не совпадать. Поэтому портфель следует время от времени
пересматривать с учетом новых процентных ставок и инвестиционно-
го горизонта.

315
17. 1. 2. Активные стратегии управления портфелем
Активную стратегию проводят менеджеры, полагающие, что ры-
нок не всегда, по крайней мере в отношении отдельных бумаг, яв-
ляется эффективным, а инвесторы имеют различные ожидания отно-
сительно их доходности и риска. В итоге цена данных активов
завышена или занижена. Поэтому активная стратегия сводится к
частому пересмотру портфеля в поисках финансовых инструментов,
которые неверно оценены рынком, и торговле им с целью получить
более высокую доходность.
Формируя портфель, менеджер должен определить, в каких про-
порциях включать в него активы различных категорий, например,
акции, облигации и т. п. Такое решение называется решением по рас-
пределению средств (аssеl allocation). Оно зависит от оценок менед-
жером доходности и риска по данным группам активов и коэффици-
ента допустимости (толерантности)1 риска клиента. Доходности
активов в рамках каждой из групп обычно имеют высокую степень
корреляции, поэтому более важно определить категорию актива, ко-
торый принесет наибольшую доходность в будущих условиях, чем
самые лучшие активы внутри каждой категории. Далее, менеджер
должен выбрать конкретные активы в рамках каждой категории. Та-
кое решение называется решением по выбору активов (Security Selec-
tion). Выбор актива имеет значение в том случае, когда менеджер в
целом согласен с ситуацией на рынке относительно большей части
активов, но полагает, что некоторые из них неверно оценены. В этом
случае он делает акцент на активах с положительной альфой. Между
решением по распределению средств и выбором активов может при-
сутствовать промежуточная ступень, когда менеджер распределяет
средства по группам внутри каждой категории, например, между
кратко- средне- и долгосрочными облигациями, акциями по отраслям
экономики.
Менеджер также должен определить рыночный тренд (marker tim-
ing — фиксировать рынок). Если он полагает, что на рынке ожидает-
ся подъем, то ему необходимо сделать акцент на активах с более вы-
сокой бетой, если спад, то на активах с низкой бетой.
Активную стратегию менеджер может строить на основе приобре-
тения рыночного портфеля в сочетании с кредитованием или заим-
ствованием. Ее отличительной особенностью являться то, что менед-
жер включает в портфель активы с положительной альфой в большей
1
Коэффициент допустимости риска рассматривается в разделе 17. 3.

316
пропорции, чем их удельный вес в рыночном портфеле, а активы с
отрицательной альфой в меньшей пропорции.
Вследствие изменения конъюнктуры рынка менеджер периодиче-
ски будет пересматривать портфель. Покупка и продажа активов по-
влечет дополнительные комиссионные расходы. Поэтому, определяя
целесообразность пересмотра портфеля, ему следует учесть в издерж-
ках данные расходы, поскольку они будут снижать доходность порт-
феля.
Сложно быть специалистом по всем активам. В связи с этим в слу-
чае формирования большого портфеля целесообразно разбить его на
несколько небольших, например, по группам активов, каждый из ко-
торых будет управляться отдельным менеджером. В такой ситуации
целесообразно также иметь еще одного менеджера, который следил
бы за общим риском портфеля.
Приведем несколько примеров активного управления портфелем.
Пример 1.
Менеджер полагает, что краткосрочные ставки будут падать. Тог-
да целесообразно брать краткосрочные кредиты и размещать сред-
ства в более долгосрочные активы. Допустим, одномесячный кредит
можно взять под 33% годовых. ГКО с истечением через три месяца
приносит доходность 34% и стоит 921700 руб. Менеджер полагает,
что через месяц одномесячный кредит можно будет взять под 30% го-
довых, а еще через месяц — также под 30%. Он берет одномесячный
кредит на муссу 921700 тыс. руб. под 33% годовых и размещает его в
трехмесячное ГКО. Предположим, он оказался прав в ожиданиях от-
носительно будущей конъюнктуры. Для погашения первого кредита
он берет второй месячный кредит под 30%. Для погашения второго
кредита — третий месячный кредит под 30%. Общая сумма, выпла-
ченная менеджером по кредитам за трехмесячный период составила:
921700 тыс.(1 + 0,33 / 12)(1 + 0,3 / 12) 2 = 994990,99 тыс. руб.
При погашении ГКО через три месяца менеджер получает сумму 1
млрд. руб. Его доход составил:
1000000 тыс. ? 994990,99 тыс. = 5009,01 тыс. руб.
Пример 2.
Менеджер ожидает, что краткосрочные ставки вырастут. Тогда он
берет более долгосрочный кредит и размещает его последовательно в
ряд более краткосрочных активов. Допустим, что ставка по трехме-
сячному кредиту равна 30%. ГКО с погашением через месяц приносит
25% годовых и стоит 979600 руб. Менеджер полагает, что в после-

317
дующие месяцы доходность трехмесячных ГКО повысится, поэтому
берет кредит в сумме 979600 тыс. руб. и покупает ГКО с погашением
через один месяц. При погашении он покупает следующие одноме-
сячные ГКО с доходностью 31% (менеджер оказался прав в ожида-
ния) и еще через месяц еще одномесячные ГКО с доходностью 33%.
По кредиту менеджер должен вернуть сумму:
979600 тыс.(1 + 0,3 / 4) = 1053070 тыс. руб.
По ГКО он получит сумму1:
979600000(1 + 0,25 / 12)(1 + 0,31 / 12)(1 + 0,33 / 12) = 1054052,53 тыс.руб.
Его доход составил:
1054052,53 тыс. ? 1053070 тыс. = 982,53 тыс. руб.

Пример 3.
Как правило, кривая доходности имеет восходящую форму. Одна-
ко на рынке в силу каких-либо причин может возникнуть ситуация
как показано на рис. 73. Через некоторое время кривая примет обыч-
ную форму.




Поэтому можно предположить, что доходность облигации А вы-
растет и цена ее упадет, а доходность облигации В понизится и цена
ее увеличится. Поэтому целесообразно продать облигацию А и ку-
пить облигацию В.




1
Для простоты примера мы предполагаем, что ГКО является абсолютно
делимой бумагой.

318
17. 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНСТРУМЕНТОВ
СРОЧНОГО РЫНКА ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ
ПОРТФЕЛЕМ
В процессе управления портфелем менеджер будет решать сле-
дующие задачи: во-первых, хеджировать его стоимость; во-вторых,
изменять удельные веса активов в портфеле в зависимости от ожида-
ний будущей конъюнктуры. Данные задачи можно решить как с по-
мощью действий на спотовом, так и на срочном рынках. Например,
инвестор ожидает роста процентных ставок и поэтому считает необ-
ходимым принять меры, чтобы сохранить стоимость портфеля, в ко-
торый входят долгосрочные облигации. Один из способов состоит в
продаже данных бумаг на спотовом рынке, второй — в открытии ко-
роткой позиции по фьючерсным контрактам или покупке опциона
пут на данные облигации.
Другой пример. Инвестор ожидает уменьшения процентных ста-
вок и желает воспользоваться ситуацией, увеличив в портфеле удель-
ный вес долгосрочных облигаций. Данную задачу можно решить, ку-
пив облигации на спотовом рынке, или открыв длинную позицию по
фьючерсу на облигации.
Производные инструменты активно используются в современной
практике управления портфелем, потому что сделки с ними имеют
определенные преимущества по сравнению с операциями на спотовом
рынке. Во-первых, срочные контракты более ликвидны, чем енотовые
инструменты; во-вторых, комиссионные на срочном рынке обычно
ниже, чем на спотовом.
Рассмотрим технику использования фьючерсных контрактов при
управлении портфелем для изменения удельного веса актива в порт-
феле.
Представим стоимость портфеля как сумму спотового актива и
фьючерсных контрактов:
V = S + hF (200)
где: V— стоимость портфеля;
S — стоимость спотового инструмента;
F— стоимость фьючерсного контракта;
h — количество фьючерсных контрактов.
Изменение стоимости данного портфеля можно представить сле-
дующим образом:
?V = ?S + h?F (201)

319
Задача менеджера сводится к определению значения h, т. е. коли-
чества фьючерсных позиций, которые необходимо открыть. Из урав-
нения (201) оно составит:
?V ? ?S
h=
?F
Допустим, инвестор располагает портфелем акций. Коэффициент
бета его портфеля относительно рыночного портфеля (например, ин-
декса S&P500) равен ?S. Инвестор желал бы изменить состав своего
портфеля таким образом, чтобы он реагировал на изменение конъ-
юнктуры, как если бы его бета была равна ?F. Для изменения состава
портфеля инвестор может использовать фьючерсный контракт на ин-
декс акций S&P500. Цена фьючерсного контракта на индекс акций
равна:
rf t ?
?
F = I ?1 +
? 365 ? ? Div (202)
?
? ?
где: F— фьючерсная цена;
I— цена спот индекса;
rF ставка без риска;
t — время до истечения фьючерсного контракта;
Div — дивиденды, выплачиваемые на акции, входящие в индекс
(поскольку значение индекса задается в пунктах, то дивиденды в дан-
ной формуле также учитываются в пунктах. Например, значение ин-
декса равно 500 пунктов, ставка дивиденда составляет 4%. Тогда ди-
виденд равен 20 пунктов за год и 5 пунктов за квартал).
Изменение фьючерсной цены за короткий промежуток времени
равно:
rt? rt? rt?
? ? ?
?1 + f ? ? Div ? I1 ?1 + f ? + Div = ?I ?1 + f ?
?F = F2 ? F1 = I 2 ? ? ? 365 ? ? 365 ?
? 365 ? ? ? ? ?
Изменение стоимости акций в портфеле при изменении значения ин-
декса составляет ?S?I. Изменение стоимости портфеля с коэффициен-
том ?F составляет ?F?I. Отсюда формулу (201) можно представить
следующим образом:
rf t ?
?
? F ?I = ? S ?I + h?1 +
? 365 ??I (203)
?
? ?

320
Тогда h равно:
?F ? ?S
h= (204)
1 + (r f t / 365)

Пример.
Инвестор располагает портфелем акций с ?S = 0, 8 на сумму 1 млн.
долл. Он ожидает подъема на рынке и поэтому решает перестроить
его таким образом, чтобы ?F = 1, 2. Индекс S&P500 равен 400 пунк-
тов. Фьючерсный контракт на S&P500 истекает через 50 дней, ставка
без риска для этого периода равна 6% годовых. Для данных условий
величина h равна:
1,2 ? 0,8
h= = 0,397 (205)
1 + 0,06 • 50 / 365
Стоимость контракта на индекс S&P500 определяется как 500 долл.,
умноженные на значение индекса. Таким образом, цена контракта
равна:
500 • 400 = 200000 долл.
Количество фьючерсных контрактов, по которым необходимо от-
крыть позиции определяется по формуле:
h • стоимость портфеля
Количество
=
контрактов стоимость контракта
Количество контрактов равно:
0,397 ? 1000000
= 1,985
200000
Таким образом, чтобы получить портфель акций с бетой 1, 2, необхо-
димо купить два фьючерсных контракта на индекс S&P500. В данном
примере следует купить фьючерсные контракты, поскольку в форму-
ле (205) мы получили положительную величину. Ответ со знаком ми-
нус говорил бы о том, что необходимо продать фьючерсные контрак-
ты. Например, бета портфеля инвестора равна 1, 2, а он желает
получить бету 0, 8, поскольку ожидает ухудшения конъюнктуры рын-
ка. Тогда инвестору следует продать два фьючерсных контракта.
Выше мы говорили о портфеле, в который входили одни акции.
Однако они могут составлять только его часть. Поэтому менеджер
столкнется с задачей изменения удельного веса акций в портфеле.
Она решается аналогичным образом с помощью фьючерсных кон-

321
11 Буренин А. Н.
трактов, только в формулах (203) и (204) необходимо учесть удель-
ный вес акций в текущем и создаваемом портфелях. Тогда формулы
принимают следующий вид:
rt?
?
?1 + f ??I
? F ? F ?I = ? S ? S ?I + ? (206)
?
? 365 ?
и
? F ? F ?? S ? S
h= (207)
1 + (r f t / 365)
где: ?S — уд. вес акций с ?S,
?F— уд. вес акций с ?F.
Продолжая предыдущий пример, предположим, что удельный вес
акций с ?S в текущем портфеле составляет 30%, а инвестор желал бы
получить портфель с пропорций акций с ?F равной 70%. Стоимость
портфеля равна 2 млн. долл. Найдем коэффициент h для данных
условий.
0,7 ? 1,2 ? 0,3 ? 0,8
h= = 0,595
1 + 0,06 ? 50 / 365
Число контрактов, которые необходимо купить, равно:
0,595 ? 0,7 ? 2000000
= 4,165
200000
Таким образом, инвестору следует купить 4 фьючерсных контрак-
та.


17. 3. ДОПУСТИМОСТЬ РИСКА
(ТОЛЕРАНТНОСТЬ РИСКА)
Рациональный человек стремится получить от своих действий
максимум полезности. Данное утверждение верно и для рациональ-
ного инвестора. Цель вкладчика: получить максимум ожидаемой до-
ходности при минимальном риске.
При работе с клиентом менеджер должен сформировать такой
портфель, который бы приносил инвестору максимум полезности. У
вкладчика может отсутствовать четкое представление о том, каким
именно портфелем он желал бы владеть. Поэтому менеджер должен

322
помочь ему в решении данной задачи. Для этого необходимо соста-
вить представление о функции полезности клиента.
Функцию полезности можно задать в виде кривых безразличия,
как показано на рис. 74. Здесь представлены три кривых безразличия
(1, 2 и 3). Как известно из курса экономической теории, кривые без-
различия имеют вогнутую форму. Однако для того, чтобы упростить
решение задачи, их можно представить в виде прямых линий.
На рис. 74 в качестве меры риска принята дисперсия портфеля. Ес-
ли вместо дисперсии использовать стандартное отклонение, то кри-
вые безразличия примут свою обычную форму, как показано на
рис. 75.
Каждая кривая безразличия показывает, что в любой ее точке
вкладчик получает одинаковую полезность, т. е. различные сочетания
риска и доходности на одной кривой обладают для него одинаковой
полезностью. Так, ему безразлично, какой портфель выбрать А или В
(см. рис. 75), поскольку оба они приносят ему одинаковую полез-
ность. Более высокая ожидаемая доходность портфеля В компенсиру-
ется его более высоким риском. Аналогично инвестору безразлично,
какой портфель выбрать на второй кривой безразличия С или D. В то
же время кривые безразличия характеризуются тем, что любой порт-
фель, который расположен на более высокой кривой безразличия,
приносит инвестору большую полезность.




Так портфели С и D предпочтительнее для вкладчика по сравне-
нию с портфелями А и В.

323
11*
Чтобы определить, какой портфель следует выбрать клиенту, не-
обходимо на одном рисунке представить эффективную границу и
кривые безразличия (см. рис. 76). Для примера здесь представлена
эффективная граница Марковца. Вкладчик заинтересован в максими-
зации полезности, поэтому он должен ориентироваться на портфели,
которые располагались бы на самой высокой кривой безразличия.
Однако потенциальный выбор портфелей ограничен эффективной
границей ABC. Поэтому портфель, обладающий для вкладчика наи-
большей полезностью, будет находиться в точке касания эффек-
тивной границы и кривой безразличия 2 (портфель В), так как это
самая высокая из доступных для инвестора кривых безразличия.




Если кривую безразличия представить в виде прямой линии, как
показано на рис. 74, то ее уравнение можно представить в качестве
линейной зависимости, а именно:
12
?p
E (rp ) = u + (208)
RT
где: Е(rр) — ожидаемая доходность портфеля;
и — ордината точки, в которой кривая безразличия пересекает
вертикальную ось;
?р2 — риск портфеля;
RT — коэффициент допустимости (толерантности) риска.
Коэффициент допустимости риска говорит о том, сколько единиц
риска готов принять инвестор при увеличении ожидаемой доход-
ности портфеля на одну единицу или, сколько единиц риска прихо-
дится на единицу ожидаемой доходности, т. е.

324
? 2p
RT =
E ( rp )
Чем больше значение RT, тем меньше вознаграждения в единицах
ожидаемой доходности требует инвестор, т. е. такой инвестор более
склонен к риску. Коэффициент допустимости риска является величи-
ной обратной коэффициенту неприятия риска (RА):
1
RA =
RT
1
Значение представляет собой угол наклона кривой безразличия в
RT
точке касания ее эффективной границы. Определить значение RT
можно следующим образом. Менеджер строит эффективную границу
на основе ставки без риска и портфеля акций. После этого клиенту
предлагается выбрать на эффективной границе портфель, который
бы в большей степени соответствовал его представлениям о риске и
доходности. Допустим, он выбирает некоторый портфель А. Это
означает, что угол наклона кривой безразличия в этой точке равен
углу наклона эффективной границы.
Пусть удельный вес в портфеле А акций равен ?a. Тогда удельный
вес актива без риска равен 1 - ?a. Ожидаемая доходность портфеля А
составляет:
E (rp ) = ? a E (ra ) + (1 ? ? a )rF (209)
где: E(rа) — ожидаемая доходность портфеля акций,
rF — ставка без риска.
Риск портфеля А пропорционален риску рискованного актива и ра-
вен:
2 2 2
? p =?a ? a (210)
где: ?а2 — риск портфеля акций.
Из уравнения (209) удельный вес портфеля акций можно представить
как:
E (rp ) ? r f
?a = (211)
E (ra ) ? r f
Подставим значение ?a из уравнения (211) в уравнение (210)

325
2
? E ( rp ) ? r f ?
=? ? ?? 2a
? 2p (212)
? E (ra ) ? r f ?
? ?
Продифференцировав уравнение по E(rр), получим значение допу-
стимости риска.
[ ]
2 E (rp )? r f ? 2 a
?? 2 p
RT = = (213)
[ ]
E (rp )? r f
?E (rp )

Пример.
rF = 20%, E(rа) = 40%, ?а = 30%, Е(rр) = 35%.
Тогда:
2(35 ? 20)30 2
RT = = 67,5
2
(40 ? 20)
Задача менеджера: определить наиболее высоко расположенную кри-
вую безразличия, доступную инвестору. Для этого достаточно опре-
делить значение и, принадлежащую кривой безразличия, которая яв-
ляется касательной к эффективной границе. Доходность в точке и
называют гарантированной эквивалентной доходностью, так как по
своей полезности для инвестора она эквивалентна доходности порт-
феля в точке касания кривой безразличия эффективной границы, и
определяется из уравнения (208)
12
?p
u = E ( rp ) ? (214)
RT
Менеджер должен максимизировать значение и в уравнении (214).
Ему необходимо определить, какое количество различных активов
следует включить в портфель при известном значении RT. Например,
менеджер определяет, в какой пропорции включить в портфель акции
и облигации. В этом случае ему следует максимизировать величину и
при условии, что:
rp = ? a ra + ? o ro
? 2 p = ? 2 a r 2 a + 2? a? o Cov a , o + ? 2 o r 2 o
?a +?o = 1
a
где: ? — уд. вес портфеля акций в формируемом портфеле;

326
?0 - уд. вес портфеля облигаций в формируемом портфеле;
?а2 - дисперсия доходности портфеля акций;
?02 — дисперсия доходности портфеля облигаций;
Cova, o — ковариация доходности портфелей акций и облигаций,
поэтому:
?o = 1??a (215)

[ ]R1
u = ? a ra + (1 ? ? a )ra ? ? 2 a? 2 a + 2? a (1 ? ? a )Cova , o + (1 ? ? a ) ? 2 a
2
(
T
(
216)
Продифференцируем уравнение (216) по ?a и приравняем полученный
результат к нулю, чтобы найти максимум функции.
Отсюда:
ra + rp
? 2 o ? Cov
?a = + RT
? 2a ? 2Cov a , o + ? 2 o 2(? 2 a ? 2Cova , o + ? 2 o )
?0 находим из уравнения (215).
В ряде случаев при управлении портфелем менеджер будет иметь
определенные обязательства перед клиентом по уровню доходности.
В свою очередь, он инвестирует средства в более доходные активы.
Поэтому менеджер должен построить портфель таким образом, что-
бы его доходность никогда не опускалась ниже взятых обязательств.
В мире неопределенности возможен любой исход событий. Однако
менеджер, принимая инвестиционное решение, должен минимизиро-
вать вероятность того, что доходность его портфеля окажется ниже
взятых обязательств.
Если предположить, что доходность портфеля подчиняется нор-
мальному распределению, то менеджер должен сформировать порт-
фель таким образом, чтобы между его ожидаемой доходностью и до-
ходностью по взятым обязательствам клиента располагалось
максимально возможное значение стандартных отклонений доход-
ности портфеля, т. е. он должен максимизировать величину:
E ( rp ) ? r
d= (217)
?p
где: r — уровень доходности по обязательствам менеджера.
Например, портфели А, В и С имеют следующие характеристики:
E(rА) = 30%, ?А = 40%, Е(rB) = 25%, ?в = 30%, Е(rс ) = 20%, ?с = 18% и r= 15%
Тогда величина d для портфеля А равна:

327
30 ? 15
dA = = 0,375
40
и соответственно dB = 0, 33 и dC = 0, 28. В данном случае менеджеру
следует остановить свой выбор на портфеле А.
Если портфели с различными параметрами риска и доходности
имеют одинаковое значение d, то любой из них соответствует целям
менеджера.
Преобразуем формулу (217) следующим образом:
E ( r p ) = r + d? p (218)
Тогда формулу (218) можно рассматривать как функцию полезности
инвестора, которая пересекает ось ординат в точке r (см. рис. 77). В
данном случае получается веер функций полезности, которые прохо-
дят через одну точку r. Более высоко расположенная функция прино-
сит инвестору большую полезность. Оптимальный портфель будет
располагаться в точке касания графика функции полезности эффек-
тивной границы ABC.




КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Пассивной стратегии в управлении портфелем придерживаются
менеджеры, полагающие, что рынок является эффективным. Пас-
сивное управление не предполагает частого пересмотра портфеля. В
условиях эффективного рынка и одинаковых ожиданий инвесторов
индивидуальный отбор финансовых активов не имеет существенного
значения кроме как оценки их риска и доходности. Пассивный ме-

328
неджер не ставит перед собой задачу получить более высокую доход-
ность, чем в среднем предлагает рынок для данного уровня риска.
Для пассивной стратегии характерным является объединение рыноч-
ного портфеля с бумагой без риска.
Активную стратегию проводят менеджеры, полагающие, что ры-
нок не является эффективным, поэтому цена тех или иных активов
может оказаться завышенной или заниженной. Активная стратегия
предусматривает частый пересмотр портфеля в поисках неверно оце-
ненных рынком активов.
Коэффициент допустимости риска говорит о том, сколько единиц
риска готов принять инвестор при увеличении ожидаемой доход-
ности портфеля на одну единицу. Определение коэффициента допу-
стимости риска позволяет менеджеру формировать портфель с учетом
предпочтений клиента в отношении риска и доходности.


ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
1. Какие задачи решает менеджер при управлении портфелем?
2. В чем разница между активной и пассивной стратегиями управ-
ления портфелем ?
3. В чем суть стратегии копирования индекса?
4. Какую стратегию выберет менеджер, чтобы получить доход на
разнице между краткосрочными и долгосрочными ставками, если он
полагает, что краткосрочные ставки: а) вырастут; в) упадут.
З. Кривая доходности имеет восходящую форму. Каким образом
компания, привлекающая средства на короткий срок для размещения
их в облигации может увеличить свою прибыль по данной операции?
7. Какими преимуществами обладают операции на срочном рынке
по сравнению со спотовым при управлении портфелем?
8. Менеджер портфеля облигаций ожидает повышения процент-
ных ставок на рынке. Каким образом с помощью фьючерсных кон-
трактов он может уменьшить риск падения стоимости портфеля?
9. Менеджер широко диверсифицированного портфеля акций
ожидает падения курсовой стоимости ценных бумаг. Каким образом
он может хеджировать стоимость портфеля с помощью фьючерсного
и опционного контрактов?
10. Инвестор располагает портфелем акций с ?S = 0, 6 относитель-
но индекса I на сумму 100 млн. руб. Он ожидает подъема на рынке и
решает перестроить его с помощью фьючерсных контрактов на фон-
довый индекс таким образом, чтобы бета портфеля стала равной 0, 9.

329
Фьючерсный контракт истекает через 90 дней. Ставка без риска для
90 дней равна 15% годовых. Значение индекса составляет 200 пунк-
тов. Стоимость одного пункта для фьючерсного контракта на индекс
составляет 1000 руб. Какое количество фьючерсных контрактов дол-
жен открыть инвестор?
(Ответ: 144 контракта)
11. Каким образом можно определить оптимальный портфель для
инвестора с помощью набора (карты) его кривых безразличия?
12. Что показывает коэффициент допустимости риска?
13. Каким образом можно определить коэффициент допустимости
риска инвестора?
14. Дайте определение понятия «гарантированная эквивалентная
доходность».
15. Коэффициент неприятия риска равен 0, 017. Определите значе-
ние коэффициента допустимости риска.
(Ответ: 58, 8)
16. Ожидаемая доходность кредитного портфеля, сформированно-
го инвестором, 30%, доходность рискованного компонента портфеля
35%, риск — 20%, ставка без риска — 15%. Определите коэффициент
допустимости риска инвестора.
(Ответ: 15)
17. Менеджер может сформировать два портфеля. Ожидаемая до-
ходность первого портфеля — 45%, второго — 35%. Стандартное от-
клонение первого портфеля — 25%, второго — 20%. По обязатель-
ством менеджера перед клиентом доходность портфеля не должна
опускаться ниже 30%. На каком из двух портфелей следует остано-
виться менеджеру?
(Ответ: на втором)


РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Гитман Л. Дж., Джонк М. Д. Основы инвестирования. — М.,
1997, гл. 16.
2. Финансовый менеджмент (под ред. Поляка Г. Б. ) — М., 1997,
гл. 13.
3. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. — М., 1997,
гл. 7. 2, 73, 16. 5-16. 7.



330



СОДЕРЖАНИЕ